分式奥数题
奥数-分式1学
分式1一、分式基本概念及性质分式的概念：当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下两点：⑴分式的分母中必然含有字母；⑵分式的分母的值不为0；⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．如：分式1x，当0x≠时，分式有意义；当0x=时，分式无意义．分式的值为零：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a amb bm=，a a mb b m÷=÷（0m≠）．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．【例 1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？1 t ，(2)3xx+，2211x xx-+-，24xx+，52a，2m，21321xx x+--，3πx-，323a aa+【例 2】⑴x为何值时，分式1111x++有意义？⑵要使分式241312aaa-++没有意义，求a的值．【例 3】当x为何值时，下列分式的值为0？⑴1xx+⑵211xx-+⑶33xx--⑷237xx++⑸2231x xx+--⑹2242xx x-+【例 4】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴ x y x y +- ⑵xyx y- ⑶22x y x y -+【例 5】 约分：⑴23326a a a -- ⑵22222m mn n m n -+-通分：⑶1(1)x x x +-，21x x -，2221x x -+ ⑷2n m mn -，2m n mn -，221m n -二、分式运算分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅分式的除法：a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅乘方：()n nn nn a a aa a aa ab b bb b bb b ⋅=⋅=⋅个个n 个＝（n 为正整数） 整数指数幂运算性质：⑴m n m n a a a +⋅=（m 、n 为整数） ⑵()m n mn a a =（m 、n 为整数） ⑶()n n n ab a b =（n 为整数）⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m 、n 为整数） 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a-=（0a ≠），即n a -（0a ≠）是n a 的倒数 分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a bc c c+±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在．【例 6】 计算：⑴22266(3)443x x x x x x x -+-÷+⋅-+- ⑵2342()()()b a b a b a-⋅-÷-⑵ 32231(4)()2mn m n ---÷- ⑷32322423()(1)2111x x x x x x x x x --÷-÷+-++【例 7】 求2221()111a a a a a a a ---÷⋅-++的值，其中3a =【例 8】 先化简，再求值：224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a+++÷--÷-+，其中4a =【例 9】 已知：34x y =，求2222222x y xy y x xy y x xy -+÷-+-的值．【例 10】 已知2a x +与2b x -的和等于244xx -，求a ，b ．【例 11】 若对于3±以外的一切数，28339m n xx x x -=+--均成立，求mn ．三 分式方程1、分式方程的定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程.正确判别一个方程是否为分式方程，关键要看这个方程是否有分母，并且分母中是否有未知数. 目前所学的方程，主要有有理方程及无理方程两类。
最新的八级奥数辅导分式方程(组)的解法
奥数辅导分式方程(组)的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根．例1 解方程解令y=x2＋2x-8，那么原方程为去分母得y(y-15x)＋(y+9x)(y-15x)＋y(y＋9x)=0，y2-4xy-45x2=0，(y+5x)(y-9x)=0，所以y=9x或y=-5x．由y=9x得x2+2x-8=9x，即x2-7x-8=0，所以x1=-1，x2=8；由y=-5x，得x2+2x-8=-5x，即x2＋7x-8=0，所以x3=-8，x4=1．经检验，它们都是原方程的根．例2 解方程y2-18y+72=0，所以y1=6或y2=12．x2-2x＋6=0．此方程无实数根．x2-8x+12=0，所以x1=2或x2=6．经检验，x1=2，x2=6是原方程的实数根．例3 解方程分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为整理得去分母、整理得x＋9=0，x=-9．经检验知，x=-9是原方程的根．例4 解方程分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为即所以((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)．例5 解方程分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为整理得去分母得x2＋9x-22＝0，解得x1=2，x2=-11．经检验知，x1=2，x2=-11是原方程的根．例6 解方程次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简．原方程变形为所以x=0或2x2-3x-2=2x2+5x-3．例7 解方程分析与解形式与上例相似．本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简．原方程变形为当x≠0时，解得x=±1．经检验，x=±1是原方程的根，且x=0也是原方程的根．说明使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验．例8 解方程解将原方程变形为例9 解关于x的方程将x1=a-2b或x2=b-2a代入分母b+x，得a-b或2(b-a)，所以，当a≠b时，x1=a-2b 及x2=b-2a都是原方程的根．当a=b时，原方程无解．例10 如果方程只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根．分析与解将原方程变形，转化为整式方程后得2x2-2x+(a+4)=0．①原方程只有一个实数根，因此，方程①的根的情况只能是：(1)方程①有两个相等的实数根，即△=4-4?2(a+4)=0．(2)方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为0或2．(i)当x=0时，代入①式得a+4=0，即a=-4．这时方程①的另一个根是x=1(因为2x2-2x=0，x(x-1)=0，x1=0或x2＝1．而x1＝0是增根)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．(ii)当x=2时，代入①式，得2×4-2×2＋(a+4)=0，即a=-8．这时方程①的另一个根是x=-1(因为2x2-2x-4=0．(x-2)(x+1)=0，所以x1=2(增根)，x2=-1)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是练习一1．填空：(3)如果关于x的方程有增根x=1，则k=____．2．解方程3．解方程4．解方程5．解方程6．解方程7．m是什么数值时，方程有根？。
分式竞赛题
分式训练一、选择题（共4小题）1、若交换代数式中的任意两个字母，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a+b+c就是一个完全对称式．已知三个代数式：①a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）；②a2bc+b2ac+c2ab；③a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac．其中是完全对称式的（）A、只有①②B、只有①③C、只有②③D、有①②③2、已知，，，则的值是（）A 、B 、C 、D 、3、如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，那么abc的值是（）A、672B、688C、720D、7504、设，则4S的整数部分等于（）A、4B、5C、6D、7二、填空题（共8小题）5、已知正数a，b，c，d，e，f 满足=4，=9，=16，=；=，=，则（a+c+e）﹣（b+d+f）的值为_________．6、已知bc﹣a2=5，ca﹣b2=﹣1，ac﹣c2=﹣7，则6a+7b+8c=_________．7、设2（3x﹣2）+3=y，2（3y﹣2）+3=z，2（3z﹣2）+3=u且2（3u﹣2）+3=x，则x=_________．8、化简：=_________．9、若数组（x，y，z ）满足下列三个方程：、、，则xyz=_________．10、设x、y、z是三个互不相等的数，且x+=y+=z+，则xyz=_________．11、先求和，思考当n越来越大时，这个和趋向一个数，这个数是_________；那么的和趋向的一个数是_________．12、已知对于任意正整数n，都有a1+a2+…+a n=n3，则=_________．三、解答题（共12小题）13、设实数a，b，c 满足：，求证：14、证明以下各式：（1）；（2）x，y，z是互不相等的三个实数则：15、设a、b、c满足，求证：当n为奇数时，．16、设x，y，z为互不相等的非零实数，且．求证：x2y2z2=1．17、已知a，b，c，x，y，z都是非零实数，且a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by+cz，求证：==18、求证：++=．19、设a＞0，b＞0，c＞0，且满足a2=b（b+c），b2=c（c+a），求证：20、若x+y=m+n，且x2+y2=m2+n2．求证：x2001+y2001=m2001+n2001．21、已知a、b、c是实数．若之和恰等于1，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为﹣1．22、已知，求证：．23、若，记，证明：A是一个整数．答案与评分标准一、选择题（共4小题）1、若交换代数式中的任意两个字母，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a+b+c就是一个完全对称式．已知三个代数式：①a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）；②a2bc+b2ac+c2ab；③a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac．其中是完全对称式的（）A、只有①②B、只有①③C、只有②③D、有①②③考点：对称式和轮换对称式。
初中奥数系列：.分式B级.第01讲.学生版
1.分式概念，能确定分式有意义或值为零的条件；2.利用分式的基本性质进行约分和通分；3.会进行简单的分式化简及加减乘除混合 运算.趣味小故事：《诗中存在的错误》 有个数学家读了英国诗人捷尼逊的一首诗中的一段“每分钟都有个人死亡，每分钟都有一个人诞生……”时，去信质疑，信上说：“尊敬的阁下，读罢您的诗，令人一快，但有几行不合逻辑，实难苟同。
据您的算法，世界人数是永恒不变的。
可世界人数是不停增长的，每分钟相应的有1.16749人诞生，这与您在诗中提供的数据出入甚多，为了符合实际，我建议您使用7/6这个分数，即改为：每分钟都有一个人死亡，每分钟都有一又六分之一的人在诞生…….”中考要求重难点课前预习分式的概念及运算模块一 分式的基本概念☞分式定义【例1】 下列各式：（1）2x y ，（2）223x y，（3）38a +,（4） 4x y -,（5）214y x -，（6）3231()a a b b a -+，（7）44x x --中，整式有 ，分式有 .【巩固】下面的说法中正确的是（ ）A .有除法运算的式子就是分式B .有分母的式子就是分式C .若A 、B 为整式，式子A B 叫分式D .若A 、B 为整式且B 中含有字母，式子AB叫分式【巩固】下面的说法正确的是（ ）A .35是分式B .22513x x -+是分式 C .2125x x -+是分式 D . 2132x +是分式☞分式有无意义【例2】 使分式1(1)(1)x x +-有意义的x 的值是【巩固】当x = ，分式26(1)(3)x x x x ----无意义.例题精讲。
初二年级奥数分式方程试题及答案
初二年级奥数分式方程试题及答案1．下列是分式方程的是(D)A.xx＋1＋x＋43B.x4＋x－52＝0C.34(x－2)＝43xD.1x＋2＋1＝02．为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力实行大型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，设现在平均每天植树x棵，则列出的分式方程为(A)A.400x＝300x－30B.400x－30＝300xC.400x＋30＝300xD.400x＝300x＋303．已知x＝1是分式方程1x＋1＝3kx的根，则实数k＝16.4．把分式方程2x＋4＝1x转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以(D)A．x B．2xC．x＋4 D．x(x＋4)5．解分式方程2x＋1＋3x－1＝6x2－1分以下几步，其中错误的一步是(D)A．方程两边分式的最简公分母是(x－1)(x＋1)B．方程两边都乘以(x－1)(x＋1)，得整式方程2(x－1)＋3(x＋1)＝6C．解这个整式方程，得x＝1D．原方程的解为x＝16．解分式方程1x－1＋1＝0，准确的结果是(A)A．x＝0 B．x＝1C．x＝2 D．无解7．已知x＝3是关于x的方程10x＋k－3x＝1的一个解，则k＝2．8．解下列方程：(1)2xx－2＝1－12－x；解：方程两边同乘以(x－2)，得2x＝x－2＋1.解得x＝－1.经检验，x＝－1是原方程的解．(2)6x－2＝xx＋3－1；解：方程两边同乘以(x－2)(x＋3)，得6(x＋3)＝x(x－2)－(x－2)(x＋3)．解得x＝－43.经检验，x＝－43是原方程的解．(3)xx2－4＋2x＋2＝1x－2；解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)，得x＋2(x－2)＝x＋2.解得x＝3.经检验，x＝3是原方程的解．(4)23＋x3x－1＝19x－3.解：方程两边同乘以9x－3，得2(3x－1)＋3x＝1.解得x＝13.检验：当x＝13时，9x－3＝0.所以x＝13不是原方程的解．∴原分式方程无解．9．某机加工车间共有26名工人，现要加工2 100个A零件，1 200个B零件，已知每人每天加工A零件30个或B零件20个，问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务(每人只能加工一种零件)？设安排x人加工A零件，由题意列方程得(A)A.2 10030x＝1 20020（26－x）B.2 100x＝1 20026－xC.2 10020x＝1 20030（26－x）D.2 100x×30＝1 20026－x×2010．在求3x的倒数的值时，嘉淇同学将3x看成了8x，她求得的值比准确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是(B)A.13x＝18x－5B.13x＝18x＋5C.13x＝8x－5D.13x＝8x＋511．用换元法解方程x2－12x－4xx2－12＝3时，设x2－12x＝y，则原方程可化为(B)A．y－1y－3＝0 B．y－4y－3＝0C．y－1y＋3＝0 D．y－4y＋3＝012．当x＝56时，xx－5－2与x＋1x互为相反数．13．若关于x的方程x－1x－5＝m10－2x无解，则m＝－8．14．解下列方程：(1)3x2－9＋xx－3＝1；。
初中奥数讲义 分式方程(组)附答案
初中奥数讲义分式方程（组）附答案初中奥数讲义-分式方程（组）附答案分数阶方程本讲我们将介绍分式方程(组)的解法及其应用．【知识拓展】分母中含有未知量的方程称为分数阶方程。
解分数阶方程的基本思想是将它们转化为积分方程。
通常有两种方法：一种是去除分母；第二种是替代。
解分数阶方程时必须检验根解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分．常见的思路有：取倒数法方程迭加法，换元法等．解决分数阶方程应用问题的关键是找到等价关系并列出方程。
如果方程包含以字母表示的已知数，则需要根据问题的变换条件实现变换。
在不求解的情况下设置未知数是常见的技能之一例题求解一、分数阶方程（组）解的例子1。
拆分项目并重新组织以解分数方程[示例1]以解方程x?5x?2x?3x?4．x?7x?4x?5x?6解析直接去分母太繁琐，左右两边分别通分仍有很复杂的分子．考虑将每一项分拆：如11x?52，这样可降低计算难度．经检验x?为原方程的解．?1?2x?7x?7注本题中用到两个技巧：一是将分式拆成整式加另一个分式；二是交换了项，避免通分后分子出现x．这样大大降低了运算量．本讲趣题引路中的问题也属于这种思路．2.用元素交换法求解分数阶方程[例2]1x?11x?82?1x?2x?82?1x?13x?82?0．如果在解析时考虑去除分母，则计算量过大；分裂是不够的，但每个分母都是一个二次三项式。
试试替代法。
解为x+2x-8=y，原始方程可转化为2111 0岁？9xyy？15x解关于y的分数方程，得到y=9x或y=-5x。
因此，当y=9x，x+2x-8=9x时，解得到X1=8，X2=-1。
当y=-5x，x+2x-8=-5x时，解得到X3=-8，X4=1。
经检验，上述四种解均为原方程的解注当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时，可通过换元将之简化．3．形如x?形如x?11?a?结构的分式方程的解法xa22111? A.分数阶方程的解是：X1？a、 x2？。
初中奥数讲义_分式方程(组)附答案
分式方程（组）本讲我们将介绍分式方程(组)的解法及其应用． 【知识拓展】分母里含有未知数的方程叫做分式方程．解分式方程组的基本思想是：化为整式方程．通常有两种做法：一是去分母；二是换元． 解分式方程一定要验根．解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分．常见的思路有：取倒数法方程迭加法，换元法等．列分式方程解应用题，关键是找到相等关系列出方程．如果方程中含有字母表示的已知数，需根据题竞变换条件，实现转化．设未知数而不求解是常见的技巧之一．例题求解一、分式方程(组)的解法举例 1．拆项重组解分式方程 【例1】解方程64534275--+--=--+--x x x x x x x x ． 解析 直接去分母太繁琐，左右两边分别通分仍有很复杂的分子．考虑将每一项分拆：如72175-+=--x x x ，这样可降低计算难度．经检验211=x 为原方程的解． 注 本题中用到两个技巧：一是将分式拆成整式加另一个分式；二是交换了项，避免通分后分子出现x ．这样大大降低了运算量．本讲趣题引路中的问题也属于这种思路．2．用换元法解分式方程 【例2】解方程081318218111222=--+-++-+x x x x x x ．解析 若考虑去分母，运算量过大；分拆也不行，但各分母都是二次三项式，试一试换元法． 解 令x 2+2x —8=y ，原方程可化为0151191=-+++xy y x y 解这个关于y 的分式方程得y=9x 或y=－5x ． 故当y=9x 时，x 2+2x —8=9x ，解得x 1=8，x 2=—1． 当y=－5x 时，x 2+2x —8=－5x ，解得x 3=—8，x 4=1． 经检验，上述四解均为原方程的解．注 当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时，可通过换元将之简化． 3．形如aa x x 11+=+结构的分式方程的解法 形如a a x x 11+=+的分式方程的解是：a x =1，ax 12=．【例3】解方程 310511522=+++++x x x x ． 解析 方程左边两项的乘积为1，可考虑化为上述类型的问题求解．11=x ，22=x 均为原方程的解．4．运用整体代换解分式方程组【例4】解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+x x x z y y y x x 222222414414414． 解析 若用常规思路设法消元，难度极大．注意到每一方程左边分子均为单项式，为什么不试一试倒过来考虑呢?解 显然x=y=z=0是该方程组的一组解． 若x 、y 、z 均不为0，取倒数相加得x=y=z=21故原方程组的解为x=y=z=0和x=y=z=21． 二、含字母系数分式方程根的讨论【例5】解关于x 的方程242241)1(2212122x a x x a x x a --=---++． 解析 去分母化简为含字母系数的一次方程，须分类讨论．讨论：（1）当a 2－1≠0时①当a ≠0时，原方程解为x=212a +；②当a=0时，此时21±=x 是增根． (2) 当a 2－1＝0时即a=1±，此时方程的解为x ≠21±的任意数； 综上，当a ≠±1且a ≠0时，原方程解为x=212a +；当a=0时，原方程无解，；当a=1± 时，原方程的解为x ≠21±的任意数． 三、列分式方程解应用题【例6】 某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯行驶，两人也走梯)．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部．（1）扶梯露在外面的部分有多少级?(2)现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两个孩子各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼(不考虑扶梯与楼梯间的距离)．求男孩第一次迫上女孩时走了多少级台阶?解析 题中有两个等量关系，男孩走27级的时间等于扶梯走了S －27级的时间；女孩走18级的时间等于扶梯走S —18级的时间．解 (1)设女孩上梯速度为x 级／分，自动扶梯的速度为y 级／分，扶梯露在外面的部分有S 级，则男孩上梯的速度为2x 级／分，且有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y S xyS x 181827227解得 S=54．所以扶梯露在外面的部分有54级．(2)设男孩第一次追上女孩时走过自动扶梯rn 遍，走过楼梯n 遍，则女孩走过自动扶梯(m —1)遍、走过楼梯(n —1)遍．由于两人所走的时间相等，所以有xn x y m x n x y m )1(54)1(54254254-++-=++． 由(1)中可求得y=2x,代人上面方程 化简得6n+m=16．无论男孩第一次追上女孩是在自动扶梯还是在下楼时，m 、n 中都一定有一个是正整数，且0≤m —n ≤1．试验知只有m=3，n=612符合要求．所以男孩第一次追上女孩时走的级数为3×27+612×54=198(级)．注 本题求解时设的未知数x 、y ，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题．【例7】 (江苏省初中数学竞赛C 卷)编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A 和B 中．15号弹珠在篮子A 中，把这个弹珠从篮子A 移至篮子B 中，这时篮子A 中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加41，篮子B 中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加41．问原来在篮子A 中有多少个弹珠? 解析 本题涉及A 中原有弹珠，A 、B 中号码数的平均数，故引入三个未知数．解 设原来篮子A 中有弹珠x 个，则篮子B 中有弹珠(25－x)个．又记原来A 中弹珠号码数的平均数为a ，B 中弹珠号码数的平均数为b ．则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--+-=---=+++=-+412615)25(411153252521)25(b x x b a x ax b x ax ，解得x=9，即原来篮子A 中有9个弹珠．学力训练 （A 级）1．解分式方程16143132121+=-++++x x x x ． 2．若关于x 的方程1151222--=+-+-x k x x k xx 有增根x=1，求k 的值．3．解分式方程52)10)(9(1)2)(1(1101=++++++++x x x x x ． 4．解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+-=-++-1042113312111y x x y x x ．5．丙、丁三管齐开，15分钟可注满全池；甲、丁两管齐开，20分钟注满全池．如果四管齐开，需要多少时间可以注满全池？（B 级）1．关于x 的方程cda x xb =--有唯一的解，字母已知数应具备的条件是( ) A ． a ≠b B ．c ≠d C ．c+d ≠0 D ．bc+ad ≠02．某队伍长6km ，以每小时5km 的速度行进，通信员骑马从队头到队尾送信，到队尾后退返回队头，共用了0.5 h ，则通信员骑马的速度为每小时 km ．3．某项工作，甲单独作完成的天数为乙、丙合作完成天数的m 倍，乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的n 倍，丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的k 倍，则111+++++k kn n m m = ． 4．m 为何值时，关于x 、y 的方程组： ⎩⎨⎧=-+=++241)1(y x m my x m 的解，满足1511<x ，32≥y ？5．(天津市中考题)某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的32，厂家需付甲、丙两队共5500元．(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?(2)若工期要求不超过15天完成全部工程，问：由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由． 6．甲、乙二人两次同时在同一粮店购买粮食(假设两次购买的单价不同)，甲每次购买粮食100kg ，乙每次购买粮食用去100元．设甲、乙两人第一次购买粮食的单价为x 元／kg ，第二次单价为y 元／kg ．(1)用含x 、y 的代数式表示甲两次购买粮食共需付款 元，乙两次共购买 kg 粮食．若甲两次购买粮食的平均单价为每千克Q l 元，乙两次购粮的平均单价为每千克Q 2元则Q 1= ；Q 2= ．(2)若规定谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个更合算些，并说明理由．分式方程（组）分式方程（组）。
分式奥数题
分式奥数题Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】分式的化简与求值分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．例1化简分式：分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．例2当a=2时的值时,求分式分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．例3若abc=1，求分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1因为abc=1，所以a，b，c都不为零．解法2因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．例4化简分式：分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．说明互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．例5化简计算(式中a，b，c两两不相等)：似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法．解说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用例6已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解．解令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为u2+v2+w2+ 2(uv+vw+wu)=0．由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．例7化简分式：适当变形，化简分式后再计算求值．(x-4)2=3，即x2-8x+13＝0．原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10=10，原式分母=(x2-8x+13)+2=2，说明本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．解法1利用比例的性质解决分式问题．(1)若a+b+c≠0，由等比定理有所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有(2)若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有说明比例有一系列重要的性质,在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．解法2设参数法．令则a+b=(k+1)c，①a+c=(k+1)b，②b+c=(k+1)a．③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以(a+b+c)(k-1)=0，故有k=1或a+b+c=0．当k=1时，当a+b+c=0时，说明引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．练习四1．化简分式：2．计算：3．已知：(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2，的值．。
初二奥数辅导分式方程的解法
分母中含有未知数的方程叫分式方程.解分式方程的基本思想是转化为整式方程 求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行 有效的变形•变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根.
例1解方程
解令y=X+2x-8，那么原方程为
111,
+_*=a
y+9y y y亠15k
分析与解形式与上例相似.本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故
可考虑用合分比定理化简•原方程变形为
(3x2+4x~1)+(3x2-4x -1)(x2++1) +(x2-4x+1)
去分母得
y(y-15x)+(y+9x)(y-15x)+y(y+9x)=0，
y2-4xy-45x2=0,
(y+或y=-5x .
由y=9x得x2+2x-8=9x，即x2-7x-8=0，所以Xi=-1 ,X2=8;由y=-5x，得x2+2x-8=-5x，即x2+7x-8=0，所以X3=-8，X4=1.
经检验，它们都是原方程的根.
例2解方程
x2+72x~72
——+_-18 =0・'
X2+4x
解设厂则原方費化为
整理得
\3茎一2
黑十！x+2x2+3x+2
去分母、整理得
x+ 9=0,x=-9 .
经检验知，x=-9是原方程的根.
例4解方程x+ 1 X +6x+ 2x+5
+=+
黑 +2x+ 7x+3x+ 6
七年级奥数20分式及分式的应用
七年级奥数20分式及分式的应用1、如果234x y z ==，则222(4)x y y z -+= ；2、如果2xy x y =+，则3533x xy y x xy y -+-+-= 。
3、若a b c a b c a b c c b a +--+-++==，则()()()a b b c c a abc+++= 。
4、若1,2,3xy yz zx x y y z z x ===+++，则x = ，y = ，z = 。
5、若01282=+-x x ，则分式4322621823815x x x x x x --++-+= 。
6、化简分式：222211113256712920x x x x x x x x +++++++++++= 。
7、已知0a b c ++=，则：)111(32333222c b a cb ac b a +++++++= 。
8、化简：222222a b c b a c c a b a ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab------++--+--+--+= 。
9、已知2b ac =，求222333333111()a b c a b c a b c ⋅++++的值。
10、解方程组25121312x y y x yy ⎧+=⎪--⎪⎨⎪+=⎪--⎩11、已知1abc =，2a b c ++=，2223ab c ++=，求111111ab c bc a ca b +++-+-+-的值。
12、解分式方程：596841922119968x x x x x x x x ----+=+----13、已知4360x y z --=，24140x y z +-=且0xyz ≠，求22222223657x y z x y z ++++14、A 、B 两地相距80km,一辆公共汽车从A 地出发开往B 地，2小时后，又从A 地同向开出一辆小汽车，小汽车的速度是公共汽车的3倍，结果小汽车比公共汽车早40分钟到达B 地。
初中数学竞赛指导：《分式》竞赛专题训练(含答案)
《分式》竞赛专题训练1 分式的概念分母中含有字母的有理式叫做分式.分式的分母不能为零;只有当分式的分母不为零，而分式的分子为零时，分式的值为零.经典例题(1)当x 为何值时，分式22211x x有意义?(2)当x 为何值时，分式22211x x的值为零?解题策略(1)要使分式22211x x有意义，应有分母不为零这个分式有两个分母x 和11x，它们都不为零，即0x 且110x，于是当0x 且1x 时，分式22211x x有意义，(2)要使分式22211x x的值为零，应有2220x且110x，即1x 且1x ，于是当1x 时，分式22211x x的值为零画龙点睛1.要使分式有意义，分式的分母不能为零.2.要使分式的值为零，应有分式的分母不为零，而分式的分子等于零，以上两条，缺一不可.举一反三1.(1)要使分式24x x 有意义的x 的取值范围是()(A)2x (B) 2x ( C)2x (D)2x (2)若分式的的值为零，则x 的值为() (A)3(B)3或3(C)3(D)02.(1)当x时，分式23(1)16x x 的值为零;(2) 当x时，分式2101x x 3.已知当2x 时，分式x b xa无意义;当4x时，分式的值x b xa为零，求a b .融会贯通4.若201a a ，求a 值的范围.2 分式的基本性质分式的基本性质是:分式的分子和分母都乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变.分式的基本运算，例如改变分子、分母或分式的符号以及通分、约分等，都要用到这个性质.本节主要讲解它在解答一些分式计算综合题时的应用.经典例题若2731x xx ，求2421x xx 的值解题策略因为2731x xx ，所以0x 将等式2731x xx 的左边分子、分母同时除以x ，得1713x x，所以有1227xx因此242222211149112214351()1()17xx xxxxx画龙点睛对于含有1xx 形式的分式，要注意以下的恒等变形:22211()2x x x x 22211()2x xx x 2211()()4xxxx举一反三1.(1)不改变分式的值，使分式的分子和分母的系数都化为整数;10.50.2210.20.53a b ca b c(2)不改变分式的值，使分式的分子和分母的最高次项系数是正数:3211a aa 2.已知13xy xy，求2322x xy y xyxy的值.3.已知13xx，求2421x xx 的值.融会贯通4.已知3a b ba，求22224a ab baabb的值.3 分式的四则运算分式的四则运算和分数的四则运算是一致的，加减法的关键是通分和约分.综合运算时要遵循先乘除后加减，以及先做括号内的，再做括号以外的次序.经典例题计算：22448()()[3()]y x xy x yx yx y xyxyxy解题策略原式2222()4()43()()8xy y x y xxy x y xyx y x yx yg()(3)(3)()(3)(3)x y x y x y yx xy x y x y xy xy ggyx画龙点睛在进行分式的四则运算时，要注意运算次序.在化简时，因式分解是重要的恒等变形方法;在解答求值问题时，一般应该先化简分式，再将字母对应的值代入计算.举一反三1.先化简，再求值：262393m m mm ，其中2m .2.计算：322441124a aa babab ab3.(1)已知实数a 满足2280aa ，求22213211143a aa a aaa的值(2)已知a 、b 为实数，且1ab ，设11a b Ma b ，1111Na b ，试比较M 、N 的大小关系.融会贯通4.甲、乙两位采购员同去一家肥料公司购买两次肥料，两次肥料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同:甲每次购买800千克;乙每次用去600元，而不管购买多少肥料.请问谁的购货方式更合算?4 分式的运算技巧——裂项法我们知道，多个分式的代数和可以合并成一个分式，如134512(1)(2)x x xx x 反过来，由右边到左边的计算往往可以使一些复杂的分式计算变得简捷常见的裂项有:11A B ABBA，111(1)1n n nn 经典例题已知54(1)(21)121x A B x x x x ，求A 、B 的值解题策略由54(21)(1)(1)(21)121(1)(21)x A B A x B x x x x x x x (2)(1)(21)A B x B Ax x ，可得254A B BA，解得13A B画龙点睛已知等式右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用分式相等的条件求出A 、B的值即可. 举一反三1.若在关于x 的恒等式222Mx N c xxxax b中，22Mx N xx 为最简分式，且有a b ，abc ，求M ，N .2.化简：222211113256712xxxx xx xx 3.计算：222222a b c b c a c a b aabacbcbabbcaccacbcab融会贯通4.已知21(2)(3)23xb c ax x x x ，当1,2,3x时永远成立，求以a 、b 、c为三边长的四边形的第四边d 的取值范围.5 含有几个相等分式问题的解法有一类化简求值问题，已知条件中含有若干个相等的分式，其本质是几个比的比值相等的问题.解决此类问题常将这个相等的比用一个字母表示，从而将其转化为一个整式的问题来解决. 经典例题已知x y z x y z x y zzyx，且()()()1x y y z z x xyz，求x y z 的值解题策略由x y z x y z x y zzyx得111x yx zy zz y x 从而xy x z yz z yx设x yxz y zk zyx，则x y kz ，x z ky ，y z kx三式相加得2()()x yz k xyz ，即()(2)0x y z k ，所以0xy z ，或2k若0xy z ，则1x y xz y zzy x g，符合条件；若2k ，则()()()81x y y z zx xyz与题设矛盾，所以2k 不成立因此0x yz画龙点睛1.将相等的比用一个字母表示，是解决含有连等分式问题的常见解法.2.在得到等式2()()x yz k x y z 后.不要直接将等式的两边除以x y z ，因为此式可能等于0.3.在求出值后.要注意验证，看是否与已知条件矛盾.举一反三1.(1)已知275x y z ，求值①x y zz；②x yz；③x y zx(2)已知2310254a b b c c a，求56789a b cab的值2.若a b c d bcaa，求a b c d abcd的值3.已知实数a 、b 、c 满足0a b c，并且a b c k bccaab，则直线3y kx 一定通过()(A)第一、二、三象限(B)第一、二、四象限(C)第二、三、四象限(D)第一、三、四象限融会贯通4.已知9pq r ，且222p qrxyzyzxzxy，求px qy rz xyz的值6 整数指数幂一般地，当n 是正整数时，1(0)nnaaa，这就是说(0)na a是na 的倒数.引入了负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数.经典例题已知2mx ，3ny，求24()mn xy 的值解题策略242(4)(4)84()mn m n mnxy xyxyg g 848481()()23256mn xy 画龙点睛将所求的代数式转化为以mx、ny 为底的乘方，进而代入相应的值进行计算.举一反三1.计算(1)222242(2)()ab a b a b g (2)541321111(1)()()()()21023(3)10222(510)(0.210)(200)2.水与我们日常生活密不可分，科学家研究发现，一个水分子的质量大约是26310kg ，8 g 水中大约有多少个水分子?通过进一步研究科学家又发现，一个水分子是由2个氢原子和一个氧原子构成的.已知一个氧原子的质量约为262.66510kg ，求一个氢原子的质量.3.已知2310aa ，求(1)1a a ；(2)22aa ；(3)44aa融会贯通4.如图，点O 、A 在数轴上表示的数分别是0、0. 1.将线段(OA 分成100等份，其分点由左向右依次为1M 、2M ，…，99M ;再将线1OM 分成100等份，其分点由左向右依次为1N 、2N ，…，99N ;继续将线段1ON 分成100等份，其分点由左向右依次为1P 、2P …，99P .则点37P 所表示的数用科学记数法表示为7 分式方程的解法分母中含有未知数的方程是分式方程.通常我们采用去分母的方法，将其变形为整式方程来解答. 经典例题解方程52432332x x x x 解题策略解法一去分母，得(52)(32)(43)(23)x x x x 2215610486129xxxxxx所以1x 验根知1x 为原方程的解.解法二方程两边加1，得5243112332x x x x 即222332x x 所以2332x x 解得1x 验根知1x 为原方程的解.解法三原式可化为22112332x x所以222332xx以下同解法二画龙点睛1.通常我们采用去分母的方法来解分式方程，先将其变形为整式方程，再用解整式方程的方法来解答.2.除了用去分母的方法来解分式方程外，采用部分分式的方法，即将分式分解为一个整式和一个分式之和，这样可以使解方程的过程变得简单.3.解完分式方程后，要进行检验，这是一个必不可少的步骤.因为在去分母时容易产生增根.举一反三1.(1)解方程2227461xxxxx。
初中奥数系列：.分式C级.第01讲.学生版
【巩固】化简：
1 1 1 1 1 2 2 2 2 x x x 3x 2 x 5x 6 x 7 x 12 x 9x 20
2
【例4】 化简：
a 2 bc b 2 ac c 2 ab . (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c N 的值. 2 a 1 a 1 a 1
【巩固】(06 年宁波市重点中学提前考试招生试题)已知
a b 4x 与 的和等于 2 ，求 a ， b . x2 x2 x 4
分式恒等证明
2a3 2 2a3 2 2 2 2 2 【例9】 求证： a 2 ab b2 a ab b a ab b a ab b a b ab
）
1 3
C.
1 3
D.
1 2
b， c 都不为 0，且 a b c 0 ， 【巩固】 （1996 年武汉市初中数学竞赛试题）设有理数 a ， 1 1 1 则 2 的值为___________。 2 2 2 2 2 2 b c a c a b a b2 c 2
分式与数论
☞一元一次分式方程的应用 【例13】 为响应低碳号召，李老师上班的交通方式由开汽车改为骑自行车．李老师家距学校 10 千米，由 于汽车的速度是自行车速度的 4 倍，所以李老师每天比原来提前 30 分钟出发，才能按原来的时 间到校，求李老师骑自行车的速度．
【巩固】为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的 1200 件新产品进行精加工后再投放市场．现 有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信 息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 10 天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的 1.5 倍． 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？
初中数学竞赛指导：《分式》竞赛专题训练(含答案)
《分式》竞赛专题训练1 分式的概念分母中含有字母的有理式叫做分式.分式的分母不能为零;只有当分式的分母不为零，而分式的分子为零时，分式的值为零.经典例题(1)当x 为何值时，分式22211x x--有意义? (2)当x 为何值时，分式22211x x--的值为零? 解题策略(1) 要使分式22211x x--有意义，应有分母不为零这个分式有两个分母x 和11x -，它们都不为零，即0x ≠且110x -≠，于是当0x ≠且1x ≠时，分式22211x x--有意义， (2) 要使分式22211x x--的值为零，应有2220x -=且110x -≠，即1x =±且1x ≠，于是当1x =-时，分式22211x x--的值为零 画龙点睛1. 要使分式有意义，分式的分母不能为零.2. 要使分式的值为零，应有分式的分母不为零，而分式的分子等于零，以上两条，缺一不可.举一反三1. (1)要使分式24x x -有意义的x 的取值范围是( ) (A)2x = (B) 2x ≠ ( C)2x =- (D)2x ≠-(2)若分式的的值为零，则x 的值为( )(A)3 (B)3或3- (C) 3- (D)0 2. (1)当x 时，分式23(1)16x x -+-的值为零;(2) 当x 时，分式2101x x +≥- 3. 已知当2x =-时，分式x b x a -+无意义;当4x =时，分式的值x b x a -+为零，求a b +.融会贯通4.0≤，求a 值的范围.2 分式的基本性质分式的基本性质是:分式的分子和分母都乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变.分式的基本运算，例如改变分子、分母或分式的符号以及通分、约分等，都要用到这个性质.本节主要讲解它在解答一些分式计算综合题时的应用.经典例题 若2731x x x =-+，求2421x x x ++的值 解题策略 因为2731x x x =-+，所以0x ≠ 将等式2731x x x =-+的左边分子、分母同时除以x ，得1713x x=-+，所以有 1227x x += 因此242222211149112214351()1()17x x x x x x x ====+++++-- 画龙点睛 对于含有1x x+形式的分式，要注意以下的恒等变形: 22211()2x x x x+=++ 22211()2x x x x-=+- 2211()()4x x x x+--= 举一反三1. (1)不改变分式的值，使分式的分子和分母的系数都化为整数;10.50.2210.20.53a b c a b c -+++(2)不改变分式的值，使分式的分子和分母的最高次项系数是正数:3211a a a ---+ 2. 已知13xy x y =--，求2322x xy y x y xy +---的值.3. 已知13x x+=，求2421x x x ++的值.融会贯通4. 已知3a b b a+=，求22224a ab b a ab b ++++的值.3 分式的四则运算分式的四则运算和分数的四则运算是一致的，加减法的关键是通分和约分.综合运算时要遵循先乘除后加减，以及先做括号内的，再做括号以外的次序.经典例题计算：22448()()[3()]y x xy x y x y x y x y x y x y--+-÷+--+- 解题策略 原式2222()4()43()()8x y y x y x x y x y xy x y x y x y--+-+--=÷-+- ()(3)(3)()(3)(3)x y x y x y y x x y x y x y x y x y +-+--=-++- y x =-画龙点睛在进行分式的四则运算时，要注意运算次序.在化简时，因式分解是重要的恒等变形方法;在解答求值问题时，一般应该先化简分式，再将字母对应的值代入计算.举一反三1. 先化简，再求值：262393m m m m -÷+--，其中2m =-.2. 计算：322441124a a a b a b a b a b+++-+++= 3. (1)已知实数a 满足2280a a +-=，求22213211143a a a a a a a +-+-⨯+-++的值(2)已知a 、b 为实数，且1ab =，设11a b M a b =+++，1111N a b =+++，试比较M 、 N 的大小关系.融会贯通4. 甲、乙两位采购员同去一家肥料公司购买两次肥料，两次肥料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同:甲每次购买800千克;乙每次用去600元，而不管购买多少肥料.请问谁的购货方式更合算?4 分式的运算技巧——裂项法 我们知道，多个分式的代数和可以合并成一个分式，如134512(1)(2)x x x x x -+=---- 反过来，由右边到左边的计算往往可以使一些复杂的分式计算变得简捷常见的裂项有:11A B AB B A ±=±，111(1)1n n n n =-++ 经典例题已知54(1)(21)121x A B x x x x -=-----，求A 、B 的值 解题策略由54(21)(1)(1)(21)121(1)(21)x A B A x B x x x x x x x ----=-=------(2)(1)(21)A B x B A x x -+-=--，可得254A B B A -=⎧⎨-=-⎩，解得13A B =⎧⎨=-⎩ 画龙点睛已知等式右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用分式相等的条件求出A 、B 的值即可.举一反三1. 若在关于x 的恒等式222Mx N c x x x a x b +=-+-++中，22Mx N x x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=，求M ，N .2. 化简：222211113256712x x x x x x x x ++++++++++3. 计算：222222a b c b c a c a b a ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab------++--+--+--+融会贯通 4. 已知21(2)(3)23x b c a x x x x -=++----，当1,2,3x ≠时永远成立，求以a 、b -、c 为三边长的四边形的第四边d 的取值范围.5 含有几个相等分式问题的解法有一类化简求值问题，已知条件中含有若干个相等的分式，其本质是几个比的比值相等的问题.解决此类问题常将这个相等的比用一个字母表示，从而将其转化为一个整式的问题来解决.经典例题已知x y z x y z x y z z y x +--+-++==，且()()()1x y y z z x xyz +++=-，求x y z ++的值解题策略 由x y z x y z x y z z y x+--+-++== 得111x y x z y z z y x +++-=-=- 从而x y x z y z z y x+++== 设x y x z y z k z y x+++===，则x y kz +=，x z ky +=，y z kx +=三式相加得2()()x y z k x y z ++=++，即()(2)0x y z k ++-=，所以0x y z ++=，或2k =若0x y z ++=，则1x y x z y z z y x+++•=-，符合条件； 若2k =，则()()()81x y y z z x xyz+++=≠-与题设矛盾，所以2k =不成立 因此0x y z ++=画龙点睛1. 将相等的比用一个字母表示，是解决含有连等分式问题的常见解法.2. 在得到等式2()()x y z k x y z ++=++后.不要直接将等式的两边除以x y z ++，因为此式可能等于0. 3. 在求出值后.要注意验证，看是否与已知条件矛盾.举一反三1. (1)已知275x y z ==，求值①x y z z ++；②x y z +；③x y z x +-(2)已知2310254a b b c c a +-+==，求56789a b c a b +-+的值2. 若a b c d b c a a ===，求a b c d a b c d -+-+-+的值3. 已知实数a 、b 、c 满足0a b c ++≠，并且a b c k b c c a a b===+++，则直线3y kx =-一定通过( )(A)第一、二、三象限 (B)第一、二、四象限(C)第二、三、四象限 (D)第一、三、四象限 融会贯通 4. 已知9p q r ++=，且222p q r x yz y zx z xy ==---，求px qy rz x y z++++的值6 整数指数幂一般地，当n 是正整数时，1(0)n n a a a-=≠，这就是说(0)n a a -≠是n a 的倒数.引入了负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数.经典例题已知2m x-=，3n y =，求24()m n x y ---的值解题策略 242(4)(4)84()m n m n m n x y x y x y -------==848481()()23256m n x y ---==⨯=画龙点睛将所求的代数式转化为以m x-、n y 为底的乘方，进而代入相应的值进行计算. 举一反三1. 计算(1)222242(2)()a b a b a b ----÷(2)541321111(1)()()()()21023----++-+-⨯-(3)10222(510)(0.210)(200)⨯÷-⨯⨯-2. 水与我们日常生活密不可分，科学家研究发现，一个水分子的质量大约是26310-⨯kg ，8 g 水中大约有多少个水分子?通过进一步研究科学家又发现，一个水分子是由2个氢原子和一个氧原子构成的.已知一个氧原子的质量约为262.66510-⨯kg ，求一个氢原子的质量.3. 已知2310a a -+=，求(1)1a a -+；(2)22a a -+；(3)44a a -+融会贯通4. 如图，点O 、A 在数轴上表示的数分别是0、0. 1.将线段(OA 分成100等份，其分点由左向右依次为1M 、2M ，…，99M ;再将线1OM 分成100等份，其分点由左向右依次为1N 、2N ，…，99N ;继续将线段1ON 分成100等份，其分点由左向右依次为1P 、2P …，99P .则点37P 所表示的数用科学记数法表示为7 分式方程的解法分母中含有未知数的方程是分式方程.通常我们采用去分母的方法，将其变形为整式方程来解答.经典例题解方程52432332x x x x --=-- 解题策略解法一 去分母，得(52)(32)(43)(23)x x x x --=--2215610486129x x x x x x --+=--+所以1x =-验根知1x =-为原方程的解.解法二 方程两边加1，得5243112332x x x x --+=+-- 即222332x x =-- 所以2332x x -=-解得1x =-验根知1x =-为原方程的解.解法三 原式可化为22112332x x -=--- 所以222332x x =-- 以下同解法二画龙点睛1. 通常我们采用去分母的方法来解分式方程，先将其变形为整式方程，再用解整式方程的方法来解答.2. 除了用去分母的方法来解分式方程外，采用部分分式的方法，即将分式分解为一个整式和一个分式之和，这样可以使解方程的过程变得简单.3. 解完分式方程后，要进行检验，这是一个必不可少的步骤.因为在去分母时容易产生增根.举一反三1. (1)解方程2227461x x x x x +=+--(2)解方程2222112x x x x x x x x -++=--+-2. (1)解方程22252571061268x x x x x x x x x --+=+----+(2)解方程253336237456x x x x x x x x ----+=+----3. 若解方程61(1)(1)1m x x x -=+--是会有增根，求它的增根融会贯通4. 已知方程11x c x c +=+ (c 是常数，0c ≠)的解是c 或1c，求方程2131462a a x x a+++=- (a 是常数，且0a ≠)的解.8 列分式方程解应用题和整式中的一元一次方程一样，列分式方程所解的应用题也包括工程问题、行程问题、经济问题等，本节介绍列分式方程解应用问题的方法.经典例题某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%，小明家去年12月份水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月多6立方米，求该市今年居民用水的价格.解题策略设该市去年居民用水价格为x 元/m 3，则今年用水价格为(125%)x +元/m 3.根据题意得:36186(125%)x x-=+，解得： 1.8x = 经检验： 1.8x =是原方程的解.所以(125%) 2.25x +=所以该市今年居民用水的价格为2. 25元/m 3.画龙点睛列分式方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题步骤基本上是一致的:审查题意，设未知数;找出等量关系，列出方程;解分式方程并验根;写出答案.举一反三1. 某服装厂准备加工300套演出服，加工60套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用了9天完成任务，请问:该厂原来每天加工多少套演出服?2. 便民服装店的老板在株洲看到一种夏季衫，就用8000元购进若干件，以每件58元的价格出售，很快售完.又用17 600元购进同种衬衫，数量是第一次的2倍，每件进价比第一次贵了4元，服装店仍按每件58元出售，全部售完.问该服装店这笔生意共盈利多少元?3. 从甲地到乙地共50 km ，其中开始的10 km 是平路，中间的20 km 是上坡路，余下的20 km 又是平路，小明骑自行车从甲地出发，经过2小时10分钟到达甲、乙两地的中点，再经过1小时50分钟到达乙地，求小明在平路上的速度(假设小明在平路上和上坡路上保持匀速).融会贯通4. 某工程队(有甲、乙两组)承包一项工程，规定若干天内完成.(1)已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间多30天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天，如果甲乙两组先合做20天，剩下的由甲组单独做，恰好按规定的时间完成，那么规定的时间是多少天?(2)实际工作中，甲乙两组合做完成这项工程的56后，工程队又承包了新工程，需要抽调一组过去，从按时完成任务考虑，你认为留下哪一组更好?说明理由.参考答案1 分式的概念1. (1)B (2) C2. (1)3x =- (2) 12x ≤-或1x > 3. 64. 21a -≤<2分式的基本性质1. (1)1561561510a b c a b c -+++(2)3211a a a --+ 2. 由已知，得3x y xy -=-，所以 原式2()36333()23255x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+-+-====----- 3. 242222211111113181()1x x x x x x x====++-+++- 4. 将22224a ab b a ab b ++++分子和分母同时除以ab ，得13143474a b b a a b b a +++==+++3 分式的四则运算1. 262393m m m m -÷+-- 633(3)(3)2m m m m m -=-++- 33m m -=+ 当2m =-时，原式3235323m m ---===-+-+ 2. 322441124a a a b a b a b a b +++-+++ 3222244224a a a a b a b a b =++-++ 33444444a a a b a b =+-+ 7884a a b=- 3. (1) 22213211143a a a a a a a +-+-⨯+-++ 213(1)1(1)(1)(1)(3)a a a a a a a +-=-⨯++-++2111(1)a a a -=-++ 22(1)a =+ 由2280a a +-=知2(1)9a += 所以原式222(1)9a ==+ (2)11()()1111a b M N a b a b -=+-+++++ 111111a b a a b b =-+-++++ 1111a b a b --=+++ (1)(1)(1)(1)(1)(1)a b b a a b -++-+=++ (1)(1)(1)(1)ab a b ab b a a b +--++--=++ 220(1)(1)ab a b -==++ 所以M N =4. 设两次购买肥料的单价分别为a 元/千克和b 元/千克(a 、b 为正数，且a b ≠)，则 甲两次购买肥料的平均单价为：8008008008002a b a b ++=+ (元/千克). 乙两次购买肥料的平均单价为：6006002600600ab a b a b +=++ (元/千克). 因为22()2()a b ab a b a b a a b +--=++，又a b ≠，0a >，0b >，所以2()0()a b a a b ->+ 所以甲的平均单价比乙的高，所以乙的购货方式更合算一些4 分式的运算技巧——裂项法1. 222(2)22()()()()Mx N x b cx ca c x b ca x x x a x b x a x b ++---+-==+-++++ 且22(1)(2)x x x x +-=-+，a b >所以2a =，1b =-，1c a b =+=从而可得21M x =-=，24N b ca =-=-2. 原式1111(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)x x x x x x x x =++++++++++ 111111*********x x x x x x x x =-+-+-+-+++++++ 114x x =-+ 3. 原式()()()()()()()()()()()()a b a c b c b a c a c b a b a c b c b a c a c b -+--+--+-=++------ 111111a c a b b a b c c b c a=+++++------ 0=4. 因为23b c a x x ++-- (2)(3)(3)(2)(2)(3)a x xb xc x x x --+-+-=-- 25632(2)(3)ax ax a bx b cx c x x -++-+-=-- 所以2215632x ax ax a bx b cx c -=-++-+-所以1a =，50a b c -++=，6321a b c --=-解得1a =，3b =-，8c =所以四边形的第四边d 的取值范围应满足138d ++>，138d ++>，182d ++>，381d ++>，解得412d <<5 含有几个相等分式问题的解法1. (1)设275x y z k ===，则2,7,5x k y k z k === ① 2751455x y z k k k z k ++++== ② 27955x y k k z k ++== ③ 27522x y z k k k x k+-+-== (2)设2310254a b b c c a k +-+===则2253104a b k b c k c a k +=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩解得2a k b k c k =⎧⎪=⎨⎪=-⎩56756(14)25898917a b c k k k a b k k +-+--==++ 2. 设a b c d k b c a a==== 则234,,,d ak c dk ak b ck ak a bk ak =======所以41k =，得1k =±当1k =时，a b c d ===，原式0=当1k =-时，a b c d =-==-，原式2=-3. (),(),()k a b c k b c a k c a b +=+=+=于是2()k a b c a b c ++=++因为0a b c ++≠ 所以12k =直线132y x =-的图象经过第一、三、四象限 故选择D4. 设222p q r k x yz y zx z xy===---， 故222(),(),()p k x yz q k y zx r k z xy =-=-=-所以222()9p q r k x y z yz zx xy ++=++---=又px qy rz ++=333()k x xyz y xyz z xyz -+-+-333()k x y z xyz xyz xyz =++--- 222()()k x y z x y z yz zx xy =++++---9()x y z =++所以px qy rz x y z++++9= 6 整数指数幂1. (1)424b a(2)149(3)12510⨯2. 232.6710⨯个 271.67510-⨯ kg 3. (1)因为2310a a -+=，且0a ≠所以213a a += 所以2113a a a a -++== (2) 2212()27a aa a --+=+-= (3)44222()247a a a a --+=+-=4. 1M 表示的数为310.110100-⨯= 1N 表示的数为3511010100--⨯= 1P 5711010100--⨯= 37P 表示的数为637 3.710-=⨯7 分式方程的解法1. (1)原方程分母因式分解为746(1)(1)(1)(1)x x x x x x +=+-+- 去分母得7(1)4(1)6x x x -++= 解得35x =检验知35x =为原方程的根(2) 原方程式变形为22221112x x x x +=+--+- 整理得2212x x x x --=+- 解得12x =检验知12x =为原方程的根 2. (1) 原方程分母因式分解为525710(3)(2)(4)(3)(2)(4)x x x x x x x x x --+=+--+-- 去分母得5(4)(25)(2)(710)(3)x x x x x x -+--=-+解得1x =检验知1x =为原方程的根(2)原方程化为2(7)93(4)93(5)92(6)97456x x x x x x x x -+-+-+-++=+---- 999923327456x x x x +++=+++---- 11117456x x x x +=+---- 11117654x x x x -=----- (6)(7)(4)(5)(7)(6)(5)(4)x x x x x x x x ------=---- 11(7)(6)(5)(4)x x x x =---- 22111342920x x x x =-+-+ 422x = 解得112x = 检验把112x =代入最简公分母(7)(4)(5)(6)0x x x x ----≠，所以112x =是原方程的根3. 去分母，得6(1)(1)(1)m x x x -+=+-如果增根为1x =，则6(11)0m -+=，3m =如果增根为1x =-，则6(11)0m --+=，无解，所以3m =4. 将方程2131462a a x x a+++=-整理得 112323x a x a+=++- 112323x a x a -+=+- 所以23x a -=，或123x a -=故32a x +=或312a x a +=8 列分式方程解应用题1. 设服装厂原来每天加工x 套演出服.根据题意，得603006092x x -+= 解得20x =经检验20x =是原方程的根.2. 设原进价为x 元一件，则第二次进价为(4)x +元一件，依题意得176********x x =+ 解得40x = 经检验40x =是原方程的根 服装店这笔生意第一次购进8000200x =件，第二次购进176004004x =+件，服装店这笔生意共盈利200(5840)400(5844)9200⨯-+⨯-=(元). 3. 设小明在平路上的速度是x km/h ，根据题意，得131011203()66x x -=-， 解得15x =经检验15x =是原方程的根，且符合题意.4. (1)设规定的时间是x 天，则甲单独完成需要(30)x +天，乙单独完成需要(12)x +，由题意，得11120()(20)1301230x x x x ++⨯-=+++， 解得24x =经检验24x =是原方程的根，所以规定的时间是24天;(2)由题意，因为规定时间是24天，所以甲单独完成需要243054+=(天)，乙单独完成需要241236+=(天).留下甲完成需要的时间是:51151()(1)65436654÷++-÷189=+ 27=24>，不能在规定时间完成任务;留下乙完成需要的时间是:51151()(1)1862465436636÷++-÷=+= 能在规定时间完成任务.所以留下乙组好.。
分式奥数题
分式奥数题式分步通分，每一步只通分左边两项．例3 若abc=1，求分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零．解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．例4 化简分式：分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．说明互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．例5 化简计算(式中a，b，c两两不相等)：似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法．解说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解．解令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．例7 化简分式：适当变形，化简分式后再计算求值．(x-4)2=3，即x2-8x+13＝0．原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+1 0=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10=10，原式分母=(x2-8x+13)+2=2，说明本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．解法1 利用比例的性质解决分式问题．(1)若a+b+c≠0，由等比定理有所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有(2)若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有说明比例有一系列重要的性质,在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．解法2 设参数法．令则a+b=(k+1)c，①a+c=(k+1)b，②b+c=(k+1)a．③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以 (a+b+c)(k-1)=0，故有k=1或 a+b+c=0．当k=1时，当a+b+c=0时，说明引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．练习四1．化简分式：2．计算：3．已知：(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2，的值．。
(完整版)八年级奥数：分式的运算
八年级奥数：分式的运算解读课标．分式是表示具体情境中数量关系的工具，由于分式是分数的“代数化”，所以其性质与运算是完全类似的，类比分数学分式是学习分式的重要方法．分式的运算是以分式的基本性质、通分和约分的概念、运算法则为基础，以整式的变形、因式分解为工具．分式的加减运算是分式运算中的重点与难点，怎样合理地通分是化解这一难点的关键，恰当通分的基本策略与技巧有： 1．分步通分； 2．分组通分；3．先约分后再通分； 4．换元后通分等． 问题解决例1 （1）若分式的值为0，则x 的值为____________．（2）如果整数a （a ≠1）使得关于x 的一元一次方程：的解是整数，则该方程所有整数解的和为____________．例2 已知实数a 、b 、c 满足那么的值（ ）． A ．是正数 B ．是零 C ．是负数 D ．可正可负例3 计算 （1）; （2）；4412322++-x x x x a a ax ++=-232.4.0==++abc c b a cb a 111++4214121111x x x x ++++++-)100)(99(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1+++++++++++x x x x x x x x Λ例4 分式中的欧拉公式欧拉是18世纪瑞士著名数学家，他的贡献遍及高等数学的各个领域，同时，在初等数学中也到处留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式，请证明．例5 A 、B 两个家庭同去一家粮店购买大米两次，两次大米的售价有变化，但两个家庭购买的方式不同．其中A 家庭每次购买25千克，B 家庭每次用去25元，且不问购买大米各多少，问谁的购买方式合算？数学冲浪． 知识技能广场1． 埃及算术古埃及人在土地丈量、产品分配等生产生活中积累了许多数学知识．整个埃及数学最特异之处，是一切分数都化为单分数，即分子为1的分数．在一部记录古埃及数学的《赖因德纸草书》中，有相当的篇幅写出了“”型分数分解成单分数的结果，如，则．更一般地，有 取大于2的自然数）． 2．（1）要使分式没有意义，则a 的值为___________．（2）当m =__________时，分式的值为零．3．已知的和等于，则 a =__________，b =__________． 4．化简__________． ⎪⎩⎪⎨⎧=++===--+--+--.3211,00))(())(())((时）（时）（时）（r c b a r r b c a c c a b c b b c a b a a rrr2n 4515192,2814172,1513152+=+=+=)(1)(1112+=n n ()(1)(1122+=-aa231142++-α23)3)(1(2+---m m m m 22-+x b x a 与442-x x =+--÷-+-22229631y xy x y x yx y x5．若分式的值为零，则x 的值为（ ）．A ．±1B ．-1C ．8D ．-1或8 6．已知，则的值等于（ ）． A ．6 B ．-6 C ．D ． 7．化简，其结果是（ ）．8．方程的整数解有（ ）组． A ．1 8．2 C ．3 D ．49．若a 满足请你选取一个合适的数a ，使得代数式的值为一个奇数．10．计算： （1）； （2）．1||)1)(8(-+-x x x 411=-b a bb a b ab a α7222+---215272)22444(22-÷+-++--x x x x x x x 28.28.28.28.++----x D x C x B x A 013=-++y x x 33≤≤-a )11(12aa a -÷-443)2111(2+++÷++-+-x x x x x x x 2]244)2)(1([22-÷--+--+a aa a a a a a a11．试说明下列等式成立： （1）； （2）．思想方法天地 12．已知x 为整数，且为整数，则所有符合条件的x 值的和为_____． 13．已知abc =1，则关于x 的方程的解是___．14．设正整数m ,n ，靠满足m <n ，且则m +n 的值是______________． 15．已知则x =______________． 16．代数式的化简结果是（ ）． 17．设有理数a 、b 、c 都不为零，且． 则的值是（ ）．A ．正数B 负数C ．零D ．不能确定18．甲、乙两人同时从A 地出发沿同一条路线去B 地，若甲用一半的时间以a 千米／时的2222)(1)(1)(1)111(a c c b b a a c c b b a -+-+-=-+-+-ac c b b a b c a c b a a b c b a c c a b a c b -+-+-=---+---+---222))(())(())((918232322-++-++x x x x 2004111=++++++++cac xbc b x ab a x ⋅=++++++++2311)1()1(11222nn m m mm Λ3,2,1=+=+=+xz zxz y yz y x xy 14121111432++++++-x x x x x x 18.65-x x A 18.84-x x B 14.87-x x C 18.87-x x D 0=++c b a 222222222111c b a b a c a c b -++-++-+速度行走，另一半时间以b 千米／时的速度行走；而乙用a 千米／时的速度走了一半的路程，另一半的路程以b 千米／时的速度行走（a ，b 均大于0，且a ≠b ），则（ ）． A ．甲先到达B 地 B ．乙先到达B 地C ．甲乙同时到达B 地D ．甲乙谁先到达B 地不确定 19．存在这样的有理数a 、b 、c 满足a <b <c ，使得分式的值等于（ ）． A ．-2003 B ．0 C ．2003 D ．20．太平盛世，吉祥如意，神舟“五号”，豪气冲天．若能被n +5整除（n 为正整数），则称n 为995的吉祥数．据说，中国载人飞船首飞日期恰好与995的吉祥数有关，试求n 的最大值．21．已知求下式的值： ．应用探究乐园22．用水清洗蔬菜上残留的农药．设用x （x ≥1）单位量的水清洗一次后蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为． ‘现有a （a ≥2）单位的水，可以一次清洗也可以把水平均分成两份后清洗两次．试问用哪种方法清洗后蔬菜上残留的农药量较少?说明理由．ac c b b -+-+-111α2995n +xxx f +=1)(.)2004()2003()2()1()0()1()21()20031()20041(f f f f f f f f f +++++++++ΛΛ11x +23．一分为二 任何一个单位分数都可以写成两个单位分数的和：（n ，p ，q 都是正整数）．显然，这里的p ，q 都大于n ． 如果设p =n +a ，q =，n +b ，那么有． （1）探索上式中的正整数a ，b 与正整数n 之间存在什么样的关系（写出推理过程）；（2）写出等于两个单位分数之和的所有可能情况．1n qp n 111+=bn a n n +++=11116。
初一奥数之分式方程
初一奥数之分式方程专题08 分式方程阅读与思考分母含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化为整式方程，常用的方法有直接去分母、换元法等．在解分式方程中，有可能产生增根．尽管增根必须舍去，但有时却要利用增根， 挖掘隐含条件．例题与求解【例1】 若关于x 的方程22x ax +-＝－1的解为正数，则a 的取值范围是______． （黄冈市竞赛试题）解题思路：化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约．【例2】 已知()22221111x x A B Cx x x x x +-=++--，其中A ，B ，C 为常数．求A ＋B ＋C 的值． （“五羊杯”竞赛试题）解题思路：将右边通分，比较分子，建立A ，B ，C 的等式．【例3】解下列方程： （1）596841922119968x x x x x x x x ----+=+----； （“五羊杯”竞赛试题）（2）222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+； （河南省竞赛试题） （3）2x ＋21x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭＝3． （加拿大数学奥林匹克竞赛试题）解题思路：由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母．需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解．【例4】（1）方程18272938x x x x x x x x +++++=+++++的解是___________． （江苏省竞赛试题）（2）方程222111132567124x x x x x x x ++=+++++++的解是________． （“希望杯”邀请赛试题）解题思路：仔细观察分子、分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口．【例5】若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，试求k 的值与方程的解． （江苏省竞赛试题）解题思路：化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题． 【例6】求方程11156x y z ++=的正整数解． （“希望杯”竞赛试题） 解题思路：易知,,x y z 都大于1，不妨设1＜x ≤y ≤z ，则111x y z≥≥，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计．逐步缩小其取值范围，求出结果．能力训练A 级1．若关于x 的方程1101ax x +-=-有增根，则a 的值为________． （重庆市中考试题） 2．用换元法解分式方程21221x x x x --=-时，如果设21x x-＝y ，并将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是___________． （上海市中考试题） 3．方程2211340x x x x ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭的解为__________． （天津市中考试题） 4．两个关于x 的方程220x x --=与132x x a=-+有一个解相同，则a ＝_______． （呼和浩特市中考试题）5．已知方程11x a x a+=+的两根分别为a ，1a ，则方程1111x a x a +=+--的根是（ ）．A ．a ，11a - B ．11a -，1a - C ．1a ，1a - D ．a ，1a a - （辽宁省中考试题）6．关于x 的方程211x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞－1 B ．m ＞－1且m ≠0 C ．m ＜－1 D ．m ＜－l 且m ≠－2（孝感市中考试题）7．关于x 的方程22x c x c +=+的两个解是x 1＝c ，x 2＝2c ，则关于x 的方程2211x a x a +=+--的两个解是（ ） ． A ．a ，2a B ．a －1，21a - C ．a ，21a - D ．a ，11a a +- 8．解下列方程：（1）()2221160x x x x+++-=； （苏州市中考试题）（2）2216104933x x x x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭． （盐城市中考试题）9．已知13x x +=．求x 10＋x 5＋51011x x+的值．10．若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解（相等的两根算作一个），求k 的值． （黄冈市竞赛试题）11．已知关于x 的方程x 2＋2x ＋221022m x x m-=+-，其中m 为实数.当m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根?求出这三个实数根.（聊城市中考试题）12．若关于x 的方程()()122112x x ax x x x x ++-=+--+无解，求a 的值． （“希望杯”邀请赛试题）B 级1．方程222211114325671221x x x x x x x x +++=+++++++的解是__________． （“祖冲之杯”邀请赛试题）2．方程222111011828138x x x x x x ++=+-+---的解为__________． 3．分式方程()()1112x m x x x -=--+有增根，则m 的值为_________． 4．若关于x 的分式方程22x ax +-＝－1的解是正数，则a 的取值范围是______． （黑龙江省竞赛试题）5．（1）若关于x 的方程2133m x x =---无解，则m ＝__________． （沈阳市中考试题） （2）解分式方程225111m x x x +=+--会产生增根，则m ＝______． （“希望杯”邀请赛试题） 6．方程33116x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的解的个数为（ ）． A ．4个 B ．6个 C ．2个 D ．3个 7．关于x 的方程11ax =+的解是负数，则a 的取值范围是（ ） ． A ．a ＜l B ．a ＜1且a ≠0 C ．a ≤1 D ．a ≤1且a ≠0（山西省竞赛试题）8．某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a 倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b 倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c 倍，则111111a b c +++++的值是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4（江苏省竞赛试题）9．已知关于x 的方程（a 2－1）()2271011x x a x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x 1，x 2，且121231111x x x x +=--，求a 的值. （TI 杯全国初中数学竞赛试颞）10．求方程22x －xy 3x -＋y ＋2006＝0的正整数解.（江苏省竞赛试题）11．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降. 今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1 元．如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元．今年销售额只有8万元． （1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元?（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案?（3）如果乙种电脑每台售价为3 800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a 元．要使（2）中所有方案获利相同，a 值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？（齐齐哈尔市中考试题）专题08 分式方程例1 a ＜2且a ≠－4例2 原式右边＝22(1)+B(1)(1Ax x x Cx x x --+-）＝2222()()211(1)(1)A C xB A x B x x x x x x ++--+-=--得2111A C B A B +=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩∴1011,8.A B C =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴A ＋B ＋C ＝13．例3 （1）x ＝12314提示：1155(5)(1)(4)(2)191968x x x x -++=++-----． （2）1,2x =，x 3＝－1，x 4＝－4 提示：令223.4x xy x x +=+-（3）1,2x =提示222222()().111x x x x x x x +=++++例4 （1）原方程化为11111+111+2+9+3+8x x x x --=-+-，即1111+3+2+9+8x x x x -=-，进一步可化为(x ＋2) (x ＋3)＝(x ＋8) (x ＋9)，解得x ＝－112．（2）原方程化为1111111+1+2+2+3+3+4+4x x x x x x x -+-+-=，即12+14x x =+，解得x ＝2． 例5 原方程化为kx 2－3kx ＋2x －1＝0①，当k ＝0时，原方程有唯一解x ＝12；当k ≠0，Δ＝5k 2＋4(k －1)2＞0．由题意知，方程①必有一根是原方程的曾根，即x ＝0或x ＝1，显然0不是①的根，故x ＝1是方程①的根，代入的k ＝12．∴当k ＝0或12时，原方程只有一个解． 例6 11113x x y z x <++≤，即1536x x <≤，因此得x ＝2或3．当x ＝2时，111x x y <+＝511112623y y y -=≤+=，即1123y y<≤，由此可得y ＝4或5或6；同理，当x ＝3时，y ＝3或4，由此可得当1≤x ≤y ≤z 时，(x ，y ，z )共有(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)4组；由于x ，y ，z 在方程中地位平等，可得原方程组的解共15组：(2，4，12)，(2，12，4)， (4，2，12)，(4，12，2)，(12，2，4)，(12，4，2)，(2，6，6)，(6，2，6)，(6，6，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(3，4，4) ，(4，4，3) ，(4，3，4)．A 级1．－1 2．y 2－2y －1＝0 3．1 4．－8 5．D 6．D 7．D8．(1)12123x x ==-， (2)1226x x ==-，,3,43x =-9．15250 提示：由x ＋13x =得2217.x x +=则2211()()21x x x x ++=，得33118x x+=． 于是221()x x +331()126x x +=，得551123x x +=．进一步得1010115127x x +=．故原式＝15250．10．k ＝0或k ＝12提示：原方程化为kx 2－3kx ＋2x －1＝0，分类讨论． 11．设x ＋2x ＝y ，则原方程可化为y 2－2my ＋m 2－1＝0，解得y 1＝m ＋1，y 2＝m －1．∵x 2＋2x －m －1＝0①，x 2＋2x －m ＋1＝0②，从而Δ1＝4m ＋8，Δ2＝4m 中应有一个等于零，一个大于零．经讨论，当Δ2＝0即m ＝0时，Δ1＞0，原方程有三个实数根．将m ＝0代入原方程，解得123111.x x x ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩12 原方程“无解”内涵丰富:可能是化得的整式方程无解,亦可能是求得的整式方程的解为増根,故需全面讨论.原方程化为(a+2)x =－3 ① , ∵原方程无解,∴a+2=0或x －1=0,x+2=0,得B 级1. 3或 － 72. x ₁=8 , x ₂=－1 , x ₃=－8 , x ₄=1 提示: 令x ²－8=y3. 3 提示:由有増根可得m=0或 m=3,但当 m=0,化为整式方程时无解4. a<2 且 a ≠－45. ⑴ －2 ⑵ －4 或 －106. A7.8. 设甲单独做需要x 天完成,乙单独做需要y 天完成,丙单独做需要z 天完成则.解 . 当a ≠±1时,则Δ≥0,原方程有实数解.由Δ=[-﹙2a+7﹚]²-4﹙a ²-1﹚≥0,解得.21-5,2,21-a 5,－=a 分别别代入①2－= x 1,=x 把 2,－=a 或综上知--==a 0≠1a ∴ 0,≠11 0≠1x 1a 01-a x ∴,111x a: a a x a B 且即且由提示<+-+<⇒<=+=⇒=+1xy +=++a yz yzxz 得⑥⑤④, ⑥11yz xz xy xy ⑤,11yz xz xy xz ④.11yz xz xy yz ∴+++=+++=+++=++c b a 同理可得111111a 1=+++++c b 得,01.01)72(1)t -(a 1,≠,1⑴....9222=-=++-=-a t a t t x x当原方程可化为则设.,?=a , 41-=x 81-=x ∴, 51=1-x 91=1-x 0=1+5-0=1+9-, ?=原方程有实数解时当故或或即或则方程为时即x x t t a 且当综上可知由于解得时但当又,2853－≥,,2853－>22±1,22±1=a ,1=t 1,≠t ,2853－≥a a .,22±1≠原方程有实数解时a253,,10.28a a <-=∴=故应当舍去22232006()2321006,1,10.? 1x x y x x x y x x -+=-+≠--∴=把原方程变形为200521,2005120055401,11,5,401,2005,1(x,y)=(2,2008),(6,412),(402,808),(2006,4012)x x x =-+=⨯=⨯-=-分别取从而 1000008000011 (1),,10004000,4000,4000.(2),48003500+3000(15)50000,6x 10.x ,,,,,.x x xx x x x x =+==≤-≤≤≤设今年三月份甲种电脑每台售价元由题意得解得经检验是原方程的根所以甲种电脑每台售价元设购进甲种电脑台由题意得解得因为的正整数解为678910所以共有5种进货方案(3)设总获利为W 元,则W=(4-35)x+(3800-3-a)(15-x)=(a-300)x+12-15a当a=300时,(2)中所有方案获利相同,此时购买甲种电脑6台,乙钟电脑9台时对公司更有利。
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分式奥数题Revised on November 25, 2020
分式的化简与求值
分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．
例1化简分式：分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．
＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］
说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．
例2当a=2时的值时,求分式
分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-
b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．
例3若abc=1，求
分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．
解法1因为abc=1，所
以a，b，c都不为零．解法2因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．
例4化简分式：
分析与解三个分式
一齐通分运算量
大，可先将每个分
式的分母分解因式，然后再化简．
说明
互消
掉的一对相反数，这
种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．
例5化简计算(式中a，b，c两两不相等)：
似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-
b)+(a-c)，因此有下面的解法．
解
说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用
例6已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求
分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解．
解令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为
u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．
由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有
说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．例7化简分式：
适当变形，化简分式后再计算求值．
(x-4)2=3，即x2-8x+13＝0．
原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10
=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10
=10，
原式分母=(x2-8x+13)+2=2，
说明本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．
解法1利用比例的性质解决分式问题．
(1)若a+b+c≠0，由等比定理有
所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，
于是有
(2)若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，
于是有
说明比例有一系列重要的性质,在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．
解法2设参数法．令
则a+b=(k+1)c，①
a+c=(k+1)b，②
b+c=(k+1)a．③
①+②+③有
2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，
所以(a+b+c)(k-1)=0，
故有k=1或a+b+c=0．
当k=1时，
当a+b+c=0时，
说明引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．
练习四
1．化简分式：
2．计算：
3．已知：(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2，
的值．。