2010年考研数学一真题及解析(公式及答案修正版)

2010年全国硕士研究生入学统一考试

数学试题详解及评分参考

数 学（一）

一．选择题：1 - 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个 是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上.

(1)极限2

lim ()()()x x x x a x b ®¥=-+

(A)1(B)e

(C)

a b

e -(D)

b a

e -【答】 应选 (C) .

【解】 因22ln ln()ln()lim ln()lim

()()1/x x x x x x a x b x a x b x

®¥®¥---+=-+()()()32

22112=lim lim 1

x x a b x abx x x a x b a b x x a x b x ®¥®¥---+-+==--+-，

所以2

lim (()()

x a x b x x a x b e ®¥-=-+，故选 (C) .

(2)设函数(,)z z x y =由方程(,0y z

F x x

=确定，其中F 为可微函数，且20F ¢¹，则

z z x y x y ¶¶+=¶¶(A)x (B)z (C)x -(D)z

-【答】 应选 (B) .

【解】 在方程两边分别对x 和对y 求偏导，得

122211()0y z F z F x x x x ¶¢¢-+-=¶，12110z F F x x y

¶¢¢+=¶于是有 22()z z x y F zF x y ¶¶¢¢+=¶¶， 即z z

x y z x y ¶¶+=¶¶，故选 (B) .

(3)设,m n

均是正整数，则反常积分

ò

的收敛性

(A)仅与m 的取值有关(B)仅与n 的取值有关(C)与,m n 的取值都有关(D)与,m n 的取值都无关

【答】 应选 (D) .

【解】 显然该反常积分有且仅有两个瑕点0,1x x ==，于是需分成两个积分加以考察：

dx =+ò

(1)

对于

，易见被积函数非负，且只在0x +®时无界，于是

当1n >时，

由+

0lim 0x

®=及1

20ò

收敛，

知收敛；

当1n

=时12/1m

x

-:

及

21

210

1m

dx x

-ò

收敛，

知收敛；

(2)

对于

，易见被积函数非负，且只在1x -®时无界，于是

当1m >时

，

由1

1lim lim 0x x -

-®®

==及1

收敛，知 收敛；

当1m =时

，由21/21

1ln (1)lim lim 0(1)

x x x x ---®®-==-及21

2

101m dx x -ò

收敛，知收敛；

由此可见，无论正整数,m n

如何取值，0

ò

都是收敛的，故选 (D) .

(4) 2211

lim

()()n n

n i j n

n i n j ®¥===++åå (A) 12001(1)(1)x dx dy x y ++òò

(B)

1

001

(1)(1)x

dx dy x y ++òò

(C) 11001(1)(1)

dx dy

x y ++òò(D) 112001(1)(1)

dx dy

x y ++òò【答】 应选 (D) .

【解】 记2

1

(,)(1)(1)f x y x y =++，(){},y 01,01D x x y =££££，知(,)f x y 在D 上可积. 用直线()0,1,2,,i i x x i n n ===L 与()0,1,2,,j j y y j n n

===L 将D 分成2

n

等份，可见2222

1111

211

()()(1)(1)

n n n n

i j i j n i j n i n j n n n

=====×++++åååå是(,)f x y 在D 上的二重积分的一个和式，于是

112222001111

lim ()()(1)(1)(1)(1)n

n

n i j D

n dxdy dx dy n i n j x y x y ®¥====++++++ååòòòò.故选 (D) . (5)设A 为m n ´矩阵，B 为n m ´矩阵，E 为m 阶单位矩阵. 若AB E =，则

(A)秩()r A m =，秩()r B m =(B)秩()r A m =，秩()r B n =(C)秩()r A n =，秩()r B m =(D)秩()r A n =，秩()r B n

=【答】 应选 (A) .

【解】 因A 是m n ´矩阵，故()r A m £，又()()()r A r AB r E m ³==，故()r A m =. 同理，可得()r B m =，故选 (A) .

(6)设A 为4阶实对称矩阵，且2

A A O +=. 若A 的秩为3，则A 相似于

(A) 1110æö

ç÷

ç÷ç÷ç÷

èø

(B) 1110æö

ç÷

ç÷ç÷-ç÷

èø

(C) 1110æöç÷

-ç÷ç÷-ç÷

èø

(D) 1110-æöç÷

-ç÷ç÷-ç÷

èø

【答】 应选 (D) .

【解】 设l 为A 的特征值，则由2

A A O +=知2

+=0l l ，即=0l 或1-. 又因A 是实对 称矩阵，故A 必相似于对角矩阵L ，其中L 的对角线上的元素为特征值1-或0. 再由

()3r A =可知()3r L =，故选 (D) .

(7)设随机变量X 的分布函数0,

0,1(),01,21,

1x

x F x x e x -<ìïï

=£<íï-³ïî则{1}P X ==