中国古代数学的辉煌与成就详解
中国古代数学方面成就
中国古代数学方面成就
中国古代数学方面成就显著，其中包括《周髀算经》、九九乘法表、祖冲之精确计算圆周率、明安图推出“割圆九术”等。
1.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前1世纪。
该书主要讲述了当时的中国数学家们的某些算筹记数法和分数运算，是世界上最早的数学著作之一。
2.九九乘法表是古代中国常用的乘法口诀，春秋战国时代就已经开始使用。
该乘法表以九九八十一起头，与现代使用的乘法口诀相似。
3.南北朝时期，数学家祖冲之对圆周率进行了精确的计算，他首次将圆周率精确到小数点后第七位数字，即3.1415926到3.1415927之间，这一成果比欧洲人早了一千年。
4.清代蒙古族数学家明安图推出“割圆九术”，将其研究成果整理成《割圆密率捷法》，该书对极限思想做了发展。
如需了解更多关于中国古代数学方面的成就，可以查阅中国国家博物馆编著的《中华文化简史》、华觉明和李晶玮编著的《中国古代科学技术简史》、黄仁宇的《中国大历史》等书籍。
中国古代数学的辉煌与成就
（11）中国剩余定理。实际上就是解联立 一次同余式的方法。这个方法最早见于 《孙子算经》，1801年德国数学家高斯 （公元1777~1855）在《算术探究》中 提出这一解法，西方人以为这个方法是 世界第一，称之为“高斯定理”，但后 来发现，它比中国晚1500多年，因此为 其正名为“中国剩余定理”。
❖ 他第一次给出了区分正负数的方法："正算赤， 负算黑。否则以邪正为异。"意思是，用红色的小棍 摆出的数表示是正数，用黑色小棍摆出的数表示是 负数。也可以用斜摆的小棍表示负数，用正摆的小 棍表示正数。
5）盈不足术。又名双假位法。最早 见于《九章算术》中的第七章。在 世界上，直到13世纪，才在欧洲出 现了同样的方法，比中国晚了1200 多年。
（2）幻方。我国最早记载幻方法的是春秋时代 的《论语》和《书经》，而在国外，幻方的出 现在公元2世纪，我国早于国外600多年。
❖ 幻方（magic square）又称为魔方、方阵， 它最早起源于我国。宋代数学家杨辉称之为 纵横图。
❖ 所谓纵横图，它是由1到n2，这n2个自 然数按照一定的规律排列成N行、N列的一个 方阵。它具有一种奇妙的性质，在各种几何 形状的表上排列适当的数字，如果对这些数 字进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条 路线，最后得到的和或积都是完全相同的。
❖ （6）方程术。最早出现于《九章算术》 中，其中解联立一次方程组方法，早于 印度600多年，早于欧洲1500多年。在 用矩阵排列法解线性方程组方面，我国 要比世界其他国家早1800多年。
❖ （7）最精确的圆周率“祖率”。早 于世界其他国家1000多年。
❖ （8）等积原理。又名“祖暅”原 理。保持世界纪录1100多年。
❖ （3）分数运算法则和小数。中国完整的 分数运算法则出现在《九章算术》中， 它的传本至迟在公元1世纪已出现。印度 在公元7世纪才出现了同样的法则，并被 认为是此法的“鼻祖”。我国早于印度 500多年。
4.6中国古代数学的辉煌成就
中国古代数学的辉煌成就一、最早运用勾股定理中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
据《周髀算经》记载，西周开国时期（约公元前1千多年）有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5。
《周髀算经》里还这样记载：周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸。
髀者，股也，正晷者，勾也。
正南千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸。
日益表南，晷日益长。
候勾六尺，即取竹，空经一寸，长八尺，捕影而观之，室正掩日，而日应空之孔。
由此观之，率八十寸而得径寸，故此勾为首，以髀为股，从髀至日下六万里而髀无影，从此以上至日，则八万里。
这段文字描述了中国古代人民如何利用勾股定理在科学上进行实践。
钱伟长教授对这段文字作了详细的说明：“……商高，陈子等利用立竿（即周髀）测定日影，再用勾股法推算日高的方法。
周髀高八尺，在镐京（今西安附近）一带，夏至日太阳影长一尺六寸，再正南千里，影长一尺五寸。
正北千里，影长一尺七寸。
祖先天才地用测量日影的办法，推算了夏至日太阳离地的斜高，用同理测定了冬至日的太阳斜高。
又取中空竹管，径一寸长八尺，用来观测太阳，我们的祖先发现太阳圆影恰好充满竹管的视线，于是用太阳的斜高和勾股的原则，推算太阳的直径。
这些测定的数据虽然非常粗略，和实际相差很远，但在三千年前那样早的年代，有这样天才的创造和实践的观测精神，是我们应该学习的。
”这就是勾股定理的最早的运用，尤其在3000多年前，更是非常了不起的成就。
而在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯（约公元前580-前500年）定理。
没有史料可以说明毕达哥拉斯得到和证明了这一定理。
通过二十世纪对在美索不达米亚出土的楔形文字泥版书进行的研究，人们发现早在毕达哥拉斯以前一千多年，古代巴比伦人就已经知道这个定理。
据传说，有次毕达哥拉斯应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿的餐厅铺着正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言。
中国古代数学的杰出成就
中国古代数学的杰出成就
中国古代数学有许多杰出的成就，以下是其中一些：
1. 十进制系统：中国古代数学家发展了十进制数系统，这是现代世界广泛使用的系统。
他们还发明了算盘，使计算更加高效。
2. 《九章算术》：这是中国古代著名的数学著作，涵盖了算法、代数、几何等方面的内容。
其中的算法内容对现代计算机科学的发展有着深远的影响。
3. 线性方程组：中国古代数学家独立发展了解线性方程组的方法，包括利用齐次方程的方法求解。
4. 数字的平方根和立方根：中国古代数学家发展了一种近似求解平方根和立方根的方法，这在实际应用中非常有用。
5. 数学符号的发展：中国古代数学家发展了一套独特的数学符号系统，其中包括了加减乘除等运算符号，以及指数、根号等数学符号。
6. 圆周率的计算：中国古代数学家通过近似方法计算了圆周率的值，其中最著名的是刘徽的《九章算术》中给出的近似值 3.14159，这是古代世界中最精确的圆周率计算。
这些成就表明中国古代数学在代数、几何、算法等方面有着杰出的发展，并对后世的数学发展产生了重要的影响。
中国古代的数学成就
中国古代的数学成就数学不是规律的发现者，因为它不是归纳。
数学也不是理论的缔造者，因为它不是假说。
但数学却是规律和理论的裁判和主宰者.下面是为大家收集的我国古代的数学成就数学文化，供大家参考。
中国古代的数学成就1在初中代数里，肯定学过负数概念和正负数加减法的法则，并且你的计算可能相当熟练。
然而，你是否知道，世界上是谁最早提出了负数概念和正负数的加减法法则吗?在初中你应该也学过解一元一次方程，一元二次方程，二元一次方程组，三元一次方程组等等，各种类型的方程问题，名目繁多。
但你可知道，“方程”这个名词究竟是怎么来的?是谁在世界上最早提出了一次方程的定义和完整的解法?早在两千多年以前，我国古代数学家就引进了负数概念和负数加减法法则。
在《九章算术》和《方程》一章，有一个题是说“今有卖牛二、羊五，以买十三豕，有余钱一千;卖牛三，豕三，以买九羊，钱适足;卖羊六，豕八，以买五牛，钱不足六百。
问牛、羊、豕价格几何?”“术曰：如方程，置牛二，羊五正，豕十三负，余钱数正;次置牛三正，羊九负，豕三正;次置牛五负，羊六正，豕八正，不足钱负。
以正负术入之。
”列成现代方程即为：2x +5y -13z = 10003x – 9y + 3z = 01 -5x + 6y + 8z = -600负数出现在各项系数及常数项中，这是第一次突破正数的范围。
这在世界数学史上也是领先的。
和古老的印度相比，公元7 世纪印度婆罗门芨多的著作中才出现负数的概念。
欧洲大约在17 世纪才对负数有比较正确的认识。
我国古代数学家对负数的引进，有力地扩大了数的领域，是人类对数的`认识过程中迈出的重要一步，这是中国古代数学家的一项杰出贡献。
关于方程组的解法，也是我国古代数学最早提出的。
比西方要早一千五百年，同样居世界领先地位。
以上是数学网为大家准备的我国古代的数学成就数学文化，希望对大家有所帮助。
中国古代的数学成就2我国古代几何学不仅有悠久的历史，丰富的内容，重大的成就，而且有一个具有我国自己的独特风格的体系，和西方的欧几里得体系不同。
我国古代数学成就
我国古代数学成就古代数学是我国博大精深的科学瑰宝，为世人所称道。
自古以来，我国的数学家们致力于提升数学的应用和发展，取得了许多伟大的成就。
这些成就不仅对古代有着深远影响，同时也为我们现代的数学科学提供了巨大的指导意义。
首先，我国古代数学家在算术方面有着重要的贡献。
早在两千多年前，中国就有了非常发达的十进制数制，即以十为基数的计数系统。
这种十进制数制被广泛应用于社会各个领域，使得计算变得方便快捷。
同时，古代数学家还通过研究算术运算法则，如加减乘除，进一步完善了算术体系，为后世的数学发展奠定了坚实基础。
其次，古代中国的几何学成就也非常突出。
《九章算术》中的《几何本位》一章，是古代中国几何学最早的系统化著作。
古代数学家们在解决实际问题的过程中，逐渐形成了一套独特的几何推理方法，这为后来的几何学奠定了基础。
其中，最为著名的是我国古代数学家祖冲之的《缀术》，其中提出了以代数方法解决几何问题的思想，对于后来的数学发展起到了重要的启示作用。
古代中国的代数学也取得了重要的成就。
《算法经验》和《九章算术》是中国古代代数学最重要的两部著作，它们为古代数学代数学的发展做出了卓越贡献。
古代数学家们在代数方程的研究上，提出了许多重要的方法和结论，如韦达定理、余系定理等。
这些成果不仅使代数学得到了广泛应用，而且对后来的代数学发展起到了重要的指导作用。
古代数学家对数学方法的创新也非常突出。
他们始终坚信数学应该服务于实际应用，正因如此，古代数学家们提出了许多解决实际问题的方法，如海峡测宽法、巫山不是云法等。
他们还发明了一些实用的计算工具，如筹算器和算盘等，使得计算更加高效精确。
这些创新不仅推动了数学理论的发展，也为实际应用提供了方便。
古代中国的数学成就不仅深刻地影响了古代东亚地区，而且为现代科学数学的发展提供了重要的借鉴。
其重要性在于，古代数学家在实际应用中的勇于创新和数学研究中的严谨精神，为后来的数学家们树立了榜样。
这种继承和发展的精神，不仅使我国古代数学成为世界数学史上的重要组成部分，同时也为我国现代数学科学的发展描绘了一幅灿烂的图景。
5个中国古代数学的成就
5个中国古代数学的成就中国古代数学是世界数学史上的重要组成部分，其成就不仅在于数学理论的创新，更在于数学应用的广泛。
以下将按照类别介绍5个中国古代数学的成就。
一、算术中国古代算术是世界上最早的算术之一，其成就在于发明了九九乘法表、算盘、珠算等工具，以及一些算法，如竖式算法、分数算法等。
其中，算盘是中国古代最重要的计算工具之一，它的出现极大地提高了计算效率，被广泛应用于商业、财务、科学等领域。
二、代数中国古代代数的成就主要在于发明了一些代数符号和方法，如“方程”、“未知数”、“系数”等概念，以及“正负数”、“零”等符号。
这些符号和方法为代数学的发展奠定了基础，为后来的代数学家提供了重要的启示。
三、几何中国古代几何学的成就主要在于发明了一些几何工具和方法，如圆规、直尺、勾股定理等。
其中，勾股定理是中国古代几何学的重要成就之一，它的发现和证明为后来的几何学家提供了重要的启示，成为了世界数学史上的重要里程碑。
四、数论中国古代数论的成就主要在于发现了一些数学规律和定理，如“勾股数”、“完全数”、“质数分解定理”等。
这些规律和定理为后来的数学家提供了重要的启示，成为了世界数学史上的重要贡献。
五、应用数学中国古代应用数学的成就主要在于将数学应用于实际问题的解决中，如天文学、地理学、农业、商业等领域。
其中，天文学是中国古代应用数学的重要领域之一，中国古代天文学家发明了一些天文仪器和方法，如日晷、水平仪、天球仪等，为天文学的发展做出了重要贡献。
总之，中国古代数学的成就不仅在于数学理论的创新，更在于数学应用的广泛。
这些成就为后来的数学家提供了重要的启示，成为了世界数学史上的重要贡献。
略谈中国古代的数学成就
略谈中国古代的数学成就摘要：中华文化源远流长，博大精深。
中国古代数学亦在其领域取得了非凡的成就，一些成就为世界数学的发张提供了借鉴，有些还一度引领世界的数学发展，下面将会介绍中国古代数学的发展及成就。
关键词：中国数学发展及起源圆周率勾股定理九章算术1.中国数学起源及发展1.1 西汉以前的中国数学《史记·夏本纪》大禹治水（公元前21世纪）中提到“左规矩，右准绳”，表明使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，而且知道“勾三股四弦五”。
考古学的成就，充分说明了中国数学的起源与早期发展。
西安半坡村遗址、殷墟商代甲骨文、算筹、龙山里耶秦简。
公元3－4世纪成书的《孙子算经》记载说：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。
”虽然中国传统数学的最大特点是建立在筹算基础之上，但是中国传统数学对人类文明的特殊贡献，这与西方及阿拉伯数学是明显不同的。
1.2古代印度的数学古代和中世纪，富庶的南亚次大陆几乎不断地处于外族的侵扰之下，所以古代印度文化不可避免地呈现出多元复杂的背景，最显著的特色是其宗教性。
吠陀时期（公元前10－前3世纪）。
《吠陀》成书于公元前15－前5世纪，印度婆罗门教的经典。
残留的《吠陀》中有《绳法经》（前8－前2世纪），这是印度最早的数学文献。
阿育王石柱记录了现在阿拉伯数字的最早形态。
公元前2－公元3世纪的印度数学，可参考的资料主要是“巴克沙利手稿”，出现了完整的十进制数码，其中有“•”（点）表示0，有公元876年的“瓜廖尔石碑”为证。
由上文可见，中国的数学很早就发展起来了，为后面交通方式的发达后的传播打下了深厚的基础，对中国古代数学交流发展与世界数学的发展发挥了重大的作用。
2.圆周率2.1起源古希腊作为古代几何王国对圆周率的贡献尤为突出。
古希腊大数学家阿基米德(公元前287–212 年) 开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河。
阿基米德从单位圆出发，先用内接正六边形求出圆周率的下界为3，再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4。
古代中国数学成就
古代中国数学成就
古代中国数学成就源远流长，早在商周时期就有了大量的算术题目和计算方法。
《周髀算经》是我国最早的数学著作，它记载了大量的算数和几何问题及其解法，如三角形的周长、面积，圆和正方形之间的关系等。
随着时间的推移，中国古代数学不断发展，秦汉时期出现了算盘，它成为了我国古代最重要的计算工具之一。
汉代数学家刘徽编著了《九章算术》，这是我国古代最为重要的数学著作之一，其中包括了算术、代数、几何和三角学等方面的内容。
唐代数学家李冶发明了李冶算法，这种方法可以迅速计算两个数相乘的结果。
宋代数学家周密编写了《数书九章》，这是一本很重要的算术书，其中包括了许多数学问题的解法和计算方法。
明清时期，中国数学家杨辉和秦九韶又分别发明了杨辉三角和秦九韶算法，这两种方法在代数和数论中都有着广泛的应用。
总的来说，古代中国数学成就卓越，对世界数学的发展起到了重要的贡献。
在代数、几何、三角学和数论等各个方面都有着非常重要的成果和发明，这些成就不仅给我们留下了宝贵的文化遗产，更为我们的数学研究提供了重要的参考和启示。
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中国古代数学发展成就
中国古代数学发展成就1.引言1.1 概述中国古代数学是世界数学发展史上的重要组成部分，它以其独特的思维方式和独创的数学理论成就，为数学发展做出了重要贡献。
古代中国数学的起源可以追溯到约公元前11世纪的商朝时期，而其发展则一直延续至17世纪明朝末期。
古代数学在中国充满了智慧和创造力，涉及了多个领域，如代数、几何、概率等。
古代中国数学的特点之一是应用导向，它侧重于解决实际问题和应用于日常生活中。
古代中国数学家注重实际应用和实际计算结果的精确性，因此他们发展了许多解决实际问题的方法和技巧。
例如，中国古代数学家在农业、水利工程、商业贸易等领域的实际问题中，提出了一系列实用而高效的计算方法，为社会的繁荣和发展做出了贡献。
此外，古代中国数学还注重理论基础的建立。
中国古代数学理论设立了系统的数学概念和方法，如算术、几何、代数等。
在古代中国数学的发展过程中，中国数学家将数学问题抽象化，并借助逻辑推理和推导来解决问题。
他们提出了诸多数学概念和定理，如"勾股定理"、"高斯消元法"、"排列组合"等，这些成果为后来的数学研究奠定了坚实的基础。
古代中国数学在现代数学的发展中扮演着重要的角色，它为世界数学做出了重要贡献。
中国古代数学的许多成果在欧洲数学发展中起到了重要的启发作用，影响了欧洲数学家们对数学问题的认识和解决方法。
例如，《孙子算经》的出现对于欧洲的代数发展产生了深远的影响，而《九章算术》中的一些数论问题，则为数论学科的发展提供了重要的参考。
另外，中国数学家还在计算方法和数学工具的发展方面做出了杰出贡献，如中国古代编制的《算经》等数学手册，为现代计算机的发展提供了一定的启示。
总结而言，中国古代数学发展成就丰硕而独特。
它既在应用领域为中国古代社会做出了巨大贡献，又在理论框架下为后代数学家提供了宝贵的经验和智慧。
其对现代数学的影响也是不可忽视的，中国古代数学的发展成果为世界的数学发展作出了重要的贡献。
光辉灿烂的中国古代数学
光辉灿烂的中国古代数学
中国古代数学具有辉煌灿烂的历史，为世界数学做出了重要贡献。
以下是一些典型的古代中国数学成就：
1. 《九章算术》：是中国迄今为止最早的一部数学著作，大约成书于公元前2世纪。
书中包括了算术的基本运算、方程求解、数列等内容，为后世中国数学的发展奠定了基础。
2. 集杂算术：集杂算术是古代中国人用来解决实际问题的数学方法。
这种方法包括了各种算术技巧和公式，如乘法口诀、勾股定理等。
集杂算术的发展为中国数学的应用奠定了基础。
3. 数学符号的发展：古代中国数学家发明了一系列数学符号，如加减乘除符号、等号、无穷大符号等。
这些符号的发明使用提高了数学表示和计算的便利性。
4. 小学算法：小学算法是中国古代传统的计算方法，以《华肆算法》为代表。
这种算法通过使用棋盘上的点及砂盘上的砂粒，用暴力枚举的方法计算数值，为后来的数学研究提供了基础。
5. 元代的数学成就：元代是中国数学的辉煌时期，数学家杨辉、秦九韶等在数论、代数和几何等方面做出了重要贡献。
杨辉的“杨辉三角形”被广泛应用于组合数学和概率统计。
中国古代数学在数论、代数、几何等领域都有独特的贡献，并对世界数学的发展产生了深远影响。
中国古代数学及其成就
昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天 历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？” 商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八 十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一 矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹 之所以治天下者，此数之所生也。”
一、中国数学的起源与早期发展
幻方（Magic Square）
一、中国数学的起源与早期发展
乘法口诀表 《管子· 轻重》云：“滤戏作造六峜以迎阴阳， 作九九之数以合天道。” 《韩诗外传》云；“齐桓公设庭宴燎，待人士 不至，有以九九见者。 ”
一、中国数学的起源与早期发展
《春秋》：“公田之法，十足其一；今又履其 余亩，复十取一。” 《庄子· 天下篇》：“一尺之棰，日取其半， 万世不竭” 《史记》——田忌赛马
《算数书》
二、秦汉数学
1相乘，2分乘，3乘，4矰（增）减分，5分当半者，6分半 者，7约分，8合分，9径分，10出金，11共买材，12狐出关， 13狐皮，14女织，15并租，16负米，17金贾（价），18舂 粟，19铜秏（耗），20传马，21妇织，22羽矢，23桼（漆） 钱，24缯幅，25息钱，26?（饮）桼（漆），27税田，28程 竹，29医，30石?（率），31贾盐，32挐脂，33取程，34 秏（耗）租，35程禾，36取枲程，37误券，38租吴（误） 券，39粺毁（毇），40秏，41粟为米，42粟求米，43米求 粟，44米粟并，45粟米并，46负炭，47卢唐，48羽矢，49 丝练，50行，51分钱，52米出钱，53方田，54除，55郓都， 56刍，57旋粟，58囷盖，59睘（圜）亭，60井材，61以睘 （圜）材方，62以方材睘（圜），63睘（圜）材，64启广， 65启从（纵），66少广，67大广，68里田。
中国古代的数学成就
中国古代的数学成就当谈及中国古代数学成就时，人们往往会回想起一些经典的著作和数学家的名字，如《九章算术》和《算经》等神仙作品。
但是，数学在中国古代的发展远不止这些。
起源于商周时期的古代数学，经历了成熟发展阶段和封建时期的官方化，最终融合了西方文明和近代数学。
众所周知，中国古代的数学不仅在代数、几何、三角学等学科领域达到了高峰，而且对现代计算、天文、物理、化学等领域的科学和技术都产生了重要影响。
中国古代数学成就的标志之一是中国古代数学家发明的很多数学符号和计数方法，如甲子、天元、五行、六十干支、十二地支等。
这些符号的发明使中国古代数学家非常方便的进行数学计算和表达，也为现代数学符号和计数方式的流行提供了灵感。
另一个标志是“九章算术”和《算经》。
这些作品记录了丰富而深刻的数学思想，其中“九章算术”较为广泛的介绍了算术、代数和几何等领域的数学知识。
而《算经》则包含了数学的精髓，如乘方、立方、平方等代数运算方法，以及证明直角三角形等几何学知识。
同时，这些作品还包含大量现代统计学、算法学和图论等数学领域的知识，对于中国古代的数学界产生了极大的影响和意义。
中国古代的数学发展也进一步形成了“十算”和“算術書目”等著名书籍，并推进了代数、数论、几何学等领域的研究。
当然，中国拥有许多伟大的数学家，像南宋时期的李冶、唐代最伟大的数学家秦九韶等都是中国古代数学成就的代表人物。
另外，中国古代数学对现代数学的影响也非常巨大。
例如，在数值计算方面，中国古代计算方法的使用为现代超级计算机的运用提供了一定借鉴。
此外，翻译的部分古代数学著作或公式也为现代数学和物理学的研究提供了重要的参考和指导，如人们常常提到的“勾股公式”和“黄土地图”等。
总的来说，中国古代的数学成就独特而丰富，早已成为中华文化的重要组成部分。
它的发展历程和成就不仅给中华民族留下了宝贵的遗产，同时对世界数学事业发展也产生了重要的影响。
中国古代数学的成就与衰落
中国古代数学的成就与衰落杜航旗一.摘要提起中国古代数学，相信大多数人只会想到一本本发黄的旧书，但就是这些书上的内容，曾经引领着世界数学文化的发展，奠定了现代数学的基础。
虽然中国古代数学最终走向衰落，但千年前的辉煌成就不曾磨灭，本文将介绍中国古代数学的发展及成就，分析衰落的原因。
二.关键词中国古代数学发展成就衰落三.正文1．中国古代数学发展在古代世界四大文明中，中国数学持续繁荣时期最为长久。
从公元前后至公元14世纪，中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰。
（1）中国数学的起源（上古~西汉末期）古希腊学者毕达哥拉斯（约公元约前580~约前500年）有这样一句名言：“凡物皆数”。
的确，一个没有数的世界是不堪设想的。
祖先们先是结绳记数，然后又发展到“书契”，五六千年前就会写1~30的数字，到了2000多年前的春秋时代，祖先们不但能写3000以上的数学，还有了加法和乘法的意识。
在金文周《※鼎》中有这样一段话：“东宫迺曰：偿※禾十秭，遗十秭为廾秭，来岁弗偿，则付秭。
”这段话包含着一个利滚利的问题。
说的是，如果借了10捆粟子，晚点还，就从借时的10捆变成20捆。
如果隔年才还，就得从借时的10捆涨到40捆。
用数学式子表达即：10+10=2020×2=40除了在记数和算法上有了较大的进步外，祖先还开始把一些数字知识记载在书上。
春秋时代孔子（公元前551~前479）年修改过的古典书籍之一《周易》中，就出现了八卦。
这神奇的八卦至今在中国和外国仍然是人们努力研究和对象，它在数学、天文、物理等多方面都发挥着不可低估和作用。
到了战国时期，祖先们的数学知识已远远超出了会数1~3000的水平。
这一阶段他们在算术、几何，甚至在现代应用数学的领域，都开始了耕耘播种。
算术领域，四则运算在这一时期内得到了确立，乘法中诀已经在《管子》、《荀子》、《周逸书》等著作中零散出现，分数计算也开始被应用于种植土地、分配粮食等方面。
我国古代在数的发展方面的贡献
中国数学一开始便注重实际应用，在实践中逐步完善和发展，形成了一套完全是自己独创的方式和方法。
形数结合，以算为主，使用算器，建立一套算法体系是中国数学的显著特色：“寓理于算”和理论的高度精炼，是中国数学理论的重要特征。
10进位位值制、甲子纪年法、规矩作图等有强大的生命力，经历三四千年沿用至今，充分说明了中国是数学传统最悠久的国家。
在中国数学的形成时期的第二阶段，中国与印度有着文化交流，中国古代的算术和代数学对印度数学有很大的影响。
后者也偏重于量与数的计算方法，通过阿拉伯传到欧洲后，放出异常的光彩。
西洋数学史家一般认为近代数学的产生应归功于印度数学的贡献，实际上中国古代数学的功绩是不可磨灭的。
在原始社会后期，我们的祖先就已经建立了10进制，至迟到春秋战国之际，在计算中又普遍使用了算筹。
在数学上，仅就发明完善的10进位位值制这一记数法来说，中国对人类文化已经做出了非常重大的贡献，可以与“四大发明”相媲美。
马克思称10进位位值记数法为“最妙的发明之一”，李约瑟在《中国科学技术史》中说：“奇怪的是，忠实于表意原则而不使用字母的文化，反而发展了现代人类普遍使用的10进位的最早形式，如果没有这种10进位制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了”。
有史可考的确凿证据是，公元前14世纪的殷代甲骨文卜辞中的很多记数的文字。
大于10的自然数都用10进位制，没有例外。
殷人向后世人一样，用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万13个单字记10万以内的任何自然数。
例如记2656作“二千六百五十六”，只是记数文字的形体和后世的文字有所不同。
也用合文，但字形同甲骨文不一样。
用算筹来记数和作四则运算，很可能在西周时期（公元前11世纪到公元前8世纪）已经开始了。
由于社会生产力的不断提高，劳动人民创造了便于计算的工具。
算筹是为了进行繁杂的数字计算工作而创造出来的，它不可能是原始公社时期里（例如传说中的黄帝时代）的产物。
中国古代数学成就
中国古代数学成就1．甲骨文中的数字商代(1500BC~1000BC)甲骨文表明，当时已有比较完整的字系统．从1到10的每个整数，以及100，1000，10000，都有相应的符号表示：十、百、千、万的倍数多用合文，例如10的倍数在甲骨文中，最大的数是三万．人们能表示三万以内的任何自然数(也许更多)．甲骨文中的数字，大部分联系着实物，如五十犬，三十羊．也有一些甲骨上的数字是独立出现的，人们曾在一片龟甲上发现了10以内的全部自然数，没有和实物连在一起，说明商代已经有了抽象的自然数概念2．记数和运算商代数学中，十进制已相当完善了.对甲骨文的研究表明，商朝人已经会做自然数的加、减法和简单乘法了，遗憾的是不知道他们的具体算法，因为甲骨文记录的只是运算结果，而没有运算过程．周代记数法与商代相比，有---个明显的进步，就是出现了位值记数．如20世纪70年代出土的一个中山国铜灯铭文中，355记作，末位的五表示个位五，而前一个五表示五十，两个五间没有用十隔开．这说明当时已有了位值的观念，只是应用不多，还未形成系统的制度．3．干支纪年法六十循环的“天干地支”记数法，是商代数学的又一个成就．这种方法主要用于历法，可称干支纪年法．天干有10个，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有12个，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干与地支相配，共得60个不同单位---以甲子开始，以癸亥告终．然后又是甲子，如此循环不断．中国农历至今还使用这种方法．人们在商代甲骨文和西周金文的基础上，逐渐懂得把字写在竹片(或木片)上，用绳子穿成册，这就是早期的书．写上字的竹片称为简，或竹简．春秋战国的大批数学成果，便是通过竹简流传下来的．1．几何与逻辑《墨经》中讨论的几何概念可以看作数学理论研究在中国的最初尝试．《墨经》是以墨翟(约公元前490---前405)为首的墨家学派的著作，包括光学、力学、逻辑学、几何学等各方面问题．它试图把形式逻辑用于几何研究，这是该书的显著特色．在这一点上，它同欧几里得(Euclid，约公元前330—前275)《几何原本》相似，一些几何定义也与《原本》中的定义等价．下面略举几例：(1)“平，同高也”---两线间高相等，叫平．这实际是平行线的定义．(2)“同长，以正相尽也”---如果两条线段重合，就叫同长．(3)“中，同长也”---到线段两端的距离相同的点叫中(点)．(4)“圆，一中同长也”---到一个中心距离相同的图形叫圆．《墨经》中依次给出点、线、面等基本几何图形的定义，这些图形的名称分别为端、尺、区．在研究线的过程中，墨家明确给出“有穷”及“无穷”的定义：“或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也．”即：用线段去量一个区域，若能达到距边缘不足一线的程度，叫有穷；若永远达不到这种程度，叫无穷．《墨经》中还有一条重要记载：“小故，有之不必然，无之必不然．大故，有之必然．”用现代语言说，大故是“充分条件”而小故则是“必要条件．”大故和小故的区分，在哲学史和数学史上都是十分重要的事件．可惜的是，随着墨家的衰落，墨家数学理论在形成体系之前便夭折了．2．算术到公元前四、五世纪时，分数已在中国广泛应用了，有些分数还有春秋战国时代，“九九歌”(乘法口诀表）已是家喻户晓的常识了．《管子》等书中便记载着九九歌诀，顺序与今不同，是从“九九八十一”起，到“一一如一”止．至于改为“一一如一”到“九九八十一”的顺序，则是宋元时代的事情了．3．对数学中“无限”的认识有限与无限的矛盾，是数学中的一对基本矛盾．对这一问题认识的不断深化，推动着古今数学的发展．据战国时成书的《庄子》记载，惠施曾提出“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一”的观点．其中“大一”、“小一”可理解为无穷大，无穷小．这段话的意思是：大到没有外部，称为无穷大；小到没有内部，称为无穷小．书中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的著名命题，可以看作是对“小一”的发挥．一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取剩下那一半的一半，如此不断地取下去，同《庄子》一样，《墨经》中也讨论了分割物体的问题．但墨家反对物质的无限可分．他们认为，如果把一条线段分成前后两半(比如以左为前，以右为后)，保留前半而弃去后半(图4．4中OB)，再弃去前半的后半(即CO)，如此不断地分割和取舍，剩余部分小到不能再分为两半，就是端(A点)．如果采用前后取的办法，即第一次取线段前半，第二次取前半的后半，第三次取后半的前半，……取到最后，也会出现一个不可分割的端，这个端在线段中间而不在边缘(位于CO之间)，这就是《墨经》所云“前则中无为半，犹端也；前后取，则端中也”．很明显，这种思想与近代极限理论是相符的．数学分析中用区间套来限定数轴上一个实数点的方法与此类似．所以，我们可以把这种分割思想看作区间套原理的雏型，其中蕴含着“点是线段无限分割之极限”的思想．4．组合数学的萌芽组合数学虽是现代数学的分支，它的思想却可以追溯到遥远的古代．春秋时期成书的《易经》便含有组合数学的萌芽．《易经》是中国最古老的书籍之一，书中通过阴阳卦爻预言吉凶．“--”是阳爻，“--”是阴爻，合称“两仪”．每次取两个，按不同顺序排列，生成“四象”；每次取三个，生成八卦(图4．5)；每次取六个，则生成六十四卦．四象、人卦与六十四卦的排列，相当于组合数学中的有重排列：从n种元素中每次取r个，共有nr种排列法．例如，在两种卦爻中每次取3个，共有23＝8种排列，这就是八卦．德国数学家莱布尼茨(G．W．Leibniz，1646---1716)发明二进制后不久，见到了传教士白晋(J．Bouvet，1656---1730)从中国寄去的八卦．莱布尼茨认为，八卦中蕴含着二进制思想，因此惊叹不已．实际上，若把“--”和“--”两种卦爻用1和0代替，八卦就可表示为000(坤) 001(震) 010(坎) 011(兑)100(艮) 101(离) 110(巽) 111(乾)莱布尼茨说八卦是“流传于宇宙的科学中最古老的纪念物”，这项发明“对于中国人民实在是值得庆幸的事情”．5．早期的数学工具---算筹与规、矩算筹即用于计算的小竹棍(也有木质、骨质或金属材料的算筹)，它是中国人创造的计算工具．春秋战国时代，算筹的使用已相当普遍，书中多有记载，如“孟子持筹而算之”(《十发》)，“善计者不用筹策”(《老子》)，等等．1954年在长沙的一座战国楚墓中挖出一个竹筒，内装竹棍40根，长短一致，约12厘米，是为算筹之实物．用筹进行计算称为筹算．据文献记载，筹式有纵横两种：(图中第一行为纵式，第二行为横式)算筹的摆法是纵横相间，从右到左：个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……，遇零则空位．例如2561摆成308摆成筹算加减法与今珠算类似，从左到右逐位相加或相减即可．筹算乘除法的步骤稍微复杂一些．二数相乘(如48×36)时，先用筹摆一数于上，一数于下，并使下数的末位和上数首位对齐(图4．6(1))，按从左到右的顺序用上数首位乘下数各位，把乘得的积摆在上下二数中间(图4．6(2))，然后将上数的首位去掉、下数向右移动一位(图4·6(3))，再以上数第二位乘下数各位，加入中间的乘积，并去掉上数第二位(图4．6(4))．直到上数各位用完，中间的数便是结果．筹算除法也分三层，上层是商；中层是被除数，叫实；下层是除数，叫法．算筹在中国数学史上占有非常重要的地位，在长达两千年的时间里，算筹一直是中国的主要计算工具，直到元明时代才逐渐被珠算所代替．筹算的优点是简便、灵活，用一些小竹木棍便可进行复杂的计算．它的缺点是中间步骤不能保留，因此不便于检验．另外，过分依赖于算具，也不利于数学的符号化和抽象化．规、矩是两种测绘工具．规即圆规，矩是直角拐尺，用来画直线形．商代甲骨文中已有规和矩的象形字，所以它们最迟在商代已经出现．春秋战国时期，这两种工具被普遍用于测量和几何作图．《周髀》是西汉（200BC~1AC)初期的一部天文、数学著作．髀是量日影的标杆(亦称表)，因书中记载了不少周代的天文知识，故名《周髀》．唐初凤选定数学课本时，取名《周髀算经》．1．勾股定理在中国，《周髀算经》是第一部记载勾股定理的书．该书云：“求邪(斜)至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，2．等差数列《周髀算经》中的“七衡”便是一等差数列．七衡是七个等距离的里，书中给出计算各圆径的一般法则：“欲知次衡径，倍而增内衡之径．二之以增内衡径，得三衡径．次衡放(仿)此．”这相当于给出通项公式Dn＝D1＋(n-1)·2d，其中d为相邻两圆间的距离．3．内插法所谓内插法，是已知若干自变量所对应的函数值，求这些自变量之间其他自变量对应的函数值的一种方法，古代常用来推算日、月、五星(即金星、木星、水星、火星、土星)的行度，为制订历法服务．内插分两种---等间距内插和不等间距内插．等间距指的是自变量的间距相等．设自变量x，等间距h，函数关系为f，若函数值之差 f(x ＋nh)-f(x＋(n－1)h)(即一次差，其中n=1，2，…)为一不等于0的常数，则用一次内插法；若这些函数值之差的差(即二次差)为一不等于0的常数，则用二次内插法，依此类推．用现代数学的观点来看，n 次内插法反映的是n次函数关系．《周髀算经》中的内插法是最简单的等间距一次内插法．已经测得二十四节气中冬至、夏至的日影①长，推算其他节气的日影长．假定每两个节气的时间间隔相等，并以f(a)，f(b)表示夏至及冬至的日影长，则有其中f(n)是从夏至到冬至的第n个节气的日影长，Δ被称为损益数．4．相似形与测量术《周髀算经》中记载着商高的“用矩之道”：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方．”头一句是说用矩的一边测量一线是否直线，第五、六句是用矩画圆、画方的方法．第二、三、四句是相似直角三角形的应用：把矩的一边垂直向上去测量高度，把矩的一边垂直向下测量深度，把矩平放去测量地面上两点间距离．下面以第二句为例说明测量方法：设AB为矩的一边，BC是矩的另一边由顶点到视线的一段，AD为图4．8所示之可测距离，DE其中显然用到了相似原理，可见当时的人们已懂得相似三角形的一些性质了．《九章算术》一、成书背景中国数学经过长期积累，到西汉时期已有了相当丰富的内容．除《周髀算经》外，西汉初期出现了第一部数学专著---《算术书》，用竹简写成．全书共60多个标题，如“相乘”、“增减”、“少广”、“税田”、“金价”、“合分”等，标题下列有各种问题．《九章算术》的体例便受到《算术书》的影响．另外，从甘肃居延等地出土的竹简发现，西汉已有初步的负数及比例概念，面积和体积计算的知识也增多了．这些都为我国初等数学体系的形成准备了条件．《许商算术》和《杜忠算术》是《九章算术》之前不久成书的著作．许商，长安人，公元前32---前8年曾任西汉大司农、河堤都尉等官职．他参加过治水工作，精通天文历法和计算，著《许商算术》26卷．杜忠与许商同时代，著《杜忠算术》16卷．现传本《九章算术》约成书于西汉末年，作者不详，可能经多人之手而成．它是一部承前启后的著作，一方面总结了西汉及西汉以前的数学成果，集当时初等数学之大成；另一方面又对后世数学发展产生了深远的影二、内容与体例《九章算术》包括丰富的算术、代数和几何内容，全书共246题，几乎全是应用题．这些问题按不同的用途分为九卷，故名《九章算术》．下面简介各卷内容．卷一“方田”，38问，主要讲平面图形的计算，包括系统的分数算法．卷二“粟米”，46问，粮食交换中的比例问题．卷三“衰(cuī)分”，20问，比例算法在分配物资等问题中的应用．卷四“少广”，24问，开平方、开立方问题．卷五“商功”，28问，土木工程中的体积计算．卷六“均输”，28问，主要讲纳税和运输方面的计算问题，实际是比较复杂的比例算法．卷七“盈不足”，20问，算术中盈亏问题的解法．卷八“方程”，18问，主要讲线性方程组解法，还论及正负数概念及运算方法．卷九“勾股”，24问，勾股定理的应用．书中的各类问题都有统一解法，但没有证明．经后人验证，这些解法的绝大部分是正确的．各法以“术”名之，术文统御习题，这是本书体例的基本特点．例如，方田术“广从步数相乘得积步”，勾股术“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，便分别统御各方田问题及勾股问题．三、数学成就1．算术(1)分数运算《九章算术》方田章系统给出了分数四则运算法则，以及通分、约分、化带分数为假分数的方法，其步骤与现代一致．分子、分母有公约数时，可利用公约数来化简分数．《九章算术》提出一种“更相减损”法来求最大公约数：“副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也．”即用分子和分母中的大数减去小数，互相减，减到余数与减数相等为止，该数便是原来两数的最大公约数．然后(1)，从91减去49余42，如图4．9(2)；从49减去42余7，如图4．9(3)；从42依次减去7，到第5次余7，如图4．9(4)．谓“欧几里得算法”在本质上是一样的．(2)比例算法《九章算术》的二、三、六、九各卷中，广泛使用比例算法来解决应用问题，并给出一般法则：“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一．”即这是由比例式所求数：所有数=所求率∶所有率得出的．书中称该算法为“今有术”，大概是因为这类问题的开头常冠以“今有”二字．例如：“今有丝一斤价值二百四十钱，今有钱一千三百二十八，问得丝几何？”依法列式除了这种最简单的比例问题外，书中还有连比例、复比例、配分法等复杂的比例问题．例如：“今有贷人千钱，月息三十．今有贷人七百五十钱，九日归之，问息几何？”这便是一个复比例问题，其中9日乘750钱为所有数，30钱为所求率，30日乘1000钱为所有率．实际上，《九章算术》几乎包括了算术中的全部比例内容．(3)盈不足术《九章算术》卷七专讲盈亏问题，解法称为盈不足术．例如：“人出八盈三，人出七不足四，求人数、物价各多少？”设每人出钱a1，盈b1；每人出钱a2，不足b2，人数为m，物价为n，则有这就是盈不足术的现代形式，其中各字母都是正数，分母也是正数．若a1＜a2，则分母为a2-a1．将例题中数字代入，则这种方法的正确性很容易用现代解方程组的行列式法验证．2．代数(1)开方《九章算术》中载有开平方、开立方的方法．例如，欲求55225的平方根，摆筹式如图4．10(1)(改用阿拉伯数码表示)，其中55225叫“实”(被开方数)，最下面的1叫“借算”，代表最高项系数．此式实际上表示方程（由于上下标问题，所以修改了式子，用一些汉字说明）x的平方＝55225．将“借算”向左移动，每一步移二位，移二步后停住，如图(2)．于是，原方程变为10000倍x1的平方＝55225．议得x1大于2小于3，就在实的百位上置2，作为平方根的第一位数．以议得的2乘10000得20000，放在实之下，借算之上，叫法．再以2乘法得40000，从实中减去，余15225，如图(3)．把法加倍，向右移一位，变为4000，叫定法．把借算向右移二位，变为100，如图(4)，这相当于方程100倍x2的平方+4000倍x的平方=15225．议得x2大于3而小于4，就以3为平方根的十位数．以3乘100得300，加入定法得4300；以3乘4300，从实中减去，余2325，如图(5)．再以300与4300相加，得4600，向右移一位变为460，这是第三位方根的定法．把借算向右移二位，变为1；如图(6)．这相当于方程x3的平方＋460倍x3＝2325．议得x3＝5为平方根的个位，以5乘借算1，加入460得465．以5乘465，从实内减去，恰尽，得55625的平方根235，如图(7)．从文字叙述来看，筹算开方法似乎很繁，实际摆筹运算是相当简便的．这种方法到宋代发展为增乘开方法，对高次方程解法产生了巨大影响．(2)正负数《九章算术》中不仅有正负数，而且还建立了正负数加减法则，即“正负术”．加法法则为：“异名相除，同名相益；正无入正之，负无入负之．”即异号两数相加，绝对值相减；同号两数相加，绝对值相加；0加正数为正，0加负数为负．类似地有减法法则：“同名相除，异名相益；正无入负之，负无入正之．”(3)线性方程组《九章算术》中的“方程”，实际是线性方程组．例如卷八第一题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上中下禾实一秉各几何？”(禾即庄稼，秉即捆，实即粮食．)依术列筹式如图4．11，它相当于三元一次方程组其中xy，z分别为上中下三等禾每捆打粮食的斗数．按《九章算术》解法，用(1)式x的系数3去乘(2)的各项，得6x+9y＋3z＝102． (4)用(4)减(1)二次，得5y＋z=24． (5)再用(3)×3，得3x＋6y+9z＝78． (6)(6)减(1)，得4y＋8z＝39． (7)中把这种方法叫“直除法”，即连续相减法．它的原理与现在加减消元法一致，只是比较烦琐．《九章算术》中还有一道“五家共井”题，是说五户人家共用一口井，各家都有提水的绳子但都不够长，甲户的两条与乙户的一条合起来够用，乙户的三条和丙户的一条合起来够用，丙户的四条与丁户的一条合起来够用，丁户的五条与戊户的一条合起来够用，戊户的六条与甲户的一条合起来够用，问井深和各户的“一绳之长”．假定五户绳长依次为x，y，z，u，v，井深为a，则有该方程组有五个方程，六个未知数，所以是不定方程组．书中给出了它的一组解．3．几何《九章算术》中给出正方形、长方形、三角形、梯形、圆、弓形等常见图形的面积公式．圆的面积公式有三个，即其中c为周长，d为直径，取圆周率为3．书中的体积公式很多，包括立方体、长方体、棱柱、梭锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台，其体积公式都与今一致．还给出一种比较复杂的几何体---刍童，即上下底面都是长方形的拟台体(图4．12)的体积公式九章算术》对勾股定理的应用很广泛．它首先给出勾股定理的三种形式，即然后解决了几十个应用题．例如：“今有圆材不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”(图4．13)以r为圆半径，由勾股定理得r的平方＝5的平方＋(r－1)的平方，解得r＝13，倍之即圆径．在讨论勾股定理的过程中，《九章算术》提供了许多整勾股数，如5的平方＋12的平方＝13的平方等．《九章算术注》作者刘徽是三国时代（184~265)魏国人，籍贯山东，生卒年不详，约死于西晋初年．刘徽出身平民，终生未仕，被称为“布衣”数学家．刘徽在童年时代学习数学时，是以《九章算术》为主要读本的，成年后又对该书深入研究，于公元263年左右写成《九章算术注》，刘徽自序说：“徽幼习《九章》，长再详览．观阴阳之割裂，总算术之根源．探赜之暇，遂悟其意，是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注．”刘徽在研究《九章算术》的基础上，对书中的重要结论一一证明，对其错误予以纠正，方法予以改进，并提出一些卓越的新理论、新思想．《九章算术注》是刘徽留给后世的十分珍贵的数学遗产，是中国传统数学理论研究的奠基之作．刘徽还著有《重差》一卷，专讲测量问题．他本来把《重差》作为《九章算术注》的第十卷，唐代初年改为单行本，并将书名改作《海岛算经》，流传至今．1．算术(1)十进分数刘徽之前，计算中遇到奇零小数时，就用带分数表示，或者四舍五入．刘徽首创十进分数，用以表示无理根的近似值．这种记数法与现代刘徽用忽来表示，但a后各位就不必再命名了，刘徽称它们为“微数”，说：“微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母．退之弥下，其分弥细．”这种方法，与我们现在开平方求无理根的十进小数近似值的方法一致，即其中a1，a2，…，an是0至9之间的一位整数．(2)齐同术《九章算术》中虽有分数通分的方法，但没有形成完整理论，刘徽提出齐同术，使这一理论趋于完善．他说：“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同．”又进一步提出通分后数值不变的理论依据，即“一乘一除，适足相消，故所分犹存“法实俱长，意亦等也”．前句话的意思是，一个分数用同一个(非零)数一乘一除，其值不变；后句话的意思是，分数的分子、分母扩大同一倍数，分数值不变．刘徽指出，“同”即一组分数的公分母，“齐”是由“同”而来的，是为了使每个分数值不变．另外，刘徽还将齐同术引而伸之，用来解释方程及盈不足问题．2．代数(1)对正负数的认识《九章算术》成书后，正负数的运算越来越广泛，但究竟应该如何认识正负数，却很少有人论及．刘徽在《九章算术注》中首次给出正负数的明确定义：“今两算得失相反，要令正负以名之．”就是说以正负数表示得失相反的量．他还进一步阐述正负的意义：“言负者未必负于少，言正者未必正于多．”即负数绝对值未必少，正数绝对值未必大．另外，他又提出筹算中表示正负数的两种方法：一种是用红筹表正数，黑筹表负数；再一种是以算筹摆法的正、斜来区别正、负数．这两种方法，对后世数学都有深远影响．(2)对线性方程组解法的改进《九章算术》中用直除法解线性方程组，比较麻烦．刘徽在方程章的注释中，对直除法加以改进，创立了互乘相消法．例如方程组刘徽是这样解的：(1)×2，(2)×5，得(4)-(3)，得21y＝20(下略)．显然，这种方法与现代加减消元法一致，不过那时用的是筹算．刘徽认为，这种方法可以推广到多元，“以小推大，虽四、五行不异也．”他还进一步指出，“相消”时要看两方程首项系数的同异，同则相减，异则相加．刘徽的工作，大大减化了线性方程组解法．(3)方程理论的初步总结刘徽在深入研究《九章算术》方程章的基础上，提出了比较系统的方程理论．刘徽所谓“程”是程式或关系式的意思，相当于现在的方程，而“方程”则相当于现在的方程组．他说：“二物者再程，三物者三程，皆如物数程之．并列为行，故谓之方程．”这就是说：“有两个所求之物，需列两个程；有三个所求之物，需列三个程．程的个数必须与所求物的个数一致．诸程并列，恰成一方形，所以叫方程．”这里的“物”，实质上是未知数，只是当时尚未抽象出未知数的明确概念．定义中的“皆如物数程之”是十分重要的，它与刘徽提出的另一原则“行之左右无所同存”，共同构成了方程组有唯一组解的条件．若译成现代数学语言，这两条即：方程个数必须与未知数个数一致，任意两个方程的系数不能相同或成比例．刘徽还认识到，当方程组中方程的个数少于所求物个数时，方程组的解不唯一；如果是齐次方程组，则方程组的解可以成比例地扩大或缩小，即“举率以言之”．对于方程组的性质，刘徽总结出如下诸条：“令每行为率”，即方程各项成比例地扩大或缩小，不改变方程组的解；“每一行中，虽复赤黑异算，无伤”，即方程各项同时变号，不改变方程组的解；“举率以相减，不害余数之课也，即两方程对应项相减，不改变方程组的解．很明显，刘徽对于线性方程组的初等变换，已经基本掌握了．不过，他没有考虑交换两个方程的位置，因为不进行这种变换亦可顺利求出方程组的解，而且调换算筹的位置是不方便的．3．几何(1)割圆术刘徽以前，一般采用周三径一的圆周率，这是很不精确的．刘徽在《九章算术注》中指出：周三径一的数据实际是圆内接正六边形周长和直径的比值，不是圆周与直径的比值．他认为圆内接正多边形的边数越多，其面积就越接近圆面积．他从这一思想出发，创立了科学的求圆周率方法---割圆术．具体来说，就是以1尺为半径作圆，再作圆内接正六边形，然后逐渐倍增边数，依次算出内接正六边形、正12边形乃至正192边形的面积．刘徽之所以选半径为1，是为了使圆面积在数值上等于圆周率，从而简化运算．他利用公式(ln为内接正n边形边长，S2n为内接正2n边形面积)来求各正多边形面积．至于正多边形边长，他是反复利用勾股定理来求的．例如，由以下三式即可求得正12边形边长(图4．14)：。
我国数学史成就
我国数学史成就
中国数学史是对中国古代数学发展及其成就的研究。
中国数学自古代就有着悠久的发展历史，其成就对世界数学的发展有着重要的影响。
中国古代数学的研究主要集中在两个时期：先秦时期和宋明清时期。
在先秦时期，中国数学主要体现在《九章算术》和《孙子算经》两部经典著作中。
这些著作包含了算术、代数、几何、方程等方面的内容，对于古代数学的发展起到了重要的推动作用。
在宋明清时期，中国数学进入了一个较为繁荣的时期。
明代数学家刘徽著有《九章算术大成》和《海岛算经》，其中涉及了代数方程的解法、几何学等内容。
清代数学家杨辉则在组合数学和数学归纳法方面做出了重要贡献，他的杨辉三角是世界数学史上的重要发现之一。
另外，中国古代的数学成就还体现在其他方面，比如天文学、测量学和算术等。
中国古代的天文学家和数学家通过观测和计算，建立了精确的历法体系，如夏历、秦历、汉历和宋历等。
测量学方面，中国古代发展了一系列测量方法和工具，如经纬仪、水平仪和浑天仪等。
总的来说，中国数学史的研究对于我们了解中国古代数学的发展轨迹、数学思想和数学方法有着重要的意义。
这些成就不仅对中国古代科学文化的发展产生了深远影响，也对世界数学的进展做出了重要贡献。
中国古代数学的成就
中国古代数学的成就中国是世界文明古国之一。
数学是中国古代科学中一门重要学科，其发展源远流长，成就辉煌，其中包括圆周率、割圆术、十进位制计数法、算经十书、勾股定理、杨辉三角和剁积术、珠算等。
我想就着这几项谈谈我国古代数学的成就。
一：圆周率。
古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。
为了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。
十九世纪前，圆周率的计算进展相当缓慢。
中国古算书《周髀算经》中有“径一而周三”的记载，认为圆周率是常数。
我国数学家刘徽在注释《九章算术》时只用圆内接正多边形就求得π的近似值，也得出精确到两位小数的π值，他的方法被后人称为割圆术。
他用割圆术一直算到圆内接正192边形，得出π≈根号10。
汉朝时，张衡得出π的平方除以16等于5/8，即π等于10的开方。
虽然这个值不太准确，但它简单易理解，所以也在亚洲风行了一阵。
王蕃发现了另一个圆周率值，这就是3.156，但没有人知道他是如何求出来的南北朝时代著名数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的π值，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22/7。
他的辉煌成就比欧洲至少早了1000年。
其中的密率在西方直到1573才由德国人奥托得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中，欧洲不知道是祖冲之先知道密率的，将密率错误的称之为安托尼斯率。
二、割圆术。
3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周长的方法。
中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为三比一）的数值来进行有关圆的计算。
但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。
正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。
历史上的数学，看看中国古代的数学成就
历史上的数学，看看中国古代的数学成就《周髀算经》《周髀算经》⼤约成书于公元前1世纪左右，是我国现存的最古⽼的数学著作。
其中就叙述了勾三股四弦五的规律，即就是勾股定理。
勾股定理是指在任何⼀个直⾓三⾓形中，两条直⾓边的平⽅之和⼀定等于斜边的平⽅。
这个定理在我国也称为“商⾼定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。
据说古希腊数学家毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头⽜作庆祝，因此⼜称“百⽜定理”。
勾股定理的应⽤⾮常⼴泛。
据《路史后记⼗⼆注》记载，⼤禹为了治理洪⽔，根据地势⾼低，决定⽔流⾛向，因势利导，使洪⽔注⼊海中，不再有⼤⽔漫溺的灾害，是应⽤勾股定理的结果。
《九章算术》汉代出现的《九章算术》标志着我国古代数学体系的初步形成。
成书年代⼤约是公元1世纪，是对战国、秦、汉时期我国⼈民所取得的数学知识的系统总结。
其作者并⾮⼀⼈，⽽是有数代学者参与修改、补充。
《九章算术》是以数学问题集的形式编写的，共有246个问题及各个问题的解答，按性质分类，每类为⼀章，计有⽅⽥、粟⽶、差分、少⼴、商功、均输、盈不⾜、⽅程和勾股九章，书中⼴泛涉及了分数计算法、⽐例计算法、⾯积体积计算法、开⽅术以及⽅程中的正负数运算等等，是当时世界上最先进的算术。
刘徽与《九章算术注》刘徽是魏晋时期伟⼤的数学家，中国古代数学理论的奠基⼈之⼀，公元263年写了著名的《九章算术注》。
这本书除了对《九章算术》的解法给出了理论论证之外，还创⽴了“割圆术”这⼀新的数学⽅法。
他想到当圆内接正多边形的边数⽆限增多时，其周长就会⽆限接近圆周长，通过求圆内接正多边形的边长与直径之⽐，就可以越来越精确地得出圆周率，这就是所谓的“割圆术”。
他利⽤割圆术，算出了圆内接正192边形的⾯积，得出了圆周率π=3.1416的结果。
刘徽提出的计算圆周率的科学⽅法，奠定了此后千余年我国圆周率计算在世界上的领先地位。
祖冲之与圆周率祖冲之是南北朝时期杰出的数学家和天⽂学家，在数学、天⽂历法、机械制造等⽅⾯都有重⼤成就。
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（1）勾股定理（商高定理）。发明者商高（西 周人），早于第二发明者毕达哥拉斯（公元前 580~前500）550多年。
日高测量
（2）幻方。我国最早记载幻方法的是春秋时代 的《论语》和《书经》，而在国外，幻方的出 现在公元2世纪，我国早于国外600多年。 幻方（magic square）又称为魔方、方阵， 它最早起源于我国。宋代数学家杨辉称之为 纵横图。 所谓纵横图，它是由1到n2，这n2个自 然数按照一定的规律排列成N行、N列的一个 方阵。它具有一种奇妙的性质，在各种几何 形状的表上排列适当的数字，如果对这些数 字进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条 路线，最后得到的和或积都是完全相同的。
（3算法则出现在《九章算术》中， 它的传本至迟在公元1世纪已出现。印度 在公元7世纪才出现了同样的法则，并被 认为是此法的“鼻祖”。我国早于印度 500多年。 中国运用最小公倍数的时间则早于西方 1200年。运用小数的时间，早于西方 1100多年。
4）负数的发现。这个发现最早见于《九章算 术》，这一发现早于印度600多年，早于西方 1600多年。
5）盈不足术。又名双假位法。最早 见于《九章算术》中的第七章。在 世界上，直到13世纪，才在欧洲出 现了同样的方法，比中国晚了1200 多年。
（6）方程术。最早出现于《九章算术》
中，其中解联立一次方程组方法，早于 印度600多年，早于欧洲1500多年。在 用矩阵排列法解线性方程组方面，我国 要比世界其他国家早1800多年。
（7）最精确的圆周率“祖率”。早
于世界其他国家1000多年。
（8）等积原理。又名“祖暅”原
理。保持世界纪录1100多年。
（9）二次内插法。隋朝天文学
家刘焯最早发明，早于“世界亚 军”牛顿（公元1642~1727） 1000多年。
（10）杨辉三角。它本是贾 宪创造的，见于他著作 《黄帝九章算法细草》中， 后此书流失，南宋人杨辉 在他的《详解九章算法》 中又编此表，故名“杨辉 三角”。在世界上除了中 国的贾宪、杨辉，第二个 发明者是法国的数学家帕 斯卡（公元1623~1662）， 他的发明时间是1653年， 比贾宪晚了近600年。
（11）中国剩余定理。实际上就是解联立
一次同余式的方法。这个方法最早见于 《孙子算经》，1801年德国数学家高斯 （公元1777~1855）在《算术探究》中 提出这一解法，西方人以为这个方法是 世界第一，称之为“高斯定理”，但后 来发现，它比中国晚1500多年，因此为 其正名为“中国剩余定理”。
（12）数字高次方程方法，又名“天
早在2000多年前，我国就了解了正负数的概念，掌 握了正负数的运算法则。 我国三国时期的学者刘徽在建立正负数上有重 大的贡献。他首先给出了正负数的定义："今两算得 失相反，要令正负以名之。"意说，在计算过程中遇 到有相反意义的量，要以正数和负数来区分它们。 他第一次给出了区分正负数的方法："正算赤， 负算黑。否则以邪正为异。"意思是，用红色的小棍 摆出的数表示是正数，用黑色小棍摆出的数表示是 负数。也可以用斜摆的小棍表示负数，用正摆的小 棍表示正数。
关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛 书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天 下，把国家治理得井井有条，感动了上天， 于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图， 作为礼物献给他，这就是“河图”，是最早 的幻方。伏羲氏赁借着“河图”而演绎出了 八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只 大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为 “洛书”。
元术”。金元年间，我国数学家李 冶发明设未知数的方程法，并巧妙 地把它表达在筹算中。这个方法早 于世界其他国家300年以上，为以 后出现的多元高次方程解法打下很 好的基础。
如果说，一部中国数学发展史像一
条源远流长的河流，那么几千年来 祖先们摘取的一块块世界金牌，就 是这河流中耀眼的浪花。以上我们 掬起的只是一些大的浪花，如果多 读几本数学史书，你一定还会捧出 其他的一些，并在前人的光辉照耀 下，创造出无愧于祖先，无愧于人 类的更为卓越的成就！
洛书”所画的衅中共有 黑、白圆圈45个。把这 些连在一起的小圆和数 目表示出来，得到九个。 这九个数就可以组成一 个纵横图，人们把由九 个数3行3列的幻方称为3 阶幻方，除此之外，还 有4阶、5阶...
幻方最早记载于我国公元前500年 的春秋时期《大戴礼》中，这说明 我国人民早在2500年前就已经知道 了幻方的排列规律。而在国外，公 元130年，希腊人塞翁才第一次提 起幻方。
中国古代数学的辉煌与成 就
1.《周髀算经》 2.《九章算术》
约战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着 商高同周公的一段对话。商高说："…故折矩，勾广 三，股修四，经隅五。"意思就是说：当直角三角形 的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径 隅（就是弦）则为5。后人简单地把这个事实说成" 勾三股四弦五"。 由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所 以人们就把这个定理叫作"商高定理"。 毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家， 他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。