人教A版数学必修一11-2集合间的基本关系

高中数学学习材料
金戈铁骑整理制作
1.1.2集合间的基本关系
一、选择题
1．对于集合A ，B ，“A ⊆B ”不成立的含义是( )
A ．
B 是A 的子集
B ．A 中的元素都不是B 的元素
C ．A 中至少有一个元素不属于B
D ．B 中至少有一个元素不属于A
[答案] C
[解析] “A ⊆B ”成立的含义是集合A 中的任何一个元素都是B 的元素．不成立的含义是A 中至少有一个元素不属于B ，故选C.
2．集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}，P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}那么( )
A ．P M
B ．M P
C ．M ＝P
D ．M P [答案] C
[解析] 由xy >0知x 与y 同号，又x ＋y <0
∴x 与y 同为负数
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y <0xy >0等价于⎩⎨⎧
x <0y <0∴M ＝P . 3．设集合A ＝{x |x 2＝1}，B ＝{x |x 是不大于3的自然数}，A ⊆C ，B ⊆C ，则集合C 中元素最少有( )
A ．2个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
[答案] C
[解析] A ＝{－1,1}，B ＝{0,1,2,3}，
∵A ⊆C ，B ⊆C ，
∴集合C 中必含有A 与B 的所有元素－1,0,1,2,3，故C 中至少有5个元素．
4．若集合A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2,1}且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 [答案] C
[解析] ∵B ⊆A ，∴x 2∈A ，又x 2≠1
∴x 2＝3或x 2＝x ，∴x ＝±3或x ＝0.故选C.
5．已知集合M ＝{x |y 2＝2x ，y ∈R }和集合P ＝{(x ，y )|y 2＝2x ，y ∈R }，则两个集合间的关系是( )
A ．M P
B ．P M
C ．M ＝P
D ．M 、P 互不包含
[答案] D
[解析] 由于两集合代表元素不同，因此M 与P 互不包含，故选D.
6．集合B ＝{a ，b ，c }，C ＝{a ，b ，d }；集合A 满足A ⊆B ，A ⊆C .则满足条件的集合A 的个数是( )
A ．8
B ．2
C ．4
D ．1 [答案] C
[解析] ∵A ⊆B ，A ⊆C ，∴集合A 中的元素只能由a 或b 构成．∴这样的集合共有22＝4个．
即：A ＝∅，或A ＝{a }，或A ＝{b }或A ＝{a ，b }．
7．设集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12
，k ∈Z }，则( ) A ．M ＝N
B ．M N
C ．M N
D ．M 与N 的关系不确定 [答案] B
[解析] 解法1：用列举法，令k ＝－2，－1,0,1,2…可得
M ＝{…－34，－14，14，34，54
…}， N ＝{…0，14，12，34
，1…}， ∴M N ，故选B.
解法2：集合M 的元素为：x ＝k 2＋14＝2k ＋14(k ∈Z )，集合N 的元素为：x ＝k 4＋12＝k ＋24
(k ∈Z )，而2k ＋1为奇数，k ＋2为整数，∴M N ，故选B.
[点评] 本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解．注意若k 是任意整
数，则k＋m(m是一个整数)也是任意整数，而2k＋1,2k－1均为任意奇数，2k为任意偶数．8．集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数是()
A．16 B．8
C．7 D．4
[答案] C
[解析]因为0≤x<3，x∈N，∴x＝0,1,2，即A＝{0,1,2}，所以A的真子集个数为23－1＝7.
9．(09·广东文)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是()
[答案] B
[解析]由N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}得，N M，选B.
10．如果集合A满足{0,2}A⊆{－1,0,1,2}，则这样的集合A个数为()
A．5 B．4
C．3 D．2
[答案] C
[解析]集合A里必含有元素0和2，且至少含有－1和1中的一个元素，故A＝{0,2,1}，{0,2，－1}或{0,2,1，－1}．
二、填空题
11．设A＝{正方形}，B＝{平行四边形}，C＝{四边形}，D＝{矩形}，E＝{多边形}，则A、B、C、D、E之间的关系是________．
[答案]A D B C E
[解析]由各种图形的定义可得．
12．集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N*}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N*}，则集合M与集合P 的关系为________．
[答案]M P
[解析]P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N*}
＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈N*}
∵a∈N*∴a－2≥－1，且a－2∈Z，即a－2∈{－1,0,1,2，…}，而M＝{x|x＝a2＋1，
a ∈N *}，∴M P .
13．用适当的符号填空．(∈，∉，⊆，⊇，，，＝)
a ________{
b ，a }；a ________{(a ，b )}；
{a ，b ，c }________{a ，b }；{2,4}________{2,3,4}；
∅________{a }．
[答案] ∈，∉，，，
*14.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ＝a ＋16，a ∈Z ， B ＝{x |x ＝b 2－13
，b ∈Z }， C ＝{x |x ＝c 2＋16
，c ∈Z }． 则集合A ，B ，C 满足的关系是________(用⊆，，＝，∈，∉，中的符号连接A ，B ，
C )．
[答案] A B ＝C
[解析] 由b 2－13＝c 2＋16
得b ＝c ＋1， ∴对任意c ∈Z 有b ＝c ＋1∈Z .
对任意b ∈Z ，有c ＝b －1∈Z ，
∴B ＝C ，又当c ＝2a 时，有c 2＋16＝a ＋16
，a ∈Z . ∴A C .也可以用列举法观察它们之间的关系．
15．(09·北京文)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，那么k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______个．
[答案] 6
[解析] 由题意，要使k 为非“孤立元”，则对k ∈A 有k －1∈A .∴k 最小取2.
k －1∈A ，k ∈A ，又A 中共有三个元素，要使另一元素非“孤立元”，则其必为k ＋1.所以这三个元素为相邻的三个数．∴共有6个这样的集合．
三、解答题
16．已知A ＝{x ∈R |x ＜－1或x ＞5}，B ＝{x ∈R |a ≤x ＜a ＋4}，若A B ，求实数a 的取值范围．
[解析] 如图
∵A B ，∴a ＋4≤－1或者a ＞5.
即a ≤－5或a ＞5.
17．已知A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋a <0}，当B ⊆A 时，求实数a 的取值范围．
[解析] ∵A ＝{x |x <－1或x >2}，
B ＝{x |4x ＋a <0}＝{x |x <－a 4
}， ∵A ⊇B ，∴－a 4
≤－1，即a ≥4， 所以a 的取值范围是a ≥4.
18．A ＝{2,4，x 2－5x ＋9}，B ＝{3，x 2＋ax ＋a }，C ＝{x 2＋(a ＋1)x －3,1}，a 、x ∈R ，求：
(1)使A ＝{2,3,4}的x 的值；
(2)使2∈B ，B A 成立的a 、x 的值；
(3)使B ＝C 成立的a 、x 的值．
[解析] (1)∵A ＝{2,3,4} ∴x 2－5x ＋9＝3
解得x ＝2或3
(2)若2∈B ，则x 2＋ax ＋a ＝2
又B A ，所以x 2－5x ＋9＝3得x ＝2或3，将x ＝2或3分别代入x 2＋ax ＋a ＝2中得a ＝－23或－74
(3)若B ＝C ，则⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋ax ＋a ＝1①x 2＋(a ＋1)x －3＝3② ①－②得：x ＝a ＋5 代入①解得a ＝－2或－6
此时x ＝3或－1.
*19.已知集合A ＝{2,4,6,8,9}，B ＝{1,2,3,5,8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集，若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合
C .
[解析] 由题设条件知C ⊆{0,2,4,6,7}，C ⊆{3,4,5,7,10}，∴C ⊆{4,7}，∵C ≠∅，∴C ＝{4}，{7}或{4,7}．。