二次函数压轴题一题多问

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中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习附答案

中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习附答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编〔难题易错题〕1 .童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售, 经市场调查发现:每降价1元,每星期可多卖10件,该款童装每件本钱30元,设降价后该款童装每件售价工元,每星期的销售量为〕'件.⑴降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时,求这一星期中每件童装降价多少元?⑵当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?【答案】〔1〕这一星期中每件童装降价20元;〔2〕每件售价定为50元时,一星期的销售利润最大,最大利润4000元.【解析】【分析】〔1〕根据售量与售价x 〔元/件〕之间的关系列方程即可得到结论.〔2〕设每星期利润为W元,构建二次函数利用二次函数性质解决问题.【详解】解:〔1〕根据题意得,〔60-x〕 xl0+100=3xl00,解得:x=40,60 - 40 = 20 元,答:这一星期中每件童装降价20元:〔2〕设利润为w,根据题意得,w= 〔x- 30〕 [ 〔60-X〕xl0+100]= - 10x2+1000x - 21000=-10 〔x- 50〕 2+4000,答:每件售价定为50元时,一星期的销售利润最大,最大利润4000元.【点睛】此题考查二次函数的应用,一元二次不等式,解题的关键是构建二次函数解决最值问题, 利用图象法解一元二次不等式,属于中考常考题型.2 .阅读:我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线〞.例如,点M 〔1, 3〕的特征线有:x=l, y=3,备用图问题与探究:如图,在平面直角坐标系中有正方形0A8C,点8在第一象限,A、C分别在x轴和y轴上,抛物线> =;*一〃?〕2+〃经过8、C两点,顶点.在正方形内部.〔1〕直接写出点.〔m, n〕所有的特征线:〔2〕假设点.有一条特征线是y=x+l,求此抛物线的解析式:〔3〕点P是48边上除点八外的任意一点,连接0P,将AOAP沿着0P折登,点4落在点々的位置,当点4在平行于坐标轴的.点的特征线上时,满足〔2〕中条件的抛物线向下平移多少距离,其顶点落在0P上?【答案】〔1〕 x=m, y=n, y=x+n - m, y= - x+m+n;〔2〕 y = - 〔x-2〕2 + 3 ;〔3〕抛物4线向下平移上二正或W距离,其顶点落在OP上. 3 12【解析】试题分析:〔1〕根据特征线直接求出点.的特征线:〔2〕由点.的一条特征线和正方形的性质求出点.的坐标,从而求出抛物线解析式;〔2〕分平行于x轴和y轴两种情况,由折卷的性质计算即可.试题解析:解:〔1〕・二点D 〔m,.〕,,••点.〔m, n〕的特征线是x=m, y=n, y=x+n - m,y= - x+m+n;〔2〕点.有一条特征线是y=x+l, .•.〃=m+l. •.•抛物线解析式为了 = !〔工一"?了+〃,.•.y = =〔x—〃?〕2+〃? + 1, ,四边形OA8C是正方形,且.点为正方4 4形的对称轴,.〔m, /?〕,「. 8 〔2m, 2m〕 ,y = —〔2m — m〕2 + n = 2m 9将c=m+l 带4入得到m=2, n=3;・・・.〔2, 3〕,・•・抛物线解析式为y = !〔x-2〕2+3.〔3〕①如图,当点A在平行于y轴的.点的特征线时:根据题意可得,D (2, 3),・ .0A=0A=4, 0M=2,N AOM=60°,「・N AOP=N AOP=30°,:MN笺空,抛物线需要向下平移的距离=3—李亨•②如图,当点4在平行于X轴的.点的特征线时,设A〔P,3 〕,那么OA=OA=4, OE=3,EA 二“2.32 =a,,AF=4-a,设P(4, c) (c>0),,在RS AFP 中,(4-V7)2+ (3-c) 2=c2, .•“」6T立,「.p (4, .16 —4" ) ,直线OP解析式为3 3y=匕Lx, :.N (2, l") •.抛物线需要向下平移的距离=3-3 38-2>/7 _1 + 2>/7-3-- -3综上所述:抛物线向下平移) - 2琳或1 + 2"距离,其顶点落在0P上. 3 3点睛:此题是二次函数综合题,主要考查了折叠的性质,正方形的性质,解答此题的关键是用正方形的性质求出点.的坐标.3.在直角坐标系中,我们不妨将横坐标,纵坐标均为整数的点称之为〃中国结〃.〔1〕求函数y=/x+2的图像上所有“中国结〞的坐标:〔2〕求函数y=±〔HO, k为常数〕的图像上有且只有两个“中国结〃,试求出常数k的值X与相应“中国结〞的坐标;〔3〕假设二次函数丫=〔公一3攵+2〕/+〔2攵2-4%+ 1〕%+公一% 〔k为常数〕的图像与x轴相交得到两个不同的"中国结",试问该函数的图像与x轴所围成的平而图形中〔含边界〕,一共包含有多少个“中国结〞?【答案】〔1〕〔0,2〕 : 〔2〕当k=l时,对应"中国结〞为〔1,1〕〔一1, -D ;当k=-l 时,对应"中国结"为〔1, 一1〕, 〔一1,1〕 ; 〔3〕 6个.【解析】试题分析:〔1〕由于X是整数,XHO时,JJx是一个无理数,所以XHO时,JJx+2不是整数,所以x=o, y=2,据此求出函数y=J^x+2的图象上所有“中国结〃的坐标即可.k〔2〕首先判断出当k=l时,函数/一〔k/0, k为常数〕的图象上有且只有两个〃中国xk结〃:〔1, 1〕、〔-1、-1〕:然后判断出当代1时,函数度一〔kHO, k为常数〕的图X象上最少有4个〃中国结〃,据此求出常数k的值与相应〃中国结〃的坐标即可.(3)首先令(k2-3k+2) x2+ (2k2-4k+l) x+k2 - k=0,那么[(k- 1) x+k][ (k-2) x+ (k-1)]=0,求出X】、X2的值是多少;然后根据X】、X2的值是整数,求出k的值是多少:最后根据横坐标,纵坐标均为整数的点称之为"中国结",判断出该函数的图象与x轴所用成的平面图形中(含边界),一共包含有多少个“中国结〞即可.试题解析:(l);x是整数,XHO时,、^x是一个无理数,xHO时,JJx+2不是整数,x=0> y=2,即函数y=Cx+2的图象上"中国结〞的坐标是(0, 2).(2)①当k=l时,函数度勺(k#0, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结〃:x (1, 1)、(-1、-1):②当匕-1时,函数丫=&(HO, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结〃:X(1, -1)、( -1, 1).③当修±1时,函数尸& (HO, k为常数)的图象上最少有4个〃中国结JX(I, k)、( - 1, - k)、(k, 1)、( - k, - 1),这与函数度土(kxo, k 为常数)的x图象上有且只有两个“中国结"矛盾,k综上可得,k=l时,函数y=— (k/0, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结J (1, x 1)、( - 1、- 1);k=-l时,函数y=七(k/0, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结J (1, -1)、x (-1、1).(3)令(k2-3k+2) x2+ (2k2-4k+l) x+k2 - k=0,那么[(k- 1) x+k][ (k-2) x+ (k- 1) ]=0, kx.= ---------.•・{ ik-\f x 2x) +1• k =——=-=——. x1 +1 x2 +1 整理,可得XlX2+2X2+l=0t/. xz (xi+2) = T,•••X】、X2都是整数,X)= 1 x, =—1{- 或{-玉+2 = _「^+2 = 1匹=T ②当{X、= —1k ,,/ ------- = -1 ,l — kk=k-l,无解;练上,可得.3K=—, XF-3, x2=l t2y= (k2- 3k+2) x2+ (2k2-4k+l) x+k2 - k3 3 3 3 3 3=[(-)2-3X-+21X2+[2X ( - ) 2-4x-+l]x+ (- ) 2--2 2 2 2 2 2①当x=-2时,1 13 1 1 3y= - - x2- — x+ — = " - x ( - 2) 2 - -x ( - 2) + —4 2 4 4 2 4_3~4②当X=-1时,=13③当x=0时,y=-,另外,该函数的图象与X轴所闱成的平面图形中x轴上的“中国结〞有3个: 〔-2, 0〕、〔 -1、0〕、〔0, 0〕.综上,可得假设二次函数y= 〔k2-3k+2〕 x2+ 〔2k2-4k+l〕 x+l?-k 〔k为常数〕的图象与x轴相交得到两个不同的"中国结〞,该函数的图象与x轴所围成的平面图形中〔含边界〕,一共包含有6个“中国结〞:〔-3, 0〕、〔-2, 0〕、〔 - 1, 0〕〔-1, 1〕、〔0, 0〕、〔1, 0〕.考点:反比例函数综合题4.如图,抛物线〕,= 公+ C的顶点为A〔4,3〕,与轴相交于点3〔0,—5〕,对称轴为直线/,点"是线段A8的中点.〔1〕求抛物线的表达式:〔2〕写出点M的坐标并求直线A3的表达式;〔3〕设动点尸,.分别在抛物线和对称轴I上,当以A,P,Q,例为顶点的四边形是平行四边形时,求.,.两点的坐标.【答案】〔1〕y = --x2+4x-5t〔2〕 A/〔2,-1〕, y = 2x-5:〔3〕点夕、.的坐 2标分别为〔6,1〕或〔2,1〕、〔4,—3〕或〔4』〕.【解析】【分析】〔1〕函数表达式为:〕,= a〔x = 4『+3,将点3坐标代入上式,即可求解:〔2〕 A〔4,3〕、B〔0-5〕,那么点加〔2,-1〕,设直线A8的表达式为:y = ^-5,将点4坐标代入上式,即可求解;〔3〕分当AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可. 【详解】解:〔1〕函数表达式为:y = a〔x = 4〕2+3,将点4坐标代入上式并解得:.=2故抛物线的表达式为:y = -l x2+4x-5:乙(2) 4(4,3)、B(0,-5),那么点M(2,-1),设直线A8的表达式为:y = /oc-5,将点A坐标代入上式得:3 =必一5,解得:k = 2,故直线A8的表达式为:y = 2x-5:( i \(3)设点.(4,s)、点P m,——nr +4/H —5 ,①当AM是平行四边形的一条边时,点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M,同样点P;"?,-:〃,+4机一5)向左平移2个单位、向下平移4个单位得到0(4,s),即:团一2 = 4, —nr +4m-5-4 = s , 2解得:m = 6 ♦ s = —3,故点P、.的坐标分别为(6,1)、(4,-3):②当AM是平行四边形的对角线时,由中点定理得:4+2 = 〃z+4, 3-1 = --//r +4w-5 + 5,2解得:〞1 = 2, 5 = 1 >故点尸、.的坐标分别为(2/)、(4,1);故点尸、.的坐标分别为(6,1), (4,一3)或(2,1)、(分-3), (2,1)或(4,1).【点睛】此题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等,其中(3),要主要分类求解,防止遗漏.5.如图,某足球运发动站在点0处练习射门,将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出 (点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间满足函数关系y= at2 + 5t+c,足球飞行0.8s时,离地面的高度为3.5m.⑴足球飞行的时间是多少时,足球离地而最高?最大高度是多少?⑵假设足球飞行的水平距离x(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系x = 10t,己知球门的高度为2.44m,如果该运发动正对球门射门时,离球门的水平距离为28m,他能否将球直接射入球门?8【答案】(1)足球飞行的时间是一s时,足球离地而最高,最大高度是4.5m: (2)能.5【解析】(2)把 x=28 代入 x=10t 得 t=2.8,251・•・当 t=2.8 时,y=-a2・8?+5乂2・8令2・25 V2/4, •L . 乙^ 他能将球直接射入球门. 考点:二次函数的应用.6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax?+2x+c 与x 轴交于A ( - 1, 0) B (3, 0)两 点,与y 轴交于点C,点D 是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式和直线AC 的解析式;(2)请在y 轴上找一点M,使△BDM 的周长最小,求出点M 的坐标;(3)试探究:在抛物线上是否存在点P,使以点A, P, C 为顶点,AC 为直角边的三角形 是直角三角形?假设存在,请求出符合条件的点P 的坐标:假设不存在,请说明理由.试题分析:(1)由题意得:函数y=atz+5t+c 的图象经过(0, 0.5) (0.8, 35),于是得0. 5二.到 n,求得抛物线的解析式为:3. 5=0.8 4+5X0. 8+c 、 y=-衰2+514,当t=|时,y 破大=4.5;1(2)把x=28代入x=10t 得t=2.8,当t=2.8时,y=- 竿2.82+5、2.8哈2・25V2.44,于是得 16 2到他能将球直接射入球门.解:(1)由题意得:函数y=a&5t+c 的图象经过(0, 0.5) (0.8, 3.5),"0. 5二c• «, 、3. 5=0. 8 &2+5 X 0. g+c '3=解得:_ 251612・•・抛物线的解析式为:y=・•,y【答案】(1)抛物线解析式为y=-x2+2x+3;直线AC 的解析式为丫=3x+3; (2)点M 的 坐标为(0, 3):7 20 1013〔3〕符合条件的点P 的坐标为〔或,2〕或〔“,-"〕, 3 93 9【解析】分析:〔1〕设交点式y=a 〔x+1〕 〔x-3〕,展开得到-2a=2,然后求出a 即可得到抛物线解 析式:再确定C 〔0, 3 〕,然后利用待定系数法求直线AC 的解析式:〔2〕利用二次函数的性质确定D 的坐标为〔1, 4〕,作B 点关于y 轴的对称点W,连接DB 咬y 轴于M,如图1,那么B ,〔-3, 0〕,利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD 的值最小,那么此时△ BDM 的周长最小,然后求出直线DB ,的解析式即可得到点M 的坐标:〔3〕过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P,如图2,利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC 的解析式为y=-lx +b,把C 点坐标代入求出b 得到直线PC 的解析式为再解方程组, 1得此时P 点坐标;当过点A 作AC 的垂线交抛物y=--x + 3 I 3线于另一点P 时,利用同样的方法可求出此时P 点坐标. 详解:〔1〕设抛物线解析式为y=a 〔x+1〕〔x-3〕, KP y=ax 2 - 2ax - 3a,,2a=2,解得 a=- 1,・•・抛物线解析式为y= - X 2+2X +3: 当 x=0 时,y= - x 2+2x+3=3,那么 C (0, 3), 设直线AC 的解析式为y=px+q.q = 0把 A ( - 1, 0) , C (0, 3)代入得〈q = 3直线AC 的解析式为y=3x+3;〔2〕 •/ y= - X 2+2X +3= - 〔x- 1〕 2+4, •1•顶点D 的坐标为〔1, 4〕,作B 点关于y 轴的对称点B",连接DB ,交y 轴于M,如图1,那么夕〔-3, 0〕,MB=MB',/. MB+MD=MB /+MD=DB /,此时 MB+MD 的值最小, 而BD 的值不变,・•,此时△ BDM 的周长最小,y=-x 2 +2x + 31 y=- -x+3, 3易得直线DB ,的解析式为y=x+3, 当 x=0 时,y=x+3=3> ・ ・•点M 的坐标为〔0, 3〕;〔3〕存在.过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P,如图2,把C 〔0, 3 〕代入得b=3,・ ,・直线PC 的解析式为y=- -x+3,过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P,直线PC 的解析式可设为y=-点+b, 把A ( -1, 0)代入得1+b=0,解得b=- L 3 3・ •・直线PC 的解析式为y=- :x- 1点睛:此题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数 的性质;会利用待定系数法求函数解析式,理解两直线垂直时一次项系数的关系,通过解 方程组求把两函数的交点坐标;理解坐标与图形性质,会运用两点之间线段最短解决最短 路径问题:会运用分类讨论的思想解决数学问题.直线PC 的解析式可设为y=- —x+b,3解方程组?y=-x 2+2x + 31 ,解得?y=——x + 33x = 0)=3或,7x =一3 7 20 ,那么此时P 点坐标为〔一,—〕:2.39y =解方程组?y=-x 2+2x + 31 1 y=——x ——33x = -ly = 010x =—3 13那么此时P 点坐标为〔—, 3综上所述,符合条件的点p 的坐标为〔N, 310 T-?>•直线AC 的解析式为y=3x+3.7.如图,直线A8与抛物线C :),=⑪2+21+.相交于人(—1,0)和点8(2,3)两点.⑴求抛物线.的函数表达式;⑵假设点M 是位于直线A3上方抛物线上的一动点,以M4、/W8为相邻两边作平行四边形 M4N8,当平行四边形M4N8的而积最大时,求此时四边形M4N8的而积S 及点M 的 坐标: ⑶在抛物线C 的对称轴上是否存在定点尸,使抛物线.上任意一点夕到点尸的距离等于到 直线y ="的距离,假设存在,求出定点厂的坐标:假设不存在,请说明理由.41 27 【答案】〔1〕 y =—厂 + 2x + 3 :〔2〕当 〃 =—,S ZMANB = 2S △ ABM =—,此时2 415 \ :⑶存在.当/A — 时,无论%取任何实数,均有= 理由见解析. \ 4 )【解析】【分析】 (1)利用待定系数法,将A, B 的坐标代入y=ax2+2x+c 即可求得二次函数的解析式; (2)过点M 作MH_Lx 轴于H,交直线AB 于K,求出直线AB 的解析式,设点M (a,- a?+2a+3),那么K (a, a+1),利用函数思想求出MK 的最大值,再求出△ AMB 面积的最大 值,可推出此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标:17(3)如图2,分别过点B, C 作直线y=—的垂线,垂足为N. H,设抛物线对称轴上存在 4点F,使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线y=—的距离,其中F (1, a), 4 连接BF, CF,那么可根据BF=BN, CF=CN 两组等量关系列出关于a 的方程组,解方程组即 可.【详解】(1)由题意把点(-1, 0)、(2, 3)代入 y=ax2+2x+c, .- 2 + c = 0得, ,4a + 4 + c = 3 解得 a=-l, c=3,,此抛物线c 函数表达式为:y=*2+2x+3:〔2〕如图1,过点M 作MHLx 轴于H,交直线AB 于K,MH4 〕>>将点〔・1, 0〕、〔2, 3〕代入y=kx+b中, 一k+b=0得,2y 解得,k=l, b=l,/.Y AB=X+1,设点M (a, -a2+2a+3),那么K (a, a+1), 贝lj MK=-a2+2a+3- (a+1)=-(a- - ) 2+—, 2 41 9根据二次函数的性质可知,当合二彳时,MK有最大长度丁, 2 4S A AMB以大=S A AMK+S A BMK=—MK*AH+ —MK> (x B-x H)2 2=—MK e (XB-XA)21 9=x — x32 4_27-—,8以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时,27 27 1 15s 餐大=2S A AMB 4U=2X —=—,M (-, —).(3)存在点F,•/ y=-x2+2x+3=-(x-1) 2+4,「・对称轴为直线x=l.当y=0 时,xi=-l, X2=3,,抛物线与点x轴正半轴交于点C (3, 0),17如图2,分别过点B, C作直线y:一的垂线,垂足为N, H, 4抛物线对称轴上存在点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=—的距4离,设 F (1, a ),连接BF, CF,IT1 17 5 17那么BF=BN二一-3二一,CF=CH=—, 4 4 4(5、(2-1)2+3—3)2 =由题意可列:(3 — 1)2+/=阴【点睛】此题考查了待定系数法求解析式,还考查了用函数思想求极值等,解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时,aABM的面积最大,且此时线段MK的长度也最大.8.如图,己知二次函数%=a' + "过(-2, 4) , ( - 4. 4)两点.〔1〕求二次函数力的解析式:〔2〕将为沿x轴翻折,再向右平移2个单位,得到抛物线及,直线y=m 〔m>0〕交及于M、N 两点,求线段MN的长度〔用含m的代数式表示〕:〔3〕在〔2〕的条件下,力、及交于A、B两点,如果直线y=m与力、刃的图象形成的封闭曲线交于C、D两点〔C在左侧〕,直线y=-m与力、刃的图象形成的封闭曲线交于E、F两点〔E在左侧〕,求证:四边形CEFD是平行四边形.1yi =_/2_3%【答案】〔1〕2【解析】〔2〕 5 +范〔3〕证实见解析.试题分析:〔1〕根据待定系数法即可解决问题.〔2〕先求出抛物线yz的顶点坐标,再求出其解析式,利用方程组以及根与系数关系即可求出MN.〔3〕用类似〔2〕的方法,分别求出CD、EF即可解决问题.试题解析:⑴・•・二次函数月=°/ + "过〔-2, 4〕 , 〔-4, 4〕两点,4a - 2b = 416a -4b = 4解得:1a=~2=_1 2_ -「.二次函数力的解析式为一寸3X2-3% -# + 3)2 +9,二顶点坐标〔-3, >〕 , ,「将力沿x釉翻折,再向右平移2个单位,得到抛物线〞,9.・・抛物线y2的顶点坐标〔-1, -、〕,•,・抛物线均为1 9y=#+i)2_] 消去y整理得到/ + 2x_8_2m = 0,设打,也是它的两个根,那么"21A〔q+ x2〕-似/2=、阳而千J5:〔3〕由y = my =一/2-3欠,消去y整理得到x +6%+2m = 0,设两个根为打,0那么y =-m1 9______ y =—〔x --CD」"I一亚15〔修+ OF - 4町2«36 -所,由2 2,消去丫得到x2 + 2x-8 + 2m = 0,设两个根为勺,%2,那么EF」X1 - "zlK,dl + 工2〕2 - 4XI%2=«36 - 8m, ... EF=CD, EFII CD,四边形CEFD 是平行四考点:二次函数综合题.9 .抛物避= a/ + M + c,假设a, b, c满足b=a+c,那么称抛物线,=.壮+必+ c为“恒定〞抛物线. 〔1〕求证:"恒定"抛物线'=°/ +丘+,必过*轴上的一个定点人;〔2〕"恒定〃抛物线y = -于的顶点为P,与X轴另一个交点为B,是否存在以Q为顶点,与X轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线,使得以PA, CQ为边的四边形是平行四边形?假设存在,求出抛物线解析式:假设不存在,请说明理由.【答案】〔1〕证实见试题解析:〔2〕 y = \/^2 + 4v-^x + 3-V3 那么=- v取2 + y3.【解析】试题分析:〔1〕由"恒定〞抛物线的定义,即可得出抛物线恒过定点〔-1, 0〕:〔2〕求出抛物线F = W"一小的顶点坐标和B的坐标,由题意得出PAII CQ, PA=CQ:存在两种情况:①作QMXAC于M,那么QM=0P=\3,证实RtA QM〔^ RtA POA. MC=OA=1,得出点Q的坐标,设抛物线的解析式为,=矶" + 2〕2-\/3,把点A坐标代入求出a的值即可:②顶点Q在y轴上,此时点C与点B重合:证实△0QS4 0PA,得出OQ=OP=\B,得出点Q坐标,设抛物线的解析式为' =以2+«3,把点C坐标代入求出a的值即可.试题解析:〔1〕由“恒定〃抛物线,二仙2 +%+ 4得:b=a+c,即a-b+c=0,二•抛物线y = ax2 + bx + c t当x=-l时,y=0, 恒定〞抛物线,=必+八+〔;必过乂轴上的一个定点 A 〔 - 1, 0〕:〔2〕存在:理由如下::“恒定"抛物线卜"*丫一道,当尸0时,\8/-、6=0,解得:x=±l, V A ( - 1, 0) , /. B (1, 0):.・x=O 时,y=一\'3,顶点P 的坐标为(0, 一\3),以PA, CQ为边的平行四边形,PA、CQ是对边,「.PAII CQ, PA=CQ, .,.存在两种情况:①如图1所示:作QM_LAC 于M,那么QM=0P=y3, Z QMC=90°=Z POA,在RtA QMC 和RtA POA 中,: CQ=PA, QM=OP,J RtA QMC合RtA POA (HL) , /. MC=OA=1, OM=2, 丁点 A 和点C 是抛物线上的对称点,AM=MC=1, .,.点Q的坐标为(-2, 一\3),设以Q为顶点,与x轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线的解析式为y = a(% + 2)2-«3,把点A(-l, 0)代入得:aS% .•.抛物线的解析式为:丫 = \乃(% + 2)273,即,=\访2 + 4、%+3日②如图2所示:顶点Q在y轴上,此时点C与点B重合,.•.点C坐标为(1, 0),CQII PA, /. Z OQC=Z OPA,在^ OQC 和4 OPA 中,: Z OQC=Z OPA, Z COQ=Z AOP,CQ=PA,OQC2△ OPA (AAS) ,「・0Q=0P=、3,「•点Q 坐标为(0, \§),设以Q为顶点,与X轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线的解析式为y = a%2 + g3,把点C(l, 0)代入得:a=-W, .•.抛物线的解析式为:?=一臼2 + 口;综上所述:存在以Q为顶点,与x轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线,使得以PA, CQ为边的四边形是平行四边形,抛物线的解析式为:«3/ + 4\,做+3\3,或y =-%即 + 0考点:1.二次函数综合题:2.压轴题:3.新定义:4.存在型:5.分类讨论.3 910 .二次函数y=—-x2+bx+c的图象经过A (0, 3) , B ( - 4,--)两点.(1)求b, c的值.3(2)二次函数y= -「xZ+bx+c的图象与x轴是否有公共点,求公共点的坐标:假设没有,请16说明情况.【答案】⑴j 8 : 〔2〕公共点的坐标是〔-2, 0〕或〔8, 0〕. c = 3【解析】【分析】〔1〕把点A、B的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值;〔2〕利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x轴有交点,由题意得到方程-3 o—X2+-X+3=0,通过解该方程求得x的值即为抛物线与x轴交点横坐标.16 89 3【详解】(1)把 A (0, 3) , B ( - 4,--)分别代入y=- - x2+bx+c,2 16c = 3得4 39------ x l6-4〃 + c =——16 26 = ?解得彳8 ;[c = 33 9〔2〕由〔1〕可得,该抛物线解析式为:y=- -x2+-x+3, 1 o 83 225-4x ( - -- ) x3= >0»16 6483所以二次函数y=- - x2+bx+c的图象与x轴有公共点, 163 9.「- -x2+-x+3=0 的解为:x产・2, X2=8,16 8公共点的坐标是〔-2, 0〕或〔8, 0〕.【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征.注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系.。

二次函数压轴题综合一题多练

二次函数压轴题综合一题多练

压轴题专练如图,已知抛物线y=- 1/4x2+bx+4与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,若已知B点的坐标为B(8,0).(1)求抛物线的解析式及其对称轴;(2)连接AC、BC,试判断△AOC与△COB是否相似?并说明理由;(3)证明:△ABC为直角三角形(一)最值问题:(4) 在抛物线的对称轴上求一点P,使PA+PC的值最小(5)M为BC上方抛物线上的一点,N为线段BC上的一点,若MN∥y轴,求MN的最大值;(6)M为BC上方抛物线上的一点,求△BCM面积的最大值;(二)面积问题:(7)在抛物线上找一个点P,使△ABC与△PAB的面积相等变式练习:若点F是抛物线上的一个动点,是否存在点F使△BCF的面积为8,若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由(三)等腰三角形问题:(8)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.(四)相似问题:(9)在抛物线上找一点M,过M作MN垂直于X轴,垂足为N,使△ACO与△MAN相似变式练习:若D是C点关于对称轴的对称点,在抛物线上求一点P,使∠ACO=∠DCP(五)平行四边形问题:(10)若M是抛物线上的一个动点,N是X轴上的一个动点,如果以A,C,M,N为顶点的四边形为平行四边形,求M点坐标变式练习1:若点M在抛物线上,点N在其对称轴上,使得以A、C、N、M为顶点的四边形是平行四边形,且A C为其一边,求点M、N的坐标.变式练习2:在抛物线上找一点M,过M作MN垂直于X轴,交直线BC于点N,使O,C,M,N为顶点的四边形为平行四边形变式练习3:若点M在抛物线上,点N在直线BC上,使得以A、0、N、M为顶点的四边形是平行四边形,且以O A为一边,求点M、N的坐标.(六)直角三角形问题:(11)在对称轴上找一个点P,使△BCP为直角三角形(七)平移及交点问题:(12)若直线BC向上平移t个单位,当直线BC与抛物线有两个交点时,求t的取值范围?变式练习:将抛物线在x轴上方的图像记为c1,,将c1向右平移得c2,使A点和B点重合,若直线Y=2x+t 与c1, c2有三个交点,求t的取值范围?。

中考二次函数压轴题(共23道题目)

中考二次函数压轴题(共23道题目)

中考二次函数压轴题(共23道题目)一.选择题(共10小题)1.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(1,2)且与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,其中﹣1<x1<0,1<x2<2,下列结论:4a+2b+c<0,2a+b<0,b2+8a>4ac,a<﹣1,其中结论正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图是某二次函数的图象,将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),则下列结论中正确的有()(1)a>0;(2)c<0;(3)2a﹣b=0;(4)a+b+c>0.A.1个B.2个C.3个D.4个3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,在下列代数式中(1)a+b+c >0;(2)﹣4a<b<﹣2a(3)abc>0;(4)5a﹣b+2c<0;其中正确的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个4.已知点(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)都在抛物线y=x2+bx上,x1、x2、x3为△ABC的三边,且x1<x2<x3,若对所有的正整数x1、x2、x3都满足y1<y2<y3,则b的取值范围是()A.b>﹣2 B.b>﹣3 C.b>﹣4 D.b>﹣55.如图,点A(m,n)是一次函数y=2x的图象上的任意一点,AB垂直于x轴,垂足为B,那么三角形ABO的面积S关于m的函数关系的图象大致为()A.B.CD.6.抛物线y=ax2+bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限,那么下列结论成立的是()A.a>0,b>0,c=0 B.a>0,b<0,c=0 C.a<0,b>0,c=0 D.a<0,b<0,c=07.已知抛物线y=x2﹣(4m+1)x+2m﹣1与x轴交于两点,如果有一个交点的横坐标大于2,另一个交点的横坐标小于2,并且抛物线与y轴的交点在点(0,)的下方,那么m的取值范围是()A.B.C.D.全体实数8.函数y=与y=﹣kx2+k(k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是()A. B. C. D.9.已知抛物线y=x2+bx+c(c<0)经过点(c,0),以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S,则S可表示为()A.|2+b||b+1| B.c(1﹣c)C.(b+1)2 D.10.下列关于函数y=(m2﹣1)x2﹣(3m﹣1)x+2的图象与坐标轴的公共点情况:①当m≠3时,有三个公共点;②m=3时,只有两个公共点;③若只有两个公共点,则m=3;④若有三个公共点,则m≠3.其中描述正确的有()个.A.一个B.两个C.三个D.四个二.填空题(共10小题)11.已知:如图,过原点的抛物线的顶点为M(﹣2,4),与x轴负半轴交于点A,对称轴与x轴交于点B,点P是抛物线上一个动点,过点P作PQ⊥MA于点Q.(1)抛物线解析式为.(2)若△MPQ与△MAB相似,则满足条件的点P的坐标为.12.将抛物线y=x2﹣2向左平移3个单位,所得抛物线的函数表达式为.13.如图所示,将矩形OABC沿AE折叠,使点O恰好落在BC上F处,以CF为边作正方形CFGH,延长BC至M,使CM=|CE﹣EO|,再以CM、CO为边作矩形CMNO.令m=,则m= ;又若CO=1,CE=,Q为AE上一点且QF=,抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点,则抛物线与边AB的交点坐标是.15.在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(0,1)、(4,2)、(2,6).如果P(x,y)是△ABC围成的区域(含边界)上的点,那么当w=xy取得最大值时,点P的坐标是.16.如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,在下列结论中:①ac>0;②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1,x2=5;③a+b+c<0;④当x<2时,y随着x的增大而增大.正确的结论有(请写出所有正确结论的序号).17.已知当x1=a,x2=b,x3=c时,二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1,y 2,y3,若正整数a,b,c恰好是一个三角形的三边长,且当a<b<c时,都有y 1<y2<y3,则实数m的取值范围是.18.如图,已知一动圆的圆心P在抛物线y=x2﹣3x+3上运动.若⊙P半径为1,点P的坐标为(m,n),当⊙P与x轴相交时,点P的横坐标m的取值范围是.19.如图,四边形ABCD是矩形,A、B两点在x轴的正半轴上,C、D两点在抛物线y=﹣x2+6x上.设OA=m(0<m<3),矩形ABCD的周长为l,则l与m的函数解析式为.20.若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限,且经过点(0,1),(﹣1,0),则y=a+b+c的取值范围是.三.解答题(共4小题)21.已知抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于A(﹣1,0)、B两点,与y轴交于点C,对称轴为x=1,顶点为E,直线y=﹣x+1交y轴于点D.(1)求抛物线的解析式;(2)求证:△BCE∽△BOD;(3)点P是抛物线上的一个动点,当点P运动到什么位置时,△BDP的面积等于△BOE的面积?22.如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(,)和B(4,m),点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由;(3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标.23.已知:如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A(3,0)、B(6,0),与y轴的交点是C.(1)求抛物线的函数表达式;(2)设P(x,y)(0<x<6)是抛物线上的动点,过点P作PQ∥y轴交直线BC 于点Q.①当x取何值时,线段PQ的长度取得最大值,其最大值是多少?②是否存在这样的点P,使△OAQ为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.24.如图,直角梯形ABCO的两边OA,OC在坐标轴的正半轴上,BC∥x轴,OA=OC=4,以直线x=1为对称轴的抛物线过A,B,C三点.(1)求该抛物线的函数解析式;(2)已知直线l的解析式为y=x+m,它与x轴交于点G,在梯形ABCO的一边上取点P.①当m=0时,如图1,点P是抛物线对称轴与BC的交点,过点P作PH⊥直线l 于点H,连结OP,试求△OPH的面积;②当m=﹣3时,过点P分别作x轴、直线l的垂线,垂足为点E,F.是否存在这样的点P,使以P,E,F为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.二次函数压轴题(共24道题目)参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(1,2)且与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,其中﹣1<x1<0,1<x2<2,下列结论:4a+2b+c<0,2a+b<0,b2+8a>4ac,a<﹣1,其中结论正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.【解答】解:由抛物线的开口向下知a<0,与y轴的交点为在y轴的正半轴上,得c>0,对称轴为x=<1,∵a<0,∴2a+b<0,而抛物线与x轴有两个交点,∴b2﹣4ac>0,当x=2时,y=4a+2b+c<0,当x=1时,a+b+c=2.∵>2,∴4ac﹣b2<8a,∴b2+8a>4ac,∵①a+b+c=2,则2a+2b+2c=4,②4a+2b+c<0,③a﹣b+c<0.由①,③得到2a+2c<2,由①,②得到2a﹣c<﹣4,4a﹣2c<﹣8,上面两个相加得到6a<﹣6,∴a<﹣1.故选:D.2.如图是某二次函数的图象,将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),则下列结论中正确的有()(1)a>0;(2)c<0;(3)2a﹣b=0;(4)a+b+c>0.A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】如图是y=ax2+bx+c的图象,根据开口方向向上知道a>0,又由与y轴的交点为在y轴的负半轴上得到c<0,由对称轴x==﹣1,可以得到2a﹣b=0,又当x=1时,可以判断a+b+c的值.由此可以判定所有结论正确与否.【解答】解:(1)∵将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax2+bx+c (a≠0)(如虚线部分),∴y=ax2+bx+c的对称轴为:直线x=﹣1;∵开口方向向上,∴a>0,故①正确;(2)∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上∴c<0,故②正确;(3)∵对称轴x==﹣1,∴2a﹣b=0,故③正确;(4)当x=1时,y=a+b+c>0,故④正确.故选:D.3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,在下列代数式中(1)a+b+c >0;(2)﹣4a<b<﹣2a(3)abc>0;(4)5a﹣b+2c<0;其中正确的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】由抛物线开口向上得到a大于0,再由对称轴在y轴右侧得到a与b异号,即b小于0,由抛物线与y轴交于正半轴,得到c大于0,可得出abc的符合,对于(3)作出判断;由x=1时对应的函数值小于0,将x=1代入二次函数解析式得到a+b+c小于0,(1)错误;根据对称轴在1和2之间,利用对称轴公式列出不等式,由a大于0,得到﹣2a小于0,在不等式两边同时乘以﹣2a,不等号方向改变,可得出不等式,对(2)作出判断;由x=﹣1时对应的函数值大于0,将x=﹣1代入二次函数解析式得到a﹣b+c大于0,又4a大于0,c大于0,可得出a﹣b+c+4a+c大于0,合并后得到(4)正确,综上,即可得到正确的个数.【解答】解:由图形可知:抛物线开口向上,与y轴交点在正半轴,∴a>0,b<0,c>0,即abc<0,故(3)错误;又x=1时,对应的函数值小于0,故将x=1代入得:a+b+c<0,故(1)错误;∵对称轴在1和2之间,∴1<﹣<2,又a>0,∴在不等式左右两边都乘以﹣2a得:﹣2a>b>﹣4a,故(2)正确;又x=﹣1时,对应的函数值大于0,故将x=﹣1代入得:a﹣b+c>0,又a>0,即4a>0,c>0,∴5a﹣b+2c=(a﹣b+c)+4a+c>0,故(4)错误,综上,正确的有1个,为选项(2).故选:A.4.已知点(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)都在抛物线y=x2+bx上,x1、x2、x3为△ABC的三边,且x1<x2<x3,若对所有的正整数x1、x2、x3都满足y1<y2<y3,则b的取值范围是()A.b>﹣2 B.b>﹣3 C.b>﹣4 D.b>﹣5【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,结合已知条件,可知x1、x2、x3的最小一组值是2、3、4;根据抛物线,知它与x轴的交点是(0,0)和(﹣b,0),对称轴是x=﹣.因此要满足已知条件,则其对称轴应小于2.5.【解答】解:∵x1、x2、x3为△ABC的三边,且x1<x2<x3,∴x1、x2、x3的最小一组值是2、3、4.∵抛物线y=x2+bx与x轴的交点是(0,0)和(﹣b,0),对称轴是x=﹣,∴若对所有的正整数x1、x2、x3都满足y1<y2<y3,则﹣<2.5解,得b>﹣5.故选:D.5.如图,点A(m,n)是一次函数y=2x的图象上的任意一点,AB垂直于x轴,垂足为B,那么三角形ABO的面积S关于m的函数关系的图象大致为()A.B.C.D.【分析】因为A(m,n)是一次函数y=2x的图象上的任意一点,所以n=2m.根据三角形面积公式即可得出S与m之间的函数关系,根据关系式即可解答.【解答】解:由题意可列该函数关系式:S=|m|•2|m|=m2,因为点A(m,n)是一次函数y=2x的图象上的任意一点,所以点A(m,n)在第一或三象限,又因为S>0,所以取第一、二象限内的部分.故选:D.6.抛物线y=ax2+bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限,那么下列结论成立的是()A.a>0,b>0,c=0 B.a>0,b<0,c=0 C.a<0,b>0,c=0 D.a<0,b<0,c=0【分析】先根据图象经过象限的情况判断出a的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理.【解答】解:∵抛物线经过原点,∴c=0,∵抛物线经过第一,二,三象限,可推测出抛物线开口向上,对称轴在y轴左侧∴a>0,∵对称轴在y轴左侧,∴对称轴为x=<0,又因为a>0,∴b>0.故选:A.7.已知抛物线y=x2﹣(4m+1)x+2m﹣1与x轴交于两点,如果有一个交点的横坐标大于2,另一个交点的横坐标小于2,并且抛物线与y轴的交点在点(0,)的下方,那么m的取值范围是()A.B.C.D.全体实数【分析】因为抛物线y=x2﹣(4m+1)x+2m﹣1与x轴有一个交点的横坐标大于2,另一个交点的横坐标小于2,且抛物线开口向上,所以令f(x)=x2﹣(4m+1)x+2m﹣1,则f(2)<0,解不等式可得m>,又因为抛物线与y轴的交点在点(0,)的下方,所以f(0)<﹣,解得m<,即可得解.【解答】解:根据题意,令f(x)=x2﹣(4m+1)x+2m﹣1,∵抛物线y=x2﹣(4m+1)x+2m﹣1与x轴有一个交点的横坐标大于2,另一个交点的横坐标小于2,且抛物线开口向上,∴f(2)<0,即4﹣2(4m+1)+2m﹣1<0,解得:m>,又∵抛物线与y轴的交点在点(0,)的下方,∴f(0)<﹣,解得:m<,综上可得:<m<,故选:A.8.函数y=与y=﹣kx2+k(k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是()A. B. C. D.【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负,再与二次函数的图象相比较看是否一致.【解答】解:由解析式y=﹣kx2+k可得:抛物线对称轴x=0;A、由双曲线的两支分别位于二、四象限,可得k<0,则﹣k>0,抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上;本图象与k的取值相矛盾,故A错误;B、由双曲线的两支分别位于一、三象限,可得k>0,则﹣k<0,抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,本图象符合题意,故B正确;C、由双曲线的两支分别位于一、三象限,可得k>0,则﹣k<0,抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,本图象与k的取值相矛盾,故C错误;D、由双曲线的两支分别位于一、三象限,可得k>0,则﹣k<0,抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,本图象与k的取值相矛盾,故D错误.故选:B.9.已知抛物线y=x2+bx+c(c<0)经过点(c,0),以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S,则S可表示为()A.|2+b||b+1| B.c(1﹣c)C.(b+1)2 D.【分析】把点(c,0)代入抛物线中,可得b、c的关系式,再设抛物线与x轴的交点分别为x1、x2,则x1、x2满足x2+bx+c=0,根据根的判别式结合两点间的距离公式可求|x1﹣x2|,那么就可得到以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积.【解答】解:∵抛物线y=x2+bx+c(c<0)经过点(c,0),∴c2+bc+c=0;∴c(c+b+1)=0;∵c<0,∴c=﹣b﹣1;设x1,x2是一元二次方程x2+bx+c=0的两根,∴x1+x2=﹣b,x1•x2=c=﹣b﹣1,∴抛物线与x轴的交点间的距离为|x1﹣x2|=====|2+b|,∴S可表示为|2+b||b+1|.故选:A.10.下列关于函数y=(m2﹣1)x2﹣(3m﹣1)x+2的图象与坐标轴的公共点情况:①当m≠3时,有三个公共点;②m=3时,只有两个公共点;③若只有两个公共点,则m=3;④若有三个公共点,则m≠3.其中描述正确的有()个.A.一个B.两个C.三个D.四个【分析】令y=0,可得出(m2﹣1)x2﹣(3m﹣1)x+2=0,得出判别式的表达式,然后根据m的取值进行判断,另外要注意m的取值决定函数是一次函数还是二次函数,不要忘了考虑一次函数的情况.【解答】解:令y=0,可得出(m2﹣1)x2﹣(3m﹣1)x+2=0,△=(3m﹣1)2﹣8(m2﹣1)=(m﹣3)2,①当m≠3,m=±1时,函数是一次函数,与坐标轴有两个交点,故错误;②当m=3时,△=0,与x轴有一个公共点,与y轴有一个公共点,总共两个,故正确;③若只有两个公共点,m=3或m=±1,故错误;④若有三个公共点,则m≠3且m≠±1,故错误;综上可得只有②正确,共个.故选:A.二.填空题(共10小题)11.已知:如图,过原点的抛物线的顶点为M(﹣2,4),与x轴负半轴交于点A,对称轴与x轴交于点B,点P是抛物线上一个动点,过点P作PQ⊥MA于点Q.(1)抛物线解析式为y=﹣x2﹣4x .(2)若△MPQ与△MAB相似,则满足条件的点P的坐标为(﹣,)、(﹣,).【分析】(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+2)2+4,因为抛物线过原点,把(0,0)代入,求出a即可.(2)由于PQ⊥MA,即∠MQP=∠MBA=90°;所以只要满足∠PMQ=∠MAB或∠PMQ=∠AMB.①∠PMQ=∠AMB时,先找出点B关于直线MA的对称点(设为点C),显然有AC=AB=2、MC=MB=4,可根据该条件得到点C的坐标,进而求出直线MC(即直线MP)的解析式,联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标;②∠PMQ=∠MAB时,若设直线MP与x轴的交点为D,那么△MAD必为等腰三角形,即MD=AD,根据此条件先求出点D的坐标,进而得出直线MP的解析式,联立抛物线的解析式即可得解.【解答】解:(1)∵过原点的抛物线的顶点为M(﹣2,4),∴设抛物线的解析式为:y=a(x+2)2+4,将x=0,y=0代入可得:4a+4=0,解得:a=﹣1,∴抛物线解析式为:y=﹣(x+2)2+4,即y=﹣x2﹣4x;(2)∵PQ⊥MA∴∠MQP=∠MBA=90°;若△MPQ、△MAB相似,那么需满足下面的其中一种情况:①∠PMQ=∠AMB,此时MA为∠PMB的角平分线,如图①;取点B关于直线MA的对称点C,则AC=AB=2,MC=MB=4,设点C(x,y),有:,解得(舍),∴点C的坐标为(﹣,);设直线MP的解析式:y=kx+b,代入M(﹣2,4)、(﹣,)得:,解得∴直线MP:y=x+联立抛物线的解析式,有:,解得,∴点P的坐标(﹣,);②∠PMQ=∠MAB,如右图②,此时△MAD为等腰三角形,且MD=AD,若设点D(x,0),则有:(x+4)2=(x+2)2+(0﹣4)2,解得:x=1∴点D(1,0);设直线MP的解析式:y=kx+b,代入M(﹣2,4)、D(1,0)后,有:,解得:∴直线MP:y=﹣x+联立抛物线的解析式有:,解得:,∴点P的坐标(﹣,)综上,符合条件的P点有两个,且坐标为(﹣,)、(﹣,).故答案:(1)y=﹣x2﹣4x;(2)(﹣,)、(﹣,).12.将抛物线y=x2﹣2向左平移3个单位,所得抛物线的函数表达式为y=x2+6x+7 .【分析】根据二次函数图象的平移规律:左右平移,x改变:左加右减,y不变;上下平移,x不变,y改变,上加下减进行计算即可.【解答】解:根据平移规律:将抛物线y=x2﹣2向左平移3个单位得到:y=(x+3)2﹣2,y=x2+6x+7.故答案为:y=x2+6x+7.13.如图所示,将矩形OABC沿AE折叠,使点O恰好落在BC上F处,以CF为边作正方形CFGH,延长BC至M,使CM=|CE﹣EO|,再以CM、CO为边作矩形CMNO.令m=,则m= 1 ;又若CO=1,CE=,Q为AE上一点且QF=,抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点,则抛物线与边AB的交点坐标是(,).【分析】求出CM=OE﹣CE,求出四边形CFGH的面积是CO×(OE﹣CE),求出四边形CMNO的面积是(OE﹣CE)×CO,即可求出m值;求出EF值,得出EF=QF,得出等边三角形EFQ,求出EQ,求出∠CEF、∠OEA,过Q作QD⊥OE于D,求出Q 坐标,代入抛物线求出抛物线的解析式,把x=代入抛物线即可求出y,即得出答案.【解答】解:∵沿AE折叠,O和F重合,∴OE=EF,∵在Rt△CEF中,EF>CE,即OE>CE,∴CM=|CE﹣EO|=OE﹣CE,∵S=CF2=EF2﹣EC2=EO2﹣EC2=(EO+EC)(EO﹣EC)=CO×(EO﹣EC),四边形CFGH=CM×CO=(OE﹣CE)×OC,S四边形CMNO∴m==1;∵CO=1,CE=,QF=,∴EF=EO==QF,C(0,1),∴sin∠EFC==,∴∠EFC=30°,∠CEF=60°,∴∠FEA=×(180°﹣60°)=60°,∵EF=QF,∴△EFQ是等边三角形,∴EQ=,过Q作QD⊥OE于D,ED=EQ=.∵由勾股定理得:DQ=,∴OD=﹣=,即Q的坐标是(,),∵抛物线过C、Q,m=1代入得:,解得:b=﹣,c=1,∴抛物线的解析式是:y=x2﹣x+1,AO=EO=,∵把x=代入抛物线得:y=,∴抛物线与AB的交点坐标是(,),故答案为:1,.14.该试题已被管理员删除15.在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(0,1)、(4,2)、(2,6).如果P(x,y)是△ABC围成的区域(含边界)上的点,那么当w=xy取得最大值时,点P的坐标是(,5).【分析】分别求得线段AB、线段AC、线段BC的解析式,分析每一条线段上横、纵坐标的乘积的最大值,再进一步比较.【解答】解:线段AB的解析式是y=x+1(0≤x≤4),此时w=x(x+1)=+x,则x=4时,w最大=8;线段AC的解析式是y=x+1(0≤x≤2),此时w=x(x+1)=+x,此时x=2时,w最大=12;线段BC的解析式是y=﹣2x+10(2≤x≤4),此时w=x(﹣2x+10)=﹣2x2+10x,此时x=时,w最大=12.5.综上所述,当w=xy取得最大值时,点P的坐标是(,5).16.如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,在下列结论中:①ac>0;②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1,x2=5;③a+b+c<0;④当x<2时,y随着x的增大而增大.正确的结论有②④(请写出所有正确结论的序号).【分析】根据抛物线的开口向下判断出a<0,再根据与y轴的交点判断出c>0,然后判断出①错误;根据与x轴的交点坐标判断出②正确;取x=1的函数值判断出③错误;先求出抛物线对称轴为直线x=2,然后根据二次函数的增减性判断出④正确.【解答】解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∵与y轴的正半轴相交,∴c>0,∴ac<0,故①错误;∵抛物线与x轴的交点坐标为(﹣1,0),(5,0),∴方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1,x2=5,故②正确;由图可知,当x=1时,函数值y>0,即a+b+c>0,故③错误;抛物线对称轴为直线x==2;当x<2时,y随着x的增大而增大,故④正确;综上所述,正确的结论是②④.故答案为:②④.17.已知当x1=a,x2=b,x3=c时,二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1,y 2,y3,若正整数a,b,c恰好是一个三角形的三边长,且当a<b<c时,都有y 1<y2<y3,则实数m的取值范围是m>﹣.【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出a最小为2,再根据二次函数的增减性和对称性判断出对称轴在2、3之间偏向2,即小于2.5,然后列出不等式求解即可.【解答】方法一:解:∵正整数a,b,c恰好是一个三角形的三边长,且a<b<c,∴a最小是2,∵y1<y2<y3,∴﹣<2.5,解得m>﹣2.5.方法二:解:当a<b<c时,都有y1<y2<y3,即,∴,∴,∵a,b,c恰好是一个三角形的三边长,a<b<c,∴a+b<b+c,∴m>﹣(a+b),∵a,b,c为正整数,∴a,b,c的最小值分别为2、3、4,∴m>﹣(a+b)≥﹣(2+3)=﹣,∴m>﹣,故答案为:m>﹣.18.如图,已知一动圆的圆心P在抛物线y=x2﹣3x+3上运动.若⊙P半径为1,点P的坐标为(m,n),当⊙P与x轴相交时,点P的横坐标m的取值范围是3﹣<m<2或4<m<3+.【分析】由圆心P在抛物线y=x2﹣3x+3上运动,点P的坐标为(m,n),可得n=m2﹣3m+3,又由⊙P半径为1,⊙P与x轴相交,可得|m2﹣3m+3|<1,继而可求得答案.【解答】解:∵圆心P在抛物线y=x2﹣3x+3上运动,点P的坐标为(m,n),∴n=m2﹣3m+3,∵⊙P半径为1,⊙P与x轴相交,∴|n|<1,∴|m2﹣3m+3|<1,∴﹣1<m2﹣3m+3<1,解m2﹣3m+3<1,得:3﹣<m<3+,解m2﹣3m+3>﹣1,得:m<2或m>4,∴点P的横坐标m的取值范围是:3﹣<m<2或4<m<3+.故答案为:3﹣<m<2或4<m<3+.19.如图,四边形ABCD是矩形,A、B两点在x轴的正半轴上,C、D两点在抛物线y=﹣x2+6x上.设OA=m(0<m<3),矩形ABCD的周长为l,则l与m的函数解析式为l=﹣2m2+8m+12 .【分析】求l与m的函数解析式就是把m当作已知量,求l,先求AD,它的长就是D点的纵坐标,再把D点纵坐标代入函数解析式求C点横坐标,C点横坐标与D点横坐标的差就是线段CD的长,用l=2(AD+CD),建立函数关系式.【解答】解:把x=m代入抛物线y=﹣x2+6x中,得AD=﹣m2+6m把y=﹣m2+6m代入抛物线y=﹣x2+6x中,得﹣m2+6m=﹣x2+6x解得x1=m,x2=6﹣m∴C的横坐标是6﹣m,故AB=6﹣m﹣m=6﹣2m∴矩形的周长是l=2(﹣m2+6m)+2(6﹣2m)即l=﹣2m2+8m+12.20.若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限,且经过点(0,1),(﹣1,0),则y=a+b+c的取值范围是0<y<2 .【分析】由二次函数的解析式可知,当x=1时,所对应的函数值y=s=a+b+c.把点(0,1),(﹣1,0)代入y=ax2+bx+c,得出c=1,a﹣b+c=0,然后根据顶点在第一象限,可以画出草图并判断出a与b的符号,进而求出y=a+b+c的变化范围.【解答】解:∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限,且经过点(0,1),(﹣1,0),∴易得:c=1,a﹣b+c=0,a<0,b>0,由a=b﹣1<0得到b<1,结合上面b>0,所以0<b<1①,由b=a+1>0得到a>﹣1,结合上面a<0,所以﹣1<a<0②,∴由①②得:﹣1<a+b<1,且c=1,得到:0<a+b+c<2,则y=a+b+c的取值范围是0<y<2.故答案为:0<y<2三.解答题(共4小题)21.已知抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于A(﹣1,0)、B两点,与y轴交于点C,对称轴为x=1,顶点为E,直线y=﹣x+1交y轴于点D.(1)求抛物线的解析式;(2)求证:△BCE∽△BOD;(3)点P是抛物线上的一个动点,当点P运动到什么位置时,△BDP的面积等于△BOE的面积?【分析】(1)在抛物线y=ax2﹣2x+c中,已知对称轴x=﹣=1,可求出a的值;再将点A的坐标代入抛物线的解析式中,可确定c的值,由此得解.(2)首先由抛物线的解析式,确定点B、C、E的坐标,由直线BD的解析式能得到点D的坐标;在求出△BCE、△BOD的三边长后,由SSS来判定这两个三角形相似.(3)△BOE的面积易得,而在(2)中求出了BD的长,由△BDP、△BOE的面积相等先求出点P到直线BD的距离,如何由这个距离求出点P的坐标?这里需要进行适当的转化;首先在y轴上取一点(可设为点M),使得点M到直线BD的距离等于点P到直线BD的距离,通过解直角三角形先求出DM的长,由此确定点M 的坐标,然后过M作平行于直线BD的直线,再联立抛物线的解析式即可确定点P的坐标.【解答】解:(1)抛物线y=ax2﹣2x+c中,对称轴x=﹣=﹣=1,∴a=1;将点A(﹣1,0)代入y=ax2﹣2x+c中,得:1+2+c=0,c=﹣3;∴抛物线的解析式:y=x2﹣2x﹣3.(2)∵抛物线的解析式:y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4=(x+1)(x﹣3),∴点C(0,﹣3)、B(3,0)、E(1,﹣4);易知点D(0,1),则有:OD=1、OB=3、BD=;CE=、BC=3、BE=2;∴==,∴△BCE∽△BOD.(3)S△BOE =×BO×|yE|=×3×4=6;∴S△BDP =×BD×h=S△BOE=6,即 h=.在y轴上取点M,过点M作MN1⊥BD于N1,使得MN1=h=;在Rt△MN1D中,sin∠MDN1=,且 MN1=;则 MD==4;∴点M(0,﹣3)或(0,5).过点M作直线l∥MN2,如右图,则直线l:y=﹣x﹣3或y=﹣x+5,联立抛物线的解析式有:或解得:、、、∴当点P的坐标为(0,﹣3)、(,﹣)、(,)、(,)时,△BDP的面积等于△BOE的面积.22.如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(,)和B(4,m),点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由;(3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标.【分析】(1)已知B(4,m)在直线y=x+2上,可求得m的值,抛物线图象上的A、B两点坐标,可将其代入抛物线的解析式中,通过联立方程组即可求得待定系数的值.(2)要弄清PC的长,实际是直线AB与抛物线函数值的差.可设出P点横坐标,根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标,进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出PC的最大值.(3)当△PAC为直角三角形时,根据直角顶点的不同,有三种情形,需要分类讨论,分别求解.【解答】解:(1)∵B(4,m)在直线y=x+2上,∴m=4+2=6,∴B(4,6),∵A(,)、B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上,∴,解得,∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6.(2)设动点P的坐标为(n,n+2),则C点的坐标为(n,2n2﹣8n+6),∴PC=(n+2)﹣(2n2﹣8n+6),=﹣2n2+9n﹣4,=﹣2(n﹣)2+,∵PC>0,∴当n=时,线段PC最大且为.(3)∵△PAC为直角三角形,i)若点P为直角顶点,则∠APC=90°.由题意易知,PC∥y轴,∠APC=45°,因此这种情形不存在;ii)若点A为直角顶点,则∠PAC=90°.如答图3﹣1,过点A(,)作AN⊥x轴于点N,则ON=,AN=.过点A作AM⊥直线AB,交x轴于点M,则由题意易知,△AMN为等腰直角三角形,∴MN=AN=,∴OM=ON+MN=+=3,∴M(3,0).设直线AM的解析式为:y=kx+b,则:,解得,∴直线AM的解析式为:y=﹣x+3 ①又抛物线的解析式为:y=2x2﹣8x+6 ②联立①②式,解得:x=3或x=(与点A重合,舍去)∴C(3,0),即点C、M点重合.当x=3时,y=x+2=5,∴P1(3,5);iii)若点C为直角顶点,则∠ACP=90°.∵y=2x2﹣8x+6=2(x﹣2)2﹣2,∴抛物线的对称轴为直线x=2.如答图3﹣2,作点A(,)关于对称轴x=2的对称点C,则点C在抛物线上,且C(,).当x=时,y=x+2=.∴P2(,).∵点P1(3,5)、P2(,)均在线段AB上,∴综上所述,△PAC为直角三角形时,点P的坐标为(3,5)或(,).23.已知:如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A(3,0)、B(6,0),与y轴的交点是C.(1)求抛物线的函数表达式;(2)设P(x,y)(0<x<6)是抛物线上的动点,过点P作PQ∥y轴交直线BC 于点Q.①当x取何值时,线段PQ的长度取得最大值,其最大值是多少?②是否存在这样的点P,使△OAQ为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)已知了A,B的坐标,可用待定系数法求出函数的解析式.(2)①QP其实就是一次函数与二次函数的差,二次函数的解析式在(1)中已经求出,而一次函数可根据B,C的坐标,用待定系数法求出.那么让一次函数的解析式减去二次函数的解析式,得出的新的函数就是关于PQ,x的函数关系式,那么可根据函数的性质求出PQ的最大值以及相对应的x的取值.(3)分三种情况进行讨论:当∠QOA=90°时,Q与C重合,显然不合题意.因此这种情况不成立;当∠OAQ=90°时,P与A重合,因此P的坐标就是A的坐标;当∠OQA=90°时,如果设QP与x轴的交点为D,那么根据射影定理可得出DQ2=OD•DA.由此可得出关于x的方程即可求出x的值,然后将x代入二次函数式中即可得出P的坐标.【解答】解:(1)∵抛物线过A(3,0),B(6,0),∴,解得:,∴所求抛物线的函数表达式是y=x2﹣x+2.(2)①∵当x=0时,y=2,∴点C的坐标为(0,2).设直线BC的函数表达式是y=kx+h.则有,解得:.∴直线BC的函数表达式是y=﹣x+2.∵0<x<6,点P、Q的横坐标相同,∴PQ=yQ ﹣yP=(﹣x+2)﹣(x2﹣x+2)=﹣x2+x=﹣(x﹣3)2+1∴当x=3时,线段PQ的长度取得最大值.最大值是1.②解:当∠OAQ′=90°时,点P与点A重合,∴P(3,0)当∠Q′OA=90°时,点P与点C重合,∴x=0(不合题意)当∠OQ′A=90°时,设PQ′与x轴交于点D.∵∠OQ′D+∠AOQ′=90°,∠Q′AD+∠AQ′D=90°,∴∠OQ′D=∠Q′AD.又∵∠ODQ′=∠Q′DA=90°,∴△ODQ′∽△Q′DA.∴,即DQ′2=OD•DA.∴(﹣x+2)2=x(3﹣x),10x2﹣39x+36=0,∴x1=,x2=,∴y=×()2﹣+2=;1y=×()2﹣+2=;2∴P(,)或P(,).∴所求的点P的坐标是P(3,0)或P(,)或P(,).24.如图,直角梯形ABCO的两边OA,OC在坐标轴的正半轴上,BC∥x轴,OA=OC=4,以直线x=1为对称轴的抛物线过A,B,C三点.(1)求该抛物线的函数解析式;(2)已知直线l的解析式为y=x+m,它与x轴交于点G,在梯形ABCO的一边上取点P.①当m=0时,如图1,点P是抛物线对称轴与BC的交点,过点P作PH⊥直线l 于点H,连结OP,试求△OPH的面积;②当m=﹣3时,过点P分别作x轴、直线l的垂线,垂足为点E,F.是否存在这样的点P,使以P,E,F为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;(2)①如答图1,作辅助线,利用关系式S △OPH =S △OMH ﹣S △OMP 求解;②本问涉及复杂的分类讨论,如答图2所示.由于点P 可能在OC 、BC 、BK 、AK 、OA 上,而等腰三角形本身又有三种情形,故讨论与计算的过程比较复杂,需要耐心细致、考虑全面.【解答】解:(1)由题意得:A (4,0),C (0,4),对称轴为x=1. 设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ,则有:,解得.∴抛物线的函数解析式为:y=﹣x 2+x+4.(2)①当m=0时,直线l :y=x . ∵抛物线对称轴为x=1, ∴CP=1.如答图1,延长HP 交y 轴于点M ,则△OMH 、△CMP 均为等腰直角三角形.∴CM=CP=1, ∴OM=OC+CM=5.S △OPH =S △OMH ﹣S △OMP =(OM )2﹣OM •CP=×(×5)2﹣×5×1=﹣=,∴S △OPH =.②当m=﹣3时,直线l:y=x﹣3.设直线l与x轴、y轴交于点G、点D,则G(3,0),D(0,﹣3).假设存在满足条件的点P.a)当点P在OC边上时,如答图2﹣1所示,此时点E与点O重合.设PE=a(0<a≤4),则PD=3+a,PF=PD=(3+a).过点F作FN⊥y轴于点N,则FN=PN=PF,∴EN=|PN﹣PE|=|PF﹣PE|.在Rt△EFN中,由勾股定理得:EF==.若PE=PF,则:a=(3+a),解得a=3(+1)>4,故此种情形不存在;若PF=EF,则:PF=,整理得PE=PF,即a=3+a,不成立,故此种情形不存在;若PE=EF,则:PE=,整理得PF=PE,即(3+a)=a,解得a=3.(0,3).∴P1b)当点P在BC边上时,如答图2﹣2所示,此时PE=4.若PE=PF,则点P为∠OGD的角平分线与BC的交点,有GE=GF,过点F分别作FH ⊥PE于点H,FK⊥x轴于点K,∵∠OGD=135°,∴∠EPF=45°,即△PHF为等腰直角三角形,设GE=GF=t,则GK=FK=EH=t,∴PH=HF=EK=EG+GK=t+t,∴PE=PH+EH=t+t+t=4,解得t=4﹣4,则OE=3﹣t=7﹣4,(7﹣4,4)∴P2c)∵A(4,0),B(2,4),∴可求得直线AB解析式为:y=﹣2x+8;联立y=﹣2x+8与y=x﹣3,解得x=,y=.设直线BA与直线l交于点K,则K(,).当点P在线段BK上时,如答图2﹣3所示.设P(a,8﹣2a)(2≤a≤),则Q(a,a﹣3),∴PE=8﹣2a,PQ=11﹣3a,∴PF=(11﹣3a).与a)同理,可求得:EF=.若PE=PF,则8﹣2a=(11﹣3a),解得a=1﹣2<0,故此种情形不存在;若PF=EF,则PF=,整理得PE=PF,即8﹣2a=•(11﹣3a),解得a=3,符合条件,此时P(3,2);3若PE=EF,则PE=,整理得PF=PE,即(11﹣3a)=(8﹣2a),解得a=5>,故此种情形不存在.。

2022年中考数学复习之二次函数压轴题40个问题

2022年中考数学复习之二次函数压轴题40个问题

中考复习之二次函数压轴40个问题主要题型:1.二次函数之面积问题2.二次函数之特殊三角形的存在性问题3.二次函数之特殊四边形的存在性问题4.二次函数之线段最值问题5.二次函数之角度问题题目:如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D第1问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D.求二次函数的解析式;解:设:设二次函数解为y=a(x+1)(x-3)将(0,3)代入得a=-1,故二次函数解析式为y=-x2+2x +3第2问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D1.判断∆BCD的形状;解:D(1,4),B(3,0),C(0,3),方法一:BC=32,CD=2,BD=25,BC2+CD2=BD2,故∆BCD是直角三角形;方法二:KCD =1,KBC=-1,KCD∙KBC=-1,故CD⊥CB,所以∆BCD是直角三角形;yxBCAODyxBCAODyxBCAODyxBCAOD第3问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D, 2. 四边形ABDC 的面积解:BC:y =-x +3,铅垂法:E(1,2)DE=2,S BCD ∆=21∙2∙3=3 S ABDC 四=21∙4∙3+3=9第4问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. P 为直线BC 上方抛物线上一点,求∆PBC 面积最大值及P 点坐标;解:方法一:设P(m,-m+2m+3)S PBC ∆=21∙3∙[-m 2+2m+3-(m+3)] =23(-m 2+3m),当m=23时,S 有最大值,此时P(23,415)S m ax =827 方法二:平移BC 至抛物线相切时,面积可取最大值设切线为y =-x +n,与抛物线y =-x 2+2x+3联立得x2-3x +n -3=0,∆=0,n=23,y =415,故P(23,415)S m ax =827y xBCAODy xBCAODEy xBCAOD第5问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D5点M 为BC 上方抛物线上一点,过点M 作y 轴的平行线交BC 于点N,求MN 的最大值;解:设点M(m,-m 2+2m+3),BC:y =-x +3,则点N(m,-m+3)MN=-m 2+2m+3-(-m+3)=-m 2+3m 当m=23时,MN m ax =49第6问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OC=3,OA=1,顶点为D, 6. 在对称轴上找一点P,使∆ACP 的周长最小,并求出最小值解:点A 、B 关于对称轴对称,连接BP,则BP=AP,PA+PC=PB+PC,当点B 、P 、C 三点共线时,可取最小值,此时P(1,2),∆ACP 周长的最小值为10+32第7问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 在y 轴上找一点E,使∆BDE 为直角三角形,求出E 点坐标, 方法一:y xBCAOPDy xBCAODy xNBCAODMy xBCAOD P1.DE ⊥BE 时,设E(0,m)易知∆DEF~∆EBO,OE DF =BO EF ,即m 1=34m-,m=3或1,故E 1(0,1)、E 2(0,3)2. DE ⊥DB 时,设E(0,m)易知∆DEN~∆BDM,BM DN =DM EN ,即m 1=34m -,m=27故E ;(0,27)3. DB ⊥BE 时,设E(0,m),易知∆DBF~∆BEG,BG DF =EG BF ,即m -2=34,m=-23,故E 4(0,-23)第8问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 在y 轴上找一点F,使∆BDF 为等腰三角形,求出F 点坐标;2. BD=DF,设F(0,m),22)4()01(m -+-=25,m=4+9 或4-19,F 1(0,4+19);F 2(0,4-19)yxFBCAODExyN MBCAODExy GFEBCAODxy BCAODF2.BD=BF,设F(0,m),22)0()03(m -+-=25,m=±11,F 1(0,11),F 2(0,-11)3.DF=BF,设F(0,m),22)0()03(m -+-=22)4()01(m -+-,m=1,F 4(0,1)第9问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 求抛物线上一点N,使S ABN ∆=S ABC ∆;解:设N 点的坐标(m,n),则∆ABC 与∆ABN 底相同,故n=±3,-m 2+2m+3=3或者-m 2+2m+3=3得m 1=0,m 2=2,m 3=1-7,m 4=1+7,N(0,3),(2,3),(1-7,-3),(1+7,-3)第10问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. 在抛物线上找一点Q,使S BDQ ∆=S AOC ∆解:设Q(m,-m 2+2m+3),S AOC ∆=23,BD :y =-2x +6,铅垂高QS=|-m 2+2m+3-(-2m+6)| S BDQ ∆=|-m 2+2m+3-(-2m+6)|∙21∙1=23得m=0或4Q(0,3),(4,-5),xBCAODFBCAOD FBCAODFBCAODN第11问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.在抛物线上找一点E,使BE 平分∆ABC 的面积; 解:BE 平分∆ABC 的面积,故BE 经过AC 的中点,AC 中点(-21,23),BE:y =-73x +79; 与抛物线联立得-x 2+2x +3=-73+79x =-74或722,E(-74;4919)或(722;491849)第12问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA =1,顶点为D 1.在对称轴上找一点M,使|MB -MC|取最大值,并求出最大值;解:点B 关于对称轴对称的点A,连接MA,则MB=MA,MA -MC<AC, 当点A 、C 、M 共线时,|MB -MA|m ax =AC=10, AC:y =3x x +3,M(1,6)第13问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.M 、N 为对称轴上的两点(M 在N 点上方),且MN=1,求四边形ACNM 周长的最小值; 解:A 关于对称轴对称的点B,连接BN,则BN=AN,将点向下平移1个单位得C’、N,则C’N=CM, 故CM+BN=C’N+BN,当C’、N 、B 共线时,取最小值(CM+BN)m in =13,故ACNM 周长得最小值为1+10+13BCAODQABCODEABCODM第14问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.E 在抛物线对称轴上,在抛物线上找一点F,使得点四边形ACFE 为平行四边形; 解:设E(1,m)F(n,-n 2+2n+3),A(-1,0),C(0,3),A 平行至点C 与E 平移至点F, n=1+1=2,m+3=-n 2+2n+3,m=0,故E(1,0)F(2,3)第15问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.M 为y 轴上一点,在坐标平面内找一点N,使A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为菱形; 解:当 ACM 为等腰三角形时,问题转化为等腰三角形问题 1.ACNM 为菱形时,M(0,3),N(1,0),2.AMCN 为菱形时,M(0,34),N(-1,35),3.ACMN 为菱形时,M(0,3+10),N(-1,10)ABCODMNABCODM NC'ABCODEFABCODMN ABCONDM4.ACMN 为菱形时,M(0,3-10),N(-1,-10)第16问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.E 为x 轴上一点,以BE 为边的正方形BEFG ; 另一点G 在抛物线上,求点F 坐标;设E(m,0)则EF=|-m 2+2m+3|由EF=EB 得3-m=|-m 2+2m+3|,m=0或m=-2故F(0,3)或F(-2,-5)第17问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 是抛物线上任意一点,过点P 作PE ⊥y 轴于点E,交直线BC 于点G ;过点G 作GF ⊥x 轴,连接EF,求EF 的最小值;连接OG,则OG=EF,当OG ⊥BC 时,OG 最小,即EF 最小,故EF m in =233x C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.M 在抛物线上CB 上方一点过点M 作y 轴的平行线,交BC 于点E,则ME 的最大值是多少? 解:设M(m,-m 2+2m+3),BC :y =-x +3,E(m,3-m),ME=-m 2+2m+3-(3-m)=-m 2+3m,当m=23ABCONDMABCNODMGCABO EFF CABOE GFEGCABOPFEGCABOP时,ME m ax =49第19问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.求一点P,使∠POC=∠PCO ; 解:点P 在OC 得垂直平分线上,-x2+2x +3=23,x =1±210P 1(1-210,23)P 2(1+210,23)第20问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.E(2,-2),M 为x 轴上一点,且∠EMO=∠CMO ; 1.M 在右侧时,易知∆CMO~∆EMG,设M(m,0)则有2-m m =23,m=6 2.M 在左侧时,同理易知∆CMO~∆EMG ,m m --2=23,m=6(舍) 第21问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 是直线y =x 上的动点,当直接y =x 平分∠APB 时,求点P 的坐标; 如图,∆PAO ≅∆PEO,此时OE=OA=1,故E(0,-1),EB :y =31x -1,与y =x 得x =-23,P(-23,-23) ECABOMPPCABOCABOEMG第22问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.点P 在抛物线上,且∠ABP=∠CBD,求P 坐标;解:C(0,3)D(1,4)B(3,0)tan ∠CBD=31,故tan ∠PBO=31,OE=1或者OF=1,PB :y =-31x +1或y 且=31x -1,联立可得P 1(-32,911)P 2(-23,-23)第23问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.在抛物线上找一点P,使∠ACP=450;方法1:∠OCB=∠ACP=450,得∠ACO=∠ECB,故tan ∠ECB=31,作EH ⊥BC,设BH=m,则EH=m;CH=3m,故4m=32,m=423,E(23,0)故CE:y =-2x +3,联立得P(4,-5) 方法2:由12345模型得tan ∠ECO=21得E(23,0)第24问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 在抛物线上,∠DBP=450; 由tan ∠CBD=31,∠CBD+∠CBP=450,而∠PBO+∠CBP=450,故tan ∠PBO=31,BP:y =-31x +1,P(-32,911) ECABOPPEFCABODPPHECABOPDP第25问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.点P 在抛物线上,∠PCB=150,求点P 的坐标;解:由∠BCO=450得∠PCO=30或∠PCO=600,故PC:y =-3x +3或y =-33x +3联立得P(2+3,-23)P(2+33,3328-)第26问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.直线y =31x -1与y 轴交于点E,求∠EBC -∠CBD ; 由tan ∠DBC=tan ∠EBO=31,故∠EBC -∠CBD=450第27问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.过点P(3,0)作直线与抛物线交于F 、G 、FM 、GN 分别垂直于x 轴,求PM,PN ;设F(1x ,1y )G(2x ,2y ),直线y =k (x +3)与抛物线y =-2x +2x +3联立得2x +(k -2)x +3k -3=0;1x +2x =2-k ,1x •2x =3k -3,PM •PN=(1x +3)(2x +3)=1x •2x +3(1x +2x )+9=12CABOPDPPF CABODPEECABODENMGFCABOPD第28问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DP 是第一象限抛物线上,PE ⊥AB,求BEAE的值,若PE 2=AE •BE,求P 点坐标 设P(m,-m 2+2m+3),AE=m+1,BE=3-m,BE AE =mm -+31,(m+1)(3-m)=(-m 2+2m+3)2得m=1+3,P(1+3,1)第29问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,N(0,-1),求23BM+MN 的最小值, 过点B 作I ⊥x 轴,MH ⊥I,∠MBH=600,MH=23BM,23BM+MN=MH+MN,当N 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值(23BM+MN)min=3第30问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,求21BM+OM 的最小值 过点B 作I:y =3x -33,MH ⊥I,∠MBH=300,MH=21BH,21BH+OM=MH+OM,当Q 、M 、H共线且垂直于I 时取最值(21BM+MN )min=233xy EBCAOPxy BCA O MN H第31问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,求22BM+OM 的最小值 过点B 作I,I 与直线MN 夹角450,MH ⊥I,∠MBH=450,MH=22BM,22BM+OM=MH+OM,当Q 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值两着色三角形相似,得cos150=426,(21BM +MN)min=423-63第32问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D在AB 上是否存在点M,使CM+21BM 取最小值. 过点B 作I,I 与x 轴夹角为300,MH=21BM,21BM+CM=MH+CM,当C 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值(21BM+CM)min=2333+第33问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为Dxy BCAMO Hxy BCAMOHxy BCAO M EHM 是抛物线上一点,作MH ⊥x 轴,交BC 于点E,当ME:EH=3:2时,求M 点的横坐标, 设M(m,-m 2+2m+3),则E(m,3-m),ME=-m 2+2m+3-(3-m),EH=3-m,ME:EH=3:2 即有-m 2+2m+3-(3-m)=23(3-m) m=23第34问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于顶点为D P 是抛物线上一点,且∠PAB=2CBD,求P 点坐标. tan ∠CBD=31,tan ∠PAB=tan2∠CBD=43(12345模型) 设P(m,-m 2+2m+3)(1)tan ∠PAB=1322+++-m m m =43,m=49,P(49,1639)(2)tan ∠PAB=1322+--m m m =43,m=415,P(415,1657)第35问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DF(1,415)直线y =417,(1)证明:M 上任意一点到直线y =417距离等于到F 点的距离, M(m,-m 2+2m+3),MH=417-(-m 2+2m+3)=m 2-2m+45MF=222)41532()1(-++-+-m m m =m 2-2m+45,故MH=MF xyEBCAOMHxy BCAODPP第36问:如图,抛物线与x 轴交于、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DF(1,415)直线y =417,(2)证明:N(2,-1)M 为抛物线上一点,求NM+MF 的最小值 由(1)可知MF=MH,故NM+MF=MN+MH,(NM+MF)min=421第37问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D ∠BAC 的角平分线交y 轴于点M,绕点M 作直线I,与x 轴交于点E,与A 交于点F,求证:AE 1+AF 1为定值 过点M 、F 、C 作x 轴的平行线,交AC 于点G,交AM 于点H 、I ,易知:∆AEM~∆HFM,∆AFH~∆ACI,AO GM =AC CG ,CI GM =AC AG ,相加得AO GM +CI GM =AC CG +ACAG=1 即有AO 1+AC 1=GM 1,同理可得AE 1+AF 1=GM1=1+1010第38问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D P 为第四象限抛物线上一点,且tan ∠APC=21,求出点P 的坐标; 过点C 作CE ⊥AC,取一点E 使CE=2AC,过点C 作MN||x 轴,作A M ⊥MN 、EN ⊥MN,易知∆ACM~∆CEN,CN=6,EN=2,E(6,1),P 为以AE 为直径的圆与抛物线的交点AE 的中点F,F(25,21) xy BCOFMHxy BCNOFMHA过点易知AE HF AFACGM AO =CG AC ,GM CI =AGAC,GM AO +GM CI =CG AC +AGAC =1即有1AO +1AC =1GM,同1AE +1AF =1GM =11010xy H G FEMBCOIPF=225,设P(m,-m 2+2m+3),PF 2=(m -25)2+(-m 2+2m+325)2=225m=255,y =2531--,P(255,2531--)第39问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 直线y =x -3与抛物线交于点P,在x 轴正半轴上找一点E,使tan(∠PBO+∠PEO)=25 在x 轴上找一点F,使tan ∠HPF=25,∠HPF=450+∠BPH=∠PBO+∠PEO=450+∠PEO, 故∠BPF=∠PEO,故∆BEP~∆BPF,BP BE =BF BP ,即253-m =21525,m -3=320,m=329故E(329,0)第40问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 对称轴与BC 交于点E,在直线BC 上找一点P,使∆ABP 与∆DEB 相似,∠BED=1350=∠ABP,故P 在CB 的延长线上,DE=2,BE=22,AB=3,1.当∆EDB~∆BAP,AB DE =BP EB ,即42=BP22,BP=42,P(7,-4) 2.∆EDB~∆BPA 时,BP=22,P(5,-2)AxyN MPFEBCOAH PE FAxyIHEBCODP 1P 2。

二次函数压轴题(含答案)

二次函数压轴题(含答案)

二次函数压轴题一.解答题(共20小题)1.如图,已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B.(1)求该二次函数的表达式;(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标;(3)点P(m,m)与点Q均在该函数图象上(其中m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求m的值及点Q到x轴的距离.2.如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴相交于点M.(1)求抛物线的解析式和对称轴;(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)连接AC,在直线AC的下方的抛物线上,是否存在一点N,使△NAC的面积最大?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.3.已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1.(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时,求二次函数的解析式;(2)如图,当m=2时,该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标;(3)在(2)的条件下,x轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短?若P点存在,求出P点的坐标;若P点不存在,请说明理由.4.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴交于点B.(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC 和抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标;(3)设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.5.如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;(3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.6.如图,抛物线经过A(﹣1,0),B(5,0),C(0,﹣)三点.(Ⅰ)求抛物线的解析式;(Ⅱ)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC 的值最小,求点P的坐标.(Ⅲ)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y 轴交于C(0,﹣3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式.(2)连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.8.如图,对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)与x轴相交于A、B两点,其中点A的坐标为(﹣3,0).(1)求点B的坐标.(2)已知a=1,C为抛物线与y轴的交点.①若点P在抛物线上,且S△POC=4S△BOC,求点P 的坐标.②设点Q是线段AC上的动点,作QD⊥x轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值.9.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(﹣3,0)两点.(1)求该抛物线的解析式;(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若没有,请说明理由.10.如图,已知抛物线与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)点M是抛物线上一点,以B,C,D,M为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M的坐标.11.如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a ≠0)相交于A (,)和B(4,m),点P 是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC ⊥x轴于点D,交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由;(3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标.12.如图,在平面直角坐标系xOy中,A、B为x 轴上两点,C、D为y轴上的两点,经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线成为“蛋线”.已知点C的坐标为(0,﹣),点M是抛物线C2:y=mx2﹣2mx﹣3m(m<0)的顶点.(1)求A、B两点的坐标;(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得△PBC的面积最大?若存在,求出△PBC面积的最大值;若不存在,请说明理由;(3)当△BDM为直角三角形时,求m的值.13.如图,四边形OABC为直角梯形,A(4,0),B(3,4),C(0,4).点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动;点N从B同时出发,以每秒1个单位长度的速度向C运动.其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.过点N作NP垂直x轴于点P,连接AC交NP于Q,连接MQ.(1)点(填M或N)能到达终点;(2)求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,当t为何值时,S的值最大;(3)是否存在点M,使得△AQM为直角三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.14.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A(﹣3,0)和点B,交y轴于点C(0,3).(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点P在抛物线上,且S△AOP=4S△BOC,求点P的坐标;(3)如图b,设点Q是线段AC上的一动点,作DQ⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DQ长度的最大值.15.如图,已知二次函数y=﹣+bx+c的图象经过A(2,0)、B(0,﹣6)两点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C,连接BA、BC,求△ABC的面积.16.如图,在直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点,OA=1,tan∠BAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到△DOC,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为t,①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E,连接PE,交CD于F,求出当△CEF与△COD相似时,点P的坐标;②是否存在一点P,使△PCD的面积最大?若存在,求出△PCD的面积的最大值;若不存在,请说明理由.17.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A (﹣1,0),B(5,0)两点,直线y=﹣x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是x 轴上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式;(2)若PE=5EF,求m的值;(3)若点E′是点E关于直线PC的对称点,是否存在点P,使点E′落在y轴上?若存在,请直接写出相应的点P的坐标;若不存在,请说明理由.18.如图,抛物线y=ax2﹣2ax+c(a≠0)交x轴于A、B两点,A点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,4),以OC、OA为边作矩形OADC 交抛物线于点G.(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O、A 两点)上平行移动,分别交x轴于点E,交CD 于点F,交AC于点M,交抛物线于点P,若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示PM的长;(3)在(2)的条件下,连结PC,则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似?若存在,求出此时m的值,并直接判断△PCM的形状;若不存在,请说明理由.19.如图,已知抛物线y=(x+2)(x﹣4)(k为常数,且k>0)与x轴从左至右依次交于A,B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D.(1)若点D的横坐标为﹣5,求抛物线的函数表达式;(2)若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与△ABC相似,求k 的值;(3)在(1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?20.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为(3,).点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P的横坐标为m,当m为何值时,以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形?请说明理由.(3)若存在点P,使∠PCF=45°,请直接写出相应的点P的坐标.二次函数压轴题参考答案一.解答题(共20小题)1.如图,已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B.(1)求该二次函数的表达式;(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标;(3)点P(m,m)与点Q均在该函数图象上(其中m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求m的值及点Q到x轴的距离.解:(1)将x=﹣1,y=﹣1;x=3,y=﹣9,分别代入y=ax2﹣4x+c得,解得,∴二次函数的表达式为y=x2﹣4x﹣6.(2)对称轴为直线x=2;顶点坐标为(2,﹣10).(3)将(m,m)代入y=x2﹣4x﹣6,得m=m2﹣4m﹣6,解得m1=﹣1,m2=6.∵m>0,∴m1=﹣1不合题意,舍去.∴m=6,∵点P与点Q关于对称轴x=2对称,∴点Q到x轴的距离为6.2.如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴相交于点M.(1)求抛物线的解析式和对称轴;(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)连接AC,在直线AC的下方的抛物线上,是否存在一点N,使△NAC的面积最大?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a (x﹣1)(x﹣5),把点A(0,4)代入上式得:a=,∴y=(x﹣1)(x﹣5)=x2﹣x+4=(x﹣3)2﹣,∴抛物线的对称轴是:直线x=3;(2)P点坐标为(3,).理由如下:∵点A(0,4),抛物线的对称轴是直线x=3,∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为(6,4)如图1,连接BA′交对称轴于点P,连接AP,此时△PAB的周长最小.设直线BA′的解析式为y=kx+b,把A′(6,4),B (1,0)代入得,解得,∴y=x ﹣,∵点P 的横坐标为3,∴y=×3﹣=, ∴P (3,).(3)在直线AC 的下方的抛物线上存在点N ,使△NAC 面积最大.设N 点的横坐标为t ,此时点N (t ,t 2﹣t +4)(0<t <5),如图2,过点N 作NG ∥y 轴交AC 于G ;作AD ⊥NG 于D ,由点A (0,4)和点C (5,0)可求出直线AC 的解析式为:y=﹣x +4,把x=t 代入得:y=﹣t +4,则G (t ,﹣t +4), 此时:NG=﹣t +4﹣(t 2﹣t +4)=﹣t 2+4t ,∵AD +CF=CO=5, ∴S △ACN =S △ANG +S △CGN=AD ×NG+NG ×CF=NG•OC=×(﹣t 2+4t )×5=﹣2t 2+10t=﹣2(t ﹣)2+,∴当t=时,△CAN 面积的最大值为,由t=,得:y=t 2﹣t +4=﹣3,∴N (,﹣3).3.已知二次函数y=x 2﹣2mx +m 2﹣1.(1)当二次函数的图象经过坐标原点O (0,0)时,求二次函数的解析式;(2)如图,当m=2时,该抛物线与y 轴交于点C ,顶点为D ,求C 、D 两点的坐标;(3)在(2)的条件下,x 轴上是否存在一点P ,使得PC +PD 最短?若P 点存在,求出P 点的坐标;若P 点不存在,请说明理由.解:(1)∵二次函数的图象经过坐标原点O (0,0),∴代入二次函数y=x 2﹣2mx +m 2﹣1,得出:m 2﹣1=0,解得:m=±1,∴二次函数的解析式为:y=x 2﹣2x 或y=x 2+2x ; (2)∵m=2,∴二次函数y=x 2﹣2mx +m 2﹣1得:y=x 2﹣4x +3=(x ﹣2)2﹣1,∴抛物线的顶点为:D (2,﹣1), 当x=0时,y=3,∴C 点坐标为:(0,3), ∴C (0,3)、D (2,﹣1);(3)当P 、C 、D 共线时PC +PD 最短,过点D 作DE ⊥y 轴于点E , ∵PO ∥DE ,∴=,∴=,解得:PO=,∴PC +PD 最短时,P 点的坐标为:P (,0).4.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,且抛物线经过A(1,0),C (0,3)两点,与x轴交于点B.(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC 和抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标;(3)设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.解:(1)依题意得:,解之得:,∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3∵对称轴为x=﹣1,且抛物线经过A(1,0),∴把B(﹣3,0)、C(0,3)分别代入直线y=mx+n,得,解之得:,∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3;(2)设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.把x=﹣1代入直线y=x+3得,y=2,∴M(﹣1,2),即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(﹣1,2);(3)设P(﹣1,t),又∵B(﹣3,0),C(0,3),∴BC2=18,PB2=(﹣1+3)2+t2=4+t2,PC2=(﹣1)2+(t﹣3)2=t2﹣6t+10,①若点B为直角顶点,则BC2+PB2=PC2即:18+4+t2=t2﹣6t+10解之得:t=﹣2;②若点C为直角顶点,则BC2+PC2=PB2即:18+t2﹣6t+10=4+t2解之得:t=4,③若点P为直角顶点,则PB2+PC2=BC2即:4+t2+t2﹣6t+10=18解之得:t1=,t2=;综上所述P的坐标为(﹣1,﹣2)或(﹣1,4)或(﹣1,)或(﹣1,).5.如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;(3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.解:(1)令y=0,解得x1=﹣1或x2=3∴A(﹣1,0)B(3,0)将C点的横坐标x=2代入y=x2﹣2x﹣3得y=﹣3∴C(2,﹣3)∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1;(2)设P点的横坐标为x(﹣1≤x≤2)则P、E的坐标分别为:P(x,﹣x﹣1)E(x,x2﹣2x﹣3)∵P点在E点的上方,PE=(﹣x﹣1)﹣(x2﹣2x ﹣3)=﹣x2+x+2=﹣(x ﹣)2+,∴当时,PE的最大值=;(3)存在4个这样的点F,分别是F1(1,0),F2(﹣3,0),F3(4+,0),F4(4﹣,0).①如图,连接C与抛物线和y轴的交点,那么CG∥x轴,此时AF=CG=2,因此F点的坐标是(﹣3,0);②如图,AF=CG=2,A点的坐标为(﹣1,0),因此F点的坐标为(1,0);③如图,此时C,G两点的纵坐标互为相反数,因此G点的纵坐标为3,代入抛物线中即可得出G点的坐标为(1+,3),由于直线GF 的斜率与直线AC的相同,因此可设直线GF 的解析式为y=﹣x+h,将G点代入后可得出直线的解析式为y=﹣x+4+.因此直线GF与x 轴的交点F的坐标为(4+,0);④如图,同③可求出F的坐标为(4﹣,0).综合四种情况可得出,存在4个符合条件的F点.6.如图,抛物线经过A(﹣1,0),B(5,0),C(0,﹣)三点.(Ⅰ)求抛物线的解析式;(Ⅱ)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC 的值最小,求点P的坐标.(Ⅲ)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.解:(Ⅰ)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),∵A(﹣1,0),B(5,0),C(0,﹣)三点在抛物线上,∴,解得.∴抛物线的解析式为:y=x2﹣2x ﹣;(Ⅱ)∵抛物线的解析式为:y=x2﹣2x ﹣,∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2,连接BC,如图1所示,∵B(5,0),C(0,﹣),∴设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),∴,解得,∴直线BC的解析式为y=x ﹣,当x=2时,y=1﹣=﹣,∴P(2,﹣);(Ⅲ)存在点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形.如图2所示,①当点N在x轴下方时,∵抛物线的对称轴为直线x=2,C(0,﹣),∴N1(4,﹣);②当点N在x轴上方时,如图,过点N2作N2D⊥x轴于点D,在△AN2D与△M2CO中,∴△AN2D≌△M2CO(ASA),∴N2D=OC=,即N2点的纵坐标为.∴x2﹣2x ﹣=,解得x=2+或x=2﹣,∴N2(2+,),N3(2﹣,).综上所述,符合条件的点N的坐标为(4,﹣),(2+,)或(2﹣,).7.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y 轴交于C(0,﹣3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式.(2)连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.解:(1)将B、C 两点的坐标代入得,解得:;所以二次函数的表达式为:y=x2﹣2x﹣3(2)存在点P,使四边形POP′C为菱形;设P点坐标为(x,x2﹣2x﹣3),PP′交CO于E若四边形POP′C是菱形,则有PC=PO;连接PP′,则PE⊥CO于E,∵C(0,﹣3),∴CO=3,又∵OE=EC,∴OE=EC=∴y=;∴x2﹣2x﹣3=解得x1=,x2=(不合题意,舍去),∴P点的坐标为(,)(3)过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,设P(x,x2﹣2x﹣3),设直线BC的解析式为:y=kx+d,则,解得:∴直线BC的解析式为y=x﹣3,则Q点的坐标为(x,x﹣3);当0=x2﹣2x﹣3,解得:x1=﹣1,x2=3,∴AO=1,AB=4,S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=AB•OC+QP•BF +QP•OF==当时,四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为,四边形ABPC的面积的最大值为.8.如图,对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)与x轴相交于A、B两点,其中点A 的坐标为(﹣3,0).(1)求点B的坐标.(2)已知a=1,C为抛物线与y轴的交点.①若点P在抛物线上,且S△POC=4S△BOC,求点P 的坐标.②设点Q是线段AC上的动点,作QD⊥x轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值.解:(1)∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点,∴A、B两点关于直线x=﹣1对称,∵点A的坐标为(﹣3,0),∴点B的坐标为(1,0);(2)①a=1时,∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1,∴=﹣1,解得b=2.将B(1,0)代入y=x2+2x+c,得1+2+c=0,解得c=﹣3.则二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3,∴抛物线与y轴的交点C的坐标为(0,﹣3),OC=3.设P点坐标为(x,x2+2x﹣3),∵S△POC=4S△BOC,∴×3×|x|=4××3×1,∴|x|=4,x=±4.当x=4时,x2+2x﹣3=16+8﹣3=21;当x=﹣4时,x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5.∴点P的坐标为(4,21)或(﹣4,5);②设直线AC的解析式为y=kx+t (k≠0)将A(﹣3,0),C(0,﹣3)代入,得,解得,即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3.设Q点坐标为(x,﹣x﹣3)(﹣3≤x≤0),则D 点坐标为(x,x2+2x﹣3),QD=(﹣x﹣3)﹣(x2+2x﹣3)=﹣x2﹣3x=﹣(x +)2+,∴当x=﹣时,QD 有最大值.9.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(﹣3,0)两点.(1)求该抛物线的解析式;(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若没有,请说明理由.解:(1)将A(1,0),B(﹣3,0)代y=﹣x2+bx+c 中得,∴.∴抛物线解析式为:y=﹣x2﹣2x+3;(2)存在.理由如下:由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=﹣1对称,∴直线BC与x=﹣1的交点即为Q点,此时△AQC周长最小,∵y=﹣x2﹣2x+3,∴C的坐标为:(0,3),直线BC解析式为:y=x+3,Q点坐标即为,解得,∴Q(﹣1,2);(3)存在.理由如下:设P点(x,﹣x2﹣2x+3)(﹣3<x<0),∵S△BPC=S四边形BPCO﹣S△BOC=S四边形BPCO ﹣,若S四边形BPCO 有最大值,则S△BPC就最大,∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC,=BE•PE +OE(PE+OC)=(x+3)(﹣x2﹣2x+3)+(﹣x)(﹣x2﹣2x+3+3)=,当x=﹣时,S四边形BPCO最大值=,∴S△BPC最大=,当x=﹣时,﹣x2﹣2x+3=,∴点P 坐标为(﹣,).10.如图,已知抛物线与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)点M是抛物线上一点,以B,C,D,M为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M的坐标.解:(1)∵抛物线与y轴交于点C(0,3),∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3(a≠0),根据题意,得,解得,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.(2)存在.由y=﹣x2+2x+3得,D点坐标为(1,4),对称轴为直线x=1.①若以CD为底边,则PD=PC,设P点坐标为(x,y),根据两点间距离公式,得x2+(3﹣y)2=(x﹣1)2+(4﹣y)2,即y=4﹣x.又P点(x,y)在抛物线上,∴4﹣x=﹣x2+2x+3,即x2﹣3x+1=0,解得x1=,x2=<1,应舍去,∴x=,∴y=4﹣x=,即点P 坐标为.②若以CD为一腰,∵点P在对称轴右侧的抛物线上,由抛物线对称性知,点P与点C关于直线x=1对称,此时点P坐标为(2,3).∴符合条件的点P 坐标为或(2,3).(3)由B(3,0),C(0,3),D(1,4),根据勾股定理,得CB=,CD=,BD=,∴CB2+CD2=BD2=20,∴∠BCD=90°,设对称轴交x轴于点E,过C作CM⊥DE,交抛物线于点M,垂足为F,在Rt△DCF中,∵CF=DF=1,∴∠CDF=45°,由抛物线对称性可知,∠CDM=2×45°=90°,点坐标M为(2,3),∴DM∥BC,∴四边形BCDM为直角梯形,由∠BCD=90°及题意可知,以BC为一底时,顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;以CD为一底或以BD为一底,且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在.综上所述,符合条件的点M的坐标为(2,3).11.如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a ≠0)相交于A (,)和B(4,m),点P 是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC ⊥x轴于点D,交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由;(3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标.解:(1)∵B(4,m)在直线y=x+2上,∴m=4+2=6,∴B(4,6),∵A(,)、B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上,∴,解得,∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6.(2)设动点P的坐标为(n,n+2),则C点的坐标为(n,2n2﹣8n+6),∴PC=(n+2)﹣(2n2﹣8n+6),=﹣2n2+9n﹣4,=﹣2(n ﹣)2+,∵PC>0,∴当n=时,线段PC 最大且为.(3)∵△PAC为直角三角形,i)若点P为直角顶点,则∠APC=90°.由题意易知,PC∥y轴,∠APC=45°,因此这种情形不存在;ii)若点A为直角顶点,则∠PAC=90°.如答图3﹣1,过点A (,)作AN⊥x轴于点N,则ON=,AN=.过点A作AM⊥直线AB,交x轴于点M,则由题意易知,△AMN为等腰直角三角形,∴MN=AN=,∴OM=ON+MN=+=3,∴M(3,0).设直线AM的解析式为:y=kx+b,则:,解得,∴直线AM的解析式为:y=﹣x+3 ①又抛物线的解析式为:y=2x2﹣8x+6 ②联立①②式,解得:x=3或x=(与点A重合,舍去)∴C(3,0),即点C、M点重合.当x=3时,y=x+2=5,∴P1(3,5);iii)若点C为直角顶点,则∠ACP=90°.∵y=2x2﹣8x+6=2(x﹣2)2﹣2,∴抛物线的对称轴为直线x=2.如答图3﹣2,作点A (,)关于对称轴x=2的对称点C,则点C在抛物线上,且C (,).当x=时,y=x+2=.∴P2(,).∵点P1(3,5)、P2(,)均在线段AB上,∴综上所述,△PAC为直角三角形时,点P的坐标为(3,5)或(,).12.如图,在平面直角坐标系xOy中,A、B为x 轴上两点,C、D为y轴上的两点,经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线成为“蛋线”.已知点C的坐标为(0,﹣),点M是抛物线C2:y=mx2﹣2mx﹣3m(m<0)的顶点.(1)求A、B两点的坐标;(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得△PBC的面积最大?若存在,求出△PBC面积的最大值;若不存在,请说明理由;(3)当△BDM为直角三角形时,求m的值.解:(1)y=mx2﹣2mx﹣3m=m(x﹣3)(x+1),∵m≠0,∴当y=0时,x1=﹣1,x2=3,∴A(﹣1,0),B(3,0);(2)设C1:y=ax2+bx+c,将A、B、C三点的坐标代入得:,解得,故C1:y=x2﹣x﹣.如图:过点P作PQ∥y轴,交BC于Q,由B、C的坐标可得直线BC的解析式为:y=x﹣,设P(x ,x2﹣x ﹣),则Q(x,x ﹣),PQ=x ﹣﹣(x2﹣x﹣)=﹣x2+x,S△PBC=S△PCQ+S△PBQ =PQ•OB=×(﹣x2+x)×3=﹣(x ﹣)2+,当x=时,S△PBC有最大值,Smax=,×()2﹣﹣=﹣,P(,﹣);(3)y=mx2﹣2mx﹣3m=m(x﹣1)2﹣4m,顶点M坐标(1,﹣4m),当x=0时,y=﹣3m,∴D(0,﹣3m),B(3,0),∴DM2=(0﹣1)2+(﹣3m+4m)2=m2+1,MB2=(3﹣1)2+(0+4m)2=16m2+4,BD2=(3﹣0)2+(0+3m)2=9m2+9,当△BDM为Rt△时有:DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2.①DM2+BD2=MB2时有:m2+1+9m2+9=16m2+4,解得m=﹣1(∵m<0,∴m=1舍去);②DM2+MB2=BD2时有:m2+1+16m2+4=9m2+9,解得m=﹣(m=舍去).综上,m=﹣1或﹣时,△BDM为直角三角形.13.如图,四边形OABC为直角梯形,A(4,0),B(3,4),C(0,4).点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动;点N从B同时出发,以每秒1个单位长度的速度向C运动.其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.过点N作NP垂直x轴于点P,连接AC交NP于Q,连接MQ.(1)点M(填M或N)能到达终点;(2)求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,当t为何值时,S的值最大;(3)是否存在点M,使得△AQM为直角三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.解:(1)点M.(2)经过t秒时,NB=t,OM=2t,则CN=3﹣t,AM=4﹣2t,∵A(4,0),C(0,4),∴AO=CO=4,∵∠AOC=90°,∴∠BCA=∠MAQ=45°,∴QN=CN=3﹣t∴PQ=1+t,∴S△AMQ=AM•PQ=(4﹣2t)(1+t)=﹣t2+t+2.∴S=﹣t2+t+2=﹣t2+t ﹣++2=﹣(t ﹣)2+,∵0≤t≤2∴当时,S的值最大.(3)存在.设经过t秒时,NB=t,OM=2t则CN=3﹣t,AM=4﹣2t∴∠BCA=∠MAQ=45°①若∠AQM=90°,则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高∴PQ是底边MA的中线∴PQ=AP=MA∴1+t=(4﹣2t)∴t=∴点M的坐标为(1,0)②若∠QMA=90°,此时QM与QP重合∴QM=QP=MA∴1+t=4﹣2t∴t=1∴点M的坐标为(2,0).14.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A(﹣3,0)和点B,交y轴于点C(0,3).(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点P在抛物线上,且S△AOP=4S△BOC,求点P的坐标;(3)如图b,设点Q是线段AC上的一动点,作DQ⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DQ长度的最大值.解:(1)把A(﹣3,0),C(0,3)代入y=﹣x2+bx+c,得,解得.故该抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣2x+3.(2)由(1)知,该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3,则易得B(1,0).∵S△AOP=4S△BOC,∴×3×|﹣x2﹣2x+3|=4××1×3.整理,得(x+1)2=0或x2+2x﹣7=0,解得x=﹣1或x=﹣1±2.则符合条件的点P的坐标为:(﹣1,4)或(﹣1+2,﹣4)或(﹣1﹣2,﹣4);(3)设直线AC的解析式为y=kx+t,将A(﹣3,0),C(0,3)代入,得,解得.即直线AC的解析式为y=x+3.设Q点坐标为(x,x+3),(﹣3≤x≤0),则D点坐标为(x,﹣x2﹣2x+3),QD=(﹣x2﹣2x+3)﹣(x+3)=﹣x2﹣3x=﹣(x+)2+,∴当x=﹣时,QD 有最大值.15.如图,已知二次函数y=﹣+bx+c的图象经过A(2,0)、B(0,﹣6)两点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C,连接BA、BC,求△ABC的面积.解:(1)把A(2,0)、B(0,﹣6)代入y=﹣+bx+c,得:解得,∴这个二次函数的解析式为y=﹣+4x﹣6.(2)∵该抛物线对称轴为直线x=﹣=4,∴点C的坐标为(4,0),∴AC=OC﹣OA=4﹣2=2,∴S△ABC =×AC×OB=×2×6=6.16.如图,在直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点,OA=1,tan∠BAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到△DOC,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为t,①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E,连接PE,交CD于F,求出当△CEF与△COD相似时,点P的坐标;②是否存在一点P,使△PCD的面积最大?若存在,求出△PCD的面积的最大值;若不存在,请说明理由.解:(1)在Rt△AOB中,OA=1,tan∠BAO==3,∴OB=3OA=3.∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的,∴△DOC≌△AOB,∴OC=OB=3,OD=OA=1,∴A、B、C的坐标分别为(1,0),(0,3)(﹣3,0).代入解析式为,解得:.∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3;(2)①∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3,∴对称轴l=﹣=﹣1,∴E点的坐标为(﹣1,0).如图,当∠CEF=90°时,PE:CE=2:1,CO:OD=3:1,此时△CEF与△COD不相似.当∠CFE=90°时,△CFE∽△COD,过点P作PM⊥x轴于点M,则△EFC∽△EMP.∴,∴MP=3EM.∵P的横坐标为t,∴P(t,﹣t2﹣2t+3).∵P在第二象限,∴PM=﹣t2﹣2t+3,EM=﹣1﹣t,∴﹣t2﹣2t+3=﹣(t﹣1)(t+3),解得:t1=﹣2,t2=﹣3(因为P与C重合,所以舍去),∴t=﹣2时,y=﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)+3=3.∴P(﹣2,3).∴当△CEF与△COD相似时,P点的坐标为:(﹣1,4)或(﹣2,3);②设直线CD的解析式为y=kx+b,由题意,得,解得:,∴直线CD的解析式为:y=x+1.设PM与CD的交点为N,则点N的坐标为(t,t+1),∴NM=t+1.∴PN=PM﹣NM=﹣t2﹣2t+3﹣(t+1)=﹣t2﹣+2.∵S△PCD=S△PCN+S△PDN,∴S△PCD=PN•CM +PN•OM=PN(CM+OM)=PN•OC=×3(﹣t2﹣+2)=﹣(t +)2+,∴当t=﹣时,S△PCD的最大值为.17.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A (﹣1,0),B(5,0)两点,直线y=﹣x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是x 轴上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式;(2)若PE=5EF,求m的值;(3)若点E′是点E关于直线PC的对称点,是否存在点P,使点E′落在y轴上?若存在,请直接写出相应的点P的坐标;若不存在,请说明理由.方法一:解:(1)将点A、B坐标代入抛物线解析式,得:,解得,∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+4x+5.(2)∵点P的横坐标为m,∴P(m,﹣m2+4m+5),E(m,﹣m+3),F(m,0).∴PE=|y P﹣y E|=|(﹣m2+4m+5)﹣(﹣m+3)|=|﹣m2+m+2|,EF=|y E﹣y F|=|(﹣m+3)﹣0|=|﹣m+3|.由题意,PE=5EF,即:|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|m+15|①若﹣m2+m+2=m+15,整理得:2m2﹣17m+26=0,解得:m=2或m=;②若﹣m2+m+2=﹣(m+15),整理得:m2﹣m﹣17=0,解得:m=或m=.由题意,m的取值范围为:﹣1<m<5,故m=、m=这两个解均舍去.∴m=2或m=.(3)假设存在.作出示意图如下:∵点E、E′关于直线PC对称,∴∠1=∠2,CE=CE′,PE=PE′.∵PE平行于y轴,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴PE=CE,∴PE=CE=PE′=CE′,即四边形PECE′是菱形.当四边形PECE′是菱形存在时,由直线CD解析式y=﹣x+3,可得OD=4,OC=3,由勾股定理得CD=5.过点E作EM∥x轴,交y轴于点M,易得△CEM ∽△CDO,∴,即,解得CE=|m|,∴PE=CE=|m|,又由(2)可知:PE=|﹣m2+m+2|∴|﹣m2+m+2|=|m|.①若﹣m2+m+2=m,整理得:2m2﹣7m﹣4=0,解得m=4或m=﹣;②若﹣m2+m+2=﹣m,整理得:m2﹣6m﹣2=0,解得m1=3+,m2=3﹣.由题意,m的取值范围为:﹣1<m<5,故m=3+这个解舍去.当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时,此时P点横坐标为0,E,C,E'三点重合与y轴上,也符合题意,∴P(0,5)综上所述,存在满足条件的点P,可求得点P坐标为(0,5),(﹣,),(4,5),(3﹣,2﹣3)方法二:(1)略.(2)略.(3)若E(不与C重合时)关于直线PC的对称点E′在y轴上,则直线CD与直线CE′关于PC 轴对称.∴点D关于直线PC的对称点D′也在y轴上,∴DD′⊥CP,∵y=﹣x+3,∴D(4,0),CD=5,∵OC=3,∴OD′=8或OD′=2,①当OD′=8时,D′(0,8),设P(t,﹣t2+4t+5),D(4,0),C(0,3),∵PC⊥DD′,∴K PC×K DD′=﹣1,∴,∴2t2﹣7t﹣4=0,∴t1=4,t2=﹣,②当OD′=2时,D′(0,﹣2),设P(t,﹣t2+4t+5),∵PC⊥DD′,∴K PC×K DD′=﹣1,∴=﹣1,∴t1=3+,t2=3﹣,∵点P是x轴上方的抛物线上一动点,∴﹣1<t<5,∴点P的坐标为(﹣,),(4,5),(3﹣,2﹣3).若点E与C重合时,P(0,5)也符合题意.综上所述,存在满足条件的点P,可求得点P坐标为(0,5),(﹣,),(4,5),(3﹣,2﹣3)18.如图,抛物线y=ax2﹣2ax+c(a≠0)交x轴于A、B两点,A点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,4),以OC、OA为边作矩形OADC 交抛物线于点G.(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O、A 两点)上平行移动,分别交x轴于点E,交CD 于点F,交AC于点M,交抛物线于点P,若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示PM的长;(3)在(2)的条件下,连结PC,则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似?若存在,求出此时m的值,并直接判断△PCM的形状;若不存在,请说明理由.解:(1)∵抛物线y=ax2﹣2ax+c(a≠0)经过点A(3,0),点C(0,4),∴,解得,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4;(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,∵A(3,0),点C(0,4),∴,解得,∴直线AC的解析式为y=﹣x+4.∵点M的横坐标为m,点M在AC上,∴M点的坐标为(m ,﹣m+4),∵点P的横坐标为m,点P在抛物线y=﹣x2+x+4上,∴点P的坐标为(m ,﹣m2+m+4),∴PM=PE﹣ME=(﹣m2+m+4)﹣(﹣m+4)=﹣m2+4m,即PM=﹣m2+4m(0<m<3);(3)在(2)的条件下,连结PC,在CD上方的抛物线部分存在这样的点P,使得以P、C、F 为顶点的三角形和△AEM相似.理由如下:由题意,可得AE=3﹣m,EM=﹣m+4,CF=m,若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似,P点在F上,PF=﹣m2+m+4﹣4=﹣m2+m.情况:①若△PFC∽△AEM,则PF:AE=FC:EM,即(﹣m2+m):(3﹣m)=m:(﹣m+4),∵m≠0且m≠3,∴m=.∵△PFC∽△AEM,∴∠PCF=∠AME,∵∠AME=∠CMF,∴∠PCF=∠CMF.在直角△CMF中,∵∠CMF+∠MCF=90°,∴∠PCF+∠MCF=90°,即∠PCM=90°,∴△PCM为直角三角形;②若△CFP∽△AEM,则CF:AE=PF:EM,即m:(3﹣m)=(﹣m2+m):(﹣m+4),∵m≠0且m≠3,∴m=1.∵△CFP∽△AEM,∴∠CPF=∠AME,∵∠AME=∠CMF,∴∠CPF=∠CMF.∴CP=CM,∴△PCM为等腰三角形.综上所述,存在这样的点P使△PFC与△AEM相。

精选中考二次函数压轴题(含答案)

精选中考二次函数压轴题(含答案)

精选中考二次函数压轴题(含答案)1.如图,二次函数c x y +-=221的图象经过点D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-29,3,与x 轴交于A 、B 两点. ⑴求c 的值;⑵如图①,设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点,直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分,试证明线段BD 被直线AC 平分,并求此时直线AC 的函数解析式;⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点,试猜想:是否存在这样的点P 、Q ,使△AQP ≌△ABP ?如果存在,请举例验证你的猜想;如果不存在,请说明理由.(图②供选用)2.(2010福建福州)如图,在△ABC 中,∠C =45°,BC =10,高AD =8,矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上,E 、F 两点分别在AB 、AC 上,AD 交EF 于点H . (1)求证:AH AD =EFBC;(2)设EF =x ,当x 为何值时,矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值;(3)当矩形EFPQ 的面积最大时,该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动),设运动时间为t 秒,矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ,求S 与t 的函数关系式.3.(2010福建福州)如图1,在平面直角坐标系中,点B 在直线y =2x 上,过点B 作x 轴的垂线,垂足为A ,OA =5.若抛物线y =16x 2+bx +c 过O 、A 两点.(1)求该抛物线的解析式;(2)若A 点关于直线y =2x 的对称点为C ,判断点C 是否在该抛物线上,并说明理由;(3)如图2,在(2)的条件下,⊙O 1是以BC 为直径的圆.过原点O 作⊙O 1的切线OP ,P 为切点(点P 与点C 不重合).抛物线上是否存在点Q ,使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切?若存在,求出点Q 的横坐标;若不存在,请说明理由4.(2010江苏无锡)如图,矩形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为(-4,0)和(2,0),BC=AC 与直线x =4(第2(图1) (图交于点E .(1)求以直线x =4为对称轴,且过C 与原点O 的抛物线的函数关系式,并说明此抛物线一定过点E ;(2)设(1)中的抛物线与x 轴的另一个交点为N ,M 是该抛物线上位于C 、N 之间的一动点,求△CMN 面积的最大值.5.(2010湖南邵阳)如图,抛物线y =2134x x -++与x 轴交于点A 、B ,与y 轴相交于点C ,顶点为点D ,对称轴l 与直线BC 相交于点E ,与x 轴交于点F 。

最新九年级数学中考专题训练:二次函数综合压轴题(相似三角形问题)

最新九年级数学中考专题训练:二次函数综合压轴题(相似三角形问题)

2023年九年级数学中考专题训练:二次函数综合压轴题(相似三角形问题)1.已知,二次函数23y ax bx =+-的图象与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 的左边),与y 轴交于C 点,点A 的坐标为()1,0-,且OB OC =.(1)求二次函数的解析式;(2)当04x ≤≤时,求二次函数的最大值和最小值分别为多少?(3)设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称.在y 轴上是否存在点P ,使PCC '△与POB 相似,且PC 与PO 是对应边?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.2.如图1,抛物线234y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧),与y 轴交于点C ,连接,AC BC .(1)求ABC 的面积;(2)如图2,点P 为直线上方抛物线上的动点,过点P 作PD AC ∥交直线BC 于点D ,过点P 作直线PE x ∥轴交直线BC 于点E ,求PD PE +的最大值及此时P 的坐标;(3)在(2)的条件下,将原抛物线234y x x =-++沿射线AC 方向平移M 是新抛物线与原抛物线的交点,N 是平面内任意一点,若以P 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点N 的坐标.3.已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()()1030A B ,、,两点,且与y 轴的公共点为点C ,设该抛物线的顶点为D .(1)求抛物线的表达式,并求出顶点D 的坐标;(2)若点P 为抛物线上一点,且满足PB PC =,求点P 的横坐标;(3)连接CD BC ,,点E 为线段BC 上一点,过点E 作EF CD ⊥交CD 于点F ,若12=DF CF ,求点E 的坐标.4.如图1,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,抛物线24y ax bx =++与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 左侧),与y 轴交于点C ,直线4y x =-+经过B 、C 两点,4OB OA =.(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,点P 为第四象限抛物线上一点,过点P 作PD x ⊥轴交BC 于点D ,垂足为N ,连接PC 交x 轴于点E ,设点P 的横坐标为t ,PCD 的面积为S ,求S 与t 的函数关系式;(3)在(2)的条件下,如图3,过点P 作PF PC ⊥交y 轴于点F ,PF PE =.点G 在抛物线上,连接PG ,45CPG ∠=︒,连接BG ,求直线BG 的解析式.5.如图1,已知二次函数2y ax bx c =++的图象的顶点为()0,1D ,且经过点()2,2A .(1)求二次函数的解析式;(2)过点A 的直线与二次函数图象的另一交点为B ,与y 轴交于点C ,若BDC 的面积是ADC △的两倍,求直线AB 的解析式;(3)如图2,已知(),0E m ,是x 轴上一动点(E ,O 不重合),过E 的两条直线1l ,2l 与二次函数均只有一个交点,且直线1l ,2l 与y 轴分别交于点M 、N .对于任意的点E ,在y 轴上(点M 、N 上方)是否存在一点()0,F t ,使N FEM F E △∽△恒成立.若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.6.如图,抛物线y 2b c x ++与x 轴交于点A 、B ,点A 、B 分别位于原点的左、右两侧,BO =3AO =3,过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C 、D ,BC.(1)求b、c的值;(2)求直线BD的直线解析式;(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方,点Q在射线BA上.当△ABD与△BPQ相似时,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标.7.如图1,抛物线与坐标轴分别交于A(-1,0),B(3,0),C(0,3).(1)求抛物线解析式;(2)抛物线上是否存在点P,使得△CBP=△ACO,若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由;(3)如图2,Q是△ABC内任意一点,求DQ EQ QFAD BE CF++的值.8.如图所示,平面直角坐标系中,二次函数y=a(x+2k)(x﹣k)图象与x轴交于A、B两点,抛物线对称轴为直线x=﹣2;(1)求k 的值;(2)点C 为抛物线上一点,连接BC 、AC ,作CD △x 轴于D ,当△BCA =90°时,设CD 长度为d ,求d 与a 的函数关系式;(3)抛物线顶点为S ,作S T 垂直AB 于T ,点Q 为第一象限抛物线上一点,连接AQ 交S T 于点P ,过B 作x 轴的垂线交AQ 延长线于点E ,连接OE 交BQ 于点G ,过O 作OE 的垂线交AQ 于点F ,若OF =OG ,tan△ABQ =2时,连接S Q ,求证:S Q =S P .9.已知抛物线23y x bx =-++的图象与x 轴相交于点A 和点B ,与y 轴交于点C ,图象的对称轴为直线=1x -.连接AC ,有一动点D 在线段AC 上运动,过点D 作x 轴的垂线,交抛物线于点E ,交x 轴于点F .设点D 的横坐标为m .(1)求AB 的长度;(2)连接AE CE 、,当ACE △的面积最大时,求点D 的坐标; (3)当m 为何值时,ADF △与CDE 相似.10.如图,抛物线28y ax bx =++与x 轴交于()2,0A -和点()8,0B ,与y 轴交于点C ,顶点为D ,连接AC ,BC ,BC 与抛物线的对称轴l 交于点E .(1)求该抛物线的函数表达式;(2)点P 是第一象限内抛物线上的动点,连接PB ,PC ,设四边形PBOC 和AOC 的面积分别为PBOC S 四边形和AOCS,记AOC PBOC S S S =-△四边形,求S 最大值点P 的坐标及S 的最大值;(3)点N 是对称轴l 右侧抛物线上的动点,在射线ED 上是否存在点M ,使得以点M ,N ,E 为顶点的三角形与BOC 相似?若存在,求点M 的坐标;若不存在,请说明理由.11.如图,抛物线24y ax bx =+-经过点()1,0C -,点()4,0B ,交y 轴于点A ,点H 是该抛物线上第四象限内的一个动点,HE △x 轴于点E ,交线段AB 于点D ,HQ △y 轴,交y 轴于点Q .(1)求抛物线的函数解析式.(2)若四边形HQOE 是正方形,求该正方形的面积.(3)连接OD 、AC ,抛物线上是否存在点H ,使得以点O 、A 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似,若存在,请直接写出点H 的坐标,若不存在,请说明理由.12.如图,已知抛物线2y ax x c =-+的对称轴为直线x =1,与x 轴的一个交点为()10A -,,顶点为B .点()5C m ,在抛物线上,直线BC 交x 轴于点E .(1)求抛物线的表达式及点E 的坐标; (2)连接AB ,求△B 的余切值;(3)点G 为线段AC 上一点,过点G 作CB 的垂线交x 轴于点M (位于点E 右侧),当△CGM 与△ABE 相似时,求点M 的坐标.13.如图所示,抛物线2=23y x x --与x 轴相交于A 、B 两点,与y 轴相交于点C ,点M 为抛物线的顶点.(1)求点C 及顶点M 的坐标.(2)若点N 是第四象限内抛物线上的一个动点,连接BN 、CN ,求BCN △面积的最大值. (3)直线CM 交x 轴于点E ,若点P 是线段EM 上的一个动点,是否存在以点P 、E 、O 为顶点的三角形与ABC 相似.若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.14.如图,抛物线L 1:y =ax 2﹣2x +c (a ≠0)与x 轴交于A 、B (3,0)两点,与y 轴交于点C (0,﹣3),抛物线的顶点为D .抛物线L 2与L 1关于x 轴对称.(1)求抛物线L 1与L 2的函数表达式;(2)已知点E 是抛物线L 2的顶点,点M 是抛物线L 2上的动点,且位于其对称轴的右侧,过M 向其对称轴作垂线交对称轴于P ,是否存在这样的点M ,使得以P 、M 、E 为顶点的三角形与△BCD 相似,若存在请求出点M 的坐标,若不存在,请说明理由.15.综合与探究如图,抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,点B ,C 的坐标分别为(2,0),(0,3),点D 与点C 关于x 轴对称,P 是直线AC 上方抛物线上一动点,连接PD 、交AC 于点Q .(1)求抛物线的函数表达式及点A 的坐标; (2)在点P 运动的过程中,求PQ :DQ 的最大值;(3)在y 轴上是不存在点M ,使45AMB ∠=︒?若存在,请直接写出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.16.如图,已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点()1,0A -,()3,0B ,与y 轴的交点()0,6C .(1)求抛物线的解析式;(2)点(),P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,设PBC 的面积为S ,求S 关于m 的函数表达式(指出自变量m 的取值范围)和S 的最大值;(3)点M 在抛物线上运动,点N 在y 轴上运动,是否存在点M 、点N 使得△CMN =90°,且∆CMN 与OBC ∆相似,如果存在,请求出点M 和点N 的坐标.17.如图(1),直线y =-x +3与x 轴、y 轴分别交于点B (3,0)、点C (0,3),经过B 、C 两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A ,顶点为P .(1)求该抛物线的解析式与点P 的坐标;(2)当0<x <3时,在抛物线上求一点E ,使△CBE 的面积有最大值; (3)连接AC ,点N 在x 轴上,点M 在对称轴上,△是否存在使以B 、P 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,请求出所有符合条件的点N 的坐标;若不存在,请说明理由;△是否存在点M ,N ,使以C 、P 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. (图(2)、图(3)供画图探究)18.如图,已知抛物线213222y x x =-++与x 轴交于点A 、B ,与y 轴交于点C .(1)则点A 的坐标为_________,点B 的坐标为_________,点C 的坐标为_________;(2)设点11(,)P x y ,22(,)Q x y (其中12x x >)都在抛物线213222y x x =-++上,若121x x =+,请证明:12y y >;(3)已知点M 是线段BC 上的动点,点N 是线段BC 上方抛物线上的动点,若90CNM ∠=︒,且CMN 与OBC △相似,试求此时点N 的坐标.参考答案:1.(1)2=23y x x --(2)函数的最大值为5,最小值为4-(3)存在,(0,9)P -或9(0,)5P -2.(1)10;(2)最大值为4,()2,6P ; (3)N 点坐标为113,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或345,24⎛⎫- ⎪⎝⎭或53,24⎛⎫- ⎪⎝⎭.3.(1)243y x x =-+,()21-,(2)⎝⎭或⎝⎭(3)207,99⎛⎫ ⎪⎝⎭4.(1)254y x x =-+ (2)32122S t t =-+ (3)416y x =-5.(1)2114y x =+ (2)312y x =-或132y x =-+ (3)存在,=2t6.(1)132b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(2)y=+(3)Q 1(,0)、Q 2(0)、Q 3,0)、Q 4(,0) 7.(1)223y x x =-++(2)存在,1217(,),(1,4)24P P - (3)DQ EQ QF AD BE CF ++的值为18.(1)k =4 (2)1d a=-9.(1)4(2)(32-,32-) (3)当2m =-或1m =-时ADF △与CDE 相似10.(1)21382y x x =-++ (2)()4,12P ,最大值为56(3)存在,()3,8,(3,5,()3,1111.(1)234y x x =--(2)6+(3)存在,点H 的坐标为1684,525⎛⎫- ⎪⎝⎭或521,24⎛⎫- ⎪⎝⎭12.(1)21322y x x =--;E (2,0) (2)3(3)M 点的坐标为(5,0)或(7,0)13.(1)C 点坐标为(0,-3),顶点M 的坐标为(1,-4);(2)278(3)P 点的坐标为39(,)44--或(-1,-2).14.(1)抛物线L 1:2=23y x x --,抛物线L 2:223y x x =-++; (2)435(,)39M 或(4,5)M -.15.(1)211322y x x =--+,A (-3,0); (2)316; (3)存在,M (0,6)或(0,-6)16.(1)2246y x x =-++(2)S 关于m 的函数表达式为239(03)S m m m =-+<<,S 的最大值是274 (3)存在,M (1,8),N (0,172)或M (74,558),N (0,838)或M (94,398),N (0,38)或M (3,0),N (0,﹣32)17.(1)243y x x =-+,顶点坐标为P (2,-1) (2)33,24E ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)△存在,()10,0N 或27,03N ⎛⎫ ⎪⎝⎭;△存在,点M 的坐标为(2,2);(2,-4);(2,4)18.(1)(-1,0),(4,0),(0,2);(3)点N 的坐标为(32,258)或(3,2).。

2023年九年级数学中考专题:二次函数综合压轴题(线段周长问题)(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题:二次函数综合压轴题(线段周长问题)(含简单答案)
(1)求抛物线的表达式;
(2)点P在直线 下方的抛物线上,连接 交 于点 ,过点 作 轴的垂线 ,垂线 交 于点 , 垂线 ,求证 ;当 最大时,求点P的坐标及 的最大值;
(3)在(2)的条件下,在 上是否存在点 ,使 是直角三角形,若存在,请直接写出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
4.如图,已知抛物线与 轴交于点 , ,与 轴交于点 .
(3)若直线 与线段 交于点 (不与点 , 重合),则是否存在这样的直线 ,使得以 , , 为顶点的三角形与 相似?若存在,求出该直线的函数表达式及点 的坐标;若不存在,请说明理由.
8.如图,抛物线 与 轴交于 , 两点,与 轴交于点 .
(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标;
(2)若点 是抛物线的对称轴与直线 的交点,点 是抛物线的顶点,求 的长;
(3) 或
13.(1)二次函数的解析式为 ;
(3)点P的坐标为 或 .
14.(1)
(2) ,或
(3)
15.(1)抛物线的函数关系式为 ;直线 的函数关系式为 ;
(2) 面积的最大值为 ;
(3)点M的坐标为 .
16.(1) ,
(2)
(3)最大值为4,此时
17.(1) ,
(2)
(3) 或 或
18.(1)
11.已知:抛物线 经过 三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,点P为直线 上方抛物线上任意一点,连接 , 交直线 于点E,设 ,求当k取最大值时点P的坐标,并求此时k的值.
(3)如图2,点Q为抛物线对称轴与x轴的交点,点C关于x轴的对称点为点D.求 的周长及 的值.
12.如图,抛物线 交 轴于 , 两点(点 在 的右边),与 轴交于点 ,连接 , .点 是第一象限内抛物线上的一个动点,点 的横坐标为 ,过点 作 轴,垂足为点 , 交 于点 .

二次函数压轴题(含答案)[1]

二次函数压轴题(含答案)[1]

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面积类1.如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点.(1)求抛物线的解析式.(2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长.(3)在(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由.考点:二次函数综合题.专题:压轴题;数形结合.分析:(1)已知了抛物线上的三个点的坐标,直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式.(2)先利用待定系数法求出直线BC的解析式,已知点M的横坐标,代入直线BC、抛物线的解析式中,可得到M、N点的坐标,N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长.(3)设MN交x轴于D,那么△BNC的面积可表示为:S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN•OB,MN 的表达式在(2)中已求得,OB的长易知,由此列出关于S△BNC、m的函数关系式,根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值.解答:解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣3),则:a(0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1;∴抛物线的解析式:y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3.(2)设直线BC的解析式为:y=kx+b,则有:,解得;故直线BC的解析式:y=﹣x+3.已知点M的横坐标为m,MN∥y,则M(m,﹣m+3)、N(m,﹣m2+2m+3);∴故MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0<m<3).(3)如图;∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN•OB,∴S△BNC=(﹣m2+3m)•3=﹣(m﹣)2+(0<m<3);∴当m=时,△BNC的面积最大,最大值为.2.如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0).(1)求抛物线的解析式;(2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;(3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标.考点:二次函数综合题.。

2023年九年级数学中考专题:二次函数综合压轴题(相似三角形问题)(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题:二次函数综合压轴题(相似三角形问题)(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题:二次函数综合压轴题(相似三角形问题)1.如图,二次函数216y x bx c =++的图象交坐标轴于点()4,0A ,()0,2B -,点P 为x 轴上一动点.(1)求二次函数216y x bx c =++的表达式; (2)将线段PB 绕点P 逆时针旋转90︒得到线段PD ,若D 恰好在抛物线上,求点D 的坐标; (3)过点P 作PQ x ⊥轴分别交直线AB ,抛物线于点Q ,C ,连接AC .若以点B 、Q 、C 为顶点的三角形与APQ △相似,直接写出点P 的坐标. 2.抛物线25y ax bx =++经过点1,0A 和点()5,0B .(1)求该抛物线所对应的函数解析式;(2)该抛物线与直线25y x =+相交于C 、D 两点,点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方,直线PM y ∥轴,分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N .①连结PC PD 、,如图1,在点P 运动过程中,PCD 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由;①连结PB ,过点C 作CQ PM ⊥,垂足为点Q ,如图2,是否存在点P ,使得CNQ 与PBM 相似?若存在,直接写出满足条件的点P 的坐标;若不存在,说明理由.3.已知抛物线24y ax ax b =-+与x 轴交于A ,B 两点,(A 在B 的左侧),与y 轴交于C ,若OB OC =,且03C (,).(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的顶点为D ,点P 在抛物线的对称轴上,且APD ACB ∠=∠,求点P 的坐标; (3)在抛物线上是否存在一点M ,过M 作MN x ⊥轴于N ,以A 、M 、N 为顶点的三角形与AOC ∆相似,若存在,求出所有符合条件的M 点坐标,若不存在,请说明理由. 4.如图.在平面直角坐标系中.抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C .点A 的坐标为()1,0-,点C 的坐标为()0,2-.已知点(),0E m 是线段AB 上的动点(点E 不与点A ,B 重合).过点E 作PE x ⊥轴交抛物线于点P ,交BC 于点F .(1)求该抛物线的表达式;(2)若:1:2EF PF =,请求出m 的值;(3)是否存在这样的m ,使得BEP △与ABC 相似?若存在,求出此时m 的值;若不存在,请说明理由;(4)当点E 运动到抛物线对称轴上时,点M 是x 轴上一动点,点N 是抛物线上的动点,在运动过程中,是否存在以C 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形?若不存在,请说明理由;若存在,请直接写出点M 的坐标.5.如图,二次函数212y x bx c =-++图像交x 轴于点A ,B (A 在B 的左侧),与y 轴交于点(0,3)C ,CD y ⊥轴,交抛物线于另一点D ,且5CD =,P 为抛物线上一点,PE y轴,与x 轴交于E ,与BC ,CD 分别交于点F ,G .(1)求二次函数解析式;(2)当P 在CD 上方时,是否存在点P ,使得以C ,P ,G 为顶点的三角形与FBE 相似,若存在,求出CPG △与FBE 的相似比,若不存在,说明理由.(3)点D 关于直线PC 的对称点为D ,当点D 落在抛物线的对称轴上时,此时点P 的坐标为________.6.如图,抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点A ,B ,与y 轴交于点C ,已知A ,B 两点坐标分别是(1,0)A ,(4,0)B -,连接,AC BC .(1)求抛物线的表达式;(2)将ABC ∆沿BC 所在直线折叠,得到DBC ∆,点A 的对应点D 是否落在抛物线的对称轴上?若点D 在对称轴上,请求出点D 的坐标;若点D 不在对称轴上,请说明理由;(3)若点P 是抛物线位于第二象限图象上的一动点,连接AP 交BC 于点Q ,连接BP ,BPQ ∆的面积记为1S ,ABQ ∆的面积记为2S ,求12S S 的值最大时点P 的坐标. 7.已知,二次函数23y ax bx =+-的图象与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 的左边),与y 轴交于C 点,点A 的坐标为()1,0-,且OB OC =.(1)求二次函数的解析式;(2)当04x ≤≤时,求二次函数的最大值和最小值分别为多少?(3)设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称.在y 轴上是否存在点P ,使PCC '△与POB 相似,且PC 与PO 是对应边?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.8.已知菱形OABC 的边长为5,且点(34)A ,,点E 是线段BC 的中点,过点A ,E 的抛物线2y ax bx c =++与边AB 交于点D ,(1)求点E 的坐标;(2)连接DE ,将BDE △沿着DE 翻折痕.①当B 点的对应点B '恰好落在线段AC 上时,求点D 的坐标;①连接OB ,BB ',若BB D '△与BOC 相似,请直接写出此时抛物线二次项系数=a ______. 9.如图,抛物线22(0)y ax x c a =-+≠与x 轴交于A 、()3,0B 两点,与y 轴交于点()0,3C -,抛物线的顶点为D .(1)求抛物线的解析式;(2)已知点M 是x 轴上的动点,过点M 作x 轴的垂线交抛物线于点G ,是否存在这样的点M ,使得以点A 、M 、G 为顶点的三角形与BCD △相似,若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.(3)在直线BC 下方抛物线上一点P ,作PQ 垂直BC 于点Q ,连接CP ,当CPQ 中有一个角等于ACO ∠时,求点P 的坐标.10.如图,抛物线顶点D 在x 轴上,且经过(0,3)-和(4,3)-两点,抛物线与直线l 交于A 、B 两点.(1)直接写出抛物线解析式和D 点坐标;(2)如图1,若()03A ,-,且 94ABDS =,求直线l 解析式; (3)如图2,若90ADB ∠=︒,求证:直线l 经过定点,并求出定点坐标.11.如图1,已知抛物线2=23y x x --与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,连接BC ,点P 是线段BC 下方抛物线上一动点,过点P 作∥PE BC ,交x 轴于点E ,连接OP 交BC 于点F .(1)直接写出点A ,B ,C 的坐标以及抛物线的对称轴; (2)当点P 在线段BC 下方抛物线上运动时,求BFPE取到最小值时点P 的坐标; (3)当点P 在y 轴右边抛物线上运动时,过点P 作PE 的垂线交抛物线对称轴于点G ,是否存在点P ,使以P 、E 、G 为顶点的三角形与①AOC 相似?若存在,来出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.12.如图,抛物线212ax ax b =-+y 经过()1,0A -,32,2C ⎛⎫⎪⎝⎭两点,与x 轴交于另一点B .(1)求此抛物线的解析式;(2)若抛物线的顶点为M ,点P 为线段OB 上一动点(不与点B 重合),点Q 在线段MB 上移动,且2PM MQ MB =⋅,设线段OP x =,2MQ y =,求2y 与x 的函数关系式,并直接写出自变量x 的取值范围;并直接写出PM APPQ BQ-的值;(3)在同一平面直角坐标系中,两条直线x m =,x n =分别与抛物线交于点E ,G ,与(2)中的函数图象交于点F ,.H 问四边形EFHG 能否为平行四边形?若能,求m ,n 之间的数量关系;若不能,请说明理由.13.已知抛物线213222y x x =-++交x 轴于A 、B 两点,A 在B 的左边,交y 轴于点C .(1)求抛物线顶点的坐标;(2)如图1,若10,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,P 在抛物线上且在直线AE 上方,PQ AE ⊥于O ,求PQ 的最大值;(3)如图2,点(),3D a (32a <)在抛物线上,过A 作直线交抛物线于第四象限另一点F ,点M 在x 轴上,以M 、B 、D 为顶角的三角形与AFB △相似,求点M 的坐标. 14.如图,抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A 、()3,0B ,与y 轴交于点C ,联结AC 、BC .(1)求该抛物线的表达式及顶点D 的坐标;(2)如果点P 在抛物线上,CB 平分ACP ∠,求点P 的坐标:(3)如果点Q 在抛物线的对称轴上,DBQ 与ABC 相似.求点Q 的坐标.15.如图,抛物线23y ax x c =-+与x 轴交于(4,0)A -,B 两点,与y 轴交于点(0,4)C ,点D 为x 轴上方抛物线上的动点,射线OD 交直线AC 于点E ,将射线OD 绕点O 逆时针旋转45︒得到射线OP ,OP 交直线AC 于点F ,连接DF .(1)求抛物线的解析式; (2)当点D 在第二象限且34DE EO =时,求点D 的坐标; (3)当ODF △为直角三角形时,请直接写出点D 的坐标.16.如图①,抛物线与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C (0,3),顶点为D (4,-1),对称轴与直线BC 交于点E ,与x 轴交于点F .(1)求二次函数的解析式;(2)点M 在第一象限抛物线的对称轴上,若点C 在BM 的垂直平分线上,求点M 的坐标; (3)如图①,过点E 作对称轴的垂线在对称轴的右侧与抛物线交于点H ,x 轴上方的对称轴上是否存在一点P ,使以E ,H ,P 为顶点的三角形与EFB △相似,若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.17.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线2y ax x c =++经过()2,0A -,()0,4B 两点,直线3x =与x 轴交于点C .(1)求a ,c 的值;(2)经过点O 的直线分别与线段AB ,直线3x =交于点D ,E ,且BDO △与OCE △的面积相等,求直线DE 的解析式;(3)P 是抛物线上位于第一象限的一个动点,在线段OC 和直线3x =上是否分别存在点F ,G ,使B ,F ,G ,P 为顶点的四边形是以BF 为一边的矩形?若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.18.如图1,抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ,B (点A 在点B 左侧),与y 轴负半轴交于C ,且满足2OA OB OC ===.(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,D 为y 轴负半轴上一点,过D 作直线l 垂直于直线BC ,直线l 交抛物线于E ,F 两点(点E 在点F 右侧),若3DF DE =,求D 点坐标; (3)如图3,点M 为抛物线第二象限部分上一点,点M ,N 关于y 轴对称,连接MB ,P 为线段MB 上一点(不与M 、B 重合),过P 点作直线x t =(t 为常数)交x 轴于S ,交直线NB 于Q ,求QS PS -的值(用含t 的代数式表示).参考答案:1.(1)211266y x x =-- (2)()3,1D -或()8,10D -(3)点P 的坐标为()011-,或()10,.2.(1)265y x x =-+ (2)37,24⎛⎫- ⎪⎝⎭或()3,4-3.(1)243y x x =-+ (2)()2,2P 或()2,2-(3)存在符合条件的M 点,且坐标为:110(3M ,7)9-,()26,15M ,38(3M ,5)9-4.(1)213222y x x =--; (2)2m =;(3)存在,m 的值为0或3;(4)存在,M 点的坐标为()7,0或()1,0M 或⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭.5.(1)215322y x x =-++;(2)存在点P ,使得以C ,P ,G 为顶点的三角形与FBE 相似,CPG △与FBE 的相似比为2或25;(3)P 点横坐标55.6.(1)213222y x x =--+(2)点D 不在抛物线的对称轴上, (3)(2,3)-7.(1)2=23y x x --(2)函数的最大值为5,最小值为4- (3)存在,(0,9)P -或9(0,)5P -8.(1)13(2)2E , (2)①11(4)2D ,或23(4)6D ,;①47-9.(1)2=23y x x --(2)()0,0,()6,0,8,03⎛⎫ ⎪⎝⎭,10,03⎛⎫⎪⎝⎭(3)57,24⎛⎫- ⎪⎝⎭或者315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭10.(1)()2324y x =--,()2,0D (2)334y x =-或1534y x =- (3)证明见解析,定点坐标为423⎛⎫- ⎪⎝⎭,11.(1)A (﹣1,0),B (3,0),C (0,﹣3),对称轴为直线x =1(2)当t =32时,BF PE 最小,最小值为47,此时P (32,﹣154).(3)存在,点P 的坐标为(2,﹣3)12.(1)211322y x x =-++(2)22150322y x x x =-+≤<(),PM AP PQ BQ -的值为0 (3)m 、n 之间的数量关系是2(1)m n m +=≠13.(1)(32,258)答案第3页,共3页(3)(2,0)或(-5,0)或13,07⎛⎫ ⎪⎝⎭或2205⎛⎫- ⎪⎝⎭,14.(1)2=+43y x x --,(21)D , (2)111639⎛⎫ ⎪⎝⎭,- (3)(2,−2)或12,3⎛⎫ ⎪⎝⎭15.(1)234y x x =--+(2)(1,6)D -或(3,4)D -(3)(3,4)-或(0,4)或2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎫⎪⎪⎝⎭16.(1)21234y x x =-+(2)(4,3(3)存在P 1)或(4,1),使以E ,H ,P 为顶点的三角形与EFB △相似,17.(1)12a =-,4c = (2)23y x =- (3)存在这样的点F ,点F 的坐标为(2,0)或18.(1)2122y x =- (2)()0,1D -或190,8D ⎛⎫- ⎪⎝⎭, (3)24QS PS t -=-+。

二次函数解答压轴题(共62题)(学生版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

二次函数解答压轴题(共62题)(学生版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

二次函数解答压轴题(62题)一、解答题1(2023·浙江绍兴·统考中考真题)已知二次函数y=-x2+bx+c.(1)当b=4,c=3时,①求该函数图象的顶点坐标.②当-1≤x≤3时,求y的取值范围.(2)当x≤0时,y的最大值为2;当x>0时,y的最大值为3,求二次函数的表达式.2(2023·浙江·统考中考真题)已知点-m,0和3m,0在二次函数y=ax2+bx+3(a,b是常数,a≠0)的图像上.(1)当m=-1时,求a和b的值;(2)若二次函数的图像经过点A n,3且点A不在坐标轴上,当-2<m<-1时,求n的取值范围;(3)求证:b2+4a=0.3(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)在二次函数y=x2-2tx+3(t>0)中,(1)若它的图象过点(2,1),则t的值为多少?(2)当0≤x≤3时,y的最小值为-2,求出t的值:(3)如果A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上,且a<b<3,求m的取值范围.4(2023·浙江杭州·统考中考真题)设二次函数y=ax2+bx+1,(a≠0,b是实数).已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示:x⋯-10123⋯y⋯m1n1p⋯(1)若m=4,求二次函数的表达式;(2)写出一个符合条件的x的取值范围,使得y随x的增大而减小.(3)若在m、n、p这三个实数中,只有一个是正数,求a的取值范围.5(2023·湖南常德·统考中考真题)如图,二次函数的图象与x轴交于A-1,0,B5,0两点,与y轴交于点C,顶点为D.O为坐标原点,tan∠ACO=1 5.(1)求二次函数的表达式;(2)求四边形ACDB的面积;(3)P是抛物线上的一点,且在第一象限内,若∠ACO=∠PBC,求P点的坐标.6(2023·山东烟台·统考中考真题)如图,抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,AB=4.抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=kx-1交于点D,与x轴交于点E.(1)求直线AD及抛物线的表达式;(2)在抛物线上是否存在点M,使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点M的坐标;若不存在,请说明理由;(3)以点B为圆心,画半径为2的圆,点P为⊙B上一个动点,请求出PC+1PA的最小值.27(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图,二次函数y=x2-6x+8的图像与x轴分别交于点A,B(点A 在点B的左侧),直线l是对称轴.点P在函数图像上,其横坐标大于4,连接PA,PB,过点P作PM⊥l,垂足为M,以点M为圆心,作半径为r的圆,PT与⊙M相切,切点为T.(1)求点A,B的坐标;(2)若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等,且⊙M不经过点3,2,求PM长的取值范围.8(2023·山东东营·统考中考真题)如图,抛物线过点O0,0,矩形ABCD的边AB在线段,E10,0OE上(点B在点A的左侧),点C,D在抛物线上,设B t,0,当t=2时,BC=4.(1)求抛物线的函数表达式;(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形ABCD的面积时,求抛物线平移的距离.9(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+83x+c a≠0与x轴交于点A1,0和点B,与y轴交于点C0,-4.(1)求这条抛物线的函数解析式;(2)P是抛物线上一动点(不与点A,B,C重合),作PD⊥x轴,垂足为D,连接PC.①如图,若点P在第三象限,且tan∠CPD=2,求点P的坐标;②直线PD交直线BC于点E,当点E关于直线PC的对称点E 落在y轴上时,请直接写出四边形PECE 的周长.10(2023·四川自贡·统考中考真题)如图,抛物线y=-43x2+bx+4与x轴交于A(-3,0),B两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线解析式及B,C两点坐标;(2)以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,求点D坐标;(3)该抛物线对称轴上是否存在点E,使得∠ACE=45°,若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.11(2023·四川达州·统考中考真题)如图,抛物线y =ax 2+bx +c 过点A -1,0 ,B 3,0 ,C 0,3 .(1)求抛物线的解析式;(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点,求出△PBC 的最大面积及此时点P 的坐标;(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点,点N 为坐标平面内一点,是否存在以BC 为边,点B 、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.12(2023·四川泸州·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+2x+c与坐标轴分别相交于点A,B,C0,6三点,其对称轴为x=2.(1)求该抛物线的解析式;(2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点,直线AF分别与y轴,直线BC交于点D,E.①当CD=CE时,求CD的长;②若△CAD,△CDE,△CEF的面积分别为S1,S2,S3,且满足S1+S3=2S2,求点F的坐标.13(2023·全国·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+2x+c经过点A(0,1).点P,Q在此抛物线上,其横坐标分别为m,2m(m>0),连接AP,AQ.(1)求此抛物线的解析式.(2)当点Q与此抛物线的顶点重合时,求m的值.(3)当∠PAQ的边与x轴平行时,求点P与点Q的纵坐标的差.(4)设此抛物线在点A与点P之间部分(包括点A和点P)的最高点与最低点的纵坐标的差为h1,在点A与点Q之间部分(包括点A和点Q)的最高点与最低点的纵坐标的差为h2.当h2-h1=m时,直接写出m的值.14(2023·重庆·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,其中B3,0,C0,-3.(1)求该抛物线的表达式;(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点,过点P作PD⊥AC于点D,求PD的最大值及此时点P的坐标;(3)在(2)的条件下,将该抛物线向右平移5个单位,点E为点P的对应点,平移后的抛物线与y轴交于点F,Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标,并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来.15(2023·四川凉山·统考中考真题)如图,已知抛物线与x轴交于A1,0两点,与y轴交于和B-5,0点C.直线y=-3x+3过抛物线的顶点P.(1)求抛物线的函数解析式;(2)若直线x=m-5<m<0与抛物线交于点E,与直线BC交于点F.①当EF取得最大值时,求m的值和EF的最大值;②当△EFC是等腰三角形时,求点E的坐标.16(2023·四川成都·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+c经过点P (4,-3),与y轴交于点A(0,1),直线y=kx(k≠0)与抛物线交于B,C两点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形,求点B的坐标;(3)过点M(0,m)作y轴的垂线,交直线AB于点D,交直线AC于点E.试探究:是否存在常数m,使得OD⊥OE始终成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.17(2023·安徽·统考中考真题)在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,抛物线y=ax2+bx a≠0经过点A3,3,对称轴为直线x=2.(1)求a,b的值;(2)已知点B,C在抛物线上,点B的横坐标为t,点C的横坐标为t+1.过点B作x轴的垂线交直线OA于点D,过点C作x轴的垂线交直线OA于点E.(ⅰ)当0<t<2时,求△OBD与△ACE的面积之和;(ⅱ)在抛物线对称轴右侧,是否存在点B,使得以B,C,D,E为顶点的四边形的面积为32若存在,请求出点B的横坐标t的值;若不存在,请说明理由.18(2023·浙江金华·统考中考真题)如图,直线y =52x +5与x 轴,y 轴分别交于点A ,B ,抛物线的顶点P 在直线AB 上,与x 轴的交点为C ,D ,其中点C 的坐标为2,0 .直线BC 与直线PD 相交于点E .(1)如图2,若抛物线经过原点O .①求该抛物线的函数表达式;②求BEEC的值.(2)连接PC ,∠CPE 与∠BAO 能否相等?若能,求符合条件的点P 的横坐标;若不能,试说明理由.19(2023·湖南·统考中考真题)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,其中B1,0.,C0,3(1)求这个二次函数的表达式;(2)在二次函数图象上是否存在点P,使得S△PAC=S△ABC若存在,请求出P点坐标;若不存在,请说明理由;(3)点Q是对称轴l上一点,且点Q的纵坐标为a,当△QAC是锐角三角形时,求a的取值范围.20(2023·四川遂宁·统考中考真题)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,抛物线y =14x 2+bx +c 经过点O (0,0),对称轴过点B (2,0),直线l 过点C 2,-2 ,且垂直于y 轴.过点B 的直线l 1交抛物线于点M 、N ,交直线l 于点Q ,其中点M 、Q 在抛物线对称轴的左侧.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,当BM :MQ =3:5时,求点N 的坐标;(3)如图2,当点Q 恰好在y 轴上时,P 为直线l 1下方的抛物线上一动点,连接PQ 、PO ,其中PO 交l 1于点E ,设△OQE 的面积为S 1,△PQE 的面积为S 2.求S2S 1的最大值.21(2023·四川眉山·统考中考真题)在平面直角坐标系中,已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A -3,0 ,B 1,0 两点,与y 轴交于点C 0,3 ,点P 是抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的表达式;(2)当点P 在直线AC 上方的抛物线上时,连接BP 交AC 于点D .如图1.当PDDB的值最大时,求点P 的坐标及PDDB的最大值;(3)过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ,连接PC ,将△PCM 沿直线PC 翻折,当点M 的对应点M '恰好落在y 轴上时,请直接写出此时点M 的坐标.22(2023·江西·统考中考真题)综合与实践问题提出:某兴趣小组开展综合实践活动:在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,CD=2,动点P 以每秒1个单位的速度从C点出发,在三角形边上沿C→B→A匀速运动,到达点A时停止,以DP为边作正方形DPEF设点P的运动时间为ts,正方形DPEF的而积为S,探究S与t的关系(1)初步感知:如图1,当点P由点C运动到点B时,①当t=1时,S=.②S关于t的函数解析式为.(2)当点P由点B运动到点A时,经探究发现S是关于t的二次函数,并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息,求S关于t的函数解析式及线段AB的长.(3)延伸探究:若存在3个时刻t1,t2,t3(t1<t2<t3)对应的正方形DPEF的面积均相等.①t1+t2=;②当t3=4t1时,求正方形DPEF的面积.23(2023·新疆·统考中考真题)【建立模型】(1)如图1,点B 是线段CD 上的一点,AC ⊥BC ,AB ⊥BE ,ED ⊥BD ,垂足分别为C ,B ,D ,AB =BE .求证:△ACB ≌△BDE ;【类比迁移】(2)如图2,一次函数y =3x +3的图象与y 轴交于点A 、与x 轴交于点B ,将线段AB 绕点B 逆时针旋转90°得到BC 、直线AC 交x 轴于点D .①求点C 的坐标;②求直线AC 的解析式;【拓展延伸】(3)如图3,抛物线y =x 2-3x -4与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于C点,已知点Q (0,-1),连接BQ .抛物线上是否存在点M ,使得tan ∠MBQ =13,若存在,求出点M 的横坐标.24(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图1,抛物线y=-x2+bx与x轴交于点A,与直线y=-x交于点B4,-4在y轴上.点P从点B出发,沿线段BO方向匀速运动,运动到点O时停止.,点C0,-4(1)求抛物线y=-x2+bx的表达式;(2)当BP=22时,请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D,连接PC,OD,判断四边形OCPD 的形状,并说明理由.(3)如图2,点P从点B开始运动时,点Q从点O同时出发,以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动,点P停止运动时点Q也停止运动.连接BQ,PC,求CP+BQ的最小值.25(2023·四川乐山·统考中考真题)已知x 1,y 1 ,x 2,y 2 是抛物C 1:y =-14x 2+bx (b 为常数)上的两点,当x 1+x 2=0时,总有y 1=y 2(1)求b 的值;(2)将抛物线C 1平移后得到抛物线C 2:y =-14(x -m )2+1(m >0).探究下列问题:①若抛物线C 1与抛物线C 2有一个交点,求m 的取值范围;②设抛物线C 2与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,抛物线C 2的顶点为点E ,△ABC 外接圆的圆心为点F ,如果对抛物线C 1上的任意一点P ,在抛物线C 2上总存在一点Q ,使得点P 、Q 的纵坐标相等.求EF 长的取值范围.26(2023·内蒙古·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =-x 2+3x +1交y 轴于点A ,直线y =-13x +2交抛物线于B ,C 两点(点B 在点C 的左侧),交y 轴于点D ,交x 轴于点E .(1)求点D ,E ,C 的坐标;(2)F 是线段OE 上一点OF <EF ,连接AF ,DF ,CF ,且AF 2+EF 2=21.①求证:△DFC 是直角三角形;②∠DFC 的平分线FK 交线段DC 于点K ,P 是直线BC 上方抛物线上一动点,当3tan ∠PFK =1时,求点P 的坐标.27(2023·上海·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中,已知直线y=34x+6与x轴交于点A,y轴交于点B,点C在线段AB上,以点C为顶点的抛物线M:y=ax2+bx+c经过点B.(1)求点A,B的坐标;(2)求b,c的值;(3)平移抛物线M至N,点C,B分别平移至点P,D,联结CD,且CD∥x轴,如果点P在x轴上,且新抛物线过点B,求抛物线N的函数解析式.28(2023·江苏扬州·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中,已知点A在y轴正半轴上.(1)如果四个点0,0中恰有三个点在二次函数y=ax2(a为常数,且a≠0)的图象、-1,1、1,1、0,2上.①a=;②如图1,已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上,且AD⊥y轴,求菱形的边长;③如图2,已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上,点B、D在y轴的同侧,且点B在点D的左侧,设点B、D的横坐标分别为m、n,试探究n-m是否为定值.如果是,求出这个值;如果不是,请说明理由.(2)已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y=ax2(a为常数,且a>0)的图象上,点B在点D的左侧,设点B、D的横坐标分别为m、n,直接写出m、n满足的等量关系式.29(2023·湖南岳阳·统考中考真题)已知抛物线Q1:y=-x2+bx+c与x轴交于A-3,0,B两点,交y 轴于点C0,3.(1)请求出抛物线Q1的表达式.(2)如图1,在y轴上有一点D0,-1,点E在抛物线Q1上,点F为坐标平面内一点,是否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形?若存在,请求出点E,F的坐标;若不存在,请说明理由.(3)如图2,将抛物线Q1向右平移2个单位,得到抛物线Q2,抛物线Q2的顶点为K,与x轴正半轴交于点H,抛物线Q1上是否存在点P,使得∠CPK=∠CHK?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.30(2023·湖南永州·统考中考真题)如图1,抛物线y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 为常数)经过点F 0,5 ,顶点坐标为2,9 ,点P x 1,y 1 为抛物线上的动点,PH ⊥x 轴于H ,且x 1≥52.(1)求抛物线的表达式;(2)如图1,直线OP :y =y 1x 1x 交BF 于点G ,求S △BPG S △BOG的最大值;(3)如图2,四边形OBMF 为正方形,PA 交y 轴于点E ,BC 交FM 的延长线于C ,且BC ⊥BE ,PH =FC ,求点P 的横坐标.31(2023·山东枣庄·统考中考真题)如图,抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3)两点,并交x轴于另一点B,点M是抛物线的顶点,直线AM与轴交于点D.(1)求该抛物线的表达式;(2)若点H是x轴上一动点,分别连接MH,DH,求MH+DH的最小值;(3)若点P是抛物线上一动点,问在对称轴上是否存在点Q,使得以D,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.32(2023·湖北随州·统考中考真题)如图1,平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),B(2,0)和C(0,2),连接BC,点P(m,n)(m>0)为抛物线上一动点,过点P作PN⊥x轴交直线BC 于点M,交x轴于点N.(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式;(2)如图2,连接OM,当△OCM为等腰三角形时,求m的值;(3)当P点在运动过程中,在y轴上是否存在点Q,使得以O,P,Q为顶点的三角形与以B,C,N为顶点的三角形相似(其中点P与点C相对应),若存在,直接写出点P和点Q的坐标;若不存在,请说明理由.33(2023·四川内江·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于B 4,0 ,C -2,0 两点.与y 轴交于点A 0,-2 .(1)求该抛物线的函数表达式;(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点,过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ,过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ,求与12PK +PD 的最大值及此时点P 的坐标;(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ,使得△MAB 是以AB 为一条直角边的直角三角形:若存在,请求出点M 的坐标,若不存在,请说明理由.34(2023·湖南·统考中考真题)已知二次函数y =ax 2+bx +c a >0 .(1)若a =1,c =-1,且该二次函数的图像过点2,0 ,求b 的值;(2)如图所示,在平面直角坐标系Oxy 中,该二次函数的图像与x 轴交于点A x 1,0 ,B x 2,0 ,且x 1<0<x 2,点D 在⊙O 上且在第二象限内,点E 在x 轴正半轴上,连接DE ,且线段DE 交y 轴正半轴于点F ,∠DOF =∠DEO ,OF =32DF .①求证:DO EO=23.②当点E 在线段OB 上,且BE =1.⊙O 的半径长为线段OA 的长度的2倍,若4ac =-a 2-b 2,求2a +b 的值.35(2023·山西·统考中考真题)如图,二次函数y =-x 2+4x 的图象与x 轴的正半轴交于点A ,经过点A 的直线与该函数图象交于点B 1,3 ,与y 轴交于点C .(1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标;(2)点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点,过点P 作直线PE ⊥x 轴于点E ,与直线AB 交于点D ,设点P 的横坐标为m .①当PD =12OC 时,求m 的值;②当点P 在直线AB 上方时,连接OP ,过点B 作BQ ⊥x 轴于点Q ,BQ 与OP 交于点F ,连接DF .设四边形FQED 的面积为S ,求S 关于m 的函数表达式,并求出S 的最大值.36(2023·湖北武汉·统考中考真题)抛物线C1:y=x2-2x-8交x轴于A,B两点(A在B的左边),交y 轴于点C.(1)直接写出A,B,C三点的坐标;(2)如图(1),作直线x=t0<t<4,分别交x轴,线段BC,抛物线C1于D,E,F三点,连接CF.若△BDE 与△CEF相似,求t的值;(3)如图(2),将抛物线C1平移得到抛物线C2,其顶点为原点.直线y=2x与抛物线C2交于O,G两点,过OG的中点H作直线MN(异于直线OG)交抛物线C2于M,N两点,直线MO与直线GN交于点P.问点P是否在一条定直线上?若是,求该直线的解析式;若不是,请说明理由.37(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图,已知A(0,2),B(2,0).点E位于第二象限且在直线y=-2x 上,∠EOD=90°,OD=OE,连接AB,DE,AE,DB.(1)直接判断△AOB的形状:△AOB是三角形;(2)求证:△AOE≌△BOD;(3)直线EA交x轴于点C(t,0),t>2.将经过B,C两点的抛物线y1=ax2+bx-4向左平移2个单位,得到抛物线y2.①若直线EA与抛物线y1有唯一交点,求t的值;②若抛物线y2的顶点P在直线EA上,求t的值;③将抛物线y2再向下平移,2(t-1)2个单位,得到抛物线y3.若点D在抛物线y3上,求点D的坐标.38(2023·湖南郴州·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A1,0,与y,B4,0轴相交于点C.(1)求抛物线的表达式;(2)如图1,点P是抛物线的对称轴l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求PAPC的值;(3)如图2,取线段OC的中点D,在抛物线上是否存在点Q,使tan∠QDB=12若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.39(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A ,B (4,0)两点,与y 轴交于点C (0,2),点P 为第一象限抛物线上的点,连接CA ,CB ,PB ,PC .(1)直接写出结果;b =,c =,点A 的坐标为,tan ∠ABC =;(2)如图1,当∠PCB =2∠OCA 时,求点P 的坐标;(3)如图2,点D 在y 轴负半轴上,OD =OB ,点Q 为抛物线上一点,∠QBD =90°,点E ,F 分别为△BDQ 的边DQ ,DB 上的动点,QE =DF ,记BE +QF 的最小值为m .①求m 的值;②设△PCB 的面积为S ,若S =14m 2-k ,请直接写出k 的取值范围.40(2023·湖南·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+x+c经过点A-2,0和点B4,0,且与直线l:y=-x-1交于D、E两点(点D在点E的右侧),点M为直线l上的一动点,设点M 的横坐标为t.(1)求抛物线的解析式.(2)过点M作x轴的垂线,与拋物线交于点N.若0<t<4,求△NED面积的最大值.(3)抛物线与y轴交于点C,点R为平面直角坐标系上一点,若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形,请求出所有满足条件的点R的坐标.41(2023·四川·统考中考真题)如图1,在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x 轴交于点A-2,0,B4,0,与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)已知E为抛物线上一点,F为抛物线对称轴l上一点,以B,E,F为顶点的三角形是等腰直角三角形,且∠BFE=90°,求出点F的坐标;(3)如图2,P为第一象限内抛物线上一点,连接AP交y轴于点M,连接BP并延长交y轴于点N,在点P运动过程中,OM+12ON是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.42(2023·山东聊城·统考中考真题)如图①,抛物线y=ax2+bx-9与x轴交于点A-3,0,,B6,0与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是x轴上任意一点.(1)求抛物线的表达式;(2)点Q在抛物线上,若以点A,C,P,Q为顶点,AC为一边的四边形为平行四边形时,求点Q的坐标;(3)如图②,当点P m,0从点A出发沿x轴向点B运动时(点P与点A,B不重合),自点P分别作PE∥BC,交AC于点E,作PD⊥BC,垂足为点D.当m为何值时,△PED面积最大,并求出最大值.43(2023·湖北荆州·统考中考真题)已知:y关于x的函数y=a-2x+b.x2+a+1(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点,且a=4b,则a的值是;(2)如图,若函数的图象为抛物线,与x轴有两个公共点A-2,0,B4,0,并与动直线l:x=m(0<m<4)交于点P,连接PA,PB,PC,BC,其中PA交y轴于点D,交BC于点E.设△PBE的面积为S1,△CDE 的面积为S2.①当点P为抛物线顶点时,求△PBC的面积;②探究直线l在运动过程中,S1-S2是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由.44(2023·福建·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A1,0,B3,0两点,M为抛物线的顶点,C,D为抛物线上不与A,B重合的相异两点,记AB中点为E,直线AD,BC的交点为P.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若C4,3,D m,-3 4,且m<2,求证:C,D,E三点共线;(3)小明研究发现:无论C,D在抛物线上如何运动,只要C,D,E三点共线,△AMP,△MEP,△ABP中必存在面积为定值的三角形.请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积,不必说明理由.45(2023·山东·统考中考真题)如图,直线y=-x+4交x轴于点B,交y轴于点C,对称轴为x=32的抛物线经过B,C两点,交x轴负半轴于点A.P为抛物线上一动点,点P的横坐标为m,过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M,作x轴的垂线PN,垂足为N,直线MN交y轴于点D.(1)求抛物线的解析式;(2)若0<m<32,当m为何值时,四边形CDNP是平行四边形?(3)若m<32,设直线MN交直线BC于点E,是否存在这样的m值,使MN=2ME?若存在,求出此时m 的值;若不存在,请说明理由.46(2023·山东·统考中考真题)已知抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C 0,4 ,其对称轴为x =-32.(1)求抛物线的表达式;(2)如图1,点D 是线段OC 上的一动点,连接AD ,BD ,将△ABD 沿直线AD 翻折,得到△AB D ,当点B 恰好落在抛物线的对称轴上时,求点D 的坐标;(3)如图2,动点P 在直线AC 上方的抛物线上,过点P 作直线AC 的垂线,分别交直线AC ,线段BC 于点E ,F ,过点F 作FG ⊥x 轴,垂足为G ,求FG +2FP 的最大值.47(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线C 1:y =x 2上有两点A 、B ,其中点A 的横坐标为-2,点B 的横坐标为1,抛物线C 2:y =-x 2+bx +c 过点A 、B .过A 作AC ∥x 轴交抛物线C 1另一点为点C .以AC 、12AC 长为边向上构造矩形ACDE .(1)求抛物线C 2的解析式;(2)将矩形ACDE 向左平移m 个单位,向下平移n 个单位得到矩形A C D E ,点C 的对应点C 落在抛物线C 1上.①求n 关于m 的函数关系式,并直接写出自变量m 的取值范围;②直线A E 交抛物线C 1于点P ,交抛物线C 2于点Q .当点E 为线段PQ 的中点时,求m 的值;③抛物线C 2与边E D 、A C 分别相交于点M 、N ,点M 、N 在抛物线C 2的对称轴同侧,当MN =2103时,求点C 的坐标.48(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A-2,0.点D为线段BC上的一动点. 和点B6,0两点,与y轴交于点C0,6(1)求二次函数的表达式;(2)如图1,求△AOD周长的最小值;(3)如图2,过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P,连接PA,PB,记△PAD与△PBD的面积和为S,当S取得最大值时,求点P的坐标,并求出此时S的最大值.49(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图,抛物线y1=ax2+bx+c的图象经过A(-6,0),B(-2,0),C (0,6)三点,且一次函数y=kx+6的图象经过点B.(1)求抛物线和一次函数的解析式.(2)点E,F为平面内两点,若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形,且点E在点F的左侧.这样的E,F两点是否存在?如果存在,请直接写出所有满足条件的点E的坐标:如果不存在,请说明理由.(3)将抛物线y1=ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2,此抛物线的图象与x轴交于M,N两点(M点在N点左侧).点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方.已知点P的横坐标为PD有最大值,最大值是多少?m.过点P作PD⊥NC于点D.求m为何值时,CD+1250(2023·四川南充·统考中考真题)如图1,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A-1,0,B3,0两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)点P在抛物线上,点Q在x轴上,以B,C,P,Q为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标;(3)如图2,抛物线顶点为D,对称轴与x轴交于点E,过点K1,3的直线(直线KD除外)与抛物线交于G,H两点,直线DG,DH分别交x轴于点M,N.试探究EM⋅EN是否为定值,若是,求出该定值;若不是,说明理由.51(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A-4,0,且经、B2,0过点C-2,6.(1)求抛物线的表达式;(2)在x轴上方的抛物线上任取一点N,射线AN、BN分别与抛物线的对称轴交于点P、Q,点Q关于x轴的对称点为Q ,求△APQ 的面积;(3)点M是y轴上一动点,当∠AMC最大时,求M的坐标.52(2023·四川广安·统考中考真题)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A,B,交y轴于点C,点B的坐标为1,0,对称轴是直线x=-1,点P是x轴上一动点,PM⊥x轴,交直线AC于点M,交抛物线于点N.(1)求这个二次函数的解析式.(2)若点P在线段AO上运动(点P与点A、点O不重合),求四边形ABCN面积的最大值,并求出此时点P 的坐标.(3)若点P在x轴上运动,则在y轴上是否存在点Q,使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.。

中考压轴题训练之二次函数

中考压轴题训练之二次函数

中考压轴题训练之二次函数1.如图,抛物线L:y=ax2﹣2x(a≠0)经过原点和点A(﹣4,0),顶点为B,抛物线L'与抛物线L关于原点O对称.(1)求抛物线L的函数表达式及点B的坐标;(2)已知点A、B在抛物线L'上的对应点分别为A'、B',L'的对称轴交x轴于点C,则抛物线L'的对称轴上是否存在点P,使得以P、B'、A'为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.2.抛物线C:y=ax2+bx+c(a≠0),过点A(﹣1,0)、B(5,0),并交y轴于点C(0,﹣).(1)求抛物线C的表达式;(2)已知抛物线y=ax2+bx+c上的任意一点到定点Q(2,﹣)的距离与到直线y=﹣的距离相等,若点M为抛物线C上的一动点,P(3,4)为平面内一点,求MP+MQ 的最小值,并求出此时点M的坐标.(3)在此抛物线对称轴上是否存在一点D,使以A、P、D三点构成的三角形为直角三角形?若存在,求点D的坐标;若不存在,请说明理由.3.已知在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,线段AB的两个端点的坐标分别为A(0,2),B(﹣1,0),点C为线段AB的中点,现将线段BA绕点B按逆时针方向旋转90°得到线段BD,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)、经过点D.(1)如图1,若该抛物线经过原点O,且a=﹣1.①求点D的坐标及该抛物线的解析式;②连接CD,问:在抛物线上是否存在点P,使得∠POB与∠BCD互余?若存在,请求出所有满足条件的点P的坐标,若不存在,请说明理由.(2)如图2,若该抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点E(﹣1,1),点Q在抛物线上,且满足∠QOB与∠BCD互余,若符合条件的Q点的个数是4个,请直接写出a的取值范围.4.已知抛物线C:y=ax2+bx+c经过点(h,4),且对于任意实数x,不等式ax2+bx+c≤4恒成立.(1)若抛物线与x轴的两个交点为(x1,0),(4﹣x1,0).①求抛物线的顶点坐标;②若抛物线经过原点时,且当m≤x≤m+2时,二次函数y=ax2+bx+c的最大值为3m,求m的值.(2)若直线l:y=kx+b'经过抛物线的顶点P,Q为抛物线与直线l另一个交点,当﹣4≤k≤﹣2时,线段PQ(不含端点P、Q)至少存在两个横坐标为整数的点,求a的取值范围.5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接PC.(1)求直线BC的解析式;(2)抛物线对称轴与BC交于点D,点P为直线BC下方对称轴右侧抛物线上的一点,连接PB,PD.当△BDP的面积最大时,Q从点P出发,先沿适当的路径运动到y轴上的点M处,再沿适当的路径运动到抛物线对称轴上点N处,最后沿适当的路径运动到点B处停止.求点Q经过的最短路径的长;(3)将△BOC绕点O顺时针旋转60°得到△B'OC',点B,C的对应点分别为B',C′,点E为直线BC上一点,连接B'E,C'E.当△B'C'E为等腰三角形时,求符合条件的点E 的坐标.6.如图,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=5,OC=3.(1)在AB边上取一点D,将纸片沿OD翻折,使点A落在BC边上的点E处,求点D,E的坐标;(2)若过点D,E的抛物线与x轴相交于点F(﹣5,0),求抛物线的解析式和对称轴方程;(3)若(2)中的抛物线与y轴交于点H,在抛物线上是否存在点P,使△PFH的内心在坐标轴上?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.(4)若(2)中的抛物线与y轴相交于点H,点Q在线段OD上移动,作直线HQ,当点Q移动到什么位置时,O,D两点到直线HQ的距离之和最大?请直接写出此时点Q 的坐标及直线HQ的解析式.7.新定义的函数中,在y关于x的函数中,若0≤x≤2时,函数y有最大值和最小值,分别记y max和y min,且满足,则我们称函数y为“最值型函数”.(1)写出实数a的其中一个值,使得函数y=x+a为“最值型函数”,并说明理由;(2)判断函数y=x2﹣2x+3是否为“最值型函数”,并说明理由;(3)是否存在实数m使得函数y=x2﹣2mx+1是“最值型函数”,若存在则求出满足条件的m的取值范围,若不存在说明理由.。

初中数学二次函数压轴题集锦(50道含解析)

初中数学二次函数压轴题集锦(50道含解析)

1.如图1,已知二次函数y=ax2+x+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C 坐标为(8,0),连接AB、AC.(1)请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式;(2)判断△ABC的形状,并说明理由;(3)若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N的坐标;(4)如图2,若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求此时点N的坐标.2.对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的“闭距离“,记作d(M,N).已知点A(﹣2,6),B(﹣2,﹣2),C(6,﹣2).(1)求d(点O,△ABC);(2)记函数y=kx(﹣1≤x≤1,k≠0)的图象为图形G.若d(G,△ABC)=1,直接写出k的取值范围;(3)⊙T的圆心为T(t,0),半径为1.若d(⊙T,△ABC)=1,直接写出t的取值范围.3.如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=﹣x2+4x上,且横坐标为1,点B与点A关于抛物线的对称轴对称,直线AB与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,点E的坐标为(1,1).(1)求线段AB的长;(2)点P为线段AB上方抛物线上的任意一点,过点P作AB的垂线交AB于点H,点F为y轴上一点,当△PBE的面积最大时,求PH+HF+FO的最小值;(3)在(2)中,PH+HF+FO取得最小值时,将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′,过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q,点R为抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点S,使以点D,Q,R,S为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点S的坐标,若不存在,请说明理由.4.如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x﹣5经过点B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)过点A的直线交直线BC于点M.①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标.5.如图,在平面直角坐标系xOy中,以直线x=对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l:y=kx+m(k>0)交于A(1,1),B两点,与y轴交于C(0,5),直线l与y轴交于点D.(1)求抛物线的函数表达式;(2)设直线l与抛物线的对称轴的交点为F,G是抛物线上位于对称轴右侧的一点,若=,且△BCG与△BCD面积相等,求点G的坐标;(3)若在x轴上有且仅有一点P,使∠APB=90°,求k的值.6.如图,抛物线y=ax2+bx(a<0)过点E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边),点C,D在抛物线上.设A(t,0),当t=2时,AD=4.(1)求抛物线的函数表达式.(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.7.抛物线L:y=﹣x2+bx+c经过点A(0,1),与它的对称轴直线x=1交于点B.(1)直接写出抛物线L的解析式;(2)如图1,过定点的直线y=kx﹣k+4(k<0)与抛物线L交于点M、N.若△BMN的面积等于1,求k的值;(3)如图2,将抛物线L向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L1,抛物线L1与y轴交于点C,过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D.F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点,P为线段OC上一点.若△PCD与△POF相似,并且符合条件的点P恰有2个,求m的值及相应点P的坐标.8.在平面直角坐标系中,点O(0,0),点A(1,0).已知抛物线y=x2+mx﹣2m(m是常数),顶点为P.(Ⅰ)当抛物线经过点A时,求顶点P的坐标;(Ⅱ)若点P在x轴下方,当∠AOP=45°时,求抛物线的解析式;(Ⅲ)无论m取何值,该抛物线都经过定点H.当∠AHP=45°时,求抛物线的解析式.9.如图1,四边形OABC是矩形,点A的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,6),点P从点O出发,沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发,同时点Q从点A出发,沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动,当点P与点A重合时运动停止.设运动时间为t秒.(1)当t=2时,线段PQ的中点坐标为;(2)当△CBQ与△PAQ相似时,求t的值;(3)当t=1时,抛物线y=x2+bx+c经过P,Q两点,与y轴交于点M,抛物线的顶点为K,如图2所示,问该抛物线上是否存在点D,使∠MQD=∠MKQ?若存在,求出所有满足条件的D的坐标;若不存在,说明理由.10.如图①,在平面直角坐标系中,圆心为P(x,y)的动圆经过点A(1,2)且与x轴相切于点B.(1)当x=2时,求⊙P的半径;(2)求y关于x的函数解析式,请判断此函数图象的形状,并在图②中画出此函数的图象;(3)请类比圆的定义(圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合),给(2)中所得函数图象进行定义:此函数图象可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合.(4)当⊙P的半径为1时,若⊙P与以上(2)中所得函数图象相交于点C、D,其中交点D(m,n)在点C 的右侧,请利用图②,求cos∠APD的大小.11.已知顶点为A抛物线经过点,点.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,直线AB与x轴相交于点M,y轴相交于点E,抛物线与y轴相交于点F,在直线AB上有一点P,若∠OPM=∠MAF,求△POE的面积;(3)如图2,点Q是折线A﹣B﹣C上一点,过点Q作QN∥y轴,过点E作EN∥x轴,直线QN与直线EN相交于点N,连接QE,将△QEN沿QE翻折得到△QEN1,若点N1落在x轴上,请直接写出Q点的坐标.12.在平面直角坐标系xOy中(如图).已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣1,0)和点B(0,),顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处.(1)求这条抛物线的表达式;(2)求线段CD的长;(3)将抛物线平移,使其顶点C移到原点O的位置,这时点P落在点E的位置,如果点M在y轴上,且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐标.13.如图1,图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m(k<0)与y2=ax2+b(a>0)的部分图象围成的封闭图形.已知A(1,0)、B(0,1)、D(0,﹣3).(1)直接写出这两个二次函数的表达式;(2)判断图形ABCD是否存在内接正方形(正方形的四个顶点在图形ABCD上),并说明理由;(3)如图2,连接BC,CD,AD,在坐标平面内,求使得△BDC与△ADE相似(其中点C与点E是对应顶点)的点E的坐标14.小贤与小杰在探究某类二次函数问题时,经历了如下过程:求解体验:(1)已知抛物线y=﹣x2+bx﹣3经过点(﹣1,0),则b=,顶点坐标为,该抛物线关于点(0,1)成中心对称的抛物线表达式是.抽象感悟:我们定义:对于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),以y轴上的点M(0,m)为中心,作该抛物线关于点M对称的抛物线y′,则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”,点M为“衍生中心”.(2)已知抛物线y=﹣x2﹣2x+5关于点(0,m)的衍生抛物线为y′,若这两条抛物线有交点,求m的取值范围.问题解决:(3)已知抛物线y=ax2+2ax﹣b(a≠0)①若抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2﹣2bx+a2(b≠0),两抛物线有两个交点,且恰好是它们的顶点,求a、b的值及衍生中心的坐标;②若抛物线y关于点(0,k+12)的衍生抛物线为y1,其顶点为A1;关于点(0,k+22)的衍生抛物线为y2,其顶点为A2;…;关于点(0,k+n2)的衍生抛物线为y n,其顶点为A n…(n为正整数).求A n A n+1的长(用含n的式子表示).15.如图,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)过点A(,﹣3)和点B(3,0).过点A作直线AC∥x轴,交y轴于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线上取一点P,过点P作直线AC的垂线,垂足为D.连接OA,使得以A,D,P为顶点的三角形与△AOC相似,求出对应点P的坐标;=S△AOQ?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.(3)抛物线上是否存在点Q,使得S△AOC16.如图,已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A,B(点A位于点B的左侧),C为顶点,直线y=x+m经过点A,与y轴交于点D.(1)求线段AD的长;(2)平移该抛物线得到一条新拋物线,设新抛物线的顶点为C′.若新抛物线经过点D,并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD,求新抛物线对应的函数表达式.17.如图①,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+3经过点A(﹣1,0)、B(3,0)两点,且与y 轴交于点C.(1)求抛物线的表达式;(2)如图②,用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴,并沿x轴左右平移,直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点(点P在点Q的左侧),连接PQ,在线段PQ上方抛物线上有一动点D,连接DP、DQ.(1)若点P的横坐标为﹣,求△DPQ面积的最大值,并求此时点D的坐标;(Ⅱ)直尺在平移过程中,△DPQ面积是否有最大值?若有,求出面积的最大值;若没有,请说明理由.18.已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2).(1)若点(﹣,0)也在该抛物线上,求a,b满足的关系式;(2)若该抛物线上任意不同两点M(x1,y1),N(x2,y2)都满足:当x1<x2<0时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0;当0<x1<x2时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0.以原点O为心,OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B,C,且△ABC有一个内角为60°.①求抛物线的解析式;②若点P与点O关于点A对称,且O,M,N三点共线,求证:PA平分∠MPN.19.如图,在平面直角坐标系中,∠ACB=90°,OC=2OB,tan∠ABC=2,点B的坐标为(1,0).抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点,过点P作PD垂直x轴于点D,交线段AB于点E,使PE=DE.①求点P的坐标;②在直线PD上是否存在点M,使△ABM为直角三角形?若存在,求出符合条件的所有点M的坐标;若不存在,请说明理由.20.我们不妨约定:对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”.(1)①在“平行四边形,矩形,菱形,正方形”中,一定是“十字形”的有;②在凸四边形ABCD中,AB=AD且CB≠CD,则该四边形“十字形”.(填“是”或“不是”)(2)如图1,A,B,C,D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点,AC与BD交于点E,∠ADB ﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD,当6≤AC2+BD2≤7时,求OE的取值范围;(3)如图2,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a>0,c<0)与x轴交于A,C两点(点A在点C的左侧),B是抛物线与y轴的交点,点D的坐标为(0,﹣ac),记“十字形”ABCD 的面积为S,记△AOB,△COD,△AOD,△BOC的面积分别为S1,S2,S3,S4.求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式;①=;②=;③“十字形”ABCD的周长为12.21.如图1,抛物线y 1=ax 2﹣x +c 与x 轴交于点A 和点B (1,0),与y 轴交于点C (0,),抛物线y 1的顶点为G ,GM ⊥x 轴于点M .将抛物线y 1平移后得到顶点为B 且对称轴为直线l 的抛物线y 2.(1)求抛物线y 2的解析式;(2)如图2,在直线l 上是否存在点T ,使△TAC 是等腰三角形?若存在,请求出所有点T 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)点P 为抛物线y 1上一动点,过点P 作y 轴的平行线交抛物线y 2于点Q ,点Q 关于直线l 的对称点为R ,若以P ,Q ,R 为顶点的三角形与△AMG 全等,求直线PR 的解析式.22.如图,已知直线y=﹣2x +4分别交x 轴、y 轴于点A 、B ,抛物线过A ,B 两点,点P 是线段AB 上一动点,过点P 作PC ⊥x 轴于点C ,交抛物线于点D .(1)若抛物线的解析式为y=﹣2x 2+2x +4,设其顶点为M ,其对称轴交AB 于点N .①求点M 、N 的坐标;②是否存在点P ,使四边形MNPD 为菱形?并说明理由;(2)当点P 的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B 、P 、D 为顶点的三角形与△AOB 相似?若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.23.如图,抛物线y=ax 2+bx 经过△OAB 的三个顶点,其中点A (1,),点B (3,﹣),O 为坐标原点.(1)求这条抛物线所对应的函数表达式;(2)若P (4,m ),Q (t ,n )为该抛物线上的两点,且n <m ,求t 的取值范围;(3)若C 为线段AB 上的一个动点,当点A ,点B 到直线OC 的距离之和最大时,求∠BOC 的大小及点C 的坐标.24.如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx﹣1经过点A(﹣2,1)和点B(﹣1,﹣1),抛物线C2:y=2x2+x+1,动直线x=t与抛物线C1交于点N,与抛物线C2交于点M.(1)求抛物线C1的表达式;(2)直接用含t的代数式表示线段MN的长;(3)当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时,求t的值;(4)在(3)的条件下,设抛物线C1与y轴交于点P,点M在y轴右侧的抛物线C2上,连接AM交y轴于点K,连接KN,在平面内有一点Q,连接KQ和QN,当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时,请直接写出点Q的坐标.25.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1),如图,直线y=x 与抛物线交于A、B两点,直线l为y=﹣1.(1)求抛物线的解析式;(2)在l上是否存在一点P,使PA+PB取得最小值?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)知F(x0,y0)为平面内一定点,M(m,n)为抛物线上一动点,且点M到直线l的距离与点M到点F 的距离总是相等,求定点F的坐标.26.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(﹣4,0)、B(2,0),交y轴于点C (0,6),在y轴上有一点E(0,﹣2),连接AE.(1)求二次函数的表达式;(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点,求△ADE面积的最大值;(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使△AEP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有P点的坐标,若不存在请说明理由.27.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣4,0),B(2,0),与y轴交于点C(0,4),线段BC的中垂线与对称轴l交于点D,与x轴交于点F,与BC交于点E,对称轴l与x轴交于点H.(1)求抛物线的函数表达式;(2)求点D的坐标;(3)点P为x轴上一点,⊙P与直线BC相切于点Q,与直线DE相切于点R.求点P的坐标;(4)点M为x轴上方抛物线上的点,在对称轴l上是否存在一点N,使得以点D,P,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,则直接写出N点坐标;若不存在,请说明理由.28.如图,抛物线y=ax2+bx(a≠0)交x轴正半轴于点A,直线y=2x经过抛物线的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x=2,交x轴于点B.(1)求a,b的值.(2)P是第一象限内抛物线上的一点,且在对称轴的右侧,连接OP,BP.设点P的横坐标为m,△OBP的面积为S,记K=.求K关于m的函数表达式及K的范围.29.抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A,B(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)如图1,连接CD,求线段CD的长;(2)如图2,点P是直线AC上方抛物线上一点,PF⊥x轴于点F,PF与线段AC交于点E;将线段OB沿x轴左右平移,线段OB的对应线段是O1B1,当PE+EC的值最大时,求四边形PO1B1C周长的最小值,并求出对应的点O1的坐标;(3)如图3,点H是线段AB的中点,连接CH,将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置,再将△O2B2C 绕点B2旋转一周,在旋转过程中,点O2,C的对应点分别是点O3,C1,直线O3C1分别与直线AC,x轴交于点M,N.那么,在△O2B2C的整个旋转过程中,是否存在恰当的位置,使△AMN是以MN为腰的等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的线段O2M30.综合与探究如图,抛物线y=x﹣4与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m,过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交BC于点Q,过点P作PE∥AC交x轴于点E,交BC于点F.(1)求A,B,C三点的坐标;(2)试探究在点P运动的过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请直接写出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由;(3)请用含m的代数式表示线段QF的长,并求出m为何值时QF有最大值.31.如图,二次函数y=﹣+bx+2的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点A的坐标为(﹣4,0),P是抛物线上一点(点P与点A、B、C不重合).(1)b=,点B的坐标是;(2)设直线PB与直线AC相交于点M,是否存在这样的点P,使得PM:MB=1:2?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由;(3)连接AC、BC,判断∠CAB和∠CBA的数量关系,并说明理由.32A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点D,过其顶点C作直线CP⊥x轴,垂足为点P,连接AD、BC.(1)求点A、B、D的坐标;(2)若△AOD与△BPC相似,求a的值;(3)点D、O、C、B能否在同一个圆上?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.33.如图,已知二次函数y=ax2﹣(2a﹣)x+3的图象经过点A(4,0),与y轴交于点B.在x轴上有一动点C(m,0)(0<m<4),过点C作x轴的垂线交直线AB于点E,交该二次函数图象于点D.(1)求a的值和直线AB的解析式;(2)过点D作DF⊥AB于点F,设△ACE,△DEF的面积分别为S1,S2,若S1=4S2,求m的值;(3)点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点,点G是线段AB上的动点,当四边形DEGH是平行四边形,且▱DEGH周长取最大值时,求点G的坐标.34.已知,点M为二次函数y=﹣(x﹣b)2+4b+1图象的顶点,直线y=mx+5分别交x轴正半轴,y轴于点A,B.(1)判断顶点M是否在直线y=4x+1上,并说明理由.(2)如图1,若二次函数图象也经过点A,B,且mx+5>﹣(x﹣b)2+4b+1,根据图象,写出x的取值范围.(3)如图2,点A坐标为(5,0),点M在△AOB内,若点C(,y1),D(,y2)都在二次函数图象上,试比较y1与y2的大小.35.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A,交x轴于点B(﹣5,0)和点C(1,0),过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.(1)求此抛物线的表达式;(2)点E是抛物线上一点,且点E关于x轴的对称点在直线AD上,求△EAD的面积;(3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点,当点P运动到某一位置时,△ABP的面积最大,求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积.36.已知抛物线F:y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O,且与x轴另一交点为(﹣,0).(1)求抛物线F的解析式;(2)如图1,直线l:y=x+m(m>0)与抛物线F相交于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)(点A在第二象限),求y2﹣y1的值(用含m的式子表示);(3)在(2)中,若m=,设点A′是点A关于原点O的对称点,如图2.①判断△AA′B的形状,并说明理由;②平面内是否存在点P,使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.37.直线y=﹣x+3交x轴于点A,交y轴于点B,顶点为D的抛物线y=﹣x2+2mx﹣3m经过点A,交x 轴于另一点C,连接BD,AD,CD,如图所示.(1)直接写出抛物线的解析式和点A,C,D的坐标;(2)动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动,同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动,当其中一个点到达终点停止运动时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为t 秒.PQ交线段AD于点E.①当∠DPE=∠CAD时,求t的值;②过点E作EM⊥BD,垂足为点M,过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N,当PN=EM时,求t的值.38.如图1,在平面直角坐标系中,直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点,其中A(m,0)、B(4,n),该抛物线与y轴交于点C,与x轴交于另一点D.(1)求m、n的值及该抛物线的解析式;(2)如图2,若点P为线段AD上的一动点(不与A、D重合),分别以AP、DP为斜边,在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN,连接MN,试确定△MPN面积最大时P点的坐标;(3)如图3,连接BD、CD,在线段CD上是否存在点Q,使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.39.如图,点A,B,C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5(其中﹣<a<0)上,AB∥x轴,∠ABC=135°,且AB=4.(1)填空:抛物线的顶点坐标为(用含m的代数式表示);(2)求△ABC的面积(用含a的代数式表示);(3)若△ABC的面积为2,当2m﹣5≤x≤2m﹣2时,y的最大值为2,求m的值.40.如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知点A和点B的坐标分别为A(﹣2,0),B(0,﹣6),将Rt △AOB绕点O按顺时针方向分别旋转90°,180°得到Rt△A1OC,Rt△EOF.抛物线C1经过点C,A,B;抛物线C2经过点C,E,F.(1)点C的坐标为,点E的坐标为;抛物线C1的解析式为.抛物线C2的解析式为;(2)如果点P(x,y)是直线BC上方抛物线C1上的一个动点.①若∠PCA=∠ABO时,求P点的坐标;②如图2,过点P作x轴的垂线交直线BC于点M,交抛物线C2于点N,记h=PM+NM+BM,求h与x的函数关系式,当﹣5≤x≤﹣2时,求h的取值范围.41.如图,抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3),D是抛物线的顶点,E是线段AB的中点.(1)求抛物线的解析式,并写出D点的坐标;(2)F(x,y)是抛物线上的动点:①当x>1,y>0时,求△BDF的面积的最大值;②当∠AEF=∠DBE时,求点F的坐标.42.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的对称中心为坐标原点O,AD⊥y轴于点E(点A在点D的左侧),经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1(x≥0)的图象记为G1,函数y=﹣x2﹣mx﹣1(x<0)的图象记为G2,其中m是常数,图象G1、G2合起来得到的图象记为G.设矩形ABCD的周长为L.(1)当点A的横坐标为﹣1时,求m的值;(2)求L与m之间的函数关系式;(3)当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时,求L的值;(4)设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0,当≤y0≤9时,直接写出L的取值范围.43.已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2),且抛物线上任意不同两点M(x1,y1),N(x2,y2)都满足:当x1<x2<0时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0;当0<x1<x2时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0.以原点O为圆心,OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B,C,且B在C的左侧,△ABC有一个内角为60°.(1)求抛物线的解析式;(2)若MN与直线y=﹣2x平行,且M,N位于直线BC的两侧,y1>y2,解决以下问题:①求证:BC平分∠MBN;②求△MBC外心的纵坐标的取值范围.44.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,B点坐标为(4,0),与y轴交于点C(0,4).(1)求抛物线的解析式;(2)点P在x轴下方的抛物线上,过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求PE+EF 的最大值;(3)点D为抛物线对称轴上一点.①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时,直接写出点D的坐标;②若△BCD是锐角三角形,直接写出点D的纵坐标n的取值范围.45.如图1,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(﹣4,0),B(1,0)两点,过点B的直线y=kx+分别与y 轴及抛物线交于点C,D.(1)求直线和抛物线的表达式;(2)动点P从点O出发,在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动,设运动时间为t秒,当t为何值时,△PDC为直角三角形?请直接写出所有满足条件的t的值;(3)如图2,将直线BD沿y轴向下平移4个单位后,与x轴,y轴分别交于E,F两点,在抛物线的对称轴上是否存在点M,在直线EF上是否存在点N,使DM+MN的值最小?若存在,求出其最小值及点M,N的坐标;若不存在,请说明理由.46.如图,已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A(﹣3,0)和点B(1,0),交y轴于点C,过点C作CD∥x轴,交抛物线于点D.(1)求抛物线的解析式;(2)若直线y=m(﹣3<m<0)与线段AD、BD分别交于G、H两点,过G点作EG⊥x轴于点E,过点H 作HF⊥x轴于点F,求矩形GEFH的最大面积;(3)若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分,面积分别为S1,S2,且S1:S2=4:5,求k的值.47.如图,抛物线顶点P(1,4),与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A,B.(1)求抛物线的解析式.(2)Q是抛物线上除点P外一点,△BCQ与△BCP的面积相等,求点Q的坐标.(3)若M,N为抛物线上两个动点,分别过点M,N作直线BC的垂线段,垂足分别为D,E.是否存在点M,N使四边形MNED为正方形?如果存在,求正方形MNED的边长;如果不存在,请说明理由.48.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,且抛物线与x轴交于A、B两点,与y 轴交于C点,其中A(1,0),C(0,3).(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标;(3)设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.49.在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C(0,2)和点D(4,﹣2).点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点.(1)求二次函数的解析式及点E的坐标.(2)如图①,若点M是二次函数图象上的点,且在直线CE的上方,连接MC,OE,ME.求四边形COEM 面积的最大值及此时点M的坐标.(3)如图②,经过A、B、C三点的圆交y轴于点F,求点F的坐标.50.如图,抛物线y=a(x﹣1)(x﹣3)(a>0)与x轴交于A、B两点,抛物线上另有一点C在x轴下方,且使△OCA∽△OBC.(1)求线段OC的长度;(2)设直线BC与y轴交于点M,点C是BM的中点时,求直线BM和抛物线的解析式;(3)在(2)的条件下,直线BC下方抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABPC面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.答案解析一.解答题(共50小题)1.如图1,已知二次函数y=ax2+x+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C 坐标为(8,0),连接AB、AC.(1)请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式;(2)判断△ABC的形状,并说明理由;(3)若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N的坐标;(4)如图2,若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求此时点N的坐标.【分析】(1)根据待定系数法即可求得;(2)根据抛物线的解析式求得B的坐标,然后根据勾股定理分别求得AB2=20,AC2=80,BC10,然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形.(3)分别以A、C两点为圆心,AC长为半径画弧,与x轴交于三个点,由AC的垂直平分线与x轴交于一个点,即可求得点N的坐标;(4)设点N的坐标为(n,0),则BN=n+2,过M点作MD⊥x轴于点D,根据三角形相似对应边成比例求=S△ABN﹣S△BMN得MD=(n+2),然后根据S△AMN得出关于n的二次函数,根据函数解析式求得即可.【解答】解:(1)∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),∴,解得.∴抛物线表达式:y=﹣x2+x+4;(2)△ABC是直角三角形.令y=0,则﹣x2+x+4=0,解得x1=8,x2=﹣2,∴点B的坐标为(﹣2,0),由已知可得,在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20,在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80,又∵BC=OB+OC=2+8=10,∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2∴△ABC是直角三角形.(3)∵A(0,4),C(8,0),∴AC==4,①以A为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为(﹣8,0),②以C为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为(8﹣4,0)或(8+4,0)③作AC的垂直平分线,交x轴于N,此时N的坐标为(3,0),综上,若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标分别为(﹣8,0)、(8﹣4,0)、(3,0)、(8+4,0).(4)如图,AB==2,BC=8﹣(﹣2)=10,AC==4,∴AB2+AC2=BC2,∴∠BAC=90°.∴AC⊥AB.∵AC∥MN,∴MN⊥AB.设点N的坐标为(n,0),则BN=n+2,∵MN∥AC,△BMN∽△BAC∴=,∴=,BM==,MN==,AM=AB﹣BM=2﹣=∵S△AMN=AM•MN=××=﹣(n﹣3)2+5,当n=3时,△AMN面积最大是5,∴N点坐标为(3,0).∴当△AMN面积最大时,N点坐标为(3,0).【点评】本题是二次函数的综合题,解(1)的关键是待定系数法求解析式,解(2)的关键是勾股定理和逆定理,解(3)的关键是等腰三角形的性质,解(4)的关键是三角形相似的判定和性质以及函数的最值等.2.对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的“闭距离“,记作d(M,N).已知点A(﹣2,6),B(﹣2,﹣2),C(6,﹣2).(1)求d(点O,△ABC);(2)记函数y=kx(﹣1≤x≤1,k≠0)的图象为图形G.若d(G,△ABC)=1,直接写出k的取值范围;(3)⊙T的圆心为T(t,0),半径为1.若d(⊙T,△ABC)=1,直接写出t的取值范围.【分析】(1)根据点A、B、C三点的坐标作出△ABC,利用“闭距离”的定义即可得;(2)由题意知y=kx在﹣1≤x≤1范围内函数图象为过原点的线段,再分别求得经过(1,﹣1)和(﹣1,﹣1)时k的值即可得;(3)分⊙T在△ABC的左侧、内部和右侧三种情况,利用“闭距离”的定义逐一判断即可得.【解答】解:(1)如图所示,点O到△ABC的距离的最小值为2,。

中考数学二次函数-经典压轴题及详细答案

中考数学二次函数-经典压轴题及详细答案

中考数学二次函数-经典压轴题及详细答案一、二次函数1.已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4,且该抛物线与y 轴的交点为C ,顶点为D .(1)求该二次函数的解析式及点C ,D 的坐标;(2)点(,0)P t 是x 轴上的动点,①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标;②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点,若线段PQ 与函数2||23y a x a x =-+的图像只有一个公共点,求t 的取值范围.【答案】(1)2y x 2x 3=-++,C 点坐标为(0,3),顶点D 的坐标为(1,4);(2)①最,P 的坐标为(3,0)-,②t 的取值范围为3t ≤-或332t ≤<或72t =. 【解析】【分析】(1)先利用对称轴公式x=2a 12a--=,计算对称轴,即顶点坐标为(1,4),再将两点代入列二元一次方程组求出解析式;(2)根据三角形的三边关系:可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值,求出直线CD 与x 轴的交点坐标,就是此时点P 的坐标;(3)先把函数中的绝对值化去,可知22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩,此函数是两个二次函数的一部分,分三种情况进行计算:①当线段PQ 过点(0,3),即点Q 与点C 重合时,两图象有一个公共点,当线段PQ 过点(3,0),即点P 与点(3,0)重合时,两函数有两个公共点,写出t 的取值;②线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c (x≥0)时有一个公共点时,求t 的值;③当线段PQ 过点(-3,0),即点P 与点(-3,0)重合时,线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c (x <0)时也有一个公共点,则当t≤-3时,都满足条件;综合以上结论,得出t 的取值.【详解】解:(1)∵2a x 12a-=-=, ∴2y ax ax 3=-+的对称轴为x 1=.∵2y ax ax 3=-+人最大值为4,∴抛物线过点()1,4.得a 2a 34-+=,解得a 1=-.∴该二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++.C 点坐标为()0,3,顶点D 的坐标为()1,4.(2)①∵PC PD CD -≤,∴当P,C,D 三点在一条直线上时,PC PD -取得最大值.连接DC 并延长交y 轴于点P ,PC PD CD -===∴PC PD -.易得直线CD 的方程为y x 3=+.把()P t,0代入,得t 3=-.∴此时对应的点P 的坐标为()3,0-.②2y a |x |2a x 3=-+的解析式可化为22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩ 设线段PQ 所在直线的方程为y kx b =+,将()P t,0,()Q 0,2t 的坐标代入,可得线段PQ 所在直线的方程为y 2x 2t =-+.(1)当线段PQ 过点()3,0-,即点P 与点()3,0-重合时,线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点,此时t 3=-. ∴当t 3≤-时,线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点. (2)当线段PQ 过点()0,3,即点Q 与点C 重合时,线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点,此时3t 2=. 当线段PQ 过点()3,0,即点P 与点()3,0重合时,t 3=,此时线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像有两个公共点. 所以当3t 32≤<时,线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点. (3)将y 2x 2t =-+带入()2y x 2x 3x 0=-++≥,并整理,得2x 4x 2t 30-+-=. ()Δ1642t 3288t =--=-.令288t 0-=,解得7t 2=. ∴当7t 2=时,线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点.综上所述,t 的取值范围为t 3≤-或3t 32≤<或7t 2=. 【点睛】 本题考查了二次函数的综合应用,先利用待定系数法求解析式,同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起;同时对于二次函数利用动点求取值问题,从特殊点入手,把函数分成几部分考虑,按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解.2.如图所示,抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,4M --,与x 轴交于A 、B 两点,且()6,0A -,与y 轴交于点C .()1求抛物线的函数解析式;()2求ABC V 的面积;()3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P ,使APC V 的面积最大?若能,请求出点P 的坐标;若不能,请说明理由.【答案】()1 2134y x x =+-;()212;()27334APC x S =-V 当时,有最大值,点P 的坐标是153,4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】(1)设顶点式并代入已知点()6,0A -即可;(2)令y=0,求出A 、B 和C 点坐标,运用三角形面积公式计算即可;(3)假设存在这样的点,过点P 作PE x ⊥轴于点E ,交AC 于点F ,线段PF 的长度即为两函数值之差,将APC V 的面积计算拆分为APF CPF S S +V V 即可.【详解】()1设此函数的解析式为2()y a x h k =++,∵函数图象顶点为()2,4M --,∴2(2)4y a x =+-,又∵函数图象经过点()6,0A -,∴20(62)4a =-+-解得14a =, ∴此函数的解析式为21(2)44y x =+-,即2134y x x =+-; ()2∵点C 是函数2134y x x =+-的图象与y 轴的交点, ∴点C 的坐标是()0,3-,又当0y =时,有21304y x x =+-=, 解得16x =-,22x =,∴点B 的坐标是()2,0, 则11831222ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=V ; ()3假设存在这样的点,过点P 作PE x ⊥轴于点E ,交AC 于点F .设(),0E x ,则21,34P x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭,设直线AC 的解析式为y kx b =+,∵直线AC 过点()6,0A -,()0,3C -,∴603k b b -+=⎧⎨-=⎩, 解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩,∴直线AC 的解析式为132y x =--, ∴点F 的坐标为1,32F x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭, 则221113332442PF x x x x x ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭, ∴1122APC APF CPF S S S PF AE PF OE =+=⋅+⋅V V V2221113393276(3)22424244PF OA x x x x x ⎛⎫=⋅=--⨯=--=-++ ⎪⎝⎭, ∴当3x =-时,APC S V 有最大值274, 此时点P 的坐标是153,4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解,从而将面积最大的问题转化为PF 最大进行理解.3.如图,已知抛物线2y ax bx c =++经过A (-3,0),B (1,0),C (0,3)三点,其顶点为D ,对称轴是直线l ,l 与x 轴交于点H .(1)求该抛物线的解析式;(2)若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点,求△PBC 周长的最小值;(3)如图(2),若E 是线段AD 上的一个动点( E 与A 、D 不重合),过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ,交x 轴于点G ,设点E 的横坐标为m ,△ADF 的面积为S . ①求S 与m 的函数关系式;②S 是否存在最大值?若存在,求出最大值及此时点E 的坐标; 若不存在,请说明理由.【答案】(1)2y x 2x 3=--+.(2)3210.(3)①2S m 4m 3=---.②当m=﹣2时,S 最大,最大值为1,此时点E 的坐标为(﹣2,2).【解析】【分析】(1)根据函数图象经过的三点,用待定系数法确定二次函数的解析式即可.(2)根据BC 是定值,得到当PB+PC 最小时,△PBC 的周长最小,根据点的坐标求得相应线段的长即可.(3)设点E 的横坐标为m ,表示出E (m ,2m+6),F (m ,2m 2m 3--+),最后表示出EF 的长,从而表示出S 于m 的函数关系,然后求二次函数的最值即可.【详解】解:(1)∵抛物线2y ax bx c =++经过A (-3,0),B (1,0),∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.又∵抛物线2y ax bx c =++经过C (0,3),∴a 1=-.∴抛物线的解析式为:()()y x 3x 1=-+-,即2y x 2x 3=--+.(2)∵△PBC 的周长为:PB+PC+BC ,且BC 是定值.∴当PB+PC 最小时,△PBC 的周长最小.∵点A 、点B 关于对称轴I 对称,∴连接AC 交l 于点P ,即点P 为所求的点.∵AP=BP ,∴△PBC 的周长最小是:PB+PC+BC=AC+BC.∵A (-3,0),B (1,0),C (0,3),∴2,10.∴△PBC 的周长最小是:3210.(3)①∵抛物线2y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为(﹣1,4),A (﹣3,0),∴直线AD 的解析式为y=2x+6∵点E 的横坐标为m ,∴E (m ,2m+6),F (m ,2m 2m 3--+)∴()22EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---. ∴()22DEF AEF 1111S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 32222∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---.②()22S m 4m 3m 21=---=-++,∴当m=﹣2时,S 最大,最大值为1,此时点E 的坐标为(﹣2,2).4.某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间每天的定价增加x 元.求:(1)房间每天的入住量y (间)关于x (元)的函数关系式;(2)该宾馆每天的房间收费p (元)关于x (元)的函数关系式;(3)该宾馆客房部每天的利润w (元)关于x (元)的函数关系式;当每个房间的定价为每天多少元时,w 有最大值?最大值是多少?【答案】(1)y=60-10x ;(2)z=-110x 2+40x+12000;(3)w=-110x 2+42x+10800,当每个房间的定价为每天410元时,w 有最大值,且最大值是15210元.【解析】 试题分析:(1)根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10;(2)已知每天定价增加为x 元,则每天要(200+x )元.则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量;(3)支出费用为20×(60﹣10x ),则利润w =(200+x )(60﹣10x )﹣20×(60﹣10x ),利用配方法化简可求最大值.试题解析:解:(1)由题意得: y =60﹣10x (2)p =(200+x )(60﹣10x )=﹣2110x +40x +12000 (3)w =(200+x )(60﹣10x )﹣20×(60﹣10x ) =﹣2110x +42x +10800 =﹣110(x ﹣210)2+15210 当x =210时,w 有最大值.此时,x +200=410,就是说,当每个房间的定价为每天410元时,w 有最大值,且最大值是15210元.点睛:求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法.本题主要考查的是二次函数的应用,难度一般.5.如图①,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y=ax 2+bx+3经过点A(-1,0) 、B(3,0) 两点,且与y 轴交于点C.(1)求抛物线的表达式;(2)如图②,用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴,并沿x 轴左右平移,直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P 、 Q 两点(点P 在点Q 的左侧),连接PQ ,在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ,连接DP 、DQ.①若点P 的横坐标为12-,求△DPQ 面积的最大值,并求此时点D 的坐标; ②直尺在平移过程中,△DPQ 面积是否有最大值?若有,求出面积的最大值;若没有,请说明理由.【答案】(1)抛物线y=-x 2+2x+3;(2)①点D ( 31524,);②△PQD 面积的最大值为8【解析】分析:(1)根据点A 、B 的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的表达式;(2)(I )由点P 的横坐标可得出点P 、Q 的坐标,利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式,过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ,设点D 的坐标为(x ,-x 2+2x+3),则点E 的坐标为(x ,-x+54),进而即可得出DE 的长度,利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+6x+72,再利用二次函数的性质即可解决最值问题; (II )假设存在,设点P 的横坐标为t ,则点Q 的横坐标为4+t ,进而可得出点P 、Q 的坐标,利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式,设点D 的坐标为(x ,-x 2+2x+3),则点E 的坐标为(x ,-2(t+1)x+t 2+4t+3),进而即可得出DE 的长度,利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+4(t+2)x-2t 2-8t ,再利用二次函数的性质即可解决最值问题.详解:(1)将A (-1,0)、B (3,0)代入y=ax 2+bx+3,得:309330a b a b -+⎧⎨++⎩==,解得:12a b -⎧⎨⎩==, ∴抛物线的表达式为y=-x 2+2x+3.(2)(I )当点P 的横坐标为-12时,点Q 的横坐标为72, ∴此时点P 的坐标为(-12,74),点Q 的坐标为(72,-94). 设直线PQ 的表达式为y=mx+n ,将P(-12,74)、Q(72,-94)代入y=mx+n,得:17247924m nm n⎧-+⎪⎪⎨⎪+-⎪⎩==,解得:154mn-⎧⎪⎨⎪⎩==,∴直线PQ的表达式为y=-x+54.如图②,过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E,设点D的坐标为(x,-x2+2x+3),则点E的坐标为(x,-x+54),∴DE=-x2+2x+3-(-x+54)=-x2+3x+74,∴S△DPQ=12DE•(x Q-x P)=-2x2+6x+72=-2(x-32)2+8.∵-2<0,∴当x=32时,△DPQ的面积取最大值,最大值为8,此时点D的坐标为(32,154).(II)假设存在,设点P的横坐标为t,则点Q的横坐标为4+t,∴点P的坐标为(t,-t2+2t+3),点Q的坐标为(4+t,-(4+t)2+2(4+t)+3),利用待定系数法易知,直线PQ的表达式为y=-2(t+1)x+t2+4t+3.设点D的坐标为(x,-x2+2x+3),则点E的坐标为(x,-2(t+1)x+t2+4t+3),∴DE=-x2+2x+3-[-2(t+1)x+t2+4t+3]=-x2+2(t+2)x-t2-4t,∴S△DPQ=12DE•(x Q-x P)=-2x2+4(t+2)x-2t2-8t=-2[x-(t+2)]2+8.∵-2<0,∴当x=t+2时,△DPQ的面积取最大值,最大值为8.∴假设成立,即直尺在平移过程中,△DPQ面积有最大值,面积的最大值为8.点睛:本题考查了待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出二次函数表达式;(2)(I)利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x 2+6x+72;(II )利用三角形的面积公式找出S △DPQ =-2x 2+4(t+2)x-2t 2-8t .6.在直角坐标系中,我们不妨将横坐标,纵坐标均为整数的点称之为“中国结”。

专题13 函数之一次函数、反比例函数和二次函数综合问题(压轴题)

专题13 函数之一次函数、反比例函数和二次函数综合问题(压轴题)

《中考压轴题》专题13:函数之一次函数、反比例函数和二次函数问题一、选择题1.函数y=ax 2+1与a y x =(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是【】A .B .C .D .2.二次函数2y ax b =+(b >0)与反比例函数a y x=在同一坐标系中的图象可能是【】A. B. C. D.3.函数a y x=与y=ax 2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是【】A. B. C. D.4.已知反比例函数k y x =的图像如图所示,则二次函数22y 2kx 4x k =-+的图像大致为【】A. B. C. D.5.已知反比例函数k y x =的图像如图所示,则二次函数22y 2kx 4x k =-+的图像大致为【】A. B. C. D.6.在平面直角坐标系中,函数y=x 2﹣2x (x≥0)的图象为C 1,C 1关于原点对称的图象为C 2,则直线y=a (a 为常数)与C 1、C 2的交点共有【】A.1个B.1个或2个C.个或2个或3个D.1个或2个或3个或4个7.函数k y x=与y=﹣kx 2+k (k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是【】A. B. C.D.8.已知a ≠0,在同一直角坐标系中,函数y ax =与2y ax =的图象有可能是【】A. B. C. D.9.一次函数()y ax b a 0=+≠、二次函数2y ax bx =+和反比例函数()k y k 0x=≠在同一直角坐标系中图象如图,A 点为(-2,0)。

则下列结论中,正确的是【】A .b 2a k =+B .a b k =+C .a b 0>>D .a k 0>>10.若正比例函数y=mx (m ≠0),y 随x 的增大而减小,则它和二次函数y=mx 2+m 的图象大致是【】11.如图,已知抛物线21y x 4x =-+和直线2y 2x =.我们约定:当x 任取一值时,x 对应的函数值分别为y 1、y 2,若y 1≠y 2,取y 1、y 2中的较小值记为M ;若y 1=y 2,记M=y 1=y 2.下列判断:①当x >2时,M=y 2;②当x <0时,x 值越大,M 值越大;③使得M 大于4的x 值不存在;④若M=2,则x=1.其中正确的有【】A .1个B .2个C .3个D .4个12.二次函数的图象如图所示,反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是【】A .B .C .D .13.二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示,则函数a y x=与y=bx+c 在同一直角坐标系内的大致图象是【】A .B .C .D .二解答题1.如图①,双曲线kyx(k≠0)和抛物线y=ax2+bx(a≠0)交于A、B、C三点,其中B(3,1),C(﹣1,﹣3),直线CO交双曲线于另一点D,抛物线与x轴交于另一点E.(1)求双曲线和抛物线的解析式;(2)抛物线在第一象限部分是否存在点P,使得∠POE+∠BCD=90°?若存在,请求出满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)如图②,过B作直线l⊥OB,过点D作DF⊥l于点F,BD与OF交于点N,求DNNB的值.2.已知抛物线l:y=ax2+bx+c(a,b,c均不为0)的顶点为M,与y轴的交点为N,我们称以N为顶点,对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线,直线MN为抛物线l的衍生直线.(1)如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是,衍生直线的解析式是;(2)若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1,求这条抛物线的解析式;(3)如图,设(1)中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M,与y轴交点为N,将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行,再沿y轴向上平移1个单位得直线n,P是直线n上的动点,是否存在点P,使△POM 为直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.3.在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b 的图象与x 轴、y 轴分别相交于A (﹣3,0),B (0,﹣3)两点,二次函数y=x 2+mx+n 的图象经过点A .(1)求一次函数y=kx+b 的解析式;(2)若二次函数y=x 2+mx+n 图象的顶点在直线AB 上,求m ,n 的值;(3)当﹣3≤x≤0时,二次函数y=x 2+mx+n 的最小值为﹣4,求m ,n 的值.4.在平面直角坐标系中,抛物线()2y x k 1x k =+--与直线y kx 1=+交于A,B 两点,点A 在点B 的左侧.(1)如图1,当k 1=时,直接写出....A ,B 两点的坐标;(2)在(1)的条件下,点P 为抛物线上的一个动点,且在直线AB 下方,试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标;(3)如图2,抛物线()()2y x k 1x k k >0=+--与x 轴交于C ,D 两点(点C 在点D 的左侧).在直线y kx 1=+上是否存在唯一一点Q ,使得∠OQC=90°?若存在,请求出此时k 的值;若不存在,请说明理由.5.给定直线l :y=kx ,抛物线C :y=ax 2+bx+1.(1)当b=1时,l 与C 相交于A ,B 两点,其中A 为C 的顶点,B 与A 关于原点对称,求a 的值;(2)若把直线l 向上平移k 2+1个单位长度得到直线r ,则无论非零实数k 取何值,直线r 与抛物线C 都只有一个交点.①求此抛物线的解析式;②若P 是此抛物线上任一点,过P 作PQ ∥y 轴且与直线y=2交于Q 点,O 为原点.求证:OP=PQ .6.已知:直线y=ax+b 与抛物线2y ax bx c =-+的一个交点为A (0,2),同时这条直线与x 轴相交于点B ,且相交所成的角β为45°.(1)求点B 的坐标;(2)求抛物线2y ax bx c =-+的解析式;(3)判断抛物线2y ax bx c =-+与x 轴是否有交点,并说明理由.若有交点设为M ,N (点M 在点N 左边),将此抛物线关于y 轴作轴反射得到M 的对应点为E ,轴反射后的像与原像相交于点F ,连接NF ,EF 得△DEF ,在原像上是否存在点P ,使得△NEP 的面积与△NEF 的面积相等?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,在△ABC中,4AB=5AC,AD为△ABC的角平分线,点E在BC的延长线上,EF⊥AD于点F,点G在AF上,FG=FD,连接EG交AC于点H.若点H是AC的中点,则AGFD的值为.8.某体育用品商店试销一款成本为50元的排球,规定试销期间单价不低于成本价,且获利不得高于40%.经试销发现,销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系.(1)试确定y与x之间的函数关系式;(2)若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元,试写出利润Q(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;当试销单价定为多少元时,该商店可获最大利润?最大利润是多少元?(3)若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元,请确定销售单价x的取值范围.9.大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学,被安排销售一款成本为40元/件的新型商品,此类新型商品在第x 天的销售量p 件与销售的天数x 的关系如下表:x (天)123...50p (件)118116114 (20)销售单价q (元/件)与x 满足:当1≤x <25时q=x+60;当25≤x≤50时1125q 40x=+.(1)请分析表格中销售量p 与x 的关系,求出销售量p 与x 的函数关系.(2)求该超市销售该新商品第x 天获得的利润y 元关于x 的函数关系式.(3)这50天中,该超市第几天获得利润最大?最大利润为多少?10.如图,已知直线AB :y kx 2k 4=++与抛物线21y x 2=交于A 、B 两点,(1)直线AB 总经过一个定点C ,请直接写出点C 坐标;(2)当1k 2=-时,在直线AB 下方的抛物线上求点P ,使△ABP 的面积等于5;(3)若在抛物线上存在定点D 使∠ADB =90°,求点D 到直线AB 的最大距离.11.某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动,在活动中他们参与了某种水果的销售工作.已知该水果的进价为8元/千克,下面是他们在活动结束后的对话.小丽:如果以10元/千克的价格销售,那么每天可售出300千克.小强:如果每千克的利润为3元,那么每天可售出250千克.小红:如果以13元/千克的价格销售,那么每天可获取利润750元.【利润=(销售价-进价) 销售量】(1)请根据他们的对话填写下表:销售单价x(元/kg)101113销售量y(kg)(2)请你根据表格中的信息判断每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间存在怎样的函数关系.并求y(千克)与x(元)(x>0)的函数关系式;(3)设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元,求W与x的函数关系式.当销售单价为何值时,每天可获得的利润最大?最大利润是多少元?12.如图,抛物线y=ax 2+bx+c 关于y 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,点B (2,43-)和点C (﹣3,﹣3)两点均在抛物线上,点F (0,34-)在y 轴上,过点(0,34)作直线l 与x 轴平行.(1)求抛物线的解析式和直线BC 的解析式.(2)设点D (x ,y )是线段BC 上的一个动点(点D 不与B ,C 重合),过点D 作x 轴的垂线,与抛物线交于点G .设线段GD 的长度为h ,求h 与x 之间的函数关系式,并求出当x 为何值时,线段GD 的长度h 最大,最大长度h 的值是多少?(3)若点P (m ,n )是抛物线上位于第三象限的一个动点,连接PF 并延长,交抛物线于另一点Q ,过点Q 作QS ⊥l ,垂足为点S ,过点P 作PN ⊥l ,垂足为点N ,试判断△FNS 的形状,并说明理由;(4)若点A (﹣2,t )在线段BC 上,点M 为抛物线上的一个动点,连接AF ,当点M 在何位置时,MF+MA 的值最小,请直接写出此时点M 的坐标与MF+MA 的最小值.13.如图,直线y=﹣3x+3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ,抛物线()2y a x 2k =-+经过点A 、B ,并与x 轴交于另一点C ,其顶点为P .(1)求a ,k 的值;(2)抛物线的对称轴上有一点Q ,使△ABQ 是以AB 为底边的等腰三角形,求Q 点的坐标;(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M 、N ,使以A ,C ,M ,N 为顶点的四边形为正方形,求此正方形的边长.14.如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,抛物线过2y ax bx c(a 0)=++≠过O 、B 、C 三点,B 、C 坐标分别为(10,0)和(185,245-),以OB 为直径的⊙A 经过C 点,直线l 垂直于x 轴于点B.(1)求直线BC 的解析;(2)求抛物线解析式及顶点坐标;(3)点M 是⊙A 上一动点(不同于O ,B ),过点M 作⊙A 的切线,交y 轴于点E ,交直线l 于点F ,设线段ME 长为m ,MF 长为n ,请猜想m n ⋅的值,并证明你的结论;(4)点P 从O 出发,以每秒1个单位速度向点B 作直线运动,点Q 同时从B 出发,以相同速度向点C 作直线运动,经过t(0<t)秒时恰好使△BPQ 为等腰三角形,请求出满足条件的t 值.15.在平面直角坐标系中,我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”,例如点(﹣1,﹣1),(0,0),),…都是“梦之点”,显然,这样的“梦之点”有无数个.(1)若点P (2,m )是反比例函数ny x=(n 为常数,n≠0)的图象上的“梦之点”,求这个反比例函数的解析式;(2)函数y=3kx+s ﹣1(k ,s 是常数)的图象上存在“梦之点”吗?若存在,请求出“梦之点”的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若二次函数y=ax 2+bx+1(a ,b 是常数,a >0)的图象上存在两个不同的“梦之点”A (x 1,x 1),B (x 2,x 2),且满足﹣2<x 1<2,|x 1﹣x 2|=2,令t=b 2﹣2b+15748,试求出t 的取值范围.16.已知抛物线()25k 2y x k 2x 4+=-++和直线()()2y k 1x k 1=+++.(1)求证:无论k 取何实数值,抛物线总与x 轴有两个不同的交点;(2)抛物线于x 轴交于点A 、B ,直线与x 轴交于点C ,设A 、B 、C 三点的横坐标分别是x 1、x 2、x 3,求x 1•x 2•x 3的最大值;(3)如果抛物线与x 轴的交点A 、B 在原点的右边,直线与x 轴的交点C 在原点的左边,又抛物线、直线分别交y 轴于点D 、E ,直线AD 交直线CE 于点G (如图),且CA•GE=CG•AB ,求抛物线的解析式.17.如图①,直线l :y=mx+n (m >0,n <0)与x ,y 轴分别相交于A ,B 两点,将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°,得到△COD ,过点A ,B ,D 的抛物线P 叫做l 的关联抛物线,而l 叫做P 的关联直线.(1)若l :y=﹣2x+2,则P 表示的函数解析式为;若P :y=﹣x 2﹣3x+4,则l 表示的函数解析式为.(2)求P 的对称轴(用含m ,n 的代数式表示);(3)如图②,若l :y=﹣2x+4,P 的对称轴与CD 相交于点E ,点F 在l 上,点Q 在P 的对称轴上.当以点C ,E ,Q ,F 为顶点的四边形是以CE 为一边的平行四边形时,求点Q 的坐标;(4)如图③,若l :y=mx ﹣4m ,G 为AB 中点,H 为CD 中点,连接GH ,M 为GH 中点,连接OM .若OM=,直接写出l ,P 表示的函数解析式.18.如图,直线y=x ﹣4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,抛物线21y x bx c 3=++经过A 、B 两点,与x 轴的另一个交点为C ,连接BC .(1)求抛物线的解析式及点C 的坐标;(2)点M 在抛物线上,连接MB ,当∠MBA+∠CBO=45°时,求点M 的坐标;(3)点P 从点C 出发,沿线段CA 由C 向A 运动,同时点Q 从点B 出发,沿线段BC 由B 向C 运动,P 、Q 的运动速度都是每秒1个单位长度,当Q 点到达C 点时,P 、Q 同时停止运动,试问在坐标平面内是否存在点D ,使P 、Q 运动过程中的某一时刻,以C 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形?若存在,直接写出点D 的坐标;若不存在,说明理由.19.如图,抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A,交y轴于点B,已知经过点A,B的直线的表达式为y=x+3.(1)求抛物线的函数表达式及其顶点C的坐标;(2)如图①,点P(m,0)是线段AO上的一个动点,其中-3<m<0,作直线DP⊥x轴,交直线AB于D,交抛物线于E,作EF∥x轴,交直线AB于点F,四边形DEFG为矩形.设矩形DEFG的周长为L,写出L 与m的函数关系式,并求m为何值时周长L最大;(3)如图②,在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使点A,B,Q构成的三角形是以AB为腰的等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.20.如图,已知直线l的解析式为1y x12=-,抛物线y=ax2+bx+2经过点A(m,0),B(2,0),D51,4⎛⎫⎪⎝⎭三点.(1)求抛物线的解析式及A点的坐标,并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象;(2)已知点P(x,y)为抛物线在第二象限部分上的一个动点,过点P作PE垂直x轴于点E,延长PE与直线l交于点F,请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数,并求出S的最大值及S最大时点P的坐标;(3)将(2)中S最大时的点P与点B相连,求证:直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上.21.今年5月1日起实施《青海省保障性住房准入分配退出和运营管理实施细则》规定:公共租赁住房和廉租住房并轨运行(以下简称并轨房),计划10年内解决低收入人群住房问题.已知第x年(x为正整数)投入使用的并轨房面积为y百万平方米,且y与x的函数关系式为1y x56=-+.由于物价上涨等因素的影响,每年单位面积租金也随之上调.假设每年的并轨房全部出租完,预计第x年投入使用的并轨房的单位面积租金z与时间x满足一次函数关系如下表:时间x(单位:年,x为正整数)12345…单位面积租金z(单位:元/平方米)5052545658…(1)求出z与x的函数关系式;(2)设第x年政府投入使用的并轨房收取的租金为W百万元,请问政府在第几年投入使用的并轨房收取的租金最多,最多为多少百万元?22.如图,抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于A(5,0)、B(﹣1,0)两点,过点A作直线AC⊥x轴,交直线y=2x于点C;(1)求该抛物线的解析式;(2)求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标,判定点A′是否在抛物线上,并说明理由;(3)点P是抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交线段CA′于点M,是否存在这样的点P,使四边形PACM是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.23.如图,过A(1,0)、B(3,0)作x轴的垂线,分别交直线y=4﹣x于C、D两点.抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点.(1)求抛物线的表达式;(2)点M为直线OD上的一个动点,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,问是否存在这样的点M,使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求此时点M的横坐标;若不存在,请说明理由;(3)若△AOC沿CD方向平移(点C在线段CD上,且不与点D重合),在平移的过程中△AOC与△OBD 重叠部分的面积记为S,试求S的最大值.24.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点A(﹣1,0)和点B(1,0),直线y=2x﹣1与y轴交于点C,与抛物线交于点C、D.(1)求抛物线的解析式;(2)求点A到直线CD的距离;(3)平移抛物线,使抛物线的顶点P在直线CD上,抛物线与直线CD的另一个交点为Q,点G在y轴正半轴上,当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时,求出所有符合条件的G点的坐标.25.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(﹣1,4),且与直线1y x12=-+相交于A、B两点(如图),A点在y轴上,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(﹣3,0).(1)求二次函数的表达式;(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方),过N作NP⊥x轴,垂足为点P,交AB于点M,求MN的最大值;(3)在(2)的条件下,点N在何位置时,BM与NC相互垂直平分?并求出所有满足条件的N点的坐标.26.如图,在平面直角坐标系中,抛物线2y ax bx 3=++与x 轴交于点A (﹣4,0),B (﹣1,0)两点.(1)求抛物线的解析式;(2)在第三象限的抛物线上有一动点D .①如图(1),若四边形ODAE 是以OA 为对角线的平行四边形,当平行四边形ODAE 的面积为6时,请判断平行四边形ODAE 是否为菱形?说明理由.②如图(2),直线1y x 32=+与抛物线交于点Q 、C 两点,过点D 作直线DF ⊥x 轴于点H ,交QC 于点F .请问是否存在这样的点D ,使点D 到直线CQ 的距离与点C 到直线DF :2?若存在,请求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.27.如图,已知一次函数11y x b 2=+的图象l 与二次函数22y x mx b =-++的图象'C 都经过点B (0,1)和点C ,且图象'C 过点A (52-,0).(1)求二次函数的最大值;(2)设使21y y >成立的x 取值的所有整数和为s ,若s 是关于x 的方程131x 0a 1x 3⎛⎫++= ⎪--⎝⎭的根,求a 的值;(3)若点F 、G 在图象'C 上,长度为5的线段DE 在线段BC 上移动,EF 与DG 始终平行于y 轴,当四边形DEFG 的面积最大时,在x 轴上求点P ,使PD+PE 最小,求出点P 的坐标.28.如图,已知直线y 3x 3=-+与x 轴交于点A ,与y 轴交于点C ,抛物线2y ax bx c =++经过点A 和点C ,对称轴为直线l :x 1=-,该抛物线与x 轴的另一个交点为B .(1)求此抛物线的解析式;(2)点P 在直线l 上,求出使△PAC 的周长最小的点P 的坐标;(3)点M 在此抛物线上,点N 在y 轴上,以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,直接写出所有满足要求的点M 的坐标;若不能,请说明理由.29.如图,抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点.点A的横坐标为﹣3,点B在y轴上,点P是y轴左侧抛物线上的一动点,横坐标为m,过点P作PC⊥x轴于C,交直线AB于D.(1)求抛物线的解析式;=2S△BPD;(2)当m为何值时,S四边形OBDC(3)是否存在点P,使△PAD是直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.30.已知:直线l:y=﹣2,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴,且经过点(0,﹣1),(2,0).(1)求该抛物线的解析式;(2)如图①,点P是抛物线上任意一点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,求证:PO=PQ.(3)请你参考(2)中结论解决下列问题:(i)如图②,过原点作任意直线AB,交抛物线y=ax2+bx+c于点A、B,分别过A、B两点作直线l的垂线,垂足分别是点M、N,连结ON、OM,求证:ON⊥OM.(ii)已知:如图③,点D(1,1),试探究在该抛物线上是否存在点F,使得FD+FO取得最小值?若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.31.如图,已知抛物线23y ax x c 2=-+与x 轴相交于A 、B 两点,并与直线1y x 22=-交于B 、C 两点,其中点C 是直线1y x 22=-与y 轴的交点,连接AC .(1)求抛物线的解析式;(2)证明:△ABC 为直角三角形;(3)△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ?(顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上)若能,求出最大面积;若不能,请说明理由.32.对某一个函数给出如下定义:若存在实数M 0>,对于任意的函数值y ,都满足M y M -≤≤,则称这个函数是有界函数,在所有满足条件的M 中,其最小值称为这个函数的边界值.例如,下图中的函数是有界函数,其边界值是1.(1)分别判断函数()1y x 0x=>和()y x 14x 2=+-<≤是不是有界函数?若是有界函数,求其边界值;(2)若函数()y x 1a x b b a =-+≤≤>,的边界值是2,且这个函数的最大值也是2,求b 的取值范围;(3)将函数()2y x 1x m m 0=-≤≤≥,的图象向下平移m 个单位,得到的函数的边界值是t ,当m 在什么范围时,满足3t 14≤≤33.如图,抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,直线3y x 34=-+与y 轴交于点C ,,与x 轴交于点D.点P 是x 轴上方的抛物线上一动点,过点P 作PF ⊥x 轴于点F ,交直线CD 于点E.设点P 的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式;(2)若PE =5EF ,求m 的值;(3)若点E /是点E 关于直线PC 的对称点、是否存在点P ,使点E /落在y 轴上?若存在,请直接写出相应的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.34.某公司销售一种进价为20元/个的计算机,其销售量y (万个)与销售价格x (元/个)的变化如下表:价格x (元/个)…30405060…销售量y (万个)…5432…同时,销售过程中的其他开支(不含造价)总计40万元.(1)观察并分析表中的y 与x 之间的对应关系,用所学过的一次函数,反比例函数或二次函数的有关知识写出y (万个)与x (元/个)的函数解析式.(2)求出该公司销售这种计算器的净得利润z (万个)与销售价格x (元/个)的函数解析式,销售价格定为多少元时净得利润最大,最大值是多少?(3)该公司要求净得利润不能低于40万元,请写出销售价格x (元/个)的取值范围,若还需考虑销售量尽可能大,销售价格应定为多少元?35.如图,直角梯形ABCO的两边OA,OC在坐标轴的正半轴上,BC∥x轴,OA=OC=4,以直线x=1为对称轴的抛物线过A,B,C三点.(1)求该抛物线线的函数解析式.=+,它与x轴的交于点G,在梯形ABCO的一边上取点P.(2)已知直线l的解析式为y x m①当m=0时,如图1,点P是抛物线对称轴与BC的交点,过点P作PH⊥直线l于点H,连结OP,试求△OPH的面积.=-时,过P点分别作x轴、直线l的垂线,垂足为点E,F.是否存在这样的点P,使以P,E,F ②当m3为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.36.某公司经营杨梅业务,以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后,分拣成A、B两类,A类杨梅包装后直接销售,B类杨梅深加工再销售.A类杨梅的包装成本为1万元/吨,根据市场调查,它的平均销售价格y (单位∶万元/吨)与销售数量x(x≥2)(单位∶吨)之间的函数关系式如图,B类杨梅深加工总费用s(单位:万元)与加工数量t(单位∶吨)之间的函数关系是s=12+3t,平均销售价格为9万元/吨.(1)直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x这间的函数关系式;(2)第一次,该公司收购了20吨杨梅,其中A类杨梅x吨,经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元(毛利润=销售总收人-经营总成本).①求w关于x的函数关系式;②若该公司获得了30万元毛利润,问∶用于直销的A类杨梅有多少吨?(3)第二次该公司准备投人132万元资金,请设计-种经营方案,使公司获得最大毛利润,并求出最大毛利润.37.如图,直角梯形ABCO的两边OA,OC在坐标轴的正半轴上,BC∥x轴,OA=OC=4,以直线x=1为对称轴的抛物线过A,B,C三点.(1)求该抛物线线的函数解析式.=+,它与x轴的交于点G,在梯形ABCO的一边上取点P.(2)已知直线l的解析式为y x m①当m=0时,如图1,点P是抛物线对称轴与BC的交点,过点P作PH⊥直线l于点H,连结OP,试求△OPH的面积.=-时,过P点分别作x轴、直线l的垂线,垂足为点E,F.是否存在这样的点P,使以P,E,F ②当m3为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.38.已知函数23y kx 2x 2=-+(k 是常数)(1)若该函数的图像与x 轴只有一个交点,求k 的值;(2)若点()M 1,k 在某反比例函数的图像上,要使该反比例函数和二次函数23y kx 2x 2=-+都是y 随x 的增大而增大,求k 应满足的条件以及x 的取值范围;(3)设抛物线23y kx 2x 2=-+与x 轴交于()()12x ,0,B x A ,0两点,且12x x <,2212x x 1+=,在y 轴上,是否存在点P ,使△ABP 是直角三角形?若存在,求出点P 及△ABP 的面积;若不存在,请说明理由。

二次函数中考压轴题

二次函数中考压轴题

1、抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,若OB=OC=2OA,则下列结论一定成立的是:A. b < 0B. a+b+c = 0C. 2b2 - 9ac = 0D. a-b+c = 0(答案:C)2、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),则当y随x的增大而减小时,x的取值范围是:A. x < -1B. x > 3C. -1 < x < 3D. x < -1 或x > 3(答案:D)3、二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向上,顶点在x轴上,且图像不经过第三象限,则a,b,c满足:A. a > 0,b2 - 4ac = 0,c < 0B. a < 0,b2 - 4ac = 0,c > 0C. a > 0,b2 - 4ac = 0,c > 0D. a < 0,b2 - 4ac > 0,c < 0(答案:A)4、抛物线y=ax2+bx+c与直线y=x+1交于A、B两点,且A点的横坐标为-2,若抛物线的对称轴是直线x=2,则线段AB的长为:A. 3B. 4C. 5D. 6(答案:D)5、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,若AC=BC,则下列结论一定成立的是:A. b=2aB. b=-2aC. c=2aD. c=-2a(答案:B)6、二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A(1,0),B(0,3),且对称轴是直线x=2,则当y=0时,x的另一个值是:A. 3B. 4C. 5D. 6(答案:A)7、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点,且AB=4,若点A的坐标为(-1,0),则点B的坐标为:A. (3,0)B. (-5,0)C. (3,0)或(-5,0)D. 无法确定(答案:C)8、抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,若△ABC是等腰直角三角形,且OB=OC,则b的值为:A. 1B. 2C. -1D. ±2(答案:D)。

二次函数压轴题一题多问

二次函数压轴题一题多问

二次函数如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D.(1)求此函数的关系式;(2)判断△ACD的形状,并说明理由;(3)求四边形ABCD的面积.(4)在对称轴上找一点P,使△BCP的周长最小,求出P点坐标及△BPC的周长。

(5)在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线l∥y轴,交AC与点M,当点N坐标为多少时,线段MN的长度最大最大是多少(6)在AC下方的抛物线上,是否存在一点N使△CAN面积最大最大面积是多少(7)在AC下方的抛物线上,是否存在一点N,使四边形ABCN面积最大,且最大面积是多少(8)在y轴上是否存在一点E,使△ADE为直角三角形,若存在。

求出点E的坐标;若不存在,说明理由。

(9)在y轴上是否存在一点F,使△ADF为等腰三角形,若存在,求出点F的坐标;若不存在,说明理由。

(10)在抛物线上是否存在一点N,使S△ABN=S△ABC,若存在,求出点N的坐标;若不存在,说明理由。

(11)在抛物线上是否存在一点H,使S△BCH=S△ABC,若存在,求出点H的坐标;若不存在,说明理由。

(12) 在抛物线上是否存在一点Q,使S△AOQ=S△COQ, 若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由。

(13) 在抛物线上是否存在一点E,使BE平分△ABC的面积, 若存在,求出点E的坐标;若不存在,说明理由。

(14)在抛物线上找一点F,做FM⊥X轴,交AC与点H,使AC平分△AFM的面积(15)在对称轴上有一点K,在抛物线上有一点L,若使A,B,K,L为顶点形成平行四边形,求出K,L点的坐标。

(16)作垂直于x轴的直线x=-1,交直线AC于点M,交抛物线于点N,以A,M,N,E为顶点作平行四边形,求第四个顶点E的坐标。

(17)在抛物线上能不能找到一点P,使∠POC=∠PCO若能,请求出点P的坐标;若不能,请说明理由.(18)在线段AC上是否存在点M,使△AOM与△ABC相似若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.(19)点P是抛物线上一个动点,作PH⊥x轴于H,是否存在点P,使得△PAH与△OBC相似若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.(20)若点P从点A出发向B运动,同时点Q从点O出发向C运动,当一点到达终点时,另一点也停止运动,设运动的时间为t秒,△OPQ的面积为S,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值.。

中考二次函数压轴题经典例题

中考二次函数压轴题经典例题

中考二次函数压轴题经典例题一、一类中考二次函数高分难题:如考题:“某费用与生产成本的平方成正比,生产成本为每件5元时,总费用为125元,生产成本为每件10元时,总费用为多少元?”解:依题意可知费用与生产成本的平方之间的关系式为y=kx²,经过点(5,125),代入上式得k=5。

于是,当生产成本为每件10元时,总费用y=5x²=5×10²=500元。

二、二次函数的解析式与图像:题目:“已知函数y = ax² + bx + c(a ≠ 0)如果x1、x2是y = 0的解,试求函数的解析式。

”解:如果已知x1、x2是y=0的解,那么二次函数的解析式可以表示为y=a(x-x1)(x-x2)。

对x进行配平方,得y=ax²-(x1+x2)ax+ax1x2,与y=ax²+bx+c相比,可以得出b=-(x1+x2)a, c=ax1x2。

由此可以看出,二次函数的系数与其解之间存在着规律性的联系。

三、二次函数的最值问题:题目:“设函数y=ax²+bx+c,在点(0,c)处取得最值,已知a,c>0, c是常数,求a,b 的取值范围。

”解:本题主要考查了函数的极值点。

首先明确这样一个概念:一个函数在它的极值点处的导数等于0。

设二次函数y=ax²+bx+c的极值点为x0,将它代入导数等于0的方程式得到x0=-b/2a,所以二次函数的对称轴为x=-b/2a。

因为函数在点(0,c)处取得最值,那么有x0=0,将x0=0代入上式,解得b=0。

又因为a,c>0,且当a>0时,抛物线开口朝上,函数的最小值点在对称轴上,与题意相符。

故a>0,所以a,b的取值范围是:a>0,b=0。

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二次函数压轴题一题多问
如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D.
(1)求此函数的关系式;
(2)判断△ACD的形状,并说明理由;
(3)求四边形ABCD的面积.
(4)在对称轴上找一点P,使△BCP的周长最小,求出P点坐标及△BPC的周长
(5)在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线l∥y轴,交AC与点M,当点N坐标为多少时,线段MN 的长度最大? 最大是多少?
(6)在AC下方的抛物线上,是否存在一点N使△CAN面积最大?最大面积是多少?
(7)在AC下方的抛物线上,是否存在一点N,使四边形ABCN面积最大,且最大面积是多少?
(8)在y轴上是否存在一点E,使△ADE为直角三角形,若存在。

求出点E的坐标;若不存在,说明理由。

(9)在y轴上是否存在一点F,使△ADF为等腰三角形,若存在,求出点F的坐标;若不存在,说明理由。

(10)在抛物线上是否存在一点N,使S△ABN=S△ABC,若存在,求出点N的坐标;若不存在,说明理由。

(11)在抛物线上是否存在一点H,使S△BCH=S△ABC,若存在,求出点H的坐标;若不存在,说明理由。

(12) 在抛物线上是否存在一点Q,使S△AOQ=S△COQ, 若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由。

(13) 在抛物线上是否存在一点E,使BE平分△ABC的面积, 若存在,求出点E的坐标;若不存在,说明理由。

(14)在抛物线上找一点F,做FM⊥X轴,交AC与点H,使AC平分△AFM的面积?
(15)在对称轴上有一点K,在抛物线上有一点L,若使A,B,K,L为顶点形成平行四边形,求出K,L点的坐标。

(16)作垂直于x轴的直线x=-1,交直线AC于点M,交抛物线于点N,以A,M,N,E为顶点作平行四边形,求第四个顶点E的坐标。

(17)在抛物线上能不能找到一点P,使∠POC=∠PCO?若能,请求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
(18)在线段AC上是否存在点M,使△AOM与△ABC相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
(19)点P是抛物线上一个动点,作PH⊥x轴于H,是否存在点P,使得△PAH与△OBC相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
(20)若点P从点A出发向B运动,同时点Q从点O出发向C运动,当一点到达终点时,另一点也停止运动,设运动的时间为t秒,△OPQ的面积为S,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值.。

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