2.1圆周角定理_图文.ppt
2.1 圆周角定理 课件(人教A选修4-1)(2)
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[小问题·大思维] 1．圆心角的大小与圆的半径有关系吗？ 提示：圆心角的度数等于它所对弧的度数，与圆的半径 没有关系． 2．相等的圆周角所对的弧也相等吗？ 提示：不一定．只有在同圆或等圆中，相等的圆周角所
对的弧才相等．
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[研一题]
[例1]
锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC＝60°，
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[悟一法]
(1)在圆中，只要有弧，就存在着所对的圆周
角．同弧所对的圆周角相等，而相等的角为几何命题的
推理提供了条件，要注意此种意识的应用． (2)证明一条线段等于两条线段之和，可将其分为 两段，其中一段等于已知线段，再去证明另一段也等于 已知线段．
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[通一类] 2.如图，G是以BC为直径的圆上一点，
关系在证明中的应用． 返回
证明：连结OD，因为BD＝DC，
O为AB的中点，
所以OD∥AC，于是∠ODB＝
∠C.
因为OB＝OD，所以∠ODB＝ ∠B.于是∠B＝∠C. 因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上 位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周
角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.
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本课时考点常与相似三角形、平行线分线段成比 例定理等问题相结合考查，2012年江苏高考以证明
题的形式重点考查圆周角定理、圆心角定理及三角形
边角关系．
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[考题印证] (2012·江苏高考)如图，AB是圆O的 直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两
点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，
连结AC，AE，DE. 求证：∠E＝∠C. [命题立意] 本题主要考查圆周角定理和三角形的边角
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[悟一法] 在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是 直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角、线
2.1 圆周角定理 课件(人教A选修4-1)(2)
关系在证明中的应用． 返回
证明：连结OD，因为BD＝DC，
O为AB的中点，
所以OD∥AC，于是∠ODB＝
∠C.
因为OB＝OD，所以∠ODB＝ ∠B.于是∠B＝∠C. 因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上 位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周
角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.
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[悟一法]
(1)在圆中，只要有弧，就存在着所对的圆周
角．同弧所对的圆周角相等，而相等的角为几何命题的
推理提供了条件，要注意此种意识的应用． (2)证明一条线段等于两条线段之和，可将其分为 两段，其中一段等于已知线段，再去证明另一段也等于 已知线段．
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[通一类] 2.如图，G是以BC为直径的圆上一点，
＝AD，DM＝MC即可．
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证明：在 MA 上取点 D，使 MD＝MC. ∵△ABC 为正三角形， ∴∠1＝∠2＝60° . ∴△MDC 是等边三角形． ∴CD＝MC. 在△ADC 与△BMC 中
∠3＝∠4， AC＝BC， ∠ADC＝∠BMC＝120° ，
∴△ADC≌△BMC. ∴AD＝BM. ∴MA＝MD＋DA＝MC＋MB.
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[悟一法] 在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是 直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角、线
段又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明
比例式相等．
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[通一类] 3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝
10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边 交于点P，求BP长．
解：连接 CP，∵AC 为圆的直径， ∴∠CPA＝90° ，即 CP⊥AB. 又∵∠ACB＝90° ， ∴由射影定理可知 AC2＝AP· AB. AC2 36 ∴AP＝ ＝ ＝3.6. AB 10 ∴BP＝AB－AP＝10－3.6＝6.4.
圆周角定理课件(PPT 17页)
●
C O B
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
一条弧所对的圆周角等于它所 一条弧所对的圆周角等于它所 圆周角 对的圆心角的一半. 圆心角的一半 对的圆心角的一半.
议一议
圆周角定理 圆周角定理
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: 的大小关系是 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 圆周角等于它所对的圆心角的一 圆周角定理 : 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一 1 半.
A E
●
驶向胜利 的彼岸
A E B D
C
O
C
B D
在同圆内,同弧或等弧所对的 在同圆内 同弧或等弧所对的 圆周角相等. 圆周角相等
圆周角定理: 在同一圆内,同弧或等弧所对的圆周角相等 同弧或等弧所对的圆周角相等, 在同一圆内 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周 都等于该弧所对的圆心角的一半 相等的圆周 角所对的弧相等． 角所对的弧相等．
●
O D C A
●
O C B
O C
D
70o
B
４．如图：四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，则 ∠BAD = 如图：四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，则 ＡＢＣＤ内接于
∠BOD =
例２．ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＢＤ是⊙Ｏ的弦，延 长ＢＤ到点Ｃ，使ＣＤ＝ＢＤ，连接ＡＣ． 判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
如图：已知ＢＣ为 如图：已知ＢＣ为⊙Ｏ的直径，ＡＤ⊥ＢＣ， ＢＣ 的直径，ＡＤ⊥ ，ＡＤ 垂足为Ｄ，ＢＦ ＡＤ于Ｅ，且 Ｄ，ＢＦ交 垂足为Ｄ，ＢＦ交ＡＤ于Ｅ，且ＡＥ＝ＢＥ． ︵ ︵ 求证：ＡＢ＝ＡＦ （１）求证：ＡＢ＝ＡＦ 3 （２）若sin∠ＦＢＣ＝ , AB = 4 5 , 求AD的长。 ∠
2.1 圆周角定理 课件(人教A选修4-1)(2)
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本课时考点常与相似三角形、平行线分线段成比 例定理等问题相结合考查，2012年江苏高考以证明
题的形式重点考查圆周角定理、圆心角定理及三角形
边角关系．
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[考题印证] (2012·江苏高考)如图，AB是圆O的 直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两
点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，
连结AC，AE，DE. 求证：∠E＝∠C. [命题立意] 本题主要考查圆周角定理和三角形的边角
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[读教材·填要点] 1．圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半．
2．圆心角定理 圆心角的度数 等于 它所对弧的度数．
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3．圆周角定理的推论
(1)推论1：同弧或等弧所对的圆周角 相等 ；同圆或等 圆中，相等的圆周角所对的弧 也相等 ． (2)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ；90° 直径 的圆周角所对的弦是 ．
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[小问题·大思维] 1．圆心角的大小与圆的半径有关系吗？ 提示：圆心角的度数等于它所对弧的度数，与圆的半径 没有关系． 2．相等的圆周角所对的弧也相等吗？ 提示：不一定．只有在同圆或等圆中，相等的圆周角所
对的弧才相等．Biblioteka 返回返回[研一题]
[例1]
锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC＝60°，
关系在证明中的应用． 返回
证明：连结OD，因为BD＝DC，
O为AB的中点，
所以OD∥AC，于是∠ODB＝
∠C.
因为OB＝OD，所以∠ODB＝ ∠B.于是∠B＝∠C. 因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上 位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周
2.1 圆周角定理 课件(人教A选修4-1)(2)
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[小问题·大思维] 1．圆心角的大小与圆的半径有关系吗？ 提示：圆心角的度数等于它所对弧的度数，与圆的半径 没有关系． 2．相等的圆周角所对的弧也相等吗？ 提示：不一定．只有在同圆或等圆中，相等的圆周角所
对的弧才相等．
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[研一题]
[例1]
锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC＝60°，
解：连接 BC，∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90° . ∵∠BAC＝30° ，AB＝2 cm， AB ∴BC＝ ＝1 (cm)． 2 ∵∠ABD＝120° ， ∴∠DBC＝120° －60° ＝60° . ∵CD⊥BD， ∴∠BCD＝90° －60° ＝30° . BC ∴BD＝ ＝0.5 (cm)． 2
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[悟一法]
(1)在圆中，只要有弧，就存在着所对的圆周
角．同弧所对的圆周角相等，而相等的角为几何命题的
推理提供了条件，要注意此种意识的应用． (2)证明一条线段等于两条线段之和，可将其分为 两段，其中一段等于已知线段，再去证明另一段也等于 已知线段．
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[通一类] 2.如图，G是以BC为直径的圆上一点，
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本课时考点常与相似三角形、平行线分线段成比 例定理等问题相结合考查，2012年江苏高考以证明
题的形式重点考查圆周角定理、圆心角定理及三角形
边角关系．
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[考题印证] (2012·江苏高考)如图，AB是圆O的 直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两
点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，
连结AC，AE，DE. 求证：∠E＝∠C. [命题立意] 本题主要考查圆周角定理和三角形的边角
关系在证明中的应用． 返回
证明：连结OD，因为BD＝DC，
2.1 圆周角定理 课件(人教A选修4-1)(2)
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[读教材·填要点] 1．圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半．
2．圆心角定理 圆心角的度数 等于 它所对弧的度数．
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3．圆周角定理的推论
(1)推论1：同弧或等弧所对的圆周角 相等 ；同圆或等 圆中，相等的圆周角所对的弧 也相等 ． (2)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ；90° 直径 的圆周角所对的弦是 ．
∴∠1＝∠2.∴AE＝BE. 又∵∠1＋∠BFA＝90° ， ∠2＋∠DAF＝90° ， ∴∠BFA＝∠DAF， ∴AE＝EF，∴BE＝EF.
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[研一题]
[例3] 如图，AB是⊙O的直径，
AB＝2 cm，点C在圆周上，且∠BAC
＝30°，∠A：本题考查“直径所对的圆周角为直角”的应 用．解答本题可连接BC，然后利用直角三角形的有关知识 解决． 返回
∠BAC＝40°，作OE⊥AB交劣弧 B 于点E，连接EC， A 求∠OEC. 分析：本题考查圆周角定理与圆心角定理的应用． 解决本题需要先求∠OEC所对的弧的度数，然后根据圆心
角定理得∠OEC的度数．
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解：连接 OC. ∵∠ABC＝60° ，∠BAC＝40° ， ∴∠ACB＝80° .
A ∵OE⊥AB，∴E 为 B 的中点．
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[悟一法] 在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是 直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角、线
段又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明
比例式相等．
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[通一类] 3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝
10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边 交于点P，求BP长．
解：连接 CP，∵AC 为圆的直径， ∴∠CPA＝90° ，即 CP⊥AB. 又∵∠ACB＝90° ， ∴由射影定理可知 AC2＝AP· AB. AC2 36 ∴AP＝ ＝ ＝3.6. AB 10 ∴BP＝AB－AP＝10－3.6＝6.4.
2.1 圆周角定理 课件(人教A选修4-1)(2)
∠BAC＝40°，作OE⊥AB交劣弧 于点E，连接EC， AB 求∠OEC. 分析：本题考查圆周角定理与圆心角定理的应用． 解决本题需要先求∠OEC所对的弧的度数，然后根据圆心
角定理得∠OEC的度数．
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解：连接 OC. ∵∠ABC＝60° ，∠BAC＝40° ， ∴∠ACB＝80° .
AB ∵OE⊥AB，∴E 为 的中点．
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[读教材·填要点] 1．圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半．
2．圆心角定理 圆心角的度数 等于 它所对弧的度数．
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3．圆周角定理的推论
(1)推论1：同弧或等弧所对的圆周角 相等 ；同圆或等 圆中，相等的圆周角所对的弧 也相等 ． (2)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ；90° 直径 的圆周角所对的弦是 ．
解：连接 BC，∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90° . ∵∠BAC＝30° ，AB＝2 cm， AB ∴BC＝ ＝1 (cm)． 2 ∵∠ABD＝120° ， ∴∠DBC＝120° －60° ＝60° . ∵CD⊥BD， ∴∠BCD＝90° －60° ＝30° . BC ∴BD＝ ＝0.5 (cm)． 2
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本课时考点常与相似三角形、平行线分线段成比 例定理等问题相结合考查，2012年江苏高考以证明
题的形式重点考查圆周角定理、圆心角定理及三角形
边角关系．
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[考题印证] (2012·江苏高考)如图，AB是圆O的 直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两
点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，
连结AC，AE，DE. 求证：∠E＝∠C. [命题立意] 本题主要考查圆周角定理和三角形的边角
A是劣弧BG 的中点，AD⊥BC，D为
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本课时考点常与相似三角形、平行线分线段成比 例定理等问题相结合考查，2012年江苏高考以证明
题的形式重点考查圆周角定理、圆心角定理及三角形
边角关系．
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[考题印证] (2012·江苏高考)如图，AB是圆O的 直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两
点，连结BD并延长至点C，BD＝DC，
连结AC，AE，DE. 求证：∠E＝∠C. [命题立意] 本题主要考查圆周角定理和三角形的边角
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[悟一法] 在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是 直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角、线
段又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明
比例式相等．
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[通一类] 3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝
10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边 交于点P，求BP长．
解：连接 CP，∵AC 为圆的直径， ∴∠CPA＝90° ，即 CP⊥AB. 又∵∠ACB＝90° ， ∴由射影定理可知 AC2＝AP· AB. AC2 36 ∴AP＝ ＝ ＝3.6. AB 10 ∴BP＝AB－AP＝10－3.6＝6.4.
∴ BE 和 BC 的度数均为 80° .
∴∠EOC＝80° ＋80° ＝160° . ∴∠OEC＝10° .
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[悟一法] 圆周角定理可以理解成一条弧所对的圆心角是它所 对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对弧的度数 的一半．
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[通一类] 1．已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径， 求证：∠BAE＝∠DAC. 证明：连接BE，因为AE为直径，
∴∠1＝∠2.∴AE＝BE. 又∵∠1＋∠BFA＝90° ， ∠2＋∠DAF＝90° ， ∴∠BFA＝∠DAF， ∴AE＝EF，∴BE＝EF.
人教版高中数学选修2.1-圆周角定理ppt课件
习题2.2 1.AD,BE是△ABC的两条高，
E
C
D
求证：∠CED=∠ABC.
A o B
2.求证：对角线互相垂直的四边形中，各边中点在同一个圆周上。
3.如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E,EG平分∠E, 且与BC,AD分别相交于F,G.
求证： ∠CFG=∠DGF.
A F G C D B
如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点
性质定理的逆命题成立吗？
圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.
推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点 共圆.
D C
A
B
E
O例 O2 1 如图， 1与
于点C,与
O1
都经过A,B两点。经过点A的直线CD与 交 O O1 交与点经过点 B的直线EF 与 交于点E,与 交与点F. 2
2 D 1 0 0 3600 B D 360 180 2
如果一个四边形内接于圆,那么它有何特征? 1 如图（1）连接OA,OC.则∠B= . ∠D=
1 2
C
同理可得: A C 180
圆内接多边形的对角互补
0
A
（1）
B
性质定理1
将线段AB延长到点E,得到图（2）
弧意义是不同的.
圆心角定理 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等, 所对的圆周角也相等. 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2 半 圆(或直径)所对的圆周角是直角;
90º 的圆周角所对的弦是直径.
第一章 §2 2.1 圆周角定理
2．1 圆周角定理对应学生用书P12]1．圆周角定理(1)文字语言：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．(2)符号语言：在⊙O BAC，∠BOC，则有∠BAC＝∠BOC＝(3)图形语言：如图所示．2．圆周角定理的推论(1)推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(2)推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弧是半圆．1．圆周角定理中圆周角与圆心角所对的弧是同一段弧吗？提示：一定对着同一条弧才能有定理中的数量关系．2．推论1中若把“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论还成立吗？提示：不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的．对应学生用书P13]利用圆周角定理解决计算问题[例1][思路点拨] 本题主要考查圆周角定理．顶点A的位置不确定，所以点A和圆心O可能在BC的同侧，也可能在BC的异侧．[精解详析] (1)当点A和圆心O在BC的同侧时，如图①所示．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵∠OBC＝35°，∴∠BOC＝180°－2∠OBC＝110°.∴∠BAC＝∠BOC＝55°.(2)当点A和圆心O在BC的异侧时，如图②所示．设P为圆上与圆心O在BC的同侧一点，连接PB，PC.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵∠OBC＝35°，∴∠BOC＝180°－2∠OBC＝110°.∴∠BPC＝∠BOC＝55°.∴∠BAC＝180°－∠BPC＝180°－55°＝125°.综上所得，∠A的度数是55°或125°.使用圆周角定理时，一定要注意“同一条弧”所对的圆周角与圆心角这一条件．1．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是( )A．40° B．25°C．50° D．60°解析：选A 连接OB.因为∠A＝50°，所以BC弦所对的圆心角∠BOC＝100°，∠COD＝∠BOC＝50°，∠OCD＝90°－∠COD＝90°－50°＝40°.所以∠OCD＝40°.[例2] 如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC＝4 cm.(1)试判断OD与AC的关系；(2)求OD的长；(3)若2sin A－1＝0，求⊙O的直径．[思路点拨] 本题主要考查圆周角定理推论2的应用．解题时，可判断∠ACB＝90°.利用OD∥BC可得OD⊥AC.用相似可得OD的长，由边角关系可求⊙O的直径．[精解详析] (1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵OD∥BC，∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∴OD⊥AC.(2)∵△AOD∽△ABC，∴＝＝，∴OD＝BC＝×4＝2(cm)．(3)∵2sin A－1＝0，∴sin A＝.∵sin A＝，∴＝，∴AB＝2BC＝2×4＝8(cm)．“半圆(直径)所对的圆周角是直角，和直径能构成直角三角形”这一性质应用广泛，解题时注意直角三角形中有关定理的应用．本例的条件变为：“弦AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于D”，求CD.解：由勾股定理知AB＝5，∵S△ACB＝AC·BC＝AB·CD，∴3×4＝5×CD，∴CD＝.利用圆周角定理解决证明问题[例3]E，求证：AE ＝BE.[思路点拨] 本题主要考查利用圆周角定理证明问题．解题时只需在△ABE中证明∠ABE＝∠EAB.而要证这两个角相等，只需借助∠ACB即可．[精解详析] ∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC为直角，又AD⊥BC，∴Rt△BDA∽Rt△BAC.∴∠BAD＝∠BCA.FBA＝∠ACB.∴∠BAD＝∠FBA.∴△ABE为等腰三角形．∴AE＝BE.有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧及弦可以相互转化．即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等．要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等．这是证明圆中线段相等的常用方法．2．如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上一点，∠ABC＝30°，⊙O过点B的切线与CO的延长线交于点D.求证：(1)∠CAB＝∠BOD.(2)△ABC≌△ODB.证明：(1)因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，由∠ABC＝30°，所以∠CAB＝60°.又OB＝OC，所以∠OCB＝∠OBC＝30°，所以∠BOD＝60°，所以∠CAB＝∠BOD.(2)在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，得AC＝AB，又OB＝AB，所以AC＝OB.由BD切⊙O于点B，得∠OBD＝90°.在△ABC和△ODB中，所以△ABC≌△ODB.本课时主要考查圆周角定理及推论的计算与证明问题，难度中档．[考题印证]如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD＝DC，连接AC，AE，DE.求证：∠E＝∠C.[命题立意]本题主要考查圆周角定理的推论及平行线的性质．[自主尝试] 连接OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C.因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.对应学生用书P14]一、选择题1.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，∠BCD＝25°，则下列结论错误的是( )A．AE＝BE B．OE＝DEC．∠AOD＝50° D．D解析：选B 因为CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，AE＝BE，因为∠BCD＝25°，所以∠AOD＝2∠BCD＝50°，故A，C，D正确，B不能得证．2．如图所示，AB是⊙O的直径，C AC＝8，BC＝6，则⊙O的半径r等于( )A． B．5C．10 D．不确定解析：选B 由已知得∠ACB＝90°，∴AB＝＝10，即2r＝10，r＝5.3.如图，直径为10的⊙C经过点A(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙C弧上一点，则cos∠ABO的值为( )A． B．C． D．解析：选B 法一：设⊙C与x轴另一个交点为D，连接AD，如图所示：因为∠AOD＝90°，所以AD为⊙C的直径，又因为∠ABO与∠ADO为圆弧AO所对的圆周角，所以∠ABO＝∠ADO，又因为A(0,5)，所以OA＝5，在Rt△ADO中，AD＝10，AO＝5，根据勾股定理得：OD＝＝5.所以cos∠ABO＝cos∠ADO＝＝＝，故选B.法二：连接CO，因为OA＝5，AC＝CO＝5，所以△ACO为等边三角形，∠ACO＝60°，∠ABO＝∠ACO＝30°，所以cos∠ABO＝cos 30°＝.4．已知P R都在弦AB的同侧，且点P Q的圆内，点R(如图)，则( )A．∠AQB<∠APB<∠ARBB．∠AQB<∠ARB<∠APBC．∠APB<∠AQB<∠ARBD．∠ARB<∠APB<∠AQB解析：选D 如图所示，延长AQ交圆O于点C，设AR与圆O相交于点D，连接BC，BD，则有∠AQB>∠ACB，∠ADB>∠ARB.因为∠ACB＝∠APB＝∠ADB，所以∠AQB>∠APB>∠ARB.二、填空题5.如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝60°，则∠ABC的度数是．解析：因为∠AOC＝60°，所以弧ABC的度数为60°，AC对的优弧的度数为360°－60°＝300°，所以∠ABC＝150°.答案：150°6.如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为．解析：因为∠BOD＝100°，所以∠A＝∠BOD＝50°.因为∠B＝60°，所以∠C＝180°－∠A－∠B＝70°.答案：70°7.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O 上，∠ADC＝68°，则∠BAC＝ .解析：因为AB是圆O的直径，所以弧ACB的度数为180°，它所对的圆周角为90°，所以∠BAC＝90°－∠ABC＝90°－∠ADC＝90°－68°＝22°.答案：22°8.如图，在半径为2 cm的⊙O内有长为2 cm的弦AB，则此弦所对的圆心角∠AOB为．解析：作OC⊥AB于C，则BC＝，在Rt△BOC中，∵OC＝＝＝1(cm)，∴＝，∴sin∠B＝，∠B＝30°，∴∠BOC＝60°，∴∠AOB＝120°.答案：120°三、解答题9.如图，在⊙O中，弦AB＝16，点C在⊙O上，且sin C＝.求⊙O的半径长．解：作直径AD，连接BD，则∠ABD＝90°，∠D＝∠C.因为sin C＝，所以sin D＝.在Rt△ABD中，sin D＝＝，又因为AB＝16，所以AD＝16×＝20，所以OA＝AD＝10，即⊙O的半径长为10.10．如图，已知在⊙O中，直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD和BD的长．解：因为AB为直径，所以∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，BC＝＝＝8(cm)．因为CD平分∠ACB，所以△ADB为等腰三角形．所以AD＝BD＝AB＝×10＝5(cm)．11.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1＝∠C.(1)求证：CB∥MD.(2)若BC＝4，sin M＝，求⊙O的直径．解：(1)证明：因为∠C与∠M是同一弧所对的圆周角，所以∠C＝∠M.又∠1＝∠C，所以∠1＝∠M，所以CB∥MD(内错角相等，两直线平行)．(2)由sin M＝知，sin C＝，所以＝，BN＝×4＝.由射影定理得：BC2＝BN·AB，则AB＝6.所以⊙O的直径为6.。
课件2：一 圆周角定理
解:(1)∵AE 平分∠BAC,∴∠BAD=∠EAC.
又∵∠B=∠E,∴△ABD∽△AEC.
∵∠B=∠E,∠BAE=∠BCE,
∴△ABD∽△CED,△AEC∽△CED.
(2)∵△CED∽△AEC,
∴ = .
∴CE2=ED·AE, ∴16=2AE,∴AE=8.
∴AD=AE-DE=6.
径所对的圆周角为 90°,这样就得到了所需的条件.
又如图(2),在☉O 中,直径 AB⊥弦 AE⊥CF,要证△ABE≌△CDF,在
已知∠A=∠C,AB=CD 时,缺少一个条件,由 AB,CD 为直径,想到连接 BE,DF,
便可知∠E=∠F=90°,这就为证三角形全等提供了条件.
图(1)
图(2)
【典型例题 3】 如图所示,∠BAD=75°,则∠BCD=
.
错解:∵∠BAD 和∠BCD 所对的弦都是 BD,∴∠BAD=∠BCD.
∴∠BCD=75°.
错因分析:错解中,没有注意到圆周角∠BAD 和∠BCD 所对的弧不相等,
导致得到错误的结论∠BAD=∠BCD.
正解:∠BAD 是所对的圆周角,∠BCD 是 所对的圆周角,则
∠EAB,而要证这两个角相等,只需借助∠ACB 即可.
证明:∵BC 是☉O 的直径,∴∠BAC 为直角.
又 AD⊥BC,∴Rt△BDA∽Rt△BAC.∴∠BAD=∠ACB.
∵ = ,∴∠FBA=∠ACB.∴∠BAD=∠FBA.
∴△ABE 为等腰三角形.∴AE=BE.
探究三 易错辨析
易错点:误认为同弦或等弦所对圆周角相等
探究一 求线段的长
求圆中线段长时,常先利用圆周角定理及其推论得到相似三角形,从而
得到成比例线段,再列方程求得线段长.