茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解(假设检验)【圣才出品】

茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解

第7章

假设检验

7.1复习笔记

一、假设检验的基本思想与概念1．假设检验的基本步骤（1）建立假设；

（2）选择检验统计量，给出拒绝域形式；（3）选择显著性水平：

第一类错误：弃真，α＝p θ{（X∈W）}，θ∈Θ0；第二类错误：取伪，1{(p X W θβθ=∈∈Θ，。（4）给出拒绝域；（5）做出判断。

2．检验的p 值

①如果α≥p，则在显著性水平α下拒绝H 0；②如果α＜p，则在显著性水平α下接受H 0。

二、正态总体参数假设检验成对数据检验

（1）提出假设：H 0：μ＝0vs H 1：μ≠0；

（2）双样本的检验问题转化为单样本t 检验问题，检验t 统计量

2()

d

t d s n =其中

1/2

21111()1n

n

i d i i i d d s d d n n ==⎛⎫=

=- ⎪-⎝⎭

∑∑，（3）拒绝域：W 1＝{|t 2|≥t 1－α/2（n－1）}。

三、其他分布参数的假设检验

1．指数分布参数的假设检验（见表7-1-1）

表7-1-1

指数分布参数的假设检验

2．比率p 的检验（见表7-1-2）

表7-1-2比率p 的检验

四、似然比检验与分布拟合检验1．似然比检验的思想假设的似然比

111sup ()

()sup ()

n n n p x x x x p x x θθθθ∈Θ

∈ΘΛ=

，，；，，，，；K K K 2．分类数据的χ2拟合优度检验

定理：在实际观测数与期望观测数相差不大的假定下，在H 0成立时，对统计量

2

2

01

0()r

i i i i n np np χ=-=∑

有2

2

(1)L

r χχ−−

→-。根据定理，采取显著性水平为α的显著性检验：检验统计量为：

2

2

01

0()r

i i i i n np np χ=-=∑

，拒绝域为22

1{(1)}W r αχχ-=≥-。

五、正态性检验1．W 检验W 统计量

()()2

12

2

1

1

()(()i i i i n

i n

n i i a a x x W a a x x ===⎡⎤∑--⎢⎥⎣⎦=∑-∑-拒绝域{W≤W a }。

2．EP 检验

EP 检验统计量定义为

22122

211()2()1exp 2exp 243n i n j i i EP

i j i x x x x T n s s -===⎧⎫--⎧⎫--⎪⎪

=++∑∑-∑⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭

其拒绝域为{T EP ≥T 1－α，EP（n）}。

六、秩和检验

R＝（R 1，…，R n ）（R i 是x i 的秩）符号秩和统计量1

(0)n

i i i W

R I x +

==∑>拒绝域为{W ＋≤W a/2＋（n）}∪{W ＋≥W 1－a/2

＋

（n）}。

7.2课后习题详解

习题7.1

1．设x 1，…，x n 是来自N（μ，1）的样本，考虑如下假设检验问题

H 0：μ＝2vs H 1：μ＝3

若检验由拒绝域为{ 2.6}W x =≥确定。（1）当n＝20时求检验犯两类错误的概率；

（2）如果要使得检验犯第二类错误的概率β≤0.01，n 最小应取多少？（3）证明：当n→∞时，α→0，β→0。

解：（1）由第一类错误定义，且在H 0：μ＝2成立下，1220x N ⎛

⎫ ⎪⎝

⎭

，，故犯第一类错误的概率为

0( 2.6|)

2

2.621/20

1/201(2.68)0.0037

P x H x P =≥==-Φ=α由第二类错误定义，且在H 1成立下。1320x N ⎛⎫ ⎪⎝

⎭

，，故犯第二类错误的概率为

1( 2.6|)1/20

1/20(1.79)1(1.79)0.0367

x P x H P β=<=<=Φ-=-Φ=（2）由第二类错误定义，若使犯第二类错误的概率β≤0.01，即满足

1( 2.6|)0.01

1/1/x P x H P n

n β⎛=<=<≤ ⎝即0.410.011/n -Φ≤，

或(0.40.99n Φ≥，查表得： 2.33n ≥，故n≥33.93，因而n 最小应取34，才能使检验犯第二类错误的概率β≤0.01。

（3）在样本量为n 时，根据定义，检验犯第一类错误的概率为

0( 2.6|)

2 2.621/1/1(0.6)

P x H x P n n n α===-Φ≥当n→∞时。1n Φ→，即α→0。检验犯第二类错误的概率为

1( 2.6|)

1/1/=(0.41(0.4P x H x P n n n n β=<⎫

=<⎪

⎭Φ-=-Φ当n→∞时，1n Φ→，即β→0。

注：从这个例子可以看出，一般情况下人们不应要求α与β同时很小。这是因为要使得α与β同时很小，必须样本量n 很大。这一结论在一般场合仍成立，由于样本量n 很大在实际中常常是不可行的。

2．设x 1，…，x 10是来自0-1总体b （1，p）的样本，考虑如下检验问题H 0：p＝2vs H 1：p＝0.4，取拒绝域为{}W x =≥0.5，求该检验犯两类错误的概率。

解：因为总体服从二点分布b（1，p），则()1010x b p ，，由第一类错误定义，且在H 0：p＝2成立下，故犯第一类错误的概率为

001010

5(0.5|)(105|)

10140.0328

55k

k

k P x H P x H k α-===⎛⎫⎛⎫⎛⎫

== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭∑≥≥由第二类错误定义，且在H 1：p＝0成立下，故犯第二类错误的概率为