2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(优秀经典公开课比赛课件).
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高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT
为(
)
A.30° B.60°
C.120°
D.150°
(2)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,求a与a+b夹角及a与a-b
夹角.
分析(1)将已知条件展开变形后利用数量积定义求解;(2)可采取
数形结合方法组成平面图形求解.
第25页
探究一
探究二
探究三
(1)解析:因为(2a+b)⊥b,
所以2(a+b)·b=0,
∴|b|2-2|b|-3=0.∴|b|=3 或|b|=-1(舍去).
答案:(1)5 7 (2)3
第22页
探究一
探究二
探究三
|a|= ·，
反思感悟 依据数量积定义a·
a=|a||a|cos 0°=|a|2,得
这是求向量模一个方法.即要求一个向量模,先求这个向量与本
身数量积(一定非负),再求它算术平方根.对于复杂向量也是如此.比
结合方法求解.
第28页
探究一
探究二
探究三
本例(1)中,若非零向量a,b夹角为60°,且|a|=|b|,当(a+2b)⊥(ka-b)
时,求实数k值.
解:因为(a+2b)⊥(ka-b),
所以(a+2b)·(ka-b)=0,
即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,
1
所以 k|a|2+ - 2 |a|2-2|b|2=0,
所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,
代入①式得
4+2a·b+9=16,得2a·b=3.
又因为(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10,
所以|a-b|= 10.
)
A.30° B.60°
C.120°
D.150°
(2)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,求a与a+b夹角及a与a-b
夹角.
分析(1)将已知条件展开变形后利用数量积定义求解;(2)可采取
数形结合方法组成平面图形求解.
第25页
探究一
探究二
探究三
(1)解析:因为(2a+b)⊥b,
所以2(a+b)·b=0,
∴|b|2-2|b|-3=0.∴|b|=3 或|b|=-1(舍去).
答案:(1)5 7 (2)3
第22页
探究一
探究二
探究三
|a|= ·，
反思感悟 依据数量积定义a·
a=|a||a|cos 0°=|a|2,得
这是求向量模一个方法.即要求一个向量模,先求这个向量与本
身数量积(一定非负),再求它算术平方根.对于复杂向量也是如此.比
结合方法求解.
第28页
探究一
探究二
探究三
本例(1)中,若非零向量a,b夹角为60°,且|a|=|b|,当(a+2b)⊥(ka-b)
时,求实数k值.
解:因为(a+2b)⊥(ka-b),
所以(a+2b)·(ka-b)=0,
即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,
1
所以 k|a|2+ - 2 |a|2-2|b|2=0,
所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,
代入①式得
4+2a·b+9=16,得2a·b=3.
又因为(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10,
所以|a-b|= 10.
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义[1]课件PPT
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向量数量积的物理背景
F
s 一个物体在力 F的作用下发生了位移 s，
那么该力对此物体所做 的功为多少？
W |F||s|cos θ 其中力F和位移 s是向量， s 是F与 的夹角，而功 W是数量.
W |F||s|cos θ
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；
将公式中的力与位移推广到一般向量
⑵数乘结合律： (a)b(ab)a(b) ⑶分配律：(ab)cacbc
（ 4） (a•b)•ca•cb•c
典例解析
例2 求证：
(1) ( a
b)2
2
a
2a
b
b 2；
(2)(a
b）（ a
b)
a
2
2
b.
例 3已 知 |a|6,|b|4， a与 b的 夹 角 为 60， 求 (a2b)(a3b).
例4 已知 | a | 3,| b | 4,当且仅当k为何值时， 向量a kb与a kb互相垂直？
当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正； 当90°＜θ ≤180°时a·b为负。 当θ =90°时a·b为零。
ab |a||b|co s
B C b
O
a B1 A
| b | c o s 叫 做 向 量 b 在 a 方 向 上 的 投 影 ；
| a | c o s 叫 做 向 量 a 在 b 方 向 上 的 投 影 .
为60 时，分别求a b.
18
9
4.已知 | a | =1， | b |
2，
若
a
b与a垂
直，求
a与b的
夹
角
.
4
个人观点供参考，欢迎讨论
运算律 实数a,b,c 向量a,b,c 是否成立
F
s 一个物体在力 F的作用下发生了位移 s，
那么该力对此物体所做 的功为多少？
W |F||s|cos θ 其中力F和位移 s是向量， s 是F与 的夹角，而功 W是数量.
W |F||s|cos θ
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；
将公式中的力与位移推广到一般向量
⑵数乘结合律： (a)b(ab)a(b) ⑶分配律：(ab)cacbc
（ 4） (a•b)•ca•cb•c
典例解析
例2 求证：
(1) ( a
b)2
2
a
2a
b
b 2；
(2)(a
b）（ a
b)
a
2
2
b.
例 3已 知 |a|6,|b|4， a与 b的 夹 角 为 60， 求 (a2b)(a3b).
例4 已知 | a | 3,| b | 4,当且仅当k为何值时， 向量a kb与a kb互相垂直？
当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正； 当90°＜θ ≤180°时a·b为负。 当θ =90°时a·b为零。
ab |a||b|co s
B C b
O
a B1 A
| b | c o s 叫 做 向 量 b 在 a 方 向 上 的 投 影 ；
| a | c o s 叫 做 向 量 a 在 b 方 向 上 的 投 影 .
为60 时，分别求a b.
18
9
4.已知 | a | =1， | b |
2，
若
a
b与a垂
直，求
a与b的
夹
角
.
4
个人观点供参考，欢迎讨论
运算律 实数a,b,c 向量a,b,c 是否成立
人教版数学 平面向量数量积的物理背景及其含义 (共15张PPT)教育课件
有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
迁安市第三中学 玄立莲
a
静心自学 (1)已知两个非零向量 a 与 b ，我们把数量 a•bcos叫
做向量a与b的数量积，记作a • b ，即 a•babcos (θ为a， b的夹角)．
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 问题1、向量的数量积与数乘向量的运算结果有何区别？
数量积的结果是实数，数乘的结果是向量
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
高中数学必修四课件：2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义(共23张)
3、在实数中,若a≠0,且a·b=0,则b=0；但在数 量积中,若 a 0 ，且 a b 0 ,不能推出 b 0 。因为其中cosθ有可能为0
4、已知实数a、b、c（b≠0)，则有ab=bc 得a=c.但是有 a b b c 不能得 a c 5、在实数中（a·b)c=a(b·c),
但 (a b)c a(b c)
(3)(a b) c a c b c.
等式 (a b)c a(b c)是否成立？
不成立
例2.我们知道，对任意 a, b R ，恒有
(a b)2 a2 2ab b2 , (a b)(a b) a类似的结论？
(1)(a
b)2
谢 谢 指 导 ！
2
a
2a
b
2
b;
(2)(a
b)(a
b)
2
a
2
b.
例3.已知 a 6, b 4, a与b的夹角为60，求(a 2b) (a 3b)
变式：已知 a 3, b 4,且a与b不共线，k为何值时， 向量a kb与a kb互相垂直？
小结
向量的数量积计算时， 一要找准向量的模； 二要找准两个向量的夹角。
a b 以及判断三角形的形状
4. a b a b
例1.已知 | a | 5,| b | 4 ，a 与 b 的夹角θ=120º， 求 ab 。
2.已知 a 12, b 9,
a b 54 2, 求 a 与 b 的夹角.
数量积的运算规律：
(1)a b b a;
(2)(a) b (a b) a (b);
方向上（ a 在 b 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量
的数量积为零，即 a 0 0。
B
| OB1 || b | cos
4、已知实数a、b、c（b≠0)，则有ab=bc 得a=c.但是有 a b b c 不能得 a c 5、在实数中（a·b)c=a(b·c),
但 (a b)c a(b c)
(3)(a b) c a c b c.
等式 (a b)c a(b c)是否成立？
不成立
例2.我们知道，对任意 a, b R ，恒有
(a b)2 a2 2ab b2 , (a b)(a b) a类似的结论？
(1)(a
b)2
谢 谢 指 导 ！
2
a
2a
b
2
b;
(2)(a
b)(a
b)
2
a
2
b.
例3.已知 a 6, b 4, a与b的夹角为60，求(a 2b) (a 3b)
变式：已知 a 3, b 4,且a与b不共线，k为何值时， 向量a kb与a kb互相垂直？
小结
向量的数量积计算时， 一要找准向量的模； 二要找准两个向量的夹角。
a b 以及判断三角形的形状
4. a b a b
例1.已知 | a | 5,| b | 4 ，a 与 b 的夹角θ=120º， 求 ab 。
2.已知 a 12, b 9,
a b 54 2, 求 a 与 b 的夹角.
数量积的运算规律：
(1)a b b a;
(2)(a) b (a b) a (b);
方向上（ a 在 b 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量
的数量积为零，即 a 0 0。
B
| OB1 || b | cos
(完整)2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 (公开课使用)
思考：类比
两个向量的加法，减法，以及向量的数乘运算 rr rr
结果都得到一个向量，那向量的数量积a b= a b cos
的运算结果得到的是一个向量还是数？你是根据什么 判断的？
答：不是向量 rr
向量的数量积a b的运算结果是一个数， rr
因为 a ，b , cos三个量都是数。
rr
rr rr
2.4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义
功的概念： 如果一个物体受到力的作用，并且在力 的方向上发生了位移，物理学就说这个力对物体做了功。
F s
F θ
s
W | F || s |
W | F || s |cos
在物理学中，力F和位移S是什么量，功W是 什么量？在数学中F和S又是什么量？ 与这 两个量有什么关系？
rr
rr
a与b的数量积记作：a b，它跟数量的什么运算
法则有点类似？二者的运算性质一样吗？
rr 注意：a b中“g”不可省略，也不可写成“”。
rr
rr
数量积的定义要求a, b是非零向量，如果a, b中有0，那么数量积是多少呢？
为什么？
四、平面向量的数量积定义分析
解 ：1 10 2 2 3 5
2
三、提升检测
uur uuur 1. 已知ABC中，BA 5, BC 4,且 ABC =1200，
uur uuur 则BAgBC =
_____1_0_____
uur uuur
2. 已知ABC中，BA 5, BC 4,且 ABC =1200，
uuur uuur 则ABgBC
=
_____10______
3
r 已知 b
3,
两个向量的加法，减法，以及向量的数乘运算 rr rr
结果都得到一个向量，那向量的数量积a b= a b cos
的运算结果得到的是一个向量还是数？你是根据什么 判断的？
答：不是向量 rr
向量的数量积a b的运算结果是一个数， rr
因为 a ，b , cos三个量都是数。
rr
rr rr
2.4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义
功的概念： 如果一个物体受到力的作用，并且在力 的方向上发生了位移，物理学就说这个力对物体做了功。
F s
F θ
s
W | F || s |
W | F || s |cos
在物理学中，力F和位移S是什么量，功W是 什么量？在数学中F和S又是什么量？ 与这 两个量有什么关系？
rr
rr
a与b的数量积记作：a b，它跟数量的什么运算
法则有点类似？二者的运算性质一样吗？
rr 注意：a b中“g”不可省略，也不可写成“”。
rr
rr
数量积的定义要求a, b是非零向量，如果a, b中有0，那么数量积是多少呢？
为什么？
四、平面向量的数量积定义分析
解 ：1 10 2 2 3 5
2
三、提升检测
uur uuur 1. 已知ABC中，BA 5, BC 4,且 ABC =1200，
uur uuur 则BAgBC =
_____1_0_____
uur uuur
2. 已知ABC中，BA 5, BC 4,且 ABC =1200，
uuur uuur 则ABgBC
=
_____10______
3
r 已知 b
3,
人教版【公开课】数学 平面向量数量积的物理背景及其含义()(共18张PPT)教育课件
（1）a b b a √
（2）( a) b (a b) a (b) √
（3）(a b) c a c b c
0
b
a a
（4） a • (b • c) (a • b) • c (1) a b a b cos , b a b a cos (2) ( a b) a b cos (0:a() ba) ba bacobscos a b cos
<0
2. | b | cos 叫做 b 在a方向上的投影
B
B
b
b
O
a B1 A
θ为锐角时，
| b | cosθ＞0
O(B1 ) a
A
θ为直角时，
| b | cosθ=0
B
b
B1 O
aA
θ为钝角时，
| b | cosθ＜0
数量积的几何意义：
B
数量积 a b 等于 a 的长度| a | 与b 在 b
a 的方向上的投影 | b | cos 的乘积。
•
•
在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙， 比房子 、比车 子、比 票子、 比小孩 的教育 、比工 作，往 往被压 得喘不 过气来 。而另 外总有 一些人 会运用 自己的 心智去 分辨哪 些快乐 或者幸 福是必 须建立 在比较 的基础 上的， 而哪些 快乐和 幸福是 无需比 较同样 可以获 得的， 然后把 时间花 在寻找 甚至制 造那些 无需比 较就可 以获得 的幸福 和快乐 ，然后 无怨无 悔地生 活，尽 情欢乐 。一位 清洁阿 姨感觉 到快乐 和幸福 ，因为 她刚刚 通过自 己的双 手还给 路人一 条清洁 的街道 ；一位 幼儿园 老师感 觉到快 乐和幸 福，因 为他刚 给一群 孩子讲 清楚了 吃饭前 要洗手 的道理 ；一位 外科医 生感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他刚刚 从死神 手里抢 回了一 条人命 ；一位 母亲感 觉到幸 福和快 乐，因 为他正 坐在孩 子的床 边，孩 子睡梦 中的脸 庞是那 么的安 静美丽 ，那么 令人爱 怜。。 。。。 。
241平面向量数量积的物理背景及几何意义-PPT课件
2 特别地 a a |a |或 |a | a a
( 3 ) |a b | |ab | | |
证明不等式及求函数的最值
例 1 . 已 知 a 5 , b 4 , a 与 b 的 夹 角 1 2 0 ， 求 a b .
解 ： a b a b c o s
2 2 ( a + ba ） ( b ) = a b . 对任意向量a,b,是否也有类似的结论？
例2.已知向量a，b,求证下列各式
（ 1 ） ( a b ) a 2 ab b
2 2 2 2 2
(2 ) (a b )(a b )a b
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)· (a＋b)
) a 2 b|. ( 1 ) ( a 2 b )( a 3 b )(2
解： （ 1） (a 2b) (a 3b)
(2) a 2b
2
a ab6b
2
2
2
(a 2b )
2
2
a ab c o s 6 b
72
a 4 ab 4 b
|a b| a b
数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数 ，则:
(1 )ab b a; (2)(a)b (ab) a(b) (3)ab) c a cb c
注：
( a b ) c a ( b c )
ab abc o s
注 意 （2） a ·b不能写成a×b ，‘· ’不能省.
（1）两向量的数量积是一个数量，
向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？
ab abc o s
当0°≤θ ＜ 90°时 a· b为正； 当90°＜θ ≤180°时 a· b为负。 当θ =90°时 a· b为零。
.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义第1课时公开课优质课件
2 10
练习(1)：已知a·b=-8,|a|=2， |b|=8,求a 与b的夹角 θ
(2)：a • b = 4 3,| a |= 2，
a 与 b的夹角 θ 30, 求 | b |
例2：在ABC中，BC 8, CA 5,
C 60 ，求 CB• CA; BC • CA
解：CB• CA CB CA cos
3.几何意义
数量积 a ·b 等于a 的长度| a |与 b 在 a 的方
向上的投影| b |cos 的乘积.
BC• CA BC CA cos
8 5 cos60
85 1 2
20
8 5 cos120
8 5 ( 1) 2
20
练习2 如图, 在平行四边形ABCD中,已知 AB 4, AD 3,
DAB 60 ,求 : 1.AD BC 2.ABCD D
3.AB DA 4.AB DE
60
90
2.4.1平面向量数量积的物理 背景及其含义（第1课时）
1、数量积的物理意义：
F
S
W | F || S |
F
邻边
F1
cos 斜边 FS NhomakorabeaF1如果一个物体在力F的作用下产生位移s, 那么力F所做的功W
可用公式计算: W | F || S | cos
2．平面向量数量积的定义： 已知非零向量 a ,b,它们的夹角是θ,
解: 1因为AD与BC平行且方向相同, A120 E
AD与BC的夹角为0.
C B
AD BC AD BC cos 0 3 31 9
2
或 AD BC AD 9
2. AB与CD平行,且方向相反 AB与CD的夹角是180
AB CD AB CD cos180 4 4 1 16
练习(1)：已知a·b=-8,|a|=2， |b|=8,求a 与b的夹角 θ
(2)：a • b = 4 3,| a |= 2，
a 与 b的夹角 θ 30, 求 | b |
例2：在ABC中，BC 8, CA 5,
C 60 ，求 CB• CA; BC • CA
解：CB• CA CB CA cos
3.几何意义
数量积 a ·b 等于a 的长度| a |与 b 在 a 的方
向上的投影| b |cos 的乘积.
BC• CA BC CA cos
8 5 cos60
85 1 2
20
8 5 cos120
8 5 ( 1) 2
20
练习2 如图, 在平行四边形ABCD中,已知 AB 4, AD 3,
DAB 60 ,求 : 1.AD BC 2.ABCD D
3.AB DA 4.AB DE
60
90
2.4.1平面向量数量积的物理 背景及其含义（第1课时）
1、数量积的物理意义：
F
S
W | F || S |
F
邻边
F1
cos 斜边 FS NhomakorabeaF1如果一个物体在力F的作用下产生位移s, 那么力F所做的功W
可用公式计算: W | F || S | cos
2．平面向量数量积的定义： 已知非零向量 a ,b,它们的夹角是θ,
解: 1因为AD与BC平行且方向相同, A120 E
AD与BC的夹角为0.
C B
AD BC AD BC cos 0 3 31 9
2
或 AD BC AD 9
2. AB与CD平行,且方向相反 AB与CD的夹角是180
AB CD AB CD cos180 4 4 1 16
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其意义 课件
解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° =2
例1 . 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.
解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ
＝０°，
∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；
二、平面向量的数量积的运算律：
数量积的运算律：
(1)a
b
b
a
(2)( a ) b
(a
b
)
a
(b
)
(3)(a b) c a c b c
其注中：，a(a、bb)、 c c是a 任(b意 c三) 个向量， R
证明运算律(3)
向量a、b、a + b 在c上的射影的数量 分别是OM、MN、 ON, 则
(a + b) ·c = ON |c|
b
a a+b
OM
Nc
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·a－a·b－
b·b ＝a2－b2.
∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° =2
例1 . 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.
解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ
＝０°，
∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；
二、平面向量的数量积的运算律：
数量积的运算律：
(1)a
b
b
a
(2)( a ) b
(a
b
)
a
(b
)
(3)(a b) c a c b c
其注中：，a(a、bb)、 c c是a 任(b意 c三) 个向量， R
证明运算律(3)
向量a、b、a + b 在c上的射影的数量 分别是OM、MN、 ON, 则
(a + b) ·c = ON |c|
b
a a+b
OM
Nc
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·a－a·b－
b·b ＝a2－b2.
平面向量的数量积的物理背景及其含义PPT优秀课件
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
(1)ab b a;
(2)(a)b(ab) a(b);
(3)(ab)c acbc.
如图可知： (a b )c a c b c |O B 1 | |O B |c o s |a b |c o s
|O A 1| |a|cos1
|A 1 B 1 | |A B 2 | |b |c o s2
3、在实数中，若a≠0，且a·b=0,则b=0；但在 数量积中，若a≠0，且a·b=0,不能推出b=0。 因为其中cosθ有可能为0
4、已知实数a、b、c（b≠0)，则有ab=bc 得a=c.但是有a·b=b·c不能得a=c 5、在实数中（a·b)c=a(b·c),
但（a·b)c ≠ a(b·c),
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
(1)ab b a;
(2)(a)b(ab) a(b);
(3)(ab)c acbc.
如图可知： (a b )c a c b c |O B 1 | |O B |c o s |a b |c o s
|O A 1| |a|cos1
|A 1 B 1 | |A B 2 | |b |c o s2
3、在实数中，若a≠0，且a·b=0,则b=0；但在 数量积中，若a≠0，且a·b=0,不能推出b=0。 因为其中cosθ有可能为0
4、已知实数a、b、c（b≠0)，则有ab=bc 得a=c.但是有a·b=b·c不能得a=c 5、在实数中（a·b)c=a(b·c),
但（a·b)c ≠ a(b·c),
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
高中数学2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义优秀课件
例题讲解
例1．已知|a |=5，|b |=4，a与b的夹角 120，求a ·b.
解： a ·b = |a | |b |cosθ
54co1s20
54( 1) 2
10.
物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方
向上的力做功．
F
θ
如图作 O A a， O B b，过点B作BB1
s
垂直于直线OA，垂足为 B1，那么OB1 | b | cosθ
2、 、 a 都b是单位向量，以下结论正确的选项是〔 B 〕
A、
B、 2 2
3、有a以b下四1 个关系a式：b⑴
C、 a
∥
b⑵ab
D、 ab 0
⑶
⑷
0，0 其0中正确(的a个b)c数是a(〔bc)
〕
A、a1bbB、a 2 C0、a 30 D、4
A
课后作业
1.教材第108页 A组1,2,3,4,6,7,8 2.完成教辅练习册第26页作业 3.预习教材106页~107页
解： akb与akb互相垂直
(akb)(akb)0
即a2k2b2 0 a 2 32 9， b2 42 16 916k20 k 3 .
4 即当且k仅 当 3时， akb与akb互相垂. 直
4
练习：P130
2 .已|p 知 |8 ， |q|6 ， p与 q的夹 6， 0 角 p求 q 为 .
| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影．
B
B
B
b
O
a B1 A
θ为锐角时，
| b | cosθ＞0
b
B1 O
aA
θ为钝角时，
| b | cosθ＜0
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五、数r 量r积的r运r算律：
(1)a b b a
(2)(ar)
r b
(ar
r b)
r a
r
(b )
r r r rr rr
其注中(：3，)(a(raar、brbr)b、 )crcrc是ar任(bar意crc三) 个b向量c ， R
例1、已知
设向量a
与
b
都是非零向量，则
（1） a⊥ b （2）当 a 与
b
a ·b=0
同向时，a
·b
=|a||b|
当
a
与
b 反向时，a
·b
=-|a ||b
|
特别地，a ·a =︱a︱2或︱a︱= a a
（3）︱a
·b
︱≤|a||b |
我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些 运算律对向量是否也适用？
三、数量积的物理意义：
（1）用一句话来概括功的数学本质：
功是力与位移的数量积
（2）一物体质量是10千克，分别做以下运动： ①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米； ③、竖直向上提升10米； ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；
分别求重力做的功。
S
①、在水平面上位移为10米：
G
W 0
或 2、a已 b知0A时B，C中试，判 AB断aA,BACC的形b,状 当。 a b 0
1.本节课我们学习的主要内容是什么？
2.平面向量数量积的两个基本应用是什么？
3.我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳 和性质的探究？在运算律的探究过程中，渗透 了哪些数学思想？
②、竖直下降10米：
S G
WGS
③、竖直向上提升10米：
S
G
W G S
④、沿倾角为30°的斜面向上运动10米：
S
G
W G S cos(180 30)
（1）将问题①②③的结论推广到一般向量，你能得到哪
些结论？ （2）比较
a
b
与ar
r b
的大小，你有什么结论？
四、数量积的运算性质：
二、数量积的几何意义：
（1）投影的概念：
bB
| b | cos (或 | a | cos )
叫做向量 b 在 a 方向上
O
θ |b|cosθB1 a
A
（或向量 a 在 b 方向上）的投影。
（2）数量积的几何意义：
r a
r b等于
r a
的长度
r |aBiblioteka |与br在ar方向上的投影
r
| b | cos 的乘积。
2.4.1平面向量数量积的 物理背景及其含义
问题1：我们已经研究了向量的哪些运算？ 这些运算的结果是什么？
问题2：我们是怎么引入向量的加法运算的？ 我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？
物理模型 概念 性质 运算律 应用
问题3：如图所示，一物体在力F的作用下产生位 移S，
（１）力F所做的功W=
r a
r 6，b
4，a与b的夹角为60，求
r a
r 2b
r a
r 3b
.
并思考此运算过程类似 于哪种实数运算？
例2、对任意向量a，b是否有以下结论：
(1)
a
b
2
a 2
2 a
b
b2
(2)
a
b
a
b
a 2
b2
例3、已知
ar
r 3，b
4，a与b不共线， k为何值时，
向量ar
kbr与ar
r kb 互相垂直？
并思考通过本题你有什么收获？
1((、 12))若若判aa断下00，，列则a各对b命任题a一是c非,则 否正零b确向 c， 量b并，说有明 a b理 由0
ar ·br
=|
ar
|
|
r b
|
cosθ
记法“a·b”中间的“ · ”不可以省略，也不可以用“ ”代 替。
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
活动二：探究数量积的概念
问题５：向量的数量积运算与线性运算的结果 有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？
讨论并完成下表：
a夹 角b的的范正围负0 90 90 90 180
。
（２）请同学们分析这个公式的特点：
W（功）是 量，
F
F（力）是 量，
S（位移）是 量
θ是
。
S
问题4：你能用文字语言来表述功的计算公式吗? 如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量， 其结果又该如何表述？
一注、意数：量向积量的定义：
的一夹ar数个与角已为量数br 的知θ积量，数两是。我量个们积非把（零数或向量内量|积arar|）与| ，brb|rc，记osθ它作叫ar们做·的br
4.类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究 数量积？