《圆锥曲线解题十招全归纳》

《圆锥曲线解题十招全归纳》

招式一：弦的垂直平分线问题

例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

招式二：动弦过定点的问题

例题2、已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b +=>>，

且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。

（I ）求椭圆的方程；

（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论

招式三：过已知曲线上定点的弦的问题

例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b

+= (0)a b >>上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；

(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线x =PQ 的斜率。

招式四：共线向量问题

1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E.I ）求曲线E 的方程；II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足λ=，求λ的取值范围.

2：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2

14

y x =的焦点，离心率

为

5

.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ= ，求证：1210λλ+=-.

3、已知△OFQ 的面积S=26, 且m FQ OF =∙。设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过Q ，

2)14

6

(

,||c m c -==，当||取得最小值时，求此双曲线方程。

类型1——求待定字母的值

例1设双曲线C ：)0(12

22>=-a y a x 与直线L ：x+y=1相交于两个不同的点A 、B ，直线L 与y 轴交

于点P ，且PA=PB 12

5

，求a 的值

类型2——求动点的轨迹

例2如图2 ，动直线1+=kx y 与y 轴交于点A ，与抛物32-=x y 交于不同的两点B 和C, 且满足BP=λPC ， AB=λAC ，其中.R ∈λ。求ΔPOA 的重心Q 的轨迹。

类型3——证明定值问题

例3已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线。设M 为椭圆上任意一点，且OB OA OM μλ+=，其中.,R ∈μλ证明：2

2

μλ+为定值。

类型4——探索点、线的存在性

例4在△ABC 中，已知B(－2, 0), C(2, 0), AD ⊥BC 于D ，△ABC 的垂心H 分有向线段AD 。所成的比为3

1设P(－1, 0), Q(1, 0), 那么是否存在点H |

|||||HQ PQ HP 成等差数列，为什么？

类型5——求相关量的取值范围

例5给定抛物线C ：x y 42=，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，且

[]9,4∈=λλAF ，求l 在y 轴上截距的变化范围。

存在、向量例6、双曲线()()0,20,01:22

2

2a Q x A b a b y a

x C 轴上存在一点，的右顶点为>>=-，若C 上

存在一点，求离心率的取值范围使PQ AP P ⊥。

定值问题例7：,A B 是抛物线2

2(0)y px p =>上的两点，满足OA OB ⊥（O 为坐标原点），求证：（1）

,A B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值；（2）直线AB 经过一定点。

招式五：面积问题

例题1、已知椭圆C ：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的离心率为,3

6

短轴一个端点到右焦点的距离为3。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2

3

，求△AOB 面积的最大值。

3、已知椭圆22

132

x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200

132

x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．

招式六：弦或弦长为定值、最值问题

2、已知椭圆14

22

2=+y x 两焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足121=⋅PF PF ，过P

作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点.（Ⅰ）求P 点坐标；（Ⅱ）求证直线AB 的斜率为定值；（Ⅲ）求△PAB 面积的最大值.

当且仅当()

22,222-∈±=m 取等号∴三角形PAB 面积的最大值为2。