北师大版八年级数学下册几何综合练习试题一

八下几何综合练习一1.将两个等腰直角三角形ABC和DPE如图1摆放，点P是边AC的中点，点B在DP上，已知∠ABC＝∠DPE＝90°，BA＝BC，PD＝PE，连接BE、CD．（1）线段BE、CD之间存在什么关系？请给出证明；（2）将△PDE绕点P逆时旋转45°，得到△PD1E1，如图2所示，连接BE1、CD1．此时线BE1、CD1之间存在什么关系？请给出证明；（3）如图1，若AB＝AE＝4，连接AD，将△DPE绕点P逆时针旋转180°，请直接写出旋转过程中AD2的最大值和最小值．2.把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6 cm，DC＝7 cm，把△DEC绕点C顺时针旋转15°得到△D1E1C（如图乙），这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．（1）求∠OFE1的度数．（2）求线段AD1的长．（3）若把△D1E1C绕点C顺时针旋转30°得到△D2E2C，这时点B在△D2E2C的内部，外部，还是边上？证明你的判断．3.（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角是度；②线段OD的长为；③求∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，∠A0B＝135︒，OA＝1，0B＝2，求OC的长．小明同学借用了图1的方法，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，请你继续用小明的思路解答，或是选择自己的方法求解．4.如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE．（1）求证：△CDE是等边三角形；（2）如图2，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．5. 在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图①，若△ABC是等边三角形，且AB＝AC＝2，点D在线段BC上．①求证：∠BCE+∠BAC＝180°；②当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．（2）若∠BAC≠60°，当点D在射线BC上移动，如图②，则∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由．6.如图1，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．（1）如图1，猜想∠QEP＝°；（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝4，求BQ的长．7.数学学习小组“文化年”最近正在进行几何图形组合问题的研究，认真研读以下三个片段，并回答问题．【片断一】小文说：将一块足够大的等腰直角三角板置于一个正方形中，直角顶点与对角线交点重合，在转动三角板的过程中我发现某些线段之间存在确定的数量关系．如图（1），若三角板两条直角边的外沿分别交正方形的边AB，BC于点M，N，则①OM+ON＝MB+NB；②AM+CN＝OD．请你判断他的猜想是否正确？若正确请说明理由；若不正确请说明你认为正确的猜想并证明．【片断】小化说：将角板中个45°角的顶点和正方形的一个顶点重合放置，使得这个角的两条边与正方形的一组邻边有交点．如图（2），若以A为顶点的45°角的两边分别交正方形的边BC、CD于点M，N．交对角线BD于点E、F，我发现：BE2+DE2＝2AE2，只要准确旋转图（2）中的一个三角形就能证明这个结论．请你在图2中画出图形并写出小化所说的具体的旋转方式：．【片断三】小年说：将三角板的一个45°角放置在正方形的外部，同时角的两边恰好经过正方形两个相邻的顶点．如图（3），设顶点为E的45°角位于正方形的边AD上方，这个角的两边分别经过点B、C，连接EA，ED，那么线段EB，EC，ED也存在确定的数量关系：（EB+ED）2＝2EC2，请你证明这个结论．8.如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF．（1）试说明：△AED≌△AFD；（2）当BE＝3，CE＝9时，求∠BCF的度数和DE的长；（3）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，D是斜边BC所在直线上一点，BD＝3，BC＝8，求DE2的长．9.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知正方形边长为3，点D为x轴上一点，其坐标为（1，0），连接CD，点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线C→B→A的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）连接OP，当点P在线段BC上运动，且满足△CPO≌△ODC时，求直线OP的表达式；（2）连接PC、PD，求△CPD的面积S关于t的函数表达式；（3）点P在运动过程中，是否存在某个位置使得△CDP为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．10.如图①，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且BC＝2，CE＝2，正方形ABCD固定，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜360°）．（1）如图②，连接BG、DE，相交于点H，请判断BG和DE是否相等？并说明理由；（2）如图②，连接AC，在旋转过程中，当△ACG为直角三角形时，请直接写出旋转角α的度数；（3）如图③，点P为边EF的中点，连接PB、PD、BD，在正方形CEFG的旋转过程中，△BDP的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．11.如图①，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：y＝x交于点A，以线段AC为边在直线l1的下方作正方形ACDE，此时点D恰好落在x轴上．（1）求出A，B，C三点的坐标．（2）求直线CD的函数表达式．12. 如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．①如图b，求证：BE⊥DQ；②如图c，若△BCP为等边角形，判断△DEP的形状，并说明理由，（3）填空：若正方形ABCD的边长为10，DE＝2，PB＝PC，则线段PB的长为．13. 如图1，在平面直角坐标系中．直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标及△BCD平移的距离；（3）*若点P在y轴上，点Q在直线AB上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐；若不存在，请说明理由．14.（1）如图1，正方形ABCD中，∠PCG＝45°，且PD＝BG，求证：FP＝FC；（2）如图2，正方形ABCD中，∠PCG＝45°，延长PG交CB的延长线于点F，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）在（2）的条件下，作FE⊥PC，垂足为点E，交CG于点N，连结DN，求∠NDC的度数．15.如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x、y轴于点A、B，直线BC分别交x、y轴于点C、B，点A的坐标为（2，0），∠ABO＝30°，且AB⊥BC．（1）求直线BC和AB的解析式；（2）将点B沿某条直线折叠到点O，折痕分别交BC、BA于点E、D，在x轴上是否存在点F，使得点D、E、F为顶点的三角形是以DE为斜边的直角三角形？若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系内是否存在两个点，使得这两个点与B、C两点构成的四边形是正方形？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．16.【观察发现】（1）如图1，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，且点E在边AB上，连接DE和BG，猜想线段DE与BG的数量关系和位置关系．（只要求写出结论，不必说出理由）【深入探究】（2）如图2，将图1中正方形AEFG绕点A逆时针旋转一定的角度，其他条件与观察发现中的条件相同，观察发现中的结论是否还成立？请根据图2加以说明．【拓展应用】（3）如图3，直线l上有两个动点A、B，直线l外有一点动点Q，连接QA，QB，以线段AB为边在l的另一侧作正方形ABCD，连接QD．随着动点A、B的移动，线段QD的长也会发生变化，若QA，QB长分别为，6保持不变，在变化过程中，线段QD的长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．17.问题的提出：如果点P是锐角△ABC内一动点，如何确定一个位置，使点P到△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小？（1）问题的转化：把△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′，这样就把确定PA+PB+PC 的最小值的问题转化成确定BP+PP′+P′C的最小值的问题了，请你利用图1证明：PA+PB+PC＝BP+PP′+P′C；（2）问题的解决：当点P到锐角△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时，求∠APB和∠APC的度数；（3）问题的延伸：如图2是有一个锐角为30°的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．18.如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C点的坐标；（2）如图1，在平面内是否存在一点H，使得以A、C、B、H为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出H点坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图1点M（1，﹣1）是第四象限内的一点，在y轴上是否存在一点F，使得|FM﹣FC|的值最大？若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由19.如图①，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且BC＝2，CE＝2，正方形ABCD固定，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜360°）．（1）如图②，连接BG、DE，相交于点H，请判断BG和DE是否相等？并说明理由；（2）如图②，连接AC，在旋转过程中，当△ACG为直角三角形时，请直接写出旋转角α的度数；（3）如图③，点P为边EF的中点，连接PB、PD、BD，在正方形CEFG的旋转过程中，△BDP的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．20.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）请问EG与CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）。

北师大版八年级数学下册几何综合复习练习题(有答案)

几何练习题一．选择题1．如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长为18，则AC 的长等于（）A．12B．10C．8D．62．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．线段B．等腰三角形C．平行四边形D．等边三角形3．已知A（a，1）与B（5，b）关于原点对称，则a b的值为（）A．B．C．﹣5D．54．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，∠ADC＝30°，①四边形ACED是平行四边形；②△BCE是等腰三角形；③四边形ACEB的周长是10+2；④四边形ACEB的面积是16．则以上结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（）A．32B．16C．8D．46．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形从一个顶点出发的对角线的条数为（）A．4B．5C．6D．8二．填空题7．如图在△ABC中，BF、CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，DE经过点F．结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长＝AB+AC；④BF＝CF．其中正确的是（填序号）8．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，∠B＝15°，则S△ABC＝．9．如图，已知动点P可在射线OB上运动，∠AOB＝40°，当∠A＝°时，△AOP为直角三角形．10．如图，AB＝AC，AC的垂直平分线MN交AB于点D交AC于点E，若AE＝5，△BCD的周长为17，则△ABC的周长为．11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，CD＝4，AB＝16，则△ABD的面积等于．12．在正方形、长方形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中，是旋转对称图形不是中心对称图形的是．13．如图，▱ABCD中，EF过对角线的交点O如果AB＝4cm，AD＝3cm，OF＝1cm，则四边形BCEF的周长为．14．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EF A．其中正确结论的序号是．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D、E、F是三边的中点，则△DEF的周长是．16．如图，已知在等边△ABC中，沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2＝．三．解答题17．已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE、CF分别平分∠ACB、∠ACD，EH∥BC，分别交AC、CF于点G、H．求证：GE＝GH．18．如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE＝CF，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．19．如图，△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA于A，BC＝6cm，求AD的长．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，作AB边的垂直平分线交直线BC于M，交AB于点N．（1）如图（1），若∠A＝40°，则∠NMB＝度；（2）如图（2），若∠A＝70°，则∠NMB＝度；（3）如图（3），若∠A＝120，则∠NMB＝度；（4）由（1）（2）（3）问，你能发现∠NMB与∠A有什么关系？写出猜想，并证明．21．如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．22．如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．23．如图，△ABC是等边三角形，△ABP旋转后能与△CBP′重合．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转角度是多少度？（3）连结PP′后，△BPP′是什么三角形？简单说明理由．24．一个多边形的每个内角都相等，并且其中一个内角比它相邻的外角大100°，求这个多边形的边数．25．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，EF的中点，求证：GH⊥EF．26．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，顺次连接B、E、D，F．求证：四边形BEDF是平行四边形．27．已知：如图是某城市部分街道示意图，AF∥BC，且AF⊥CE，AB＝DC，AB∥DE，BD∥AE．甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B→A→E→F，乙乘2路车，路线是B→D→C→F，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站？说明理由．28．如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，BE＝CF．（1）求证：四边形DEFC是平行四边形；（2）若∠ABC＝60°，BD＝4，求四边形DEFC的面积．29．如图，已知在等边△ABC中，AD，CF分别为边CB，BA上的中线，以AD为边作等边△ADE．求证：（1）四边形CDEF是平行四边形；（2）EF平分∠AED．30．如图，在△ABC中，D，E，F分别为边BC，AB，AC上的点，ED∥AF且ED＝AF，延长FD到点G，使DG＝FD，求证：ED，AG互相平分．答案一．选择题1．B．2．A．3．B．4．C．5．C．6．B．二．填空题7．①②③．8．25．9．50°或90°．10．27．11．32．12．等边三角形．13．9cm．14．①②③④．15．6．16．240°．三．解答题7．解：∵EH∥BC，∴∠BCE＝∠GEC，∠GHC＝∠DCH，∵∠GCE＝∠BCE，∠GCH＝∠DCH，∴∠GEC＝∠GCE，∠GCH＝∠GHC，∴EG＝GC＝GH，∴GE＝GH．18．证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BED和△CFD都是直角三角形，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（HL），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC（等角对等边）．∵∠BDE＝30°，DE⊥AB，∴∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．19．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣2×30°＝120°，∵DA⊥BA，∴∠BAD＝90°，∴∠CAD＝120°﹣90°＝30°，∴∠CAD＝∠C，∴AD＝CD，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∠BAD＝90°，∴BD＝2AD，∴BC＝BD+CD＝2AD+AD＝3AD，∵BC＝6cm，∴AD＝2cm．20．解：（1）如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°，∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝20°，故答案为20．（2）如图2中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣70°）＝55°，∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝35°，故答案为35．（3）如图3中，如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣120°）＝30°，∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝60°，故答案为60．（4）结论：∠NMB＝∠A．理由：如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝90°﹣（90°﹣∠A）＝∠A．21．解：如图，点P为所作．22．证明：连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD，（SAS），∴BD＝CD．23．解：（1）∵△ABP旋转后能与△P'BC重合，点B是对应点，没有改变，∴点B是旋转中心；（2）AB与BC是旋转前后对应边，旋转角＝∠ABC，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴旋转角是60°；（3）连结PP′后，△BPP′是等边三角形，理由：∵旋转角是60°，∴∠PBP′＝60°，又∵BP＝BP′，∴△BPP′是等边三角形．24．解：设每个内角度数为x度，则与它相邻的外角度数为180°﹣x°，根据题意可得x﹣（180﹣x）＝100，解得x＝140．所以每个外角为40°，所以这个多边形的边数为360÷40＝9．答：这个多边形的边数为9．25．证明：∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，∴FG＝AD，EG＝BC，∵AD＝BC，∴FG＝GE，∵H是EF的中点，∴GH⊥EF．26．证明：连接BD，交AC于点O，如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AE＝CF，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，∴四边形DEBF是平行四边形．27．解：同时到达，理由如下：连接AC，如图，∵AF∥BC，AB＝CD，∴四边形ABCD为等腰梯形，∴AC＝BD，∵AB∥DE，BD∥AE，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD＝AC，AB＝DE，∵AF⊥CE，∴AF为线段CE的垂直平分线，∴CF＝EF，∴甲乘1路车，路程＝BA+AE+EF＝CD+BD+CF，乙乘2路车，路程＝BD+DC+CF，∴两人同时到达．28．解：（1）∵ED∥BC，∴∠BDE＝∠DBC．∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠BDE＝∠ABD，∴BE＝DE．∵BE＝CF，∴DE＝CF．又∵ED∥BC，∴四边形DEFC是平行四边形；（2）如图所示：过点B作BG⊥DE，垂足为G．由（1）可知∠EDB＝∠ABC．∵∠ABC＝60°．∴∠EDB＝30°．又∵∠G＝90°．∴BG＝BD＝2．∵ED∥FC，∴∠AED＝∠ABC＝60°．∴∠GEB＝60°．∴ED＝BE＝BG÷＝．∴平行四边形EDCF的面积＝ED•BG＝．29．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，AD，CF分别为边CB，BA上的中线，∴AD＝CF，AD⊥BC，∠BCF＝30°，∵△ADE是等边三角形，∴DE＝AD，∠ADE＝60°，∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°＝∠BCF，∴DE＝CF，DE∥CF，∴四边形CDEF是平行四边形；（2）∵四边形CDEF是平行四边形，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠BCF＝30°，∵△ADE是等边三角形，∴∠AED＝60°，∴∠AEF＝30°＝∠DEF，∴EF平分∠AED．30．证明：连接EG、AD，如图所示：∵ED∥AF，且ED＝AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE＝DF，又DG＝DF，∴AE＝DG，∴四边形AEGD是平行四边形，∴ED，AG互相平分．。

精品试卷北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明综合训练试卷(含答案详解)

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明综合训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、等腰三角形一边长是2，一边长是5，则此三角形的周长是（）A ．9B ．12C ．15D ．9或122、为了测量学校的景观池的长AB ，在BA 的延长线上取一点C ，使得5AC =米，在点C 正上方找一点D （即DC BC ⊥），测得60CDB ∠=︒，30ADC ∠=︒，则景观池的长AB 为（）A ．5米B ．6米C ．8米D ．10米3、如图点,,A B C 在同一条直线上，△CCC ,△CCC 都是等边三角形，,AE BD 相交于点O ，且分别与,CD CE 交于点,M N ，连接,M N ，有如下结论：①△CCC ≅△CCC ；②AM DN =；③△CCC 为等边三角形；④60EOB ∠=︒.其中正确的结论个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4、如图，AB DF ∥，AC CE ⊥于点C ，BC 与DF 交于点E ，若20A ∠=︒，则CED ∠等于（）A ．20°B ．50°C ．70°D ．110°5、已知下列命题中：①有两条边分别相等的两个直角三角形全等；②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等；③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等；④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等．其中真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．46、如图，在△CCC 中， ∠CCC 和∠CCC 的平分线相交于点C ，过点C 作CC ∥CC 交CC 于C ，交CC 于C ，过点C 作CC ⊥CC 于C ，下列四个结论：①CC =CC +CC ；② 1902BOC A ∠=+∠；③点C 到△CCC 各边的距离相等；④设CC =C ， AE AF n +=，则C CCCC =CC ．其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个7、下列说法中，错误的是（）A．等边三角形的三条中线、角平分线、高线都交于一点B．若两个三角形全等，则它们的面积也相等C．有两条边及一角对应相等的两个三角形全等D．斜边和一直角边对应相等判定直角三角形全等8、如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）A．(2+米B．(2+米C．4米D．6米9、下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1，1C．6，8，13 D．5，12，1510、在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(0)，点C在x轴上．若△ABC为等腰三角形时，∠ABC=30°，则点C的坐标为（）A．0)，0)，(，0) B．0)，0)，(4+0)C．0)，0)，0) D．0)，(1，0)，(4-0)第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，Rt△ABC 中，∠C ＝90︒，AC ＝6，BC ＝8，AB ＝10，EF 垂直平分AB ，点P 为直线EF 上一动点，则△APC 周长的最小值为_____．2、如图，在等边△ABC 中，E 为AC 边的中点，AD 垂直平分BC ，P 是AD 上的动点．若AD =6，则EP +CP 的最小值为_______________．3、如图，在△CCC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，若3DE =，5BD =，则BC =______．4、如图，△CCC 中，AB AC ⊥，AD BC ⊥于D ，30B ∠=︒，则:ADC BDA S S =△△__________________；5、平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 _____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE．2、如图所示，平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点B（﹣3，0），交y轴于点A（0，1），直线x=﹣1交AB于点D，P是直线x=﹣1上一动点，且在点D上方，设P（﹣1，n）．（1）求直线AB的解析式；（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；（3）点C是y轴上一点，当S△ABP=2时，△BPC是等腰三角形，①满足条件的点C的个数是________个（直接写出结果）；②当BP为等腰三角形的底边时，求点C的坐标．3、如图，在等边△ABC中，点P是BC边上一点，∠BAP＝α（30°＜α＜60°），作点B关于直线AP 的对称点D，连接DC并延长交直线AP于点E，连接BE．（1）依题意补全图形，并直接写出∠AEB的度数；（2）用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明．分析：①涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质……②通过截长补短，利用60°角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的目的．请根据上述分析过程，完成解答过程．4、（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”，如图1，△CCC中，CC=7,CC=9,CC=10，P为CC上一点，当CC=_______时，△CCC与△CCC是偏等积三角形；（2）如图2，四边形CCCC是一片绿色花园，△CCC、△CCC是等腰直角三角形，∠CCC=∠CCC=90°(0<∠CCC<90°)．①△CCC与△CCC是偏等积三角形吗？请说明理由；②已知CC=60C,△CCC的面积为2100m2．如图3，计划修建一条经过点C的笔直的小路CC，F 在BE边上，CC的延长线经过CC中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价．CC的长为半径作5、如图，在△CCC中，按以下步骤作图：①分别以点C和C为圆心，以大于12弧，两弧相交于点C和C；②作直线CC交CC于点C，连接CC．若CC=6，CC=4，求△CCC的周长．-参考答案-一、单选题1、B【分析】分两种情况考虑：当5为等腰三角形的腰长时和底边时，分别求出周长即可．【详解】解：当5为等腰三角形的腰长时，2为底边，此时等腰三角形三边长分别为5，5，2，周长为5＋5＋当5为等腰三角形的底边时，腰长为2，此时等腰三角形三边长分别为5，2，2，∵5>2+2，∴不能组成三角形，综上这个等腰三角形的周长为12．故选B ．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．2、D【分析】利用勾股定理求出CD 的长，进而求出BC 的长，AB BC AC =- 即可求解．【详解】解：∵DC BC ⊥，∴90DCB ∠=︒ ，∵30ADC ∠=︒，5AC =，∴210AD AC == ，∴CD =，∵60CDB ∠=︒，∴30B ∠=︒ ，∴2BD CD ==，∴15BC = ，∴15510m AB BC AC =-=-= ，【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是掌握勾股定理．3、D【分析】由SAS 即可证明DCB ACE ∆≅∆，则①正确；有∠CAE =∠CDB ，然后证明△ACM ≌△DCN ，则②正确；由CM =CN ，∠MCN =60°，即可得到∆CMN 为等边三角形，则③正确；由AD∥CE ，则∠DAO =∠NEO =∠CBN ，由外角的性质60EOB OAC CBN ∠=∠+∠=︒，即可得到答案．【详解】解：∵△DAC 和△EBC 均是等边三角形，∴AC =CD ，BC =CE ，∠ACD =∠BCE =60°，∴∠ACD +∠DCE =∠BCE +∠DCE ，即∠ACE =∠BCD ，∠MCN =180°-∠ACD -∠BCE =60°，在△ACE 和△DCB 中，AC CD ACE BCD BC CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△DCB （SAS ），则①正确；∴AE =BD ，∠CAE =∠CDB ，在ACM 和△DCN 中，ACM DCN AC CD CAM CDN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ACM ≌△DCN （ASA ），∴CM =CN ，AM DN =；则②正确；∵∠MCN =60°，∴∆CMN 为等边三角形；则③正确；∵∠DAC =∠ECB =60°，∴AD∥CE ，∴∠DAO =∠NEO =∠CBN ，∴60EOB OAC CBN OAC DAO ∠=∠+∠=∠+∠=︒；则④正确；∴正确的结论由4个；故选D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质与判定，综合性较强，但难度不是很大，准确识图找出全等三角形是解题的关键．4、C【分析】由AC CE ⊥与20A ∠=︒，即可求得ABC ∠的度数，又由AB DF ∥，根据两直线平行，同位角相等，即可求得CED ∠的度数．【详解】解：∵AC CE ⊥，∴90C ∠=︒，∵20A ∠=︒，∴70ABC ∠=︒，∵AB DF ∥，∴70CED ABC ∠=∠=︒．故选：C ．【点睛】题目主要考查了平行线的性质与垂直的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．5、C【分析】根据全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性质逐个排查即可．【详解】解：①由于SSA 不能判定三角形全等，则有两条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，故原命题是假命题；②由于满足ASA ,则有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等，故原命题是真命题；③有一条边与一个锐角分别相等即可能为ASA 或AAS ，故原命题是真命题；④由于两等腰三角形顶角相等，则他们的底角对应相等，再结合底相等，满足ASA ,故原命题是真命题．其中真命题的个数是3个．故选：C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．6、C【分析】根据∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O 和三角形的内角和等于180°，可得1902BOC A ∠=+∠；再由∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O 和EF ∥BC ，可得∠EOB =∠OBE ，∠FOC =∠OCF ，从而得到BE=OE，CF=OF，进而得到EF BE CF=+；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，根据角平分线的性质定理，可得点O到ABC各边的距离相等；又由AE+AF=n，可得S△AEF=S△AOE+S△AOF=12mn，即可求解．【详解】解：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=90°-12∠A∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+12∠A，故②正确；在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，又∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON=OD=OM=m，即点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；∵AE+AF=n，∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=12AE×OM+12AF×OD=12OD×（AE+AF）=12mn，故④错误；综上所述，正确的结论有3个．故选：C【点睛】本题主要考查了角平分线性质定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．7、C【分析】（1）等边三角形中，中线、高线、角平分线三线合一，且全部都交于同一点；（2）两个全等的三角形，大小、形状都相同，面积也相同；（3）利用两边一角证明三角形全等时，要求两边夹一角；（4）直角三角形全等时，只需要说明斜边、直角边对应相等即可；【详解】解：A选项中等边三角形中，中线、高线、角平分线三线合一，且全部都交于同一点，表述正确，故不符合题意；B选项中两个全等的三角形面积相同，表述正确，故不符合题意；C选项中有两条边及一角对应相等时无法证明两个三角形全等，表述错误，故符合题意；D选项中斜边和一直角边对应相等判定直角三角形全等，表述正确，故不符合题意；故选C．【点睛】本题考察了三角形全等的判定条件以及性质，等边三角形的性质．解题的关键在于理解特殊三角形的性质与三角形全等的判定与性质．8、D【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．【详解】解：如图，根据题意BC＝2米，∵∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4米，∴2+4＝6米．故选：D．【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．9、B【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、52＋42≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、12＋122，能构成直角三角形，故符合题意；C、62＋82≠132，不能构成直角三角形，故不符合题意；D、122＋52≠152，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，正确应用勾股定理的逆定理是解题的关键．10、A【分析】分别以AB 为腰和底两种情况结合勾股定理求解即可．【详解】解：如图，∵点A 的坐标为(0，2)，点B 的坐标为(0)，∴AO =2，BO =在Rt AOB ∆中，由勾股定理得：4AB ==①当AB 为ABC ∆的腰时，114OC BC BO =-=-∴14,0)C ;2OC BO ==∴2(C -②当AB 为底边时，33AC BC =∵30ABO ∠=︒∴360AC O ∠=︒∴330OAC ∠=︒332AC OC ∴=由勾股定理得，22233AO OC AC +=2223324OC OC ∴+=∴3OC =∴3C综上,点C 的坐标为0)，，0)，(，0) 故选A【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的定义、勾股定理以及解直角三角形，熟练掌握线等腰三角形的性质是解题的关键．二、填空题1、14由图形可得：△APC 周长AC AP CP =++，因为AC ＝3，所以求出AP CP +的最小值即可求出△APC 周长的最小值，根据题意知点A 关于直线EF 的对称点为点B ，故当点P 与点E 重合时，AP CP +的值最小，即可得到结论．【详解】解：如图所示，连接AE ，BP ，∵直线EF 垂直平分AB ，∴A ，B 关于直线EF 对称，∴AE BE =，AP BP =，在CCCC 中，PC PB CB +>，∴当P 和E 重合时，C 、P 、B 三点共线，此时，AP CP +的值最小，最小值等于BC 的长，∴APC △周长的最小值6814AC AP CP =++=+=，故答案为：14．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质、三角形周长，解答本题的关键是准确找出动点的位置．2、6要求EP +CP 的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP ，CP 的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：作点E 关于AD 的对称点F ，连接CF ，∵△ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的中垂线，∴点E 关于AD 的对应点为点F ，∴CF 就是EP +CP 的最小值．∵△ABC 是等边三角形，E 是AC 边的中点，∴F 是AB 的中点，∴CF =AD =6，即EP +CP 的最小值为6，故答案为6．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键． 3、8【分析】根据角平分线的性质可得DE DC =，进而根据BC BD CD =+即可求得结果【详解】解：在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥DC AC ∴⊥DC DE ∴=又3DE =，5BD =，538BC BD DC BD DE ∴=+=+=+=故答案为：8【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．4、1：3【分析】利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式即可得出两个三角形的面积之比．【详解】∵AB AC ⊥，AD BC ⊥，30B ∠=︒∴30B DAC ∠=∠=︒∴Rt CAD ∆中， 2AC CD =Rt ABC ∆中， 2BC AC =∴ 4BC CD =∴ 3BD CD =∴::1:3ADC BDA S S CD BD ==△△故答案为：1:3．【点睛】本题考查30°直角三角形的性质，两次使用30度角所对的直角边是斜边的一半时解题的关键．5、角平分线【分析】根据角平分线的判定可知．【详解】解：根据角平分线的判定可知：平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线，故答案为：角平分线．【点睛】本题考查了角平分线的判定，解题关键是明确在角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．三、解答题1、见解析【分析】过A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得出BF=CF，DF=EF，即可求出答案．【详解】证明：如图，过A作AF⊥BC于F，∵AB=AC，AD=AE，∴BF=CF，DF=EF，∴BF-DF=CF-EF，∴BD=CE．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的应用，注意：等腰三角形的底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合．2、（1）y =13x +1；（2）32n ﹣1；（3）①3；②C （0，﹣1）【分析】（1）设直线AB 的解析式为y =kx +b ，用待定系数法求解；（2）先表示出PD 的长，然后根据△ABP 的面积=△APD 的面积+△BPD 的面积=12PD OB ⋅求解；（3）①先根据S △ABP =2求出n ，求出BP 的长，然后可确定点C 的位置；②设C (0，c )，根据PC =BC 可求出c 的值．【详解】解：（1）设直线AB 的解析式为y =kx +b ，把A (0，1)，B (﹣3，0)代入，得130b k b =⎧⎨-+=⎩，解得113b k =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴113y x =+；（2）当x =-1时，()121133y =⨯-+=， ∵P (﹣1，n )，∴PD =23n -， ∴△ABP 的面积=△APD 的面积+△BPD 的面积=12PD OB ⋅ =12323n ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=312n -；（3）①由题意得312n -=2，解得n =2，∴P (-1，2)，PE =2，BE =3-1=2，∴BP∵3，∴BP ≠OB ，①如图，以点P 为顶点的等腰三角形有2个，以点C 为顶点的等腰三角形有1个，所以满足条件的点C 的个数是3个，故答案为：3；②设C (0，c )，∵P (-1，2)，B (﹣3，0)，∴PC 2=()()22102c --+-=245c c -+， BC 2=()()22300c --+-=29c +，当PC =BC 时， c 2-4c +5= c 2+9，∴c =-1，∴C (0，-1)．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握待定系数法、勾股定理是解答本题的关键．3、（1）图见解析，∠AEB ＝60°；（2）AE ＝BE ＋CE ，证明见解析【分析】（1）依题意补全图形，如图所示：然后连接AD ，先求出60CAP α∠=︒-，然后根据轴对称的性质得到==PAD BAP α∠∠，AD =AB =AC ，∠AEC =∠AEB ，求出=260CAD α-︒∠，即可求出()1==180=1202ACD ADC CAD α︒-︒-∠∠∠，再由==120EAC AEC ACD α+︒-∠∠∠进行求解即可；（2）如图，在AE 上截取EG ＝BE ，连接BG ．先证明△BGE 是等边三角形，得到BG ＝BE ＝EG ，∠GBE ＝60°．再证明∠ABG ＝∠CBE ，即可证明△ABG ≌△CBE 得到AG ＝CE ，则AE ＝EG ＋AG ＝BE ＋CE ．【详解】解：（1）依题意补全图形，如图所示：连接AD ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =60°，AB =AC ，∵BAP α∠=，∴60CAP α∠=︒-，∵B 、D 关于AP 对称，∴==PAD BAP α∠∠，AD =AB =AC ，∠AEC =∠AEB ，∴()==60=260CAD PAD CAP ααα--︒--︒∠∠∠， ∴()1==180=1202ACD ADC CAD α︒-︒-∠∠∠， ∴==120EAC AEC ACD α+︒-∠∠∠，∴60AEC ∠=︒∴∠AEB ＝60°．（2）AE ＝BE ＋CE ．证明：如图，在AE 上截取EG ＝BE ，连接BG ．∵∠AEB ＝60°，∴△BGE 是等边三角形，∴BG ＝BE ＝EG ，∠GBE ＝60°．∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，∴∠ABG ＋∠GBC ＝∠GBC ＋∠CBE ＝60°，∴∠ABG ＝∠CBE ．在△ABG 和△CBE 中，AB CB ABG CBE BG BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝，＝，＝， ∴△ABG ≌△CBE （SAS ），∴AG ＝CE ，∴AE ＝EG ＋AG ＝BE ＋CE ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，熟知相关知识是解题的关键4、（1）72；（2）①ACD △与BCE 是偏等积三角形，理由见详解；②修建小路的总造价为42000元【分析】（1）当AP CP =时，则72AP =，证ABP CBP S S ∆∆=，再证ABP ∆与CBP ∆不全等，即可得出结论；（2）①过A 作AM DC ⊥于M ，过B 作BN CE ⊥于N ，证()ACM BCN AAS ∆∆≌，得AM BN =，则ACD BCE S S ∆∆=，再证ACD ∆与BCE ∆不全等，即可得出结论；②过点A 作//AN CD ，交CG 的延长线于N ，证得()AGN DGC AAS ∆∆≌，得到AN CD =，再证()ACN CBE SAS ∆∆≌，得ACN CBE ∠=∠，由余角的性质可证CF BE ⊥，然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得12BCE S BE CF ∆=⋅，2100BCEACD S S ∆∆==，求出70()CF m =，即可求解．【详解】解：（1）当72AP CP ==时，ABP ∆与CBP ∆是偏等积三角形，理由如下：设点B 到AC 的距离为h ，则12ABP S AP h ∆=⋅，12CBP S CP h ∆=⋅，ABP CBP S S ∆∆∴=，10AB =，7BC =，AB BC ∴≠，AP CP =、PB PB =，ABP ∴∆与CBP ∆不全等，ABP ∴∆与CBP ∆是偏等积三角形，故答案为：72；（3）①ACD ∆与BCE ∆是偏等积三角形，理由如下：过A 作AM DC ⊥于M ，过B 作BN CE ⊥于N ，如图3所示：则90AMC BNC ∠=∠=︒，ACB ∆、DCE ∆是等腰直角三角形，90ACB DCE ∴∠=∠=︒，AC BC =，CD CE =，3603609090180BCN ACD ACB DCE ∴∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，180ACM ACD ∠+∠=︒，ACM BCN ∴∠=∠，在∆ACM 和BCN ∆中，AMC BNC ACM BCN AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACM BCN AAS ∴∆∆≌，AM BN ∴=，12ACD S CD AM ∆=⋅，12BCE S CE BN ∆=⋅， ACD BCE S S ∆∆∴=，180BCE ACD ∠+∠=︒，090BCE ︒<∠<︒，ACD BCE ∴∠≠∠，CD CE =，AC BC =，ACD ∴∆与BCE ∆不全等，ACD ∴∆与BCE ∆是偏等积三角形；②如图4，过点A 作//AN CD ，交CG 的延长线于N ，则N GCD ∠=∠， G 点为AD 的中点，AG GD ∴=，在AGN ∆和DGC ∆中，N GCD AGN DGC AG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AGN DGC AAS ∴∆∆≌，AN CD ∴=，CD CE =，AN CE ∴=，//AN CD ，180CAN ACD ∴∠+∠=︒，90ACB DCE ∠=∠=︒，3609090180ACD BCE ∴∠+∠=︒-︒-︒=︒，BCE CAN ∴∠=∠，在ACN ∆和CBE ∆中，AN CE CAN BCE AC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACN CBE SAS ∴∆∆≌，ACN CBE ∴∠=∠，1809090ACN BCF ∠+∠=︒-︒=︒，90CBE BCF ∴∠+∠=︒，90BFC ∴∠=︒，CF BE ∴⊥．由①得：ACD ∆与BCE ∆是偏等积三角形，12BCE S BE CF ∆∴=⋅，2100BCE ACD S S ∆∆==， 22210070()60BCE S CF m BE ∆⨯∴===， ∴修建小路CF 的总造价为：6007042000⨯=（元)．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了新定义“偏等积三角形”的定义、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明ACM BCN ∆∆≌和ACN CBE ∆∆≌是解题的关键，属于中考常考题型．5、10【分析】依据垂直平分线的性质得DB DC =．ABD ∆周长转化为+AB AC 即可求解．【详解】解：由已知作图方法可得，DN 是线段BC 的垂直平分线，所以，BD CD =，因为，6AC =，4AB =，所以，4610AB BD AD AB CD AD AB AC ++=++=+=+=，因此，ABD △的周长是10．【点睛】本题主要考查中垂线性质，解题的关键是掌握中垂线上一点到线段两端点距离相等，将所求周长转化为+AB AC 的和即可．。

北师大版八年级数学下册几何综合练习题(有答案)

八年级下册几何综合练习三角形的证明1．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，则下列结论中，不正确的是（）A．AD＝AE B．DE＝EC C．∠ADE＝∠C D．DB＝EC2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°！3．如图，△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为24，则BC的长为（）A．18 B．14 C．12 D．64．等边△ABO在平面直角坐标系内的位置如图所示，已知△ABO的边长为6，则点A的坐标为（）A．（﹣3，3）B．（3，﹣3）C．（﹣3，3）D．（﹣3，﹣3）5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝70°，则∠A的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°~6．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（）A．30°B．36°C．45°D．70°7．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为（）A．3B．6 C．3D．8．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，则这个等腰三角形的面积为．9．如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为．?10．如图，在等边三角形ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于E，且EC＝1，则BC 的长．11．有一个内角为60°的等腰三角形，腰长为6cm，那么这个三角形的周长为cm．12．如图，△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，CD是AB边上的中线．则CD＝．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AD是△ABC的角平分线，若CD＝，则△ABD的面积为．14．如图，△ABC为等边三角形，过点B作BD⊥AC于点D，过D作DE∥BC，且DE＝CD，连接CE，《（1）求证：△CDE为等边三角形；（2）请连接BE，若AB＝4，求BE的长．平行四边形15．在▱ABCD中，若∠A：∠B＝5：4，则∠C的度数为（）A．80°B．120°C．100°D．110°16．如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，∠B＝150°，则平行四边形ABCD的面积为（）}A．2 B．3 C．D．617．如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，则∠ABE的度数为（）A．30°B．36°C．54°D．72°18．若平行四边形的周长是100cm，且一组邻边的差是30cm，则较短的边长是cm；若平行四边形的周长为56cm，两条邻边的比是4：3，则较长边是cm．19．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC＝42°，∠CBD＝23°，则∠COD的度数为．20．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．如果AC＝8，BD＝14，AB＝x，那么x的取值范围是．[21．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB＝60°，EF＝DC．（1）求证：四边形EFCD是平行四边形．（2）连结BE，若BE＝EF，求证：AE＝AD．22．如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE＝AF．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）若∠ABC＝60°，BD＝4，求平行四边形ADEF的面积．·23．如图1，在△OAB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．24．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造□PCOD．在线段OP延长线上一动点E，且满足PE＝AO．（1）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（2）当点P运动的时间为秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少！25．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，AB＝BC，F为四边形ABCD外一点，且∠FCA＝90°，∠CBF＝∠DCB．（1）求证：四边形DBFC是平行四边形；（2）如果BC平分∠DBF，∠F＝45°，BD＝2，求AC的长．、图形的平移与旋转26．下列图形中，轴对称图形的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个27．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．28．如图，△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，则下列结论中错误的是（）#A．AB∥DF B．∠B＝∠EC．AB＝DE D．AD的连线被MN垂直平分19．将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现将数字“69”旋转180°，得到的数字是（）A．96 B．69 C．66 D．9930．如图，将Rt△ABC（其中∠B＝30°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．115°B．120°C．125°D．145°<31．如图，将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到三角形A'OB'，若∠AOB＝21°，则∠AOB′的度数是（）A．21°B．24°C．45°D．66°32．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．（1）在图中画出将△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后得到的△A1B1C1；（2）在图中画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，计算点A所经过的路径的长度．#答案：1．B．2．B．3．A．4．C．5．A．6．B．7．A．8．48．9．60°．10．4．11．18．12．．13．．14．解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠ACB＝60°，又∵DE＝DC，∴△CDE为等边三角形；'（2）过点E作EH⊥BC于H，∵BD⊥AC，∴CD＝AC＝AB＝2，又∵△CDE为等边三角形，∴CE＝CD＝2，∵∠ECH＝60°，∴EH＝EC•sin60°＝2×＝，CH＝EC•cos60°＝1，∴．15．C．16．B．17．B．18．解：（1）设较短的边为xcm，则：x+（x+30）＝100÷2，解得x＝10；|（2）设较长边为4x，则：4x+3x＝56÷2，解得x＝4，那么4x＝16．19．65°．20．3＜x＜11．21．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵∠EFB＝60°，∴∠ABC＝∠EFB，∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行），∵DC＝EF，∴四边形EFCD是平行四边形；（2）连接BE∵BF＝EF，∠EFB＝60°，∴△EFB是等边三角形，∴EB＝EF，∠EBF＝60°∵DC＝EF，∴EB＝DC，^∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AB＝AC，∴∠EBF＝∠ACB，∴△AEB≌△ADC，∴AE＝AD．22．（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBE，∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE，∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE；∵BE＝AF，∴AF＝DE；∴四边形ADEF是平行四边形；（2）解：过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，∵∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠EBD＝30°，}∴DG＝BD＝×4＝2，∵BE＝DE，∴BH＝DH＝2，设HE＝x，则BE＝2x，（2x）2﹣x2＝22，解得x＝，∴BE＝2x＝，∴DE＝，∴四边形ADEF的面积为：DE•DG＝．23．（1）证明：∵Rt△OAB中，D为OB的中点，∴AD＝OB，OD＝BD＝OB ∴DO＝DA，∴∠DAO＝∠DOA＝30°，∠EOA＝90°，∴∠AEO＝60°，\又∵△OBC为等边三角形，∴∠BCO＝∠AEO＝60°，∴BC∥AE，∵∠BAO＝∠COA＝90°，∴CO∥AB，∴四边形ABCE是平行四边形；（2）解：设OG＝x，由折叠可得：AG＝GC＝8﹣x，在Rt△ABO中，∵∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，BO＝8，∴AO＝BO•cos30°＝8×＝4，在Rt△OAG中，OG2+OA2＝AG2，x2+（4）2＝（8﹣x）2，解得：x＝1，∴OG＝1．24．（1）证明：连接CD交AE于F，-∵四边形PCOD是平行四边形，∴CF＝DF，OF＝PF，∵PE＝AO，∴AF＝EF，又CF＝DF，∴四边形ADEC为平行四边形；（2）解：当点P运动的时间为秒时，OP＝，OC＝3，则OE＝，由勾股定理得，AC＝＝3，CE＝＝，∵四边形ADEC为平行四边形，∴周长为（3+）×2＝6+3．25．（1）证明：∵AC⊥BD，∠FCA＝90°，∠CBF＝∠DCB．∴BD∥CF，CD∥BF，∴四边形DBFC是平行四边形；（2）解：∵四边形DBFC是平行四边形，∴CF＝BD＝2，∵AB＝BC，AC⊥BD，∴AE＝CE，作CM⊥BF于F，∵BC平分∠DBF，∴CE＝CM，∵∠F＝45°，∴△CFM是等腰直角三角形，∴CM＝CF＝，∴AE＝CE＝，∴AC＝2．26．C．27．B．28．A．29．B．30．B．31．B．32．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）OA＝＝2，所以点A所经过的路径的长度＝＝π．。

北师大版数学八年级下册第一章三角形的证明综合测试卷(含答案)

第一章三角形的证明综合测试卷一、选择题。

01如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=35º，则∠C的度数为 ( )A．35º B．45º C．55º D．60º02若等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为2 cm，则该等腰三角形的底边长为( )A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm03如图，在△ABC中，∠ACB=90º，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30º，AE=6 cm，那么CE等于 ( )A ．3 cmB ．2 cm C．3 cm D．4 cm04如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B,C为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD=AC，∠A=50º，则∠ACB的度数为 ( )A．90º B．95º C 100º D．105º05如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为点E，DE=4，AC=6，则△ACD 的面积为 ( )A．8 B 10 C．12 D．2406如图，∠A=50º，P是等腰△ABC内一点，且∠PBC=∠PCA，则∠BPC为 ( )A．100º B．140º C．130º D．115º07如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60º，DE是斜边AC的垂直平分线，分别交AB，AC 于D，E两点，若BD=2，则AC的长是 ( )A．4 B．43 C．8 D．8308 将一个有45º角的直角三角尺的直角顶点C放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30º角，如图，则三角尺的最长边的长为 ( )A．6 cm B．2 cm C．2 cm D．209如图，∠ACB=90º，AC=BC，AE⊥CE，垂足为点E，BD⊥CE，交CE的延长线于点D，AE=5 cm，BD=2 cm，则DE的长是( )A．8 cm B．5 cm C．3 cm D．2 cm10如图，AD⊥BC于D，且DB=DC，有下列结论：①△ABD≌△ACD;②∠B=∠C；③AD 是∠BAC的平分线；④△ABC为等边三角形．其中正确的有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11如图，∠A=15º，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于( )A．90º B．75º C．70º D．60º12如图，在△ABC中，BC=10，DH，EF分别为AB、AC的垂直平分线，则△ADE的周长是 ( )A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题。

北师大版八年级数学下册几何综合练习一

八下几何综合练习一1.将两个等腰直角三角形ABC和DPE如图1摆放，点P是边AC的中点，点B在DP上，已知∠ABC＝∠DPE＝90°，BA＝BC，PD＝PE，连接BE、CD．（1）线段BE、CD之间存在什么关系？请给出证明；（2）将△PDE绕点P逆时旋转45°，得到△PD1E1，如图2所示，连接BE1、CD1．此时线BE1、CD1之间存在什么关系？请给出证明；（3）如图1，若AB＝AE＝4，连接AD，将△DPE绕点P逆时针旋转180°，请直接写出旋转过程中AD2的最大值和最小值．2.把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6 cm，DC＝7 cm，把△DEC绕点C顺时针旋转15°得到△D1E1C（如图乙），这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．（1）求∠OFE1的度数．（2）求线段AD1的长．（3）若把△D1E1C绕点C顺时针旋转30°得到△D2E2C，这时点B在△D2E2C的内部，外部，还是边上？证明你的判断．3.（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角是度；②线段OD的长为；③求∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，∠A0B＝135︒，OA＝1，0B＝2，求OC的长．小明同学借用了图1的方法，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，请你继续用小明的思路解答，或是选择自己的方法求解．4.如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE．（1）求证：△CDE是等边三角形；（2）如图2，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．5. 在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图①，若△ABC是等边三角形，且AB＝AC＝2，点D在线段BC上．①求证：∠BCE+∠BAC＝180°；②当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．（2）若∠BAC≠60°，当点D在射线BC上移动，如图②，则∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由．6.如图1，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．（1）如图1，猜想∠QEP＝°；（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝4，求BQ的长．7.数学学习小组“文化年”最近正在进行几何图形组合问题的研究，认真研读以下三个片段，并回答问题．【片断一】小文说：将一块足够大的等腰直角三角板置于一个正方形中，直角顶点与对角线交点重合，在转动三角板的过程中我发现某些线段之间存在确定的数量关系．如图（1），若三角板两条直角边的外沿分别交正方形的边AB，BC于点M，N，则①OM+ON＝MB+NB；②AM+CN＝OD．请你判断他的猜想是否正确？若正确请说明理由；若不正确请说明你认为正确的猜想并证明．【片断】小化说：将角板中个45°角的顶点和正方形的一个顶点重合放置，使得这个角的两条边与正方形的一组邻边有交点．如图（2），若以A为顶点的45°角的两边分别交正方形的边BC、CD于点M，N．交对角线BD于点E、F，我发现：BE2+DE2＝2AE2，只要准确旋转图（2）中的一个三角形就能证明这个结论．请你在图2中画出图形并写出小化所说的具体的旋转方式：．【片断三】小年说：将三角板的一个45°角放置在正方形的外部，同时角的两边恰好经过正方形两个相邻的顶点．如图（3），设顶点为E的45°角位于正方形的边AD上方，这个角的两边分别经过点B、C，连接EA，ED，那么线段EB，EC，ED也存在确定的数量关系：（EB+ED）2＝2EC2，请你证明这个结论．8.如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF．（1）试说明：△AED≌△AFD；（2）当BE＝3，CE＝9时，求∠BCF的度数和DE的长；（3）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，D是斜边BC所在直线上一点，BD＝3，BC＝8，求DE2的长．9.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知正方形边长为3，点D为x轴上一点，其坐标为（1，0），连接CD，点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线C→B→A的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）连接OP，当点P在线段BC上运动，且满足△CPO≌△ODC时，求直线OP的表达式；（2）连接PC、PD，求△CPD的面积S关于t的函数表达式；（3）点P在运动过程中，是否存在某个位置使得△CDP为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．10.如图①，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且BC＝2，CE＝2，正方形ABCD固定，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜360°）．（1）如图②，连接BG、DE，相交于点H，请判断BG和DE是否相等？并说明理由；（2）如图②，连接AC，在旋转过程中，当△ACG为直角三角形时，请直接写出旋转角α的度数；（3）如图③，点P为边EF的中点，连接PB、PD、BD，在正方形CEFG的旋转过程中，△BDP的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．11.如图①，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：y＝x交于点A，以线段AC为边在直线l1的下方作正方形ACDE，此时点D恰好落在x轴上．（1）求出A，B，C三点的坐标．（2）求直线CD的函数表达式．12. 如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．①如图b，求证：BE⊥DQ；②如图c，若△BCP为等边角形，判断△DEP的形状，并说明理由，（3）填空：若正方形ABCD的边长为10，DE＝2，PB＝PC，则线段PB的长为．13. 如图1，在平面直角坐标系中．直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标及△BCD平移的距离；（3）*若点P在y轴上，点Q在直线AB上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐；若不存在，请说明理由．14.（1）如图1，正方形ABCD中，∠PCG＝45°，且PD＝BG，求证：FP＝FC；（2）如图2，正方形ABCD中，∠PCG＝45°，延长PG交CB的延长线于点F，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）在（2）的条件下，作FE⊥PC，垂足为点E，交CG于点N，连结DN，求∠NDC的度数．15.如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x、y轴于点A、B，直线BC分别交x、y轴于点C、B，点A的坐标为（2，0），∠ABO＝30°，且AB⊥BC．（1）求直线BC和AB的解析式；（2）将点B沿某条直线折叠到点O，折痕分别交BC、BA于点E、D，在x轴上是否存在点F，使得点D、E、F为顶点的三角形是以DE为斜边的直角三角形？若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系内是否存在两个点，使得这两个点与B、C两点构成的四边形是正方形？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．16.【观察发现】（1）如图1，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，且点E在边AB上，连接DE和BG，猜想线段DE与BG的数量关系和位置关系．（只要求写出结论，不必说出理由）【深入探究】（2）如图2，将图1中正方形AEFG绕点A逆时针旋转一定的角度，其他条件与观察发现中的条件相同，观察发现中的结论是否还成立？请根据图2加以说明．【拓展应用】（3）如图3，直线l上有两个动点A、B，直线l外有一点动点Q，连接QA，QB，以线段AB为边在l的另一侧作正方形ABCD，连接QD．随着动点A、B的移动，线段QD的长也会发生变化，若QA，QB长分别为，6保持不变，在变化过程中，线段QD的长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．17.问题的提出：如果点P是锐角△ABC内一动点，如何确定一个位置，使点P到△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小？（1）问题的转化：把△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′，这样就把确定PA+PB+PC 的最小值的问题转化成确定BP+PP′+P′C的最小值的问题了，请你利用图1证明：PA+PB+PC＝BP+PP′+P′C；（2）问题的解决：当点P到锐角△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时，求∠APB和∠APC的度数；（3）问题的延伸：如图2是有一个锐角为30°的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．18.如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C点的坐标；（2）如图1，在平面内是否存在一点H，使得以A、C、B、H为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出H点坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图1点M（1，﹣1）是第四象限内的一点，在y轴上是否存在一点F，使得|FM﹣FC|的值最大？若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由19.如图①，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且BC＝2，CE＝2，正方形ABCD固定，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜360°）．（1）如图②，连接BG、DE，相交于点H，请判断BG和DE是否相等？并说明理由；（2）如图②，连接AC，在旋转过程中，当△ACG为直角三角形时，请直接写出旋转角α的度数；（3）如图③，点P为边EF的中点，连接PB、PD、BD，在正方形CEFG的旋转过程中，△BDP的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．20.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）请问EG与CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）。

北师大版2019八年级数学下册第一章三角形的证明综合练习一(含答案)

北师大版2019八年级数学下册第一章三角形的证明综合练习一（含答案）1．如图，D 为△ABC 外一点，BD ⊥AD ，BD 平分△ABC 的一个外角，∠C ＝∠CAD ，若AB＝5，BC ＝3，则BD 的长为（）A ．1B ．1.5C ．2D ．32．若三角形三边的长分别为6，8，10，则最短边上的高是（）A ．6B ．7C ．8D ．103．如图，已知点P 到AE ，AD ，BC 的距离相等，下列说法：①点P 在∠BAC 的平分线上；②点P 在∠CBE 的平分线上；③点P 在∠BC D 的平分线上；④点P 在∠BAC ，∠CBE，∠BCD 的平分线的交点上．其中正确的是(D)A ．④B ．②③C ．①②③D ．①②③④4．已知,A,B,C ABC a ∠∠∠中的三边、b 、c 是三角形的三边长，由下列条件不能判定ABC 为直角三角形的是（）A ．ABC ∠+∠=∠ B ．A B C ∠∠∠：： 1:2:3=C ．222a c b =-D ．a : b :c =4:5:65．给出下列命题：（1）三角形的一个外角一定大于它的一个内角（2）若一个三角形的三个内角之比为1：3：4，它肯定是直角三角形（3）一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是五边形（4）在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行（5）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直其中真命题的个数是（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个6．直线MN 是线段AB 的垂直平分线，交BC 于点D ，连结AD ．若△ADC 的周长为10，AB=7，则△ABC 的周长为（）A ．20B ．17C ．14D ．77．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，BD ：DC=3：2，点D 到AB 的距离为6，则BC 等于（）A ．10B ．20C ．15D ．258．如图，AB ＝AC ，∠A ＝36°，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，有下列结论：①∠C ＝72°；②BD 是∠ABC 的平分线；③△ABD 是等腰三角形；④△BCD 是等腰三角形．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC于E，DE＝5，则点D到AB的距离是_______．10．如图，在△ABC中，AB=AC，CD=CB，若∠ACD=42°，则∠BAC=__________．11．等腰三角形的一个内角为40°，则顶角的度数为__________．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点M在AB上，且∠ACM＝∠BAC，则CM的长为_______．13．13．若等腰三角形顶角的外角为100°，则它的一个底角为____．14．如图所示，在△ABC中，AB=AC=7cm，D是BC上的一点，且DE∥AC，DF∥AB，则DE+DF=___．15．如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC=18cm，AB=10cm，则△ABD的周长为_______cm。

度八年级数学下册期末几何综合题专项复习练习题

2020-2021学年度北师大版八年级数学下册期末几何综合题专项复习练习题1、如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F．（1）求证：△ADC≌△BDF；（2）求证：BF＝2AE．2、如图，AC⊥BC，垂足为C，AC＝6，BC＝4，将线段AC绕点C按顺时针方向旋转60°，得到线段CD，连接AD，DB．（1）求线段BD的长度；（2）求四边形ACBD的面积．3、如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，点D为BC上一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE，且AE＝DE．（1）求证：∠AEC＝∠C；（2）若AE＝8.5，AD＝8，求△ABE的周长．3、四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE＝CD；（2）连接BF、AC、DE，当BF⊥AE时，求证：四边形ACED是平行四边形．4、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点．（1）试说明四边形AECF是平行四边形．（2）若AC＝2，AB＝1．若AC⊥AB，求线段BD的长．5、如图，D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点F，若FA＝FC．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）若AE⊥EC，EF＝EC＝5，求四边形ADCE的面积．6、如图1，将线段AB平移至DC，使点A与点D对应，点B与点C对应，连接AD、BC．（1）填空：AB与CD的位置关系为，BC与AD的位置关系为．（2）如图2，若G、E为射线DC上的点，∠AGE＝∠GAE，AF平分∠DAE交直线CD于F，且∠FAG＝30°，求∠B的度数．7、如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．8、已知E为平行四边形ABCD中AB边上一点，且BE＝AB，连接DE交BC于F，交AC于G．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）试探究OF与AB有什么位置关系和数量关系，并说明理由．9、将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A 1CB 1＝∠ACB ＝90°，∠A 1＝∠A ＝30°．（1）将图①中的△A 1B 1C 顺时针旋转45°得图②，点P 1是A 1C 与AB 的交点，点Q 是A 1B 1与BC 的交点，求证：CP 1＝CQ ；（2）在图②中，若AP 1＝2，则CQ 等于多少？10、如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BM AC ⊥，交AC 于点E ，交CD 于点M ，过点D 作DN AC ⊥，交AC 于点F ，交AB 于点N ．（1）求证：四边形BMDN 是平行四边形；（2）已知125AF EM ==，，求AN 的长11、（1）已知：如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交．求证：FG＝（AB+BC+AC）．（2）若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其余条件不变（如图2），线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．12、阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．13、在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．（1）如图1，若∠ADC＝90°，G是EF的中点，连接AG、CG．①求证：BE＝BF．②请判断△AGC的形状，并说明理由；（2）如图2，若∠ADC＝60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）14、（1）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系．请你按照小亮的思路写出推理过程．（2）如图2，已知正方形ABCD，△AEF是正方形ABCD的内接等边三角形，请你找出S△ABE、S△ADF、S△CEF之间的数量关系，并说明理由．15、定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DE、DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，且连接PM、PN．观察猜想（1）线段PM与PN“等垂线段”（填“是”或“不是”）猜想论证（2）△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD，CE，试判断PM与PN是否为“等垂线段”，并说明理由．拓展延伸（3）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出PM 与PN的积的最大值．。

2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明之直角三角形综合练(一)

北师大版下册第一章《三角形的证明》之直角三角形综合练（一）1．如图1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC．（1）求证：∠ACE＝∠ABC；（2）求证：∠ECD+∠EBC＝∠BEC；（3）求证：∠CEF＝∠CFE．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC 的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）点F是AE延长线上一点，过点F作∠AFD＝27°，交AB的延长线于点D．求证：BE ∥DF．3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是△ABC的角平分线，CD⊥AB，垂足D，延长CE 与外角∠ABG的平分线交于点F．（1）若∠A＝60°，求∠DCE和∠F的度数；（2）若∠A＝n°（0＜n＜90）直接写出用含n的代数式表示∠DCE和∠F．（3）在图中画△FCB高FH和∠DCB的角平分线交于点Q，在（2）的条件下求∠CQH的度数，请直接写出∠CQH的度数．4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．（1）若∠DEC＝25°，求∠B的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．5．我们知道定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，这个定理的逆命题也是真命题．（1）请你写出这个定理的逆命题是；（2）下面我们来证明这个逆命题：已知：如图，CD是△ABC的中线，CD＝AB．求证：△ABC为直角三角形．请你写出证明过程：6．如图在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，BC，AB，CD上的点，连接EF，GH．①若EF⊥GH，则必有EF＝GH．②若EF＝GH，则必有EF⊥GH．判断上述两个命题是否成立，若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例．7．在△AOB中，∠AOB＝90°，点C为直线AO上的一个动点（与点O，A不重合），分别作∠OBC和∠ACB的角平分线，两角平分线所在直线交于点E．（1）若点C在线段AO上，如图1．①依题意补全图1；②求∠BEC的度数；（2）当点C在直线AO上运动时，∠BEC的度数是否变化？若不变，请说明理由；若变化，画出相应的图形，并直接写出∠BEC的度数．8．已知△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G．（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠A＝50°，直接求出∠G的度数；（2）如图2，若∠ACB≠90°，试判断∠G与∠A的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若FE∥AD，求证：∠DFE＝∠ABC+∠G．9．如图1，直线PQ⊥直线MN，垂足为O，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与直线PQ交于点C．（1）若∠A＝∠AOC＝30°，则BC BO（填“＞”“＝”“＜”）；（2）如图2，延长AB交直线MN于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB＝∠EOB，∠AEO＝α，求∠AOE的度数（用含α的代数式表示）；（3）如图3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点R，∠A＝36°，当△AOB绕O点旋转时（斜边AB与直线PQ始终相交于点C），问∠R的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．10．锐角三角形ABC中，AC＞BC，点D是边AC的中点，点E在边AB上．①如果DE∥BC，那么DE＝BC②如果DE＝BC，那么DE∥BC．判断上述两个命题是否成立，若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例．11．如图，在△ABC中，AC＝CB，∠ACB＝90°，在AB上取点F，过A作AB的垂线，使得AD＝BF，连接BD，CD、CF，CE是∠ACB的角平分线，交BD于点M，交AB于点E．（1）若AC＝6，AF＝4．求BD的长：（2）求证：2CM＝AF12．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，∠ABC＝60°，∠ECD＝15°．（1）直接写出∠ADB的度数是；（2）求证：BD＝AB；（3）若AB＝2，求BC的长．13．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合，那么当点P 运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？参考答案1．证明：（1）∵CE⊥AD，∠ACD＝90°，∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠D．∵∠D＝∠ABC，∴∠ACE＝∠ABC；（2）∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，∴∠ACB＝∠DAC，∴AD∥BC，∵CE⊥AD，∴CE⊥BC，∴∠BEC+∠EBC＝90°，∵∠D+∠ECD＝90°，∠D＝∠ABC，∴∠ABC+∠ECD＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC∴2∠EBC+∠ECD＝90°，∴2∠EBC+∠ECD＝∠BEC+∠EBC，即∠EBC+∠ECD＝∠BEC；（3）∵∠ABF+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFE，∴∠ABF+∠CFE＝90°，∵∠CBE+∠CEF＝90°，∠ABF＝∠CAE，∴∠CEF＝CFE．2．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝54°，∴∠CBD＝126°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝∠CBD＝63°；（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝63°，∴∠CEB＝90°﹣63°＝27°．又∵∠F＝27°，∴∠F＝∠CEB＝27°，∴DF∥BE3．解：（1）∵CD⊥AB，∠A＝60°，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，∵CF平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠FCB＝∠ACB＝45°，∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝45°﹣30°＝15°，∵∠ABG＝∠A+∠ACB＝150°，∵BF平分∠ABG，∴∠FBG＝∠ABG＝75°，∵∠FBG＝∠F+∠FCB，∴∠F＝75°﹣45°＝30°．（2）∵CD⊥AB，∠A＝n°，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝90°﹣n°，∵CF平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠FCB＝∠ACB＝45°，∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝45°﹣90°+n°＝n°﹣45°，∵∠ABG＝∠A+∠ACB＝90°+n°，∵BF平分∠ABG，∴∠FBG＝∠ABG＝45°+n°∵∠FBG＝∠F+∠FCB，∴∠F＝n°．（3）如图，∵FH⊥CG，∴∠FHC＝90°，∵∠A+∠ACD＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°∴∠A＝∠DCB＝n°，∵CQ平分∠DCB，∴∠QCH＝n°，∴∠CQH＝90°﹣n°．4．解：（1）∵∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝25°，∴∠BDE＝50°，又∵DE⊥AB，∴Rt△BDE中，∠B＝90°﹣∠BDE＝90°﹣50°＝40°；（2）∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°＝∠ACB，又∵DE＝DC，AD＝AD，∴△AED≌△ACD（HL），∴AE＝AC，∴点D在CE的垂直平分线上，点A在CE的垂直平分线上，∴直线AD是线段CE的垂直平分线．5．解：（1）∵“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，∴它逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；（2）∵CD是△ABC的中线∴AD＝BD＝AB，∵CD＝AB，∴AD＝CD＝BD，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCB，在△ABC中，∠A+∠B+∠ACD+∠DCB＝180°∴∠A+∠B+∠A+∠B＝180°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°，∴△ABC为直角三角形．6．解：①成立，②不成立；理由如下：①作GM⊥CD于M，FN⊥AD于N，如图1所示：则∠GMH＝∠FNE＝90°，GM⊥FN，GM＝AD，FN＝AB，∴∠OGQ+∠OQG＝90°，∵EF⊥GH，∴∠PFQ+∠PQF＝90°，∵∠OQG＝∠PQF，∴∠OGQ＝∠PFQ，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∴FN＝GM，在△EFN和△HGM中，，∴△EFN≌△HGM（ASA），∴EF＝GH；②作GM⊥CD于M，FN⊥AD于N，如图2所示：则∠GMH＝∠FNE＝90°，GM⊥FN，GM＝AD，FN＝AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∴FN＝GM，在Rt△EFN和Rt△HGM中，，∴Rt△EFN≌Rt△HGM（HL），∴∠OGQ＝∠PFQ，∵∠OGQ+∠OQG＝90°，∠OQG＝∠PQF，∴∠PQF+∠PFQ＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴EF⊥GH；作GH关于GM的对称线段GH'，则GH'＝GH＝EF，显然EF与GH'不垂直；综上所述，若EF＝GH，则必有EF⊥GH．不成立．7．解：（1）①图形如图所示．②设∠EBO＝∠EBC＝x，∠OCE＝∠ECK＝y．则有：，可得∠E＝×90°＝45°．（2）如图，当点C在OA的延长线上时，结论∠BEC＝135°．理由：∵∠AOB＝90°，∴∠OBC+∠OCB＝90°，∵∠EBC＝∠OBC，∠ECB＝∠OCB，∴∠EBC+∠ECB＝×90°＝45°，∴∠BEC＝180°﹣45°＝135°．如图当点C在AO的延长线上时，同法可证：∠BEC＝135°．8．解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠ABC＝40°，∵BG平分∠ABC，∴∠CBG＝20°，∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD＝90°，∵DG平分∠ADE，∴∠CDF＝45°，∴∠CFD＝45°，∴∠BFD＝180°﹣45°＝135°，∴∠G＝180°﹣20°﹣135°＝25°；（2）如图2，∠A＝2∠G，理由是：由（1）知：∠ABC＝2∠FBG，∠CDF＝∠CFD，设∠ABG＝x，∠CDF＝y，∵∠ACB＝∠DCF，∴∠A+∠ABC＝∠CDF+∠CFD，即∠A+2x＝2y，∴y＝，同理得∠A+∠ABG＝∠G+∠CDF，∴∠A+x＝∠G+y，即∠A+x＝∠G++x，∴∠A＝2∠G；（3）如图3，∵EF∥AD，∴∠DFE＝∠CDF，由（2）得：∠CFD＝∠CDF，△FBG中，∠G+∠FBG+∠BFG＝180°，∠BFG+∠DFC＝180°，∴∠DFC＝∠G+∠FBG，∴∠DFE＝∠CFD＝∠FBG+∠G＝+∠G．9．解：（1）∵△AOB是直角三角形，∴∠A+∠B＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，∵∠A＝∠AOC＝30°，∴∠B＝∠BOC＝60°∴△BOC是等边三角形，∴BC＝BO故答案为：＝；（2）∵OD⊥AB，∠AEO＝α，∴∠DOE＝90°﹣α，∵∠DOB＝∠BOE，∴∠BOE＝＝（90°﹣α）＝45°﹣α，∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝90°+45°﹣＝135°﹣；（3）∠R的度数不变，∠R＝27°．理由如下：设∠AOM＝β，则∠AOC＝90°﹣β，∵OF平分∠AOM，∴∠FOM＝∠RON＝，∴∠COR＝∠CON+∠RON＝90°+，∵∠OCB＝∠A+∠AOC＝36°+90°﹣β＝126°﹣β，∵CR平分∠BCO，∴∠OCR＝＝63°﹣，∴∠R＝180°﹣（∠OCR+∠COR）＝180°﹣63°+﹣90°﹣＝27°，∴∠R的度数不变，∠R＝27°．10．解：①∵锐角三角形ABC中，AC＞BC，点D是边AC的中点，DE∥BC，∴AE＝EB，即DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC故①正确；②令E为AB中点，可以在AB上取到一点F，使DF＝DE，但DF与BC不平行．故②错误．11．解：（1）∵AC＝CB＝6，∠ACB＝90°，∴AB＝12∵AF＝4，∴BF＝AB﹣AF＝12﹣4＝8，∴AD＝BF＝8，在Rt△ADB中，BD＝＝4；（2）∵AC＝CB，∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，∴AE＝BE＝CE＝AB，CE⊥AB，∵∠DAB＝∠MEB＝90°，∠DBA＝∠MBE，∴△MBE∽△DBA，∴＝＝，∴ME＝AD，∴ME＝BF，∵CE＝AB，∴CM+ME＝（BF+AF），∴CM+BF＝BF+AF，∴CM＝AF，即AF＝2CM．12．解：（1）∵CE⊥BE，∴∠E＝90°，∵∠ECD＝15°，∴∠ADB＝∠CDE＝90°﹣15°＝75°故答案为75°．（2）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵∠ADB＝75°，∴∠A＝75°，∴∠A＝∠ADB，∴AB＝DB．（3）过点D作DF⊥BC，交BC于F点．∵DF⊥BC，∴∠DFB＝∠DFC＝90°，∵∠DBF＝30°，∴DF＝BD，∵BD＝AB＝2，∴DF＝1，∴FB＝，∵CE⊥BE，∴∠E＝90°，∵∠DBC＝30°，∴∠ECB＝60°，∵∠ECD＝15°，∴∠DCB＝45°，∴∠DCF＝∠FDC＝45°，∴FD＝FC＝1，∴BC＝．13．解：根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△ABC与Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP＝BC＝10；②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，不合题意．综上所述，当点P运动到距离点A为10时，△ABC与△APQ全等．。

北师大版八年级下数学几何综合(平行四边形与特殊四边形)

北师大版八年级下数学几何综合20．（10分）在正方形ABCD中，M为BC上一点，N为CD上一点．（1）如图1，若BM＝CN，试判断AM和BN之间的关系，并说明理由；（2）如图2，若BM＝CN，AB＝4，求BN+DM的最小值；（3）如图3，当点P在CB的延长线上，若BP＝DN，AM⊥PN于O，连接DO，试探究DA、DO、DN 三条线段间的数量关系，并说明理由．20．（10分）在正方形ABCD中，M为BC上一点，N为CD上一点．（1）如图1，若BM＝CN，试判断AM和BN之间的关系，并说明理由；（2）如图2，若BM＝CN，AB＝4，求BN+DM的最小值；（3）如图3，当点P在CB的延长线上，若BP＝DN，AM⊥PN于O，连接DO，试探究DA、DO、DN 三条线段间的数量关系，并说明理由．19．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB边上一点，CE＝AB，DF⊥BC，垂足为点F，交CE于点G，连接DE，EF．（1）求证：∠AED＝90°﹣∠DCE；（2）若点E是AB边的中点，求证：∠EFB＝∠DEF．20．已知：在平行四边形ABCD中，过点C作CH⊥AB，过点B作AC的垂线，分别交CH、AC、AD于点E、F、G，且∠ABC＝∠BEH，BG＝BC．（1）若BE＝10，BC＝25，求DG的值；（2）连接HF，证明：HA＝HF﹣HE．28．如图1，已知：在△ABC中，AD⊥BC．点D为BC的中点，且∠BAC＝2∠B．（1）求∠B的度数；（2）点E为AC上一点，连接DE并延长至F，连接CF，过C作CH⊥DF于H，当H在线段EF上时，若DH＝CF+HF，探究∠F与∠FDC之间的数量关系，并加以证明；（3）如图2，在（2）的条件下，在AD上取点P，连接CP，使得∠2＝CF，将线段EF沿着EC折叠并延长交BC于点G，当CP：PD＝12：5，GC﹣PD＝3时，求GC的长．20．如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP＝CQ＝5，若BC＝6，求PQ的长．27．（10分）已知点E，F分别是平行四边形ABCD的边BC，CD上的点，∠EAF＝60°．（1）如图1，若AB＝2，AF＝5，点E与点B，点F与点D分别重合，求平行四边形ABCD的面积；（2）如图2，若AB＝BC，∠B＝∠EAF＝60°，求证：AE＝AF；（3）如图3，若BE＝CE，CF＝3DF，AB＝4，AF＝6，求AE的长度．27．（10分）（1）如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边上的中线．延长AD到点E，使DE ＝AD，连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为BC的中点，E、F分别在边AB、AC上，且DE⊥DF，若BE＝2，CF＝5，求EF的长．（3）如图3，四边形ABCD中，∠A＝90°，∠D＝120°，E为AD中点，F、G分别边AB、CD上，且EF⊥EG，若AF＝4，DG＝，求GF长．28．（12分）如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB＝45°，AB＝3，点D是BC上一点，作DE⊥AD交射线AC于E，DF平分∠ADE交AC于F．（1）求证：AB•CF＝BD•CD；（2）如图2，当∠AED＝75°时，求CF的长；（3）若CD＝2BD，求．28．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BP是△ABC的角平分线，过点P作PD⊥AB于点D，将∠EPF 绕点P旋转，使∠EPF的两边交直线AB于点E，交直线BC于点F，请解答下列问题：（1）当∠EPF绕点P旋转到如图①的位置，点E在线段AD上，点F在线段BC上时，且满足PE＝PF．①请判断线段CP、CF、AE之间的数量关系，并加以证明；②求出∠EPF的度数．（2）当∠EPF保持等于（1）中度数且绕点P旋转到图②的位置时，若∠CFP＝60°，BE＝+﹣1，求△AEP的面积．（3）当∠EPF保持等于（1）中度数且绕点P旋转到图③的位置时，若∠CFP＝30°，BE＝（++1）m，请用含m的代数式直接表示△AEP的面积．27．（10分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于D．（1）如图1，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接AF交CD于点G．求证：AG＝GF；（2）如图2，点E是线段CB上一点（CE＜CB）．连接ED，将线段ED绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接AF交CD于点G．①求证：AG＝GF；②若AC＝BC＝7，CE＝2，求DG的长．27．（10分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，以B为顶点的等腰Rt△BEF绕点B 旋转，连接AF与CE相交于点G，连接DG．（1）求证：CE⊥AF；（2）求证：AG+CG＝DG；（3）连接CF，当EG：AG：FG＝1：2：5，且S正方形ABCD＝100时，求DG的长和△BCF的面积．28．已知ABCD是平行四边形．（1）若AB＝5，AD＝2，∠DAD＝45°，画出▱ABCD；（2）证明：AB2+AD2＝（AC2+BD2）；（3）若相邻两边AB、AD满足AD≤AB，想在▱ABCD中截一个直角三角形，并且希望以AB为斜边，直角顶点在CD上，问此想法是否可行？如果可行的话，请说明应该怎样截；如果不行，请说明理由．20．阅读材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当a＞0，b＞0时，有（﹣）2＝a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，当且仅当a＝b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）当x＞0时，x+的最小值为；当x＜0时，x+的最大值为．（2）当x＞0时，求y＝的最小值．（3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为9和16，求四边形ABCD面积的最小值．25．在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE．如图，当α＝60°时，延长BE交AD于点F：①△ABD是等边三角形；②BF⊥AD；③AF＝EF；④BE＝3﹣4．其中所有正确的序号是．24．（4分）如图，正方形ABCD边长为2，F为BC上一动点，作DE⊥AF于E，连接CE．当△CDE是以CD为腰的等腰三角形时，DE的长为．25．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，E为BC边上一动点，作EF⊥AE，且EF＝AE．连接DF，AF．当DF⊥EF时，△ADF的面积为．20．（10分）如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6cm，BD＝8cm，分别过点B、C 作AC与BD的平行线相交于点E．（1）判断四边形BOCE的形状并证明；（2）点G从点A沿射线AC的方向以2cm/s的速度移动了t秒，连接BG，当S△ABG＝2S△OBG时，求t 的值．（3）如图2，长度为3cm的线段GH在射线AC上运动，求BG+BH的最小值．24．（4分）在边长为4的正方形ABCD中，点E，F是AD上两点，且AE＝DF，∠BCE＝60°，CE交对角线BD于G，交BF于点P，连接AP．则四边形ABGP的面积为．25．（4分）如图，直线y＝x+2交y轴于点A，交x轴于点B，点C和点B关于y轴对称，连接AC，点D是△ABC外一点，∠BDC＝60°，点E是BD上一点，点F是CD上一点，且CF＝BE，连接FE，FB．若∠BFE＝30°，则BF2+EF2的值为．19．（10分）如图1，在▱ABCD中，以BC为边作等边△BCP，交AD于点E，F，且AE＝DF．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）如图2，连接AP，AC，若EF＝1，BC＝3．①求证：AP⊥PC；②求AC的长．20．（10分）如图1，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB：AD＝7：8，E为CD边上一点，CE＝8，连接AE，BE，且AE＝AB．（1）求证：EB平分∠AEC；（2）当CE：ED＝2：5时，在AD上找一点P，使PB+PE的和最小，并求出最小值；（3）如图2，过点E作EF⊥BE交AD于点F，求的值．24．已知平面直角坐标系中A、B两点坐标如图，若PQ是一条在x轴上活动的线段，且PQ＝1，求当BP+PQ+QA 最小时，点Q的坐标．25．如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D，E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中正确的是．23．（4分）如图，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转35°得到△AB′C′，B′C′与AC相交于点D，∠B＝60°，则∠ADB′的度数是．24．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝9，E，F分别是AB，CD上的点，连接EF，将四边形BCFE 沿EF折叠得到四边形B′C′FE，点B′恰好在AD上，若DB′＝2AB′，则折痕EF的长是．25．（4分）如图，在Rt△ABC中，AC＝6，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E 为AB上一点，作∠DEF＝60°交AC于点F，若AE＝，则AF的长是．五、解答题（共3个小题，共30分）26．（10分）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，∠BAC＝90°，∠B＝30°，D是BC上一点，AE⊥AD，∠ADE ＝30°，连接CE．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）求证：△ACE∽△ABD；（3）设CE＝x，当CD＝2CE时，求x的值．24．（4分）如图，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△BDE中，AC＝BC＝，BE＝DE＝2，连接CD，以AC、CD为邻边作平行四边形ACDF，连接CE，当平行四边形ACDF为菱形时，线段CE的长度为．25．（4分）如图（1），在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为AB、AC上一点，且AD＝AE，把△ADE绕点A旋转至图（2）位置，连接BD、CE，BD的延长线交CE于点F，连接AF，作AG⊥EF于点G，若S ADFE＝，AG＝8，则FG＝．24．（4分）如图1，在平面直角坐标系中，将平行四边形ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y＝﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2，那么平行四边形ABCD的面积为．25．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝2，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是．20．（10分）如图，BC为等边△ABM的高，AB＝5，点P为射线BC上的动点（不与点B，C重合），连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PD，连接MD，BD．（1）如图①，当点P在线段BC上时，求证：BP＝MD；（2）如图②，当点P在线段BC的延长线上时，求证：BP＝MD；（3）若点P在线段BC的延长线上，且∠BDM＝30°时，请直接写出线段AP的长度．。

北师大版八年级下册数学第一章《三角形的证明》综合练习题

《三角形的证明》综合练习题一．选择题（共10小题）1．（2021春•江都区校级期末）等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米．在底边上有一个动点P，则P到两腰的距离之和为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 2．（2021•南山区校级二模）下列命题中真命题是（）A．的算术平方根是3B．数据a+2，a，a+3，a+2，a+3与2，0，3，2，3的方差相同C．正六边形的内角和为360°D．对角线相等的四边形是矩形3．（2021春•武汉期中）已知等边三角形的边长为4，则其面积为（）平方单位．A．4B．8C．12D．164．（2021春•沙坪坝区期中）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：5：3，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形5．（2021•坪山区二模）如图，在△ABC中，∠B＝90°，C是BD上一点，BC＝10，∠ADB ＝45°，∠ACB＝60°，则CD长为（）A．10﹣B．10﹣10C．10﹣3D．10﹣10 6．（2021春•汉寿县期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（）A．1B．2C．3D．4 7．（2021•滨湖区一模）如图所示，在等边三角形ABC中，BC＝6，E是中线AD上一点，现有一动点P沿着折线A﹣E﹣C运动，在AE上的速度是4单位/秒，在CE上的速度是2单位/秒，则点P从A运动到C所用时间最少时，AE长为（）A．3B．C．D．2 8．（2021•蜀山区一模）如图，在△ABC中，AB＝AD，E为BD中点，连接AE，∠BAD＝∠CAE，若BD＝CD＝6，则AB的长为（）A．6B．3C．D．9．（2020秋•承德县期末）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则B6B7的边长为（）A．6B．12C．32D．64 10．（2021•安徽模拟）如图，等边△ABC中，AB＝10，E为AC中点，F，G为AB边上动点，且FG＝5，则EF+CG的最小值是（）A．5B．5C．5+5D．15二．填空题（共10小题）11．（2021•天心区一模）如图，点O是三角形ABC内的一点，OA＝OB＝OC＝4，∠BAC ＝45°，已知S△AOC﹣S△AOB＝2，则∠BOC＝，S△ABC＝．12．（2020秋•江岸区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为．13．（2021•巩义市模拟）点P是等边三角形ABC内部一点，过点P作三边的垂线，分别记为PH1，PH2，PH3，设△ABC的边长为a．若PH1＝1，PH2＝3，PH3＝5，则a ＝；若a＝2，则PH1+PH2+PH3＝．14．（2021春•金牛区校级期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝．15．（2020•皇姑区校级模拟）在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（，0）、Q（0，），C是x轴上一点，以AC为边向右侧作正△ACD，P为AD的中点．当C从O运动到B 点时，PQ的最小值为．16．（2020春•新都区期末）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作，则第7个正六边形的边长是．17．（2019•雁塔区校级四模）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于D，AC＝5，边BC与AB的长度差为2，当△ADC面积最大时，边AD的长为．18．（2021•长沙模拟）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝3∠B，CE⊥AD，AC＝8，BC＝BD，则CE＝．19．（2018秋•江岸区期末）如图，已知∠AOB＝α（0°＜α＜60°），射线OA上一点M，以OM为边在OA下方作等边△OMN，点P为射线OB上一点，若∠MNP＝α，则∠OMP ＝．20．（2019•鄞州区一模）如图，△ABC中，AB＝AC＝15，∠BAC＝120°，小明要将该三角形分割成两个直角三角形和两个等腰三角形，他想出了如下方案：在AB上取点D，过点D画DE∥AC交BC于点E，连接AE，在AC上取合适的点F，连接EF可得到4个符合条件的三角形，则满足条件的AF长是．三．解答题（共10小题）21．（2021•蔡甸区二模）如图，△ABC中，点D在BC边上，且∠ADB＝90°∠CAD．（1）求证：AD＝AC；（2）点E在AB边上，连接CE交AD于点F，且∠CFD＝∠CAB，AE＝BD，①求∠ABC的度数；②若AB＝8，DF＝2AF，直接写出EF的长．22．（2021春•中原区校级月考）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．（1）若AB＝3cm，求△CMN的周长．（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．23．（2020秋•潮州期末）如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD．（1）求证：△DEC是等腰三角形．（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．24．（2021•西城区校级模拟）（1）小My同学在网络直播课中学习了勾股定理，他想把这一知识应用在等边三角形中：边长为a的等边三角形面积是（用含a 的代数式表示）；（2）小My同学进一步思考：是否可以将正方形剪拼成一个等边三角形（不重叠、无缝隙）？①如果将一个边长为2的正方形纸片剪拼等边三角形，那么该三角形边长的平方是；②小My同学按下图切割方法将正方形ABCD剪拼成一个等边三角形EFG：M、N分别为AB、CD边上的中点，P、Q是边BC、AD上两点，G为MQ上一点，且∠MGP＝∠PGN＝∠NGQ＝60°．请补全图形，画出拼成正三角形的各部分分割线，并标号；③正方形ABCD的边长为2，设BP＝x，则x2＝．25．（2020秋•五常市期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．26．（2020秋•临沭县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE＝EB，BD＝BC，试求∠A的度数．27．（2020春•东明县期末）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE．（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；（2）当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．28．（2019秋•巩义市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C 运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．（1）用含t的式子表示线段AP、AQ的长；（2）当t为何值时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形？（3）当t为何值时，PQ∥BC？29．（2020秋•朝阳期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝；（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝．30．（2020春•揭西县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．（1）求证：AE＝2CE；（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．参考答案一．选择题（共10小题）1．（2021春•江都区校级期末）等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米．在底边上有一个动点P，则P到两腰的距离之和为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【考点】等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．【分析】连接AP，由三角形的面积公式证得S△ABP+S△ACP＝S△ABC，根据AB＝AC即可求出PE+PF．【解答】解：已知：△ABC中，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，AB＝AC＝8厘米，△ABC 的面积为24平方厘米，P是底边BC上一个动点．求：PE+PF的值．解：连接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴S△ABP＝AB•PE，S△ACP＝AC•PF，∵S△ABP+S△ACP＝S△ABC,S△ABC＝24，∴AB•PE+AC•PF＝24，∴AB(PE+PF)＝24，∴PE+PF＝＝6cm，故选：B．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，由三角形的面积公式证得S△ABP+S△ACP＝S△ABC是解决问题的关键．2．（2021•南山区校级二模）下列命题中真命题是（）A．的算术平方根是3B．数据a+2，a，a+3，a+2，a+3与2，0，3，2，3的方差相同C．正六边形的内角和为360°D．对角线相等的四边形是矩形【考点】命题与定理．【专题】特定专题；应用意识．【分析】根据算术平方根，方差的定义，多边形内角和公式，矩形的判定一一判断即可．【解答】解：A、的算术平方根是，本选项错误，不符合题意．B、数据a+2，a，a+3，a+2，a+3与2，0，3，2，3的方差相同，正确，本选项符合题意．C、正六边形的内角和为360°，错误，应该是720°，本选项不符合题意．D、对角线相等的四边形是矩形，错误，应该是对角线相等的平行四边形是矩形，本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查算术平方根，方差的定义，矩形的判定，多边形内角和等知识，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义，方差的定义，掌握矩形的判定方法，属于中考常考题型．3．（2021春•武汉期中）已知等边三角形的边长为4，则其面积为（）平方单位．A．4B．8C．12D．16【考点】等边三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】作AD⊥BC，垂足为D，由等边三角形的性质可得BD＝2，利用勾股定理可求解AD的长，再利用三角形的面积公式可求解．【解答】解：如图，等边三角形ABC，AB＝BC＝4，作AD⊥BC，垂足为D，∴BD＝CD＝2，在Rt△ABD中，AD＝，∴S△ABC＝BC•AD＝×4×＝，故选：A．【点评】本题主要考查等边三角形的性质，勾股定理，求解等边三角形地边上的高AD 的长是解题的关键．4．（2021春•沙坪坝区期中）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：5：3，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；等边三角形的判定．【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】设∠A＝2x°，∠B＝5x°，∠C＝3x°，根据∠A+∠B+∠C＝180°得出2x+5x+3x ＝180，求出x，再求出答案即可．【解答】解：设∠A＝2x°，∠B＝5x°，∠C＝3x°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2x+5x+3x＝180，解得：x＝18，∴∠B＝5x°＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选：B．【点评】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的判定，等腰三角形的判定等知识点，注意：有一个角的度数是90°的三角形是直角三角形．5．（2021•坪山区二模）如图，在△ABC中，∠B＝90°，C是BD上一点，BC＝10，∠ADB ＝45°，∠ACB＝60°，则CD长为（）A．10﹣B．10﹣10C．10﹣3D．10﹣10【考点】含30度角的直角三角形；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．【分析】根据含30°直角三角形的性质求出AC，由勾股定理求出AB，根据等腰直角三角形的性质得到AB＝BC，进而求得CD．【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝60°，∴∠CAB＝30°，∴BC＝AC，∴AC＝2BC＝20，∴AB＝＝10，∵∠ADB＝45°，∴∠DAB＝45°，∴∠DAB＝∠ADB，∴BD＝AB＝10，∴CD＝BD﹣BC＝10﹣10，故选：B．【点评】此题考查本题主要考查了含30°直角三角形的性质、勾股定理和等腰直角三角形性质等知识，熟练掌握含30°直角三角形的性质是解决问题的关键．6．（2021春•汉寿县期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（）A．1B．2C．3D．4【考点】角平分线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】根据等角的余角相等求出∠ABD＝∠CBD，再根据垂线段最短可知DP⊥BC时DP最小，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP＝AD．【解答】解：∵BD⊥CD，∠A＝90°∴∠ABD+∠ADB＝90°，∠CBD+∠C＝90°，∴∠ABD＝∠CBD，由垂线段最短得，DP⊥BC时DP最小，此时，DP＝AD＝3．故选：C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质并判断出DP最小时的位置是解题的关键．7．（2021•滨湖区一模）如图所示，在等边三角形ABC中，BC＝6，E是中线AD上一点，现有一动点P沿着折线A﹣E﹣C运动，在AE上的速度是4单位/秒，在CE上的速度是2单位/秒，则点P从A运动到C所用时间最少时，AE长为（）A．3B．C．D．2【考点】等边三角形的性质．【专题】三角形；推理能力．【分析】作CM⊥AB于点M，求出点P运动时间为（），则CE+DM最短时满足题意．【解答】解：作CM⊥AB于点M，点P在A﹣E﹣C上运动时间为+，＝（），∵∠BAD＝30°，∴EM＝AE，∴（）＝（EM+CE），当C，E，M共线时，点P运动时间最短，∴CM为三角形中线，点E为重心，∵∠CAD＝30°，CD＝BC＝3，∴AD＝CD＝3，AE＝AD＝2．故选：D．【点评】本题考等边三角形性质，解题关键是掌握三角形重心将中线分成1：2两部分．8．（2021•蜀山区一模）如图，在△ABC中，AB＝AD，E为BD中点，连接AE，∠BAD＝∠CAE，若BD＝CD＝6，则AB的长为（）A．6B．3C．D．【考点】角平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】三角形；图形的相似；空间观念．【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线的性质可得DE＝DF，再由BD＝CD＝6得到DC和DF的长，利用三角形相似得出AE，最后根据勾股定理可得AB的长．【解答】解：过点D作DF⊥AC于F，如图：∵AB＝AD，E为BD中点，∴AE⊥BD，∠BAE＝∠DAE．∵BD＝CD＝6，∴BE＝DE＝3，CD＝4．∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAE＝∠DAE＝∠DAF，∴DF＝DE＝3，FC＝＝．∵∠CFD＝∠AEC＝90°，∠C＝∠C，∴△CFD∽△CEA，即，AE＝3．∴AB＝＝＝6．故选：A．【点评】本题考查角平分线的性质和等腰三角形的性质，根据角平分线的性质做出辅助线是解题关键．9．（2020秋•承德县期末）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则B6B7的边长为（）A．6B．12C．32D．64【考点】等边三角形的性质；勾股定理．【专题】常规题型．【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2…进而得到A7B7＝26B1A2＝26＝64，B6A7＝＝32，再根据勾股定理即可解答．【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2＝2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，以此类推：A7B7＝26B1A2＝26＝64，B6A7＝＝32，△B7B6A7是直角三角形，∠B7B6A7＝90°，∴B6B7＝＝＝32．故选：C．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3＝4B1A2，A4B4＝8B1A2，A5B5＝16B1A2进而发现规律是解题关键．10．（2021•安徽模拟）如图，等边△ABC中，AB＝10，E为AC中点，F，G为AB边上动点，且FG＝5，则EF+CG的最小值是（）A．5B．5C．5+5D．15【考点】等边三角形的性质；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】作C点关于AB的对称点C′，取BC的中点Q，连接C′Q，交AB于点G，此时CG+EF最小，作C′H⊥BC交BC的延长线于点H，再根据等边三角形的性质和勾股定理可得答案．【解答】解：如图：作C点关于AB的对称点C′，则C'G＝CG，取BC的中点Q，连接EQ，GQ，∵点E是AC的中点，∴EQ＝AB＝5＝FG，EQ∥AB，∴四边形EFGQ是平行四边形，∴EF＝GQ，∴当点C'，G，Q在同一条线上时，CG+EF最小，作C′H⊥BC交BC的延长线于点H，∵BC＝BC′＝10，∠CBC′＝120°，∴HC′＝5，HB＝5，∴HQ＝10，∴C′Q＝＝5，∴EF+CG的最小值是5．故选：A．【点评】本题考查等边三角形的性质，能够利用图形的对称作出辅助线是解题关键．二．填空题（共10小题）11．（2021•天心区一模）如图，点O是三角形ABC内的一点，OA＝OB＝OC＝4，∠BAC ＝45°，已知S△AOC﹣S△AOB＝2，则∠BOC＝90°，S△ABC＝8+2．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】三角形；与圆有关的计算；几何直观；推理能力．【分析】由OA＝OB＝OC＝4可得△ABC是以O为圆心，半径为4的内接三角形，所以∠BOC＝2∠BAC＝90°，延长AO交BC于点E，作BM⊥AE，CN⊥AE，证明△BOM≌△CON，由S△AOC﹣S△AOB ＝2及BM2+CN2＝16可得BM及CN长度，进而求解．【解答】解：∵OA＝OB＝OC＝4，∴△ABC是以O为圆心，半径为4的内接三角形，延长AO交BC于点E，作BM⊥AE，CN⊥AE，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，∴BC＝OB＝4，∵S△AOC﹣S△AOB＝2，∴AO•CN﹣AO•BM＝2（CN﹣BM）＝2，∴CN﹣BM＝1．∵∠BOM+∠CON＝90°，∠BOM+∠OBM＝90°，∴∠CON＝∠OBM，又∵∠BMO＝∠CNO＝90°，OB＝OC，在△BOM和△CON中，∴△BOM≌△CON（AAS），∴OM＝CN，在Rt△BOM和Rt△CON中，由勾股定理得：BM2+OM2＝ON2+CN2＝16，即BM2+CN2＝16，联立方程，解得BM＝或BM＝（舍）．∴CN＝BM+1＝．∴S△AOC+S△AOB＝AO•CN+AO•BM＝2（CN+BM）＝2．∵S△BOC＝OB•OC＝8，∴S△ABC＝S△AOC+S△AOB+S△BOC＝8+2．故答案为：90°，8+2．【点评】本题考查圆与三角形的综合应用，解题关键是熟练掌握圆与三角形的性质，通过作辅助线求解．12．（2020秋•江岸区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】几何图形；推理能力．【分析】要使BF最大，则AF需要最小，而AF＝FD，从而通过圆与BC相切来解决问题．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4，∵EF垂直平分AD，∴AF＝DF，若要使BF最大，则AF需要最小，∴以F为圆心，AF为半径的圆与BC相切即可，∴FD⊥BD，∴AB＝AF+2AF＝4，∴AF＝，∴BF的最大值为4﹣＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、30°角所对直角边是斜边的一半以及圆与直线的位置关系，将BF的最大值转化为AF最小是解决本题的关键，属于压轴题．13．（2021•巩义市模拟）点P是等边三角形ABC内部一点，过点P作三边的垂线，分别记为PH1，PH2，PH3，设△ABC的边长为a．若PH1＝1，PH2＝3，PH3＝5，则a＝6；若a＝2，则PH1+PH2+PH3＝3．【考点】等边三角形的性质．【专题】面积法；等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】三条边上的高已知，利用等面积法列出方程求得a；知道边长，利用等面积法列出方程求出PH1+PH2+PH3的值．【解答】解：连结P A，PB，PC，设△ABC的BC边上的高为h，则h＝AB•sin60°＝a，∴S△ABC＝＝×a×a＝a2，∵S△ABC＝S△ABP+S△BCP+S△ACP，∴a2＝，解得a＝6；当a＝2时，∵S△ABC＝S△ABP+S△BCP+S△ACP，∴×（2）2＝×++，∴PH1+PH2+PH3＝3．故答案为：6；3．【点评】本题考查了等边三角形的性质，利用等面积法列出方程是解题的关键．14．（2021春•金牛区校级期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝4∠BPC﹣360°．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠BAC＝2∠BPC ﹣180°；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠BOC＝2∠BAC，进而得出∠BOC和∠BPC的数量关系．【解答】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC，即∠BAC＝2∠BPC﹣180°；如图，连接AO．∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），＝2∠OAB+2∠OAC＝2∠BAC＝2（2∠BPC﹣180°）＝4∠BPC﹣360°，故答案为：4∠BPC﹣360°．【点评】本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是解题的关键．15．（2020•皇姑区校级模拟）在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（，0）、Q（0，），C是x轴上一点，以AC为边向右侧作正△ACD，P为AD的中点．当C从O运动到B 点时，PQ的最小值为．【考点】坐标与图形性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质．【专题】平面直角坐标系；等腰三角形与直角三角形．【分析】连接OP，CP，依据O、A、P、C四点共圆，可得∠AOP＝∠ACP＝30°，根据当PQ⊥OP时，PQ最小，即可得到PQ的最小值为OQ．【解答】解：如图，连接OP，CP，∵正△ACD中，P为AD的中点，∴∠AOB＝∠APC＝90°，∴O、A、P、C四点共圆，∴∠AOP＝∠ACP＝30°，∴当PQ⊥OP时，PQ最小，即PQ的最小值为OQ＝×＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质以及四点共圆，等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．16．（2020春•新都区期末）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作，则第7个正六边形的边长是×（）6a．【考点】等边三角形的性质．【专题】规律型．【分析】连接AD、DB、DF，求出∠AFD＝∠ABD＝90°，根据HL证两三角形全等得出∠F AD＝60°，求出AD∥EF∥GI，过F作FZ⊥GI，过E作EN⊥GI于N，得出平行四边形FZNE得出EF＝ZN＝a，求出GI的长，求出第一个正六边形的边长是a，是等边三角形QKM的边长的；同理第二个正六边形的边长是等边三角形GHI的边长的；求出第五个等边三角形的边长，乘以即可得出第六个正六边形的边长，同理可得出第七个正六边形的边长．【解答】解：如图1，连接AD、DF、DB．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC＝∠BAF＝∠AFE，AB＝AF，∠E＝∠C＝120°，EF＝DE＝BC＝CD，∴∠EFD＝∠EDF＝∠CBD＝∠BDC＝30°，∵∠AFE＝∠ABC＝120°，∴∠AFD＝∠ABD＝90°，在Rt△ABD和RtAFD中，∵，∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），∴∠BAD＝∠F AD＝×120°＝60°，∴∠F AD+∠AFE＝60°+120°＝180°，∴AD∥EF，∵G、I分别为AF、DE中点，∴GI∥EF∥AD，∴∠FGI＝∠F AD＝60°，∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形，∴∠EDM＝60°＝∠M，∴ED＝EM，同理AF＝QF，即AF＝QF＝EF＝EM，∵等边三角形QKM的边长是a，∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a，即等边三角形QKM的边长的，如图2，过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N，则FZ∥EN，∵EF∥GI，∴四边形FZNE是平行四边形，∴EF＝ZN＝a，∵GF＝AF＝×a＝a，∠FGI＝60°（已证），∴∠GFZ＝30°，∴GZ＝GF＝a，同理IN＝a，∴GI＝a+a+a＝a，即第二个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是×a；同理第三个等边三角形的边长是×a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是××a；同理第四个等边三角形的边长是（）3a，第四个正六边形的边长是×（）3a；第五个等边三角形的边长是（）4a，第五个正六边形的边长是×（）4a；…第n个正六边形的边长是×（）n﹣1a，∴第七个正六边形的边长是×（）6a．故答案为：×（）6a．【点评】本题考查的是等边三角形的性质、平行四边形的性质和判定、全等三角形的性质和判定的应用，能总结出规律是解此题的关键，题目具有一定的规律性，是一道有一定难度的题目．17．（2019•雁塔区校级四模）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于D，AC＝5，边BC与AB的长度差为2，当△ADC面积最大时，边AD的长为．【考点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】延长BA，CD构造等腰三角形，AE与AD垂直时三角形ADE的面积最大．【解答】解：延长CD与BA交于点E，∵BD平分∠ABC，CD⊥BD于D，∴△CAE为等腰三角形，D为CE中点，∴S△ADC＝S△ACE＝S△ADE．∵BC﹣AB＝2，∴AE＝2，当AE⊥AC时，△AEC面积最大，∴此时△ADC面积最大．∵CE＝＝＝，∴AD＝CE＝．故答案为：．【点评】本题考查等腰三角形及直角三角形的性质，解题关键是通过作辅助线找出与△ADC面积相等的△AEC面积最大的条件．18．（2021•长沙模拟）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝3∠B，CE⊥AD，AC＝8，BC＝BD，则CE＝．【考点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】延长CE交AB于F，过点D作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，过点A作AM⊥BC于M，由ASA证得△AEF≌△AEC，得出AF＝AC＝8，∠AFE＝∠ACE，EF＝CE，证明∠B＝∠ECD，得出CF＝BF，由BC＝BD，得出＝，由三角形面积得出＝＝，求出AB＝AC＝，即可得出结果．【解答】解：延长CE交AB于F，过点D作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，过点A作AM⊥BC于M，如图所示：∵CE⊥AD，∴∠AEF＝∠AEC＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠F AE＝∠CAE，DH＝DN，在△AEF与△AEC中，，∴△AEF≌△AEC（ASA），∴AF＝AC＝8，∠AFE＝∠ACE，EF＝CE，∵∠AFC＝∠B+∠ECD，∴∠ACF＝∠B+∠ECD，∴∠ACB＝2∠ECD+∠B，∵∠ACB＝3∠B，∴2∠ECD+∠B＝3∠B，∴∠B＝∠ECD，∴CF＝BF，∵BC＝BD，∴＝，S△ADB＝DH•AB＝AM•BD，S△ACD＝DN•AC＝AM•CD，∴＝，即＝＝，∴AB＝AC＝，∴CF＝BF＝﹣8＝，∴CE＝CF＝，故答案为：．【点评】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形面积的计算、三角形外角性质等知识；熟练掌握三角形面积的计算是解题的关键．19．（2018秋•江岸区期末）如图，已知∠AOB＝α（0°＜α＜60°），射线OA上一点M，以OM为边在OA下方作等边△OMN，点P为射线OB上一点，若∠MNP＝α，则∠OMP ＝30°或120°﹣α．．【考点】等边三角形的性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力；应用意识．【分析】分两种情况讨论P点的位置．点P位于MN左侧．点P位于MN右侧，分别画出相应的图形，根据全等三角形和等腰三角形的性质可求出∠OMP的度数，【解答】解：（1）当P位于MN左侧时，如图1，∵△OMN是等边三角形，∴MN＝MO＝ON，∠MON＝∠MNO＝60°，∵∠MNP＝∠AOB＝α，∴∠PON＝∠PNO，∴PO＝PN，△MPO≌△MPN，（SAS）∴∠OMP＝∠NMP＝∠OMN＝×60°＝30°（2）当P位于MN右侧时，如图2，将△MNP绕着点M顺时针旋转60°得到△MOQ，此时△MPQ是等边三角形，∴∠MPQ＝60°，∴∠OMP＝180°﹣∠MPQ﹣∠MOP＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α，故答案为：30°或120°﹣α．【点评】考查等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，分类讨论是数学中常见的题型．20．（2019•鄞州区一模）如图，△ABC中，AB＝AC＝15，∠BAC＝120°，小明要将该三角形分割成两个直角三角形和两个等腰三角形，他想出了如下方案：在AB上取点D，过点D画DE∥AC交BC于点E，连接AE，在AC上取合适的点F，连接EF可得到4个符合条件的三角形，则满足条件的AF长是5、10或．【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】根据已知条件可判断△BDE为等腰三角形，其它三个三角形的形状未确定，则可用分类讨论：①当∠AED＝90°时，可证得∠EAF＝90°，则△CEF是等腰三角形；②当∠DAE＝90°且∠AEF＝90°时，△CEF是等腰三角形；③当∠DAE＝90°且∠FEC＝90°时，△AEF是等腰三角形；④当∠AFE＝∠EFC＝90°时，△ADE是等边三角形．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠C＝30°，∠BDE＝120°，∴△BDE是等腰三角形，∠ADE＝180°﹣∠BDE＝60°．被分割的四个三角形中有两个直角三角形和两个等腰三角形．①当∠AED＝90°时，如图1：∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝30°，∴∠EAF＝∠BAC﹣∠DAE＝90°．则△EFC是等腰三角形．∵∠AEC＝180°﹣∠BED﹣∠DEA＝60°，∴△EFC是等腰三角形只可能存在∠FEC＝∠C＝30°的情况，设AF＝x，∵∠AEF＝180°﹣∠BED﹣∠AED﹣∠FEC＝30°，∴EF＝2x，∵EF＝FC＝2x，∴AF+FC＝3x＝AC＝15，∴AF＝5．②当∠DAE＝90°且∠AEF＝90°时，如图2：此时∠EAF＝∠BAC﹣∠DAE＝30°，∴∠AFE＝180°﹣∠AEF﹣∠EAF＝60°设AF＝x，则EF＝x，∵∠EFC＝180°﹣∠AFE＝120°，又∵∠FEC＝180°﹣∠C﹣∠EFC＝30°，∴△EFC是等腰三角形，CF＝EF＝x，∵AC＝AF+FC＝x+x＝15，∴AF＝x＝10．③当∠DAE＝90°且∠FEC＝90°时，如图3．∠F AE＝∠BAC﹣∠DAE＝30°，∵∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠ADE＝30°，∴∠AEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC﹣∠AED＝30°．∴AF＝AE，设AF＝EF＝x，∵∠FEC＝90°，∠C＝30°，∴CF＝2x，∵AF+FC＝x+2x＝3x＝AC＝15，∴AF＝x＝5．④当∠AFE＝∠EFC＝90°时，则△ADE是等腰三角形，如图4∵∠ADE＝60°，∴∠DAE＝∠AED＝60°，∵∠EAF＝∠BAC﹣∠DAE＝60°，∴∠AEF＝180°﹣∠EAF﹣∠AFE＝30°．设AF＝x，则EF＝x．∵∠EFC＝90°，∠C＝30°，∴FC＝EF＝3x，∵AC＝AF+FC＝x+3x＝4x＝15，∴AF＝．故答案为：5、10或【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，等边三角形的判定，含30°直角三角形的性质的综合应用．本题需要分类讨论，属于易错题．三．解答题（共10小题）21．（2021•蔡甸区二模）如图，△ABC中，点D在BC边上，且∠ADB＝90°∠CAD．（1）求证：AD＝AC；（2）点E在AB边上，连接CE交AD于点F，且∠CFD＝∠CAB，AE＝BD，①求∠ABC的度数；②若AB＝8，DF＝2AF，直接写出EF的长．【考点】等腰三角形的判定．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据∠ADB＝∠ACB+∠CAD，∠ADB＝90°∠CAD可得∠C＝∠ADC，进而可得结论；（2）①过点D作DG∥CE交AB于点G，根据“AAS”证出AEC≌△DGA，进而可得△BDG为等边三角形，可得答案；②过点D作DH∥AB交CE于点H，可得△F AE∽△ACE，根据比例式可得答案．【解答】解：（1）∵∠ADB＝∠ACB+∠CAD，∠ADB＝90°∠CAD，∴∠ACB＝∠ADB﹣∠CAD＝90°∠CAD，∵∠ADB+∠CDA＝180°，∴∠CDA＝180°﹣∠ADB＝180°﹣（90°∠CAD）＝90°∠CAD，∴∠ACB＝∠ADC，∴AD＝AC；（2）①过点D作DG∥CE交AB于点G，∵∠CFD＝∠CAB，∠CFD＝∠CAD+∠ACE，∠CAB＝∠CAD+∠DAB，∴∠ACE＝∠DAB，又∵∠ACD＝∠ADC，∠ECB＝∠ACD﹣∠ACE，∠B＝∠ADC﹣∠DAB，∴∠ECB＝∠B，∴CE＝BE，∵DG∥CE，∴∠ECB＝∠BDG，∴∠BDG＝∠B，∴DG＝BG，∵∠AEC＝∠DGA，AC＝DA，∠ACE＝∠DAG，∴△AEC≌△DGA(AAS)，∴DG＝AE，又∵AE＝BD，∴DG＝BD＝BG，∴△BDG为等边三角形，∴∠ABC＝60°；②EF＝．过点D作DH∥AB交CE于点H，由①知△EBC和△HDC均为等边三角形，设AE＝BD＝x，则BE＝BC＝8﹣x，∴DH＝CD＝8﹣2x，∵DH∥AB，∴＝，即＝，∴x＝2，∵∠ACE＝∠DAB，∵△F AE∽△ACE，∴＝，∵AC＝AD＝3AF，∴＝，EF＝AE＝．【点评】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键，题目难度较大，综合性较强．22．（2021春•中原区校级月考）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．（1）若AB＝3cm，求△CMN的周长．（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】三角形；推理能力．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AM＝CM，BN＝CN，根据三角形的周长公式计算，得到答案；（2）根据三角形内角和定理求出∠MNF+∠NMF，进而求出∠A+∠B，结合图形计算即可．【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，BN＝CN，∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB＝3（cm）；（2）∵∠MFN＝70°，∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．23．（2020秋•潮州期末）如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD．（1）求证：△DEC是等腰三角形．（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．【考点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】证明题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】（1）根据等边三角形的性质，即可证明结论；（2）设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，得∠E＝∠DCE＝60°﹣α，根据三角形内角和定理可得α＝15°，过D作DH⊥CE于H，根据等腰直角三角形的性质即可得DH的长，进而可得结论．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，∴∠E＝∠DCE，∴DE＝DC，。

北师大版八年级数学下册期末复习专项训练：几何综合(一)

期末复习专项训练：几何综合（一）1．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则PE+PF＝．2．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为．4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝1，若D是BC边上的动点，则2AD+DC 的最小值为．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若CD＝3，BD＝5，则BE的长为．6．如图，已知Rt△ACB，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝4，点D在CB所在直线上运动，以AD为边作等边三角形ADE，则CB＝．在点D运动过程中，CE的最小值．7．如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为18cm，则四边形ABFD的周长为．8．如图，已知线段AB＝6，O为AB的中点，P是平面内的一个动点，在运动过程中保持OP＝1不变，连结BP，将PB绕点P逆时针旋转90°到PC，连结BC、AC，则线段AC的取值范围是．9．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为．10．如图，在▱ABCD中，BC＝13，过点A作AE⊥DC于点E，AE＝12，EC＝10，则AB ＝．11．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为．12．如图，过正六边形ABCDEF的顶点B作一条射线，与其内角∠BAF的平分线相交于点P，且∠APB＝40°，则∠CBP＝度．13．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AD，OD的中点，若EF＝2，则AC的长是．14．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．15．将一张长方形纸片ABCD（长方形的四个内角都是直角）按如图所示操作：（1）将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A1处，（2）将DP沿DA1向内继续折叠，使点P落在点P1处，折痕与边AB交于点M．若P1M⊥AB，则∠DP1M的度数等于．16．在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接CE，CE⊥AD，点F在AB上，连接EF，EF＝CE，若BC＝6，CD＝5，则线段BF的长为．17．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝6，CB＝14．点M，N分别是边AB，AD的中点，连接CM，BN，并取CM，BN的中点，分别记为点E，F，连接EF，则EF的长为．18．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线的交点，D，E是AC，BC分别与网格线的交点，若小正方形的边长为1，则DE的长为．19．如图，小亮从A点出发前进2m，向右转15°，再前进2m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了m．20．如图，在平行四边形ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝20，BD＝12，E，F分别是线段OD，OA的中点，则EF的长为．参考答案1．解：如图所示，连接AP，则S△ABC＝S△ACP+S△ABP，∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，∴S△ACP＝AC×PF，S△ABP＝AB×PE，又∵S△ABC＝1，AB＝AC＝2，∴1＝AC×PF+AB×PE，即1＝×2×PF+×2×PE，∴PE+PF＝1，故答案为：1．2．解：如图所示，过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴PA＝PE，PD＝PE，∴PE＝PA＝PD，∵PA+PD＝AD＝8，∴PA＝PD＝4，∴PE＝4，即点P到BC的距离是4．故答案为：4．3．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE，∵DE＝1.6，∴CD＝1.6，∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．故答案为：2.44．解：作∠BCE＝30°，过A作AE⊥CE交BC于D，在Rt△CED中，∠BCE＝30°，∴DE＝，∴AD+＝AD+DE，∴当A、D、E三点共线时，AD+DE最小，在△ABC中，∠A＝90°，∵∠B＝60°，AB＝1，∴AC＝tan60°×1＝，在Rr△ACE中，∠ACE＝60°，∴AE＝sin60°×＝，∴AD+最小值为，∴2AD+DC的最小值为3．故答案为：3．5．解：∵AD平分∠ABC，又∵DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE＝DC＝3，∵BD＝5，∴BE＝＝＝4，故答案为4．6．解：以AC为边作正△AFC，并作FH⊥AC，垂足为点H，连接FD、CE，如图：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝4，∴BC＝＝＝4，∵∠DAE＝∠FAC＝60°，∴∠FAD＝∠CAE，∵正△AFC，等边三角形ADE，∴AD＝AE，AF＝AC，在△FAD和△CAE中，，∴△FAD≌△CAE（SAS），∴CE＝FD，∴CE最小即是FD最小，∴当FD⊥BD时，FD最小，此时∠FDC＝∠DCH＝∠CHF＝90°，∴四边形FDCH是矩形，∴FD＝CH＝AC＝2，∴CE的最小值是2．故答案为：4，2．7．解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，∴DF＝AC，AD＝CF＝2cm，∴四边形ABFD的周长＝AB+BF+DF+AD＝AB+BC+CF+AC+AD＝△ABC的周长+AD+CF＝18+2+2＝22cm．故答案为：22cm．8．解：如图所示：过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F．∵AB＝6，O为AB的中点，∴A（﹣3，0），B（3，0）．设点P的坐标为（x，y），则x2+y2＝1．∵∠EPC+∠BPF＝90°，∠EPC+∠ECP＝90°，∴∠ECP＝∠FPB．由旋转的性质可知：PC＝PB．在△ECP和△FPB中,，∴△ECP≌△FPB(AAS)．∴EC＝PF＝y，FB＝EP＝3﹣x．∴C（x+y，y+3﹣x）．∵AB＝6，O为AB的中点，∴AC＝＝．∵x2+y2＝1，∴AC＝．∵﹣1≤y≤1，∴2≤AC≤4．故答案为:2≤AC≤4．9．解：由旋转的性质可得AB＝AD＝4，∵∠B＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AD＝4，∴CD＝BC﹣BD＝7﹣4＝3，故答案为：3．10．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC＝13∵过点A作AE⊥DC于点E，AE＝12，EC＝10，在Rt△ADE中，AE＝，∵DC＝DE+CE＝5+10＝15．∴AB＝15．11．解：∵点D，E，F分别是△ABC的AB，BC，CA边的中点，∴EF、DE、DF为△ABC的中位线，∴EF＝AB，DF＝BC，DE＝AC，∴AB＝2EF，BC＝2DF，AC＝2DE，∵△DEF的周长为10，∴EF+DE+DF＝10，∴2EF+2DE+2DF＝20，∴AB+BC+AC＝20，∴△ABC的周长为20．故答案为：20．12．解：∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠FAB＝∠ABC＝＝120°，∵AP是∠BAF的角平分线，∴∠PAB＝∠BAF＝60°，∵∠APB＝40°，∴∠ABP＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝80°，∴∠CBP＝∠ABC﹣∠ABP＝40°．故答案为：40．13．解：∵点E，F分别是AD，OD的中点，EF＝2，∴OA＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OA＝8，故答案为：8．14．解：连接DN、DB，在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，，∴BD＝＝＝5，∵点E，F分别为DM，MN的中点，∴EF＝DN，由题意得，当点N与点B重合是DN最大，最大值为5，∴EF长度的最大值为2.5，故答案为：2.5．15．解：∵矩形ABCD，将DA沿DP向内折叠，再将DP沿DA1向内继续折叠，P1M⊥AB，∴∠P1MA＝90°，∴∠DMP1＝∠DMA＝45°，在△ADM中，∵∠A＝90°，∴∠ADM＝90°﹣∠DMA＝45°，∵矩形ABCD，将DA沿DP向内折叠，再将DP沿DA1向内继续折叠，∴∠ADP＝∠PDM＝∠MDP1＝∠ADM＝22.5°，在△MDP1中，∠DP1M＝180°﹣∠DMP1﹣∠MDP1＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，故答案为：112.5°．16．解：延长FE交CD的延长线于点M，连接CF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，BC＝AD＝6，∴∠AFE＝∠EMD，∵E为AD的中点，∴AE＝DE＝3，在△AEF和△DEM中，，∴△AEF≌△DEM（AAS），∴AF＝DM，EF＝EM，又∵EF＝CE，∴EF＝CE＝EM，∴∠FCM＝90°，∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°，∴CE＝＝＝4，∴FM＝2CE＝8，∵AB∥CD，∴∠BFC＝∠DCF＝90°，设BF＝x，则AF＝DM＝5﹣x，∴CM＝10﹣x，∵CF2+CM2＝FM2，∵62﹣x2+（10﹣x）2＝82，∴x＝，∴BF＝．故答案为．17．解：如图，连接BE交CD于点G，连接GN，过点G作GH⊥DN于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB＝14，CD＝AB＝6，∵点M，N分别是边AB，AD的中点，∴AN＝DN＝AD＝7，BM＝AB＝3，∵AB∥CD，∴∠BME＝∠GCE，∠MBE＝∠CGE，∵点E是CM的中点，∴ME＝CE，在△MEB和△CEG中，，∴△MEB≌△CEG（AAS），∴BE＝GE，BM＝GC＝3，∴DG＝CD﹣GC＝3，∵∠D＝∠ABC＝45°，GH⊥DN，∴DH＝GH＝DG＝3，∴NH＝DN﹣DH＝7﹣3＝4，∴GN＝＝5，∵BF＝FN，BE＝EG，∴EF是△BGN的中位线，∴EF＝GN＝．故答案为：．18．解：由网格可知AD＝CD，BE＝CE，AB＝4，∴DE＝AB＝2，故答案为：2．19．解：∵小亮从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，∴根据外角和定理可知正多边形的边数为：360°÷15°＝24，则一共走了：24×2＝48（m），故答案为：48．20．解：∵在平行四边形ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝20，BD＝12，∴AO＝CO＝10，BO＝DO＝6，故AD＝＝＝8，∵E、F分别是线段OD、OA的中点，∴EF是△ADO的中位线，∴EF∥AD，EF＝AD，则EF的长为：4．故答案为：4．。

八年级数学几何综合测试(直角结构)(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：看到直角，有哪些思考角度？问题2：特殊角30°、45°的用法是什么？几何综合测试（直角结构）（北师版）一、单选题(共8道，每道10分)1.如图,等边△DEF的顶点分别在等边△ABC的各边上,且DE⊥BC于E,若AB=1,则DB的长为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形2.如图，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC，垂足为E，D为AB中点，若DE=10，AE=16，则线段BC=( )．A.12B.13C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰三角形3.如图，在△ABC中，BE，CF分别为边AC，AB上的高，D为BC的中点，DM⊥EF于点M．若BC=10，DM=3，则EF的长为( )A.6B.9C.7D.8答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半4.如图，Rt△ABE中，∠B=90°，延长BE到C，使EC=AB，分别过点C，E作BC，AE的垂线两线相交于点D，连接AD．若AB=3，DC=4，则AD的长是( ).A.5B.7C. D.无法确定答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图结构5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，以斜边AC为边作正方形ACDE，连接BE，则BE的长是( )A.10B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，CD是射线，∠BCF=60°，点D在AB上，AF，BE分别垂直于CD（或延长线）于F，E，则EF的长为( )A.5B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的性质7.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，点E在AC上，连接DE，过D 作DF⊥DE交BC于F.若AE=6cm，BF=2cm，则ED的长为( ).A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线8.如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE 的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD=2，CD=1.下列结论：①∠AED=∠ADC；②；③AC·BE=2；④BE=DE.其中结论正确的有( ).A.①③④B.①②③C.②③④D.①②④答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形二、填空题(共2道，每道10分)9.如图，点E是矩形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，G是AF的中点，连接DG，DE，DE=DG．（1）若∠AEB=25°，则∠DEA=____°．答案：50解题思路：试题难度：知识点：直角+中点10.(上接试题9)（2）若BC=2AB，则∠AED=____°．答案：45解题思路：试题难度：知识点：直角+中点。

北师大版八年级数学下册几何综合练习试题一