【高考文数常考21+55+30个二级结论】高考文科数学常考21+55+30个二级结论及应用含答案
2023年高考数学：高中数学常用二级结论
高中数学40条秒杀公式1.适用条件：[直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。
x为分离比，必须大于1。
注上述公式适合一切圆锥曲线。
如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。
2.函数的周期性问题(记忆三个)：（1）若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;（2）若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;（3）若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。
注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。
c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。
3.关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：（1）若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2（2）函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称（3）若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称4.函数奇偶性：（1）对于属于R上的奇函数有f(0)=0（2）对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项（3）奇偶性作用不大，一般用于选择填空5.数列爆强定律：1.等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a72.等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差3.等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立4.等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q6.数列的终极利器，特征根方程。
(如果看不懂就算了)。
首先介绍公式：对于a n+1=pa n+q，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p²(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。
高中数学常用的51个二级结论
高中数学常用的51个二级结论高中数学是一门基础性很强的学科，其中包括了很多的二级结论，这些结论在高中数学中经常被用到，是我们学好高中数学必须要掌握的基本知识点。
下面就来介绍一下高中数学常用的51个二级结论。
1. 等腰三角形的顶角平分线也是底边中线。
2. 等腰三角形的底角平分线也是高线。
3. 等腰三角形的两底角相等。
4. 三角形内角和为180度。
5. 外角等于不相邻两个内角之和。
6. 锐角三角形中，最大的角对应的边最长。
7. 直角三角形中，斜边是两直角边的平方和的算术平方根。
8. 任意两角的和等于它们的补角的差。
9. 任意两角的差等于它们的补角的和。
10. 长方形的对角线相等。
11. 平行四边形的对角线互相平分。
12. 平行四边形的对边相等。
13. 任意三边可以构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边。
14. 三角形两边之和大于第三边。
15. 等腰三角形的高和底边的中线相等。
16. 等边三角形的三条边相等。
17. 正方形的四条边和四个角都相等。
18. 直角梯形的对腰相等。
19. 直角梯形的底边中线等于上底和下底的算术平均数。
20. 圆的周长是2πr。
21. 圆的面积是πr。
22. 线段垂直平分线的唯一性。
23. 三角形外接圆半径等于三边长的乘积除以4Δ。
24. 三角形外接圆圆心是三角形三个顶点的垂直平分线的交点。
25. 正方形的对角线垂直。
26. 两直线平行，它们的斜率相等。
27. 两直线垂直，它们的斜率之积为-1。
28. 一次函数y=kx+b的图像是一条直线。
29. 二次函数y=ax+bx+c的图像是开口向上或向下的抛物线。
30. 一个负数的平方是正数。
31. 两个负数的积是正数。
32. 两个正数的积是正数。
33. 两个负数的和是负数。
34. 两个正数的和是正数。
35. 任意数乘以1等于本身。
36. 任意数乘以0等于0。
37. 一次函数的图像经过原点，当且仅当b=0。
38. 两个互质的数的积是它们的最小公倍数。
高考文科数学必考知识点
高考文科数学必考知识点高考文科数学必考知识点主要包括数与代数、函数与方程、几何与空间、统计与概率四个模块，下面将对每个模块的重点内容进行详细介绍。
一、数与代数1. 整式与分式整式是只包含有限个非负整数次幂的代数式，如2x²+3x-1；分式是由多项式除以非零多项式得到的表达式，如(2x²+3x-1)/(x+2)。
必考知识点包括整式的加减乘除运算、分式的约分和等值变形。
2. 方程与不等式方程是含有未知数的等式，如2x+3=7；不等式是含有未知数的不等式，如2x+3>7。
必考知识点包括一元一次方程及其应用、一元二次方程及其应用、一元一次不等式及其应用。
3. 指数与对数指数是用来表示乘法的重复操作，如2³=2×2×2；对数是指数运算的逆运算，如log₂8=3。
必考知识点包括指数与幂、对数的定义和性质。
4. 等比数列与等差数列等差数列是指相邻两项之差相等的数列，如1, 3, 5, 7, ...；等比数列是指相邻两项之比相等的数列，如2, 4, 8, 16, ...。
必考知识点包括等差数列与等比数列的通项公式、求和公式及其应用。
二、函数与方程1. 函数函数是一个映射关系，将一个集合的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素，如y=x ²。
必考知识点包括函数的定义、函数的图像、函数的性质以及常见的基本函数。
2. 二次函数二次函数是一个以x的二次多项式形式表示的函数，如y=ax²+bx+c。
必考知识点包括二次函数的图像、二次函数的最值、零点及其应用。
3. 指数函数与对数函数指数函数是以变量为指数的函数，如y=2ˣ；对数函数是指数函数的逆运算，如y=log₂x。
必考知识点包括指数函数与对数函数的图像、性质和应用。
4. 三角函数三角函数是描述角度与边长之间关系的函数，如y=sin(x)。
必考知识点包括三角函数的图像、周期性、相关性质以及应用。
高中数学常用二级结论(精编)
高中数学常用二级结论一、基础常用结论1.立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²-ab+b²);立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²).2. 任意的简单n 面体内切球半径为(V 是简单n 面体的体积， S表是简单n 面体的表面积).3. 在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c, 则△ABC的内切圆半径为4.斜二测画法直观图面积为原图形面积的倍.5. 平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和6. 函数ʃ{(x)具有对称轴x=a,x=b(a≠b),则ʃ(x)为周期函数且一个正周期为2 |a-b|.7. 导数题常用放缩e²≥x+1,e*>ex(x>1).8. 点(x,y) 关于直线Ax+By+C=0 的对称点坐标二、圆锥曲线相关结论10.若圆的直径端点A(x,yi),B(x₂,y₂), 则圆的方程为(x-x₁)(x-x₂)+(y-yi)(y-y₂)=0.11. 椭圆的面积S 为S=πab.12. 过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点.13.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导.推论：①过圆(x-a)²+(y-b)²=r²上任意一点P(xo,yo) 的切线方程为(x o-a)(x-a)+(vo-b)(y-b)=r²;②过椭圆上任意一点P(x₀,y₀)的切线方程为;③过双曲：上任意一点P(xo,yo)的切线方程为 1.14.任意满足ax”+by”=r的二元方程，过曲线上一点(x₁,yi)的切线方程为ax,x'-+by₁y°+=r.15. 切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两 切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程. ①过圆x²+y²+Dx+Ey+F=0 外一点P(x ₀,y ₀) 的 切点弦方程②过椭圆外 一 点P(x ₀,yo) 的切点弦方程为;③过双曲线)外一点P(x,yo) 的切点弦方程为;④过抛物线y²=2px(p>0) 外一点P(x ₀,y ₀) 弦方程为yoy=p(x ₀+x);⑤二次曲线Ax²+Bry+Cy²+Dx+Ey+F=0点 P(x ₀,y ₀) 的 切 点 弦 方 程 为16.①椭圆与直线Ax+By+C=0(AB≠0) 相切的条件是A²a²+B²b²=C²;②双曲线与直线的切点外17.若A、B、C、D是圆锥曲线(二次曲线)上顺次的四点，则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是：直线AC、BD的斜率存在且不等于零，并有kac+kaD=0 (k₄c,k₈p 分别表示AC和BD的斜率).18.已知椭圆方程为),两焦点分别为F,F2, 设焦点三角形PFF₂中∠PEF₂=θ,则cosθ≥1-2e²(cosθmm=1-2e²).19.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为x₀的点P 的距离)公式₁₂=a±ex₀.20.已知k,k₂,k₃为过原点的直线l,l₂,I₃的斜率，其中l₂是l₁和l₃的角平分线，则k,k₂,k₃满足下述转化关系：,21. 椭圆绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积22. 过双曲线上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为23.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值。
(word完整版)高中高考数学所有二级结论《完整版》(2021年整理)
(word完整版)高中高考数学所有二级结论《完整版》(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(word完整版)高中高考数学所有二级结论《完整版》(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(word完整版)高中高考数学所有二级结论《完整版》(word版可编辑修改)的全部内容。
高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V3（V 是简单n 面体的体积,表S 是简单n 面体的表面积） 2.在任意ABC △内,都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C推论：在ABC △内,若tan A +tan B +tan C 〈0，则ABC △为钝角三角形3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点5.导数题常用放缩1+≥x e x、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =7.圆锥曲线的切线方程求法:隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx③过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx8.切点弦方程:平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E yy D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-byy a x x④抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=⑤二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =-10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线（二次曲线)上顺次四点，则四点共圆(常用相交弦定理）的一个充要条件是：直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,（AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率）11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2m ax 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径（椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离）公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率,其中2l 是1l 和3l 的角平分线,则1k ,2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=,31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-=14.任意满足r by ax nn=+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为r y by x ax n n =+--111115.已知f (x ）的渐近线方程为y=ax+b ，则a xx f x =∝+→)(lim，b ax x f x =-∝+→])([lim16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34=17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f （x ）为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点,则纵坐标之和为22222bk a mb + 21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法（一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29)AC C B B A S zA C y CB x B A ⋅+⋅+⋅==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e （即椭圆的偏心率，ace =）的点的集合（定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数） 双曲线第二定义：平面内,到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线23.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则21121tan k k k k θ=⋅+-24.A 、B 、C 三点共线⇔OD nm OB OC n OA m OD +=+=1,（同时除以m+n ） 25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab 26.反比例函数)0(>=k xky 为双曲线,其焦点为)2,2(k k 和)2,2(k k --,k 〈0 27。
新课标高考数学常考高频核心考点重要结论汇总(word版)
新课标高考数学常考高频核心考点重要结论汇总（word版）一、三角函数部分1、同角三角函数的基本关系：sin2α+cos2α=1、sinαcosα=tanα、 tanα∙cotα=12、两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβ+sinαsinβtan(α±β)=tanα±tanβ1∓tanαtanβ3、降幂公式：sinxcosx=12sin2x; sin2x=12(1−cos2x); cos2x=12(1+cos2x)4、asinωx+bcosωx=√a2+b2sin(ωx+φ) (辅助角φ由(a，b)所在象限决定tanφ=ba)5、二倍角的正弦、余弦、正切公式：sin2α=2sinαcosαcos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²αtan2α=2tanα1−tan2α6、正弦定理：asinA =bsinB=csinC=2R (R是△ABC外接圆的半径)7、余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA; b²=a²+c²-2accosB; c²=b²+a²-2bacosC.8、三角形面积公式：① S =12a ℎa =12b ℎb =12c ℎc② S =12bcsinA =12acsinB =12absinC ③S =abc 4R (R 为△ABC 外接圆半径)④ S =12(a +b +c )r (r 为△ABC 内切圆半径)⑤海伦-秦九韶公式： S =√p (p −a )(p −b )(p −c ) (其中 p =12(a +b +c )) ⑥坐标表示： AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x₁,,y₁) ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x₂,,y₂), 则 S =12|x 1y 2−x 2y 1|9、常用名称和术语：坡角、仰角、俯角、方位角、方向角二、数列10、a n 与s n 的关系：a n ={S 1 (n =1)S n −S n−1(n ≥2)11、等差数列:①定义:a n −a n−1=d (n ∈N ₊, n ≥2) 或 a n+1−a n =d (n ∈N ₊) ②等差数列的通项公式及其变形：a n =a 1+(n −1)d =dn +a 1−d (n ∈N ₊); a n =a m +(n −m )d (m ,,n ∈N ₊) d =a n −a m n−m(n ≠m,, m 、n ∈N +)③等差数列的前n 项和s n ; S n =n (a 1+a n )2=na; S n =na 1+n (n−1)2d12、等比数列: ①定义: a nan+1=q (q ≠0, n ∈N +,n ≥2) 或a n+1a n=q (q ≠0, n ∈N +)②等比数列的通项公式及其变形：a n =a 1q n−1=(a 1q)q n (q ≠0, n ∈N +)a n=a mq n−m (q ≠0, m , ,n ∈N ₊)a m+n =a m q ⁿ=a n qᵐ (q ≠0, m , ,n ∈N ₊)S m+n =S m +S n qᵐ=S n +S m q ⁿ③等比数列的前n 项和S nS n ={na 1 (q =1)a 1(1−q n )1−q =a 1−a n q 1−q(q ≠1)13、求数列的通项公式a n 的方法 ①公式法:若数列a n 是等差数列：找a 1和d ，再利用公式a n =a 1+(n −1)d (n ∈N ₊) 若数列a n 是等差数列：找a 1和q ，再利用公式 a n =a 1q ⁿ⁻¹ (n ∈N ₊). ②知S n 求a n 法：利用a n ={S 1 (n =1)S n −S n−1 (n ≥2);③叠加法：形如：a n =a n−1+f (n ) (n ∈N ₊,n ≥2) 或 a n+1=a n +g (n ) (n ∈N ₊); ④构造法：形如: a n =ka n−1+b (k 、b 均为常数,且k ≠1,b ≠0,n ∈N ₊,n ≥2); 构造一：设 (a n +λ)=k (a n−1+λ)⇒{a n +λ} 是等比数列构造二：由 a n =ka n−1+b ⇒a n+1=ka n +b, 相减整理得： an+1−a na n−a n−1=k ⇒{a n −a n−1}是等比数列⑤广义叠加法：形如：a n =ka n−1+f (n ) (k 为常数，且 k ≠1,n ∈N₊,n ≥2) 或 a n+1=ka n +g (n ) (k 为常数，且k ≠1,n ∈N₊)构造一：a n =ka n−1+f (n )⇒a n k n =a n−1k n−1+f (n )k n , 令b n =an k n ,转化成b n =b n−1+g (n )再叠加；构造二：a n+1=ka n +g (n )⇒a n+1k n+1=an k n +g (n )k n+1,令 b n+1=an+1k n+1,转化成b n+1=b n +ℎ(n )再叠加；⑥叠乘法：形如: a na n−1=f (n )(n ∈N +,n ≥2) 或a n+1a n=g (n )(n ∈N +);⑦对数变换法：形如:a n =ba n−1k (b >0,a n >0,n ∈N +,n ≥2)或a n+1=ba n k(b >0,a >0,n ∈N₊,n ≥2); 构造一： a n =ba n−1k ⇒lga n =klga n−1+lgb, 令 b n =lga n , 化成 b n =kb n−1+m 再用构造法即可构造二：a n+1=ba n k ⇒lga n+1=klga n +lgb, 令b n+1=lga n+1,化成b n+1=kb n +m 再用构造法即可注意：底数不一定要取10，可根据题意选择。
高中数学解题必备的50个二级结论
高中数学解题必备的50个二级结论高中数学是数学的一个重要阶段，涉及到各种数学概念、定理和方法。
在高中数学中，我们常常会遇到一些常用的二级结论，这些结论在解题时经常会起到关键的作用。
下面是高中数学解题必备的50个二级结论：1.直线与平面的交点个数：直线与平面交于一点、无交点、交于无穷远点。
2.平面与平面的交线情况：平面与平面相交于一条直线、平行、重合。
3.两直线夹角为锐角或钝角，其对应的两对平行线夹角也为锐角或钝角。
4.两相交直线的一对对应角互补，则两相交直线平行。
5.两相交直线的一对对应角互补，则这两条直线必不互相垂直。
6.锐角两边垂直平分线之交点在锐角内部。
7.直线垂直平分线与直线相交，则相交点到直线的两个端点的距离相等。
8.平行线两边的夹角相等。
9.平行线与一直线的交角相等。
10.两直线平行，那么它们的垂直平分线也平行。
11.两平行线之间的距离是不变的。
12.两垂直平分线的交点为原线段的中点。
13.锐角两边垂直平分线的交点到顶点的连线为高。
14.在一个等腰三角形中，底边上的高和底边中点的连线垂直，且互相垂直平分。
15.在一个等腰三角形中，底边上的高和与底边垂直的平分线互相垂直。
16.一个三角形内部的任意一条直线与三角形边平行或垂直，则这条直线分割出的小三角形与原始三角形的形状相似。
17.利用辅助线，可以将一个图形分割为几个形状相似的图形，从而简化计算。
18.在一个等腰三角形中，底边上的中线和高互相垂直。
19.在一个等腰三角形中，底边上的中线和与底边平行的高互相垂直。
20.两个互补角，它们的正弦值、余弦值、正切值互为相反数。
21.两个互补角，它们的正弦值、余弦值、正切值互为倒数。
22.在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
23. sinA是锐角，那么cosA就是钝角。
24.在一个三角形中，两个角的和等于第三个角的补角。
25.任意一个角的余弦的绝对值小于等于1。
26.钝角的正弦的绝对值小于等于1。
高中高考数学所有二级结论《完整版》
高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点5.导数题常用放缩1+≥x e x、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--①过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx①过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-by y a x x①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=①二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =-10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2m ax 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-= 14.任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为r y by x ax n n =+--111115.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a xx f x =∝+→)(lim，b ax x f x =-∝+→])([lim16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34=17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222b k a mb +21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29)AC C B B A S zA C y CB x B A ⋅+⋅+⋅==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，ace =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于123.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则tan θ=24.A 、B 、C 三点共线⇔nm n m +=+=1,(同时除以m+n ) 25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab26.反比例函数)0(>=k xky 为双曲线，其焦点为)2,2(k k 和)2,2(k k --，k <0 27.面积射影定理：如图，设平面α外的①ABC 在平面α内的射影为①ABO ，分别记①ABC 的面积和①ABO 的面积为S 和S′ ，记①ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ = S′ : S28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 29.数列不动点：定义：方程的根称为函数的不动点利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法x x f =)()(x f )(x f )(1-=n n a f a定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.定理2：设，满足递推关系，初值条件(1)若有两个相异的不动点，则（这里）(2)若只有唯一不动点，则（这里）定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,30.(1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+==-=++342cos 2cos 2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA ，*N ∈k(2)若πC B A =++，则：①2sin 2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin CB AC B A C B A =++++②2sin 2sin 2sin 41cos cos cos CB AC B A +=++③2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin 222C B A C B A -=++④4sin4sin 4sin 412sin 2sin 2sin C B A C B A ---+=++πππ ⑤2sin 2sin 2sin 4sin sin sin CB AC B A =++⑥2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A =++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A C C B B A⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p )(x f n a )1(),(1>=-n a f a n n )(1p a a p a n n -=--}{p a n -a )0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f }{n a 1),(1>=-n a f a n n )(11a f a ≠)(x f q p ,q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11qca pca k --=)(x f p k p a p a n n +-=--111da c k +=2)0,0()(2≠≠+++=e af ex cbx ax x f 21,x x )(1n n u f u =+}{n u a e b 2,0==2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++(3)在任意①ABC 中，有： ①812sin 2sin 2sin≤⋅⋅C B A ②8332cos 2cos 2cos ≤⋅⋅C B A ③232sin 2sin 2sin≤++C B A ④2332cos 2cos 2cos≤++C B A ⑤833sin sin sin ≤⋅⋅C B A ⑥81cos cos cos ≤⋅⋅C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A ⑨432sin 2sin 2sin 222≥++C B A⑩12tan 2tan 2tan 222≥++C B A⑪32tan 2tan 2tan ≥++CB A⑫932tan 2tan 2tan ≤⋅⋅C B A ⑬332cot 2cot 2cot≥++CB A ⑭3cot cot cot ≥++C B A(4)在任意锐角①ABC 中，有： ①33tan tan tan ≥⋅⋅C B A②93cot cot cot ≤⋅⋅C B A ③9tan tan tan 222≥++C B A④1cot cot cot 222≥++C B A31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森(Simpson )公式]：设拟柱体的高为H ，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为H S S S V )4(61201++=，式中，1S 和2S 是两底面的面积，0S 是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离2Hh =时得到的截面的面积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积 33.三余弦定理：设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么①OAC ,①BAC ,①OAB 三角的余弦关系为：cos①OAC=cos①BAC ·cos①OAB (①BAC 和①OAB 只能是锐角)34.在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABCcb a -+35.立方差公式：))((2233b ab a b a b a +--=- 立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+36.已知△ABC ，O 为其外心，H 为其垂心，则OH ++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a b a38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x e Λ 推论：212x x e x++>39.)2(≤≥--a ax ee xx推论：①)0(ln 21>≥-t t tt②)20,0(ln ≤≤>+≥a x ax axx 40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦 41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a (长半轴长) 42.向量与三角形四心：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)⇔=++O 是ABC ∆的重心(2)⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心 (3)O c b a ⇔=++为ABC ∆的内心==⇔O 为ABC ∆的外心43.正弦平方差公式：)sin()sin(sin sin 22βαβαβα+-=-44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x 46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x 47.圆锥曲线统一的极坐标方程：θρcos 1e ep-=(e 为圆锥曲线的离心率)48.超几何分布的期望：若),,(M N n X~H ，则N nM X E =)((其中NM为符合要求元素的频率)，)111)(1()(----=N n N M N M nX D 49.{}n a 为公差为d 的等差数列，{}n b 为公比为q 的等比数列，若数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，则数列{}n c 的前n项和n S 为2121)1(-+-=+q c c q c S n n n50.若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--= 51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n k n nC kC53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 (4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心 (5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则2222c b a -+=⋅55.m >n 时，22nm nm n m e nm e e e e +>-->+。
高中数学常用二级结论
高中数学常用二级结论一、整式的基本概念在高中数学中，我们经常接触到多项式，而多项式又包含了整式这一概念。
整式是指系数和指数都是整数的多项式。
而整式又可以分为单项式、二项式和多项式。
1. 单项式：只有一个项的整式，例如3x、-4xy^2。
2. 二项式：只有两个项的整式，例如2x+3、-4xy^2+5x^2。
3. 多项式：有两个以上项的整式，例如3x^2+4xy-5y^2、2x^3+3x^2-4xy+5。
二、二次函数的图像二次函数是高中数学中重要的一个概念，它的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数，且a≠0。
1. 开口方向：当a>0时，二次函数的图像开口朝上；当a<0时，二次函数的图像开口朝下。
2. 对称轴：二次函数的对称轴方程为x=-b/2a，对称轴与y轴垂直。
3. 零点：二次函数的零点即方程ax^2+bx+c=0的解，可以使用求根公式求解。
三、加法公式与差法公式在高中数学里，加法公式与差法公式是常用的二级结论，它们用于求解三角函数的和与差。
1. 加法公式：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinBcos(A + B) = cosAcosB - sinAsinBtan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)2. 差法公式：sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinBcos(A - B) = cosAcosB + sinAsinBtan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)四、相关系数与线性回归相关系数和线性回归是高中数学中关于两个变量之间关系的度量和预测的重要方法。
1. 相关系数：相关系数用于衡量两个变量之间的相关程度，常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼等级相关系数。
2. 线性回归：线性回归用于建立两个变量之间的线性关系，并通过最小二乘法求解回归方程。
高考数学二级结论整理总结
高中数学二级结论总结1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--①过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx①过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-by y a x x①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=①二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2m ax 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-= 14.任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为r y by x ax n n =+--111115.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a xx f x =∝+→)(lim，b ax x f x =-∝+→])([lim16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34=17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222bk a mb + 21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29)AC C B B A S zA C y CB x B A ⋅+⋅+⋅==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，ace =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线 23.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则21121tan k k k k θ=⋅+-24.A 、B 、C 三点共线⇔OD nm OB OC n OA m OD +=+=1,(同时除以m+n ) 25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab26.反比例函数)0(>=k xky 为双曲线，其焦点为)2,2(k k 和)2,2(k k --，k <0 27.面积射影定理：如图，设平面α外的①ABC 在平面α内的射影为①ABO ，分别记①ABC 的面积和①ABO 的面积为S 和S′ ，记①ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ = S′ : S28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 29.数列不动点：定义：方程的根称为函数的不动点利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.定理2：设，满足递推关系，初值条件(1)若有两个相异的不动点，则 （这里）(2)若只有唯一不动点，则（这里）定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,30.x x f =)()(x f )(x f )(1-=n n a f a ),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p )(x f n a )1(),(1>=-n a f a n n )(1p a a p a n n -=--}{p a n -a )0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f }{n a 1),(1>=-n a f a n n )(11a f a ≠)(x f q p ,q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11qca pca k --=)(x f p k p a p a n n +-=--111da c k +=2)0,0()(2≠≠+++=e af ex cbx ax x f 21,x x )(1n n u f u =+}{n u a e b 2,0==2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++(1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+==-=++342cos 2cos 2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA ，*N ∈k(2)若πC B A =++，则：①2sin 2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin CB AC B A C B A =++++②2sin 2sin 2sin 41cos cos cos CB AC B A +=++③2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin 222C B A C B A -=++④4sin4sin 4sin 412sin 2sin 2sin C B A C B A ---+=++πππ ⑤2sin 2sin 2sin 4sin sin sin CB AC B A =++⑥2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A =++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A C C B B A⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+ (3)在任意①ABC 中，有： ①812sin 2sin 2sin≤⋅⋅C B A ②8332cos 2cos 2cos ≤⋅⋅C B A ③232sin 2sin 2sin≤++C B A ④2332cos 2cos 2cos≤++C B A ⑤833sin sin sin ≤⋅⋅C B A ⑥81cos cos cos ≤⋅⋅C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A ⑨432sin 2sin 2sin 222≥++C B A⑩12tan 2tan 2tan 222≥++C B A⑪32tan 2tan 2tan ≥++CB A⑫932tan 2tan 2tan ≤⋅⋅C B A ⑬332cot 2cot 2cot≥++CB A ⑭3cot cot cot ≥++C B A(4)在任意锐角①ABC 中，有： ①33tan tan tan ≥⋅⋅C B A②93cot cot cot ≤⋅⋅C B A ③9tan tan tan 222≥++C B A④1cot cot cot 222≥++C B A31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森(Simpson )公式]：设拟柱体的高为H ，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为H S S S V )4(61201++=，式中，1S 和2S 是两底面的面积，0S 是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离2Hh =时得到的截面的面积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积 33.三余弦定理：设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么①OAC ,①BAC ,①OAB 三角的余弦关系为：cos①OAC=cos①BAC ·cos①OAB (①BAC 和①OAB 只能是锐角)34.在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABC 的内切圆半径为2cb a -+ 35.立方差公式：))((2233b ab a b a b a +--=- 立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+36.已知△ABC ，O 为其外心，H 为其垂心，则OC OB OA OH ++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a b a38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x e 推论：212x x e x++>39.)2(≤≥--a ax ee xx推论：①)0(ln 21>≥-t t tt②)20,0(ln ≤≤>+≥a x ax axx 40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a (长半轴长) 42.向量与三角形四心：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心(2)⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心 (3)O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心==⇔O 为ABC ∆的外心43.正弦平方差公式：)sin()sin(sin sin 22βαβαβα+-=-44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x 46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x 47.圆锥曲线统一的极坐标方程：θρcos 1e ep-=(e 为圆锥曲线的离心率)48.超几何分布的期望：若),,(M N n X~H ，则N nM X E =)((其中NM为符合要求元素的频率)，)111)(1()(----=N n N M N M n X D49.{}n a 为公差为d 的等差数列，{}n b 为公比为q 的等比数列，若数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，则数列{}n c 的前n项和n S 为2121)1(-+-=+q c c q c S n n n50.若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--= 51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n k n nC kC53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 (4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心 (5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则2222c b a AC AB -+=⋅55.m >n 时，22nm nm n m e nm e e e e +>-->+。
(完整版)高中数学常用二级结论大全
高中数学常用二级结论大全一、基础常用结论1.立方差公式：a3 -b3 =(a-b)(a2-ab+b2)；立方和公式：a3 +b3=(a+b)(a2 -ab + b2).3V2.任意的简单”面体内切球半径为—(V是简单〃面3表体的体积，S表是简单〃面体的表面积).3.在Rt△必。
中，。
为直角，内角4, B,。
所对的边分别是a, b,c,则的内切圆半径为“ + '2帽4.斜二测画法直观图面积为原图形面积的竺倍.45.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和-6.函数Xx)具有对称轴x = o, x-b {a ^b),则7(x) 为周期函数且一个正周期为2|0-如.7.导数题常用放缩e x>x + \, -1< —<Jnx<x-bX Xe x > ex(x >1).8.点(x, *)关于宜线Ax + By + C = 0的对称点坐标( 2J(Av + ^ + C) IB^Ax + By + Q^为京奇一声奇一)•9.已知三角形三边X, y, z,求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如后，V28. V29)：/! + /? =勇+£s=J"+w‘+y2C + A = z2,I二、圆锥曲线相关结论2.若圆的H 彳仝端点以（毛，乂），方（*2,其），则圆的方^.^J （x-x l ）（x-x 3） + （y-y l ）（y-y 2） = O .11. IFfil 刘毛■ + % = l （u A 0,5 A O ）的rfti 积 s 为S =a £b z12.过梱JI 列准线上-一点作撇例的两茶印纱，两印点连线 J?亍在宜紐必经过楠四1相应的角点.13-圆锥曲绶的切线方•程求法：隐函数我导.推论：CD 过阻I （X —。
）2 +（j/_z>）2 = r 2 上任 意一点。
（工。
，》。
）的切线方程为（X 。
一a ）（x —5） + （》。
高中高考数学所有二级结论《完整版》
高中数学二级结论1、任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积)2、在任意ABC △内，都有t a n A +t a n B +t a n C =t a n A ·t a n B ·t a n C3、若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x )定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x )是周期函数，且2|a |是它的一个周期。
①f(x ＋a )＝f(x －a ) ②f(x ＋a )＝－f(x ) ③f(x ＋a )＝1/f(x ) ④f(x ＋a )＝－1/f(x )4、若函数y ＝f(x )同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b|5、若函数y ＝f(x )同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b|6、若函数y ＝f(x )既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝4|a －b|7、斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 8、过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点9、导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<-x x xx x、)1(>>x ex e x 10、椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =11、圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--①过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为1220=+b yy a xx ①过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为1220=-b yy a xx 12、切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E yy D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-byy a x x①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ①二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x Bx Ax 13、①椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+②双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是||22222A a -B b =C14、椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±= （左加右减）15、双曲线的焦半径(双曲线上横坐标为x 的点P 到焦点的距离)公式，且F 1为左焦点，F 2为右焦点，e 为双曲线的离心率。
高中数学解题必备的50个二级结论
高中数学解题必备的50个二级结论高中数学是学习数学的一个重要阶段，其中涉及了许多重要的知识点和二级结论。
下面是描述高中数学解题必备的50个二级结论，分别介绍了代数、几何、概率与统计等方面的知识。
代数部分：1.二次函数的图像：二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由二次项系数的正负决定。
2.一次函数与二次函数的交点：一次函数与二次函数的交点可以通过联立方程求解。
3.四则运算的性质：四则运算中有交换律、结合律和分配律。
4.指数与对数：指数与对数是互为反函数的关系，可以相互转化。
5.多项式的乘法和因式分解：多项式的乘法可以使用“分配律”和“乘法公式”进行，而因式分解则需要找到公因式或适用特定公式。
6.方程与不等式的解法：方程的解可以通过移项和变形等方法求解，而不等式的解需要通过区间判断和不等式性质来分析。
7.绝对值的性质：绝对值满足非负性和模长性，可以用来解决含绝对值的方程和不等式。
8.平方根与完全平方公式：平方根可以通过开根号求解，完全平方公式则可以将差平方形式转化为二次项的平方差形式。
9.分式的基本性质：分式有约分、通分、加减乘除等基本操作。
10.勾股定理与三角函数：勾股定理可以用来求解直角三角形的边长关系，三角函数则是用来描述角度与边长之间的关系。
几何部分：11.平行线和垂直线：平行线的判定通过线与线的夹角和线的斜率来判断，垂直线则是与平行线相反的概念。
12.三角形的内角和：三角形的内角和等于180度，可以用来求解三角形的角度关系。
13.直角三角形的性质：直角三角形中的斜边是两腿上的高，可以应用勾股定理和正弦、余弦、正切等三角函数来求解。
14.同心圆的性质：同心圆是以同一个圆心的半径不同的多个圆，有一些特殊的性质，如与同心圆相切的直线相等。
15.圆的切线和切点：圆与切线的交点叫做切点，切线与半径的夹角是直角。
16.弧长与扇形面积：弧长可以通过弧度计算，扇形面积是弧长与半径乘积的一半。
17.直线与圆的位置关系：直线与圆可以相离、相切或相交，要注意判断交点个数和位置。
数学必考21个知识点高考
数学必考21个知识点高考在高考数学中，有一些基础的知识点是不可或缺的，掌握了这些知识点，才能在高考中取得好成绩。
下面我将介绍21个数学必考知识点，希望对广大考生有所帮助。
一. 代数运算代数运算是数学的基础，也是高考中出现频率最高的知识点之一。
代数运算包括加减乘除四则运算、整式的加减乘除、分式的加减乘除等。
掌握了这些运算规则，可以帮助我们解决各种代数式的计算问题。
二. 一次函数与二次函数高考中经常涉及到一次函数与二次函数的图像、性质、方程等问题。
对于一次函数来说，要理解斜率与截距的概念，掌握勾股定理等相关知识。
对于二次函数来说，要掌握顶点坐标、对称轴、判别式等重要内容。
三. 幂与指数函数幂与指数函数是高考中常见的数学知识点。
要理解指数的运算规则，掌握指数函数的图像、性质、方程等内容。
另外还要注意乘方与开方的相关知识，比如乘方运算与开方运算的性质,以及相关题目的解法。
四. 三角函数三角函数是高考中涉及较多的数学知识点之一。
要掌握正弦、余弦、正切等三角函数的计算和性质，理解三角函数的图像、周期性以及与三角恒等式的关系。
五. 平面向量平面向量是高考中的重要考点。
要理解二维平面向量的概念、性质和运算规则，掌握平面向量的坐标表示和共线、垂直等相关性质，熟练运用平面向量解决几何问题。
六. 平面几何平面几何是高考中数学的重要组成部分。
要熟悉平面几何的基本概念，掌握各种几何图形的性质、计算方法和定理证明，熟练运用平面几何知识解决实际问题。
七. 空间几何空间几何是高考中的难点之一。
要熟悉空间几何的基本概念，掌握空间几何图形的性质、计算方法和定理证明，熟练运用空间几何知识解决实际问题。
八. 解析几何解析几何是高考中的重要考点。
要掌握平面直角坐标系和极坐标系的相关知识，理解点、线、圆、曲线等的解析表示方法，并能熟练运用解析几何知识解决几何问题。
九. 概率统计概率统计是高考数学中的易错考点之一。
要掌握基本的概率与统计概念，理解概率的计算方法，熟练运用概率统计知识解决实际问题，尤其是排列组合、事件的相互独立与互斥等相关概念和性质。
高考数学常用二级结论：解析几何、立体几何(收藏)
S OQ Pα 高考数学常用二级结论：解析几何、立体几何（收藏）一、解析几何30.过圆222(0)x y r r +=>上一点000(,)P x y 的切线方程为:200x x y y r +=；若0P 在圆O 外,则直线200x x y y r +=是切点弦所在直线方程.31.切线长公式:过圆220x y Dx Ey F ++++=外一点000(,)P x y 引切线,切线长PT =.32.椭圆与双曲线中的焦点三角形12PF F ∆.(1)椭圆中当点P 在短轴端点时,12PF F ∠最大,12PF F ∆的面积最大.(2)12F PF θ∠=,则椭圆中122tan 2PF F S b θ∆=:双曲线中122cot 2PF F S b θ∆=.(3)12PF F α∠=,21PF F α∠=,则椭圆中1tan tan 221e e αβ-=+:双曲线中1tan cot 221e eαβ-=-+ 33.焦半径公式,点000(,)P x y 在圆锥曲线上. (1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>,210()a PF e x a ex c =+=+，220()a PF e x a ex c=-=-. (2)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>,210()a PF e x a ex c =+=+，220()a PF e x a ex c=-=-,点P 在右支上. (3)抛物线22(0)y px p =>,02p PF x =+.二、立体几何34.一条斜线从一个角顶点出发与两边所成的角相等,则该斜线在该角所在平面上的射影在角平子于线上；若该斜线上一点到角两边距离相等,则该斜线在该角所在平面上的射影在角平分线上.35.斜三棱柱体积:012V s h s a ==底斜棱柱,其中0s 是一个侧面面积,a 是该侧面与说对棱距离. 36.三余弦定理:从平面α内一点O 出发的斜线OP 在α内的射影为OQ ,OS α⊂,1POQ θ∠=,2SOQ θ∠=,POS θ∠=,则12cos cos cos θθθ=. 37.正四面体的棱长为a ,其高为3h a =；体积为312V a =斜棱柱；内切球与外切球半径之比为13. 38.棱长为a 的正方体内切球半径为1r ,外接球半径为2r ,与十二条棱均相切的球半径为3r,则12r a =,22r,22r=,且1231r r r =::39.长方体(,,)a b c 中,(1)对角线长l =(2)表面积为S ab bc ca +=+；(3)一条对角线与过同一顶点的三个面所成角为,,αβγ,则222cos cos cos 1αβγ+=+；(4)一条对角线与过同一顶点的三条棱所成角为,,αβγ,则222cos cos cos 2αβγ+=+；(5)长方体外接球直径2R40.正三棱椎P ABC -中,则有PA BC ⊥,PB AC ⊥,PC AB ⊥,P 在底面的射影是ABC ∆的中心.41.在三棱椎P ABC -中,设顶点P 在底面的射影为H .(1)若PA BC ⊥,PB AC ⊥,则PC AB ⊥.(2)若PA BC ⊥,PB AC ⊥,则H 为ABC 的垂心.(3)若PA PB PC ==,则H 为ABC 的外心.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
常考二级结论及其应用纵观中学数学教材,基本上是由 题 组成的(除了部分概念的介绍),而高考试题大部分都源于教材.编教材离不开题,授课离不开题,学数学离不开题,考试更离不开题.实际上,高考试题大都是通过对教材例题和习题加工㊁改造㊁引申㊁推广而成的.不仅如此,试题的表示方式和语言表达也尽可能与教材保持一致,使考生有一种似曾相识的感觉,所以我们要仔细琢磨,把教材上的 题 研究到位.结合高考真题,最终我们独创了 题型+模型 的全新教学法.在本篇中,我们把高考试题中经常出现而且教材上有所体现的部分二级结论呈现给大家,部分结论对学生的解题有很好的指导作用,同时对演算结果有精准的验证作用,以使同学们在解答高考题时能做到准确㊁快捷.结论一设集合A =(x ,y )x 24+y 216=1{},B =(x ,y )|y =3x{},则A ɘB 的子集的个数是( ).A.4B .3C .2 D.1变式1 已知集合A =x |x 2-3x +2=0,x ɪR {},B =x |0<x <5,x ɪN {},则满足条件A ⊆C ⫋B 的集合C 的个数为( ).A.1B .2C .3D.4结论二已知M ,N 为集合I 的非空子集,且M ,N 不相等,若N ɘ∁IM =∅,则M ɣN =( ).B .N C .I D .∅变式1 已知集合P =x |x 2ɤ1{},M ={a },若P ɣM =P ,则a 的取值范围是( ).A .(-ɕ,-1]B .[1,+ɕ)C .[-1,1]D .(-ɕ,-1]ɣ[1,+ɕ)变式2 设集合A =x |x 2-6x +5=0{},B =x |a x -1=0{},若A ɘB =B ,则实数a 所有可能取值组成的集合C 为( ).A .1,15{}B .12,13{}C .0,1,15{}D .0,12,13{}高考文科数学结论三设全集U ={a ,b ,c ,d },集合A ={a ,b },B ={b ,c ,d },则∁U A ()ɣ∁UB ()=.变式1 若全集U ={1,2,3,4,5,6},集合M ={2,3},N ={1,4},则集合{5,6}等于( ).A .M ɣNB .M ɘNC .∁U M ()ɣ∁U N ()D .∁U M ()ɘ∁U N ()变式2 已知全集U =A ɣB 中有m 个元素,∁U A ()ɣ∁UB ()中有n 个元素.若A ɘB 非空,则A ɘB 的元素个数为( ).A .m nB .m +nC .n -mD .m -n结论四设函数f (x )=(x +1)2+s i n xx 2+1的最大值为M ,最小值为m ,则M +m =.变式1 设f (x )为定义在R 上的奇函数.当x ȡ0时,f (x )=2x+2x +b (b 为常数),则f (-1)=( ).A .3B .1C .-1D .-3变式2 已知函数f (x )=l n 1+9x 2-3x ()+1,则f (l g 2)+f l g 12æèçöø÷=( ).A .-1B .0C .1D .2结论五已知函数f (x )对任意实数x 都满足f (x +2)=1f (x),若f (3)=5,则f (2017)=.变式1 已知定义在R 上的函数f (x )满足f x +32æèçöø÷=-f (x ),且f (-2)=f (-1)=-1,f (0)=2,则f (1)+f (2)+f (3)+ +f (10)+f (11)=( ).A .-2B .-1C .0D .1结论六对于定义域为[0,1]的连续函数f (x ),如果同时满足以下3个条件:对任意的x ɪ[0,1]总有f (x )ȡ0;②f (1)=1;③若x 1ȡ0,x 2ȡ0,x 1+x 2ɤ1,都有f (x 1+x 2)ȡf (x 1)+f (x 2)成立,则称函数f (x )为理想函数.若函数f (x )为理想函数,假定存在x 0ɪ[0,1],使得f (x 0)ɪ[0,1],且f f (x 0)[]=x 0.求证:f (x 0)=x 0.变式1 设函数f (x )=e x+x -a (a ɪR ,e 为自然对数的底数),若存在b ɪ[0,1],使f [f (b )]=b 成立,则a 的取值范围是( ).A .[1,e ]B .[1,1+e ]C .[e ,1+e ]D .[0,1]变式2 若函数y =l o g a (x 2-a x +1)(a >0且a ʂ1)在(1,2)上为增函数,则实数a 的取值范围是.第二篇 常考二级结论及其应用结论七已知a>0,则x0满足关于x的方程a x=b的充要条件是().A.∃xɪR,12a x2-b xȡ12a x20-b x0B.∃xɪR,12a x2-b xɤ12a x20-b x0C.∀xɪR,12a x2-b xȡ12a x20-b x0D.∀xɪR,12a x2-b xɤ12a x20-b x0变式1已知函数f(x)=x2+a x+b(a,bɪR)的值域为[0,+ɕ),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为.变式2定义m i n[f(x),g(x)]=f(x),f(x)ɤg(x)g(x),f(x)>g(x){,若函数f(x)=x2+t x+s的图像经过两点(x1,0),(x2,0),且存在整数m,使得m<x1<x2<m+1成立,则().A.m i n[f(m),f(m+1)]<14B.m i n[f(m),f(m+1)]>14C.m i n[f(m),f(m+1)]=14D.m i n[f(m),f(m+1)]ȡ14结论八已知函数f(x)=1l n(x+1)-x,则y=f(x)的图像大致为().变式1已知函数f(x)=e x,xɪR.求证:曲线y=f(x)与曲线y=12x2+x+1有唯一公共点.变式2设函数f(x)=1-e-x.求证:当x>-1时,f(x)ȡx x+1.第二篇常考二级结论及其应用结论九已知函数f(x)=A s i n(ωx+φ)的图像如图2-2所示,fπ2æèçöø÷=-23,则f(0)=().A.-23B.23C.-12D.12图2-2图2-3变式1已知函数y=g(x)的图像由f(x)=s i n2x的图像向右平移φ(0<φ<π)个单位得到,这两个函数的部分图像如图2-3所示,则φ=.结论十在әA B C 中,A B ң=c ,A C ң=b .若点D 满足B D ң=2D C ң,则A D ң=( ).A.23b +13c B .53c -23b C .23b -13c D.13b +23c 变式1 若在直线l 上存在不同的三点A ,B ,C ,使得关于实数x 的方程x 2O A ң+xO B ң+B C ң=0有解(点O 不在直线l 上),则此方程的解集为( ).A.∅B .{-1,0}C .{-1} D.-1+52,-1-52{}变式2 已知两个单位向量a ,b 的夹角为60ʎ,c =t a +(1-t )b ,若b ㊃c =0,则t =.结论十一第二篇 常考二级结论及其应用在әA B C 中,M 是B C 的中点,AM =3,B C =10,则A B ң㊃A C ң=.变式1 在әA B C 中,设P 0是边A B 上一定点,满足P 0B =14A B ,且对于边A B 上任一点P ,恒有P B ң㊃P C ңȡP 0B ң㊃P 0C ң,则( ).A .øA B C =90ʎB .øB AC =90ʎC .A B =A CD .A C =B C变式2 在R t әA B C 中,点D 是斜边A B 的中点,点P 为线段C D 的中点,则|P A |2+|P B |2|P C |2=( ).A .2B .4C .5D .10变式3 已知圆M :x 2+(y -1)2=1,圆N :x 2+(y +1)2=1,直线l 1,l 2分别过圆心M ,N ,且l 1与圆M 相交于点A ,B ,l 2与圆N 相交于上点C ,D ,点P 是椭圆y 24+x 23=1上的任意一动点,则P A ң㊃P B ң+P C ң㊃P D ң的最小值为 .结论十二已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 33-S 22=1,则数列{a n }的公差是( ).A.12B .1C .2 D.3变式1 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 10=100,S 100=10,则S 110=.结论十三在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列的前11项和S 11=( ).B .88C .143D .176变式1 在等差数列{a n }中,2(a 1+a 4+a 7)+3(a 9+a 11)=24,则此数列的前13项和S 13=().A .13B .26C .52D .156变式2 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n =7n +45n +3(n ɪN *),则a 5b 5=( ).A .7B .8C .9D .10结论十四已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,则数列1a n{}的前5项和为( ).A .158或5B .3116或5C .3116D .158变式1 在等比数列{a n }中,公比为q ,其前n 项和为S n .已知S 5=3116,a 3=14,则1a 1+1a 2+1a 3+1a 4+1a 5=.变式2 等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知对任意的n ɪN *,点(n ,S n )均在函数y =b x+r (b >0且b ʂ1,b ,r 为常数)的图像上,求r 的值.变式3 设f (n )=3+33+35+37+ +32n +9n ɪΝ(),则f (n )=.第二篇 常考二级结论及其应用结论十五设等比数列{an}的前n项和为S n,若S6S3=3,则S9S6=().A.2B.73C.83D.3变式1设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=().A.63B.45C.36D.27结论十六1高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积)2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a b y ax 的面积S 为πab S =7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ③过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy axx 8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y ax x ③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y ax x ④抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=⑤二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y ax 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =-10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2max 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-=14.任意满足r by ax nn=+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为ry by xax n n =+--111115.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a xx f x =∝+→)(lim，bax x f x =-∝+→])([lim 16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πabV 34=17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中CB AC B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222b k a mb +21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29)AC C B B A S z A C y C B x B A ⋅+⋅+⋅==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，ace =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线23.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则21121tan k k k k θ=⋅+-24.A 、B 、C 三点共线⇔OD nm OB OC n OA m OD +=+=1,(同时除以m+n )25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab26.反比例函数)0(>=k xky 为双曲线，其焦点为22(k k 和)2,2(k k --，k <027.面积射影定理：如图，设平面α外的△ABC 在平面α内的射影为△ABO ，分别记△ABC 的面积和△ABO 的面积为S 和S′，记△ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ=S′:S28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线29.数列不动点：定义：方程x x f =)(的根称为函数)(x f 的不动点利用递推数列)(x f 的不动点，可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理1：若),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p 是)(x f 的不动点，n a 满足递推关系)1(),(1>=-n a f a n n ，则)(1p a a p a n n -=--，即}{p a n -是公比为a 的等比数列.定理2：设)0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f ，}{n a 满足递推关系1),(1>=-n a f a n n ，初值条件)(11a f a ≠(1)若)(x f 有两个相异的不动点q p ,，则qa pa k q a p a n n n n --⋅=----11（这里qca pca k --=）(2)若)(x f 只有唯一不动点p ，则k pa p a n n +-=--111（这里da ck +=2）定理3：设函数)0,0()(2≠≠+++=e af ex cbx ax x f 有两个不同的不动点21,x x ,且由)(1n n u f u =+确定着数列}{n u ,那么当且仅当a e b 2,0==时,2212111(x u x u x u x u n n n n --=--++30.(1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+==-=++342cos 2cos2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA ，*N∈k (2)若πC B A =++，则：①2sin2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin C B AC B A C B A =++++②2sin2sin 2sin 41cos cos cos CB AC B A +=++③2sin2sin 2sin 212sin 2sin 2sin 222C B A C B A -=++④4sin 4sin4sin 412sin 2sin 2sin C B A CB A ---+=++πππ⑤2sin2sin 2sin 4sin sin sin C B AC B A =++⑥2cot2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A=++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A C C B B A⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+(3)在任意△ABC 中，有：①812sin 2sin 2sin ≤⋅⋅C B A②8332cos 2cos 2cos≤⋅⋅C B A③232sin 2sin 2sin ≤++C B A ④2332cos 2cos 2cos ≤++C B A⑤833sin sin sin ≤⋅⋅C B A ⑥81cos cos cos ≤⋅⋅C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A ⑨432sin 2sin 2sin 222≥++C B A ⑩12tan 2tan 2tan222≥++C B A⑪32tan 2tan 2tan ≥++C B A⑫932tan 2tan 2tan ≤⋅⋅C B A⑬332cot 2cot 2cot≥++C B A⑭3cot cot cot ≥++C B A (4)在任意锐角△ABC 中，有：①33tan tan tan ≥⋅⋅C B A ②93cot cot cot ≤⋅⋅C B A ③9tan tan tan 222≥++C B A ④1cot cot cot 222≥++C B A31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森(Simpson )公式]：设拟柱体的高为H ，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为H S S S V )4(61201++=，式中，1S 和2S 是两底面的面积，0S 是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离2H h =时得到的截面的面积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积33.三余弦定理：设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么∠OAC ,∠BAC ,∠OAB 三角的余弦关系为：cos ∠OAC=cos ∠BAC ·cos ∠OAB (∠BAC 和∠OAB 只能是锐角)34.在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABC 的内切圆半径为2c b a -+35.立方差公式：))((2233b ab a b a b a +--=-立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+36.已知△ABC ，O 为其外心，H 为其垂心，则OCOB OA OH ++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a b a 38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x e 推论：212x x e x++>39.)2(≤≥--a ax ee xx推论：①)0(ln 21>≥-t t tt ②)20,0(ln ≤≤>+≥a x ax axx40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a (长半轴长)42.向量与三角形四心：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心(2)⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心OOC OB OA ⇔=0为ABC ∆的内心==⇔O 为ABC ∆的外心43.正弦平方差公式：)sin()sin(sin sin 22βαβαβα+-=-44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x 46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x 47.圆锥曲线统一的极坐标方程：θρcos 1e ep-=(e 为圆锥曲线的离心率)48.超几何分布的期望：若),,(M N n X~H ，则N nM X E =)((其中NM为符合要求元素的频率)，1111()(----=N n N M N M n X D 49.{}n a 为公差为d 的等差数列，{}n b 为公比为q 的等比数列，若数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，则数列{}n c 的前n 项和n S 为2121)1(-+-=+q c c q c S n n n 50.若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n kn nC kC 53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心(4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心(5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则2222c b a AC AB -+=⋅55.m >n 时，22nm nm n m e nm e e e e +>-->+高考数学考前必备——二级结论1.任意的简单n 面体的内切球半径为3VS 表（V 是简单n 面体的体积，S 表是简单n 面体的表面积）. 2.在Rt ABC ∆中，C 为直角，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的内切圆半径为2a b c+−.3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的4倍. 4.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和.5.函数()f x 具有对称轴,()x a x b a b ==≠，则()f x 为周期函数且一个正周期为2||a b −.6.导数题常用放缩1xe x ≥+，111x x x x−−<≤−，(1)x e ex x >−. 7.点(,)x y 关于直线0Ax By C ++=的对称点坐标为22222()2(),A Ax By C B Ax By C x y A B A B ++++⎛⎫−− ⎪++⎝⎭8.若圆的直径端点为1122(,),(,)A x y B x y ，则圆的方程为1212()()()()0x x x x y y y y −−+−−=.9.椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的面积S ab π=.10.若,,,A B C D 是圆锥曲线上顺次的四点，则四点共圆（常用相交弦定理）的一个充要条件是：直线AC BD 、的斜率存在且不等于零，并有0AC BD k k +=（AC BD k k ，分别表示AC 和BD 的斜率） 11.已知椭圆方程为22221(0,0)x y a b a b +=>>，两焦点分别为12,F F ，设焦点三角形12PF F θ=,则22min cos 12(cos 12)e e θθ≥−=−.12.椭圆的焦半径（椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离）公式 1.20r a ex =±.13.椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>绕Ox 轴旋转所得的旋转体的体积为43V ab π=.14.过双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab . 15.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆与A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值. 16.过原点的直线与椭圆交于A,B 两点，椭圆上不与左右顶点重合的任一点与点A,B 构成的直线的斜率乘积为定值22(0)a a b b−>>.推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值22(0)a a b b−>>.17.抛物线焦点弦的中点，在准线上的摄影与焦点F 的连线垂直于该点的焦点弦. 18.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a （长半轴长）.19.对于任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两直线斜率之积为定值，两直线交曲线A,B 两点，则直线AB 恒过定点.20.y kx m =+与椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>相交于两点，则纵坐标之和为22222mb a k b +.21.{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，若数列{}n c 满足n n n c a b =⋅，则数列{}n c 的前n 项和为2112(1)n n n c q c c S q +−+=−.22.在锐角三角形中，sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++23.在任意的ABC ∆内，都有tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅ 推论：在ABC ∆内，若tan tan tan 0A B C ++<,则ABC ∆为钝角三角形 24.正弦平方差公式：22sin sin sin()sin()αβαβαβ−=−+.25.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一个圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线），那么它的三条对边的交点在同一条直线上.26.,,A B C 三点共线⇔OD mOA nOC =+,1OB OD m n=+ （同除以m+n ）. 27.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，则222=2a b c AB AC +−⋅ .28.已知ABC ∆，O 为其外心，H 为其垂心，则OH OA OB OC =++ 29.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式为11kk n n kC nC −−=30.超几何分布的期望：若(,,),X H n N M 则()=nM E X N （其中MN为符合要求元素的频率），1()(1)(1)1M M n D X nN N N −=−−−.。