几何初步与三角形

四、图形初步与三角形1.概念（1）直线、射线、线段（2）直线和线段的性质：①直线的性质：a经过两点直线，即两点确定一条直线；b两条直线相交，有交点.②线段的性质:两点之间的所有连线中，线段最短，即两点之间，线段最短．（3）角的定义、角的度量、角的分类、角平分线（4）余角、补角、互为余角的有关性质、互为补角的有关性质、对顶角的性质（5）同位角、内错角、同旁内角（6）平行线的性质：①两条平行线被第三条直线所截，角相等，角相等，同旁内角互补．②过直线外一点直线和已知直线平行．③两条平行线之间的距离是指在一条直线上（7）两条平行线之间的距离（8）如果两条直线都与第三条直线平行，那么．这两条直线互相平行。

（9）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等．那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．这三个条件都是由角的数量关系（相等或互补）来确定直线的位置关系（平行）的，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错角或同旁内角．（10）三角形中的主要线段①三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．②三角形的中线：连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．③三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．（11）三角形的中位线：连接三角形两边的中点的线段。

（12）三角形的边角关系①三角形边与边的关系：三角形中两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边；②三角形中角与角的关系：三角形三个内角之和等于180o．（13）三角形的分类①按边分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不等的等腰三角形等腰三角形等边三角形②按角分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形（14）特殊三角形①直角三角形性质角的关系：∠A+∠B=900；边的关系：222a b c+=边角关系：00901230C BC AB A ⎫∠=⎪⇒=⎬∠=⎪⎭；09012C CE AB AE BE ⎫∠=⇒=⎬=⎭ 2ch ab s ==；⑥2c R =a+b-c外接圆半径；内切圆半径r=2② 等腰三角形性质角的关系：∠A=∠B ；边的关系：AC=BC ；AC BC AD BDCD AB ACD BCD ==⎫⎧⇒⎬⎨⊥∠=∠⎭⎩ 轴对称图形，有一条对称轴。

③ 等边三角形性质角的关系：∠A=∠B=∠C=600；边的关系：AC=BC=AB ；AB AC BD CDAD BC BAD CAD==⎫⎧⇒⎬⎨⊥∠=∠⎭⎩；轴对称图形，有三条对称轴。

（15） 三角形中位线：12AD BD DE BCAE BE DE BC⎧==⎫⎪⇒⎬⎨=⎭⎪⎩∥ （16） 两个重要定理：① 角平分线性质定理及逆定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；三角形的三条角平分线相交于一点（内心） ② 垂直平分线性质定理及逆定理：线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等；到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）（17） 全等三角形的判定方法① 三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS ”．② 两角和它们的夹边对应相等的两个二角形全等，简写成“角边角”或"ASA” ③ 两角和其中一角的对边对应角相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS ”．④ 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”． ⑤ 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜过直角边定理”或“HL ”．（18） 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． （19） 注意事项：① 说明两个三角形全等时，应注意紧扣判定的方法，找出相应的条件，同时要从实际图形出发，弄清对应关系，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． ② 注意三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，另外已知两个三角形的两边与一角对应相等的两个三角形也不一定全等．（20） 图形相似比例基本性质及运用① 线段比的含义：如果选用同一长度单位得两条线段a 、b 的长度分别为m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b=m ：n ，或写成a m=bn，和数的一样，两条线段的比a 、b 中，a 叫做比的前项 b 叫做比的后项．注意：a 针对两条线段；②两条线段的长度单位相同，但与所采用的单位无关；b 其比值为一个不带单位的正数．② 线段成比例及有关概念的意义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

（21） 相似三角形的性质和判定① 相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形的对应边的比叫做相似比．相似比为1的两个三角形是全等三角形。

② 相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边成比例．②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．③相似三角 形周长的比等于相似比．④相似三角形面积的比等于相似比的平方．③ 相似三角形的判定：①两角对应相等的两个三角形相似．②两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．③三边对应成比例的两个三角形相似．④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．注意：①直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形和原三角形相似．②在运用三角形相似的性质和判定时，要找对对应角、对应边，相等的角所对的边是对应边．（22） 相似三角形的应用2. 例题（1） 如图，AB ∥EF ∥DC ，EG ∥BD ，则图中与∠1相等的角共有（ ）A ．6个B ．5个C ．4个D ．2个 （2） 下列图形中，由AB CD ∥，能得到12∠=∠的是（ ）（3） 以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ） A ．1cm ，2cm ，4 cm B ．8 crn ，6cm ，4cmC ．12 cm ，5 cm ，6 cmD ．2 cm ，3 cm ，6 cm（4） 如图，在中， ，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为（ ） A ． B ． C ． D ．（5） 如图，已知 AB=CD ，AE ⊥ BD 于 E ，CF ⊥ BD 于 F ，AE=CF ，则图中全等三角形有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 （6） 在下列各组几何图形中，一定全等的是（ ）A ．各有一个角是45°的两个等腰三角形；B ．两个等边三角形C ．腰长相等的两个等腰直角三角形D ．各有一个角是40°腰长都是5cm 的两个等腰三角形Rt ABC △ 90=∠B ED AC ACD BC E10=∠BAE C ∠30405060A CB D1 2 A CBD12 A ．B ．12 A CB DC ． B DC AD ．12 A DCEB（7） 下列说法中正确的是（ ）A ．两个直角三角形一定相似；B ．两个等腰三角形一定相似C ．两个等腰直角三角形一定相似；D ．两个等腰梯形一定相似 （8） 已知x y =3，那么x y y的值是____________ （9） 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，则tan A 的值为( )（10） 在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝50°，则∠A ＝__________. （11） 4.如图，正方形的网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于( )A.175° B．180° C．210 ° D．225°（12） 5.如图，Rt △ABC 中，有三个内接正方形，DF=9cm ，GK=6cm ，求第三个正方形的边长PQ ．（13） 将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB ＝14 cm ，则阴影部分的面积是__________cm 2.（14） 如图，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，交 AD 于F ，图中相似三角形的对数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6（15） 如图，等边△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 边上的两动点，且总使AD ＝BE ，AE与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则FGAF ＝__________.（16） 如图，已知∠AOC 与∠B 都是直角，∠BOC=59○． ① 求∠AOD 的度数；② 求∠AOB 和∠DOC 的度数；③ ∠A OB 与∠DOC 有何大小关系；④ 若不知道∠BOC 的具体度数，其他条件不变，这种关系仍然成立吗？（17）已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长 AB至 E，使 BE=CD，连结DE，交BC于点P．①求证：PD=PE；②若D为AC的中点，求BP的长.（18）AC和BD交于点O，OA= OC，OB=OD，试说明DC∥AB．（19）如图，已知AB、CD相交于点O，AC∥BD，OC=OD，E、F为AB 上两点，且AE=BF，试说明CE＝DF．（20）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．①求直线AB的解析式；②当t为何值时，△APQ与△AOB相似？③当t为何值时，△APQ的面积为245个平方单位？（21）某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1:3(即AB:AC＝1:3)，且B，C，E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计)．。