运筹学排队论2
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客数
:系统的平均服务速率,即单位时间内可服务完
的顾客数 pn (t) :在时刻t时系统中有n个顾客的概率 C:服务台的个数 FCFS:先到先服务的排队规则 LCFS:后到先服务的排队规则
PR:优先权服务的排队规则 M:到达过程为泊松过程或负指数过程 D:定长型分布 Ek :k阶爱尔朗分布
a:顾客到达过程的概率分布(输入) b:服务过程的概率分布(输出) d:排队系统的最大容量 e:顾客总体的数量 f:排队规则
第十章 排队论(Queuing theory)
引言 排队论的基本概念 顾客到达数及服务时间的理论分布 单服务台(M/M/1)排队模型 多服务台的排队模型 排队系统费用的优化模型
§1 引言
排队是日常生活和经济领域中常见的现象.如 顾客在邮局,银行排队办理业务,病人在医院排 队就医,工厂中等待维修的机床,港口内等候卸 货或进港的轮船,机场内等候起飞或降落的飞 机,等等.这都是有形的排队现象.打电话时占线, 需要等待,这是无形的排队现象. 排队是怎样产生的? 首先,我们把上述现象中的人或物,看做是被服 务队象,他们希望得到某种服务,如果在某个时
1953年由K.D.Kendall提出了排队模型记号 方案,由a/b/c/d组成,即 输入/输出/并联服务台数/顾客总体数量
如:M/M/1/ 表示:排队系统中顾客到达
是泊松过程,服务时间服从负指数分布,单服 务台,顾客源无限.
1971年国际排队符号标准会上将上述符号扩 充到六项,即a/b/c/d/e/f.
服务台
2.C个服务台,一个公共队伍
服务台1 服务台2 服务台C
3.C个服务台,C个队伍
服务台1 服务台2 服务台C
二.排队系统的三个组成部分
1.输入过程:指顾客按怎样的规律到达. ⑴顾客的总体数或顾客源:指可能到达服务机
构的顾客总数.顾客总体数可以是有限的,也可 以是无限的; ⑵顾客到达的类型:顾客是单个到达还是成批 到达; ⑶顾客相继到达时间间隔的分布,如按泊松 分布,定长分布还是负指数分布.
度为 FT(t) fT (t) et , (t 0).
1
1
E(T ) , D(T ) 2
三.服务时间v的概率分布
一般总是假定顾客接受服务的时间v也服从负
指数分布
fv (t) et , 是单位时间能服务完的顾客数,
百度文库E(v)
1
,
D(v)
1
2
注意 : E(v) 1 是一个顾客的平均服务 时间.
刻,要求服务的对象超过了服务机构所能提 供的服务数量时就产生了排队现象. 要减少排队,可以增加服务设施,但是如果增 加的太多,服务设施又会出现空闲浪费;如果 服务设施少,顾客排队太长时,就会损失顾客 也会造成很大损失.因此,决策者必须在服务 对象和服务台之间取得平衡,达到一种最优 配置.此外,在一些大型项目的设计中(港口泊 位,机场跑道,电话线路等),也要根据排队理 论作到超前设计,同时还要考虑费用的优化 问题,这就是排队论研究的内容.
例9.1 某仓库全天都可以进行发料业务，假设 顾客到达的时间间隔服从均值为1的负指数分 布现在有一位顾客正好中午12：00到达领料， 试求：
（1）下一个顾客将在下午1：00前到达的概率； （2）在下午1：00与2：00之间到达的概率： （3）在下午2：00以后到达的概率。
解：因为顾客到达间隔时间T服从负指数分 布，所以T 的概率密度为
负指数分布的一个重要特征是“无记忆性”， 也称无后效性或马尔科夫性。这个性质为排 队轮问题的求解带来了方便。如果输入分布 或服务分布为负指数分布，则不论实际排队 过程进行了多长时间，要研究从现在起以后 的情况，只要考虑当前排队所处的状况就可 以了，在此以前的情况可以不考虑，就好像 过程刚开始一样。
n!
现将上式参数 引入时间因素 t ,即将
换为 t ,得到
pn (t)
(t)n
n!
et
,t
0, n
0,1,2,
.
表示长为t的时间区间内到达n个顾客的概率为 pn (t) ,且服从泊松分布.这称为泊松流或泊松过 程或简单流. 设t时间内到达的顾客数为随机变量N(t),则有
E[N(t)] t, D[N(t)] t.
2.排队规则:指顾客接受服务的先后次序问 题
⑴损失制:顾客到达时,服务台被占用,顾客随 即离去,不再接受服务; ⑵等待制:服务台被占用,顾客排队等候.根据 服务台对顾客服务的先后顺序又分为 ⅰ.先到先服务; ⅱ.后到先服务; ⅲ.随机服务; ⅳ.优先权服务. ⑶混合制:顾客起初排队,看到队伍太长又离去.
3.服务机构:又称服务台
⑴服务台的数目:有单服务台,多服务台; ⑵任一时刻接受服务的顾客数; ⑶服务时间的分布:对每个顾客的服务时间是 随机变量,但是其概率分布多按负指数分布来 处理,也有的服从定长分布.
二.排队系统的描述符号及分类
n:排队系统中顾客的数目
:顾客到达的平均速率,即单位时间内到达 的顾
排队论的创始人是丹麦哥本哈根市电话局的 工程师爱尔朗(A.K.Erlang),他早期研究电话 理论,特别是电话的占线问题,就是早期排队 论的内容.
§2 排队论的基本概念
一.排队现象的共同特征:为了获得某种服务而 到达的顾客,如不能立即得到服务而又允许排 队等候,则加入等待的队伍,获得服务后离开.我 们把包含这些特征的系统称为排队系统. 排队系统的几种情况: 1.单服务台排队系统
如:M/M/1/ / /FCFS) M/M/4/N/ /FCFS)
§3 顾客到达数及服务时间的理论分布
在排队服务过程中,单位时间内顾客到达数,顾 客到达时间间隔,服务时间都是随机变量,因此 必须了解它们的概率分布. 一.泊松流
泊松分布 pX n n e , n 0,1,2, , 0.
注意: 参数表示单位时间内到达顾数的平均值.
二.负指数分布
现在研究当输入过程是泊松流时,两顾客先后
到达时间间隔T的概率分布.
由
pn
(t)
(t)n
n!
et
,t
0, n
0,1,2,
.
可知,当n=0时即在[0,t]内没有顾客到达的概率
为 p0 (t) et , 则至少有一个顾客到达的概率 分布函数为 FT (t) 1 et ,t 0, 相应的概率密
:系统的平均服务速率,即单位时间内可服务完
的顾客数 pn (t) :在时刻t时系统中有n个顾客的概率 C:服务台的个数 FCFS:先到先服务的排队规则 LCFS:后到先服务的排队规则
PR:优先权服务的排队规则 M:到达过程为泊松过程或负指数过程 D:定长型分布 Ek :k阶爱尔朗分布
a:顾客到达过程的概率分布(输入) b:服务过程的概率分布(输出) d:排队系统的最大容量 e:顾客总体的数量 f:排队规则
第十章 排队论(Queuing theory)
引言 排队论的基本概念 顾客到达数及服务时间的理论分布 单服务台(M/M/1)排队模型 多服务台的排队模型 排队系统费用的优化模型
§1 引言
排队是日常生活和经济领域中常见的现象.如 顾客在邮局,银行排队办理业务,病人在医院排 队就医,工厂中等待维修的机床,港口内等候卸 货或进港的轮船,机场内等候起飞或降落的飞 机,等等.这都是有形的排队现象.打电话时占线, 需要等待,这是无形的排队现象. 排队是怎样产生的? 首先,我们把上述现象中的人或物,看做是被服 务队象,他们希望得到某种服务,如果在某个时
1953年由K.D.Kendall提出了排队模型记号 方案,由a/b/c/d组成,即 输入/输出/并联服务台数/顾客总体数量
如:M/M/1/ 表示:排队系统中顾客到达
是泊松过程,服务时间服从负指数分布,单服 务台,顾客源无限.
1971年国际排队符号标准会上将上述符号扩 充到六项,即a/b/c/d/e/f.
服务台
2.C个服务台,一个公共队伍
服务台1 服务台2 服务台C
3.C个服务台,C个队伍
服务台1 服务台2 服务台C
二.排队系统的三个组成部分
1.输入过程:指顾客按怎样的规律到达. ⑴顾客的总体数或顾客源:指可能到达服务机
构的顾客总数.顾客总体数可以是有限的,也可 以是无限的; ⑵顾客到达的类型:顾客是单个到达还是成批 到达; ⑶顾客相继到达时间间隔的分布,如按泊松 分布,定长分布还是负指数分布.
度为 FT(t) fT (t) et , (t 0).
1
1
E(T ) , D(T ) 2
三.服务时间v的概率分布
一般总是假定顾客接受服务的时间v也服从负
指数分布
fv (t) et , 是单位时间能服务完的顾客数,
百度文库E(v)
1
,
D(v)
1
2
注意 : E(v) 1 是一个顾客的平均服务 时间.
刻,要求服务的对象超过了服务机构所能提 供的服务数量时就产生了排队现象. 要减少排队,可以增加服务设施,但是如果增 加的太多,服务设施又会出现空闲浪费;如果 服务设施少,顾客排队太长时,就会损失顾客 也会造成很大损失.因此,决策者必须在服务 对象和服务台之间取得平衡,达到一种最优 配置.此外,在一些大型项目的设计中(港口泊 位,机场跑道,电话线路等),也要根据排队理 论作到超前设计,同时还要考虑费用的优化 问题,这就是排队论研究的内容.
例9.1 某仓库全天都可以进行发料业务，假设 顾客到达的时间间隔服从均值为1的负指数分 布现在有一位顾客正好中午12：00到达领料， 试求：
（1）下一个顾客将在下午1：00前到达的概率； （2）在下午1：00与2：00之间到达的概率： （3）在下午2：00以后到达的概率。
解：因为顾客到达间隔时间T服从负指数分 布，所以T 的概率密度为
负指数分布的一个重要特征是“无记忆性”， 也称无后效性或马尔科夫性。这个性质为排 队轮问题的求解带来了方便。如果输入分布 或服务分布为负指数分布，则不论实际排队 过程进行了多长时间，要研究从现在起以后 的情况，只要考虑当前排队所处的状况就可 以了，在此以前的情况可以不考虑，就好像 过程刚开始一样。
n!
现将上式参数 引入时间因素 t ,即将
换为 t ,得到
pn (t)
(t)n
n!
et
,t
0, n
0,1,2,
.
表示长为t的时间区间内到达n个顾客的概率为 pn (t) ,且服从泊松分布.这称为泊松流或泊松过 程或简单流. 设t时间内到达的顾客数为随机变量N(t),则有
E[N(t)] t, D[N(t)] t.
2.排队规则:指顾客接受服务的先后次序问 题
⑴损失制:顾客到达时,服务台被占用,顾客随 即离去,不再接受服务; ⑵等待制:服务台被占用,顾客排队等候.根据 服务台对顾客服务的先后顺序又分为 ⅰ.先到先服务; ⅱ.后到先服务; ⅲ.随机服务; ⅳ.优先权服务. ⑶混合制:顾客起初排队,看到队伍太长又离去.
3.服务机构:又称服务台
⑴服务台的数目:有单服务台,多服务台; ⑵任一时刻接受服务的顾客数; ⑶服务时间的分布:对每个顾客的服务时间是 随机变量,但是其概率分布多按负指数分布来 处理,也有的服从定长分布.
二.排队系统的描述符号及分类
n:排队系统中顾客的数目
:顾客到达的平均速率,即单位时间内到达 的顾
排队论的创始人是丹麦哥本哈根市电话局的 工程师爱尔朗(A.K.Erlang),他早期研究电话 理论,特别是电话的占线问题,就是早期排队 论的内容.
§2 排队论的基本概念
一.排队现象的共同特征:为了获得某种服务而 到达的顾客,如不能立即得到服务而又允许排 队等候,则加入等待的队伍,获得服务后离开.我 们把包含这些特征的系统称为排队系统. 排队系统的几种情况: 1.单服务台排队系统
如:M/M/1/ / /FCFS) M/M/4/N/ /FCFS)
§3 顾客到达数及服务时间的理论分布
在排队服务过程中,单位时间内顾客到达数,顾 客到达时间间隔,服务时间都是随机变量,因此 必须了解它们的概率分布. 一.泊松流
泊松分布 pX n n e , n 0,1,2, , 0.
注意: 参数表示单位时间内到达顾数的平均值.
二.负指数分布
现在研究当输入过程是泊松流时,两顾客先后
到达时间间隔T的概率分布.
由
pn
(t)
(t)n
n!
et
,t
0, n
0,1,2,
.
可知,当n=0时即在[0,t]内没有顾客到达的概率
为 p0 (t) et , 则至少有一个顾客到达的概率 分布函数为 FT (t) 1 et ,t 0, 相应的概率密