矩形中的折叠问题

矩形折叠中的计算问题

折叠矩形中这类计算，形式多样，新颖独特，有利于考查同学们的空间想象能力和动手操作能力。

解决这类问题应把握两点：①折叠前后折痕(即对称轴)两侧的图形是全等图形；②折叠前后对应点的连线被折痕((即对称轴)垂直平分。

解决这类问题的基本方法是利用勾股定理构建方程。下面将有关的计算进行归纳整理，供同学们参考。

一、角度的计算

例1、如图1，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1=500，求∠AEF的度数。

二、边长的计算

例2、如图2，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处。若AB=8，且⊿ABF的面积为24，求EC的长。

例3、如图3，是一矩形的纸片，其中AD=2.5，AB=1.5。按下列步骤折叠：将其对折，使AB落在AD上，折痕为AE，再将⊿ABE以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则CF的长是( )

A.0.5

B.0.75

C.1

D.1.25

三、折痕的计算

例4、有一矩形纸片，其中宽AB=6cm，长BC=8cm。现按如图4所示

的方法作折纸游戏，将它折叠使B点与D点重合，求折痕EF的长。

四、面积的计算

例5、如图5，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在点'C处，

'

BC交AD于E。已知AD=8，AB=4，求⊿BDE的面积。

实战练习：

1、如图1，是一矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，现作折纸游戏，使点B与点D 重合，折痕为EF，求DE的长。

2、在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形ABCD沿CE折叠，使点D恰好落在对角线AC 上的点F处。

①求EF的长;

②求梯形ABCE的面积.

矩形的折叠与阴影部分的面积

矩形的折叠问题，一般是关于面积等方面的计算问题，其在考查同学们的逻辑思维能力和空间想象能力．解决与矩形折叠有关的面积问题，关键是将轴对称特征、勾股定理以及矩形的有关性质结合起来．请看几例．

例1、如图1，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处．已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分的面积为_________．

图1

例2、把图2的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处如图），已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为_________．

图2

例3 如图3，矩形纸片ABCD 中，AB =3cm ，BC =4cm ，现将A 、C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ，则重叠部分△AFE 的面积是_________．

细说矩形折叠题

为了考查同学们的数行结合思想的运用和空间想象能力，近年来中考中出现众多的折叠问题。解决这类问题的关键是要根据轴对称图形的性质，弄清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠前后图形之间的关系以及哪些条件可以用。下面分类说明矩形中折叠问题的求解策略。

一、折叠后求长度

例1、将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的长为（ ）

A ．1

B ．2

C ．2

D ．3 二、折叠后求角度

例2、将矩形纸片ABCD （图3 -1）按如下步骤操作：（1）以过点A 的直线为折痕折叠

B

F

O

D

图2

图1

纸片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E （如图3-2）；（2）以过点E 的直线为折痕折叠纸片，使点A 落在BC 边上，折痕EF 交AD 边于点F （如图3-3）；（3）将纸片收展平，那么∠AFE 的度数为（ ）

图3-1 图3-2 图3-3

（A ）60° （B ）67.5° （C ）72° （D ）75° 三、折叠后判形状

例3、如图4，把一张长方形纸片对折，折痕为AB ，再以AB 的中点O 为顶点把平角∠AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O 为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是

A ．正三角形

B ．正方形

C ．正五边形

D ．正六边形

四、折叠后探规律

例4、如图5，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B '处，点A 落在点A '处．

（1）说明：B E BF '=；

（2）设AE a AB b BF c ===，，，试猜想a b c ，，之间有何等量关系，并给予证明．

A

B

C

D

F

A '

B '

E

图2