实数有理数整数分数无理数
实数包括有理数和无理数其中无理数就是无限不循环小数
实数包括有理数和无理数。
其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数,,分数。
数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。
实数可以分为有理数和无理数两类，或正数，负数和零三类。
①相反数（只有符号不同的两个数，我们就说其中一个是另一个的相反数）实数a的相反数是-a②绝对值（在数轴上一个数所对应的点与原点0的距离）实数a的绝对值是：│a│=①a为正数时，|a|=a②a为0时，|a|=0③a为负数时，|a|= -a③倒数（两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数）实数a的倒数是：1/a （a≠0）重难点的处理1，对平方根、立方根知识体系的理解与掌握是核心，对算术平方根、平方根、立方根，以及平方根的性质、立方根的性质要求学生在理解的基础上识记。
2，注意易错的知识的教学：平方根：X²=5，易X=√5，正确为：X=±√5。
算术平方根：√16=±4（正：√16=4）。
√（-2）²=–2（正确为=2）。
立方根：³√64=8（正：=4），³√64=±4（正：=4）。
多给学生分析错误原因，加强练习。
3，突出对（√a）²=a（≧0），（³√a）³=a的教学，以用于根式的化解。
4，加强对二次根式化简的教学：（1），对积的、商的算术平方根性质的活用，（逆用）（2），适当增加二次根式化解的教学内容和课时。
增加题型的变化，注意与整式乘法法则，乘法公式结合的题目。
二元一次方程组的意义含有两个未知数的方程并且未知项的次数是1，这样的方程叫做二元一次方程。
两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
有几个方程组成的一组方程叫做方程组。
如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
注意：二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！二元一次方程组的解一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
实数的分类和表示
实数的分类和表示实数是数学中的一个重要概念，它包括有理数和无理数两大类。
本文将探讨实数的分类和表示方法。
一、实数的分类实数可以细分为有理数和无理数两个大类。
1. 有理数有理数是可以表示为两个整数的比值的数。
有理数包括整数、分数和有限小数。
（1）整数：整数包括正整数、负整数和零。
它们可以用于计数和描绘负债等概念。
（2）分数：分数由一个整数（分子）除以另一个非零整数（分母）得到。
分数可以表示一个数的部分或比例。
（3）有限小数：有限小数是有限位数的小数，可以通过有限步骤进行准确表示。
2. 无理数无理数是无法表示为两个整数的比值的数，其表示是无限不循环小数。
无理数包括无限不循环小数和无理代数数。
（1）无限不循环小数：无限不循环小数在十进制表示中有无限位数，且不存在循环模式。
例如，√2、π等。
（2）无理代数数：无理代数数是无理数的一个子类，可以满足一个代数方程，但不能被有理数表示。
例如，√2是方程x²-2=0的一个解。
二、实数的表示方法实数可以用不同的表示方法来准确描述。
1. 十进制表示法十进制表示法是最常用的一种实数表示方法。
在这种表示法中，实数用整数部分、小数部分和小数点来表示。
例如，3.14、-0.25、2等都是十进制表示的实数。
2. 分数表示法分数表示法将实数表示为两个整数的比值。
这种表示方法适用于有理数。
例如，1/2、3/5等都是分数表示的实数。
3. 根式表示法根式表示法是一种表示无理数的方法，常用于表示开方根式。
例如，√2、√3、√5等都是根式表示的无理数。
4. 近似表示法近似表示法使用有限位数的小数来逼近实数的真实值。
这种方法常用于测量和实际计算中。
例如，3.14159可以近似表示π。
总结：实数是数学中的一个重要概念，包括有理数和无理数两大类。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和有限小数。
无理数是无法表示为有理数的比值的数，包括无限不循环小数和无理代数数。
实数可以用十进制、分数、根式和近似等表示方法来准确描述。
实数集知识点总结
实数集知识点总结一、实数集的概念实数集是由有理数和无理数组成的集合。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，即可以写成分数形式的数，包括整数、分数和小数。
而无理数则是不能写成分数形式的数，它的小数部分是无限不循环的，比如π和e等。
实数集包括了所有的有理数和无理数，用符号R表示。
二、实数集的性质1. 实数集是一个无限集合，它包括了无穷多的数。
2. 实数集是一个完备的集合，即实数集中的每一个数都有一个确切的位置，不存在“间隙”。
3. 实数集满足传递性，即如果a < b，b < c，则a < c。
4. 实数集中的任意两个数之间都存在无数个有理数和无理数。
5. 实数集是一个有序集合，即实数集中的任意两个数都可以相互比较大小。
6. 实数集满足运算的封闭性，即两个实数进行加、减、乘、除的运算所得的结果仍然是实数。
三、实数集的运算规则1. 加法：实数集中的任意两个数进行加法运算，得到的结果仍然是实数。
2. 减法：实数集中的任意两个数进行减法运算，得到的结果仍然是实数。
3. 乘法：实数集中的任意两个数进行乘法运算，得到的结果仍然是实数。
4. 除法：实数集中的任意两个数进行除法运算，得到的结果仍然是实数，但需要排除除数为0的情况。
四、实数集的子集1. 自然数集：自然数是指1、2、3、4、5……这样的数，是最早出现的数，用符号N或者N+表示。
2. 整数集：整数是指包括了0在内的正整数和负整数的集合，用符号Z表示。
3. 有理数集：有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数，用符号Q表示。
4. 无理数集：无理数是不能写成分数形式的数，它的小数部分是无限不循环的，包括π和e等，用符号I表示。
5. 正数集：正数是大于0的数的集合，用符号R+表示。
6. 负数集：负数是小于0的数的集合，用符号R-表示。
五、实数集的数轴实数集中的每一个数都可以在数轴上找到一个对应的点。
数轴是一个无限延伸的直线，在数轴上每一个点都对应着实数集中的一个数，并且数轴上的每一个点都有一个确定的位置。
七年级数学下重点概念整理(实数)
一、无理数
1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.判断方法 （1）根据定义判断 （2）整数和分数统称为有理数，整数可以看作是分母为 1 的分数，有理数都可以写成分 数的形工，而无理数则不能写成分数的形式。
3.无理数都是无限小数，但无限小数不定是无理数。 4.判断一个数是不是无理数时，不要把分数化成小数再判断。 二、实数
1.定义：有理数和无理数统称为实数。 2.分类： （1）根据定义分: 实数 有理数 整数 正整数：1，2，3------
0 负整数：-1，-2，-3-----分数 正整数
有限小数或无限不循环小数
负整数
无理数 正无理数 无限不循环小数
负无理数
（2）根据正负之分： 实数 正实数 正有理数
正无理数
0 负实数 负有理数
每一个点都表示一个实数。
2.实数的大小比较 （1）数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大 （2）正实数大于 0，负实数小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值 大的反而小。
四、实数的有关概念及运算
6.1 实数
1.相反数 如果 a 表示任何一个实数，那么-a 就是 a 的相反数，a 与-a 互为相反数； 0 的相反数是 0. 2.绝对值 一个正实数的绝对值是它本身； 一个负实数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0.
系 任何一个有理数，在数轴上都有一个唯一确定的点与之对应，但是，数轴上的点并不是
都表示有理数，无理数也可以用数轴上的点表示。由此可见，数轴上表示有理数的点并
不是连续的，只有将有理数、无理数合在一起，才能填满整个数轴，所以实数与数轴上
的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的
实数有理数整数分数无理数
V3 =1.732 050 807 568 877 293 527 466 341......
72=1-414 213 562 373 095 048 801 688 724 ......
例：判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？
1.23223V262,2三3,1A.2(3两,当个-V3之36间2 依次多一7个2)
1.4142 <71 < 1.4143 1.41421 — < 1.41422
用这种方法可以得到一系列越来越接近拒 的近 似值。
V2 =1.414 213 562 373 095 j 048 801 688 724 209 6A A I
我们把这种无限不循环小数叫做无理数。I
(1)面积为3的正方形边长为多少?
实数与数轴上的点--对应O
例：把下列实数表示在数轴上，并比较 它 们的大小（用“V”号连接）
V2, — 2,—,
1.5 , 3.3, 7C
利用2x涉格，作出面积为2的正方形，并在数轴上出扼
I
2X彷格
3X3方格
4X4方格
思考：2X2 2X3方格的对角线长度是多少?
在实数范围内，每一个数都可以用数轴 上的点 来表示；
反过来，数轴上的每一个点都表示一个 数。
十T 理数和无理数统称为实数。
r整数 1有理数（无限循环小数 <
或有限小数）〔分数 实数
I无理数（无限不循环小数）
f醐屐
把数从有理数扩充到实数以后，有理数的 相反数和绝对值的概念同样适用于实数。
例如：扼和-拒互为相反数
・.• 41 ^41 -41 = V2
...绝对值等于出的数是"和-V2
初中数学实数知识点总结
初中数学实数知识点总结一、实数的分类实数是由整数、分数、无理数和有理数四种数构成的。
整数是不含小数部分的正整数、负整数和0。
例如，-3、-2、-1、0、1、2、3等都是整数。
分数是由整数和非零整数构成的比值。
例如，1/2、3/4、-2/3等都是分数。
无理数是指不能表示为有理数的数，通常是无限不循环小数。
如π、根号2、根号3等都是无理数。
有理数是整数和分数的集合，是可以表示为整数比整数的分数的数。
有理数包括整数和分数，例如-3、-2、-1、0、1、2、3、1/2、3/4等都是有理数。
二、实数的加法和减法实数的加法和减法是我们在日常生活中经常用到的运算方式。
对于整数和分数的加法和减法，我们可以按照它们的正负号和大小进行相应的运算。
例如，对于同号的整数，其加法就是两个数的绝对值相加，并且结果的符号与原来的符号相同；对于异号的整数，其加法就是两个数的绝对值相减，并且结果的符号取绝对值大的数的符号。
对于分数的加法和减法，我们可以先找到它们的公共分母，然后按照相同的公共分母进行运算。
三、实数的乘法和除法实数的乘法和除法也是我们在日常生活中经常用到的运算方式。
对于整数和分数的乘法和除法，我们可以按照相应的规则进行运算。
例如，对于整数的乘法和除法，我们可以按照同号和异号的规则进行运算。
对于分数的乘法和除法，我们可以把乘法转化为乘以倒数的形式进行运算。
四、实数的比较大小在日常生活中，我们经常需要比较不同的数的大小。
对于实数的比较大小，我们可以按照它们的绝对值和符号进行比较。
例如，比较两个正数的大小时，我们可以直接比较它们的绝对值大小；比较一个正数和一个负数的大小时，我们可以直接判断正数的大小。
对于分数的比较大小，我们可以将它们转化为相同的分母后再进行比较。
五、实数的混合运算在实际应用中，我们经常需要对不同类型的实数进行混合运算。
例如，我们需要计算一个整数与一个分数的乘积，或者一个整数与一个无理数的和。
对于这种情况，我们可以根据它们的类型进行相应的转化，然后再进行运算。
什么是自然数.整数，有理数，无理数，实数，虚数
什么是⾃然数.整数，有理数，⽆理数，实数，虚数1、⾃然数⽤以计量事物的件数或表⽰事物次序的数。
即⽤数码0，1，2，3，4，……所表⽰的数。
表⽰物体个数的数叫⾃然数，⾃然数由0开始，⼀个接⼀个，组成⼀个⽆穷的集体。
2、整数（integer）就是像-3,-2,-1,0,1,2,3,10等这样的数。
整数的全体构成整数集，整数集是⼀个数环。
3、有理数在数学上是⼀个整数a和⼀个正整数b的⽐，例如3/8，通则为a/b。
0也是有理数。
4、不是有理数的实数称为⽆理数，即⽆理数的⼩数部分是⽆限不循环的数，不能写作两整数之⽐。
若将它写成⼩数形式，⼩数点之后的数字有⽆限多个，并且不会循环。
常见的⽆理数有⾮完全平⽅数的平⽅根、π和e等。
5、数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。
实数可以直观地看作有限⼩数与⽆限⼩数，实数和数轴上的点⼀⼀对应。
但仅仅以列举的⽅式不能描述实数的整体。
实数和虚数共同构成复数。
6、在数学中，虚数就是形如a+b*i的数，其中a,b是实数，且b≠0,i² = - 1。
可以将虚数bi添加到实数a以形成形式a + bi的复数，其中实数a和b分别被称为复数的实部和虚部。
使⽤术语纯虚数来表⽰所谓的虚数，虚数表⽰具有⾮零虚部的任何复数。
扩展资料：⾃然数、整数、有理数、⽆理数、实数、虚数的相互关系：1、在整数系中，零和正整数统称为⾃然数。
-1、-2、-3、…、-n、…（n为⾮零⾃然数）为负整数。
则正整数、零与负整数构成整数系。
整数不包括⼩数、分数。
2、有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为⼀的分数。
有理数的⼩数部分是有限或为⽆限循环的数。
3、⽆理数的另⼀特征是⽆限的连分数表达式。
4、实数，是有理数和⽆理数的总称。
参考资料来源：参考资料来源：参考资料来源：参考资料来源：参考资料来源：参考资料来源：。
数学中的实数与复数概念
数学中的实数与复数概念实数与复数是数学领域中两个重要的数集，它们在数学的各个分支中都扮演着重要的角色。
本文将首先介绍实数的概念和性质，然后深入讨论复数的定义和特点，最后探讨实数和复数在数学中的应用。
通过对这两个概念的详细讨论和举例解释，我们将更好地理解数学中的实数和复数。
实数是我们日常生活中最常见的数，包括整数、分数和无限小数。
实数集包含了所有的有理数和无理数。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，例如整数和分数。
无理数是不能表示为有理数的比值的数，例如根号2和π。
实数集在数轴上表示了一个无限延伸的直线，每一个点都对应一个实数。
实数有一些基本的性质。
首先，实数满足比较性，即对于任意两个不相等的实数a和b，必然有a小于b或a大于b。
其次，实数满足结合律、交换律和分配律等运算性质，这使得实数集成为一个完备的数学体系。
另外，实数集是无限的，它包含了无限的数，这使得实数能够描述各种现实生活中的量。
而复数是实数的扩展，它由一个实部和一个虚部组成。
复数的虚部用虚数单位i表示，满足i的平方等于-1。
复数的一般形式为a+bi，其中a是实部，b是虚部。
复数集包含了实数和虚数，可以在复平面上表示为复数轴上的点。
复平面是一个由实轴和虚轴构成的坐标平面，其中实轴代表实部，虚轴代表虚部。
复数具有许多有趣的性质。
首先，复数的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律等基本运算性质，这使得复数成为一个有序域。
其次，复数集是代数闭域，也就是说，任何一个非常数的代数方程都有至少一个复数根。
这个性质在解析几何和复变函数等领域有着广泛的应用。
实数和复数在数学中有丰富的应用。
实数广泛应用于几何、代数、数论和计算等各个领域。
它们用于描述长度、面积、体积等物理量，也用于解决方程、证明定理和构造模型。
复数在电磁学、量子力学、信号处理等领域中扮演着重要的角色。
它们用于描述交流电路、谐振系统和波动现象等物理问题，也用于分析周期性信号和数学变换等工程应用。
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在实数范围内，每一个数都可以用数轴 上的点来表示；
反过来，数轴上的每一个点都表示一个实 数。
实数与数轴上的点一一对应。
……
B 4D
2C
1.4 ___<_ 2 __<__1.5 1.41 ___<_ 2 __<__1.42 1.414 ___<_ 2 __<__1.415 1.4142 ___<_ 2 ___<_1.4143 1.41421 ___<_ 2 __<__1.41422
……
用这种方法可以得到一系列越来越接近 2
的 近似值。
2 1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 6
我们把这种无限不循环小数叫做无理数。
思考：
（1）面积为3的正方形边长为多少？ （2） 3 与 2 哪个大？为什么？
3 =1.732 050 807 568 877 293 527 466 341… … 2 =1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 … …
例：把下列实数表示在数轴上，并比较 它们的大小（用“＜”号连接）
2, 2, 1 , 2, 1.5 ，3.3，
3
例4、
利用 2 2方格，作出面积为2的正方形,并在数轴上出 2
2
2 -1
0
12
2×2方格
3×3方格
4×4方格
2
5
10
1×1 对角线
1×2 对角线
1×3 对角线
思考：2×2 2×3方格的对角线长度是多少？
例：判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？
6,
••
, 1.23,
22 , 36
2
7
1.232232223 (两个3之间依次多一个 2)
••
有理数是： 1.23 ,
22
7,
36
无理数是：
6,
2
,
1.232232223 (两个3之间依次多一个 2)
思考：无理数一般有哪些形式?
（1）像 7, 3, 12 的开不尽方的数是无理数。
（2）圆周率 及一些含有 的数都是无理数
（3）有一定的规律，但不循环的无限小数都是无理数。
有理数和无理数统称为实数。ຫໍສະໝຸດ 有理数 （无限循环小数实数
或有限小数）
整数
分数
无理数（无限不循环小数）
把数从有理数扩充到实数以后，有理数的 相反数和绝对值的概念同样适用于实数。
例如： 2 和 2互为相反数 ∵ 2 2 2 2 ∴绝对值等于 2 的数是 2 和 2
思考：
2 介于哪两个整数之间？你是根据什么考虑的？
A
1
2
1
2
1.42 __<__( 2)2 __<__1.52 1.412 _<___( 2)2 __<__1.42 2 1.414 2 _<___( 2)2 _<___1.415 2 1.4142 2 _<___( 2)2 _<___1.4143 2 1.41421 2 _<___( 2)2 __<__1.41422 2
填空：
（1）
（2）
3
的相反数是__________
的相反数是
3
（3） 5 ___________
（4）绝对值等于 6 的数是 _________
思考：实数如果按照符号来分类，怎么分？
正实数
正有理数
实 数
0
正无理数
负有理数
负实数
负无理数
在数轴上不仅可以表示有理数，同样可以表示无理数。
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。