一题多变与一题多解

一题多变与一题多解

在数学教学过程中，通过利用一切有用条件，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学。这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性无疑是一条有效的途径。另外，能力提高的过程中，学生的成就感自然增强，并且在不断的变化和解决问题的不同途径中，兴趣油然而生。

对于传统的数学教学来说，教学过程的重点不外乎为：讲解定义推导公式，例题演练，练习，及习题的安排。下面就一题多解与一题多变在教学中的运用谈谈我个人的几点看法。

一题多变和一题多解的变式在教学之中，往往能起到一座桥的作用，在最近发展区之中能把学生从已知的彼岸渡到未知的彼岸。一题多解，一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路，广阔寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，发展学生的思维能力，提高学生分析问题的能力。一题多变，对一道数学题或联想，或类比，或推广，可以得到一系列新的题目，甚至得到更一般的结论，积极开展多种变式题的求解，哪怕是不能解决，有助于学生应变能力的养成，培养学生发散思维的形成，增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。在例题讲解中运用一题多解和一题多变，就不用列举大量的例题让学生感到无法接受。而是从一个题中获得解题的规律，技巧，从而举一反三。

下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：

例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。

解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例。

解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则

由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知

当x=时，x2+y2取最小值；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。

评注：函数思想是中学阶段基本的数学思想之一，揭示了一种变量之间的联系，往往用函数观点来探求变量的最值。对于二元或多元函数的最值问题，往往是通过变量替换转化为一元函数来解决，这是一种基本的数学思想方法。解决函数的最值问题，我们已经有比较深的函数理论，函数性质，如单调性的运用、导数的运用等都可以求函数的最值。

解法二：（三角换元思想）

由于x+y=1，x、y≥0，则可设其中θ∈[0，]

于是，当sin2θ=1或－1时，x2+y2取最小值；

当sin2θ=0时，x2+y2取最大值1。

评注：三角换元思想也是高中数学的基本思想方法之一，通过三角换元就将问题转化为三角恒等式变形后来解决，而三角恒等变形却有着一系列的三角公式，所以运用三角换元解决某些问题往往比较方便。

解法三：（对称换元思想）

由于x+y=1，x、y≥0，则可设

x=+t， y=－t，其中t∈[－，]

于是，x2+y2 =（+t）2+（－t）2=

所以，当=0时，x2+y2取最小值；当时，x2+y2取最大值1。

评注：对称换元将减元结果进行简化了，从而更容易求最值。

这三种方法，在本质上都一样，都是通过函数观点来求最值，只是换元方式的不同而已，也就导致了化简运算量大小不同，教师通过引导、启发学生主动思考、运用，提高了学生对数学的认识，也增强了学生思维能力的提高。

解法四：（运用基本不等式）

由于x、y≥0且x+y=1

所以，当xy=0时，x2+y2取最大值1；当xy=时，x2+y2取最小值。

评注：运用基本不等式可以解决一些含有两个未知量的最值问题，但要注意等号成立的条件是否同时满足。

解法五：（解析几何思想）

设d=，则d为动点C（x，y）到原点（0，0）的距离，于是只需求线段AB上的点到原点的最大和最小距离就可。

当点C与A或B重合时，dmax=1，则（x2+y2）max=1

当OC⊥AB时dmin=，则（x2+y2）min=

评注：用几何的观点研究代数问题，可以加强学生数形结合思想的养成，使学生在数和形的理解把握好一个联系的尺度，能够由数想到形的意义，由形想到数的结构，从而达到快速解决这类问题的目的。事实上，有许多解析几何最值问题和代数中许多最值问题都可以用类似的方法解决，这对学生数学思维能力的培养，有着很积极的作用。

至此，解答本题的几种常见方法介绍完毕，下面展示对本题的变式和推广。

变式1：已知a、b为非负数，M=，a+b=1，求M的最值。

变式2：已知x、y≥0且x+y=1，能求的取值范围吗？的范围能求吗？

这样一个由特殊性逐步一般化的思维过程，加强了学生思维能力的培养，通过这样一系列的一题多解和一题多变，培养了学生的综合分析能力、提高了学生数学思维能力，渗透了一些数学方法，体现了一些数学思想，也提供了一个推向一般性的结论。在数学教学中,若将经典例题充分挖掘，注重对例题进行变式教学,不但可以抓好基础知识点,还可以激发学生的探求欲望,提高创新能力；不仅能让教师对例题的研究更加深入，对教学目标和要求的把握更加准确，同时也让学生的数学思维能力得到进一步提高，并逐渐体会到数学学习的乐趣总之，在数学习题教学中，选用一些非加探索不能发现其内在联系的习题，采用一题多解与一题多变的形式进行教学，有助于启发学生分析思考，逐步把学生引入胜境，从而使学生开拓知识视野，增强能力，发展创造思维，同时还可以帮助学生对知识系统性、特殊性、广泛性的深刻理解。