2022高三统考数学文北师大版一轮：第八章第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程

授课提示：对应学生用书第150页

[基础梳理]

1．直线的倾斜角

(1)定义：

(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是：[0，π)．

2．

条件公式

直线的倾斜角θ，且θ≠90°k＝tan__θ

直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2) 且x1≠x2k＝y1－y2

x1－x2 3.

条件两直线位置

关系

斜率的关系

两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行

k1＝k2

k1与k2都不存在

垂直

k1k2＝－1

k1与k2一个为零、另一个不

存在

4.

名称已知条件方程适用范围

点斜式斜率k与点(x1，y1)y－y1＝k(x－

x1)

不含直线x＝x1

斜截式斜率k与直线在y轴上的

截距b

y＝kx＋b

不含垂直于x轴的

直线

两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)y－y1

y2－y1

＝

x－x1

x2－x1

不含直线x＝x1(x1＝

x2)和直线y＝y1(y1

(x 1≠x 2，y 1≠y 2) ＝y 2) 截距式

直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b x a ＋y

b ＝1(a ≠0，b ≠0) 不含垂直于坐标轴

和过原点的直线

一般式

Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0) 平面直角坐标系内

的直线都适用

5.若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1，P 2的中点M 的坐标为(x ，

y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 2

2，y ＝y 1＋y 2

2，

此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．

1．斜率与倾斜角的两个关注点

(1)倾斜角α的范围是[0，π)，斜率与倾斜角的函数关系为k ＝tan α，图像为：

(2)当倾斜角为90˚ 时，直线垂直于x 轴，斜率不存在．

2．直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件为A 1A 2＋B 1B 2＝0.

[四基自测]

1．(基础点：根据两点求斜率)过点M (－2，m )，N (m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )

A ．1

B ．4

C ．1或3 D.1或4 答案：A

2．(基础点：直线的倾斜角与斜率的关系)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B ．π3 C.2π3 D.5π6 答案：D

3．(基础点：直线的点斜式方程)已知直线l 经过点P (－2，5)，且斜率为－3

4，则直线l 的方程为________． 答案：3x ＋4y －14＝0

4．(易错点：直线的截距概念)过点(5，0)，且在两轴上的截距之差为2的直线方程为________．

答案：3x ＋5y －15＝0或7x ＋5y －35＝0

授课提示：对应学生用书第151页

考点一 直线的倾斜角与斜率

挖掘1

依据两点求斜率、倾斜角/ 自主练透

[例1] (1)(2020·常州模拟)若ab <0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________．

[解析] k PQ ＝

－1b －0

0－1a ＝a

b <0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫

π2，π.

[答案] ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2，π

(2)(2020·太原模拟)已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为________．

[解析] 如图所示，k P A ＝1＋31－2＝－4，k PB ＝1＋21＋3＝3

4

.要使直线l 与线段AB 有交点，

则有k ≥3

4或k ≤－4.

[答案] (－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭

⎪⎫

34，＋∞

挖掘2 依据直线方程求斜率、倾斜角/ 互动探究

[例2] (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭

⎪⎫

α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )

A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 D.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤π4，2π3 [解析] 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，

因为α∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

π6，π3，所以12≤cos α≤32，

因此k ＝2·cos α∈[1， 3 ]．

设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]．

又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤

π4，π3，

即倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

π4，π3.

[答案] B

(2)直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，求a 的取值范围． [解析] 当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l

的斜率为－a

a ＋1.

则有－a a ＋1>1或－a

a ＋1

<0，

解得－10.综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)．

[破题技法] 直线倾斜角与斜率的关系

(1)当α∈⎣⎢⎡

⎭⎪⎫0，π2且由0增大到π2⎝ ⎛⎭

⎪⎫α≠π2时，k 由0增大到＋∞.

(2)当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫

π2，π时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝ ⎛⎭

⎪⎫α≠π2增大到

π(α≠π)时，k 由－∞趋近于0(k ≠0)． (3)任何直线都对应着[0，π)内的唯一的一个倾斜角，但不是所有的直线都存在斜率．

考点二 求直线方程

挖掘 求直线方程的方法/ 自主练透 [例] 求适合下列条件的直线方程：

(1)求过点(2，1)且在x 轴上的截距与在y 轴上的截距之和为6的直线方程；

(2)求经过点A (－5，2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程．

[解析] (1)法一：由题意可设直线方程为x a ＋y

b ＝1. 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b

＝1，解得a ＝b ＝3，或a ＝4，b ＝2.

故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.

法二：设直线方程为y ＝kx ＋b ，则在x 轴上的截距为－b k ，所以b ＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－b k ＝6，①

又直线过点(2，1)，则2k ＋b ＝1.②

由①②得⎩⎨⎧k ＝－1，

b ＝3

或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝2.

故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0. (2)当直线不过原点时，

设所求直线方程为x 2a ＋y

a ＝1， 将(－5，2)代入所设方程，