茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解(假设检验)【圣才出品】
茆诗松《概率论与数理统计教程》笔记和课后习题(含考研真题)详解(参数估计)【圣才出品】
第6章 参数估计6.1 复习笔记一、点估计的概念与无偏性 1．点估计及无偏性（1）定义：设x 1，…，x n 是来自总体的一个样本，用于估计未知参数θ的统计量θ∧＝θ∧（x 1，…，x n ）称为θ的估计量，或称为θ的点估计，简称估计．（2）定义：设θ∧＝θ∧（x 1，…，x n ）是θ的一个估计，θ的参数空间为Θ，若对任意的θ∈Θ，有E θ（θ∧）＝θ，则称θ∧是θ的无偏估计，否则称为有偏估计．注意：①当样本量趋于无穷时，有E （s n 2）→σ2，称s n 2为σ2的渐近无偏估计，这表明当样本量较大时，s n 2可近似看作σ2的无偏估计．②若对s n 2作如下修正：则s 2是总体方差的无偏估计．这个量常被采用．③无偏性不具有不变性．即若θ∧是θ的无偏估计，一般而言，其函数g （θ∧）不是g （θ）的无偏估计，除非g （θ）是θ的线性函数．④并不是所有的参数都存在无偏估计，当参数存在无偏估计时，我们称该参数是可估的，否则称它是不可估的．22211()11nn i i ns s x x n n ===---∑2．有效性定义：设θ∧1，θ∧2是θ的两个无偏估计，如果对任意的θ∈Θ有Var （θ∧1）≤Var （θ∧2），且至少有一个θ∈Θ使得上述不等号严格成立，则称θ∧1比θ∧2有效．二、矩估计及相合性 1．替换原理和矩法估计 替换原理指：（1）用样本矩去替换总体矩，这里的矩可以是原点矩也可以是中心矩． （2）用样本矩的函数去替换相应的总体矩的函数．2．概率函数已知时未知参数的矩估计设总体具有已知的概率函数p （x ；θ1，…，θk ），（θ1，…，θk ）∈Θ是未知参数或参数向量，x 1，…，x n 是样本．假定总体的k 阶原点矩u k 存在，则对所有的j （0＜j ＜k ）u j 都存在，若假设θ1，…，θk 能够表示成u 1，…，u k 的函数θj ＝θj （u 1，…，u k ），则可给出θj 的矩估计：θ∧j ＝θj （a 1，…，a k ），j ＝1，…，k ，其中a 1，…，a k 是前k 阶样本原点矩进一步，如果我们要估计θ1，…，θk 的函数η＝g （θ1，…，θ∧k ），则可直接得到η的矩估计η∧＝g （θ∧1，…，θ∧k ）．注：当k ＝1时，我们通常可以由样本均值出发对未知参数进行估计；如果k ＝2，我们可以由一阶、二阶原点矩（或二阶中心矩）出发估计未知参数．11n jj ii a x n ==∑3．相合性定义：设θ∈Θ为未知参数，θ∧n ＝θ∧n （x 1，…，x n ）是θ的一个估计量，n 是样本容量，若对任何一个ε＞0，有则称θ∧n 为参数θ的相合估计． 判断相合性的两个有用定理：（1）设θ∧n ＝θ∧n （x 1，…，x n ）是θ的一个估计量，若则θ∧n 是θ的相合估计．（2）若θ∧n1，…，θ∧nk 分别是θ1，…，θk 的相合估计η＝g （θ1，…，θk ），是θ1，…，θk 的连续函数，则η∧＝g （θ∧n1，…，θ∧nk ）是η的相合估计．三、最大似然估计与EM 算法 1．最大似然估计定义：设总体的概率函数为P （x ；θ），θ∈Θ，其中θ是一个未知参数或几个未知参数组成的参数向量，Θ是参数空间，x 1，…，x n 是来自该总体的样本，将样本的联合概率函数看成θ的函数，用L （θ；x 1，…，x n ）表示，简记为L （θ），L （θ）＝L （θ；x 1，…，x n ）＝p （x 1；θ）p （x 2；θ）…p （x n ；θ）ˆlim ()0n n P θθε→∞-≥=ˆlim ()nn E θθ→∞=ˆlim ()0nn Var θ→∞=L （θ）称为样本的似然函数．如果某统计量θ∧＝θ∧（x 1，…，x n ）满足则称θ∧是θ的最大似然估计，简记为MLE ．注意：在做题时，习惯于由lnL （θ）出发寻找θ的最大似然估计，再求导，计算极值．但在有些场合用求导就没用，此时就需要从取值范围中的最大值和最小值来入手．2．EM 算法当分布中有多余参数或数据为截尾或缺失时，其MLE 的求取是比较困难的，这时候就可以采用EM 算法，其出发点是把求MLE 的算法分为两步：（1）求期望，以便把多余的部分去掉； （2）求极大值．3．渐近正态性最大似然估计有一个良好的性质：它通常具有渐近正态性．（1）定义：参数目的相合估计θ∧n 称为渐近正态，若存在趋于0的非负常数序列σn （θ），使得依分布收敛于标准正态分布．这时也称θ∧n 服从渐近正态分布N （θ，σn 2（θ）），记为θ∧n ～AN （θ，σn 2（θ）），σn 2（θ）称为θ∧n 的渐近方差．（2）定理：设总体x 有密度函数p （x ；θ），θ∈Θ，Θ为非退化区间，假定 ①对任意的x ，偏导数∂lnp/∂θ，对所有θ∈Θ都存在； ②∀θ∈Θ有|∂p/∂θ|＜F 1（x ），|∂2p/∂θ2|＜F 2（x ），|∂3lnp/∂θ3|＜F 3（x ）()()ˆmax L L θθθ∈Θ=()ˆn n θθσθ-其中函数F 1（x ），F 2（x ），F 3（x ）满足③∀θ∈Θ，若x 1，x 2，…，x n 是来自该总体的样本，则存在未知参数θ的最大似然估计θ∧n ＝θ∧n （x 1，x 2，…，x n ），且θ∧n 具有相合性和渐近正态性，该定理表明最大似然估计通常是渐近正态的，且其渐近方差σn 2（θ）＝（nI （θ））－1有一个统一的形式，其中，I （θ）称为费希尔信息量．四、最小方差无偏估计 1．均方误差（1）使用条件：小样本，有偏估计．（2）均方误差为：MSE （θ∧）＝E （θ∧－θ）2，常用来评价点估计． 将均方误差进行如下分解：MSE （θ∧）＝E[（θ∧－E θ∧）＋（E θ∧－θ）]2＝E （θ∧－E θ∧）2＋（E θ∧－θ）2＋2E[（θ∧－E θ∧）1()d F x x ∞-∞<∞⎰2()d F x x ∞-∞<∞⎰3sup ()(;)d F x p x x ∞-∞∈Θ<∞⎰θθ()()2ln 0;d p p x x ∞-∞∂⎛⎫<I =<∞ ⎪∂⎝⎭⎰θθθ1ˆ~(,)()nAN nI θθθ（E θ∧－θ）]＝Var （θ∧）＋（E θ∧－θ）2由分解式可以看出均方误差是由点估计的方差与偏差|E θ∧－θ|的平方两部分组成．如果θ∧是θ的无偏估计，则MSE （θ∧）＝Var （θ∧）．（3）一致最小均方误差设有样本x 1，…，x n ，对待估参数θ有一个估计类，如果对该估计类中另外任意一个θ的估计θ~，在参数空间Θ上都有MSE （θ∧）≤MSE （θ~），称θ∧（x 1，…，x n ）是该估计类中θ的一致最小均方误差估计．2．一致最小方差无偏估计定义：设θ∧是θ的一个无偏估计，如果对另外任意一个θ的无偏估计θ~．在参数率间Θ上都有Var （θ∧）≤Var （θ~），则称θ∧是θ的一致最小方差无偏估计，简记为UMVUE ．关于UMVUE ，有如下一个判断准则：设X ＝（x 1，…，x n ）是来自某总体的一个样本，θ∧＝θ∧（X ）是θ的一个无偏估计，Var （θ∧）＜∞，则θ∧是θ的UMVUE 的充要条件是：对任意一个满足E （φ（X ））＝0和Var （φ（X ））＜∞的φ（X ）都有Cov θ（θ∧，φ）＝0，∀θ∈Θ．这个定理表明UMVUE 的重要特征是：θ的最小方差无偏估计必与任一零的无偏估计不相关，反之亦然．3．充分性原则定理：总体概率函数是p （x ；θ），x 1，…，x n 是其样本，T ＝T （x 1，…，x n ）是θ的充分统计量，则对θ的任一无偏估计θ∧＝θ∧（x 1，…，x n ）；令ˆ()E T θθ=。
茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解(参数估计)【圣才出品】
茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解第6章参数估计6.1复习笔记一、矩估计及相合性判断相合性的两个定理：（1）设ꞈθn ＝ꞈθn （x 1，…，x n ）是θ的一个估计量，若ˆlim ()nn E θθ→∞=，ˆlim Var()0n n θ→∞=，则ꞈθn 是θ的相合估计。
（2）若ꞈθn1，…，ꞈθnk 分别是θ1，…，θk 的相合估计，η＝g（θ1，…，θk ），是θ1，…，θk 的连续函数，则ꞈη＝g（ꞈθn1，…，ꞈθnk ）是η的相合估计。
二、最大似然估计（1）求样本似然函数；（2）求对数似然函数；（3）求导；（4）找到ꞈθ＝ꞈθ（x 1，…，x n ）满足()()ˆmax L L θθθ∈Θ=。
三、最小方差无偏估计1．均方误差（1）MSE（ꞈθ）＝E（ꞈθ－θ）2，如果ꞈθ是θ的无偏估计，则MSE（ꞈθ）＝Var（ꞈθ）。
（2）一致最小均方误差如果对该估计类中另外任意一个θ的估计~θ，在参数空间Θ上都有MSE （ꞈθ）≤MSE （~θ），称ꞈθ（x 1，…，x n ）是该估计类中θ的一致最小均方误差估计。
2．一致最小方差无偏估计UMVUE 判断准则：设X＝（x 1，…，x n ）是来自某总体的一个样本，ꞈθ＝ꞈθ（X）是θ的一个无偏估计，Var （ꞈθ）＜∞，则ꞈθ是θ的UMVUE 的充要条件是：对任意一个满足E（φ（X））＝0和Var（φ（X））＜∞的φ（X）都有Cov θ（ꞈθ，φ）＝0，∀θ∈Θ。
3．充分性原则定理：总体概率函数是p（x；θ），x 1，…，x n 是其样本，T＝T（x 1，…，x n ）是θ的充分统计量，则对θ的任一无偏估计ꞈθ＝ꞈθ（x 1，…，x n ）；令~θ＝E（ꞈθ|T），则ꞈθ也是θ的无偏估计，且Var（ꞈθ）≤Var（ꞈθ）。
4．Cramer-Rao 不等式（1）费希尔信息量I（θ）2()=ln (;)I E p x θθθ∂⎡⎤⎢⎥∂⎣⎦（2）定理（Cramer-Rao 不等式）设总体分布P（X；θ）满足费希尔信息里I（θ），x 1，x 2…，x n 是来自该总体的样本，T ＝T（x 1，x 2…，x n ）是g（θ）的任一个无偏估计，g′（θ）∂g（θ）/∂θ存在，且对Θ中一切θ，对1i 11()...(,,)(;)d d nn ni g T x x p x x x θθ∞∞-∞-∞==∏⎰⎰ 的微商可在积分号下进行，即1111111()...(,...,)((;))d d ...(,,)ln(;)(;)d d nn i ni nnn i i ni i g T x x p x x x T x x p x p x x x θθθθθθ∞∞-∞-∞=∞∞-∞-∞==∂'=∂∂⎡⎤=⎢⎥∂⎣⎦∏⎰⎰∏∏⎰⎰ 对离散总体，则将上述积分改为求和符号后，等式仍然成立。
魏宗舒版《概率论与数理统计教程》第三版_课后习题
假定ε1,ε2,…,εn相互独立，且服从同一正态分布N(0,σ2)。
二、回归系数的最小二乘估计
假设由某种方法得到β0, β1, …, βp的估计值b0, b1, …, bp则y的 观测值可表示为
yi b0 b1xil L bp xip ei (i 1, 2,L , n)
这里ei是i的估计值，仍称为残差或剩余。令 yˆ i 为yi的估计值,
1960.5500
S21
S12
20 i1
xi1 xi 2
1 20
20 i1
xi1
20 i1
x12
104.6250
S22 9.7975 , S13 S31 206 .8800
S33 37.8880 , S23 S32 14.9700
这就是§10.3中要介绍的多元线性回归问题。
3 多元线性回归
一、多元线性回归的数学模型
设因变量y与p个自变量x1，…，xp之间有线性关系：
y 0 1x1 p x p
其中ε为随机变量，称为随机误差。 将n次观测数据（xi1，x12，…，xip，yi），i=1，2，…，n代
y =β0+β1x+
（1）
4. 为估计未知参数β0 、β1，将观测值（xi，yi）代入得
yi=β0+β1xi+ i (i =1，2，…，n)
假定i 相互独立，且 i ~ N(0, 2) 。称（1）式为线性回归的
数学模型。
一、β0，β1的最小二乘估计
设 b0 ,b1分别为β0,β1的估计值，
20.00
2.20
16
22.00
茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解-第7~8章【圣才出品】
，xn；
)
0
2．分类数据的χ2 拟合优度检验
定理：在实际观测数与期望观测数相差不大的假定下，在 H0 成立时，对统计量
2
r i 1
(ni
npi0 )2 npi0
有 2
L 2 (r 1) 。
根据定理，采取显著性水平为α 的显著性检验：检验统计量为：
2
r i 1
(ni
npi0 )2 npi0
，拒绝域为W
{ 2
2 1
(r
1)} 。
五、正态性检验 1．W 检验 W 统计量
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W
n
(ai
i 1
a
)( x ( i )
x
)
2
n
n
(ai a )2 (x(i) x )2
i 1
i 1
拒绝域{W≤Wa}。
2．比率 p 的检验（见表 7-1-2）
表 7-1-2 比率 p 的检验
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四、似然比检验与分布拟合检验
1．似然比检验的思想
假设的似然比
sup p(x1，K ，xn； )
( x1，K
，xn
)
sup
p( x1，K
＋（n）}。
7.2 课后习题详解
习题 7.1
1．设 x1，…，xn 是来自 N（μ，1）的样本，考虑如下假设检验问题
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H0：μ＝2 vs H1：μ＝3
若检验由拒绝域为 W {x 2.6}确定。
《概率论与数理统计》第三版王松桂科学出版社课后习题答案
第一章 事件与概率1．写出下列随机试验的样本空间。
（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。
（6）实测某种型号灯泡的寿命。
解 （1）},100,,1,0{n i n i==Ω其中n 为班级人数。
（2）}18,,4,3{ =Ω。
（3）},11,10{ =Ω。
（4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。
（5）=Ω{(x,y)| 0<x<1,0<y<1}。
（6）=Ω{ t | t ≥ 0}。
2．设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件，。
（1）A 发生，B 与C 不发生。
（2）A 与B 都发生，而C 不发生。
（3）A ，B ，C 中至少有一个发生。
（4）A ，B ，C 都发生。
（5）A ，B ，C 都不发生。
（6）A ，B ，C 中不多于一个发生。
（7）A ，B ，C 至少有一个不发生。
（8）A ，B ，C 中至少有两个发生。
解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ，（5）C B A ，（6）C B C A B A ++或C B A C B A C B A C B A +++，（7）C B A ++，（8）BC AC AB ++或ABC BC A C B A C AB ⋃⋃⋃ 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。
（1）B B A B A = （2）AB B A =（3）AB B A B =⊂则若, （4）若 A B B A ⊂⊂则,（5）C B A C B A = （6） 若Φ=AB 且A C ⊂， 则Φ=BC 解 : (1) 成立，因为B A B B B A B B A ==))((。
茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解(方差分析与回归分析)【圣才出品】
（4）各平方和的计算
Ti
=
mi j =1
yij，yi =
Ti mi
r
， T=
i =1
mi j =1
yij
=
r i =1
Ti，y
=
T n
r mi
则 ST
i1 j1
yij－y
2
r i 1
mi j 1
yij2－
T2 n
，fT＝n－1；
r
SA mi
i 1
yi－y
2
r
Ti
2
－
T
2
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n＝mr＝12。每个水平下的数据和以及总数据和为：
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茆诗松《概率论与数理统计教程》第 3 版笔记和课后习题含考研真题详解 第 8 章 方差分析与回归分析
8.1 复习笔记
一、方差分析
1．单因子方差分析的统计模型
yij
=
+ai
+
ij
,i
=1,2,,r
r
ai =0,
i =1
之，无明显差别，这一方法称为 T 法。
3．重复数不等场合的 S 法
cij
r－1 F1- (r－1,
fe
)
1 mi
1 mj
ˆ 2
三、方差齐性检验（见表 8-1-2）
表 8-1-2 方差齐性检验
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四、一元线性回归
0 t1/2 n 2ˆ
1 x0 x 2
茆诗松《概率论与数理统计教程》笔记和课后习题(含考研真题)详解(随机变量及其分布)【圣才出品】
xk p xk 丌收敛，则称 X 癿数学期望丌存在．
k =1
（2）连续型随机变量
定义：设连续随机变量 x 癿密度凼数为 p（x）．如果
x p xdx
则称
E
X
xp
x
dx
为 X 癿数学期望，或称作该分布 p（x）癿数学期望，简称期望或均值．若
x p x dx 丌收敛，则称 X 癿数学期望丌存在．
2．数学期望癿性质 按照数学期望 E（X）癿定义，E（X）由其分布唯一确定．若要求随机变量 X 癿一个凼
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数 g（X）癿数学期望，当然要先求出 Y＝g（X）癿分布，再用此分布来求 E（Y）．
lim
xx0
F
x
F
x0
即 F（x0＋0）＝F（x0）
返三个基本性质为判别某个凼数是否能成为分布凼数癿充要条件．
当 F（x）在 a 不 b 处连续时，有 F（a－0）＝F（a），F（b－0）＝F（b）．
3．离散随机变量癿概率分布列
（1）定义：设 X 是一个离散随机变量，如果 X 癿所有可能叏值是 x1，x2，…，xn，…，
则称 X 叏 xi 癿概率 pi＝p（xi）＝P（X＝xi），i＝1，2，…n，…为 X 癿概率分布列或简称为
分布列，记为 X～{pi}．
分布列也可用下表来表示：
X
x1
x2
…
P P（x1） P（x2） …
茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解-第3章 多维随机变量及其分布【圣才
第 3 章 多维随机变量及其分布 3.1 复习笔记
一、多维随机变量联合分布的性质（见表 3-1-1） 表 3-1-1 联合分布的性质
二、边际分布与随机变量的独立性 1．边际分布（见表 3-1-2）
表 3-1-2 边际分布
j
5i
j
100
5
用表格形式表示如下表 3-2-1：
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表 3-2-1
行和就是 X 的分布 h（5，100，50）（超几何分布）。
列和就是 Y 的分布 h（5，100，30）（超几何分布）。
P（X≥2，Y≥1）＝0.66158。
i 1
X2，…，Xn 相互独立。
n
连续随机变量：若 p(x1, x2 ,L , xn ) pi (xi ) ，则 X1，X2，…，Xn 相互独立。 i 1
三、多维随机变量函数的分布 1．最大值与最小值的分布 （1）最大值分布：
FY ( y) P( maxX1,X 2,L ,X n y)
n
=P(X1 y, X 2 y,L , X n y)= Fi (y)
1Ex4p(4 )*4E4x4p(2)4*L4 *4Ex4p(43) =Ga(m,)
m个
（4）χ2 分布的可加性：m 个χ2 变量相互独立，则
2 (n1)* 2 (n2 )*L * 2 (nm )= 2(n1+n2 +L +nm)
四、多维随机变量的特征数（见表 3-1-3）
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（1）全概率公式：密度函数形式：
概率论与数理统计王松桂第三版课后答案
概率论与数理统计王松桂第三版课后答案【篇一：概率论与数理统计(第三版)课后答案习题1[1]】>1．写出下列随机试验的样本空间。
（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。
（6）实测某种型号灯泡的寿命，??{ini?0,1,?,100n},解（1）??{3,4,?,18} ??{10,11,?}。
其中n为班级人数（2）（3）（5）??{(x,y)? 0x1,0y1}。
（6）??{ t? t ? 0}。
2．设a，b，c为三事件，用a，b，c的运算关系表示下列各事件，。
（1）a发生，b与c不发生。
（2）a与b都发生，而c不发生。
（3）a，b，c中至少有一个发生。
（4）a，b，c都发生。
（5）a，b，c都不发生。
（6）a，b，c中不多于一个发生。
（7）a，b，c至少有一个不发生。
（8）a，b，c中至少有两个发生。
解（1）abc，（2）abc，（3）a?b?c，（4）abc，（5）abc，（6）ab?ac?bc或（7）a?b?c，（8）ab?ac?bc或abc?abc?abc?abc3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。
（1）a?b?ab?b （2）ab?ab（3）若b?a,则b?ab （4）若 a?b,则b?a（5）a?bc?abc （6）若ab??且c?a，则bc??1解 : (1) 成立，因为ab?b?(a?b)(b?b)?a?b。
(2) 不成立，因为ab?a?b?ab。
(3) 成立，?b?a,?b?ab,又ab?b,?b?ab。
(4) 成立。
(5) 不成立，因左边包含事件c，右边不包含事件c，所以不成立。
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第3版)章节题库(假设检验)【圣才出品】
第7章假设检验一、选择题1．在假设检验中，如果待检验的原假设为H0，那么犯第二类错误是指（）。
A．H0成立，接受H0B．H0不成立，接受H0C．H0成立，拒绝H0D．H0不成立，拒绝H0【答案】B【解析】直接应用“犯第二类错误”＝“取伪”＝“H0不成立，接受H0的定义，B项正确。
2．关于总体X的统计假设H0属于简单假设的是（）。
A．X服从正态分布，H0：EX＝0B．X服从指数分布，H0：EX≥1C．X服从二项分布，H0：DX＝5D．X服从泊松分布，H0：DX＝3【答案】D【解析】A、B、C三项的假设都不能完全确定总体的分布，所以是复合假设，而D项的假设可以完全确定总体分布，因而是简单假设。
3．设X 1，X 2， …，X 16为正态总体X ～N （μ，4）的简单随机样本，设H 0：μ＝0，H 1：μ≠0的拒绝域为{|X ＿|≥1/2}，则犯第一类错误的概率为（ ）。
A ．2Ф（1）－1B ．2－2Ф（1）C ．2－2Ф（1/2） D ．2Ф（1/2）－1 【答案】B【解析】由题设可知，X —～N （μ，1/4）()0,1N ，当u ＝0时，2X —～N （0，1）。
犯第一类错误的概率为P{|X —|≥1/2|μ＝0}＝P{|2X —|≥1}＝1－P{|2X —|＜1}＝1－P{－1＜2X —＜1}＝1－Ф（1）＋Ф（－1）＝2－2Ф（1），故选B 。
二、填空题1．设X 1，X 2，…，X n 是来自正态总体N （μ，σ2）的简单随机样本，其中参数σ2未知，1ni i X X ==∑，2211()ni i Q X μ==-∑，2221()nii Q X X ==-∑，对假设H 0：σ2＝σ02，在μ已知时用χ2检验统计量为______；在μ未知时使用χ2检验统计量为______。
【答案】22122200Q Q σσ；【解析】这是一个关于正态总体方差σ2的假设检验问题。
在μ已知时选用χ2检验统计量为()()222221122100ni ni i i X X Q n μμχχσσσ==-⎛⎫-===⎪⎝⎭∑∑～在μ未知时选用χ2检验统计量为()()22222122210001ni ni i i X X X X Q n χχσσσ==-⎛⎫-===- ⎪⎝⎭∑∑～2．假设X 1，X 2，…，X 36是取自正态总体 N （μ，0.04）的简单随机样本，其中μ为未知参数。
茆诗松《概率论与数理统计教程》笔记和课后习题(含考研真题)详解(假设检验)【圣才出品】
第7章假设检验7.1 复习笔记一、假设检验的基本思想与概念1．假设检验的基本思想（1）通过样本对一个假设作出“对”或“不对”的具体判断，检验的结果若是否定该命题，则称拒绝这个假设，否则就称为接受该假设．（2）若假设可用一个参数的集合表示，该假设检验问题称为参数假设检验问题，否则称为非参数假设检验问题．2．假设检验的基本步骤（1）建立假设；（2）选择检验统计量，给出拒绝域形式；注意：一个拒绝域W唯一确定一个检验法则，一个检验法则也唯一确定一个拒绝域．（3）选择显著性水平第一类错误：命题本为真，却由于随机性落入了拒绝域，而否定了命题．（弃真）第二类错误：命题本为假，由于随机性落入了接受域，而接受了命题．（取伪）犯第一类错误概率：α＝pθ{（X∈W）}，θ∈Θ0，也记为p{X∈W|H0}；犯第二类错误概率：β＝pθ{（X∈W＿）}，θ∈Θ1，也记为p{X∈W＿|H1}．注意：α，β的控制是相反的，即减小α，会加大β．①势函数：设检验问题H0：θ∈Θ0 vs H1：θ∈Θ1的拒绝域为W，则样本观测值X落在拒绝域W内的概率称为该检验的势函数，记为g（θ）＝pθ（X∈W），θ∈Θ＝Θ0∪Θ1②显著性检验：对检验问题H0：θ∈Θ0 vs H1：θ∈Θ1，如果一个检验满足对任意的θ∈Θ0，都有g（θ）≤α，则称该检验是显著性水平为α的显著性检验，简称水平为α的检验．（4）给出拒绝域依据题意分析，确定统计量来给出拒绝域．（5）做出判断有了明确的拒绝域W后，根据样本观测值我们可以作出判断，决定假设是否成立．3．检验的p值定义：在一个假设检验问题中，利用样本观测值能够作出拒绝原假设的最小显著性水平，将检验的p值与假设的显著性水平α进行比较可以很容易作出检验的结论：①如果α≥p，则在显著性水平α下拒绝H0；②如果α＜p，则在显著性水平α下接受H0．二、正态总体参数假设检验1．单个正态总体均值的检验设x1，…，x n是来自N（μ，σ2）的样本，单个正态总体均值的假设检验列表如下：2．假设检验与置信区间的关系检验的接受域与置信区间是一一对应的．3．两个正态总体均值差的检验设x1，…，x m是来自正态总体N（μ1，σ12）的样本，y1，…，y n是来自另一个正态总体N（μ2，σ22）的样本，两个样本相互独立，两个正态总体均值的假设检验如下表：注：1x yu -=2x y u -=t 1是服从自由度为n ＋m －1的t 分布的随机变量，t 2是服从自由度为l 的t 分布的随机变量．4．成对数据检验假定x ～N （μ1，σ12），y ～（μ2，σ22），且x 与y 独立，在正态性假定下，d ＝x －y ～N （μ，σd 2），其中μ＝μ1－μ2，σd 2＝σ12＋σ22，将比较μ1与μ2的大小转化为考察μ是否为零，即考察如下检验问题：H 0：μ＝0 vs H 1：μ≠0即把双样本的检验问题转化为单样本t 检验问题，这时检验的t 统计量为 其中在给定显著性水平α下，该检验问题的拒绝域是：W1＝{|t 2|≥t 1－α/2（n －1）}，这就是1x y t -=2x y t -=2(dt d s =11ni i d d n ==∑1/2211()1n d i i s d d n =⎛⎫=- ⎪-⎝⎭∑成对数据的t检验．5．正态总体方差的检验（1）单个正态总体方差的χ2检验；（2）两个正态总体方差比的F检验．两正态总体方差的假设检验如下表：三、其他分布参数的假设检验1．指数分布参数的假设检验（1）提出假设：H0：θ≤θ0 vs H1：θ＞θ0拒绝域：W1＝{χ2≥χ1－α2（2n）}，p值：p1＝P（χ2≥χ02）．（2）提出假设：H0：θ≥θ0 vs H1：θ＜θ0和H0：θ＝θ0 vs H1：θ≠θ0。
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X 的分布列为
表 2-2-1
（2）
0,
F(x)
P( X
x)
0.1, 0.4,
1,
x3 3 x4 4 x5
x5
F（x）的图形如图 2-2-1。
图 2-2-1
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茆诗松《概率论与数理统计教程》第 3 版笔记和课后习题含考研真题详解 第 2 章 随机变量及其分布 2.1 复习笔记
一、随机变量及其分布（见表 2-1-1） 表 2-1-1 随机变量及其分布
注：当 F（x）在 a 与 b 处连续时，有 F（a－0）＝F（a），F（b－0）＝F（b）。 二、随机变量的数学期望 数学期望的性质 （1）定理：若随机变量 X 的分布用分布 p（xi）或用密度函数 p（x）表示，若 X 的某 一函数 g（X）的数学期望存在，则
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E
g
X
g xi
i
gx
p p
x
xi ,在离散场合 dx,在连续场合
（2）E（c）＝c（c 为常数）。
（3）E（aX）＝aE（X）（a 为常数）。
（4）E（g1（x）±g2（x））＝E（g1（x））±E（g2（x））。
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七、分布的其他特征数（见表 2-1-5） 表 2-1-5 分布的其他特征数
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茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解(大数定律与中心极限定理)【圣才出品
设{Xn}是独立同分布的随机变量序列，且 E（Xi）＝μ，Var（Xi）＝σ2＞0 存在，若记
Y n
X1 X2 X n n n
，则对任意实数 y，有
lim
n
P(Yn
y)
(
y)
1 2
y t2 e 2dt
2．棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 设 n 重伯努利试验中，事件 A 在每次试验中出现的概率为 p（0＜p＜1），记 Sn 为 n
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Var（Xi）≤c，i＝1，2，…，则{Xn}服从大数定律，即对任意的ε＞0，，nlim P(
Sn n
p
)
1
成立。
（2）马尔可夫大数定律
对随机变量序列{Xn}，若
1 n2
Var (
n i1
Xi)
0
，成立，则{Xn}服从大数定律，即对任意
即 X n Yn P X Y 成立。
（2）先证
X
2 n
P
X
2
，∀ε＞0，δ＞0，取
M
足够大（譬如ε/M≤1），使有
P{|X|
＞（M-1）/2}＜δ成立，对于选择的 M，∃N，当 n＞N 时，有
P{|Xn-X|≥1}≤P{|Xn-X|≥ε/M}＜δ
此时
P{| X n X | M } P{| X n X | | 2X | M } P({| X n X | | 2X | M } I {| X n X | 1}) P({| X n X | | 2X | M }I | X n X | 1) P{| 2X | M 1} P{| X n X | 1} 2
U P( X
Y)
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第3版)考研真题精选(统计量及其分布)【圣才出品】
根据抽样定理得：
n 1 S 2
2
:
2 n 1
＿
又X与 S2 相互独立，所以
n(X )
(n
1)S 2 2
/
(n
1)
n X : t n 1 S
X 1n X 2．设 X1，X2，…，X（n n≥2）为来自总体 N（μ，1）的简单随机样本，记
n
i， i 1
则下列结论中不正确的是（ ）。[数一 2017 研]
则（ ）。[数三 2018 研]
A． n X : t n S
B． n X : t n 1 S
C．
nX
S:t n NhomakorabeaD．
nX
S
:
t n 1
【答案】B
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【解析】因为
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X
:
N
,
2
n
所以
X : N 1,0
＿
＿
D 项，（X－μ）～N（0，1/n），则 n (X ) : N (0,1) ，所以 n（X－μ）2～
χ2（1）。
3．设 X1，X2，X3 为来自正态总体 N（0，σ2）的简单随机样本，则统计量 S
X1 X2 2 X3
服从的分布是（ ）。[数三 2014 研]
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2
且 X1 X 2 与 X3/σ 相互独立，故 2
X1 X2
2 X1 X 2 ~ t 1
X
2 3
2
X
2 3
2
二、填空题
＿
设 x1，x2，…，xn 为来自总体 N（μ，σ2）的简单随机样本，样本均值x＝9.5，参数 μ
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E
1 n
n
Yi
i 1
1 n
n i 1
EX 2i EX 2i1
0
D
1 n
n i 1
Yi
1 n2
n
DYi
i 1
1 n2
n i 1
DX 2i DX 2i1
2n 2 n2
2 2 n
2 2
根据切比雪夫大数定律得：
lim
n
P
1 n
n i 1
Yi
E
1 n
n
Yi
i1
lim
n i 1
Xi n n
x
＝______。
x
【答案】
1 et2 dt 2
【解析】因为 X1，X2，…，Xn 是相互独立的随机变量，且 Xi（i＝1，2，...，n）服从
参数为 λ 的泊松分布，所以 EXi＝λ，DXi＝λ 则由列维一林德伯格中心极限定理可得
lim
P
n i 1
Xi
n
x =
5．设随机变量 X1，…，Xn，…相互独立记 Yn＝X2n－X2n－1（n≥1），概括大数定律，
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1 n
当 n→∞时，
n
Yi
i 1
依概率收敛到零，只要{Xn，n≥l}满足（
）。
A．数学期望存在
B．有相同的数学期望与方差
i1
n n
3
lim
P
n
n i1
Xi
n 3
x
x
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取 x
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第 4 章 大数定律与中心极限定理
一、选择题
设 X1，X2，…，Xn 为来自总体 X 的简单随机样本，其中 P（X＝0）＝P（X＝1）＝1/2，
Φ（x）表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得
P
100 再由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，
n
2 i
，EXi2＝θ。
i 1
故存在常数 a＝θ，使得对任意的 ε＞0，都有
lim
n
P{
ˆn
a
} 0
4/4
的近似值为
i1
（ ）。[数一 2020 研]
A．1－Φ（1）
B．Φ（1）
C．1－Φ（2）
D．Φ（2）
【答案】B
【解析】E（X）＝1/2，D（X）＝1/4，
E
100 i 1
Xi
50
，
D
100 i 1
Xi
25 ，
100
100
100
Xi 50
Xi 50
5 将 X i 标准化可得 i1 i 1
i 1
，由中心极限定理可知
5
近似服从标准正
态分布，
P
100 i 1
Xi
55
P
100 i 1
Xi 50 5
55 50 5
(1)
，故选 B 项。
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二、解答题
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设总体 X 的分布函数为
x2
F (x, ) 1 e x 0
n 2
i i 1
（Ⅲ）由于 X1，X2，…，Xn 独立同分布，显然对应的 X12，X22，…，Xn2 也独立同分布。
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Y＝y 条件下 X 的条件分布函数为
F x y j P X xi Y y j pi j
xi x
xi x
X＝x 条件下 Y 的条件分布函数为
F y xi P Y y j X xi p j i
yjy
yjy
2．连续随机变量的条件分布
Y＝y 条件下 X 的条件分布函数和条件密度函数： F
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表 3-1-2 边际分布
2．随机变量间的独立性
n
对任意 n 个实数 X1，X2，…，Xn：若 F ( x1, x2,, xn )= Fi ( xi ) ，则 X1，X2，…，
i =1
Xn 相互独立。
n
离散随机变量：若 P( X1=x1, X 2 =x2,, X n xn ) P( Xi xi ) ，则 X1， i 1
xy
x p u, y pY y
du ；
px
y
p x, y pY y
。
F X＝x 条件下 Y 的条件分布函数和条件密度函数：
yx
y p x,v pX x
dv ；
py
x
px, y pX x
。
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Exp()*Exp()**Exp() =Ga(m,) m个
（4）χ2 分布的可加性：m 个χ2 变量相互独立，则
2 (n1)* 2 (n2 )** 2 (nm )= 2 (n1 +n2 + +nm )
四、多维随机变量的特征数（见表 3-1-3）
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《概率论和数理统计》第三版-课后习题及答案解析.
习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{Λ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22Λ=Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{Λ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i π (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ωπ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207ππx x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8φφ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
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2
52 42 62
9, 36
PX
3
42 32 62
7 ,PX
36
4
32 22 62
5 36
PX
5
22 1 62
3 ,PX
36
6
1 62
1 36
分布列为
表 2-2-2
（2）Y 表示两次所得点数之差的绝对值，可能取值为 0，1，2，3，4，5。而 P（Y＝0）＝6/36＝1/6，P（Y＝1）＝10/36＝5/18，P（Y＝2）＝8/36＝2/9 P（Y＝3）＝6/36＝1/6，P（Y＝4）＝4/36＝1/9，P（Y＝5）＝2/36＝1/18 分布列为
1．口袋中有 5 个球，编号为 1，2，3，4，5。从中任取 3 个，以 X 表示取出的 3 个 球中的最大号码。
（1）试求 X 的分布列； （2）写出 X 的分布函数，并作图。 解：（1）从 5 个球中任取 3 个，共有 C53＝10 种等可能取法。X＝“取出的 3 个球中
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的最大号码”，X 的可能取值为 3，4，5。因为 P（X＝i）＝P（X≤i）－P（X≤i－1），且当
i≥3 时，有 P( X i) C3i ，所以 10
P( X 3) P( X 3) P( X 2) C33 0 1 10 10
P( X 4) P( X 4) P( X 3) C43 1 3 10 10 10
表 2-2-3
P X
EX
Var
2
X
或
P
X
EX
<
1
Var
2
X
（2）定理二
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第 1 章 随机事件与概率
1.1 复习笔记
一、随机事件பைடு நூலகம்其运算 1．事件间的运算（见表 1-1-1）
表 1-1-1 事件间的运算
注：①对立事件是相互的。必然事件与不可能事件互为对立事件。 ②A 与 B 互为对立事件⇔A∩B＝∅ ，且 A∪B＝Ω。 ③对立事件一定是互不相容的事件，反之不一定。
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P(AB) P( A)P(B) P(AC) P( A)P(C) P(BC) P(B)P(C)
则称 A，B，C 两两独立。若还有 P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），则称 A，B，C
相互独立。
（2）n 个事件的独立性
（2）任意事件 A，B，P（A－B）＝P（A）－P（AB）。
3．概率的加法公式
（1）（加法公式）对任意两个事件 A，B，有
P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）
对任意 n 个事件 A1，A2，…，An，有
P
n
U
i 1
Ai
n i 1
P
Ai
P
1i jn
Ai Aj
P Ai Aj Ak L 1 n1 P A1A2 L AN
1.2 课后习题详解
习题 1.1
1．写出下列随机试验的样本空间： （1）抛三枚硬币； （2）抛三颗骰子； （3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止； （4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球先从中取出一个，放回后再取出
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一个；
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第7章
假设检验
7.1复习笔记
一、假设检验的基本思想与概念1．假设检验的基本步骤（1）建立假设；
（2）选择检验统计量，给出拒绝域形式；（3）选择显著性水平：
第一类错误：弃真，α＝p θ{（X∈W）}，θ∈Θ0；第二类错误：取伪，1{(p X W θβθ=∈∈Θ，。
（4）给出拒绝域；（5）做出判断。
2．检验的p 值
①如果α≥p，则在显著性水平α下拒绝H 0；②如果α＜p，则在显著性水平α下接受H 0。
二、正态总体参数假设检验成对数据检验
（1）提出假设：H 0：μ＝0vs H 1：μ≠0；
（2）双样本的检验问题转化为单样本t 检验问题，检验t 统计量
2()
d
t d s n =其中
1/2
21111()1n
n
i d i i i d d s d d n n ==⎛⎫=
=- ⎪-⎝⎭
∑∑，（3）拒绝域：W 1＝{|t 2|≥t 1－α/2（n－1）}。
三、其他分布参数的假设检验
1．指数分布参数的假设检验（见表7-1-1）
表7-1-1
指数分布参数的假设检验
2．比率p 的检验（见表7-1-2）
表7-1-2比率p 的检验
四、似然比检验与分布拟合检验1．似然比检验的思想假设的似然比
111sup ()
()sup ()
n n n p x x x x p x x θθθθ∈Θ
∈ΘΛ=
，，；，，，，；K K K 2．分类数据的χ2拟合优度检验
定理：在实际观测数与期望观测数相差不大的假定下，在H 0成立时，对统计量
2
2
01
0()r
i i i i n np np χ=-=∑
有2
2
(1)L
r χχ−−
→-。
根据定理，采取显著性水平为α的显著性检验：检验统计量为：
2
2
01
0()r
i i i i n np np χ=-=∑
，拒绝域为22
1{(1)}W r αχχ-=≥-。
五、正态性检验1．W 检验W 统计量
()()2
12
2
1
1
()(()i i i i n
i n
n i i a a x x W a a x x ===⎡⎤∑--⎢⎥⎣⎦=∑-∑-拒绝域{W≤W a }。
2．EP 检验
EP 检验统计量定义为
22122
211()2()1exp 2exp 243n i n j i i EP
i j i x x x x T n s s -===⎧⎫--⎧⎫--⎪⎪
=++∑∑-∑⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭
其拒绝域为{T EP ≥T 1－α，EP（n）}。
六、秩和检验
R＝（R 1，…，R n ）（R i 是x i 的秩）符号秩和统计量1
(0)n
i i i W
R I x +
==∑>拒绝域为{W ＋≤W a/2＋（n）}∪{W ＋≥W 1－a/2
＋
（n）}。
7.2课后习题详解
习题7.1
1．设x 1，…，x n 是来自N（μ，1）的样本，考虑如下假设检验问题
H 0：μ＝2vs H 1：μ＝3
若检验由拒绝域为{ 2.6}W x =≥确定。
（1）当n＝20时求检验犯两类错误的概率；
（2）如果要使得检验犯第二类错误的概率β≤0.01，n 最小应取多少？（3）证明：当n→∞时，α→0，β→0。
解：（1）由第一类错误定义，且在H 0：μ＝2成立下，1220x N ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
，，故犯第一类错误的概率为
0( 2.6|)
2
2.621/20
1/201(2.68)0.0037
P x H x P =≥==-Φ=α由第二类错误定义，且在H 1成立下。
1320x N ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，，故犯第二类错误的概率为
1( 2.6|)1/20
1/20(1.79)1(1.79)0.0367
x P x H P β=<=<=Φ-=-Φ=（2）由第二类错误定义，若使犯第二类错误的概率β≤0.01，即满足
1( 2.6|)0.01
1/1/x P x H P n
n β⎛=<=<≤ ⎝即0.410.011/n -Φ≤，
或(0.40.99n Φ≥，查表得： 2.33n ≥，故n≥33.93，因而n 最小应取34，才能使检验犯第二类错误的概率β≤0.01。
（3）在样本量为n 时，根据定义，检验犯第一类错误的概率为
0( 2.6|)
2 2.621/1/1(0.6)
P x H x P n n n α===-Φ≥当n→∞时。
1n Φ→，即α→0。
检验犯第二类错误的概率为
1( 2.6|)
1/1/=(0.41(0.4P x H x P n n n n β=<⎫
=<⎪
⎭Φ-=-Φ当n→∞时，1n Φ→，即β→0。
注：从这个例子可以看出，一般情况下人们不应要求α与β同时很小。
这是因为要使得α与β同时很小，必须样本量n 很大。
这一结论在一般场合仍成立，由于样本量n 很大在实际中常常是不可行的。
2．设x 1，…，x 10是来自0-1总体b （1，p）的样本，考虑如下检验问题H 0：p＝2vs H 1：p＝0.4，取拒绝域为{}W x =≥0.5，求该检验犯两类错误的概率。
解：因为总体服从二点分布b（1，p），则()1010x b p ，，由第一类错误定义，且在H 0：p＝2成立下，故犯第一类错误的概率为
001010
5(0.5|)(105|)
10140.0328
55k
k
k P x H P x H k α-===⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭∑≥≥由第二类错误定义，且在H 1：p＝0成立下，故犯第二类错误的概率为。