5.2-3 (有修改)二叉树ADT及存储表示

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数据结构实例精讲：二叉树及其存储

数据结构实例精讲：二叉树及其存储树形结构是一类非常重要的非线性结构，它用于描述数据元素之间的层次关系，如人类社会的族谱和各种社会组织机构的表示等等。

在计算机领域中，树形结构的应用也非常广泛，磁盘文件的目录结构就是一个典型的例子。

树和二叉树是常用的树形结构，由于二叉树表示对于树的存储和运算有很大意义，可以把对于树的许多处理转换到对应的二叉树中去做，因此，本章重点讨论二叉树的有关概念、存储结构和常用操作。

5.1 树和二叉树的基本概念5.1.1 树的基本概念树是一个或多个结点组成的有限集合T，有一个特定的结点称为树的根结点，其余的结点被分成m（m≥0）个不相交的集合T1、T2、…、Tm。

，每一个集合本身又是一棵树，被称为这个根结点的子树。

图5-1所示是一棵具有10个结点的树，结点A为树的根结点，除A之外的其余结点分为3个不相交的集合T1={B，E，F}、T2={C，G}和T3=｛D，H，I，J｝，形成了结点A的3棵子树，T1、T2和T3本身也分别是一棵树。

例如，子树T1的根结点为B，其余结点又分为两个不相交的集合{E}和{F}，它们形成了子树T1的根结点B的两棵子树。

图5-1 一棵具有10个结点的树树的基本术语有：孩子、双亲、兄弟：树中某结点的各子树的根称做该结点的孩子；相应地该结点称做其孩子的双亲；具有相同双亲的结点互称为兄弟。

图5-1中，结点B、C、D都是结点A的孩子，结点A是结点B的双亲，也是结点C、D的双亲，结点B、C、D互为兄弟。

结点的度：一个结点所拥有的子树的个数称为该结点的度。

图5-1中，结点A的度为3，结点B的度为2，结点E的度为0。

叶结点、分支结点：度为0的结点称为叶结点，或者称为终端结点；度不为0的结点称为分支结点，或者称为非终端结点。

图5-1中，结点A、B、C、D为分支结点，结点E、F、G、H、I、J为叶结点。

结点的层数：规定树的根结点的层数为1，其他任何结点的层数等于它的双亲结点的层数加1。

二叉树的存储结构及基本操作

二叉树的存储结构及基本操作二叉树是一种常见的数据结构，广泛应用于计算机科学领域。

二叉树具有其独特的存储结构和基本操作，下面将详细介绍。

一、二叉树的存储结构二叉树的存储结构通常有两种形式：顺序存储和链式存储。

1. 顺序存储顺序存储是将二叉树中的所有元素按照一定的顺序存储在一段连续的内存单元中，通常采用数组来表示。

对于任意一个节点i，其左孩子节点的位置为2*i+1，右孩子节点的位置为2*i+2。

这种存储方式的优点是访问速度快，但需要预先确定节点总数，且不易于插入和删除操作。

2. 链式存储链式存储是采用指针的方式将二叉树的节点链接起来。

每个节点包含数据元素以及指向左孩子节点和右孩子节点的指针。

链式存储方式的优点是易于插入和删除操作，但访问速度较慢。

二、二叉树的基本操作1. 创建二叉树创建二叉树的过程就是将数据元素按照一定的顺序插入到二叉树中。

对于顺序存储的二叉树，需要预先分配内存空间；对于链式存储的二叉树，可以直接创建节点对象并链接起来。

2. 遍历二叉树遍历二叉树是指按照某种规律访问二叉树中的所有节点，通常有前序遍历、中序遍历和后序遍历三种方式。

前序遍历的顺序是根节点-左孩子节点-右孩子节点；中序遍历的顺序是左孩子节点-根节点-右孩子节点；后序遍历的顺序是左孩子节点-右孩子节点-根节点。

对于顺序存储的二叉树，可以采用循环结构实现遍历；对于链式存储的二叉树，需要使用指针逐个访问节点。

3. 查找元素在二叉树中查找元素，需要根据一定的规则搜索所有节点，直到找到目标元素或搜索范围为空。

对于顺序存储的二叉树，可以采用线性查找算法；对于链式存储的二叉树，可以采用深度优先搜索或广度优先搜索算法。

4. 插入元素在二叉树中插入元素需要遵循一定的规则，保证二叉树的性质。

对于顺序存储的二叉树，插入操作需要移动大量元素；对于链式存储的二叉树，插入操作相对简单，只需修改指针即可。

5. 删除元素在二叉树中删除元素同样需要遵循一定的规则，保证二叉树的性质。

二叉树的存储表示

二叉树的存储表示1二叉树的顺序存储表示 2二叉树的链式存储表示 3三叉链表1二叉树的顺序存储表示二叉树的顺序存储结构的定义如下：#define MAXSIZE = 100； //暂定二叉树中节点数的最大值为100 Typedef struct {ElemType *data ； //存储空间基址（初始化时分配空间） Int nodeNum ； //二叉树中节点数 }SqBiTree ； //二叉树的顺序存储结构为了能在存储结构中反映出节点之间的逻辑关系，必须将二叉树中节点依照一定规律安排在这组存储单元中。

对于完全二叉树，只要从根起按层序存储即可。

显然，这种顺序存储结构仅适用于完全二叉树。

因为，在最坏的情况下，一个深度为 k 且只有 k 个结点的单支树（树中不存在度为 2 的结点）却需要长度为2k -1的一维数组。

二叉树的顺序存储图如图1所示：263201165402106543216（a ）满二叉树（b ）一般二叉树图1 顺序存储2二叉树的链式存储表示二叉树有不同的链式结构，其中最常用的是二叉链表与三叉链表。

二叉链表的结点形式如表1所示：表1链式存储date域：称为数据域，用于存储二叉树结点中的数据元素，1child域：称为左孩子指针域，用于存放指向本结点左孩子的指针(左指针)。

rchild域：称为右孩子指针域，用于存放指向本结点右孩子的指针(右指针)二叉链表中的所有存储结点通过它们的左、右指针的链接而形成一个整体。

根指针：每个二叉链表还必须有一个指向根结点的指针。

根指针具有标识二叉链表的作用，对二叉链表的访问能从根指针开始。

图2中（a）（b）表示一棵二叉树及其二叉链表。

值得注意的是，二叉链表中每个存储结点的每个指针域必须有一个值，这个值或者是指向该结点的一个孩子的指针，或者是空指针NULL。

二叉链表的类型定义如下：Typedef struct btnode *bitreptr；Struct btnode{Datatype data；Bitreptr lchild,rchild；}；Bitreptr root；若二叉树为空，则root=NULL。

各种二叉树的介绍

各种二叉树的介绍
二叉树是一种常见的数据结构，每个节点最多只能有两个子节点，通常称为左子节点和右子节点。

根据二叉树的不同特性和限制，可以将其分为多种类型，包括普通二叉树、满二叉树、完全二叉树、平衡二叉树等。

普通二叉树：这是最基本的二叉树形式，每个节点最多有两个子节点，且没有特定的限制条件。

满二叉树：在满二叉树中，所有叶子节点都在最后一层，且节点总数为2^n-1，其中n为层数。

也就是说，除了叶子节点外，每个节点都有两个子节点。

完全二叉树：完全二叉树的所有叶子节点都在最后一层或倒数第二层，且最后一层的叶子节点在左边连续，倒数第二层的叶子节点在右边连续。

如果将满二叉树从右至左、从下往上删除一些节点，剩余的结构就构成完全二叉树。

平衡二叉树（AVL树）：平衡二叉树是一种特殊的二叉树，它要求每个节点的左子树和右子树的高度差绝对值不超过1，且每个子树也必须是一棵平衡二叉树。

这种树的查找效率通常高于普通二叉树，因此常用于需要频繁查找的场景。

此外，还有一些特殊的二叉树，如红黑树、B树、B+树等，它们具有不同的特性和应用场景。

红黑树是一种自平衡的二叉查找树，它的左右子树高度差有可能大于1，但通过对节点进行旋转和重新着色等操作，可以保持树的平衡性。

B树和B+树则常用于数据库和文件系统中，它们支持对节点进行分裂和合并操作，以满足快速查找、插入和删除数据的需求。

总之，二叉树是一种非常有用的数据结构，它可以用于实现各种算法和应用，如排序、搜索、压缩、加密等。

不同类型的二叉树具有不同的特性和应用场景，需要根据具体需求进行选择和使用。

数据结构二叉树知识点总结

数据结构二叉树知识点总结二叉树是一种特殊的树状数据结构，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。

以下是二叉树的一些重要知识点总结：1.二叉树的定义：二叉树是一个可以为空的有限节点集合，其中每个节点最多有两个子节点。

一个节点的左右子节点分别称为它的左子树和右子树。

2.二叉树的基本操作：二叉树的基本操作包括插入节点、删除节点和查找节点等。

插入操作是将新节点插入到已有的二叉树中；删除操作是删除一个节点并重新调整二叉树的结构；查找操作是在二叉树中查找指定节点。

3.二叉树的遍历：常用的二叉树遍历方法有三种：前序遍历、中序遍历和后序遍历。

前序遍历先访问根节点，然后遍历左子树和右子树；中序遍历先遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树；后序遍历先遍历左子树和右子树，最后访问根节点。

4. 二叉树（BST）：二叉树是一种特殊的二叉树，它的左子树中的所有节点小于根节点，右子树中的所有节点大于根节点。

因此，对于二叉树，可以快速地进行查找、插入和删除等操作，时间复杂度为O(log n)，其中n为二叉树中节点的个数。

5. 平衡二叉树（AVL树）：平衡二叉树是一种特殊的二叉树，它要求任意节点的左子树和右子树的高度之差不超过1、通过保持平衡，平衡二叉树可以提供更快的查找效率，时间复杂度为O(log n)。

6.完全二叉树：完全二叉树是一种特殊的二叉树，除了最后一层的叶子节点可能不满，其他层的节点必须从左到右连续存在。

完全二叉树可以使用数组来表示，利用数组的下标和二叉树的节点之间的关系进行快速访问。

7.二叉树的应用：二叉树的应用非常广泛，例如在编译器中，二叉树可以表示语法树，帮助解析和生成代码；在数据库中，二叉树可以用于创建索引，提高查询效率；在计算机图形学中，二叉树可以表示3D模型的层次结构。

总结起来，二叉树是一种常用的数据结构，它有许多基本操作和遍历方法，例如插入、删除、查找和前序、中序、后序遍历。

此外，二叉树、平衡二叉树和完全二叉树都是二叉树的特殊类型，它们在不同的应用场景中有不同的优势。

二叉树的知识点总结

02
二叉树的遍历
前序遍历
总结词
根-左-右
详细描述
前序遍历按照根节点、左子树、右子树的顺序进行遍历，首先访问根节点，然后递归地执行左子树的遍历，最后递归地执行右子树的遍历。
中序遍历
总结词
左-根-右
详细描述
中序遍历按照左子树、根节点、右子树的顺序进行遍历，首先访问左子树，然后访问根节点，最后递归地执行右子树的遍历。
二叉树的知识点总结
汇报人： 202X-12-21
目录
• 二叉树的基本概念 • 二叉树的遍历 • 二叉树的构建 • 二叉树的查找操作 • 二叉树的插入和删除操作 • 二叉树的应用场景
01
二叉树的基本概念
二叉树的定义
01
二叉树是一种树形数据结构，其中每个节点最多有两个子节点，通常称为左子节点和右子节点。
插入和删除操作后，通过旋转来恢复平衡。
构建满二叉树和完全二叉树
定义
满二叉树：除叶子节点外，每个节点都有两个子节点。
完全二叉树：除最后一层外，其他各层的节点数达到最大，且最后一层从左向右连续地填入节点。
构建方法
对于满二叉树，每次插入新节点时，总是将其插入到最左或最右的空位上。
对于完全二叉树，需要按照层次顺序插入节点，从上到下、从左到右。
后序遍历
总结词
左-右-根
详细描述
后序遍历按照左子树、右子树、根节点的顺序进行遍历，首先访问左子树，然后访问右子树，最后访问根节点。
03
二叉树的构建
构建二叉搜索树
定义：二叉搜索树（BST）是一种特殊的二叉树，其中每个节点的左子树上的所有元素都小于该节点，右
子树上的所有元素都大于该节点。

第五章二叉树

树为空
树为空
根的左右子树都不空
二、二叉树的性质
第1层（根）第2层第3层
第4层
1、若层次从1开始，则第i层最多有2 i-1个结点 2、高度为h的二叉树最多有2h -1个结点 3、任何一棵二叉树，若叶子结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0 = n2 + 1
5.2.2 二叉树的性质
二叉树具有下列重要性质：性质1：在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i>=1)。
二叉树的二叉链表存储表示
Elem val(){return data;} void setVal(const Elem e){data=e;} inline BinTreeNode<Elem>* left(){return lchild;} inline BinTreeNode<Elem>* right(){return rchild;} void setLeft(BinTreeNode<Elem>* left){lchild=left;} void setRight(BinTreeNode<Elem>* right){rchild=right;} bool isLeaf()
Elem data; BinTreeNode * lchild; BinTreeNode * rchild; public:
BinTreeNode(){lchild=rchild=NULL;} BinTreeNode(Elem e,BinNodePtr*l=NULL,
BinNodePtr*r=NULL) {data=e; lchild=l; rchild=r;} ~BinTreeNode(){}
n0，度为2的结点数为n2，则n0＝n2＋1。

二叉树的存储实现和基本运算

二叉树的存储实现和基本运算二叉树是一种重要的数据结构，广泛应用于计算机科学及其它相关领域。

它由节点和边组成，节点可以存储数据，边连接节点，表示它们之间的关系。

每个节点下面最多只有两个子节点，一个被称为左子节点，一个被称为右子节点。

在本文中，我们将介绍二叉树的存储实现和基本运算，帮助大家更好地了解和运用这一重要数据结构。

二叉树的存储实现二叉树有多种不同的存储方式。

其中，较为常见的有链式存储和数组存储两种方式。

链式存储：链式存储通过指针来连接二叉树的节点，具有较好的扩展性和动态性，但是空间开销较大。

链式存储的代码实现如下：```struct TreeNode {int val;TreeNode *left;TreeNode *right;TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr),right(nullptr) {}};```数组存储：数组存储是将二叉树按照层次遍历的顺序，依次存储在一个数组中。

它的优点是空间利用率高，但是对于动态变化的二叉树，需要进行大量的数据搬移，亦不够灵活。

数组存储的代码实现如下：```const int MAX_SIZE = 1000;int tree[MAX_SIZE];```在实际运用中，我们需要根据实际情况来选择存储方式。

对于频繁地插入和删除节点的情况，链式存储可能更为适合；对于静态或者求解某些特定问题的二叉树，数组存储可能更为优秀。

二叉树的基本运算二叉树的基本运算包括创建、遍历、搜索、插入、删除、求高度等等，下面我将逐一讲解。

创建：创建一个二叉树可以通过插入节点实现。

可以从根节点开始，逐个插入左右子节点，构建一个完整的二叉树。

遍历：二叉树遍历包括前序遍历、中序遍历、后序遍历和层次遍历。

其中，前序遍历是先访问根节点，再遍历左子树和右子树；中序遍历是先遍历左子树，再访问根节点和右子树；后序遍历是先遍历左右子树，再访问根节点；层次遍历是逐层遍历树节点。

二叉树的存储结构

二叉树的存储结构二叉树是一种常见的数据结构，在计算机科学中被广泛应用。

它的存储结构有多种形式，包括顺序存储和链式存储。

下面将详细介绍这些存储结构。

1.顺序存储：顺序存储是将二叉树的节点按照从上到下、从左到右的顺序依次存储在一个数组中。

对于完全二叉树来说，这种存储方式最为简单有效，可以节省空间。

但是对于一般的二叉树，由于节点的数量不固定，会浪费一定的存储空间。

具体的存储方式可以按照如下的规则进行：-对于二叉树的第i个节点（i从1开始计数），其左子节点存储在数组中的位置为2i，右子节点存储在位置为2i+1、根节点存储在位置为1、这种存储方式可以方便地根据节点的索引计算出其子节点的索引。

- 如果一些位置没有节点，则用一个特殊的标记（如null或者0）代替。

-这种存储方式要求节点按照其中一种顺序进行填充，通常采用层序遍历的方式进行填充。

-在进行节点遍历的时候，可以根据节点的索引来判断其父节点的位置，从而方便地进行遍历。

虽然顺序存储可以节省存储空间，但是在插入和删除节点时涉及到数组元素的移动，效率比较低。

2.链式存储：链式存储是通过节点之间的引用关系来实现。

每个节点包含一个数据域和两个指针域，分别指向其左子节点和右子节点。

链式存储充分利用了指针的特性，可以方便地进行插入和删除节点的操作。

同时，链式存储可以灵活地处理任意形状的二叉树，不需要事先确定节点的数量。

具体的链式存储方式有以下几种：-树的孩子兄弟表示法：每个节点包含两个指针，一个指向其第一个子节点，另一个指向其下一个兄弟节点。

这种表示方式适用于任意形状的二叉树，但是树的操作比较复杂。

-二叉链表表示法：节点包含三个指针，一个指向其左子节点，一个指向其右子节点，另一个指向其父节点。

这种表示方式适用于二叉树，可以方便地进行遍历和操作。

-线索二叉树：在二叉链表表示法的基础上，加入了线索信息。

节点的左指针指向其前驱，右指针指向其后继。

这种方式可以方便地进行中序遍历，节省了遍历时的存储开销。

二叉树知识点总结

二叉树知识点总结二叉树是一种常见的数据结构，它由节点和边组成，每个节点最多有两个子节点。

以下是关于二叉树的知识点总结。

1. 二叉树的基本概念二叉树是一种树形结构，它由节点和边组成。

每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。

如果一个节点没有子节点，则称其为叶子节点。

二叉树可以为空。

2. 二叉树的遍历方式遍历是指按照一定顺序访问二叉树中的所有节点。

常见的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历。

前序遍历：先访问当前节点，然后递归访问左子树和右子树。

中序遍历：先递归访问左子树，然后访问当前节点，最后递归访问右子树。

后序遍历：先递归访问左子树和右子树，最后访问当前节点。

3. 二叉搜索树二叉搜索树（Binary Search Tree）也称为有序二叉树或排序二叉树。

它是一种特殊的二叉树，在满足以下条件的情况下被称为“搜索”：对于任意节点，其左子树中的所有节点的值都小于该节点的值。

对于任意节点，其右子树中的所有节点的值都大于该节点的值。

左右子树也分别为二叉搜索树。

二叉搜索树支持快速查找、插入和删除操作。

它还有一些变种，如平衡二叉搜索树（AVL Tree）和红黑树（Red-Black Tree）等。

4. 二叉堆二叉堆是一种特殊的完全二叉树，它分为最大堆和最小堆两种类型。

最大堆满足父节点的值大于等于其子节点的值，最小堆满足父节点的值小于等于其子节点的值。

在最大堆中，根节点是整个堆中最大的元素；在最小堆中，根节点是整个堆中最小的元素。

二叉堆常用来实现优先队列（Priority Queue），即按照一定优先级顺序处理元素。

5. 二叉树常见问题5.1 判断是否为平衡二叉树平衡二叉树（Balanced Binary Tree）是指任意节点左右子树高度差不超过1的二叉搜索树。

判断一个二叉搜索树是否为平衡二叉树可以通过递归遍历每个节点，计算其左右子树的高度差。

5.2 判断是否为完全二叉树完全二叉树（Complete Binary Tree）是指除了最后一层外，其他层都是满的，并且最后一层的节点都靠左排列的二叉树。

数据结构二叉树知识点总结

数据结构二叉树知识点总结二叉树是指每个节点最多有两个子节点的树结构。

它是一种重要的数据结构，在算法和程序设计中被广泛应用。

下面是对二叉树的主要知识点进行详细总结。

1.二叉树的基本概念：-树节点：树的基本单元，包含数据项（节点值）和指向其他节点的指针。

-根节点：树的第一个节点。

-叶节点（又称为终端节点）：没有子节点的节点。

-子节点：一些节点的下一级节点。

-父节点：一些节点的上一级节点。

-兄弟节点：拥有同一父节点的节点。

-深度：从根节点到当前节点的路径长度。

-高度：从当前节点到最远叶节点的路径长度。

2.二叉树的分类：-严格二叉树：每个节点要么没有子节点，要么有两个子节点。

-完全二叉树：除了最后一层外，其他层的节点数都达到最大，并且最后一层的节点依次从左到右排列。

-满二叉树：每个节点要么没有子节点，要么有两个子节点，并且所有叶节点都在同一层上。

-平衡二叉树：任意节点的两棵子树的高度差不超过13.二叉树的遍历：-前序遍历：根节点->左子树->右子树。

递归实现时，先访问当前节点，然后递归遍历左子树和右子树。

-中序遍历：左子树->根节点->右子树。

递归实现时，先递归遍历左子树，然后访问当前节点，最后递归遍历右子树。

-后序遍历：左子树->右子树->根节点。

递归实现时，先递归遍历左子树，然后递归遍历右子树，最后访问当前节点。

-层序遍历：从上到下，从左到右依次访问每个节点。

使用队列实现。

4.二叉查找树（BST）：-二叉查找树是一种有序的二叉树，对于树中的每个节点，其左子树的节点的值都小于当前节点的值，右子树的节点的值都大于当前节点的值。

-插入操作：从根节点开始，递归地比较要插入的值和当前节点的值，根据比较结果向左或向右移动，直到找到插入位置为止。

-查找操作：从根节点开始，递归地比较要查找的值和当前节点的值，根据比较结果向左或向右移动，直到找到目标节点或到叶节点。

-删除操作：有三种情况：-被删除节点是叶节点：直接将其删除。

理论基础 —— 二叉树

【二叉树的定义】（ binary tree）是 n 个结点的有限集合，该集合或为空集（空二叉树），或由一个根结点与两棵互不相二叉树（右子树的二叉树构成。

交的，称为根结点的左子树左子树、右子树二叉树的特点是：每个结点最多有两棵子树，故二叉树中不存在度大于 2 的结点二叉树是有序的，其次序不能任意颠倒，即使树中的某个结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树二叉树具有以下 5 种基本形态：【特殊的二叉树】在实际应用中，常会用到以下几种特殊的二叉树。

1.斜树右斜树左斜树，所有的结点都只有右子树的二叉树称为右斜树所有的结点都只有左子树的二叉树称为左斜树在斜树中，每层只有一个结点，因此斜树的结点个数与其深度相同2.满二叉树满二叉树。

在一棵二叉树中，若所有的分支结点都存在左子树和右子树，且所有的叶子都在同一层上，则称为满二叉树其特点是：叶子只能出现在最下一层只有度为 0、度为 2 的结点满二叉树在同样深度的二叉树中结点个数、叶结点个数最多。

由于满二叉树的特性可知：满二叉树在同样深度的二叉树中结点个数、叶结点个数最多。

3.完全二叉树对一棵具 n 个结点的二叉树按层序编号，若编号为 i 的结点与同样深度的满二叉树中编号 i 的结点在二叉树中的满二叉树是完全二叉树位置完全相同，则称为完全二叉树完全二叉树，那么显然有：满二叉树是完全二叉树其特点是：叶结点只能出现在最下两层，且最下层的叶结点都集中在二叉树左侧连续的位置若有度为 1 的结点，只可能有一个，且其只有左孩子深度为 k 的完全二叉树在 k -1 层上行一定是满二叉树简单来说，在满二叉树中，从最后一个结点开始，连续去掉任意个的结点，即是一棵完全二叉树【二叉树的性质】1.二叉树二叉树的第 i 层上行最多有个结点2.二叉树中，最多有个结点，最少有 k 个结点在一棵深度为 k 的二叉树推论：深度为 k 且具个结点的二叉树一定是满二叉树，但深度为 k 具有 k 个结点的二叉树不一定是斜树3.具有 n 个结点的二叉树二叉树，其分支数：B=n-1，对于任意一个结点，每度贡献一个分支，即：度为 0 的结点贡献 0 个分支，度为 1 的结点贡献 1 个分支，度为 2 的结点贡献 2 个分支。

二叉树的存储实现及应用1

二叉树的存储实现及应用1二叉树是一种常用的树型数据结构，它的每个节点最多只能有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。

二叉树可以用多种方法进行存储实现，包括链式存储和顺序存储。

链式存储是最常见的二叉树存储实现方法之一。

在链式存储中，每个节点都有一个指向其左子节点和右子节点的指针。

我们可以使用节点类来表示二叉树节点，并使用类的指针作为根节点，通过指针来连接各个节点。

示例如下：cppclass TreeNode {public:int data;TreeNode* left;TreeNode* right;};TreeNode* root = new TreeNode();root->data = 1;TreeNode* leftChild = new TreeNode();leftChild->data = 2;TreeNode* rightChild = new TreeNode();rightChild->data = 3;root->left = leftChild;root->right = rightChild;顺序存储是另一种常见的二叉树存储实现方法。

顺序存储通常使用数组来表示二叉树。

对于一个完全二叉树来说，可以按照从上到下、从左到右的顺序将其节点存储在数组中。

如果节点在数组中的索引为`i`，则其左子节点在索引`2i+1`处，右子节点在索引`2i+2`处。

示例如下：cppint arr[] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};int length = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);int rootIndex = 0;获取左子节点索引int leftChildIndex(int index) {return 2 * index + 1;}获取右子节点索引int rightChildIndex(int index) {return 2 * index + 2;}遍历输出二叉树void printBinaryTree() {for (int i = 0; i < length; i++) {cout << arr[i] << " ";}cout << endl;}printBinaryTree(); 输出：1 2 3 4 5 6 7二叉树的应用非常广泛，具有以下几个常见的应用场景：1. 二叉查找树：二叉查找树是一种特殊的二叉树，它的每个节点的左子节点都小于等于当前节点，右子节点都大于等于当前节点。

二叉树表示方法

二叉树表示方法二叉树数组表示在链表表示下，二叉树的存储单元为节点TreeNode，节点之间通过指针相连接。

同前面的队列或栈，二叉树同样可以使用数组来表示。

表示完美二叉树给定一棵完美二叉树，我们将所有节点按照层序遍历的顺序存储在一个数组中，则每个节点都对应唯一的数组索引。

按照层序遍历的特性，我们可以推导处父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：若某节点的索引为i，则该节点的左子节点索引为2i+1，右子节点索引为2i+2。

如图展示了各个节点索引之间的映射关系。

树的概念树形结构和线性结构最大的区别就是：线性结构是一对一的关系，而树是一对多的关系。

形如上图所示，就是一棵一般的树；而很明显我们可以看出：一棵树是n个节点组成的集合，这个集合可以是空集；若非空，则一棵树由称作根（root）的节点r 和0个或者多个非空子树T1、T2...组成；这些子树中的每一个根都被根节点r 的一条有向边（edge）所连接；对于每一棵子树根所连接的节点称作根的孩子（child），而根则是孩子的父亲（parent）；没有孩子的节点称为叶子（leaf）。

用类似的定义方法，我们可以把具有相同父节点的节点互相称为兄弟（sibling），对于父亲的兄弟可以称为叔叔（uncle），同样的我们还可以定义爷爷（grandparent）和孙子（grandchild）。

一个节点拥有子树的数量，称之为节点的度（degree）如上图中节点A的度是3而节点B的度是0；其中最大的节点的度，就是树的度；树的深度和高度：深度是从上往下数的、高度是从下往上数的，它们表示都是树的层数，如上图树的深度是3。

树的表示法1、基本存储结构树的表示法（存储结构）多样，每一种方法都是为了解决某些特定情况下的问题而使用的，不存在绝对方法！①双亲表示法如图所示，双亲表示法就是每个节点通过存储指向父节点去寻找父节点；任何一种算法脱离不开两种书写的方式，一种是顺序存储，一种是链式存储，而实现这个结构我们用顺序存储非常简单。

二叉树

二叉树的顺序存储与基本操作在计算机科学中，二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。

通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。

二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。

二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。

二叉树的第i层至多有个结点；深度为k的二叉树至多有个结点；对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为，度为2的结点数为，则。

树和二叉树的三个主要差别：1树的结点个数至少为1，而二叉树的结点个数可以为0；2树中结点的最大度数没有限制，而二叉树结点的最大度数为2；3树的结点无左、右之分，而二叉树的结点有左、右之分。

<完全二叉树和满二叉树>4满二叉树：一棵深度为k，且有个节点成为满二叉树5完全二叉树：深度为k，有n个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中序号为1至n的节点对应时，称之为完全二叉树图论中的定义二叉树在图论中是这样定义的：二叉树是一个连通的无环图，并且每一个顶点的度不大于3。

有根二叉树还要满足根结点的度不大于2。

有了根结点之后，每个顶点定义了唯一的父结点，和最多2个子结点。

然而，没有足够的信息来区分左结点和右结点。

如果不考虑连通性，允许图中有多个连通分量，这样的结构叫做森林。

二叉树(Binary Tree)的类型二叉树是一个有根树，并且每个节点最多有2个子节点。

非空的二元树，若树叶总数为n0，分支度为2的总数为n2，则n0 = n2 + 1。

一棵深度为k，且有个节点的二叉树，称为满二叉树（Full Binary Tree）。

这种树的特点是每一层上的节点数都是最大节点数。

而在一棵二叉树中，除最后一层外，若其馀层都是满的，并且最后一层或者是满的，或者是在右边缺少连续若干节点，则此二叉树为完全二叉树（CompleteBinary Tree）。

具有n个节点的完全二叉树的深度为。

二叉树ADT

ADT BinaryTree {数据对象D：D是具有相同特性的数据元素的集合。

数据关系R：（见教材p121）基本操作P：InitBiTree(&T)；操作结果：构造空二叉树T。

DestroyBiTree(&T);初始条件：二叉树T存在。

操作结果：销毁二叉树T。

CreateBiTree(&T, definition);初始条件：definition给出二叉树T的定义。

操作结果：按definition构造二叉树T。

ClearBiTree(&T);初始条件：二叉树T存在。

操作结果：将二叉树T清为空树。

BiTreeEmpty(T);初始条件：二叉树T存在。

操作结果：若T为空二叉树，则返回TRUE，否则返回FALSE。

BiTreeDepth(T);初始条件：二叉树T存在。

操作结果：返回T的深度。

Root(T);初始条件：二叉树T存在。

操作结果：返回T的根。

Value(T, e);初始条件：二叉树T存在,e是T中的某个结点。

操作结果：返回e的值。

Assign(T, &e, value);初始条件：二叉树T存在,e是T中的某个结点。

操作结果：结点e赋值为value。

Parent(T, e);初始条件：二叉树T存在,e是T中的某个结点。

操作结果：若e是T的非根结点，则返回它的双亲，否则返回"空"。

LeftChild(T, e);初始条件：二叉树T存在,e是T中的某个结点。

操作结果：返回e的左孩子。

若e无左孩子，则返回"空"。

RightChild(T, e);初始条件：二叉树T存在,e是T中的某个结点。

操作结果：返回e的右孩子。

若e无右孩子，则返回"空"。

LeftSibling(T, e);初始条件：二叉树T存在,e是T中的某个结点。

操作结果：返回e的左兄弟。

若e是T的左孩子或无左兄弟，则返回"空"。