运筹学排队论2
运筹学第五章排队论
§2 排队论基本理论总廓
§2.1 排队论研究的基本问题
1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主 要参数的统计推断和对排队系统的结构分析，判 断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根 据排队理论进行研究。
3. 服务机构
1）服务机构可以是单服务员和多服务员服务， 这种服务形式与队列规则联合后形成了多种不同队 列，不同形式的排队服务机构，如：
1 单队单服务台
1
2
..
..
nLeabharlann 多队多服务台（并列)1
2 。。。
n
单队多服务台（并列）
1
2
... n
单队多服务台（串列）
1
1
2
3
2
混合形式
2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。 3)服务时间分为确定型和随机型。 4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
值得注意的是求稳态概
率Pn并不一定求t→∞的 极限,而只需求
P ’(t)=0 即可。
过渡状态
稳定状态
t
图3 排队系统状态变化示意图
3.根据排队系统对应的理论模型求出用以判断系统 运行优劣的基本数量指标的概率分布或特征数。 数量指标主要包括:
(1)平均队长（Ls）:系统中的顾客数。 平均队列长（Lq）:系统中排队等待服务的顾客数。 系统中顾客数Ls =系统中排队等待服务的顾客数Lq +正被
含优化设计与优化运营。
问题1 系统中顾客数=平均队列长（Lq）+1？
§2.3 排队论主要知识点
排队论问题实验报告(3篇)
第1篇一、实验背景排队论是运筹学的一个重要分支，主要研究在服务系统中顾客的等待时间和服务效率等问题。
在现实生活中，排队现象无处不在，如银行、医院、超市、餐厅等。
通过对排队问题的研究，可以帮助我们优化服务系统，提高顾客满意度，降低运营成本。
本实验旨在通过模拟排队系统，探究排队论在实际问题中的应用。
二、实验目的1. 理解排队论的基本概念和原理。
2. 掌握排队模型的建立方法。
3. 熟悉排队系统参数的估计和调整。
4. 分析排队系统的性能指标，如平均等待时间、服务效率等。
5. 培养运用排队论解决实际问题的能力。
三、实验内容1. 建立排队模型本实验以银行排队系统为例，建立M/M/1排队模型。
该模型假设顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，服务台数量为1。
2. 参数估计根据实际数据，估计排队系统参数。
假设顾客到达率为λ=2（人/分钟），服务时间为μ=5（分钟/人）。
3. 模拟排队系统使用计算机模拟排队系统，记录顾客到达、等待、服务、离开等过程。
4. 性能分析分析排队系统的性能指标，如平均等待时间、服务效率、顾客满意度等。
四、实验步骤1. 初始化参数设置顾客到达率λ、服务时间μ、服务台数量n。
2. 生成顾客到达序列根据泊松分布生成顾客到达序列。
3. 模拟排队过程（1）当服务台空闲时，允许顾客进入队列。
（2）当顾客进入队列后，开始计时，等待服务。
（3）当服务台服务完毕，顾客离开，开始下一个顾客的服务。
4. 统计性能指标记录顾客等待时间、服务时间、顾客满意度等数据。
5. 分析结果根据实验数据，分析排队系统的性能，并提出优化建议。
五、实验结果与分析1. 平均等待时间根据模拟结果，平均等待时间为2.5分钟。
2. 服务效率服务效率为80%，即每分钟处理0.8个顾客。
3. 顾客满意度根据模拟结果，顾客满意度为85%。
4. 优化建议（1）增加服务台数量，提高服务效率。
（2）优化顾客到达率，降低顾客等待时间。
（3）调整服务时间，缩短顾客等待时间。
《运筹学排队论》课件
合理分配服务器资源，以提高系统的吞吐量 和响应时间。
最优服务策略问题
总结词
研究如何制定最优的服务策略，以最大化系 统的性能指标。
服务顺序策略
确定服务器的服务顺序，以最小化顾客的等 待时间和平均逗留时间。
服务中断策略
在服务器出现故障时，选择最优的服务中断 策略，以最小化对顾客的影响。
服务时间分布策略
等待队长
指在某一时刻，正在等待服务的顾客总数。
逗留时间与等待时间
逗留时间
指顾客从到达系统到离开系统所经过的时间 。包括接受服务和等待的时间。
等待时间
指顾客到达系统后到开始接受服务所经过的 时间。
忙期与空闲期
要点一
忙期
指系统连续有顾客到达并接受服务的时间段。在这个时间 段内，系统内的顾客数可能会超过系统的容量。
03
02
交通运输
分析铁路、公路、航空等交通系统 的调度和运输效率。
计算机科学
研究计算机网络、云计算、分布式 系统的性能和优化。
04
排队论的基本概念
服务器
提供服务的设施或 人员。
等待时间
顾客到达后到开始 接受服务所需的时 间。
顾客
需要接受服务的对 象。
队列
顾客按到达顺序等 待服务的排列。
服务时间
顾客接受服务所需 的时间。
《运筹学排队论》ppt课件
目录
• 排队论简介 • 排队系统的组成 • 排队模型的分类 • 排队模型的性能指标 • 排队论的优化问题 • 排队论的发展趋势与展望
01
排队论简介
排队论的定义与背景
1
排队论（Queueing Theory）是运筹学的一个重 要分支，主要研究排队系统（Queueing Systems）的行为特性。
运筹学课件第十章排队论
第一节 引言
一、排队系统的特征及排队论 排队论研究排队系统的数学理论和方法， 是运筹学的一个重要分支。 排队问题表现：
到达的顾客 1、不能运转机器 2、病人 3、打电话 4、等待降落飞机 5、河水进入水库
要求的服务 修理 就诊 通话 降落 放水，调整水 位
服务机构 修理工人 医生 交换台 跑道指挥机构 水闸管理员
四、排队系统的主要数量指标和记号 描述一个排队系统运行状况的主要指标： 1、队长、排队长 队长：系统中的顾客数量（排队顾客+接受服务顾客）。
排队长：系统中的正在排队等待服务的顾客数量。
2、等待时间和逗留时间 等待时间：从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间 为等待时间。 逗留时间：从顾客到达时刻起到他接受服务完成这段时间为 逗留时间。
(i)队长有限：系统等待空间有限。 有限系统的空间为K, 顾客到达时的队长为L。若 L<K，则顾客进入队列等待服务，若L=K，则 顾客离去。 (ii) 等待时间有限： 顾客对等待时间具有不耐烦 性的系统。设最长等待时间是T0，某个顾客从 进入队列后的等待时间为 T。若T<T0，顾客继 续等待；若T=T0，则顾客脱离队列而离去。 (iii)逗留时间有限：等待时间与服务时间之和。
排队可以是人，也可以是物。 为了一致：将要求得到服务的对象统称为“顾客”，将提 供服务的服务者称为“服务员”或“服务机构”。
排队系统的一般描述; 顾客为了得到服务而到达系统，如果不能 立刻得到服务而又允许排队等待，则加入 等待队伍，待获得服务后离开系统。
顾客到达 队列 服务台 单服务台服务系统 服务完后离开
n 0
n ,n C 1 , 2 , 3 ,...... n u n p p , n 1 , 2 , 3 ,...... n 0
运筹学排队论2
换为 t ,得到
pn
(t)
(t)n
n!
et
,
t
0,
n
0,1,2,.
表示长为t的时间区间内到达n个顾客的概率为 pn (t) ,且服从泊松分布.这称为泊松流或泊松过 程或简单流. 设t时间内到达的顾客数为随机变量N(t),则有
E[N(t)] t, D[N(t)] t.
服务台
2.C个服务台,一个公共队伍
服务台1 服务台2 服务台C
3.C个服务台,C个队伍
服务台1 服务台2 服务台C
二.排队系统的三个组成部分
1.输入过程:指顾客按怎样的规律到达. ⑴顾客的总体数或顾客源:指可能到达服务机
构的顾客总数.顾客总体数可以是有限的,也可 以是无限的; ⑵顾客到达的类型:顾客是单个到达还是成批 到达; ⑶顾客相继到达时间间隔的分布,如按泊松 分布,定长分布还是负指数分布.
排队论的创始人是丹麦哥本哈根市电话局的 工程师爱尔朗(A.K.Erlang),他早期研究电话 理论,特别是电话的占线问题,就是早期排队 论的内容.
§2 排队论的基本概念
一.排队现象的共同特征:为了获得某种服务而 到达的顾客,如不能立即得到服务而又允许排 队等候,则加入等待的队伍,获得服务后离开.我 们把包含这些特征的系统称为排队系统. 排队系统的几种情况: 1.单服务台排队系统
例9.1 某仓库全天都可以进行发料业务，假设 顾客到达的时间间隔服从均值为1的负指数分 布现在有一位顾客正好中午12：00到达领料， 试求：
（1）下一个顾客将在下午1：00前到达的概率； （2）在下午1：00与2：00之间到达的概率： （3）在下午2：00以后到达的概率。
运筹学排队论
降低平均服务时间
降低服务时间旳可变性
增长服务人员
降低平均到达人数
经过顾客预约等方法来降低到达旳可变性
集中使用服务资源
更加好地计划和调度
23
处理排队问题旳措施
2.其他措施
服务场合提供娱乐设施
医生等待室放报纸杂志
自动维修间用收音机或电视
航空企业提供空中电影
等待电梯处放镜子
超级市场把冲动性商品摆放在收款台附
排队论
1
2
•
排队论，又称随机服务系统理论(,是一
门研究拥挤现象(排队、等待)旳科学。详细
地说，它是在研究多种排队系统概率规律性
旳基础上，处理相应排队系统旳最优设计和
最优控制问题。
•排队论是1923年由丹麦工程师爱尔朗
(A.K．Erlang)在研究电活系统时创建旳.
3
案例-1 银行排队系统
4
案例-2 医院排队系统
用更快旳服务人员、机器或采用不同旳设施布局和政
策来影响顾客旳到达时间和服务时间。
9
1 排队论旳基本问题
1.1 排队论旳主要研究内容
• 数量指标
– 研究主要数量指标在瞬时或平稳状态下旳
概率分布及其数字特征，了解系统旳基本
运营特征。
• 统计推断
– 检验系统是否到达平稳状态；检验顾客到
达间隔旳独立性；拟定服务时间分布及参
数。
• 系统优化
– 系统旳最优设计和最优运营问题。
10
1.2排队论旳经济含义
• 排队问题旳关键问题实际上就是对不同
原因做权衡决策。管理者必须衡量为提
供更快捷旳服务（如更多旳车道、额外
旳降落跑道、更多旳收银台）而增长旳
运筹学 第8章 排队论
第八章 排队论排队是日常生活和经济管理经常遇到的问题，如医院等待看病的病人、加油站等待加油的汽车、工厂等待维修的机器、港口等待停泊的船只等。
在排队论中把服务系统中这些服务的客体称为顾客。
由于系统中顾客的到来以及顾客在系统中接受服务的时间等均是随机的，因此排队现象是不可避免的。
对于随机服务系统，若扩大系统设备，会提高服务质量，但会增加系统费用。
若减少系统设备，能节约系统费用，但可能使顾客在系统中等待的时间加长，从而降低了服务质量，甚至会失去顾客而增加机会成本。
因此，对于管理人员来说，解决排队系统中的问题是：在服务质量的提高和成本的降低之间取得平衡，找到最适当的解。
排队论是优化理论的重要分支。
排队论是1909年由丹麦工程师爱尔郎（A.K.Erlang ）在研究电话系统时首先提出，之后被广泛应用于各种随机服务系统。
第一节 排队论的基本概念及所研究的问题一、基本概念（一）排队系统的组成一般的排队系统有三个基本组成部分：顾客的到达（输入过程）、排队规则和服务机构，如图8—1所示。
1．输入过程输入过程指顾客按什么样的规律到达。
包括如下三个方面的内容：（1）顾客总体（顾客源） 指可能到达服务机构的顾客总数。
顾客总体数可能是有限的，也可能是无限。
如工厂内出现故障而等待修理的机器数是有限的，而到达某储蓄所的顾客源相当多，可近似看成是无限的。
（2）顾客到达的类型 指顾客的到达是单个的还是成批的；（3）顾客相继到达的时间间隔分布 即该时间间隔分布是确定的（定期运行的班车、航班等）还是随机的，若是随机的，顾客相继到达的时间间隔服从什么分布（一般为负指数分布）；2．排队规则排队规则指顾客接受服务的规则（先后次序），有以下几种情况。
（1）即时制（损失制） 当顾客来到时，服务台全被占用，顾客随即离去，不排队等候。
这种排队规则会损失许多顾客，因此又称为损失制。
（2）等待制 当顾客来到时，若服务台全被占用，则顾客排队等候服务。
在等待制中，又可按顾客顾客达到排队系统 图8—1服务的先后次序的规则分为：先到先服务（FCFS，如自由卖票窗口等待卖票的顾客）、先到后服务（FCLS，如仓库存放物品）、随机服务（SIRO，电话交换台服务对话务的接通处理）和优先权服务（PR，如加急信件的处理）。
《运筹学》第六章排队论习题及答案
《运筹学》第六章排队论习题及答案《运筹学》第六章排队论习题1. 思考题（1）排队论主要研究的问题是什么；（2）试述排队模型的种类及各部分的特征；（3）Kendall 符号C B A Z Y X /////中各字母的分别代表什么意义；（4）理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念；（5）分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数，说明这些分布的主要性质；（6）试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系与区别。
2．判断下列说法是否正确（1）若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布；（2）假如到达排队系统的顾客来⾃两个⽅⾯，分别服从普阿松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布；（3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，⼜将顾客按到达先后排序，则第1、3、5、7，┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布；（4）对1//M M 或C M M //的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流；（5）在排队系统中，⼀般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对⼤量实际系统的统计研究，这样的假定⽐较合理；（6）⼀个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运⾏⾜够长的时间后，系统将进⼊稳定状态；（7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；（8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间少于允许队长⽆限的系统；（9）在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的⽅差⼤⼩有关，当服务时间分布的⽅差越⼤时，顾客的平均等待时间就越长；（10）在机器发⽣故障的概率及⼯⼈修复⼀台机器的时间分布不变的条件下，由1名⼯⼈看管5台机器，或由3名⼯⼈联合看管15台机器时，机器因故障等待⼯⼈维修的平均时间不变。
3．某店有⼀个修理⼯⼈，顾客到达过程为Poisson 流，平均每⼩时3⼈，修理时间服从负指数分布，平均需19分钟，求：（1）店内空闲的时间；（2）有4个顾客的概率；（3）⾄少有⼀个顾客的概率；（4）店内顾客的平均数；（5）等待服务的顾客数；（6）平均等待修理的时间；（7）⼀个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。
运筹学Ⅱ练习题(付答案)
练习题（博弈论部分）：1、化简下面的矩阵对策问题：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2504363432423622415332412A2、列出下列矩阵对策的线性规划表达式⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=334133313A3、用线性方程组解 “齐王赛马”的纳什均衡。
解：已知齐王的赢得矩阵为A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------3111111311111131111113111111311111134、已知对策400008060A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的最优解为：)133,134,136(),134,133,136(**==Y X ，对策值1324*=V ，求以下矩阵对策的最优解和对策值⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=203820442020202032'A5、设矩阵对策的支付矩阵为：353432323A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求其策略和策略的值。
6、求解下列矩阵对策的解：123312231A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦练习题（多属性决策部分）：2、拟选择一款洗衣机，其性能参数（在洗5Kg衣物的消耗）如下表，设各目标的重要性相同，采用折中W=3、六方案四目标决策问题的决策矩阵如下表,各目标的属性值越大越好，{0.3,0.2,0.4,0.1}T请用ELECTRE法求解，折中法，加权法求解排队论练习：例1：在某单人理发馆，顾客到达为普阿松流，平均到达间隔为20分钟，理发时间服从负指数分布，平均时间为15分钟。
求：(1)顾客来理发不必等待的概率；(2)理发馆内顾客平均数；(3)顾客在理发馆内平均逗留时间；(4)如果顾客在店内平均逗留时间超过1.25小时，则店主将考虑增加设备及人员。
问平均到达率提高多少时店主才能做这样考虑呢？例2：某机关接待室只有一位对外接待人员，每天工作10小时，来访人员和接待时间都是随机的。
若来访人员按普阿松流到达，其到达速率λ=7人/小时，接待时间服从负指数分布，其服务速率μ=7.5人/小时。
排队论在服务系统优化中的运筹学方法研究
排队论在服务系统优化中的运筹学方法研究服务系统是现代社会中不可或缺的组成部分，如银行、医院、机场等各类场所的服务流程都需要进行优化，以提高效率和用户体验。
排队论作为运筹学的一个重要分支，研究如何合理组织和管理服务系统中的排队现象，对于服务系统优化具有重要意义。
本文将探讨排队论在服务系统优化中的运筹学方法。
一、排队论基本模型排队论是研究排队现象的一门学科，其基本模型由顾客到达过程、顾客排队等待过程和顾客接受服务过程组成。
下面我们将介绍三个基本模型。
1. M/M/1模型M/M/1模型是最简单的排队论模型，代表顾客到达过程和服务过程都符合随机过程。
其中的M表示到达过程和服务过程都满足泊松过程，/表示到达过程和服务过程是独立的，1表示只有一个服务台。
该模型可以通过计算平均等待时间、平均队长等指标，来评估系统的运行效果。
2. M/M/c模型M/M/c模型是多通道排队系统的模型，代表顾客到达过程和服务过程都符合随机过程，但服务台的数量有多个。
该模型可以用于评估多个服务台的效率分配问题，提高服务系统的整体服务水平。
3. M/G/1模型M/G/1模型是顾客到达过程满足泊松分布，而服务过程满足一般分布的排队系统模型。
该模型相比于前两个模型更加复杂，但也更加接近现实服务系统的情况。
通过研究和优化M/G/1模型，可以为实际服务系统提供更准确的优化方案。
二、排队论方法在服务系统中的应用排队论方法在服务系统中的应用十分广泛，涉及到客户流量预测、服务水平评估、服务台数量决策等多个方面。
1. 客户流量预测客户流量预测是排队论方法在服务系统优化中的重要应用之一。
通过对历史数据的分析和建模，可以预测未来客户到达的概率分布，进而确定合理的服务台数量和服务水平指标。
例如，某银行可以通过排队论方法预测未来客户到达和离开的概率，从而优化柜员人数和窗口开放时间，提高客户满意度。
2. 服务水平评估排队论方法可以用于评估服务系统的服务水平，比如平均等待时间、平均队长等指标。
运筹学 排队论
运筹学排队论引言排队论是运筹学中的一个重要分支，它研究的是如何优化排队系统的设计和管理。
排队论广泛应用于各个领域，如交通流量控制、银行业务流程优化、生产线调度等，对于提高效率和降低成本具有重要意义。
本文将介绍排队论的基本概念、排队模型以及应用案例，帮助读者了解运筹学中排队论的基本原理和应用方法。
什么是排队论排队论是一门研究排队现象的数学理论，它通过定义排队系统的各个要素，如顾客到达率、服务率、队列容量等，建立数学模型分析和优化排队系统的性能指标。
排队论主要研究以下几个方面：•排队系统的模型：包括单服务器排队系统、多服务器排队系统、顾客数量有限的排队系统等。
•排队系统的性能指标：包括平均等待时间、系统繁忙率、系统容量利用率等。
•排队系统的优化方法：包括服务策略优化、系统容量规划等。
排队论的基本概念到达过程排队论中的到达过程是指顾客到达排队系统的时间间隔的随机过程。
常用的到达过程有泊松过程、指数分布等。
到达过程的特征决定了顾客到达的规律。
服务过程排队论中的服务过程是指服务器对顾客进行服务的时间间隔的随机过程。
常用的服务过程有指数分布、正态分布等。
服务过程的特征决定了服务的速度和效率。
排队模型排队模型是排队论中的数学模型，用于描述排队系统的性能和行为。
常用的排队模型有M/M/1模型、M/M/s模型等。
这些模型分别表示单服务器排队系统和多服务器排队系统。
性能指标排队系统的性能指标用于评估系统的性能，常见的性能指标有平均等待时间、系统繁忙率、系统容量利用率等。
这些指标可以帮助决策者优化排队系统的设计和管理。
排队模型与分析M/M/1模型M/M/1模型是排队理论中最简单的排队系统模型，它是一个单服务器、顾客到达过程和服务过程均为指数分布的排队系统。
M/M/1模型的性能指标可以通过排队论的公式计算得出。
M/M/s模型M/M/s模型是排队理论中的多服务器排队模型，它是一个多个服务器、顾客到达过程和服务过程均为指数分布的排队系统。
运筹学排队论例2解题步骤
解：计算结果如下表所示：
λμρP0 Ls(人) Lq(人) Ws(分) Wq(分)
1 4 0.25 0.75 0.33 0.083 20 5
2 4 0.5 0.5 1 0.5 30 15
3 4 0.75 0.25 3 2.25 60 45
4 4 1 0 ∞∞∞∞
上述数据可做如下分析：
⑴当λ为1和2时，从病人的角度来看，基本不需要候诊（Wq为5分钟和15分钟）符合病人的利益，从医院的角度看，医生平均有50%-70%的时间空闲
⑵当λ=3时，候诊病人平均2-3人，候诊平均需要45分钟，因为是急诊，给病人带来痛苦，而医务人员的空闲时间很少。
⑶当λ=4时，λ=μ由于顾客到达是随机的，候诊队列和候诊时间都将无限延长
综上分析：作为医院管理者，当发现病人的到达率为每小时3-4人时，就要考虑增加医务人员。
运筹学中的排队论分析方法
运筹学中的排队论分析方法运筹学是应用数学的一个分支，被广泛应用于优化、决策、规划等实践问题中。
排队论是运筹学的一个重要分支，它研究客户与服务设施之间的运作规律，以及对这些规律进行优化。
排队论可以应用于许多领域，例如生产线、银行、医院、交通、电信等。
排队模型从大量的数据中挑选出有用的信息，解释客户等待时间、服务设施利用率、系统吞吐量等指标。
运营商们也通过排队论找到了减少服务时间，减少成本和增加收益的方法。
排队论模型通常包括五个元素：客户、服务设施、等待行列、受服务的规则，以及长度测量方法。
客户需求量呈随机分布，服务设施数量有限且运营时间有限，等待时间呈指数分布。
排队论可以预测某个服务系统的运作状态以及在不同服务政策下的结果变化。
排队论中最著名的模型是M/M/1模型，其中M表示到达时间和服务时间都是随机的指数分布，1表示只有一个服务设施的存在。
此模型的解答涉及到稳态等长队和队列中的平均客户数和等待时间，以及服务器的平均利用率等基本指标。
除此之外，排队论中还有其他经典模型，例如M/M/c模型，其中c表示有多个服务器可供选择。
排队论也适用于某些特殊情况的研究。
例如，当服务时间为几何分布时，M/G/1模型就成为了一种理想的情况。
在这个模型中，客户需求量和服务时间具有不同的分布。
G表示这些服务时间的分布可以是任意的。
另外，排队论也可以应用于网络中的传输分配模型，以确定网络在任何负载下的可靠性和运作状态。
排队论模型可以被用于分析较小的网络，或者对于哪些带有网络化延迟的系统。
在实际应用中，排队论分析可以帮助我们寻找优化服务设备的方法。
通过排队论可以确定提高服务速度、增加系统容量或提高等待质量等措施，以提高客户的体验和收益。
在医院中，排队论可以帮助诊所和医院合理分配资源、优化服务流程，减少等待时间、减少节约成本、节约时间等指标。
总之，排队论是运筹学的重要分支，解决了客户与服务设施之间的运作规律和优化。
它在很多领域的帮助下，解决了大量的实践问题。
《运筹学》课后习题答案 EX15_解答_排队论2
第十五次作业解答习题6：（P221）9；（9）某汽车修理部有4个修理工，每个修理工可以单独修理汽车，也可以和其他修理工合作共同修理汽车。
前来修理部寻求修理的汽车按泊松流到达，平均每天到达2辆。
当修理部内有4辆汽车时，后来的汽车将离去。
修理一辆汽车所需时间服从负指数分布，若一个修理工修理一辆汽车，则平均需3天；若两个修理工修理1辆汽车，则平均需2天；若3或4个修理工修理一辆汽车，则平均需1.5天。
试求： ①画出系统状态转移图； ②求系统状态概率； ③求系统损失率；④求系统中平均的汽车数量；⑤求每辆汽车在系统中逗留的时间。
解：依题意，因为修理工可以相互合作也可以单独工作，可以把他们看成最多有4个服务台的一个修理小组，所以该系统为M/M/4/4/∞/FCFS 损失制排队系统。
2λ=辆／天，修理部的修理速度μ是一个变化的参数，具体如下：11(1/1.5)2/3μ=⨯=；22(1/2)1μ=⨯=；32(1/3)1(1/2)7/6μ=⨯+⨯=；44(1/3)4/3μ=⨯=。
150.75210c λρμ===⨯ （1）状态转移速度图：（2）系统状态概率：011103p p p p λμ=⇒=；022112100()8/326p p p p p p p λμμλ+=+⇒=-=；133223210()(32)(7/6)72/7p p p p p p p λμμλ+=+⇒=-=；244334320()(19/62)/3)108/7p p p p p p p λμμλ+=+⇒=-=。
由41kk p==∑可得，10[13672/7108/7]7/2500.028p -=++++==；120.084;0.168;p p ==340.288;0.432p p ==。
（3）系统损失率40.432p p ==损。
（4）系统中平均的汽车数量4110.08420.16830.28840.4320.0840.3360.864 1.728 3.012s n n L np ===⨯+⨯+⨯+⨯=+++=∑。
运筹学-第十章-排队论
小结
排队系统又称随机服务系统 ① 有请求服务的人或物； ② 有为顾客服务的人或物； ③ 顾客到达时间与接受服务时间是随机的。
结构： 顾客到达 ----- 排队 ------ 服务机构服务 ------ 顾客离去
类似地还可画出许多其他形式的排队系统，如串并混联的 系统，网络排队系统等
尽管各种排队系统的具体形式不同，但都可以由图10-5 加以描述
图10-5 随机服务系统
通常称上图表示的系统为一随机聚散服务系统，任一排队系 统都是一个随机聚散服务系统。 这里，“聚”表示顾客的到达，“散”表示顾客的离去。
所谓随机性则是排队系统的一个普遍特点，是指顾客的 到达情况(如相继到达时间间隔)与每个顾客接受服务的时 间往往是事先无法确切知道的，或者说是随机的。
II
在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。
3、其他相关指标
(1)忙期服务量：指一个忙期内系统平均完成 服务的顾客数；
(2)损失率: 指顾客到达排队系统，未接受服务 而离去的概率;
（对损失制或系统容量有限而言） (3)服务强度： = /s ；
根据前面的约定，我们将主要分析系统的平稳分布。于是记： Pn ：当系统达到统计平衡时处于状态n的概率（pn(t)）
② 等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不超过 某一给定的长度T，当等待时间超过T 时，顾客将自动 离去，并不再回来。 如顾客到饭馆就餐，等了一定时间后不愿再等而自动 离去另找饭店用餐。
③ 逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。例如 用高射炮射击敌机，当敌机飞越高射炮射击有效区 域的时间为t 时，若在这个时间内未被击落，也就不 可能再被击落了。
第十章 物流运筹学——排队论
2．排队问题解决 （1）排队问题分析。将每次到达的药品看作一 个客户，每次到达的药品可能有一个品规也可能 有多个品规，每个品规验收员都要进行验收。由 于国药集团医药控股沈阳有限公司物流中心的供 应商分布在全国各地，没有关联性药品到达相互 独立。验收的服务时间由于到达货物的品规数， 到货包装破损情况，药品剂型等的不同每个客户 的验收时间也不同，客户的服务时间可能服从负 指数分布。 （2）客户到达服务观察。从4月12日到7月12 日62个工作日中利用随机抽样原则随机抽取了10 天进行观察，记录每天9个时段内客户到达的数量。
c
ρ
P0
Pc
D
4 0.75 0.0377 0.1272 0.5090
5 0.6 0.0466 0.0945 0.2363
6 0.5 0.0489 0.0495 0.0990
7 0.43 0.0495 0.0215 0.0377
可见，应设置7个站台。
M / M / c / ∞ 排队系统模型（
λ
0 1
案例分析
以国药集团医药控股沈阳有限公司在验收服务 设施配置中的应用，给出排队模型，说明排队理论 在实际当中的应用情况。 • 国药集团医药控股沈阳有限公司物流中心每天 要验收大量的货物，货物到达后需要签收、验收、 入库。现验收组有两人，验收员和理货员各一人， 从2004年4月开始由于到货量增加，验收出现不及 时，经常被内部客户投诉。物流中心为提高客户服 务水平，需要增加验收服务能力，为此需要对验收 排队服务进行以下数量分析作为决策依据。 1．决策目标 （1）降低客户等待时间； （2）降低作业成本。 •
实训设计
• 【实训目标】 实训目标 掌握 M / M / c （包括 c =1）排队模型的各项系 统指标的求解方法。 • 【实训内容与要求 实训内容与要求】 在企业内或流通环节中调查数据，并以此建 立数学模型，利用排队模型计算得出的各项系统 指标来具体分析系统的结构，以获得更好的效益。 • 【成果与检验 成果与检验】 能够建立相应的排队模型，利用以给出的系 统指标公式，给出系统的量化结果。
上海交通大学管理科学-运筹学课件排队论
排队论在日常生活和工作中，人们常常会为了得到某种服务而排队等候。
比如顾客到商店购买东西，病人到医院看病，汽车进加油站加油，轮船进港停靠码头等，都会因为拥挤而发生排队等候的现象。
这时，商店的售货员和顾客，医院的医生和病人，加油站的加油泵和待加油的汽车，码头的泊位和停泊的轮船等，形成了各自的排队服务系统，简称排队系统。
在一个排队系统中，通常包括一个或多个“服务设施”，服务设施可以指人，如售货员，医院大夫等。
也可以是物，如加油泵、码头泊位等。
同时还包括许多进入排队系统要求得到服务的“顾客”。
这里的顾客是指请求服务的人或物。
如到医院看病的病人，或等待加油的汽车等。
作为顾客总希望一到系统马上就能得到服务，但客观情况并非如此。
由于顾客的到达和服务机构对每个顾客的服务时间具有随机性，因此出现排队现象几乎是不可避免的。
当然，为了方便顾客减少排队时间，排队系统可以多开设服务设施。
但那将增加系统的投资和运营成本，还可能发生空闲浪费。
排队论（Queueing Theory）是为解决上述问题而发展起来的一门学科。
排队论起源于上世纪初，当时的美国贝尔（Bell）电话公司发明了自动电话后，满足了日益增长的电话通讯的需要。
但另一方面，也带来了新的问题，即如何合理配置电话线路的数量，以尽可能减少用户的呼叫次数。
如今，通讯系统仍然是排队论应用的主要领域。
同时在运输、港口泊位设计、机器维修、库存控制等领域也获得了广泛的应用。
6. 1 排队系统的基本概念6. 1. 1排队系统的一般表示一个排队系统可以抽象描述为：为了获得服务的顾客到达服务设施前排队，等候接受服务。
服务完毕后就自行离开。
其中把要求得到服务的对象称为顾客，而把服务者统称为服务设施或服务台。
在排队论中，把顾客的到达和离开称为排队系统的输入和输出。
而潜在的顾客总体又称为顾客源或输入源。
因此任何一个排队系统是一种输入－输出系统，其基本结构如图6-1所示。
排队系统图6-16. 1. 2排队系统的特征由排队系统的基本结构可知，任何一个排队系统的特征可以从以下三个方面加以描述。
第10章 排队论 《运筹学》PPT课件全
WL
Wq
Lq
W
1
M/M/s 混 合 制 排 队 模 型
一、 单服务台混合制模型
M/M/1/K： 顾客的相继到达时间服从参数 为λ的负指数分布(即顾客的到达过程为 Poisson流)，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为μ的负指数分布，系统的空间 为K。
单
平稳状态下队长N的分布pn=P{N=n},n=0,1,2,…。
服
由于所考虑的排队系统中最多只能容纳K个顾 客(等待位置只有K-1个)，因而有
务 台
n
0
n
n=0,1,2,...,K-1 n≥K n=1,2,...K
混 合
有
Cn
(
)n
n
n=0,1,2,...,K
0
n>K
制
故 pn n p0 n=1,2,…,K
模 型
1
其中，p0
1
1
K
n
1
K
1
1
n1
统
其分布函数为B(t)，密度函数为b(t)，则
的
常见的分布有： (1) 定长分布(D)
描
(2) 负指数分布(M)
述
(3) k阶爱尔朗分布(Ek)：
排
排队系统的符号表示
队
“Kendall记号”，其一般形式为：X/Y/Z/A/B/C，其中 XX：顾客到达时间间隔的分布
系
YY：服务时间的分布
统
Z Z：服务台个数
的
A ：系统容量 B B：顾客源数量
符
C C：服务规则
号
例 （M / M / 1 /
FCFS）表示：
表
到达间隔为负指数分布，服务时间也为负指数分 布，1个服务台，顾客源无限，系统容量也无限，
运筹学（）——精选推荐
4
1.3 设有单人打字室一间，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达时间间隔为 20 分钟，打字 时间服从负指数分布，平均为 15 分钟。求： （1）顾客来打字不必等待的概率； （2）打字室内顾客的平均数； （3）顾客在打字室内的平均逗留时间； （4）若顾客在打字室内的平均逗留时间超过 1.25 小时，则主人将考虑增加设备及打字员。 问顾客的平均到达率为多少时，主人才会考虑这样做？
（1）根据 / 说明增加工人的原因；
（2）增加工人后店内空闲的概率；店内至少有 2 个或更多的顾客的概率 ；
（3）求 L, Lq ,W ,Wq 。
1.13 某火车站的电话问讯处有 3 部电话，可以视为 M/M/3/3 系统。已知平均每隔 2 分钟 有一次问讯电话（包括接通和未接通的），每次通话平均时间为 3 分钟。试问打来问讯处的 电话能接通的概率为多少？
1.15 顾客以每小时 4 人的平均到达率到一个双人理发店理发，顾客到达过程为 Poisson 流。当顾客到达理发店 时发现理发店已 有顾客在理发， 则该顾客就拒绝 进入此店，并不再 来。若理发店的理发时间服从负指数分布。试问：
（1）若要保证在可能到达的顾客中至多有 40% 的顾客不进入理发店，则每个理发师 必须以怎样的服务率进行服务？
（2）进入理发店的平均顾客数是多少？ （3）顾客的平均理发时间是多少？
二、对策论题（以下试题选做一道题，20 分）
2.1 甲、乙两游泳队举行包括两个项目的对抗比赛，两队各有一名健将级运动员（甲队为
李，乙队为王），在 3 个项目上的成绩都很突出。但规则规定他们每人只许参加两项比赛，
每队的其他两名运动员可参加全部 3 项比赛。已知各运动员的平时成绩（秒）见表 2。假定 各运动员在比赛中正常发挥水平，又设比赛的第一名得 5 分，第二名得 3 分，第三名得 1 分。问教练应决定让自己队健将参加那两项比赛，可使本队得分最多？
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引言 排队论的基本概念 顾客到达数及服务时间的理论分布 单服务台(M/M/1)排队模型 多服务台的排队模型 排队系统费用的优化模型
§1 引言
排队是日常生活和经济领域中常见的现象.如 顾客在邮局,银行排队办理业务,病人在医院排 队就医,工厂中等待维修的机床,港口内等候卸 货或进港的轮船,机场内等候起飞或降落的飞 机,等等.这都是有形的排队现象.打电话时占线, 需要等待,这是无形的排队现象. 排队是怎样产生的? 首先,我们把上述现象中的人或物,看做是被服 务队象,他们希望得到某种服务,如果在某个时
客数
:系统的平均服务速率,即单位时间内可服务完
的顾客数 pn (t) :在时刻t时系统中有n个顾客的概率 C:服务台的个数 FCFS:先到先服务的排队规则 LCFS:后到先服务的排队规则
PR:优先权服务的排队规则 M:到达过程为泊松过程或负指数过程 D:定长型分布 Ek :k阶爱尔朗分布
a:顾客到达过程的概率分布(输入) b:服务过程的概率分布(输出) d:排队系统的最大容量 e:顾客总体的数量 f:排队规则
负指数分布的一个重要特征是“无记忆性”， 也称无后效性或马尔科夫性。这个性质为排 队轮问题的求解带来了方便。如果输入分布 或服务分布为负指数分布，则不论实际排队 过程进行了多长时间，要研究从现在起以后 的情况，只要考虑当前排队所处的状况就可 以了，在此以前的情况可以不考虑，就好像 过程刚开始一样。
1953年由K.D.Kendall提出了排队模型记号 方案,由a/b/c/d组成,即 输入/输出/并联服务台数/顾客总体数量
如:M/M/1/ 表示:排队系统中顾客到达
是泊松过程,服务时间服从负指数分布,单服 务台,顾客源无限.
1971年国际排队符号标准会上将上述符号扩 充到六项,即a/b/c/d/e/f.
n!
现将上式参数 引入时间因素 t ,即将
换为 t ,得到
pn (t)
(t)n
n!
et
,tΒιβλιοθήκη 0, n0,1,2,
.
表示长为t的时间区间内到达n个顾客的概率为 pn (t) ,且服从泊松分布.这称为泊松流或泊松过 程或简单流. 设t时间内到达的顾客数为随机变量N(t),则有
E[N(t)] t, D[N(t)] t.
注意: 参数表示单位时间内到达顾数的平均值.
二.负指数分布
现在研究当输入过程是泊松流时,两顾客先后
到达时间间隔T的概率分布.
由
pn
(t)
(t)n
n!
et
,t
0, n
0,1,2,
.
可知,当n=0时即在[0,t]内没有顾客到达的概率
为 p0 (t) et , 则至少有一个顾客到达的概率 分布函数为 FT (t) 1 et ,t 0, 相应的概率密
刻,要求服务的对象超过了服务机构所能提 供的服务数量时就产生了排队现象. 要减少排队,可以增加服务设施,但是如果增 加的太多,服务设施又会出现空闲浪费;如果 服务设施少,顾客排队太长时,就会损失顾客 也会造成很大损失.因此,决策者必须在服务 对象和服务台之间取得平衡,达到一种最优 配置.此外,在一些大型项目的设计中(港口泊 位,机场跑道,电话线路等),也要根据排队理 论作到超前设计,同时还要考虑费用的优化 问题,这就是排队论研究的内容.
服务台
2.C个服务台,一个公共队伍
服务台1 服务台2 服务台C
3.C个服务台,C个队伍
服务台1 服务台2 服务台C
二.排队系统的三个组成部分
1.输入过程:指顾客按怎样的规律到达. ⑴顾客的总体数或顾客源:指可能到达服务机
构的顾客总数.顾客总体数可以是有限的,也可 以是无限的; ⑵顾客到达的类型:顾客是单个到达还是成批 到达; ⑶顾客相继到达时间间隔的分布,如按泊松 分布,定长分布还是负指数分布.
排队论的创始人是丹麦哥本哈根市电话局的 工程师爱尔朗(A.K.Erlang),他早期研究电话 理论,特别是电话的占线问题,就是早期排队 论的内容.
§2 排队论的基本概念
一.排队现象的共同特征:为了获得某种服务而 到达的顾客,如不能立即得到服务而又允许排 队等候,则加入等待的队伍,获得服务后离开.我 们把包含这些特征的系统称为排队系统. 排队系统的几种情况: 1.单服务台排队系统
2.排队规则:指顾客接受服务的先后次序问 题
⑴损失制:顾客到达时,服务台被占用,顾客随 即离去,不再接受服务; ⑵等待制:服务台被占用,顾客排队等候.根据 服务台对顾客服务的先后顺序又分为 ⅰ.先到先服务; ⅱ.后到先服务; ⅲ.随机服务; ⅳ.优先权服务. ⑶混合制:顾客起初排队,看到队伍太长又离去.
如:M/M/1/ / /FCFS) M/M/4/N/ /FCFS)
§3 顾客到达数及服务时间的理论分布
在排队服务过程中,单位时间内顾客到达数,顾 客到达时间间隔,服务时间都是随机变量,因此 必须了解它们的概率分布. 一.泊松流
泊松分布 pX n n e , n 0,1,2, , 0.
度为 FT(t) fT (t) et , (t 0).
1
1
E(T ) , D(T ) 2
三.服务时间v的概率分布
一般总是假定顾客接受服务的时间v也服从负
指数分布
fv (t) et , 是单位时间能服务完的顾客数,
E(v)
1
,
D(v)
1
2
注意 : E(v) 1 是一个顾客的平均服务 时间.
3.服务机构:又称服务台
⑴服务台的数目:有单服务台,多服务台; ⑵任一时刻接受服务的顾客数; ⑶服务时间的分布:对每个顾客的服务时间是 随机变量,但是其概率分布多按负指数分布来 处理,也有的服从定长分布.
二.排队系统的描述符号及分类
n:排队系统中顾客的数目
:顾客到达的平均速率,即单位时间内到达 的顾
例9.1 某仓库全天都可以进行发料业务，假设 顾客到达的时间间隔服从均值为1的负指数分 布现在有一位顾客正好中午12：00到达领料， 试求：
（1）下一个顾客将在下午1：00前到达的概率； （2）在下午1：00与2：00之间到达的概率： （3）在下午2：00以后到达的概率。
解：因为顾客到达间隔时间T服从负指数分 布，所以T 的概率密度为