矩形中的折叠问题
初二数学矩形折叠问题专题讲解,只需三步就能搞定!
例1如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=6，BC=10，则CE的长为多少？分析：根据折叠可知：△ADE≌△AFE⇒AD=AF=BC=10,DE=EF.在Rt△ABF中，AB=6，AF=10,根据勾股定理，得BF==8,所以CF=10-8=2.设CE的长为x,则DE=EF=6-x.在Rt△CEF中，CF=2,CE=x,EF=6-x,根据勾股定理列出方程，即可求出x的长.例2如图，将矩形ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF,若AB=3,AD=4,你能求折痕EF的长吗？分析：连接AC交EF与点O，由翻折可得到FE垂直平分AC，那么AF=FC，易证△AEO≌△CFO.那么求出OF长，乘2后就是EF长，利用直角三角形ABF求解即可．总结矩形折叠问题解题技巧和关键步骤（1）折叠确定全等等量线段转移（2）求出线段长度（3）设未知数，利用勾股关系建立方程好记性不如烂笔头，快快整理笔记在笔记本上，找题目练练哦！题目已经给你们准备好啦专题小练一．选择题1．（2018•牡丹江）如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE＝1，BC＝3，则CD的长为（ ）A．6 B．5C．4 D．32．（2019•辽阳）如图，直线EF是矩形ABCD的对称轴，点P在CD边上，将△BCP沿BP 折叠，点C恰好落在线段AP与EF的交点Q处，BC＝4，则线段AB的长是（ ）3．（2019•桂林）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（ ）4．（2018•朝阳）如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，E为AD上一点，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在对角线BD上的点F处，则折线BE的长为（ ）5．（2018•毕节市）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，M是CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM，若AN平分∠MAB，则折痕AM的长为（ ）二．填空题（共4小题）6．（2019•盘锦）如图，四边形ABCD是矩形纸片，将△BCD沿BD折叠，得到△BED，BE交AD于点F，AB＝3．AF：FD＝1：2，则AF＝ ．7．（2019•西藏）如图，把一张长为4，宽为2的矩形纸片，沿对角线折叠，则重叠部分的面积为 ．8．（2019•长春）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片ABCD 折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC 相交于点G，则△GCF的周长为 ．9．（2019•青岛）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为 cm．三．解答题10．（2019•滨州）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．▍ 声明：本文整理自网络，如有侵权，请联系删除。
矩形的五种折叠方法
矩形的五种折叠方法折叠问题的实质是轴对称问题，折叠原理实际上是图形的全等问题，对应角相等，对应线段相等。
对应点的连线被折痕垂直平分。
矩形在日常生活中随处可见，矩形的性质又具有平行四边形的所有性质，并且具有对角线互相平分且相等的特有性质，它不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形.所以矩形的折叠问题是中考热点问题，并且折叠的方法不同，问题不同，给参加中考的考生带来各种各样的困境，为了让参加中考的孩子们轻松应考，先把矩形的折叠问题进行总结一下.一.沿对角线折叠例1.在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴，y轴上，且OA=4，0C=3。
如图，将△OAB沿对角线OB翻折得到△OBN，ON与AB交于点M。
（1）判断△OBM是什么三角形，并说明理由，并求出△OBM的面积（2）求MN的长.【分析】由矩形性质可知，AB=OC=3,BC=OA=4,∠COA=∠OAB=90°OA∥BC 所以∠AOB=∠MBO根据折叠原理得∠AOB=∠MOB，所以∠MBO=∠MOB，∴MB=MO所以△OBM是等腰三角形，二．折一角，使直角顶点到对边例2.如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A 在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC ＝4.在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处．则点D 的坐标是 ．【分析】折叠原理知，AE=AO=5，AB=OC=4，OD=ED 由勾股先求得BE=3，∴CE=2，然后设OD=x ，则CD=4-x在Rt △DCE 中由勾股定理即可求得OD 的长，然后就得到点D 的坐标。
练习：如图，折叠矩形的一边AD ，点D 落在BC 边上点F 处，已知AB=8，BC=10，则EC 的长是 。
（这道题目先求BF 的长，再求CF 的长，然后再勾股定理）练习2.如图，矩形纸片ABCD ，若把△ABE 沿折痕BE 上折叠，使A 点恰好落在CD 上，此时，AE:ED=5:3，BE=55，求矩形的长和宽。
长方形折叠问题的四个类型
长方形折叠问题的四个类型
长方形折叠问题是计算几何学中一个经典的问题，需要将一个矩形
单片纸折叠成不同的形状。
根据折叠的方式不同，长方形折叠问题可
以划分为四个类型。
一、矩形对折型
把矩形沿着某一边对折后再沿着另一边对折，得到的形状为一个小矩形。
其面积为原矩形面积的四分之一。
二、两个小矩形型
把矩形沿着某一边对折后再沿着另一个边对折，将得到两个小矩形。
这两个小矩形的面积之和等于原矩形面积。
三、梯形型
将矩形沿着某一边对折后再折成一三角形，将三角形的一条边与另一
边平行，得到的形状为梯形。
梯形的面积为原矩形面积的一半。
四、折叠成立体型
把矩形按一定方式折叠成一个几何立体体，如立方体、正四棱锥等。
这种类型的长方形折叠问题需要对几何概念和立体几何有一定的认识。
无论是哪种类型的长方形折叠问题，其解题方法都需要灵活掌握，考
虑到折叠的方向和次数，从而推导出最终的形状和面积。
长方形折叠
问题不仅能够训练我们的空间想象力，也有助于提高我们的计算能力和数学应用能力。
矩形中的折叠问题
若点E，点F分别是边AB，边AD
上的点，将⊿AEF沿EF对折，使
C
点A落在边BC上，记为A′．观察
图形，请回答下列问题：
D
E
B
图4 A'
F
A
（1）如图1，BA’ = 3 .
（2）如图5，BA’ = 1 ，
5
AE= 3
.
（3）如图4，A’B的范围 是 1≤ A’B≤3 .
C
B (E)
A' 图1
D (F)
x
请探索：是否存在这样的点
F，使得将△CEF沿EF对折
后，C点恰好落在OB上？
若存在，求出点F的坐标；
若不存在，请说明理由．
(2)过点B1作B1F∥x轴，与对角线AC、边OC分别交于 点E、点F。若B1E: B1F=1:3，点B1的横坐标为m，求 点B1的纵坐标，并直接写出m的取值范围。
H B1
备用图
直击中考
（2015•绍兴）在平面直角坐标系中，O为原点，四边 形OABC的顶点A在轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P， 点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点 B关于PQ的对称点。 （1）若四边形OABC为矩形，如图1，①求点B的坐标；
（1）根据勾股定理得方程。 （2）根据相似比得方程。 （3）找折叠中的特殊位置来解决特殊值问题
课后练习
已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3．分别以OB,OA所
在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边
BC上的一个动点（不与B,C重合），过F点的反比y例函k 数(k 0)
的图象与AC边交于点E．
动手折一折
如图矩形ABCD，在边BC上找一点E ，边 AD上找一点F ， 将矩形沿着直线EF折叠，使 点A对应点A′落在BC边上.
矩形中的折叠问题
矩形中的折叠问题山东省枣庄市峄城区第二十八中学 潘歌 邮编：277300折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。
对于折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。
一、求角度例1 如图 把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C D ，分别落在C D ''，的位置上，EC '交AD 于点G ．已知58EFG ∠=°，那么BEG ∠= °．【解析】在矩形折叠问题中，折叠前后的对应角相等来解决。
解：根据矩形的性质AD ∥BC ，有∠EFG =∠FEC =58°，再由折叠可知，∠FEC =∠C ′EF =58°，由此得∠BEG =64°例2 将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC ，BD 为折痕，折叠后BG 和BH 在同一条直线上，∠CBD = 度．【解析】折叠前后的对应角相等．解：BC 、BD 是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC ，∠EBD = ∠HBD 则∠CBD = 90°．例4 如图 四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ）（A ）34 （B ）33 （C ）24 （D ）8【解析】在矩形折叠问题中，求折痕等线段长度时，往往利用轴对称性转化相等的线段，再借助勾股定理构造方程来解决．解：由折叠可知，AE =AB =DC =6，在Rt △ADE 中AD =6，DE =3由勾股定理，得AD =33，设EF =x ，则FC =x -33，在Rt △EFC 中由勾股定理求得x =32,则EF =32，在Rt △AEF 中，由勾股定理得AF =A ．A B CDEFA B E C D F G C 'D 'C三、求图形面积例5如图3-1所示，将长为20cm ，宽为2cm 的长方形白纸条，折成图3-2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（ ）A ．234cmB ．236cmC ．238cmD ．240cm解析：折叠后重合部分为直角三角形． 解：重合部分其面积为22122=⨯⨯，因此着色部分的面积=长方形纸条面积 － 两个重合部分三角形的面积，即20×2－2×2＝36（2cm ）．故选B ．∴62 + (8 - x )2 = x2解得x = 254所以，阴影部分的面积S △FBD = 12 FD ×AB = 12 ×254 ×6 = 754 cm2四、数量及位置关系例7 如图 将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E处，BE 交AD 于点F ，连结AE ．证明：（1）BF DF =． （2）AE BD ∥ 【解析】（1）欲证明BF =DF ，只需证∠FBD =∠FDB ； （2）欲证明AE BD ∥，则需证AEB DBE ∠=∠。
矩形的折叠问题归类
矩形的折叠问题归类矩形的折叠问题是指在二维平面上，将一个矩形沿某一方向进行折叠，使得其中的某一条边与另一条边重合的问题。
这个问题可以分为以下几类。
1.水平折叠：在这种情况下，矩形按照水平方向进行折叠。
即将矩形的上边与下边进行折叠，使得它们重合。
这种情况下，折叠中心通常是矩形的中点。
2.垂直折叠：与水平折叠类似，垂直折叠是指将矩形的左边和右边进行折叠，使得它们重合。
折叠中心通常是矩形的中点。
3.对角线折叠：对角线折叠是指将矩形的一条对角线进行折叠，使得它与另一条对角线重合。
这种情况下，折叠中心就是矩形的中心点。
4.不对称折叠：不对称折叠是指将矩形沿任意一条线进行折叠，使得其中的两条边重合，但折叠中心不是矩形的对称中心。
这种类型的折叠通常需要一些几何推理和计算来求解。
5.多次折叠：在这种情况下，矩形可以进行多次折叠，使得多个边重合。
这种问题通常需要分析每次折叠的效果，并综合考虑到所有边的重合情况。
通过以上分类，我们可以看出矩形的折叠问题是一个几何学和空间想象力的结合。
解决这类问题通常需要从折叠后的形状入手，利用几何知识和计算方法，通过推理和计算找到解决方案。
例如，对于水平折叠问题，可以通过计算矩形的上边和下边的重合点来求解。
类似地，对于垂直折叠问题，可以计算矩形的左边和右边的重合点。
而对于对角线折叠问题，可以通过计算矩形的对角线的重合点来求解。
在不对称折叠问题中，可能需要通过几何推理来找到折叠点的位置，然后再进行计算。
这可能涉及到一些较为复杂的几何分析和角度计算。
在多次折叠问题中，可以通过类似的方法逐步解决每个折叠步骤，然后整合所有步骤的结果。
总之，矩形的折叠问题是一个有趣的几何学问题，需要运用数学和空间想象力来解决。
通过分类和分析不同类型的折叠问题，我们可以更好地理解和解决这类问题。
矩形中的折叠问题小结
A
B
类型四：求线段与面积间的变化关系
A E D G N B C
例4 如图，把一张边长为a的正方形 的纸进行折叠，使B点落在AD上， M 问B点落在AD的什么位置时，折起 的面积最小，并求出这最小值。
A B 39;
类型二：求折叠出的线段的长度
例2、折叠矩形ABCD，让点B落在AC上的点 F处，若AD=4，AB=3，求线段CE的长度。
A F B C D
E
类型三：考察折叠后线段的等量关系
例3、将矩形纸片ABCD沿AC折叠，使点B落 到点F的位置.（1）求证：AE=CE （2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意 一点，PG⊥AE，PH⊥EC，求PG+PH的值， 并说明理由. F
矩形中的折叠问题
一、在“大小”方面的应用
折叠型问题在“大小”方面的应用，通常有求线段 的长，角的度数，图形的周长与面积的变化关系等 问题。
二、在“位置”方面的应 用 由于图形折叠后，点、线、面等相应的位
置发生变化，带来图形间的位置关系重新 组合。
类型一：求角度
例1、将长方形ABCD的纸片，沿EF折成如 图所示,已知EFG=55º ，则FGE= 70º 。
矩形中的折叠问题
1. 如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，P 为边AD 上一动点，连接BP ，把△ABP 沿BP 折叠，使A 落在A ′处，当△A ′DC 为等腰三角形时，AP 的长为（ ）A ．2BC ．2D ．2 2．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处，当△CEB ′为直角三角形时，BE 的长为( )A ．3B ．32C ．2或3D ．3或323.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝√3，BC ＝3，将△ABC 沿对角线AC 折叠，点B 恰好落在点P 处，CP 与AD 交于点F ，连接BP 交AC 于点G ，交AD 于点E ，下列结论不正确的是( )A ．PG CG =13B ．△PBC 是等边三角形 C ．AC ＝2APD ．S △BGC ＝3S △AGP 4.如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把矩形沿AE 折叠，使点B 落在点B '处．当CEB '∆为直角三角形时，BE 的长为____________．5.如图，矩形纸片ABCD ，5AB =，3BC =，点P 在BC 边上，将CDP ∆沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP OF =，则AF 的值为_____________．6.如图，在矩形ABCD 中， AB=3，BC=2，点E 为线段AB 上的动点，将△CBE 沿 CE 折叠，使 点B 落在矩形内点F 处，则AF 的最小值为_ _．7.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝E 是AB 边上一点， AE ＝2，F 是直线CD 上一动点，将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 的对应点为点A ′，当点E ，A ′，C 三点在一条直线 上时，DF 的长为___ __．8.如图，矩形OABC 中，OA =4，AB =3，点D 在边BC 上，且CD =3DB ，点E 是边OA 上一点，连接DE ，将四边形ABDE 沿DE 折叠，若点A 的对称点A ′恰好落在边OC 上，则OE 的长为_________.9.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为．10.如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D的对应点D′恰好在线段BE上．若AD=3，DE=1，则AB= ．11.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点N为边BC的中点，点M为AB边上任意一点，连接MN，把△BMN沿MN折叠，使点B落在点E处，若点E恰在矩形ABCD的对称轴上，则BM的长为．12.在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5. 如图例1-1所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动. 若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为 .13.在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC=54°，则∠DAE的度数为18 °．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB=6，AD=10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB=6，AD=10，求CG的长．。
专题一 矩形中的折叠问题
） － ＝ ，∴FG＝2FO＝ .
平面直角坐标系中的折叠问题
9.如图所示，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x
轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4.在OC
边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处.（1Biblioteka 求E，D两点的坐标.第一章
特殊平行四边形
专题一
矩形中的折叠问题
求角度
1.如图所示，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，恰好使点D
落在边BC上的点F处，若∠BAF＝60°，则∠DAE的大小为（ B ）
A.10°
B.15°
第1题图
C.20°
D.25°
2.如图所示，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H
∴Rt△CEP1≌Rt△BME（HL），
∴CP1＝BE＝3，∴OP1＝1，∴P1（0，1）.
同理可得CP2＝BE＝3，∴OP2＝7，∴P2（0，7）.
当PE＝PM时，此时点P在EM的垂直平分线上.设P点坐标为（0，－a）（a＞
0）.
∵E（2，4），M（5，2），∴EP3＝ ＋（ + ) ，MP3＝
∴∠DBC＝∠ADB，
∴∠DBE＝∠ADB，∴DF＝BF，
∴△BDF是等腰三角形.
（2）如图②所示，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
②若AB＝6，AD＝8，求FG的长.
解：（2）①四边形BFDG是菱形.理由：
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴FD∥BG.又∵DG∥BE，
初中数学中的折叠问题
初中数学中的折叠问题一、矩形中的折叠折叠后BG 和BH 在再过点A ′折叠使边与对角线BD 重形中根据勾股定合，然后再沿着则∠DFB 等于的位置，已知重合部分是以折痕为底边的等腰三角形理清在每一个折叠过程中的变与不变8．如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为折叠前后对应边相等9．如图，将边长为4的正方形ABCD 沿着折痕EF 折叠，使点B落在边AD 的中点G 处，求四边形BCFE 的面积注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等 10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在边AD 上 不与A 、D 重合．MN 为折痕，折叠后B ’C ’与DN 交于P ．(1)连接BB ’，那么BB ’与MN 的长度相等吗？为什么？(2)设BM =y ，AB ’=x ，求y 与x 的函数关系式；(3)猜想当B 点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC ’B ’面积最小？并验证你的猜想． 二、纸片中的折叠11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（ ）C题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB是以折痕AB为底的等腰三角形12．如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽2cm的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形APQ 14．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b∠GFC=140°，图c中的∠CFE=∠GFC-∠EFG15．将一张长为70 cm的长方形纸片ABCD，沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm，则原纸片的宽AB是（）16．一根30cm、宽3cm的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P的长度相等，则最初折叠时，求MA的长三、三角形中的折叠实践与运用：(1)将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。
人教版八年级数学下册-思想方法专题：矩形中的折叠问题
思想方法专题：矩形中的折叠问题——体会折叠中的方程思想及数形结合思想◆类型一折叠中求角度1．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF.若∠EFC′＝125°，那么∠ABE的度数为()A．15° B．20° C．25° D．30°第1题图第2题图2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD，使AD和BC 重合，得到折痕EF，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN.观察探究可以得到∠ABM的度数是()A．25° B．30° C．36° D．45°◆类型二折叠中求线段长3．(2017·安顺中考)如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为()A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm第3题图第4题图4．(2017·宜宾中考)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的F 处，则DE 的长是( )A ．3 B.245 C ．5 D.89165．★(2016·威海中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内的点F 处，连接CF ，则CF 的长为________．◆类型三 折叠中求面积6．(2017·鄂州中考)如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，FC 交AD 于E .(1)求证：△AFE ≌△CDE ；(2)若AB ＝4，BC ＝8，求图中阴影部分的面积．7．★(2016·福州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积．参考答案与解析1．B解析：由折叠可知∠EFC＝∠EFC′＝125°.∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF ＝180°－125°＝55°.根据折叠可知∠BEF＝∠DEF＝55°，∴∠BED＝110°.∵四边形ABCD为矩形，∠A＝90°，∴∠ABE＝110°－90°＝20°.故选B.2．B 3.C 4.C5. 185解析：如图，连接BF 交AE 于H ，由折叠的性质可知BE ＝FE ，AB ＝AF ，∠BAE ＝∠F AE ，∴AH ⊥BF ，BH ＝FH .∵BC ＝6，点E 为BC 的中点，∴BE ＝12BC ＝3.又∵AB ＝4，∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE ＝AB 2＋BE 2＝5.∵S △ABE ＝12AB ·BE ＝12AE ·BH ，∴BH ＝125，则BF ＝2BH ＝245.∵E 是BC 的中点，∴FE ＝BE ＝EC ，∴∠BFC ＝90°.在Rt △BFC 中，由勾股定理得CF ＝BC 2－BF 2＝62－⎝⎛⎭⎫2452＝185.6．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°.∵将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，∴∠F ＝∠B ，AB ＝AF ，∴AF ＝CD ，∠F ＝∠D .在△AFE与△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠D ，∠AEF ＝∠CED ，AF ＝CD ，∴△AFE ≌△CDE .(2)解：∵AB ＝4，BC ＝8，∴CF ＝AD ＝8，AF ＝CD ＝AB ＝4.∵△AFE ≌△CDE ，∴EF ＝DE .在Rt △CED 中，由勾股定理得DE 2＋CD 2＝CE 2，即DE 2＋42＝(8－DE )2，∴DE ＝3，∴AE ＝8－3＝5，∴S 阴影＝12×4×5＝10. 7．解：(1)由折叠性质得△ANM ≌△ADM ，∴∠MAN ＝∠DAM .∵AN 平分∠MAB ，∴∠MAN ＝∠NAB ，∴∠DAM ＝∠MAN ＝∠NAB .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，∴∠DAM ＝30°，∴AM ＝2DM .在Rt △ADM 中，∵AD ＝3，∴由勾股定理得AM 2－DM 2＝AD 2，即(2DM )2－DM 2＝32，解得DM ＝ 3.(2)延长MN 交AB 的延长线于点Q ，如图所示．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∴∠DMA ＝∠MAQ ，由折叠性质得△ANM ≌△ADM ，∴∠ANM ＝∠D ＝90°，∠DMA ＝∠AMQ ，AN ＝AD ＝3，MN ＝MD ＝1，∴∠MAQ ＝∠AMQ ，∴MQ ＝AQ .设NQ ＝x ，则AQ ＝MQ ＝MN ＋NQ ＝1＋x .∵∠ANM ＝90°，∴∠ANQ ＝90°.在Rt △ANQ 中，由勾股定理得AQ 2＝AN2＋NQ2，即(x＋1)2＝32＋x2，解得x＝4，∴NQ＝4，AQ＝5.∵△NAB和△NAQ在AB边上的高相等，AB＝4，AQ＝5，∴S△NAB＝45S△NAQ＝45×12×AN·NQ＝45×12×3×4＝245.19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．。
矩形折叠问题
例5 如图：将正方形ABCD对折，折痕为MN，
再沿AE折叠，把B点叠在MN上（图中的P）,
若AB=3 ,(1)求PM的长；(2)以PE 为边长的
正方形的面积.
C
E
B
分析：将本题与例题3比
M
N
较，不难看出它们的共
P
3
同之处，显然，解决本
3
题的关键是求PE和PN的 D
A
长。
解: (1) M、N分别是正方形 C
一、 什么是折叠 二 、 与折叠有关的问题
一. 折叠的意义
1．折叠 就是将图形的一部分沿着一条 直线翻折180º，使它与另一部分在这条 直线的同旁，与其重叠或不重叠.显然， “折”是过程，“叠”是结果;
Bَ
l
A
B
O
OBˊ=OB；
图1
如图（1）是线段AB沿直线l折叠后的图形， 其中OBˊ是OB在折叠前的位置；
•问题1.如图，将宽度为a的长方形纸片 折叠成如图所示的形状，观察折叠后重 叠部分三角形 A EF
F a
Aˊ
E
这是一个什么三角形?
三角形 A EF是等腰三角形
证明（方法一） ∵图形在折叠前和
折叠后是全等的, ∴∠1= ∠2,
F
21
a
3
Aˊ
E
又∵矩形的对边是平行的,
∴∠1= ∠3,
∴ ∠2= ∠3, ∴ A E= A F ∴三角形 A EF是等腰三角形
∴AEcos 30°= 3 , ∴AE=2.
C
解法二：延长EP交AD 与 F则FE=FA(已证) M ∵ M、N分别是矩形
D
的边AB和CD的中点， ∴MN∥AD∥BC ∴EP∶PF=BN∶NA=1∶1，
(完整版)初中数学中的折叠问题
初中数学中的折叠问题一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC ，BD 为折痕，折叠后BG 和BH 在同一条直线上，∠CBD= 度．2．如图所示，一张矩形纸片沿BC 折叠，顶点A 落在点A ′处，再过点A ′折叠使折痕DE ∥BC ，若AB=4，AC=3，则△ADE 的面积是 ．3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，求AG 的长．根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可4．把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使得BA 边与BC 重合，然后再沿着BF 折叠，使得折痕BE 也与BC 边重合，展开后如图所示，则∠DFB 等于（ ）注意折叠前后角的对应关系5．如图，沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠，点C 落在点E 的位置，已知BC=8cm ，AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积．重合部分是以折痕为底边的等腰三角形321FEDCBAGA'C A B D6．将一张矩形纸条ABCD 按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG 的形状 三角形．对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF7．如图，将矩形纸片ABCD 按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF （如图①）；延CG 折叠，使点B 落在EF 上的点B ′处，（如图②）；展平，得折痕GC （如图③）；沿GH 折叠，使点C 落在DH 上的点C ′处，（如图④）；沿GC ′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC ′，GH （如图 ⑥）．（1）求图 ②中∠BCB ′的大小；（2）图⑥中的△GCC ′是正三角形吗？请说明理由．理清在每一个折叠过程中的变与不变8．如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为折叠前后对应边相等9．如图，将边长为4的正方形ABCD 沿着折痕EF 折叠，使点B 落在边AD 的中点G 处，求四边形BCFE 的面积注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等 10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在边AD 上 不与A 、D 重合．MN 为折痕，折叠后B ’C ’与DN 交于P ．(1)连接BB ’，那么BB ’与MN 的长度相等吗？为什么？ (2)设BM =y ，AB ’=x ，求y 与x 的函数关系式； (3)猜想当B 点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC ’B ’面积最小？并验证你的猜想．54132G D‘F C‘DB CA E二、纸片中的折叠11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（ ）题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB 是以折痕AB 为底的等腰三角形12．如图，将一宽为2cm 的纸条，沿BC ，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽2cm 的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形APQ14．如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是（ ）图c 图b图aCDGFEAC GDFEAFDBCAEB Ba 2130°B EF AC D本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b ∠GFC=140°，图c 中的∠CFE=∠GFC-∠EFG15．将一张长为70 cm 的长方形纸片ABCD ，沿对称轴EF 折叠成如图的形状，若折叠后，AB 与CD 间的距离为60cm ，则原纸片的宽AB 是（ ）16．一根30cm 、宽3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等，则最初折叠时，求MA 的长三、三角形中的折叠17．如图，把Rt △ABC （∠C=90°），使A ，B 两点重合，得到折痕ED ，再沿BE 折叠，C 点恰好与D 点重合，则CE ：AE=18．在△ABC 中，已知AB=2a ，∠A=30°，CD 是AB 边的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小△ACD 与△BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的14．（1）当中线CD 等于a 时，重叠部分的面积等于 ；GEFD AEF DBC A B C 60cm（2）有如下结论（不在“CD 等于a ”的限制条件下）：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于32a 2；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等．其中， 结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）．注意“角平分线+等腰三角形”的基本构图，折叠前后图形之间的对比，找出相等的对应角和对应边19．在△ABC 中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE 沿DE 进行不同的折叠得△C ′DE ，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图（1）把△CDE 沿DE 折叠在四边形ADEB 内，则求∠1+∠2的和； （2）如图（2）把△CDE 沿DE 折叠覆盖∠A ，则求∠1+∠2的和；（3）如图（3）把△CDE 沿DE 斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C 的关系．（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°-2∠CDE ，∠2=180°-2∠CED ，再根据三角形内角和定理比可求出答案；（2）连接DG ，将∠ADG+∠AGD 作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；（3）将∠2看作180°-2∠CED ，∠1看作2∠CDE-180°，再根据三角形内角和定理来求．B'C DA B 231E B'CDB A 21图(1)C'ACBDE12C'ABCDE21GC'A BC DE由于等腰三角形是轴对称图形，所以在折叠三角形时常常会出现等腰三角形20．观察与发现：将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．实践与运用：(1)将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。
矩形中的折叠问题
（3）若∠4=30°,你能求出哪些角度？
所有角度
（4）若AB=4,BC=8,你能求出哪些边长？
P
所有边长
O
＝4，AD＝8，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，边
AD的对应边AD′与BC交于点E，则重叠部分△ACE的面积是_____1_0__．
（3）若∠4=30°,你能求出哪些角度？
所有角度
（4）若AB=4,BC=8,你能求出哪些边长？
所有边长
如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点
为C'，BC'与AD相交于点E,连接C'C交BD于O点,交AD于P点
（1）图中增加了哪些特殊的三角形？
直角三角形，等腰三角形
（2）三角形之间有什么特殊的关系？
❖ 解题策略 角→对应角相等，外角，圆心角 边→对应边相等，勾股定理，相似，锐角三角函数
两方面的应用：
一、在“大小”方面的应用： 求角度、线段长度、周长和面积等
二、在“位置”方面的应用
如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点 为C'，BC'与AD相交于点E （1）图中有哪些特殊的三角形？
直角三角形，等腰三角形（角平分线+平行）
（2）三角形之间有什么特殊的关系？
全等（筝形，蝶形）
5
2
针对训练 矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，将长方形沿BO折叠，使点C落在 点D处，DO与AB交于点E，BC＝4 cm，BA＝8 cm，则点E的坐标为__(_－__3_，__4_)．
❖ 折叠的基本性质
1. 折叠问题的本质是轴对称，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形； ①线段相等：C′D＝___C_D____，BC′＝___B_C____； ②角度相等：∠1＝__∠__2____，∠3＝___∠__4___； ③全等关系：△BC′D≌_△__B__C_D__． 2. 折痕可看做对应点连线的垂直平分线即：BD⊥___C__C_′__． 3. 折痕可看做角平分线．
矩形折叠问题
矩形折叠问题矩形折叠问题矩形折叠问题是一类经典的计算几何问题，它涉及到如何将一个矩形沿着某些线段折叠成一个三维物体。
这个问题在计算机图形学、纸艺、建筑设计等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍矩形折叠问题的定义、基本概念和解决方法。
一、定义矩形折叠问题是指将一个矩形沿着其中一些边或者对角线进行折叠，使得它变成一个三维物体的过程。
这个三维物体可以是立方体、长方体或其他任意的多面体。
二、基本概念1. 折叠线在矩形折叠问题中，我们需要选择一些边或对角线作为“折叠线”，并沿着这些线将矩形折叠起来。
通常情况下，我们会选择对称性比较好的线段作为折叠线，以便于构造出符合要求的三维物体。
2. 折痕当我们将矩形沿着某条边或对角线进行折叠时，就会在原来的平面上留下一条“折痕”。
这条折痕可以看做是一个线段，它将原来的矩形分成了两部分。
在计算矩形折叠问题时，我们需要考虑每一条折痕的位置和长度。
3. 折叠角当我们将矩形沿着某些边或对角线折叠时，就会出现“折叠角”。
这个角度决定了最终构造出来的三维物体的形状和大小。
在实际应用中，我们通常会选择一些特定的折叠角度，以便于得到符合要求的三维物体。
三、解决方法1. 纸艺方法在纸艺领域中，人们经常使用“山脊线”和“谷沟线”的概念来解决矩形折叠问题。
山脊线是指将纸张向上凸起的线段，而谷沟线则是指将纸张向下凹陷的线段。
通过选择不同的山脊线和谷沟线，并进行适当的剪裁和粘贴操作，就可以构造出各种复杂的三维物体。
2. 计算几何方法在计算几何领域中，人们通常使用数学模型来解决矩形折叠问题。
其中比较常见的模型包括：折叠树模型、网格模型、投影模型等。
这些模型都可以用来描述矩形折叠问题，并且可以通过计算机程序进行求解。
3. 建筑设计方法在建筑设计领域中，人们通常使用“结构体系”来解决矩形折叠问题。
结构体系是指建筑物内部的支撑结构，它决定了建筑物的稳定性和外观形态。
通过选择合适的结构体系，并进行适当的调整和优化，就可以得到符合要求的建筑物。
矩形折叠问题
四.一边沿对角线翻折
例4.如图，已知将矩形ABCD沿着直线BD折叠， 使点C落在C’处，BC’交AD于E，AD=8，AB=4， 求△BDE的面积.
1.把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠， EM、FM 为折痕，折叠后的C点落在MB′或MB′ 的延长线上，那么∠EMF=______°.
2．如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、 C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，
矩形的折叠问题
常见题型
将一边折到对角线上 将一边沿对角线翻折
把一个顶点折到一边上
一条对角线的顶点折叠重合
一.将一边折到对角线上
例1.折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）
BD，再折叠AD边与对角线BD重合，得折痕DG。 若AB＝2，BC＝1，求AG.
二.一条对角线的顶点折叠重合
交于点M,求直线MN的解析式.
y
C
B
O
A的中点，将△ABE 折叠后得到△GBE , 延长BG交CD于点F，若
CF=1,FD=2，则BC的长为______.
6.将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,点C落在 点E处,BE交AD于点F.连结AE.证明:AE∥BD.
7.在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、 OC分别落在x轴，y轴上，且OA=4，OC=3。 △OAB沿对角线OB翻折得到△OBN，ON与AB
则∠AED′ =______°.
D
3．如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片 ABCD 折叠，使点 B恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为 AF．若CD=6 ，则AF 等于_____.
4.如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点， 点G是BC上的一点，∠BEG＞60°．现沿直线 EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连 接AH，则与∠BEG相等的角的个数为_____.
矩形的折叠问题
(3)矩形的两组对边平行且相等和四个角都是直角
在矩形的折叠问题中，求线 段长时，常设未知数，找到 相应的直角三角形，利用勾 股定理或相似三角形的性质 建立方程，利用方程思想解 决问题。
例3.如图，在矩形ABCD中，
D
AB=10，BC=6.
先把它对折，折痕为EF，展开后再 E
折成如图所示，使点B落在EF上的
(A)1100 (B) 1150 (C) 1200 (D) 1300
根据矩形的性质AD∥BC,有∠AEF=∠EFC. 再由折叠的特征可知: ∠BFE=∠EFG=1/2(1800-∠1)=650, 所以∠EFC=∠EFG+∠1=650+500=1150 由此得∠AEF=1150
故选（B）
D
10
C
例2.如图，在矩形ABCD中， x
F
B
(i)a、b、c三者存在关系是a2 b2 c2.说理如下：
连接BE，则BE BE
有（1）知，BE BF c,所以BE c
在ABE中，AE2 AB2 BE2
所以a 2 b2 c2
(ii)a、b、c三者存在的关系是a b c.说理如下：
有（1）知，BF BF c,BE c
D
B’
给予证明。
EA
C
F
B
解析: (1)由题意得BF BF,BFE BFE
在矩形ABCD中, AD//BC,所以BEF BFE
所以BFE BEF,
所以BF BE,所以BE BF.
（2）设AE=a,AB=b,BF=c, 试猜想a、b、c之间的一种 关系，并给予证明。
D B’
A’ EA
(2)a、b、c三者关系不唯一，有两种情况C;
在ABE中，AE AB BE
矩形的性质与判定的综合应用(三)——矩形中的折叠问题
矩形的性质与判定的综合应用（三）矩形中的折叠问题【学习目标】1.明白折叠过程的实质是轴对称变换，能找出对应边和对应角的相等关系.2.尝试利用勾股定理、相似等知识解决矩形折叠中的常见问题.3.尝试在复杂的折叠过程中，理清基本的对应关系.【学习重点】1.能够在折叠变换中找出具有相等关系的对应边和对应角.2.运用勾股定理、相似性质等求出折叠问题中特定线段的长度.【学习难点】灵活运用方程、相似、对称等数学知识解决折叠有关的综合问题。
【候课朗读】本课学习准备的旧知回顾【学习过程】一、学习准备1．旧知回顾图形的折叠是指把某个图形或图形的一部分沿某条直线折叠，这条直线就成了对称轴。
几何图形的折叠问题，其实质是轴对称问题。
轴对称的基本性质：对应线段相等，对应角相等；对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
工具准备：用矩形纸片按照例1所示折叠，指出折叠过程中的对应边和对应角。
2．本课思维导航二、典例分析3．利用对称性质求解例1．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合，折痕交AD于E，交BC于F，连结EC。
求证：四边形AFCE为菱形。
思路启迪：由折叠，能得到哪些边和角相等？反思：你用了折叠的什么性质？得到了什么结论？即时练习1：如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，．cm2B cm2C cm2cm24．对称+勾股定理例2．按照下面的方式折叠矩形ABCD：（1）在图1中，若沿BD折叠，C落在C′处，AB=4，BC=8，求AF．（求△BFD的面积）（2）在图2中，若对折使C落在AD上，AB=6，BC=10，求AE，DF的长．思路启迪：请把条件尽量在图形上标示出来，你能想到什么？反思：你用到了什么重要定理和思想方法？即时练习2：如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在D′处，若AB=3，AD=4，求ED 的长。
5．对称+相似例3．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合，若长方形的长BC为16，宽AB为8，则折叠后折痕EF的长是多少？思路启迪：连结AC，AC与EF有什么关系？反思：你还有其他解法吗？6．对称+动点例4．在矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=13．如图③所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ．当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，求点A′在BC边上可移动的最大距离．思路启迪：请用纸片按题意折叠，看一看A′和P、Q的移动位置。
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矩形折叠中的计算问题
折叠矩形中这类计算，形式多样，新颖独特，有利于考查同学们的空间想象能力和动手操作能力。
解决这类问题应把握两点：①折叠前后折痕(即对称轴)两侧的图形是全等图形；②折叠前后对应点的连线被折痕((即对称轴)垂直平分。
解决这类问题的基本方法是利用勾股定理构建方程。
下面将有关的计算进行归纳整理，供同学们参考。
一、角度的计算
例1、如图1，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1=500，求∠AEF的度数。
二、边长的计算
例2、如图2，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处。
若AB=8，且⊿ABF的面积为24，求EC的长。
例3、如图3，是一矩形的纸片，其中AD=2.5，AB=1.5。
按下列步骤折叠：将其对折，使AB落在AD上，折痕为AE，再将⊿ABE以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则CF的长是( )
A.0.5
B.0.75
C.1
D.1.25
三、折痕的计算
例4、有一矩形纸片，其中宽AB=6cm，长BC=8cm。
现按如图4所示
的方法作折纸游戏，将它折叠使B点与D点重合，求折痕EF的长。
四、面积的计算
例5、如图5，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在点'C处，
'
BC交AD于E。
已知AD=8，AB=4，求⊿BDE的面积。
实战练习：
1、如图1，是一矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，现作折纸游戏，使点B与点D 重合，折痕为EF，求DE的长。
2、在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形ABCD沿CE折叠，使点D恰好落在对角线AC 上的点F处。
①求EF的长;
②求梯形ABCE的面积.
矩形的折叠与阴影部分的面积
矩形的折叠问题，一般是关于面积等方面的计算问题，其在考查同学们的逻辑思维能力和空间想象能力．解决与矩形折叠有关的面积问题，关键是将轴对称特征、勾股定理以及矩形的有关性质结合起来．请看几例．
例1、如图1，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处．已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分的面积为_________．
图1
例2、把图2的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处如图），已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为_________．
图2
例3 如图3，矩形纸片ABCD 中，AB =3cm ，BC =4cm ，现将A 、C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ，则重叠部分△AFE 的面积是_________．
细说矩形折叠题
为了考查同学们的数行结合思想的运用和空间想象能力，近年来中考中出现众多的折叠问题。
解决这类问题的关键是要根据轴对称图形的性质，弄清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠前后图形之间的关系以及哪些条件可以用。
下面分类说明矩形中折叠问题的求解策略。
一、折叠后求长度
例1、将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．2
D ．3 二、折叠后求角度
例2、将矩形纸片ABCD （图3 -1）按如下步骤操作：（1）以过点A 的直线为折痕折叠
B
F
O
D
图2
图1
纸片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E （如图3-2）；（2）以过点E 的直线为折痕折叠纸片，使点A 落在BC 边上，折痕EF 交AD 边于点F （如图3-3）；（3）将纸片收展平，那么∠AFE 的度数为（ ）
图3-1 图3-2 图3-3
（A ）60° （B ）67.5° （C ）72° （D ）75° 三、折叠后判形状
例3、如图4，把一张长方形纸片对折，折痕为AB ，再以AB 的中点O 为顶点把平角∠AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O 为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是
A ．正三角形
B ．正方形
C ．正五边形
D ．正六边形
四、折叠后探规律
例4、如图5，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B '处，点A 落在点A '处．
（1）说明：B E BF '=；
（2）设AE a AB b BF c ===，，，试猜想a b c ，，之间有何等量关系，并给予证明．
A
B
C
D
F
A '
B '
E
图2。