1984年高考数学试题 - 360文档中心

1984年全国高考数学试题及其解析

1984年全国高考数学试题及其解析理工农医类试题（本试卷共八大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k 1）π，k 是整数}之间的关系是（）±（A ）X Y （B ）X Y （C ）X=Y （D ）X≠Y ⊂⊃2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（）（A ）F=0，G≠0，E≠0. （B ）E=0，F=0，G≠0. （C ）G=0，F=0，E≠0. （D ）G=0，E=0，F≠0.3.如果n 是正整数，那么的值（）)1]()1(1[812---n n （A ）一定是零（B ）一定是偶数（C ）不一定是整数（D ）是整数但不一定是偶数4.大于的充分条件是（）)arccos(x -x arccos （A ）（B ）（C ）（D ）]1,0(∈x )0,1(-∈x ]1,0[∈x ]2,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足那么（）,sin 12sin 2cosθ-=θ-θ2θ（A ）是第一象限角（B ）是第三象限角（C ）是第二象限角（D ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积2.函数在什么区间上是增函数？ )44(log 25.0++x x 3．求方程的解集 21)cos (sin 2=+x x 4．求的展开式中的常数项3)2||1|(|-+x x 5．求的值1321lim +-∞→n nn 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设画出函数y=H(x-1)的图象⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当2．画出极坐标方程的曲线)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行五．（本题满分14分）设c,d,x 为实数，c≠0，x 为未知数讨论方程在什么情况下有解有解时1log)(-=+x xd cx 求出它的解六．（本题满分16分）1．设，实系数一元二次方程有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平0≠p 022=+-q pz z 面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分）21七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为,b,c ，且c=10，a ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的34cos cos ==a b B A 最大值与最小值八．（本题满分12分）设＞2，给定数列{x n },其中x 1=,求证：a a )2,1()1(221=-=+n x x x n nn 1．);2,1(1,21=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31=+≤≤-n x a n n 那么如果3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x a n a 必有时那么当如果九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1的圆与直线L 相切于点A ，一动点P 自切点A 沿直线L 向右移动时，取弧AC 的长为直线PC 与直线AO 交于点M 又知当AP=时，点P 的速度为V 43π求这时点M 的速度文史类试题（本试卷共八道大题，满分120分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k 1）π，k 是整数}之间的关系是（）±（A ）X Y （B ）X Y （C ）X=Y （D ）X≠Y⊂⊃2.函数y=f(x)与它的反函数y=f -1(x)的图象（）（A ）关于y 轴对称（B ）关于原点对称（C ）关于直线x+y=0对称（D ）关于直线x-y=0对称3复数的三角形式是（）i 2321-（A ）（B ）（C ）（D ）)3sin()3cos(π-+π-i 3sin 3cosπ+πi 3sin 3cos π-πi 65sin3cos π+πi 4．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）（A ）一条直线不相交（B ）两条直线不相交（C ）任意一条直线都不相交（D ）无数条直线不相交5．方程x 2-79x+1=0的两根可分别作为（）（A ）一椭圆和一双曲线的离心率（B ）两抛物线的离心率（C ）一椭圆和一抛物线的离心率（D ）两椭圆的离心率二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知函数，求x 的取值范围0)32(log 5.0>-x 2．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积3．已知实数m 满足2x 2-(2i-1)x+m-i=0,求m 及x 的值4.求的值)2)(1()()2()1(lim 222--++++++∞→n n n n n n n n 5．求的展开式中x 的一次幂的系数6)12(xx -6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．画出方程y 2=-4x 的曲线2．画出函数的图象2)1(1+=x y四．（本题满分12分）已知等差数列,b,c 中的三个数都是正数，且公差不为零求证它们的倒数所组成的a 数列cb a 1,1,1五．（本题满分14分）把化成三角函数的积的形式(要求结果最简）α-β-α-422cos sin 2sin 411六．（本题满分14分）如图，经过正三棱柱底面一边AB ，作与底面成300角的平面，已知截面三角形ABD 的面积为32cm 2，求截得的三棱锥D-ABC 的体积七．（本题满分14分）某工厂1983年生产某种产品2万件，计划从1984年开始，每年的产量比上一年增长20%问从哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件（已知lg2=0.3010,lg3=0.4771)八．（本题满分15分）已知两个椭圆的方程分别是 C 1:x 2+9y 2-45=0, C 2:x 2+9y 2-6x-27=0.1．求这两个椭圆的中心、焦点的坐标2．求经过这两个椭圆的交点且与直线x-2y+11=0相切的圆的方程理工农医类参考答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)C;(2)C;(3)B;(4)A;(5)B.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.（1）（2）x ＜-2.（3）.84ππ或},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π=（4）-20 （5）0 （6）!647⋅P 三、本题考查在直角坐标系和极坐标系内画出图形的能力.解:四、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力.证明：设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a.∵α∩β=c,α∩γ=b,从而c 与b 或交于一点或互相平行.(1)若c 与b 交于一点,设c ∩b=P.由P ∈c,且c β,有P ∈β;又由P ∈b,且b γ,有P ∈γ.于是P ∈β∩γ=a.所以a,b,c 交于一点(即P 点).(2)若c ∥b,则由b γ,有c ∥γ.又由c β,且β∩γ=a,可知c ∥a.所以a,b,c 互相平行.五、本题考查对数函数的基本概念、对数方程的解法和分析问题的能力.解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4) )((3) ,0(2) ,0(1) ,01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知，所以c≠0，可得1)(=+x d cx x 2=+dcx .12cd x -=又由及x ＞0，知，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中1)(=+x d cx x 0>+xdcx 再由条件（3）及，知因此，原条件可简化为以下的等价条件组：1(=+xdcx x .1≠x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5) 1,x (1) ,02c d x 由条件（1）（6）知这个不等式仅在以下两种情形下成立：.01>-cd①c＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1;②c＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1.再由条件（1）（5）及（6）可知dc -≠1从而，当c ＞0,d ＜1且时，或者当c ＜0,d ＞1且时，原方程有解，它的解d c -≠1d c -≠1是cd x -=1六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的求法.解：1.因为p,q 为实数，，z 1,z 2为虚数，所以0≠p 0,04)2(22>><--p q q p 由z 1,z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称，所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,焦距离=2c=|z 1-z 2|=,2212212|4)(|p q z z z z -=-+长轴长=2a=.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为，21所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的，21从而左焦点F 的坐标为,23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据及两点间距离公式，可得21||=d MF 22222312(1)(2)(,9()4(2)1223x y x y -+-=-+-=即这就是所求的轨迹方程七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.解：由，运用正弦定理，有a bB A =cos cos .2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A ABB A =∴=∴=因为A≠B，所以2A=π-2B，即由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则AD+DB+EC=但上式中AD+DB=c=10，.12)6810(21=++所以内切圆半径r=EC=2.如图建立坐标系，则内切圆方程为:(x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点P 的坐标为(x,y),则2222222222222||||||(8)(6)3316121003[(2)(2)]47634476884.S PA PB PC x y x y x y x y x y x y x x x =++=-+++-++=+--+=-+--+=⨯-+=-因为P 点在内切圆上，所以，40≤≤x S 最大值=88-0=88，S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x 从而222||||||PC PB PA S ++=222222(2cos 6)(22sin )(22cos )(2sin 4)(22cos )(22sin )808cos ααααααα=-+++++-++++=-因为，所以 S 最大值=80+8=88，S 最小值=80-8=72πα20<≤八、本题考查数列的基础知识、不等式的证明和数学归纳法的运用.1．证：先证明x n ＞2(n=1,2,…）用数学归纳法由条件＞2及x 1=知不等式当n=1时成立a a 假设不等式当n=k(k≥1)时成立当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x 再由归纳假设知不等式成立，所以不等式也成立从而不等式x n ＞20)2(2>-k x 21>+k x 对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样）证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x 所以不等式x n >2(n=1,2,…）成立再证明由条件及x n >2(n=1,2,…）知).2,1(11=<+n x x nn 因此不等式也成立,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x ).2,1(11 =<+n x x nn （也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有所以）,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x ).2,1(11 =<+n x xnn 2．证一：用数学归纳法x 1=≤3知不等式当n=1时成立a 假设不等式当n=k(k≥1)时成立当n=k+1时，由条件及知2>k x 22111111112(1)(22(2)2(2)0(2)[(2)]0,22222k k k k k k k k k k k k x x x x x x x +-≤+⇔≤-+⇔-+++≤⇔--+≤再由及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式也2>k x k k x 2121+≤+成立，从而不等式对所有的正整数n 成立1212-+≤n n x 证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：由条件知再由及归纳假设可得)111(211-++=+k k k x x x 2>k x k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+3．证：先证明若这是因为.43,31<>+k k k x x x 则.431311(21)111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当时，有则由第1小题知34lg 3lgan >,31≥+k x .3121≥>>>>+n n x x x x因此，由上面证明的结论及x 1=可得a ,)43(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++ 即，这与假设矛盾所以本小题的结论成立34lg 3lgan <九、(本题不计入总分)本题考查导数概念、微分法和利用导数概念的物理意义解决实际问题的能力.解：作CD⊥AM，并设AP=x ，AM=y ，∠COD=θ由假设，AC 的长为，x AP 3232=半径OC=1，可知θ32=考虑),0(π∈x ∵△APM∽△DCM，DCDMAP AM =∴而.)43()843(2,,43])32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(222v dt dy M v dtdx x dtdx x x x x x x x x x x dt dy xx x x y x x y xy x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=--=∴=--=点的速度代入上式得时当解得文史类参考答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)C;(2)D;(3)A;(4)C;(5)A.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.（1）（2）（3）m=0,x=-..223<<x ππ84或21（4）1 （5）240 （6）!647⋅P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形解：四．（本题满分12分）证：如果成等差数列，那么cb a 1,1,1,,,1111cc b a b a b cb c b bc b a b c a b -=--=--=-得两边乘以即又因为,b,c 成等差数列，且公差不为零，所以由以上两式，可知a .0≠-=-c b b a .11ca =两边都乘以c ，得=c.a a 但由数列,b,c 的公差不为零，知≠c，这就得出矛盾a a 从而cb a 1,1,1五．（本题满分14分）六．（本题满分14分）解：因为这个三棱锥是正三棱锥，所以△ABC 是正三角形，且DC 所在直线与△ABC 所在平面垂直如图，作△ABC 的高CE ，连结DE 由三垂线定理，知DE⊥AB，所以∠DEC 是二面角α-AB-β的平面角，∠DEC=300CE=AB AB CE DE AB tg AB =⨯=︒==︒233230cos ,23602用S 截表示△ABD 的面积，则.8,2121322=∴=⋅==AB AB DE AB S 截用S 底表示△ABC 的面积，则S 底=.31643212==⋅AB CE AB ∵∠DEC=300，所以DC=4. ∴)(3364431631312cm DC S V =⨯⨯=⋅=底三棱锥七．（本题满分14分）解：设1为这家工厂1983年生产这种产品的年产量，即1=2.a a 并将这家工厂1984，1985，…年生产这种产品的年产量分别记为2,3, ….根据题意，a a 数列{n }是一个公比为1.2的等比数列，其通项公式为a 12.12-⨯=n n a 根据题意，设两边取常用对数，得122.121=⨯-n 84.1010791.07781.0112lg 23lg 2lg 2lg 23lg 12.1lg 2lg 12lg .12lg 2.1lg )1(2lg ≈+=+-+-+=+-==-+x x 因为是增函数，现x 取正整数，可知从1993年开始，这家工厂生产这种产品x y 2.12⨯=的产量超过12万台答：略八．（本题满分15分）1．解：把C 1的方程化为标准方程，得.102,5,531545:221===∴=+c b a y x C 可知椭圆C 1的中心是原点，焦点坐标分别是0,102(),0,102(-把C 2的方程化为标准方程，得.24,2,61436)3(:222===∴=+-c b a y x C 可知椭圆C 2的中心坐标是（3，0），焦点坐标分别0,243(),0,243(-+2．解一：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧-=====--+=-+,2,3,2,3,02769,04592222y x y x x y x y x 或解得所以两椭圆C 1，C 2的交点坐标是A （3，2），B （3，-2）设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.因为A ，B 两点在圆上，所以有⎩⎨⎧--===++-=+++133,0.01323,01323D F E F E D F E D 解得从而所求圆的方程为x 2+y 2+Dx-3D-13=0由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知方程28,205626006912)422(50133211(2222-===-+=+-++=--+++D D D D D x D x D Dx x x 或解得就是的判别式为即从而所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0,或x 2+y 2-28x+71=0.解二：同解一，求出两椭圆交点坐标为A （3，2），B （3，-2）所求圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上即x 轴上，因此可设圆心为（m,0)由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知点（m,0)到直线x-2y+11=0的距离等于点（m,0)与点A （3，2）之间的距离（都等于所求圆的半径），所以解得m=-1,或m=14.01413:,2)3(41|11|222=--+-=++m m m m 化简得整理当m=-1时，圆的半径，所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0;52=r 当m=14时，圆的半径，所求圆的方程是x 2+y 2-28x+71=0.55=r。

1984年全国统一高考数学试卷(理科)

1984年全国统一高考数学试卷（理科)一、选择题（共5小题，每小题3分,满分15分)1．（3分）数集X={（2n+1）π，n是整数｝与数集Y={（4k±1）π,k是整数｝之间的关系是（）A．X⊂Y B．X⊃Y C．X=Y D．X≠Y2．（3分）如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么(）A．F=0，G≠0，E≠0 B．E=0，F=0，G≠0 C．G=0，F=0，E≠0D．G=0,E=0,F≠03．（3分)如果n是正整数，那么的值（）A．一定是零B．一定是偶数C．是整数但不一定是偶数D．不一定是整数4．（3分）arccos（﹣x)大于arccosx的充分条件是(）A．x∈（0，1]B．x∈（﹣1,0）C．x∈[0，1］D．5．(3分）如果θ是第二象限角,且满足,那么()A．是第一象限角B．是第三象限角C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角D．是第二象限角二、解答题（共15小题，满90分）6．（4分）已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积．7．（4分）函数log0。

5（x2+4x+4）在什么区间上是增函数？8．（4分）求方程的解集．9．(4分）求式子(|x|+﹣2）3的展开式中的常数项．10．（4分)求的值．11．（4分）要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）．13．（6分）画出极坐标方程的曲线．14．（12分)已知三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行．15．（12分）设c，d,x为实数，c≠0，x为未知数，讨论方程在什么情况下有解，有解时求出它的解．16．（12分）设p≠0，实系数一元二次方程z2﹣2pz+q=0有两个虚数根z1，z2、再设z1，z2在复平面内的对应点是Z1，Z2，求以Z1,Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长．17．（9分）求经过定点M(1，2），以y轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程．18．（12分）在△ABC中,∠A，∠B,∠C所对的边分别为a，b，c，且c=10，，P为△ABC 的内切圆上的动点，求点P到顶点A，B,C的距离的平方和的最大值与最小值．19．(12分）设a＞2，给定数列｛x n},其中x1=a，求证：（1）x n＞2，且；（2)如果a≤3，那么．20．如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A,一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M．又知当AP=时，点P的速度为v，求这时点M的速度．1984年全国统一高考数学试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题(共5小题，每小题3分,满分15分）1．（3分）数集X=｛（2n+1）π，n是整数}与数集Y=｛（4k±1）π，k是整数}之间的关系是（）A．X⊂Y B．X⊃Y C．X=Y D．X≠Y解答：解：∵数集X={(2n+1）π，n是整数｝∴其中的元素是π的奇数倍．∵数集Y=｛（4k±1）π，k是整数}∴其中的元素也是π的奇数倍．∴它们之间的关系是X=Y．故选C．点评: 本题主要考查集合的相等等基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间相等的关系,必须对集合的相关概念有深刻的理解,善于抓住代表元素,认清集合的特征．2．（3分）如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么（）A．F=0，G≠0,E≠0 B．E=0，F=0，G≠0 C．G=0,F=0,E≠0 D．G=0，E=0，F≠0考点：圆的一般方程．分析: 圆与x轴相切于原点，则圆心在y轴上，G=0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径,F=0，E≠0解答: 解:圆与x轴相切于原点,则圆心在y轴上，G=0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径,F=0，E≠0．故选C．点评: 本题考查圆的一般式方程，直线与圆的位置关系，是基础题．3．（3分)如果n是正整数，那么的值(）A．一定是零B．一定是偶数C．是整数但不一定是偶数D．不一定是整数考点: 进行简单的合情推理．专题：分类讨论．分析：这是一个简单的合情推理问题，我们可以对n的取值进行分类讨论，并加以简单的证明，不难得到正确的答案．解答：解：∵n是正整数①当为为奇数时，n2﹣1必为8的整数倍，不妨令n2﹣1=8Z，Z∈N＊则=2Z，Z∈N＊即此时的值为偶数．②当为为偶数时，1﹣（﹣1）n=0则=0故的值一定是偶数故选B点评：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新"而不“难”，处理的方法一般为:根据新运算的定义,将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．4．（3分）arccos（﹣x）大于arccosx的充分条件是(）A．x∈（0，1]B．x∈（﹣1，0）C．x∈［0，1］D．专题: 计算题；压轴题；分类讨论;转化思想．分析：充分考虑arccosx的范围，推出arccos（﹣x)的范围，然后确定arccos（﹣x）大于arccosx的充分条件解答: 解:∵arccosx∈［0，π]，（1）arccosx∈[0,）时，x∈∈（0，1］，arccos（﹣x）∈（，π]＞arccosx，（2)arccosx∈（，π］时，x∈[﹣1，0），arccos（﹣x）∈[0，）＜arccosx，（3）arccosx=时x=0，arccosx==arccos（﹣x）,故选A．点评：本题考查反三角函数的运用,考查分类讨论的思想,是基础题．5．（3分）如果θ是第二象限角，且满足，那么（)A．是第一象限角B．是第三象限角C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角D．是第二象限角考点：半角的三角函数．专题: 计算题；压轴题．分析：先根据θ的范围确定的范围，再由可确定的大小关系，进而确定的象限．解答：解：∵θ是第二象限角∴∴（k∈Z）∴当k为偶数时,在第一象限；当k为奇数时,在第三象限;∵==∴∴是第三象限角故选B．点评：本题主要考查象限角和二倍角公式以及同角三角函数的基本关系．属基础题．二、解答题(共15小题，满90分）6．（4分）已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；分类讨论．分析：圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，可以有两种形式的圆柱的展开图，分别求出底面半径和高，分别求出体积．解答: 解：圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，当母线为2时，圆柱的底面半径是，此时圆柱的体积是综上所求圆柱的体积是:或．点评：本题考查圆柱的侧面展开图，圆柱的体积，是基础题．容易疏忽一种情况．7．（4分）函数log0。

1984高考数学试卷

1984高考数学试卷一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共45分）1. 数集X = { (2n + 1)π,n∈ Z}与数集Y={ (4k±1)π,k∈ Z}之间的关系是（）A. X⊂ YB. X⊃ YC. X = YD. X≠ Y2. 如果圆x^2+y^2+Gx + Ey+F = 0与x轴相切于原点，那么（）A. F = 0，G≠0，E≠0B. E = 0，F = 0，G≠0C. G = 0，F = 0，E≠0D. G = 0，E = 0，F≠03. 如果n是正整数，那么(1)/(8)[1 - (- 1)^n](n^2-1)的值（）A. 一定是零。

B. 一定是偶数。

C. 是整数但不一定是偶数。

D. 不一定是整数。

4. arccos(-x)大于arccosx的充要条件是（）A. x∈(0,1]B. x∈(- 1,0)C. x∈[0,1]D. x∈[0,(π)/(2)]5. 如果θ是第二象限角，且满足cos(θ)/(2)-sin(θ)/(2)=√(1 - sinθ)，那么(θ)/(2)（）A. 是第一象限角。

B. 是第三象限角。

C. 可能是第一象限角，也可能是第三象限角。

D. 是第二象限角。

6. 已知集合E = { θcosθ，F = { θtanθ，那么E∩ F为区间（）A. ((π)/(2),π)B. ((π)/(4),(3π)/(4))C. (π,(3π)/(2))D. ((3π)/(4),(5π)/(4))7. 设椭圆方程为x^2+frac{y^2}{4}=1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B，O 是坐标原点，点P满足→OP=(1)/(2)(→OA+→OB)，当l绕点M旋转时，则点P的轨迹方程是（）A. 4x^2+y^2-y = 0B. x^2+4y^2-y = 0C. 2x^2+y^2-y = 0D. x^2+2y^2-y = 08. 设a,b是两个实数，且a≠ b，a + b = 2，则有（）A. 1B. ab<1C. abD. frac{a^2+b^2}{2}9. 在ABC中，sin A=(3)/(5)，cos B=(5)/(13)，则cos C的值为（）A. (16)/(65)或(56)/(65)B. (16)/(65)C. (56)/(65)D. -(16)/(65)10. 设a,b是正整数，且满足56≤slant a + b≤slant59，0.9<(a)/(b)<0.91，则b^2-a^2等于（）A. 171.B. 177.C. 180.D. 182.11. 设S_n是等差数列{ a_n}的前n项和，已知S_6=36，S_n=324，S_n - 6=144，则n等于（）A. 15.B. 16.C. 17.D. 18.12. 函数y = cos^4x-sin^4x的最小正周期是（）A. πB. 2πC. (π)/(2)D. 4π13. 已知a>0，a≠1，y = a^x，y = log_ax的图象如图所示，则下列结论正确的是（）（此处可根据需要插入图象相关描述或者简单画个草图示意曲线位置关系等）A. a>1，m>1，n>0B. a>1，m<1，n>0C. 0，m>1，n<0D. 0，m<1，n<014. 设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数，对一切x∈ R均有f(x)+f(x + 2)=0，当-1时，f(x)=2x - 1，则当1时，f(x)的表达式为（）A. 2x - 5B. -2x + 3C. 2x - 3D. -2x + 515. 设a,b是两个非零向量，则| a + b|=| a - b|的充要条件是（）A. a⊥ bB. | a|=| b|C. a∥ bD. a与b的夹角为(π)/(3)二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）1. 计算limlimits_n→∞(1 - 2 + 3 - 4+·s+(2n - 1)-2n)/(n + 1)=_ - 1。

1984年高考数学题

选择题：1. 在平面直角坐标系中，过点(2,6)的直线方程是：A. y = -3x + 12B. y = 2x + 4C. y = 3x - 6D. y = -2x + 82. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值是：A. -9B. -11C. -13D. -153. 若sinθ = 1/2，且θ为锐角，那么θ的值是：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4. 设直线l1过点A(2,3)，且斜率为1/2；直线l2垂直于l1，过点B(4,5)，则直线l2的斜率为：A. -2B. -1/2C. 2D. 1/25. 已知函数y = 3x^2 + bx + 2与x轴交于两个点，且这两个点之间的距离是9，那么b的值是：A. -6B. 0C. 6D. 9填空题：1. 解方程2x + 5 = 17，得到的解为x = ______。

2. 若对任意实数x，f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求f(3)的值是______。

3. "股票涨幅"定义为股票现价减去股票买入价格的差值，若股票买入价格是240元，涨幅是80元，则股票的现价是______ 元。

4. 已知点A(3,5)和点B(9,10)是直线y = kx - 1上的两个点，那么k的值是______。

5. 设函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求f(2)的值是______。

应用题：1. 一个质量为2kg的物体在空中以20m/s的速度向上抛出，假设重力加速度为10m/s^2，求它达到最高点时的高度。

2. 一家公司为了购买一批产品，需要向银行贷款100万元，年利率为5%，假设贷款需要2年还清，那么2年后需要还给银行的金额是多少？3. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了4小时后停下来，然后以每小时40公里的速度行驶了2小时，最后以每小时30公里的速度行驶了3小时。

1984年高考数学全国卷(理科)及其参考答案

1984年高考数学全国卷（理科)及其参考答案（这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分)一．（本题满分15分）本题共有5小题,每小题都给出代号为A ，B ，C,D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分；不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={(2n+1）π，n 是整数}与数集Y={(4k ±1）π，k 是整数｝之间的关系是（ C ）（A ）X ⊂Y (B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D)X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么( C ） (A ）F=0,G ≠0,E ≠0。

（B)E=0,F=0,G ≠0。

（C ）G=0，F=0，E ≠0. (D ）G=0，E=0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值（ B ）（A ）一定是零 (B ）一定是偶数（C ）是整数但不一定是偶数 (D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是（ A ）（A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x（C ）]1,0[∈x （D)]2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θ（A ）是第一象限角（B ）是第三象限角（ B ) （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题,每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：.84ππ或2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？答：x ＜—2.3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π= 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项答:—205．求1321lim +-∞→n nn 的值答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法(只要求写出式子，不必计算）答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y=H （x —1)的图象2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线解:四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行证：设三个平面为α,β，γ,且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α.,,,α⊂α⊂∴=γ⋂α=β⋂αb c b c从而c 与b 或交于一点或互相平行1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由a P Pb b P =γ⋂β∈γ∈γ⊂∈于是有又由.,,∴所以a ,b,c 交于一点(即P 点）2。

1984年全国高考数学试题及其解析

1984年全国高考数学试题及其解析理工农医类试题（本试卷共八大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k 1）π，k 是整数}之间的关系是（）±（A ）X Y （B ）X Y （C ）X=Y （D ）X≠Y⊂⊃2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（）（A ）F=0，G≠0，E≠0. （B ）E=0，F=0，G≠0.（C ）G=0，F=0，E≠0. （D ）G=0，E=0，F≠0.3.如果n 是正整数，那么的值（）)1]()1(1[812---n n（A ）一定是零（B ）一定是偶数（C ）不一定是整数（D ）是整数但不一定是偶数4.大于的充分条件是（）)arccos(x -x arccos （A ）（B ）（C ）（D ）]1,0(∈x )0,1(-∈x ]1,0[∈x ]2,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足那么（）,sin 12sin 2cosθ-=θ-θ2θ（A ）是第一象限角（B ）是第三象限角（C ）是第二象限角（D ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积2.函数在什么区间上是增函数？)44(log 25.0++x x 3．求方程的解集 21)cos (sin 2=+x x 4．求的展开式中的常数项3)2||1|(|-+x x 5．求的值1321lim +-∞→n nn 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设画出函数y=H(x-1)的图象⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当2．画出极坐标方程的曲线)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行五．（本题满分14分）设c,d,x 为实数，c≠0，x 为未知数讨论方程在什么情况下有解有解时1log)(-=+x xdcx 求出它的解六．（本题满分16分）1．设，实系数一元二次方程有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平0≠p 022=+-q pz z 面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分）21七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为,b,c ，且c=10，a ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的34cos cos ==a b B A 最大值与最小值八．（本题满分12分）设＞2，给定数列{x n },其中x 1=,求证：a a )2,1()1(221=-=+n x x x n nn 1．);2,1(1,21=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31=+≤≤-n x a n n 那么如果3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x a n a 必有时那么当如果九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1的圆与直线L 相切于点A ，一动点P 自切点A 沿直线L 向右移动时，取弧AC 的长为直线PC 与直线AO 交于点M 又知当AP=时，点P 的速度为V43π求这时点M 的速度文史类试题（本试卷共八道大题，满分120分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k 1）π，k 是整数}之间的关系是（）±（A ）X Y （B ）X Y （C ）X=Y （D ）X≠Y⊂⊃2.函数y=f(x)与它的反函数y=f -1(x)的图象（）（A ）关于y 轴对称（B ）关于原点对称（C ）关于直线x+y=0对称（D ）关于直线x-y=0对称3复数的三角形式是（）i 2321-（A ）（B ）（C ）（D ）)3sin()3cos(π-+π-i 3sin 3cosπ+πi 3sin 3cos π-πi 65sin3cos π+πi 4．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）（A ）一条直线不相交（B ）两条直线不相交（C ）任意一条直线都不相交（D ）无数条直线不相交5．方程x 2-79x+1=0的两根可分别作为（）（A ）一椭圆和一双曲线的离心率（B ）两抛物线的离心率（C ）一椭圆和一抛物线的离心率（D ）两椭圆的离心率二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知函数，求x 的取值范围0)32(log 5.0>-x 2．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积3．已知实数m 满足2x 2-(2i-1)x+m-i=0,求m 及x 的值4.求的值)2)(1()()2()1(lim 222--++++++∞→n n n n n n n n 5．求的展开式中x 的一次幂的系数6)12(xx -6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．画出方程y 2=-4x 的曲线2．画出函数的图象2)1(1+=x y四．（本题满分12分）已知等差数列,b,c 中的三个数都是正数，且公差不为零求证它们的倒数所组成的a 数列cb a 1,1,1五．（本题满分14分）把化成三角函数的积的形式(要求结果最简）α-β-α-422cos sin 2sin 411六．（本题满分14分）如图，经过正三棱柱底面一边AB ，作与底面成300角的平面，已知截面三角形ABD 的面积为32cm 2，求截得的三棱锥D-ABC 的体积七．（本题满分14分）某工厂1983年生产某种产品2万件，计划从1984年开始，每年的产量比上一年增长20%问从哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件（已知lg2=0.3010,lg3=0.4771)八．（本题满分15分）已知两个椭圆的方程分别是 C 1:x 2+9y 2-45=0, C 2:x 2+9y 2-6x-27=0.1．求这两个椭圆的中心、焦点的坐标2．求经过这两个椭圆的交点且与直线x-2y+11=0相切的圆的方程理工农医类参考答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)C;(2)C;(3)B;(4)A;(5)B.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.（1）（2）x ＜-2.（3）.84ππ或},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π=（4）-20 （5）0 （6）!647⋅P 三、本题考查在直角坐标系和极坐标系内画出图形的能力.解:四、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力.证明：设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a.∵α∩β=c,α∩γ=b,从而c 与b 或交于一点或互相平行.(1)若c 与b 交于一点,设c ∩b=P.由P ∈c,且c β,有P ∈β;又由P ∈b,且b γ,有P ∈γ.于是P ∈β∩γ=a.所以a,b,c 交于一点(即P 点).(2)若c ∥b,则由b γ,有c ∥γ.又由c β,且β∩γ=a,可知c ∥a.所以a,b,c 互相平行.五、本题考查对数函数的基本概念、对数方程的解法和分析问题的能力.解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4) )((3) ,0(2) ,0(1),01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知，所以c≠0，可得1)(=+x d cx x 2=+dcx .12cd x -=又由及x ＞0，知，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中1)(=+x d cx x 0>+xdcx 再由条件（3）及，知因此，原条件可简化为以下的等价条件组：1(=+xdcx x .1≠x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5) 1,x (1) ,02c d x 由条件（1）（6）知这个不等式仅在以下两种情形下成立：.01>-cd①c＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1;②c＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1.再由条件（1）（5）及（6）可知dc -≠1从而，当c ＞0,d ＜1且时，或者当c ＜0,d ＞1且时，原方程有解，它的解d c -≠1d c -≠1是cd x -=1六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的求法.解：1.因为p,q 为实数，，z 1,z 2为虚数，所以0≠p 0,04)2(22>><--p q q p 由z 1,z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称，所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,焦距离=2c=|z 1-z 2|=,2212212|4)(|p q z z z z -=-+长轴长=2a=.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为，21所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的，21从而左焦点F 的坐标为,23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据及两点间距离公式，可得21||=d MF 22222312(1)(2)(,9()4(2)1223x y x y -+-=-+-=即这就是所求的轨迹方程七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.解：由，运用正弦定理，有a bB A =cos cos .2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A ABB A =∴=∴=因为A≠B，所以2A=π-2B，即由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则AD+DB+EC=但上式中AD+DB=c=10，.12)6810(21=++所以内切圆半径r=EC=2.如图建立坐标系，则内切圆方程为:(x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点P 的坐标为(x,y),则2222222222222||||||(8)(6)3316121003[(2)(2)]47634476884.S PA PB PC x y x y x y x y x y x y x x x =++=-+++-++=+--+=-+--+=⨯-+=-因为P 点在内切圆上，所以，40≤≤x S 最大值=88-0=88，S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x 从而222||||||PC PB PA S ++=222222(2cos 6)(22sin )(22cos )(2sin 4)(22cos )(22sin )808cos ααααααα=-+++++-++++=-因为，所以 S 最大值=80+8=88，S 最小值=80-8=72πα20<≤八、本题考查数列的基础知识、不等式的证明和数学归纳法的运用.1．证：先证明x n ＞2(n=1,2,…）用数学归纳法由条件＞2及x 1=知不等式当n=1时成立a a 假设不等式当n=k(k≥1)时成立当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x 再由归纳假设知不等式成立，所以不等式也成立从而不等式x n ＞20)2(2>-k x 21>+k x 对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样）证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x 所以不等式x n >2(n=1,2,…）成立再证明由条件及x n >2(n=1,2,…）知).2,1(11=<+n x x nn 因此不等式也成立,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x ).2,1(11 =<+n x x nn （也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有所以）,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x ).2,1(11 =<+n x xnn 2．证一：用数学归纳法x 1=≤3知不等式当n=1时成立a 假设不等式当n=k(k≥1)时成立当n=k+1时，由条件及知2>k x 22111111112(1)(22(2)2(2)0(2)[(2)]0,22222k k k k k k k k k k k k x x x x x x x +-≤+⇔≤-+⇔-+++≤⇔--+≤再由及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式也2>k x k k x 2121+≤+成立，从而不等式对所有的正整数n 成立1212-+≤n n x 证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：由条件知再由及归纳假设可得)111(211-++=+k k k x x x 2>k x k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+3．证：先证明若这是因为.43,31<>+k k k x x x 则.431311(21)111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当时，有则由第1小题知34lg 3lgan >,31≥+k x .3121≥>>>>+n n x x x x因此，由上面证明的结论及x 1=可得a ,)43(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++ 即，这与假设矛盾所以本小题的结论成立34lg 3lgan <九、(本题不计入总分)本题考查导数概念、微分法和利用导数概念的物理意义解决实际问题的能力.解：作CD⊥AM，并设AP=x ，AM=y ，∠COD=θ由假设，AC 的长为，x AP 3232=半径OC=1，可知θ32=考虑),0(π∈x ∵△APM∽△DCM，DCDMAP AM =∴而.)43()843(2,,43])32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(222v dt dy M v dtdx x dtdx x x x x x x x x x x dt dy xx x x y x x y xy x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=--=∴=--=点的速度代入上式得时当解得文史类参考答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)C;(2)D;(3)A;(4)C;(5)A.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.（1）（2）（3）m=0,x=-..223<<x ππ84或21（4）1 （5）240 （6）!647⋅P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形解：四．（本题满分12分）证：如果成等差数列，那么cb a 1,1,1,,,1111cc b a b a b cb c b bc b a b c a b -=--=--=-得两边乘以即又因为,b,c 成等差数列，且公差不为零，所以由以上两式，可知a .0≠-=-c b b a .11ca =两边都乘以c ，得=c.a a 但由数列,b,c 的公差不为零，知≠c，这就得出矛盾a a 从而cb a 1,1,1五．（本题满分14分）六．（本题满分14分）解：因为这个三棱锥是正三棱锥，所以△ABC 是正三角形，且DC 所在直线与△ABC 所在平面垂直如图，作△ABC 的高CE ，连结DE 由三垂线定理，知DE⊥AB，所以∠DEC 是二面角α-AB-β的平面角，∠DEC=300CE=AB AB CE DE AB tg AB =⨯=︒==︒233230cos ,23602用S 截表示△ABD 的面积，则.8,2121322=∴=⋅==AB AB DE AB S 截用S 底表示△ABC 的面积，则S 底=.31643212==⋅AB CE AB ∵∠DEC=300，所以DC=4. ∴)(3364431631312cm DC S V =⨯⨯=⋅=底三棱锥七．（本题满分14分）解：设1为这家工厂1983年生产这种产品的年产量，即1=2.a a 并将这家工厂1984，1985，…年生产这种产品的年产量分别记为2,3, ….根据题意，a a 数列{n }是一个公比为1.2的等比数列，其通项公式为a 12.12-⨯=n n a 根据题意，设两边取常用对数，得122.121=⨯-n 84.1010791.07781.0112lg 23lg 2lg 2lg 23lg 12.1lg 2lg 12lg .12lg 2.1lg )1(2lg ≈+=+-+-+=+-==-+x x 因为是增函数，现x 取正整数，可知从1993年开始，这家工厂生产这种产品x y 2.12⨯=的产量超过12万台答：略八．（本题满分15分）1．解：把C 1的方程化为标准方程，得.102,5,531545:221===∴=+c b a y x C 可知椭圆C 1的中心是原点，焦点坐标分别是0,102(),0,102(-把C 2的方程化为标准方程，得.24,2,61436)3(:222===∴=+-c b a y x C 可知椭圆C 2的中心坐标是（3，0），焦点坐标分别0,243(),0,243(-+2．解一：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧-=====--+=-+,2,3,2,3,02769,04592222y x y x x y x y x 或解得所以两椭圆C 1，C 2的交点坐标是A （3，2），B （3，-2）设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.因为A ，B 两点在圆上，所以有⎩⎨⎧--===++-=+++133,0.01323,01323D F E F E D F E D 解得从而所求圆的方程为x 2+y 2+Dx-3D-13=0由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知方程28,205626006912)422(50133211(2222-===-+=+-++=--+++D D D D D x D x D Dx x x 或解得就是的判别式为即从而所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0,或x 2+y 2-28x+71=0.解二：同解一，求出两椭圆交点坐标为A （3，2），B （3，-2）所求圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上即x 轴上，因此可设圆心为（m,0)由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知点（m,0)到直线x-2y+11=0的距离等于点（m,0)与点A （3，2）之间的距离（都等于所求圆的半径），所以解得m=-1,或m=14.01413:,2)3(41|11|222=--+-=++m m m m 化简得整理当m=-1时，圆的半径，所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0;52=r 当m=14时，圆的半径，所求圆的方程是x 2+y 2-28x+71=0.55=r。

1984年全国高考数学试题及答案解析

1984年全国高考数学试题及答案解析(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)数集X={(2n+1)π,n是整数}与数集Y={(4k±1)π,k是整数}之间的关系是(C)X=Y(D)X≠Y【】[Key] 一、本题考查基本概念和基本运算.(1)C;(2)如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点,那么(A)F=0,G≠0,E≠0(B)E=0,F=0,G≠0(C)G=0,F=0,E≠0(D)G=0,E=0,F≠0【】[Key] (2)C;(A)一定是零(B)一定是偶数(C)是整数但不一定是偶数(D)不一定是整数【】[Key] (3)B;(4)arccos(-x)大于arccosx的充要条件是(A)x∈(0,1](B)x∈(-1,0)【】[Key] (4)A;(A)是第一象限角(B)是第三象限角(C)可能是第一象限角,也可能是第三象限角(D)是第二象限角【】[Key] (5)B.二、只要求直接写出结果.(1)已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形,求圆柱的体积.(2)函数log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数?(6)要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少种不同的排法(只要求写出式子,不必计算).[Key] 二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.(2)x<-2;(4)-20;(5)0;三、本题只要求画出图形.[Key] 三、本题考查在直角坐标系和极坐标系内画出图形的能力.解:四、已知三个平面两两相交,有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平行.[Key] 四、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力.证明：设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a.∵α∩β=c,α∩γ=b,从而c与b或交于一点或互相平行.(1)若c与b交于一点,设c∩b=P.由P∈c,且cβ,有P∈β;又由P∈b,且bγ,有P∈γ.于是P∈β∩γ=a.所以a,b,c交于一点(即P点).(2)若c∥b,则由bγ,有c∥γ.又由cβ,且β∩γ=a,可知c∥a.所以a,b,c互相平行.[Key] 五、本题考查对数函数的基本概念、对数方程的解法和分析问题的能力.解法一:由原对数方程得cx2+d=1.这个不等式仅在以下两种情形下成立:①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.解法二:原对数方程有解的充要条件是:(1)x>0,cx2+d=1.因此,条件组(1)(4)可简化为以下的等价条件组:(1)x>0,(5)x≠1,这个不等式仅在以下两种情形下成立:①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.再由条件(1),(5)及(6),可知c≠1-d.六、(1)设p≠0,实系数一元二次方程z2-2pz+q=0有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是z1,z2.求以z1,z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.[Key] 六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的求法.(1)解法一:因为p,q为实数,p≠0,z1,z2为虚数,所以(-2p)2-4q<0,q>p2>0.由z1,z2为共轭虚数,知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.根据椭圆的性质,复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系,可得椭圆的短轴长=2b=│z1+z2│=│2p│=2│p│,解法二:同解法一,得q>p2>0.根据实系数一元二次方程的求根公式,得可知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.根据椭圆的性质和复数的几何意义,可得椭圆的注:也可利用椭圆长半轴的长等于短轴上的顶点到焦点的距离,直接得出(2)解:因为椭圆经过点M(1,2),且以y轴为准线,所以椭圆在y轴右侧,长轴平行于x轴.即这就是所求的轨迹方程.[Key] 七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.a=6,b=8.如图,设△ABC的内切圆圆心为O′,切点分别为D,E,F,则如图建立坐标系,则内切圆方程为(x-2)2+(y-2)2=4.设圆上动点P的坐标为(x,y),则因为P点在内切圆上,所以0≤x≤4.于是S最大值=88-0=88,S最小值=88-16=72.解法二:同解法一,得△ABC是直角三角形,且r=2.内切圆的参数方程为所以圆上动点P的坐标为(2+2cosα,2+2sinα).从而因为0≤α≤2π,所以S最大值=80+8=88,S最小值=80-8=72.[Key] 八、本题考查数列的基础知识、不等式的证明和数学归纳法的运用.(1)证明:先证明x n>2(n=1,2,…).用数学归纳法.由条件α>2及x1=α知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,因为由条件及归纳假设知再由归纳假设知不等式(x k-2)2>0成立,所以不等式x k+1>2也成立.从而不等式x n>2对于所有的正整数n成立.数学归纳法的第二个步骤也可以这样证:所以不等式x n>2(n=1,2,…)成立.也可以这样证:对所有正整数n有还可以这样证:由于对所有正整数n有(2)证法一:用数学归纳法.由条件x1=α≤3知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,由条件及x k>2知证法二:用数学归纳法.证不等式当n=k+1时成立用以下证法.由条件知再由x k>2及归纳假设可得x1>x2>…>x n>x n+1≥3.因此,由上面证明的结论及x1=α可得若x n≤3,则由第(1)小题可知x n+1<x n,从而有x n+1<3.若x n>3,则由第(1)小题可知x1>x2>…>x n>3.由此式及上面证明的结论,可得九、附加题,不计入总分.如图,已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A,一动点P自切点A沿直线l向右移动时,取弧的长为,直线PC与直线[Key] 九、(本题不计入总分)本题考查导数概念、微分法和利用导数概念的物理意义解决实际问题的能力.解得。

1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案

1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案（这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是（ C ）（A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（ C ）（A ）F=0，G ≠0，E ≠0. （B ）E=0，F=0，G ≠0. （C ）G=0，F=0，E ≠0. （D ）G=0，E=0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值（ B ）（A ）一定是零（B ）一定是偶数（C ）是整数但不一定是偶数（D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是（ A ）（A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x（C ）]1,0[∈x （D ）]2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θ（A ）是第一象限角（B ）是第三象限角（ B ）（C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：.84ππ或2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？答：x ＜-2.3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π= 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项答：-205．求1321lim +-∞→n nn 的值答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y=H(x-1)的图象2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线解：四．（本题满分12分）已知三个平面一点或互相平行证：设三个平面为α，β，γ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α从而c 与b 或交于一点或互相平行1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由 ∴所以a ,b,c 交于一点（即P 点）2.若c ∥b,则由ac c b ,.//,且又由有=γ⋂ββ⊂γγ⊂所以a ,b,c 互相平行五．（本题满分14分）设c,d,x 为实数，c ≠0，x 为未知数讨论方程1log)(-=+x xdcx 在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是：由条件（4）知1)(=+xd cx x ，所以2=+d cx 再由c ≠0，可得又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中2． O 1 2 X 1．Pb αβ γ cb α β γ c再由条件（3）及1)(=+xd cx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立： ①c ＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1; ②c ＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1. 再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1从而，当c ＞0,d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0,d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是x =六．（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分）解：1.因为p,q 为实数，0≠p ，z 1,z 2为虚数，所以由z 1,z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称，所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,焦距离=2c=|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+,长轴长=2a=.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为21，所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21，从而左焦点F 的坐标为,23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据21||=d MF 及两点间距离公式，可得这就是所求的轨迹方程七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ,b,c ，且c=10，34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值解：由abB A =cos cos ，运用正弦定理，有因为A ≠B ，所以2A=π-2B ，即A+B=2由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则 AD+DB+EC=.12)6810(21=++但上式中AD+DB=c=10，所以内切圆半径r=EC=2. 如图建立坐标系，则内切圆方程为:YB （0，6） D E O ＇ P （x,y) X OC （0，0） A （8，0）(x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点P 的坐标为(x,y),则.48876443764])2()2[(3100121633)6()8(||||||2222222222222x x x y x y x y x y x y x y x PC PB PA S -=+-⨯=+--+-=+--+=++-+++-=++=因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ， S 最大值=88-0=88， S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为从而222||||||PC PB PA S ++= 因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88， S 最小值=80-8=72八．（本题满分12分）设a ＞2，给定数列{x n },其中x 1=a ,)2,1()1(221 =-=+n x x x n nn 求证： 1．);2,1(1,21=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31 =+≤≤-n x a n n 那么如果 3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x a n a 必有时那么当如果1．证：先证明x n ＞2(n=1,2,…）用数学归纳法由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样证：所以不等式x n >2(n=1,2,…）成立再证明).2,1(11=<+n x x nn 由条件及x n >2(n=1,2,…）知 ,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x 因此不等式).2,1(11 =<+n x xnn 也成立（也可这样证：对所有正整数n 有还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11 =<+n x xnn ）2．证一：用数学归纳法由条件x 1=a ≤3知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，由条件及2>k x 知再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式k k x 2121+≤+也成立，从而不等式1212-+≤n n x 对所有的正整数n 成立证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：由条件知)111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得 3．证：先证明若.43,31<>+k k k x x x 则这是因为然后用反证法若当34lg3lgan>时，有,31≥+kx则由第1小题知因此，由上面证明的结论及x1=a可得即34lg3lgan<，这与假设矛盾所以本小题的结论成立九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O、半径为1A，一动点P自切点A沿直线L向右移动时，取弧AC的长为AP32，直线PC与直线AO交于点M又知当AP=43π时，点P的速度为V求这时点M的速度解：作CD⊥AM，并设AP=x，，∠COD=θ由假设，AC的长为xAP3232=，半径OC=1，可知θ32=考虑),0(π∈x∵△APM∽△DCM，DCDMAPAM=∴MO 1D θ CA P L而.)43()843(2,,43])32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(222v dt dy M v dtdx x dtdx x x x x x x x x x x dt dy xx x x y x x y xy x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=--=∴=--=点的速度代入上式得时当解得（有资料表明八四年试题为历年来最难的一次）。

1984年高考数学试题(全国理)及答案[1]

1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分 1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是（ C ）（A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（ C ）（A ）F=0，G ≠0，E ≠0. （B ）E=0，F=0，G ≠0. （C ）G=0，F=0，E ≠0. （D ）G=0，E=0，F ≠0.3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值（ B ）（A ）一定是零（B ）一定是偶数（C ）是整数但不一定是偶数（D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是（ A ）（A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）]2,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cosθ-=θ-θ那么2θ（ B ）（A ）是第一象限角（B ）是第三象限角（C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果） 1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：.84ππ或 2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？答：x ＜-2.3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π= 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项答：-205．求1321lim +-∞→n nn 的值答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y=H(x-1)的图象 2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线解：四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相 1．平行证：设三个平面为α，β，γ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α.,,,α⊂α⊂∴=γ⋂α=β⋂αb c b c从而c 与b 或交于一点或互相平行1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由 a P P b b P =γ⋂β∈γ∈γ⊂∈于是有又由.,,∴所以a ,b,c 交于一点（即P 点）2.若c ∥b,则由c a c c b //,,.//,可知且又由有=γ⋂ββ⊂γγ⊂所以a ,b,c 互相平行五．（本题满分14分）设c,d,x 为实数，c ≠0，x 为未知数讨论方程1log)(-=+x xd cx 在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4))((3),0(2) ,0(1),01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知1)(=+x d cx x ，所以2=+d cx 再由c ≠0，可得.12cdx -= 又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1)(=+xdcx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5)1,x (1),02c d x 由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立： ①c ＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1; ②c ＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1. 再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1从而，当c ＞0,d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0,d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是x =六．（本题满分16分）Pb αβ a γ ca1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程9分）解：1.因为p,q 为实数，0≠p ，z 1,z 2为虚数，所以0,04)2(22>><--p q q p 由z 1,z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称，所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,焦距离=2c=|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+, 长轴长=2a=.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为21，所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21，从而左焦点F 的坐标为,23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据21||=d MF 及两点间距离公式，可得22222312(1)(2)(),9()4(2)1223x y x y -+-=-+-=即这就是所求的轨迹方程七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ,b,c ，且c=10，34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值解：由a b B A =cos cos ，运用正弦定理，有.2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A AB B A =∴=∴=因为A ≠B ，所以2A=π-2B ，即2由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则AD+DB+EC=.12)6810(21=++但上式中AD+DB=c=10，所以内切圆半径r=EC=2. 如图建立坐标系，则内切圆方程为:(x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点P 的坐标为(x,y),则Y X ）2222222222222||||||(8)(6)3316121003[(2)(2)]47634476884.S PA PB PC x y x y x y x y x y x y x x x =++=-+++-++=+--+=-+--+=⨯-+=-因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ， S 最大值=88-0=88， S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x从而222||||||PC PB PA S ++=222222(2cos 6)(22sin )(22cos )(2sin 4)(22cos )(22sin )808cos ααααααα=-+++++-++++=-因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88，S 最小值=80-8=72八．（本题满分12分）设a ＞2，给定数列{x n },其中x 1=a ,)2,1()1(221=-=+n x x x n nn 求证： 1．);2,1(1,21=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31 =+≤≤-n x a n n 那么如果 3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x a n a 必有时那么当如果 1．证：先证明x n ＞2(n=1,2,…）用数学归纳法由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立从而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样）证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x所以不等式x n >2(n=1,2,…）成立再证明).2,1(11=<+n x x nn 由条件及x n >2(n=1,2,…）知 ,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x 因此不等式).2,1(11 =<+n x xnn 也成立（也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21)111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11 =<+n x xnn ）2．证一：用数学归纳法件x 1=a ≤3知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，由条件及2>k x 知22111111112(1)(2)2(2)2(2)0(2)[(2)]0,22222k k k k k k k k k k k k x x x x x x x +-≤+⇔≤-+⇔-+++≤⇔--+≤再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式k k x 2121+≤+也成立，从而不等式1212-+≤n n x 对所有的正整数n 成立证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：由条件知)111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+ 3．证：先证明若.43,31<>+k k k x x x 则这是因为.43)1311(21)111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当34lg 3lgan >时，有,31≥+k x 则由第1小题知.3121≥>>>>+n n x x x x 因此，由上面证明的结论及x 1=a 可得,)43(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++ 即34lg 3lgan <，这与假设矛盾所以本小题的结论成立九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1的圆与直线L 相切于点P 自切点A 沿直线L 向右移动时，取弧AC 的长为AP 32，直线PC 与直线AO 交于点M 又知当P 的速度为V 求这时点M 的速度解：作CD ⊥AM ，并设AP=x ，AM=y ，∠COD=θ由假设，x AP 3232=，半径OC=1，可知θ32=考虑),0(π∈xA P L∵△APM ∽△DCM ，DCDMAP AM =∴而.)43()843(2,,43])32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(222v dt dy M v dtdx x dtdx x x x x x x x x x x dt dy xx x x y x x y xy x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=--=∴=--=点的速度代入上式得时当解得（有资料表明八四年试题为历年来最难的一次）。

1984年数学高考试题

1984年数学高考试题选择题：1. 下列哪个函数不是函数？A. y = 2x + 3B. x^2 + y^2 = 1C. y = |x|D. y = √(x - 3)2. 对于多项式f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 7，下列哪个说法是正确的？A. f(x)是偶函数B. f(x)是奇函数C. f(x)的次数是2D. f(x)的次数是33. 下列哪个数是有理数？A. √3B. -2C. πD. e4. 在平面直角坐标系中，点A(3, 4)与点B(-2, 1)的连线所在直线的斜率是：A. -3/5B. -1/5C. 3/5D. 1/55. 下列方程中，哪个是一元二次方程？A. 2x + 5y = 7B. x^2 + 4x - 5 = 0C. y = 2x + 3D. √x = 9填空题：6. 一个等差数列的首项是2，公差是5，第10项是__________。

7. 一个直角三角形的斜边长是10厘米，其中一个锐角的正弦值是__________。

8. 一元二次方程x^2 + 2x - 3 = 0的解是__________。

9. 如果一条直线经过点(2, 3)，斜率是4，那么它的方程是y = _________。

10. 一个圆的半径是4厘米，它的面积是__________平方厘米。

应用题：11. 一个等差数列的首项是3，公差是4，前n项的和为260，求n。

12. 一张矩形纸片长宽比是3:2，它的周长是30厘米，它的长是多少厘米？13. 如果小明学校到家的距离是5千米，他步行的速度是每小时4千米，他骑自行车的速度是每小时12千米，问他步行和骑自行车需要多长时间到家，才能保证他均速是8千米/小时？14. 一个球从高处自由落下，已知初速度为0，下落时间为5秒，求球下落的距离。

重力加速度取9.8米/秒²。

15. 一汽车行驶100千米，油耗是8升，现在要行驶800千米，求它需要多少油？若剩余油量只能够行驶50千米，它至少需要准备多少油？每升油的价格是7元。

1984年高考数学试题(全国理)及答案[1]

1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分 1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是（ C ）（A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（ C ）（A ）F=0，G ≠0，E ≠0. （B ）E=0，F=0，G ≠0. （C ）G=0，F=0，E ≠0. （D ）G=0，E=0，F ≠0.3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值（ B ）（A ）一定是零（B ）一定是偶数（C ）是整数但不一定是偶数（D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是（ A ）（A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）]2,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cosθ-=θ-θ那么2θ（ B ）（A ）是第一象限角（B ）是第三象限角（C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果） 1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：.84ππ或 2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？答：x ＜-2.3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π= 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项答：-205．求1321lim +-∞→n nn 的值答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y=H(x-1)的图象 2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线解：四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相 1．平行证：设三个平面为α，β，γ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α.,,,α⊂α⊂∴=γ⋂α=β⋂αb c b c从而c 与b 或交于一点或互相平行1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由 a P P b b P =γ⋂β∈γ∈γ⊂∈于是有又由.,,∴所以a ,b,c 交于一点（即P 点）2.若c ∥b,则由c a c c b //,,.//,可知且又由有=γ⋂ββ⊂γγ⊂所以a ,b,c 互相平行五．（本题满分14分）设c,d,x 为实数，c ≠0，x 为未知数讨论方程1log)(-=+x xd cx 在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4))((3),0(2) ,0(1),01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知1)(=+x d cx x ，所以2=+d cx 再由c ≠0，可得.12cdx -= 又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1)(=+xdcx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5)1,x (1),02c d x 由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立： ①c ＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1; ②c ＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1. 再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1从而，当c ＞0,d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0,d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是x =六．（本题满分16分）Pb αβ a γ ca1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程9分）解：1.因为p,q 为实数，0≠p ，z 1,z 2为虚数，所以0,04)2(22>><--p q q p 由z 1,z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称，所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,焦距离=2c=|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+, 长轴长=2a=.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为21，所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21，从而左焦点F 的坐标为,23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据21||=d MF 及两点间距离公式，可得22222312(1)(2)(),9()4(2)1223x y x y -+-=-+-=即这就是所求的轨迹方程七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ,b,c ，且c=10，34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值解：由a b B A =cos cos ，运用正弦定理，有.2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A AB B A =∴=∴=因为A ≠B ，所以2A=π-2B ，即2由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则AD+DB+EC=.12)6810(21=++但上式中AD+DB=c=10，所以内切圆半径r=EC=2. 如图建立坐标系，则内切圆方程为:(x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点P 的坐标为(x,y),则Y X ）2222222222222||||||(8)(6)3316121003[(2)(2)]47634476884.S PA PB PC x y x y x y x y x y x y x x x =++=-+++-++=+--+=-+--+=⨯-+=-因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ， S 最大值=88-0=88， S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x从而222||||||PC PB PA S ++=222222(2cos 6)(22sin )(22cos )(2sin 4)(22cos )(22sin )808cos ααααααα=-+++++-++++=-因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88，S 最小值=80-8=72八．（本题满分12分）设a ＞2，给定数列{x n },其中x 1=a ,)2,1()1(221=-=+n x x x n nn 求证： 1．);2,1(1,21=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31 =+≤≤-n x a n n 那么如果 3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x a n a 必有时那么当如果 1．证：先证明x n ＞2(n=1,2,…）用数学归纳法由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立从而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样）证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x所以不等式x n >2(n=1,2,…）成立再证明).2,1(11=<+n x x nn 由条件及x n >2(n=1,2,…）知 ,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x 因此不等式).2,1(11 =<+n x xnn 也成立（也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21)111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11 =<+n x xnn ）2．证一：用数学归纳法件x 1=a ≤3知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，由条件及2>k x 知22111111112(1)(2)2(2)2(2)0(2)[(2)]0,22222k k k k k k k k k k k k x x x x x x x +-≤+⇔≤-+⇔-+++≤⇔--+≤再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式k k x 2121+≤+也成立，从而不等式1212-+≤n n x 对所有的正整数n 成立证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：由条件知)111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+ 3．证：先证明若.43,31<>+k k k x x x 则这是因为.43)1311(21)111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当34lg 3lgan >时，有,31≥+k x 则由第1小题知.3121≥>>>>+n n x x x x 因此，由上面证明的结论及x 1=a 可得,)43(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++ 即34lg 3lgan <，这与假设矛盾所以本小题的结论成立九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1的圆与直线L 相切于点P 自切点A 沿直线L 向右移动时，取弧AC 的长为AP 32，直线PC 与直线AO 交于点M 又知当P 的速度为V 求这时点M 的速度解：作CD ⊥AM ，并设AP=x ，AM=y ，∠COD=θ由假设，x AP 3232=，半径OC=1，可知θ32=考虑),0(π∈xA P L∵△APM ∽△DCM ，DCDMAP AM =∴而.)43()843(2,,43])32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(222v dt dy M v dtdx x dtdx x x x x x x x x x x dt dy xx x x y x x y xy x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=--=∴=--=点的速度代入上式得时当解得（有资料表明八四年试题为历年来最难的一次）。

1984年高考数学全国卷文科及其参考答案

3
（C）
奎屯
分;不选，选错
（B）
（A）
2
1
（C）可能是第一象限角，也可能是第三象限角
（D）是第二象限角
二．（本题满分 24 分）本题共 6 小题，每一个小题满分 4 分只要求新疆王新敞奎屯
直接写出结果）
1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2 与 4 的矩形，求圆柱的体积新疆王新敞奎屯
答： 4 或 8 .
三．（本题满分 12 分）本题只要求画出图形新疆王新敞奎屯
1．设
H
(x)

0,当x 1,当x

0, 0,
画出函数
奎屯
y=H(x-1)的图象新疆王新敞奎屯
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，过力根管保据线护生0高不产中仅工资可艺料以高试解中卷决资配吊料置顶试技层卷术配要是置求指不，机规对组范电在高气进中设行资备继料进电试行保卷空护问载高题与中2带2资，负料而荷试且下卷可高总保中体障资配2料3置2试3时各卷，类调需管控要路试在习验最2；3大2对3限2设题度备到内进位来行。确调在保整管机使路组其敷高在设中正过资常程料工1试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且2作5尽5下2可2都2能护可地1以关缩正于小常管故工路障作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保连破护接坏进管范行口围整处，核理或对高者定中对值资某，料些审试异核卷常与弯高校扁中对度资图固料纸定试，盒卷编位工写置况复.进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

1984年高考数学试题(全国理)及答案

1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分 1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是（ C ）（A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（ C ）（A ）F=0，G ≠0，E ≠0. （B ）E=0，F=0，G ≠0. （C ）G=0，F=0，E ≠0. （D ）G=0，E=0，F ≠0.3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值（ B ）（A ）一定是零（B ）一定是偶数（C ）是整数但不一定是偶数（D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是（ A ）（A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）]2,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cosθ-=θ-θ那么2θ（ B ）（A ）是第一象限角（B ）是第三象限角（C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果） 1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：.84ππ或 2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？答：x ＜-2.3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π= 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项答：-205．求1321lim +-∞→n nn 的值答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y=H(x-1)的图象 2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线解：四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相 1．平行证：设三个平面为α，β，γ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α.,,,α⊂α⊂∴=γ⋂α=β⋂αb c b c从而c 与b 或交于一点或互相平行1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由 a P P b b P =γ⋂β∈γ∈γ⊂∈于是有又由.,,∴所以a ,b,c 交于一点（即P 点）2.若c ∥b,则由c a c c b //,,.//,可知且又由有=γ⋂ββ⊂γγ⊂所以a ,b,c 互相平行五．（本题满分14分）设c,d,x 为实数，c ≠0，x 为未知数讨论方程1log)(-=+x xd cx 在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4))((3),0(2) ,0(1),01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知1)(=+x d cx x ，所以2=+d cx 再由c ≠0，可得.12cdx -= 又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1)(=+xdcx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5)1,x (1),02c d x 由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立： ①c ＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1; ②c ＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1. 再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1从而，当c ＞0,d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0,d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是x =六．（本题满分16分）Pb αβ a γ ca1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程9分）解：1.因为p,q 为实数，0≠p ，z 1,z 2为虚数，所以0,04)2(22>><--p q q p 由z 1,z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称，所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,焦距离=2c=|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+, 长轴长=2a=.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为21，所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21，从而左焦点F 的坐标为,23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据21||=d MF 及两点间距离公式，可得22222312(1)(2)(),9()4(2)1223x y x y -+-=-+-=即这就是所求的轨迹方程七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ,b,c ，且c=10，34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值解：由a b B A =cos cos ，运用正弦定理，有.2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A AB B A =∴=∴=因为A ≠B ，所以2A=π-2B ，即2由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则AD+DB+EC=.12)6810(21=++但上式中AD+DB=c=10，所以内切圆半径r=EC=2. 如图建立坐标系，则内切圆方程为:(x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点P 的坐标为(x,y),则Y X ）2222222222222||||||(8)(6)3316121003[(2)(2)]47634476884.S PA PB PC x y x y x y x y x y x y x x x =++=-+++-++=+--+=-+--+=⨯-+=-因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ， S 最大值=88-0=88， S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x从而222||||||PC PB PA S ++=222222(2cos 6)(22sin )(22cos )(2sin 4)(22cos )(22sin )808cos ααααααα=-+++++-++++=-因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88，S 最小值=80-8=72八．（本题满分12分）设a ＞2，给定数列{x n },其中x 1=a ,)2,1()1(221=-=+n x x x n nn 求证： 1．);2,1(1,21=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31 =+≤≤-n x a n n 那么如果 3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x a n a 必有时那么当如果 1．证：先证明x n ＞2(n=1,2,…）用数学归纳法由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立从而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样）证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x所以不等式x n >2(n=1,2,…）成立再证明).2,1(11=<+n x x nn 由条件及x n >2(n=1,2,…）知 ,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x 因此不等式).2,1(11 =<+n x xnn 也成立（也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21)111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11 =<+n x xnn ）2．证一：用数学归纳法件x 1=a ≤3知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，由条件及2>k x 知22111111112(1)(2)2(2)2(2)0(2)[(2)]0,22222k k k k k k k k k k k k x x x x x x x +-≤+⇔≤-+⇔-+++≤⇔--+≤再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式k k x 2121+≤+也成立，从而不等式1212-+≤n n x 对所有的正整数n 成立证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：由条件知)111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+ 3．证：先证明若.43,31<>+k k k x x x 则这是因为.43)1311(21)111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当34lg 3lgan >时，有,31≥+k x 则由第1小题知.3121≥>>>>+n n x x x x 因此，由上面证明的结论及x 1=a 可得,)43(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++ 即34lg 3lgan <，这与假设矛盾所以本小题的结论成立九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1的圆与直线L 相切于点P 自切点A 沿直线L 向右移动时，取弧AC 的长为AP 32，直线PC 与直线AO 交于点M 又知当P 的速度为V 求这时点M 的速度解：作CD ⊥AM ，并设AP=x ，AM=y ，∠COD=θ由假设，x AP 3232=，半径OC=1，可知θ32=考虑),0(π∈xA P L∵△APM ∽△DCM ，DCDMAP AM =∴而.)43()843(2,,43])32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(222v dt dy M v dtdx x dtdx x x x x x x x x x x dt dy xx x x y x x y xy x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=--=∴=--=点的速度代入上式得时当解得（有资料表明八四年试题为历年来最难的一次）。

1984年高考数学全国卷(理科)及其参考答案

1984年高考数学全国卷(理科)及其参考答案1984年高考数学全国卷（理科）及其参考答案（这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是（ C ）（A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（ C ）（A ）F=0，G ≠0，E ≠0. （B ）E=0，F=0，G ≠0. （C ）G=0，F=0，E ≠0. （D ）G=0，E=0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值（ B ）（A ）一定是零（B ）一定是偶数（C ）是整数但不一定是偶数（D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是（ A ）（A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x（C ）]1,0[∈x （D ）]2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θ（A ）是第一象限角（B ）是第三象限角（ B ）（C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：.84ππ或2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？答：x ＜-2.3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π= 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项答：-205．求1321lim +-∞→n nn 的值答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y=H(x-1)的图象2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线解：四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行证：设三个平面为α，β，γ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α.,,,α⊂α⊂∴=γ⋂α=β⋂αb c b c Θ从而c 与b 或交于一点或互相平行1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由a P Pb b P =γ⋂β∈γ∈γ⊂∈于是有又由.,,∴所以a ,b,c 交于一点（即P 点）2．4πO 12 X 1． Y1 0O1 X2.若c ∥b,则由ac c b ,.//,且又由有=γ⋂ββ⊂γγ⊂所以a ,b,c 互相平行五．（本题满分14分）设c,d,x 为实数，c ≠0，x 为未知数讨论方程1log)(-=+x xdcx 在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4))((3),0(2) ,0(1),01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知1)(=+xdcx x ，所以2=+d cx 再由c ≠0，可得.12c dx -=又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1)(=+xdcx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：P b αβ a γ c b α βaγ c⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5)1,x (1),02c d x 由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立：①c ＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1; ②c ＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1. 再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1从而，当c ＞0,d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0,d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是cdx -=1 六．（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分）解：1.因为p,q 为实数，0≠p ，z 1,z 2为虚数，所以0,04)2(22>><--p q q p由z 1,z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称，所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,焦距离=2c=|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+, 长轴长=2a=.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为21，所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21，从而左焦点F 的坐标为,23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据21||=d MF 及两点间距离公式，可得 1)2(4)32(9,)21()2()123(22222=-+-=-+-y x y x 即这就是所求的轨迹方程七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ,b,c ，且c=10，34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值解：由abB A =cos cos ，运用正弦定理，有 .2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A ABB A =∴=∴= 因为A ≠B ，所以2A=π-2B ，即2由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b可得以及如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则 AD+DB+EC=.12)6810(21=++但上式中AD+DB=c=10，所以内切圆半径r=EC=2. 如图建立坐标系，则内切圆方程为: (x-2)2+(y-2)2=4 设圆上动点P 的坐标为(x,y),则.48876443764])2()2[(3100121633)6()8(||||||2222222222222x x x y x y x y x y x y x y x PC PB PA S -=+-⨯=+--+-=+--+=++-+++-=++=因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ，S 最大值=88-0=88， S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x 从而222||||||PC PB PA S ++=α-=α++α++-α+α++α++-α=cos 880)sin 22()cos 22()4sin 2()cos 22()sin 22()6cos 2(222222因为πα20<≤，所以Y B （0，） D E O ＇ P （x,y) XO C （0，0） A （8，0）S 最大值=80+8=88， S 最小值=80-8=72八．（本题满分12分）设a ＞2，给定数列{x n },其中x 1=a ,)2,1()1(221Λ=-=+n x x x n nn 求证： 1．);2,1(1,21Λ=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31Λ=+≤≤-n x a n n 那么如果 3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x a n a 必有时那么当如果1．证：先证明x n ＞2(n=1,2,…）用数学归纳法由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x所以不等式x n >2(n=1,2,…）成立）再证明).2,1(11Λ=<+n x x nn 由条件及x n >2(n=1,2,…）知,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x 因此不等式).2,1(11Λ=<+n x xnn 也成立（也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21)111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11Λ=<+n x xnn ）2．证一：用数学归纳法由条件x 1=a ≤3知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，由条件及2>k x 知,0)]212()[2(0)212(2)212(2)212)(1(22111221≤+--⇔≤+++-⇔+-≤⇔+≤-+k k k k k k k k k k k k x x x x x x x再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式k k x 2121+≤+也成立，从而不等式1212-+≤n n x 对所有的正整数n 成立证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：由条件知)111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得 k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+ 3．证：先证明若.43,31<>+k k k x x x 则这是因为⌒.43)1311(21111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当34lg 3lg an >时，有,31≥+k x 则由第1小题知 .3121≥>>>>+n n x x x x Λ因此，由上面证明的结论及x 1=a 可得,43(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++Λ 即34lg 3lg an <，这与假设矛盾所以本小题的结论成立九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1的圆与直线L 相切于点A ，一动点P 自切点A 沿直线L 向右移动时，取弧AC 的长为AP 32，直线PC 与直线AO 交于点M 又知当AP=43π时，点P 的速度为V 求这时点M 的速度⌒解：作CD ⊥AM ，并设AP=x ，AM=y ，∠COD=θ由假设， AC 的长为x AP 3232=，半径OC=1，可知θ32=考虑),0(π∈x ∵△APM ∽△DCM ，DC DM AP AM =∴ 而.)43()843(2,,43])32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(222v dt dy M v dtdx x dt dx x x x x x x x x x x dt dy x x x x y x x y x y x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=--=∴=--=点的速度代入上式得时当解得（有资料表明八四年试题为历年来最难的一次）MO 1D θCAP L。

1984年高考数学试题(全国理)及答案(历年最难)

1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分 1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是（ C ）（A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（ C ）（A ）F=0，G ≠0，E ≠0. （B ）E=0，F=0，G ≠0. （C ）G=0，F=0，E ≠0. （D ）G=0，E=0，F ≠0.3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值（ B ）（A ）一定是零（B ）一定是偶数（C ）是整数但不一定是偶数（D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是（ A ）（A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin2cosθ-=θ-θ那么2θ（ B ）（A ）是第一象限角（B ）是第三象限角（C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：.84ππ或2.函数)44(log25.0++x x 在什么区间上是增函数？答：x ＜-2. 3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π=4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项答：-205．求1321lim+-∞→nnn 的值答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y=H(x-1)的图象 2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线解：四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相 1．平行证：设三个平面为α，β，γ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α.,,,α⊂α⊂∴=γ⋂α=β⋂αb c b c从而c 与b 或交于一点或互相平行1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由 a P P b b P =γ⋂β∈γ∈γ⊂∈于是有又由.,,∴所以a ,b,c 交于一点（即P 点）2.若c ∥b,则由a c a c c b //,,.//,可知且又由有=γ⋂ββ⊂γγ⊂所以a ,b,c 互相平行五．（本题满分14分）设c,d,x 为实数，c ≠0，x 为未知数讨论方程1log(-=+x xd cx 在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4))((3) ,0(2) ,0(1) ,01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知1)(=+x d cx x ，所以12=+d cx 再由c ≠0，可得.12c d x -= 又由1)(=+xd cx x 及x ＞0，知0>+xd cx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1(=+xd cx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5) 1,x (1),02c dx 由条件（1）（6）知.01>-c d 这个不等式仅在以下两种情形下成立： ①c ＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1;②c ＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1.再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1 从而，当c ＞0,d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0,d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是x =六．（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分）解：1.因为p,q 为实数，0≠p ，z 1,z 2为虚数，所以0,04)2(22>><--pq q p 由z 1,z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称，所以椭圆短轴在x 轴上 P b αβ a γ ca经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,焦距离=2c=|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+,长轴长=2a=.2222q cb =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为21，所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21，从而左焦点F 的坐标为),23(y x 设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据21||=dMF 及两点间距离公式，可得22222312(1)(2)(,9()4(2)1223xy x y -+-=-+-=即这就是所求的轨迹方程七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ,b,c ，且c=10，34cos cos ==a b BA ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值解：由a b B A =cos cos ，运用正弦定理，有.2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A ABB A =∴=∴= 因为A ≠B ，所以2A=π-2B ，即由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b ac ba ab 可得以及如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则 AD+DB+EC=.12)6810(21=++但上式中AD+DB=c=10，所以内切圆半径r=EC=2. 如图建立坐标系，则内切圆方程为:(x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点P 的坐标为(x,y),则22222222222||||||(8)(6)3[(2)(2)]47634476884.S P A P B P C x y x y x y x y x x x =++=-+++-++==-+--+=⨯-+=-因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ， S 最大值=88-0=88， S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x从而222||||||PC PB PA S ++=222222(2cos 6)(22sin )(22cos )(2sin 4)(22cos )(22sin )808cos ααααααα=-+++++-++++=- Y X ）因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88，S 最小值=80-8=72 八．（本题满分12分）设a ＞2，给定数列{x n },其中x 1=a ,)2,1()1(221 =-=+n x x x n nn 求证：1．);2,1(1,21 =<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31=+≤≤-n x a n n 那么如果3．.3,34lg3lg,31<≥>+n x an a 必有时那么当如果 1．证：先证明x n ＞2(n=1,2,…）用数学归纳法由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立从而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样）证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x所以不等式x n >2(n=1,2,…）成立).2,1(11 =<+n x x nn 由条件及x n >2(n=1,2,…）知,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n nn x x x x x 因此不等式).2,1(11 =<+n x x nn 也成立（也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21)111(211=-+<-+=+n nn x x x 还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11 =<+n x x nn ）2．证一：用数学归纳法件x 1=a ≤3知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，由条件及2>k x 知22111111112(1)(2)2(2)2(2)0(2)[(2)]0,22222k k k k k k k kkkkk x x x x x x x +-≤+⇔≤-+⇔-+++≤⇔--+≤再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式kk x 2121+≤+也成立，从而不等式1212-+≤n n x 对所有的正整数n 成立证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：由条件知)111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+ 3．证：先证明若.43,31<>+kk k x x x 则这是因为.43)1311(21)111(211=-+<-+=+k kk x x x 然后用反证法若当34lg3lgan >时，有,31≥+k x 则由第1小题知.3121≥>>>>+n n x x x x 因此，由上面证明的结论及x 1=a 可得,)43(31231211nnn n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++ 即34lg3lg an <，这与假设矛盾所以本小题的结论成立九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1的圆与直线L 相切于点P 自切点A 沿直线L 向右移动时，取弧AC 的长为AP 32，直线PC 与直线AO 交于点M 又知当4P 的速度为V 求这时点M 的速度解：作CD ⊥AM ，并设AP=x ，AM=y ，∠COD=θ由假设，x AP 3232=，半径OC=1，可知θx 32=考虑),0(π∈x ∵△APM ∽△DCM ，DCDM APAM =∴而.)43()843(2,,43)32sin()32cos321)(32cos 1()32sin3232cos1)(32sin([/.32sin)32cos1(.32sin)32cos 1(,32sin),32cos1(222v dtdy M v dtdx x dtdx x x x x x x x x x x dt dy x x x x y x x y xy x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=--=∴=--=点的速度代入上式得时当解得A P L。

84年数学高考试题

一、选择题（每小题4分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

将正确选项的字母填在题后的括号内。

）1. 已知等差数列{an}的公差d=3，且a1+a10=60，则a1的值为（）。

A. 9B. 12C. 15D. 182. 如果一个函数的图象是连续不断的曲线，那么这个函数一定是（）。

A. 有理函数B. 无理函数C. 线性函数D. 指数函数3. 下列各式中，正确的是（）。

A. log23 > log22B. 3√8 > 2√9C. 1/3 < log32D. 2√3 > 3√24. 设复数z=i（i是虚数单位），则|z|的值为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 45. 在△ABC中，若a=3，b=4，cosA=1/2，则sinB的值为（）。

A. √3/2B. √3/4C. 1/2D. 1/4二、填空题（每小题4分，共20分。

把答案填在题后的横线上。

）6. 已知sinθ=3/5，且θ是第二象限的角，则cosθ的值为______。

7. 若log2x+log2y=log2(4xy)，则x+y的值为______。

8. 若复数z=a+bi（a，b是实数），且|z|=√(a^2+b^2)=1，则z的共轭复数是______。

9. 在△ABC中，若a=2，b=3，c=4，则△ABC的面积是______。

10. 下列函数中，y=√(x^2-1)的定义域是______。

三、解答题（共40分）11. （本题满分10分）解下列方程：(1) 2x^2-5x+2=0；(2) log2(x+3)-log2(x-1)=1。

12. （本题满分10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且S1=2，S2=5，求证：数列{an}是等差数列，并求出公差。

13. （本题满分10分）已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），且f(1)=2，f(2)=5，f(3)=10，求函数f(x)的解析式。

20世纪的高考——1984年数学高考试卷

1984年数学高考试卷理工农医类一、本题公5个小题，每一个小题都给出代号为A ，B ，C ，D 四个结论，其中只有一个是正确结论。

把正确结论的代号写在题后的括号内。

（1）数集{(21)X n π=+，n 是整数}与数集{(41)Y k π=±，k 是整数}之间的关系是（）A 、X Y ⊂B 、X Y ⊃C 、X Y =D 、X Y ≠（2）如果圆220x y Gx Ey F ++++=与x 轴相切于原点，那么（）A 、0,0,0F G E =≠≠B 、0,0,0E F G ==≠C 、0,0,0G F E ==≠D 、0,0,0GEF ==≠（3）如果n 是正整数，那么21[1(1)](1)8n n ---的值（）A 、一定是零B 、一定是偶数C 、是整数但不一定是偶数D 、不一定是整数（4）arccos()x -大于arccos x 的充要条件数（）A 、(0,1]x ∈B 、(1,0)x ∈-C 、[0,1]x ∈D 、[0,]2x π∈（5）如果θ是第二象限角，且满足cos sin 22θθ-=2θ（）A 、是第一象限角B 、是第三象限角C 、可能是第一象限角，也可能使第三象限角D 、是第二象限角二、只要求直接写出结果（1）已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积；（2）函数20.5log (44)x x ++在什么区间上是增函数？（3）求方程21(sin cos )2x x +=的解集；（4）求31(2)x x +-展开式中的常数项；（5）求12lim 31nn n →∞-+的值（6）要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，文有多少种排法（只要求写出式子，不必计算）三、本题只要求画出图形（1）设0,0()1,0x H x x ≤⎧=⎨>⎩，画出函数(1)y H x =-的图像；（2）画出极坐标方程(2)()0(0)4πρθρ--=>的曲线四、已知三个平面两两相交形成三条直线，求证：这三条直线相交于一点或互相平行五、设c ，d ，x 为实数，0c ≠，x 为未知数，讨论方程()log1d ac x x +=-在什么情况下有解。