浙大《概率论》习题

习题第一讲1. 由盛有号码为N ,,2,1 的球的箱子中有放回的摸了n 次, 依次记其号码, 求这些号码按严格上升次序排列的概率.2. 对任意凑在一起的40人, 求他们中没有两人生日相同的概率.3. 从n 双不同的鞋子中任取)2(2n r r 只, 求下列事件的概率:(1) (1)没有成双的鞋子; (2)只有一双鞋子; (3) 恰有二双鞋子; (4) 有r 双鞋子.4. 从52张的一副扑克牌中, 任取5张, 求下列事件的概率:(1) (1)取得以A 为打头的顺次同花色5张;(2) (2)有4张同花色;(3) (3)5张同花色;(4) (4)3张同点数且另2张也同点数.思考题:1.（分房、占位问题）把n 个球随机地放入N 个不同的格子中，每个球落入各格子内的概率相同（设格子足够大，可以容纳任意多个球）。

I. I.若这n 个球是可以区分的，求（1）指定的n 个格子各有一球的概率；（2）有n个格子各有一球的概率；若这n 个球是不可以区分的，求（1）某一指定的盒子中恰有k 个球的概率；（2）恰好有m 个空盒的概率。

2.取数问题）从1-9这九个数中有放回地依次取出五个数，求下列各事件的概率：（1） （1）五个数全不同；（2）1恰好出现二次；（3）总和为10.第二讲1. 在一张打方格的纸上投一枚直径为1的硬币, 问方格要多小时才能使硬币与线不相交的概率小于2. 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。

在这个城市的居民中，订甲报(记为A)的有45%，订乙报(记为B)的有35%，订丙报(记为C)的有30%，同时订甲、乙两报(记为D)的有10%，同时订甲、丙两报(记为E)的有8%，同时订乙、丙两报(记为F)的有5%，同时订三中报纸(记为G)的有3%. 试表示下列事件, 并求下述百分比：(1)只订甲报的；（2）只订甲、乙两报的；（3）只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；（5）至少订一种报纸的；（6）不订任何报纸的.3. 在线段[0,1]上任意投三个点, 求0到这三点的三条线段能构成三角形的概率.4. 设A, B, C, D 是四个事件, 似用它们表示下列事件:(1) (1)四个事件至少发生一个;(2) (2)四个事件恰好发生两个;(3) (3)A,B 都发生而C, D 不发生;(4) (4)这四个事件都不发生;(5) (5)这四个事件至多发生一个;(6) (6)这四个事件至少发生两个;(7) (7)这四个事件至多发生两个.5. 考试时共有n 张考签, 有)(n m m ≥个同学参加考试. 若被抽过的考签立即放回, 求在考试结束后, 至少有一张考签没有被抽到的概率.6. 在§3例5中, 求恰好有)(n k k ≤个人拿到自己的枪的概率.7. 给定)(),(),(B A P r B P q A P p ⋃===, 求)(B A P 及)(B A P .思考题1.（蒲丰投针问题续）向画满间隔为a 的平行线的桌面上任投一直径)(a l l <为的半圆形纸片,求事件“纸片与某直线相交”的概率；第三讲1. n 件产品中有m 件废品, 任取两件, 求:(1) (1)在所取两件中至少有一件是废品的条件下, 另一件也是废品的概率;(2) (2)在所取两件中至少有一件不是废品的条件下, 另一件是废品的概率.2. 袋中有)3(≥a a 只白球, b 只黑球, 甲乙丙三人依次从袋中取出一球(取后不放回). 试用全概率公式分别求甲乙丙各取得白球的概率.3. 敌机被击中部位分成三部分: 在第一部分被击中一弹, 或第二部分被击中两弹, 或第三部分被击中三弹时, 敌机才能被击落. 其命中率与各部分面积成正比. 假如这三部分面积之比为, , . 若已中两弹, 求敌机被击落的概率.4. 甲乙两人从装有九个球, 其中三个是红球的盒子中, 依次摸一个球, 并且规定摸到红球的将受罚.(1) (1)如果甲先摸, 他不受罚的概率有多大(2) (2)如果甲先摸并且没有受罚, 求乙也不受罚的的概率.(3) (3)如果甲先摸并且受罚, 求乙不受罚的的概率.(4) (4)乙先摸是否对甲有利(5) (5)如果甲先摸, 并且已知乙没有受罚, 求甲也不受罚的概率.5. 设事件A, B, C 相互独立, 求证: B A AB B A -⋃,,也相互独立.思考题1. 甲、乙两人轮流掷一均匀的骰子。

甲先掷，以后每当某人掷出1点时则交给对方掷，否则此人继续掷。

试求事件n A ={第n 次由甲掷}的概率.2（赌徒输光问题）两个赌徒甲、乙进行一系列赌博。

在每一局中甲获胜的概率为p ，乙获胜的概率为q ，p+q=1，每一局后，负者要付一元给胜者。

如果起始时甲有资本a 元，乙有资本b 元，a+b=c ，两个赌徒直到甲输光或乙输光为止，求甲输光的概率.第四讲1. 对同一目标进行三次独立射击,要害各次射击命中率依次为, 和. 求:(1) (1)三次射击中恰好一次击中目标的概率;(2) (2)至少一次击中目标的概率.2. 在一电器中, 某元件随机开、关, 每万分之一秒按下面规律改变它的状态:(1) (1)如果当前状态是开的, 那么万分之一秒后, 它仍然处于开状态的概率为)1(α-,变为闭状态的概率为α;(2) (2)如果当前状态是闭的, 那么万分之一秒后, 它仍然处于闭状态的概率为)1(β-,变为开状态的概率为β.假设10,10<<<<βα, 并且用n θ表示该元件万分之n 秒后处于闭状态的概率. 请给出n θ的递推公式.3. 在伯努里概型中, 若A 出现的概率为p , 求在出现m 次以前A 出现k 次的A 概率(可以不连续出现).4. 甲乙丙三人进行某项比赛, 设三人胜每局的概率相等. 比赛规定先胜三局者为整场比赛的优胜者. 若甲胜了第一、三局, 乙胜了第二局, 问丙成了整场比赛优胜者的概率是多少5. 一个人的血型为O 、A 、B 、AB 型的概率分别为、、和. 现任选五人, 求下列事件的概率:(1) (1)两人为O 型, 其他三人分别为其他三种血型;(2) (2)三人为O 型, 两人为A 型;(3) (3)没有一人为AB 型第一讲1. 1.设ξ为重复独立伯努里试验中开始后第一个连续成功或连续失败的次数, 求ξ的分布.2. 2.直线上一质点在时刻0从原点出发, 每经过一个单位时间分别概率或向左或向右移动一格, 每次移动是相互独立的. 以n ξ表示在时刻n 质点向右移动的次数, 以n S 表示时刻n 质点的位置, 分别求n ξ与n S 的分布列.3. 3.每月电费帐单是由电力公司派人上门抄表给用户的. 如果平均有1%的帐单与实际不符, 那么在500张帐单中至少有10张不符的概率是多少4. 4.某车间有12台车床独立工作, 每台开车时间占总工作时间的2/3, 开车时每台需用电力1单位, 问:(1) (1)若供给车间9单位电力, 则因电力不足而耽误生产的概率等于多少(2) (2)至少供给车间多少电力, 才能使因电力不足而耽误生产的概率小于1%5. 5.螺丝钉的废品率为. 问一盒中应装多少螺丝钉才能保证每盒有100只以上好螺丝钉的概率不小于80%6. 6.某疫苗所含细菌数服从泊松分布, 每一毫升中平均含有一个细菌, 把这种疫苗放入5只试管中, 每管2毫升, 求:(1) (1)5只试管中都有细菌的概率;(2) (2)至少有3只试管含有细菌的概率.第二讲1. 1.在半径为R, 球心为O 的球内任取一点P,(1) (1)求ξ=OP 的分布函数;(2) (2)求)2/(R R P <<-ξ.2. 2.确定下列函数中的常数A, 使它们为密度函数:(1) ;)(||x Ae x p -= (2) ⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=.,0,32,,21,)(2其他x Ax x Ax x p3. 3.某城市每天用电量不超过100万度, 以ξ表示每天耗电量(即用电量/100), 其密度为)10()1(12)(2<<-=x x x x p . 问每天供电量为80万度时, 不够需要的概率为多少 供电量为90万度呢3 假设一块放射性物质在单位时间内发射出的α粒子数ξ服从参数为λ的泊松分布.而每个发射出的α粒子被记录下来的概率均为p ,就是说有p -1的概率被计数器遗漏.如果个粒子是否被记录是相互独立的,试求记录下的α粒子数η的分布。

4. 4.设)4,5(~N ξ, 求a , 使 (1);90.0)(=<a P ξ(2) 01.0)|5(|=>-a P ξ.5. 5.若]5,0[~U ξ, 求方程有实根的概率.第三讲1. 1.试用),(ηξ的分布函数),(y x F 表示下列概率:).,()3();,()2();,()1(+∞<-∞<<=≤≤≤ηξηξηξP y a P y b a P2 设二维随机向量),(ηξ的密度函数为⎩⎨⎧>>=+-.0,0,0,),()(2其它y x Ae y x p y x (1) (1)确定常数A ；（2）求分布函数),(y x F ；（3）求ξ的边际密度；（4）计算概率)10,2(<<<ηξP ；（5）计算概率);2(<+ηξP (6) )(ηξ=P .3. 3.设随机变量ξ与η相互独立, 且0)1()1(>====p P P ηξ, 又==)0(ξP )0(=ηP p -=1, 定义:⎩⎨⎧++=.,1,,0为偶数为奇数ηξηξζ问p 取什么值能使ηξ,独立第四讲1. 1.设),(ηξ服从圆222r y x ≤+上的均匀分布,(1) (1)求ηξ,各自的密度;(2) (2)判断ξ与η是否相互独立.2. 2.设),(ηξ的密度函数为),(y x p , 求证ξ与η相互独立的充分必要条件为),(y x p 可分离变量, 即)()(),(y h x g y x p ⋅=. 此时)(),(y h x g 与边际密度有何关系3. 3.利用上题的充分必要条件判断ξ与η的独立性, 若它们的密度函数为: (1)⎩⎨⎧≤≤≤≤=.,0,10,10,4),(其他y x xy y x p(2) ⎩⎨⎧≤≤≤=.,0,10,8),(其他y x xy y x p第五讲1. 四张小纸片分别写有数字0, 1, 1,2. 有放回地取两次, 每次取一张, 以ηξ,分别记两次取得的数字, 求ηξ,各自的分布以及ξηθ=的分布.2. 2.设ηξ,是独立随机变量, 分别服从参数为1λ及2λ的泊松分布, 试直接证明:(1) ηξ+服从参数为1λ+2λ的泊松分布; (2).,,1,0,)()()|(212211n k C n k P k n k k n =++==+==λλλλλληξξ 3. 3.若Θ服从]2/,2/[ππ-上的均匀分布, ,tan Θ=ψ求ψ的密度.4. 4.设ηξ,独立同分布，且都服从]1,0[上的均匀分布，求ηξζ+=的密度函数.5. 设ηξ,独立同分布, 且都服从)1,0(N 分布，求ηξζ/=的分布密度.第六讲1. 在线段),0(a 上随机投掷两点, 求两点间距离的密度函数.2. 设ηξ,相互独立，且都服从参数为1的指数分布，求ηξ+=U 与ηξ/=V 的联合密度,并分别求出ηξ+=U 与ηξ/=V 的密度.3. 设),(ηξ的联合密度为：⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,10,,4),(其他y x xy y x p求),(22ηξ的联合密度.4. 设),(ηξ服从二元正态分布).,,,0,0(2221r N σσ求ηξ+与ηξ-相互独立的充分必要条件.第一讲1. 1.某人有n 把钥匙, 只有一把能打开家门. 当他随意使用这n 把钥匙时, 求打开家门时已被使用过的钥匙数的数学期望. 假设:(1) (1)每次使用过的钥匙不再放回;(2) (2)每次使用过的钥匙与其它钥匙混在一起.2. 2.设随机变量ξ分别具有下列密度, 求ξE : ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=其他其他,0;2/2/,cos 2)()2(.,0,21,2,10,)()1(2πππx x x p x x x x x p 3. 3.设分子的速度的分布密度有马克斯韦尔分布律给出:⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=.0,0,0),ex p(4)(2232x x a x a x x p π 分子的质量为m , 求分子的平均速度和平均动能.第二讲1. 1.设事件A 在第i 次试验中出现的概率为p , μ是在n 次独立试验中A 出现的次数, 求μE .2. 某人有n 把钥匙, 只有一把能打开家门. 当他随意使用这n 把钥匙时, 求打开家门时已被使用过的钥匙数的方差. 假设:(1) (1)每次使用过的钥匙不再放回;(2) (2)每次使用过的钥匙与其它钥匙混在一起.3. 某公司计划开发一种新产品市场,并试图确定该产品的产量.他们估计出售该产品一件可获利m 元,而每积压该产品一件导致n 元的损失。