中考数学易错题精选-旋转练习题附详细答案

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图形的平移,对称与旋转的易错题汇编附答案

图形的平移,对称与旋转的易错题汇编附答案

图形的平移,对称与旋转的易错题汇编附答案一、选择题1.如图,正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上,点()5,3D 在边AB 上,以C 为中心,把CDB △旋转90︒,则旋转后点D 的对应点'D 的坐标是( )A .()2,10B .()2,0-C .()2,10或()2,0-D .()10, 2或()2,0-【答案】C【解析】【分析】 先根据正方形的性质求出BD 、BC 的长,再分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况,然后分别根据旋转的性质求解即可得.【详解】四边形OABC 是正方形,(5,3)D5,3,2,90BC OC AB OA AD BD AB AD B ∴======-=∠=︒由题意,分以下两种情况:(1)如图,把CDB △逆时针旋转90︒,此时旋转后点B 的对应点B '落在y 轴上,旋转后点D 的对应点D 落在第一象限由旋转的性质得:2,5,90B D BD B C BC CB D B '''''====∠=∠=︒10OB OC B C ''∴=+=∴点D 的坐标为(2,10)(2)如图,把CDB △顺时针旋转90︒,此时旋转后点B 的对应点B ''与原点O 重合,旋转后点D 的对应点D ''落在x 轴负半轴上由旋转的性质得:2,5,90B D BD B C BC CB D B ''''''''''====∠=∠=︒∴点D ''的坐标为(2,0)-综上,旋转后点D 的对应点D 的坐标为(2,10)或(2,0)-故选:C .【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识点,依据题意,正确分两种情况讨论是解题关键.2.下列全国各地地铁标志图中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】试题解析:选项A既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故该该选项错误;选项B既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故该选项错误;选项C 既是轴对称图形,也是中心对称图形,故该选项正确;选项D是轴对称图形,但不是中心对称图形,故该选项错误.故选C.【详解】请在此输入详解!3.如图,周长为16的菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,AD上,AE=1,AF=3,P为BD上一动点,则线段EP+FP的长最短为( )A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】试题分析:在DC上截取DG=FD=AD﹣AF=4﹣3=1,连接EG,则EG与BD的交点就是P.EG 的长就是EP+FP的最小值,据此即可求解.解:在DC上截取DG=FD=AD﹣AF=4﹣3=1,连接EG,则EG与BD的交点就是P.∵AE=DG,且AE∥DG,∴四边形ADGE是平行四边形,∴EG=AD=4.故选B.4.下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是()A.等边三角形B.干行四边形C.正六边形D.圆【答案】A【解析】【分析】【详解】解: A、是轴对称图形,不是中心对称图形,符合题意;B、不是轴对称图形,是中心对称图形,不合题意;C、是轴对称图形,也是中心对称图形,不合题意;D、是轴对称图形,也是中心对称图形,不合题意.故选A.【点睛】本题考查中心对称图形;轴对称图形.5.如图,在锐角△ABC中,AB=4,∠ABC=45°,∠ABC的平分线交AC于点D,点P,Q 分别是BD,AB上的动点,则AP+PQ的最小值为()A.4 B.2C.2 D.2【答案】D【解析】【分析】作AH ⊥BC 于H ,交BD 于P′,作P′Q′⊥AB 于Q′,此时AP′+P′Q′的值最小.【详解】作AH ⊥BC 于H ,交BD 于P′,作P′Q′⊥AB 于Q′,此时AP′+P′Q′的值最小.∵BD 平分∠ABC ,P′H ⊥BC ,P′Q′⊥AB ,P′Q′=P′H ,∴AP ′+P ′Q ′=AP ′+P ′H=AH ,根据垂线段最短可知,PA+PQ 的最小值是线段AH 的长,∵AB=4,∠AHB=90°,∠ABH=45°,∴AH=BH=22.故选:D .【点睛】考查了轴对称-最短路线问题,解题关键是从已知条件结合图形认真思考,通过角平分线性质,垂线段最短,确定线段和的最小值.6.如图,在ABC ∆中,5AB =,3AC =,4BC =,将ABC ∆绕一逆时针方向旋转40︒得到ADE ∆,点B 经过的路径为弧BD ,则图中阴影部分的面积为( )A .1463π- B .33π+ C .3338π- D .259π 【答案】D【解析】【分析】 由旋转的性质可得△ACB ≌△AED ,∠DAB=40°,可得AD=AB=5,S △ACB =S △AED ,根据图形可得S 阴影=S △AED +S 扇形ADB -S △ACB =S 扇形ADB ,再根据扇形面积公式可求阴影部分面积.【详解】∵将△ABC 绕A 逆时针方向旋转40°得到△ADE ,∴△ACB ≌△AED ,∠DAB=40°,∴AD=AB=5,S △ACB =S △AED ,∵S 阴影=S △AED +S 扇形ADB -S △ACB =S 扇形ADB ,∴S 阴影=4025360π⨯=259π, 故选D. 【点睛】本题考查了旋转的性质,扇形面积公式,熟练掌握旋转的性质:①对应点到旋转中心的距离相等;②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;③旋转前、后的图形全等.7.下列图形中,不是中心对称图形的是( )A .平行四边形B .圆C .等边三角形D .正六边形 【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义依次判断各项即可解答.【详解】选项A 、平行四边形是中心对称图形;选项B 、圆是中心对称图形;选项C 、等边三角形不是中心对称图形;选项D 、正六边形是中心对称图形;故选C .【点睛】本题考查了中心对称图形的判定,熟知中心对称图形的定义是解决问题的关键.8.如图,将ABC 绕点A 逆时针旋转110,得到ADE ,若点D 在线段BC 的延长线上,则ADE ∠的大小为( )A .55B .50C .45D .35 【答案】D【解析】【分析】 根据旋转的性质可得AB AD =,BAD 110∠=,ADE ABC ∠∠=,根据等腰三角形的性质可得ABC ADE 35∠∠==.【详解】如图,连接CD ,将ABC 绕点A 逆时针旋转110,得到ADE ,AB AD ∴=,BAD 110∠=,ADE ABC ∠∠=,∴∠ABC=∠ADB=(180°-∠BAD )÷2=35°,∴∠ADE=ABC 35∠=,故选D .【点睛】本题考查了旋转的性质,等腰三角形的性质,熟练运用旋转的性质是解本题的关键.9.如图,在边长为1522的正方形ABCD 中,点E ,F 是对角线AC 的三等分点,点P 在正方形的边上,则满足PE+PF=55的点P 的个数是( )A .0B .4C .8D .16【答案】B【解析】【分析】 作点F 关于BC 的对称点M ,连接EM 交BC 于点P ,则PE+PF 的最小值为EM ,由对称性可得CM=5,∠BCM=45°,根据勾股定理得EM=55【详解】作点F 关于BC 的对称点M ,连接EM 交BC 于点P ,则PE+PF 的最小值为EM . ∵正方形ABCD 1522, ∴15222=15, ∵点E ,F 是对角线AC 的三等分点,∴EC=10,FC=AE=5,∵点M 与点F 关于BC 对称,∴CF=CM=5,∠ACB=∠BCM=45°,∴∠ACM=90°,∴222210555EC CM +=+=∴在BC边上,只有一个点P满足PE+PF=55,同理:在AB,AD,CD边上都存在一个点P,满足PE+PF=55,∴满足PE+PF=55的点P的个数是4个.故选B.【点睛】本题主要考查正方形的性质,勾股定理,轴对称的性质,熟练掌握利用轴对称的性质求两线段和的最小值,是解题的关键.10.下列图形是我国国产品牌汽车的标识,在这些汽车标识中,是中心对称图形的是()A.B.C.D.【答案】B【解析】由中心对称图形的定义:“把一个图形绕一个点旋转180°后,能够与自身完全重合,这样的图形叫做中心对称图形”分析可知,上述图形中,A、C、D都不是中心对称图形,只有B是中心对称图形.故选B.11.在下列图形中是轴对称图形的是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解.【详解】A.不是轴对称图形,故本选项不符合题意,B.是轴对称图形,故本选项符合题意,C.不是轴对称图形,故本选项不符合题意,D.是不轴对称图形,故本选项不符合题意.故选B.【点睛】本题考查了轴对称的知识,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.12.如图,将ABC沿射线BC方向平移2 cm得到DEF.若ABC的周长为13 cm,则四边形ABFD的周长为()A.12 cm B.15 cm C.17 cm D.21 cm【答案】C【解析】【分析】根据平移的特点得AD=BE=CF=2,将四边形ABFE的周长分解为AB+BC+DF+AD+CF的形式,其中AB+BC+DF=AB+BC+AC为△ABC的周长.【详解】∵△DEF是△ABC向右平移2个单位得到∴AD=CF=BE=2,AC=DF四边形ABFD的周长为:AB+BC+DF+AD+CF=(AB+BC+AC)+(AD+CF)=13+2+2=17故选:C .【点睛】本题考查平移的性质,需要注意,平移前后的图形是完全相同的,且对应点之间的线段长即为平移距离.13.如图,在ABC ∆中,2AB =,=3.6BC ,=60B ∠,将ABC ∆绕点A 顺时针旋转度得到ADE ∆,当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时,则CD 的长为( )A .1.6B .1.8C .2D .2.6【答案】A【解析】【分析】 由将△ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE ,当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上,可得AD=AB ,又由∠B=60°,可证得△ABD 是等边三角形,继而可得BD=AB=2,则可求得答案.【详解】由旋转的性质可知,AD AB =,∵60B ∠=,AD AB =,∴ADB ∆为等边三角形,∴2BD AB ==,∴ 1.6CD CB BD =-=,故选:A .【点睛】此题考查旋转的性质,解题关键在于利用旋转的性质得出AD=AB14.下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )A .B .C .D .【答案】D【解析】A. 此图形不是中心对称图形,不是轴对称图形,故A 选项错误;B. 此图形是中心对称图形,也是轴对称图形,故B 选项错误;C. 此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故D 选项错误.D. 此图形是中心对称图形,不是轴对称图形,故C选项正确;故选D.15.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【详解】A、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项不符合题意;B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不符合题意;C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意;D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项符合题意.故选:A.【点睛】此题考查中心对称图形与轴对称图形的概念.解题关键在于掌握轴对称图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.16.下列图形中,是轴对称图形不是中心对称图形的是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】轴对称图形是指平面内,一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形;而在平面内,把一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,据此进一步判断求出答案即可.【详解】A:是轴对称图形,但不是中心对称图形,符合题意;B:是轴对称图形,也是中心对称图形,不符合题意;C:是中心对称图形,但不是轴对称图形,不符合题意;D:是轴对称图形,也是中心对称图形,不符合题意;故选:A.【点睛】本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的识别,熟练掌握相关概念是解题关键.17.下列图形中,不是轴对称图形的是()A.有两个内角相等的三角形 B.有一个内角为45°的直角三角形C.有两个内角分别为50°和80°的三角形 D.有两个内角分别为55°和65°的三角形【答案】D【解析】A.有两个内角相等的三角形是等腰三角形,等腰三角形是轴对称图形;B.有一个内角为45度的直角三角形是等腰直角三角形,也是等腰三角形,是轴对称图形;C.有两个内角分别为50度和80度的三角形,第三个角是50度,故是等腰三角形,是轴对称图形;D.有两个内角分别为55度和65度的三角形,不是等腰三角形,不是轴对称图形.故选:D.18.下列图形中,不一定是轴对称图形的是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】A.等腰三角形是轴对称图形,不符合题意;B.等边三角形是轴对称图形,不符合题意;C.直角三角形不一定是轴对称图形,符合题意;D.等腰直角三角形是轴对称图形,不符合题意.故选C.19.对于图形的全等,下列叙述不正确的是()A.一个图形经过旋转后得到的图形,与原来的图形全等B.一个图形经过中心对称后得到的图形,与原来的图形全等C.一个图形放大后得到的图形,与原来的图形全等D.一个图形经过轴对称后得到的图形,与原来的图形全等【答案】C【解析】A. 一个图形经过旋转后得到的图形,与原来的图形全等,正确,不符合题意;B. 一个图形经过中心对称后得到的图形,与原来的图形全等,正确,不符合题意;C. 一个图形放大后得到的图形,与原来的图形不全等,故错误,符合题意;D. 一个图形经过轴对称后得到的图形,与原来的图形全等,正确,不符合题意,故选C.【点睛】本题考查了对全等图形的认识,解题的关键是要明确通过旋转、轴对称、平移等都可以得到与原图形全等的图形,而通过放大或缩小只能得到与原图形形状一样的图形,得不到全等图形.20.如图,圆柱形玻璃杯高为8cm,底面周长为48cm,在杯内壁离杯底3cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁上,它在离杯上沿2cm且与蜂蜜相对的A处,则蚂蚁从外壁A处走到内壁B处,至少爬多少厘米才能吃到蜂蜜()+D.382A.24 B.25 C.23713【答案】B【解析】【分析】将圆柱形玻璃杯的侧面展开图为矩形MNPQ,设点A关于MQ的对称点为A′,连接A′B,则A′B就是蚂蚁从外壁A处走到内壁B处的最短距离,再根据勾股定理,即可求解.【详解】圆柱形玻璃杯的侧面展开图为矩形MNPQ,则E、F分别是MQ,NP的中点,AM=2cm,BF=3cm,设点A关于MQ的对称点为A′,连接A′B,则A′B就是蚂蚁从外壁A处走到内壁B处的最短距离.过点B作BC⊥MN于点C,则BC=ME=24cm,A′C=8+2-3=7cm,∴在Rt∆A′BC中,A′B=2222′cm.+=+=72425A C BC故选B.【点睛】本题主要考查图形的轴对称以及勾股定理的实际应用,把立体图形化为平面图形,掌握“马饮水”模型,是解题的关键.。

中考数学旋转综合题及详细答案

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则∠ AFG=90°. ∵ ∠ ABH=∠ G=60°,AB=a,AG=2a,
∴ AH=AB×sin60°= 3 a,AF=AG×sin60°= 3 a. 2
∴ 点 F 到 BC 的最大距离为 3 a+ 3 a= 3 3 a. 22
∴ S△ BCF= 1 ×2a× 3 3 a= 3 3 a2.
2
22
PC=
=6.
考点:1.扇形面积的计算;2.正方形的性质;3.旋转的性质.
3.如图 1, ABCD 和 AEFG 是两个能完全重合的平行四边形,现从 AB 与 AE 重合时开 始,将 ABCD 固定不动, AEFG 绕点 A 逆时针旋转,旋转角为 α(0°<α<360°), AB=a,BC=2a;并发现:如图 2,当 AEFG 旋转到点 E 落在 AD 上时,FE 的延长线恰好通过 点 C.
(2)根据面积公式得出 S△ GHK=S 四边形 CKGH-S△ CKH= 1 x2-3x+9,根据△ GKH 的面积恰好等于 2

ABC 面积的
5
,代入得出方程 1
x2-3x+9=
5
1
×
×6×6,求出即可.
12
2
12 2
解:(1)BH 与 CK 的数量关系:BH=CK,理由是:
连接 OC,
由直角三角形斜边上中线性质得出 OC=BG, ∵ AC=BC,O 为 AB 中点,∠ ACB=90°, ∴ ∠ B=∠ ACG=45°,CO⊥AB, ∴ ∠ CGB=90°=∠ KGH, ∴ 都减去∠ CGH 得:∠ BGH=∠ CGK, 在△ CGK 和△ BGH 中

1
x2﹣3x+9=
5
1
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人教版九年级上册数学第二十三章《旋转》练习题(附答案)

人教版九年级上册数学第二十三章《旋转》练习题(附答案)

人教版九年级上册数学第二十三章《旋转》练习题一、单选题1.在下列四个图案中,不是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.3.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()A. B. C. D.4.下列图形中,只是中心对称图形而不是轴对称图形的是()A. B. C. D.5.如图是我国几家银行的标志,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.6.如图,在4×4正方形网格中,已将图中的四个小正方形涂上阴影,若再从图中选一个涂上阴影,使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形,那么不符合条件的小正方形是()A. ①B. ②C. ③D. ④7.下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.8.下列图案中,是中心对称图形的是()A. B. C. D.9.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转46°得到Rt△A′B′C,点A在边B′C 上,则∠ACB的大小为()A. 23°B. 44°C. 46°D. 54°10.下列图形,是中心对称图形的是( )A. B. C. D.11.将△ABC绕原点旋转180°得到△A′B′C′,设点A的坐标为(a,b),则点A′的坐标为()A. (−a,−b)B. (a,−b)C. (−a,b)D. (a,b)12.下列图形中,是中心对称图形,但不是轴对称图形的是()A. 平行四边形B. 线段C. 等边三角形D. 抛物线13.下列图形中,是中心对称图形的是()A. B. C. D.14.道路千万条,安全第一条,下列交通标志是中心对称图形的为()A. B. C. D.15.下列图形,既是中心对称图形又是轴对称图形的是()A. B. C. D.二、填空题16.如图,四边形ABCD中,AB=AD,AC=6,∠DAB=∠DCB=90°,则四边形ABCD的面积为________.17.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2.将△ABC绕点B逆时针旋转60°,得到△A1BC1,则AC边的中点D与其对应点D1的距离是________.18.如图,在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC于点D,若BD=3,CD=2.则△ABC的面积为________.19.已知点A(﹣2,3)与A1关于点P(0,2)成中心对称,A1的坐标是________ .20.如图,在正方形ABCD中,E为DC边上的点,连接BE,将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF,连接EF,若∠BEC=60°,则∠EFD的度数为________度.21.一个长方形绕它的一条边旋转一周形成的几何体为________,将一个直角三角形绕着一条直角边旋转一周得到的几何体为________.22.如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′,其中̂,则图中阴影部分的面积为________.点C的运动路径为CC′23.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,将△ABC绕着点C逆时针旋转后得到的△A′B′C的斜边A′B′经过点A,那么∠ACA'的度数是________ 度.24.如图,在平面直角坐标系中,将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后,得到线段AB′,则点B′的坐标为________.25.如图,已知半⊙O的直径AB=8,将半⊙O绕A点逆时针旋转,使点B落在点B'处,AB'与半⊙O交于点C,若图中阴影部分的面积是8π,则弧BC的长为________.26.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,且AC=BC.点D是△ABC内的一点,将△ACD以点C为中心顺时针旋转90°得到△BCE,若点A、D、E共线,则∠AEB的度数为________.27.如图,如果边长为1的等边△PQR沿着边长为1的正方形ABCD的外部的边如图位置开始顺时针连续滚动,当它滚动4次时,点P所经过的路程是________.28.如图,在△ACB中,∠BAC=50°,AC=2,AB=3,现将△ACB绕点A逆时针旋转50°得到△AC1B1,则阴影部分的面积为________.29.点(﹣2,1)关于原点对称的点的坐标为________.30.如图,将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45后,得到△COD,如果∠AOB=15,则∠AOD的度数是________.三、解答题31.在平面直角坐标系中,点A的坐标是(0,3),点B在x轴上,将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF,点O、B的对应点分别是点E、F.(1)若点B的坐标是(﹣4,0),请在图中画出△AEF,并写出点E、F的坐标.(2)当点F落在x轴的上方时,试写出一个符合条件的点B的坐标.∠ABC(0°<∠CBE<32.(1)如图1,在△ABC中,BA=BC,D,E是AC边上的两点,且满足∠DBE=121∠ABC),以点B为旋转中心,将△BEC按逆时针旋转,得到△BE′A(点C与点A重合,点E到点E′处)连接2DE′.求证:DE′=DE.∠ABC(0°<∠CBE (2)如图2,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°,D,E是AC边上的两点,且满足∠DBE=12<∠45°).求证:DE2=AD2+EC2.33.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣3,5),B(﹣2,1),C(﹣1,3).①若△ABC经过平移后得到△A1B1C1,已知点C1的坐标为(4,0),写出顶点A1,B1的坐标;②若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形,写出△A2B2C2的各顶点的坐标;③将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3,写出△A3B3C3的各顶点的坐标.34.如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(﹣3,5),C(﹣4,1).①把△ABC向右平移2个单位得△A1B1C1,请画出△A1B1C1,并写出点A1的坐标;②把△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2.35.如图,△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,连接BE、CF相交于点D.(1)求证:BE=CF;(2)当四边形ACDE为菱形时,求BD的长.36.如图,按要求涂阴影:(1)将图形①平移到图形②;(2)将图形②沿图中虚线翻折到图形③;(3)将图形③绕其右下方的顶点旋转180°得到图形④.37.以给出的图形“○,○,△,△, =”(两个相同的圆、两个相同的等边三角形、两条线段)为构件,各设计一个构思独特且有意义的轴对称图形或中心对称图形.举例:如图,左框中是符合要求的一个图形.你还能构思出其他的图形吗?请在右框中画出与之不同的图形.38.在平面直角坐标系中,∆ABC的顶点坐标是A(-7,1)、B(1,1)、C(1,7),线段DE的端点坐标是D(7,-1)、E(-1,-7)(1)试说明如何平移线段AC,使其与线段ED重合将线段AC先向______(上,下)平移_______个单位,再向_______(左,右)平移_______个单位;(2)将∆ABC绕坐标原点逆时针旋转,使AC的对应边为DE,请直接写出点B的对应点F的坐标;(3)画出(2)中的∆DEF,并和∆ABC 同时绕坐标原点O逆时针旋转90o,画出旋转后的图形.39.如图,已知反比例函数y=m(m是常数,m≠0),一次函数y=ax+b(a、b为常数,a≠0),其中一x次函数与x轴,y轴的交点分别是A(-4,0),B(0,2).(1)求一次函数的关系式;(2)反比例函数图象上有一点P满足:①PA⊥x轴;②PO=√17(O为坐标原点),求反比例函数的关系式;(3)求点P关于原点的对称点Q的坐标,判断点Q是否在该反比例函数的图象上.40.已知|2﹣m|+(n+3)2=0,点P1、P2分别是点P(m,n)关于y轴和原点的对称点,求点P1、P2的坐标.四、综合题41.在下列网格图中,每个小正方形的边长均为1个单位.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.(1)试在图中做出△ABC以A为旋转中心,沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1;(2)若点B的坐标为(﹣3,5),试在图中画出直角坐标系,并标出A、C两点的坐标;(3)根据(2)的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2,并标出B2、C2两点的坐标.42.将□OABC放在平面直角坐标系中,O为原点,点C(-6,0),点A在第一象限,OA=2,∠A=60°,AB 与y轴交于点N.(1)如图①,求点A的坐标:(2)如图②,将平行四边形OABC绕点O逆时针旋转得到平行四边形OA'B'C',当点A的对应点A'落在y 轴正半轴上时,求旋转角及点B的对应点B'的坐标:(3)将平行四边形OABC绕点A旋转得到平行四边形DAEF,使点B的对应点E落在直线OA上,请在图③中画出旋转后的图形,并直接写出OE、AB、BC之间的关系.43.在数学课上,老师要求学生探究如下问题:(1)如图1,在等边三角形ABC内有一点P,PA=2,PB=√3,PC=1,试求∠BPC的度数.李明同学一时没有思路,当他认真分析题目信息后,发现以PA、PB、PC的长为边的三角形是直角三角形,他突然有了正确的思路:如图2,将△BPC绕点B逆时针旋转60°,得到△BP′A.连接PP',易得△P′PB 是正三角形,△P′PA是直角三角形,则得∠BPC=________;(2)如图3,在正方形ABCD内有一点P,PA=√5,PB=√2,PC=1,试求∠BPC的度数.(3)在图3中,若在正方形ABCD内有另一点Q,QA=a,QB=b,QC=c(a>b,a>c),试猜想当a,b,c满足什么条件时,∠BQC的度数与第(2)问中∠BPC的度数相等,请直接写出结论.44.如图1,四边形ABCD是边长为3√2的正方形,矩形AEFG中AE=4,∠AFE=30°。

中考数学二轮 旋转 专项培优 易错 难题附详细答案

中考数学二轮 旋转 专项培优 易错 难题附详细答案

一、旋转 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.在△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=α(︒<<︒600α),将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD 。

(1)如图1,直接写出∠ABD 的大小(用含α的式子表示); (2)如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE 的形状并加以证明; (3)在(2)的条件下,连结DE ,若∠DEC=45°,求α的值。

【答案】(1)1302α︒-(2)见解析(3)30α=︒【解析】解:(1)1302α︒-。

(2)△ABE 为等边三角形。

证明如下:连接AD ,CD ,ED ,∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD , ∴BC=BD ,∠DBC=60°。

又∵∠ABE=60°,∴1ABD 60DBE EBC 302α∠=︒-∠=∠=︒-且△BCD 为等边三角形。

在△ABD 与△ACD 中,∵AB=AC ,AD=AD ,BD=CD ,∴△ABD ≌△ACD (SSS )。

∴11BAD CAD BAC 22α∠=∠=∠=。

∵∠BCE=150°,∴11BEC 180(30)15022αα∠=︒-︒--︒=。

∴BEC BAD ∠=∠。

在△ABD 和△EBC 中,∵BEC BAD ∠=∠,EBC ABD ∠=∠,BC=BD , ∴△ABD ≌△EBC (AAS )。

∴AB=BE 。

∴△ABE 为等边三角形。

(3)∵∠BCD=60°,∠BCE=150°,∴DCE 1506090∠=︒-︒=︒。

又∵∠DEC=45°,∴△DCE 为等腰直角三角形。

∴DC=CE=BC 。

∵∠BCE=150°,∴(180150)EBC 152︒-︒∠==︒。

而1EBC 30152α∠=︒-=︒。

∴30α=︒。

(1)∵AB=AC ,∠BAC=α,∴180ABC 2α︒-∠=。

初中数学《旋转》专题100题含答案

初中数学《旋转》专题100题含答案
(1)试猜想四边形AB‸′是什么特殊四边形,并说明理由;
(2)连接h′,C‸,如图③,求证:四边形C‸′h是平行四边形.
24.如图,将OABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A、B、C均落在格点上,将线段
AB绕点B顺时针旋转9to.得线段A'B,点A的对应点为A',连接AA'交线段BC于点‸.
(1)写出点B的坐标;
(2)画出O ABC绕点0旋转1‸to后得到的图形O A1B1C1,并写出点B1的坐标?
33. 如图,在建立了平面直角坐标系的正方形网格中,A2t2,B1tt,C3t1.
(1)画出O ABC关于x轴对称的O A1B1C1.
(1)作出旋转后的图形.
(2)C‸=.
‸B
25.如图,已知正方形ABC‸中,Bh平分²‸BC且交C‸边于点h,将OBCh绕点C顺时针旋转到
O‸C′的位置,并延长Bh交‸′于点G.
(1)求证:O B‸G∽O ‸hG;
(2)若hG · BG = t,求Bh的长.
26.如图,在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中,有一个OABC和一点0,OABC
(3)求出在O ABC旋转的过程中,点C经过的路径长.
7.正方形ABC‸的边长为3,h,′分别是AB,BC边上的点,且²h‸′=t5o.将O‸Ah绕点‸
逆时针旋转9to,得到O ‸Ch.
(1)求证:h′=′h
(2)当Ah=1时,求h′的长.
8. 如图,将OABC放于平面直角坐标系中,得到顶点坐标为A—3tt,B—3tt,Ctt3,以B为旋转中心,在平面直角坐标系内将O ABC顺时针旋转9to.
(2)将O ABC绕点0顺时针旋转9to,画出旋转后得到的O A2B2C2,并直接写出点A旋转到点A2所经过的路径长.

初三旋转测试题卷子及答案

初三旋转测试题卷子及答案

初三旋转测试题卷子及答案一、选择题(每题3分,共15分)1. 一个点绕原点旋转90度后,其坐标变为原来的什么?A. 相反数B. 倒数C. 两倍D. 四倍2. 一个图形绕某点旋转180度后,与原图形的关系是?A. 完全重合B. 完全相反C. 部分重合D. 没有关系3. 一个图形绕某点旋转60度后,其面积和周长会如何变化?A. 面积不变,周长不变B. 面积变小,周长变小C. 面积不变,周长变长D. 面积变小,周长变大4. 一个图形绕其对称轴旋转180度后,图形的位置会如何变化?A. 完全重合B. 完全相反C. 部分重合D. 没有变化5. 如果一个图形绕某点旋转了θ度,那么它的旋转矩阵是什么?A. [cosθ -sinθ; sinθ cosθ]B. [cosθ sinθ; -sinθ cosθ]C. [sinθ cosθ; cosθ -sinθ]D. [sinθ -sinθ; cosθ cosθ]二、填空题(每题2分,共10分)6. 一个点P(x, y)绕原点旋转θ度后,其新坐标为_________。

7. 若一个图形绕点(a, b)旋转θ度,其旋转后的图形与原图形的对应点坐标变化关系为_________。

8. 一个正方形绕其中心点旋转45度后,其四个顶点的坐标变化情况是_________。

9. 一个圆绕其圆心旋转任意角度,其形状和大小_________。

10. 旋转矩阵可以表示为_________,其中θ为旋转角度。

三、解答题(每题5分,共20分)11. 给定一个点P(1, 2),求该点绕原点旋转120度后的坐标。

12. 一个矩形ABCD,其中A(-1, 1),B(1, 1),C(1, -1),D(-1, -1),求该矩形绕点A旋转90度后的顶点坐标。

13. 描述一个正方形绕其对称轴旋转90度后,四个顶点的坐标变化情况。

14. 解释旋转矩阵在图形旋转变换中的作用。

四、综合题(每题5分,共10分)15. 一个正六边形绕其中心点旋转60度后,求其顶点坐标的变化。

初三上旋转试题及答案

初三上旋转试题及答案

初三上旋转试题及答案在数学学习中,旋转是一个重要的几何概念,它涉及到图形在平面上的转动。

以下是一份初三上学期的旋转试题及其答案,旨在帮助学生掌握旋转的基本概念和计算方法。

1. 题目:一个点A(3,4)绕原点O逆时针旋转90度后,点A的新坐标是什么?答案:点A绕原点O逆时针旋转90度后,新坐标为(-4,3)。

2. 题目:如果一个图形绕某点旋转了180度,那么这个图形与原图形的关系是什么?答案:当一个图形绕某点旋转180度时,旋转后的图形与原图形关于旋转点对称。

3. 题目:一个矩形绕其中心点旋转90度后,得到的图形是什么?答案:一个矩形绕其中心点旋转90度后,得到的图形仍然是一个矩形,但其长和宽互换了位置。

4. 题目:已知点B(2,-3)绕点C(1,1)旋转了一定角度后,点B的新坐标为(-1,-2),求旋转的角度。

答案:通过计算可以得出,点B绕点C旋转了90度。

5. 题目:一个等边三角形绕其中心点旋转120度后,它的每个顶点的新坐标是什么?答案:等边三角形绕其中心点旋转120度后,每个顶点的新坐标可以通过旋转矩阵计算得出,具体坐标取决于原三角形的顶点坐标。

6. 题目:如果一个图形绕某点旋转了360度,那么这个图形有什么变化?答案:当一个图形绕某点旋转360度时,图形会回到原来的位置,没有任何变化。

7. 题目:一个圆绕圆心旋转任意角度,圆的形状和大小会改变吗?答案:一个圆绕圆心旋转任意角度,圆的形状和大小都不会改变,因为圆是中心对称图形。

8. 题目:已知点D(5,7)绕点E(4,4)旋转了一定角度后,点D的新坐标为(6,5),求旋转的角度。

答案:通过计算可以得出,点D绕点E旋转了45度。

9. 题目:一个正方形绕其中心点旋转45度后,它的对角线会有什么变化?答案:正方形绕其中心点旋转45度后,对角线的长度不会改变,但对角线的方向会发生变化。

10. 题目:如果一个图形绕某点旋转了90度,那么这个图形的面积会改变吗?答案:当一个图形绕某点旋转90度时,图形的面积不会改变,因为旋转是一种等距变换,不会改变图形的大小和形状。

初三旋转考试题及答案

初三旋转考试题及答案

初三旋转考试题及答案初三数学旋转考试题及答案一、选择题(每题3分,共15分)1. 在平面直角坐标系中,点P(3,4)绕原点O逆时针旋转90°后,新坐标为:A. (4,3)B. (-3,4)C. (3,-4)D. (4,-3)2. 一个正方形绕其中心点旋转45°后,其边长不变,面积不变,以下说法正确的是:A. 形状不变B. 形状改变C. 面积改变D. 形状和面积都改变3. 一个圆心在原点的圆,半径为r,绕原点旋转任意角度后,其半径:A. 变大B. 不变C. 变小D. 无法确定4. 若点A(1,2)绕点B(2,3)旋转30°,旋转后的点A'坐标为:A. (1.5, 3.5)B. (1.5, 2.5)C. (2.5, 3.5)D. 无法确定5. 一个等腰直角三角形绕其直角顶点旋转90°后,其形状:A. 不变B. 变为等边三角形C. 变为等腰三角形D. 变为直角三角形二、填空题(每题2分,共10分)6. 一个矩形绕其中心点旋转180°后,其形状________。

7. 点P(2,-1)绕原点O逆时针旋转45°后,新坐标的横坐标为________。

8. 若一个圆绕其圆心旋转任意角度,其周长________。

9. 一个平行四边形绕其对角线交点旋转90°后,其形状变为________。

10. 一个等边三角形绕其一边的中点旋转60°,旋转后的图形与原图形________。

三、解答题(共25分)11. (5分)若点M(-1,1)绕点N(1,1)旋转60°,求点M'的坐标。

12. (10分)一个边长为4的正方形ABCD,以点A为旋转中心,逆时针旋转30°,求旋转后正方形A'B'C'D'的顶点坐标。

13. (10分)一个圆心在原点,半径为5的圆,绕原点旋转60°,求旋转后圆上任意一点P(x,y)的新坐标。

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一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.(操作发现)(1)如图1,△ABC为等边三角形,先将三角板中的60°角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于30°),旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板斜边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使∠DCE=30°,连接AF,EF.①求∠EAF的度数;②DE与EF相等吗?请说明理由;(类比探究)(2)如图2,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,先将三角板的90°角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于45°),旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板另一直角边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使∠DCE=45°,连接AF,EF.请直接写出探究结果:①∠EAF的度数;②线段AE,ED,DB之间的数量关系.【答案】(1)①120°②DE=EF;(2)①90°②AE2+DB2=DE2【解析】试题分析:(1)①由等边三角形的性质得出AC=BC,∠BAC=∠B=60°,求出∠ACF=∠BCD,证明△ACF≌△BCD,得出∠CAF=∠B=60°,求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°;②证出∠DCE=∠FCE,由SAS证明△DCE≌△FCE,得出DE=EF即可;(2)①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC,∠BAC=∠B=45°,证出∠ACF=∠BCD,由SAS证明△ACF≌△BCD,得出∠CAF=∠B=45°,AF=DB,求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°;②证出∠DCE=∠FCE,由SAS证明△DCE≌△FCE,得出DE=EF;在Rt△AEF中,由勾股定理得出AE2+AF2=EF2,即可得出结论.试题解析:解:(1)①∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC,∠BAC=∠B=60°.∵∠DCF=60°,∴∠ACF=∠BCD.在△ACF和△BCD中,∵AC=BC,∠ACF=∠BCD,CF=CD,∴△ACF≌△BCD(SAS),∴∠CAF=∠B=60°,∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°;②DE=EF.理由如下:∵∠DCF=60°,∠DCE=30°,∴∠FCE=60°﹣30°=30°,∴∠DCE=∠FCE.在△DCE和△FCE 中,∵CD=CF,∠DCE=∠FCE,CE=CE,∴△DCE≌△FCE(SAS),∴DE=EF;(2)①∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,∴AC=BC,∠BAC=∠B=45°.∵∠DCF=90°,∴∠ACF=∠BCD.在△ACF和△BCD中,∵AC=BC,∠ACF=∠BCD,CF=CD,∴△ACF≌△BCD(SAS),∴∠CAF=∠B=45°,AF=DB,∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°;②AE2+DB2=DE2,理由如下:∵∠DCF=90°,∠DCE=45°,∴∠FCE=90°﹣45°=45°,∴∠DCE=∠FCE.在△DCE和△FCE 中,∵CD=CF,∠DCE=∠FCE,CE=CE,∴△DCE≌△FCE(SAS),∴DE=EF.在Rt△AEF 中,AE2+AF2=EF2,又∵AF=DB,∴AE2+DB2=DE2.2.如图1,在锐角△ABC中,∠ABC=45°,高线AD、BE相交于点F.(1)判断BF与AC的数量关系并说明理由;(2)如图2,将△ACD沿线段AD对折,点C落在BD上的点M,AM与BE相交于点N,当DE∥AM时,判断NE与AC的数量关系并说明理由.【答案】(1)BF=AC,理由见解析;(2)NE=12AC,理由见解析.【解析】试题分析:(1)如图1,证明△ADC≌△BDF(AAS),可得BF=AC;(2)如图2,由折叠得:MD=DC,先根据三角形中位线的推论可得:AE=EC,由线段垂直平分线的性质得:AB=BC,则∠ABE=∠CBE,结合(1)得:△BDF≌△ADM,则∠DBF=∠MAD,最后证明∠ANE=∠NAE=45°,得AE=EN,所以EN=12 AC.试题解析:(1)BF=AC,理由是:如图1,∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠ADB=∠AEF=90°,∵∠ABC=45°,∴△ABD是等腰直角三角形,∴AD=BD,∵∠AFE=∠BFD,∴∠DAC=∠EBC,在△ADC和△BDF中,∵DAC DBFADC BDF AD BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADC≌△BDF(AAS),∴BF=AC;(2)NE=12AC,理由是:如图2,由折叠得:MD=DC,∵DE∥AM,∴AE=EC,∵BE⊥AC,∴AB=BC,∴∠ABE=∠CBE,由(1)得:△ADC≌△BDF,∵△ADC≌△ADM,∴△BDF≌△ADM,∴∠DBF=∠MAD,∵∠DBA=∠BAD=45°,∴∠DBA﹣∠DBF=∠BAD﹣∠MAD,即∠ABE=∠BAN,∵∠ANE=∠ABE+∠BAN=2∠ABE,∠NAE=2∠NAD=2∠CBE,∴∠ANE=∠NAE=45°,∴AE=EN,∴EN=12 AC.3.如图1,△ABC是边长为4cm的等边三角形,边AB在射线OM上,且OA=6cm,点D 从O点出发,沿OM的方向以1cm/s的速度运动,当D不与点A重合时,将△ACD绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE,连结DE.(1)求证:△CDE是等边三角形;(2)如图2,当6<t<10时,△BDE的周长是否存在最小值?若存在,求出△BDE的最小周长;若不存在,请说明理由;(3)如图3,当点D在射线OM上运动时,是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)存在【解析】试题分析:(1)由旋转的性质得到∠DCE=60°,DC=EC,即可得到结论;(2)当6<t<10时,由旋转的性质得到BE=AD,于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形的性质得到DE=CD,由垂线段最短得到当CD⊥AB时,△BDE的周长最小,于是得到结论;(3)存在,①当点D于点B重合时,D,B,E不能构成三角形,②当0≤t<6时,由旋转的性质得到∠ABE=60°,∠BDE<60°,求得∠BED=90°,根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°,求得∠CEB=30°,求得OD=OA-DA=6-4=2,于是得到t=2÷1=2s;③当6<t<10s 时,此时不存在;④当t>10s时,由旋转的性质得到∠DBE=60°,求得∠BDE>60°,于是得到t=14÷1=14s.试题解析:(1)证明:∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,∴∠DCE=60°,DC=EC,∴△CDE是等边三角形;(2)存在,当6<t<10时,由旋转的性质得,BE=AD,∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由(1)知,△CDE是等边三角形,∴DE=CD,∴C△DBE=CD+4,由垂线段最短可知,当CD⊥AB时,△BDE的周长最小,此时,CD3cm,∴△BDE的最小周长=CD3;(3)存在,①∵当点D与点B重合时,D,B,E不能构成三角形,∴当点D与点B重合时,不符合题意;②当0≤t<6时,由旋转可知,∠ABE=60°,∠BDE<60°,∴∠BED=90°,由(1)可知,△CDE是等边三角形,∴∠DEB=60°,∴∠CEB=30°,∵∠CEB=∠CDA,∴∠CDA=30°,∵∠CAB=60°,∴∠ACD=∠ADC=30°,∴DA=CA=4,∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2,∴t=2÷1=2s;③当6<t<10s时,由∠DBE=120°>90°,∴此时不存在;④当t>10s时,由旋转的性质可知,∠DBE=60°,又由(1)知∠CDE=60°,∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC,而∠BDC>0°,∴∠BDE>60°,∴只能∠BDE=90°,从而∠BCD=30°,∴BD=BC=4,∴OD=14cm,∴t=14÷1=14s.综上所述:当t=2或14s时,以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.点睛:在不带坐标的几何动点问题中求最值,通常是将其表达式写出来,再通过几何或代数的方法求出最值;像第三小问这种探究性的题目,一定要多种情况考虑全面,控制变量,从某一个方面出发去分类.4.如图1,在Rt△ADE中,∠DAE=90°,C是边AE上任意一点(点C与点A、E不重合),以AC为一直角边在Rt△ADE的外部作Rt△ABC,∠BAC=90°,连接BE、CD.(1)在图1中,若AC=AB,AE=AD,现将图1中的Rt△ADE绕着点A顺时针旋转锐角α,得到图2,那么线段BE.CD之间有怎样的关系,写出结论,并说明理由;(2)在图1中,若CA=3,AB=5,AE=10,AD=6,将图1中的Rt△ADE绕着点A顺时针旋转锐角α,得到图3,连接BD、CE.①求证:△ABE∽△ACD;②计算:BD2+CE2的值.【答案】(1)BE=CD,BE⊥CD,理由见角;(2)①证明见解析;②BD2+CE2=170.【解析】【分析】(1)结论:BE=CD,BE⊥CD;只要证明△BAE≌△CAD,即可解决问题;(2)①根据两边成比例夹角相等即可证明△ABE∽△ACD.②由①得到∠AEB=∠CDA.再根据等量代换得到∠DGE=90°,即DG⊥BE,根据勾股定理得到BD2+CE2=CB2+ED2,即可根据勾股定理计算.【详解】(1)结论:BE=CD,BE⊥CD.理由:设BE与AC的交点为点F,BE与CD的交点为点G,如图2.∵∠CAB=∠EAD=90°,∴∠CAD=∠BAE.在△CAD和△BAE中,∵AB ACBAE CADAE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△CAD≌△BAE,∴CD=BE,∠ACD=∠ABE.∵∠BFA=∠CFG,∠BFA+∠ABF=90°,∴∠CFG+∠ACD=90°,∴∠CGF=90°,∴BE⊥CD.(2)①设AE与CD于点F,BE与DC的延长线交于点G,如图3.∵∠CABB=∠EAD=90°,∴∠CAD=∠BAE.∵CA=3,AB=5,AD=6,AE=10,∴AEAB =ADAC=2,∴△ABE∽△ACD;②∵△ABE∽△ACD,∴∠AEB=∠CDA.∵∠AFD=∠EFG,∠AFD+∠CDA=90°,∴∠EFG+∠AEB=90°,∴∠DGE=90°,∴DG⊥BE,∴∠AGD=∠BGD=90°,∴CE2=CG2+EG2,BD2=BG2+DG2,∴BD2+CE2=CG2+EG2+BG2+DG2.∵CG2+BG2=CB2,EG2+DG2=ED2,∴BD2+CE2=CB2+ED2=CA2+AB2+AD2+AD2=170.【点睛】本题是几何综合变换综合题,主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用,运用类比,在变化中发现规律是解决问题的关键.5.在△ABC中,AB=AC,将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD,旋转角为,且,连接AD、BD.(1)如图1,当∠BAC=100°,时,∠CBD 的大小为_________;(2)如图2,当∠BAC=100°,时,求∠CBD的大小;(3)已知∠BAC的大小为m(),若∠CBD 的大小与(2)中的结果相同,请直接写出的大小.【答案】(1)30°;(2)30°;(3)α=120°-m°,α=60°或α=240-m°.【解析】试题分析:(1)由∠BAC=100°,AB=AC,可以确定∠ABC=∠ACB=40°,旋转角为α,α=60°时△ACD是等边三角形,且AC=AD=AB=CD,知道∠BAD的度数,进而求得∠CBD的大小.(2)由∠BAC=100°,AB=AC,可以确定∠ABC=∠ACB=40°,连结DF、BF.AF=FC=AC,∠FAC=∠AFC=60°,∠ACD=20°,由∠DCB=20°案.依次证明△DCB≌△FCB,△DAB≌△DAF.利用角度相等可以得到答案.(3)结合(1)(2)的解题过程可以发现规律,求得答案.试题解析:(1)30°;(2)30°;(2)如图作等边△AFC,连结DF、BF.∴AF=FC=AC,∠FAC=∠AFC=60°.∵∠BAC=100°,AB=AC,∴∠ABC=∠BCA=40°.∵∠ACD=20°,∴∠DCB=20°.∴∠DCB=∠FCB=20°.①∵AC=CD,AC=FC,∴DC=FC.②∵BC=BC,③∴由①②③,得△DCB≌△FCB,∴DB=BF,∠DBC=∠FBC.∵∠BAC=100°,∠FAC=60°,∴∠BAF=40°.∵∠ACD=20°,AC=CD,∴∠CAD=80°.∴∠DAF=20°.∴∠BAD=∠FAD=20°.④∵AB=AC,AC=AF,∴AB=AF.⑤∵AD=AD,⑥∴由④⑤⑥,得△DAB≌△DAF.∴FD=BD.∴FD=BD=FB.∴∠DBF=60°.∴∠CBD=30°.(3)α=120°-m°,α=60°或α=240-m°.考点:1.全等三角形的判定和性质;2.等边三角形的判定和性质.6.(特例发现)如图1,在△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB,AC 为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q.求证:EP=FQ.(延伸拓展)如图2,在△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB,AC为直角边,向△ABC外作Rt△ABE和Rt△ACF,射线GA交EF于点H.若AB=kAE,AC=kAF,请思考HE与HF之间的数量关系,并直接写出你的结论.(深入探究)如图3,在△ABC中,G是BC边上任意一点,以A为顶点,向△ABC外作任意△ABE和△ACF,射线GA交EF于点H.若∠EAB=∠AGB,∠FAC=∠AGC,AB=kAE,AC=kAF,上一问的结论还成立吗?并证明你的结论.(应用推广)在上一问的条件下,设大小恒定的角∠IHJ分别与△AEF的两边AE、AF分别交于点M、N,若△ABC为腰长等于4的等腰三角形,其中∠BAC=120°,且∠IHJ=∠AGB=θ=60°,k=2;求证:当∠IHJ在旋转过程中,△EMH、△HMN和△FNH均相似,并直接写出线段MN的最小值(请在答题卡的备用图中补全作图).【答案】(1)证明参见解析;(2)HE=HF;(3)成立,证明参见解析;(4)证明参见解析,MN最小值为1.【解析】试题分析:(1)特例发现:易证△AEP≌△BAG,△AFQ≌△CAG,即可求得EP=AG,FQ=AG,即可解题;(2)延伸拓展:过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q.易证△ABG∽△EAP,△ACG∽△FAQ,得到PE=AG,FQ=AG,∴PE=FQ,然后证明△EPH≌△FQH,即可得出HE=HF;(3)深入探究:判断△PEA∽△GAB,得到PE=AG,△AQF∽△CGA,FQ=,得到FQ=AG,再判断△EPH≌△FQH,即可得出HE=HF;(4)应用推广:由前一个结论得到△AEF为正三角形,再依次判断△MHN∽△HFN∽△MEH,即可得出结论.试题解析:(1)特例发现,如图:∵∠PEA+∠PAE=90°,∠GAB+∠PAE=90°,∴∠PEA=∠GAB,∵∠EPA=∠AGB,AE=AB,∴△PEA≌△GAB,∴PE=AG,同理,△QFA≌△GAC,∴FQ=AG,∴PE=FQ;(2)延伸拓展,如图:∵∠PEA+∠PAE=90°,∠GAB+∠PAE=90°,∴∠PEA=∠GAB,∴∠EPA=∠AGB,∴△PEA∽△GAB,∴,∵AB=kAE,∴,∴PE=AG,同理,△QFA∽△GAC,∴,∵AC=kAF,∴FQ=AG,∴PE=FQ,∵EP∥FQ,∴∠EPH=∠FQH,∵∠PHE=∠QHF,∴△EPH≌△FQH,∴HE=HF;(3)深入探究,如图2,在直线AG上取一点P,使得∠EPA═∠AGB,作FQ∥PE,∵∠EAP+∠BAG=180°﹣∠AGB,∠ABG+∠BAG=180°﹣∠AGB,∴∠EAP=∠ABG,∵∠EPA=∠AGB,∴△APE∽△BGA,∴,∵AB=kAE,∴PE=AG,由于∠FQA=∠FAC=∠AGC=180°﹣∠AGB,同理可得,△AQF∽△CGA,∴,∵AC=kAF,∴FQ=AG,∴EP=FQ,∵EP∥FQ,∴∠EPH=∠FQH,∵∠PHE=∠QHF,∴△EPH≌△FQH,∴HE=HF;(4)应用推广,如图3,在前面条件及结论,得到,点H是EF中点,∴AE=AF,∵∠EAB=∠AGB,∠FAC=∠AGC∴∠EAB+∠FAC=180°∴∠EAF=360°﹣(∠EAB+∠FAC)﹣∠BAC=60°,∴△AEF 为正三角形.又H为EF中点,∴∠EHM+∠IHJ=120°,∠IHJ+∠FHN=120°,∴∠EHM=∠FHN.∵∠AEF=∠AFE,∴△HEM∽△HFN,∴,∵EH=FH,∴,且∠MHN=∠HFN=60°,∴△MHN∽△HFN,∴△MHN∽△HFN∽△MEH,在△HMN中,∠MHN=60°,根据三角形中大边对大角,∴要MN最小,只有△HMN是等边三角形,∴∠AMN=60°,∵∠AEF=60°,MN∴MN∥EF,∵△AEF为等边三角形,∴MN为△AEF的中位线,∴MN min=EF=×2=1.考点:1.几何变换综合题;2.三角形全等及相似的判定性质.7.思维启迪:(1)如图1,A ,B 两点分别位于一个池塘的两端,小亮想用绳子测量A ,B 间的距离,但绳子不够长,聪明的小亮想出一个办法:先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ,连接BC ,取BC 的中点P (点P 可以直接到达A 点),利用工具过点C 作CD ∥AB 交AP 的延长线于点D ,此时测得CD =200米,那么A ,B 间的距离是 米.思维探索:(2)在△ABC 和△ADE 中,AC =BC ,AE =DE ,且AE <AC ,∠ACB =∠AED =90°,将△ADE 绕点A 顺时针方向旋转,把点E 在AC 边上时△ADE 的位置作为起始位置(此时点B 和点D 位于AC 的两侧),设旋转角为α,连接BD ,点P 是线段BD 的中点,连接PC ,PE .①如图2,当△ADE 在起始位置时,猜想:PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是 ; ②如图3,当α=90°时,点D 落在AB 边上,请判断PC 与PE 的数量关系和位置关系,并证明你的结论;③当α=150°时,若BC =3,DE =l ,请直接写出PC 2的值.【答案】(1)200;(2)①PC =PE ,PC ⊥PE ;②PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC =PE ,PC ⊥PE ,见解析;③PC 21033+. 【解析】【分析】(1)由CD ∥AB ,可得∠C =∠B ,根据∠APB =∠DPC 即可证明△ABP ≌△DCP ,即可得AB =CD ,即可解题.(2)①延长EP 交BC 于F ,易证△FBP ≌△EDP (SAS )可得△EFC 是等腰直角三角形,即可证明PC =PE ,PC ⊥PE .②作BF ∥DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF ,易证△FBP ≌△EDP (SAS ),结合已知得BF =DE =AE ,再证明△FBC ≌△EAC (SAS ),可得△EFC 是等腰直角三角形,即可证明PC =PE ,PC ⊥PE .③作BF ∥DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF ,过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点,由旋转旋转可知,∠CAE =150°,DE 与BC 所成夹角的锐角为30°,得∠FBC =∠EAC ,同②可证可得PC =PE ,PC ⊥PE ,再由已知解三角形得∴EC 2=CH 2+HE 2=1033+求出22110332PC EC +== 【详解】(1)解:∵CD ∥AB ,∴∠C =∠B ,在△ABP 和△DCP 中,BP CP APB DPC B C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩,∴△ABP ≌△DCP (SAS ),∴DC =AB .∵AB =200米.∴CD =200米,故答案为:200.(2)①PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC =PE ,PC ⊥PE .理由如下:如解图1,延长EP 交BC 于F ,同(1)理,可知∴△FBP ≌△EDP (SAS ),∴PF =PE ,BF =DE ,又∵AC =BC ,AE =DE ,∴FC =EC ,又∵∠ACB =90°,∴△EFC 是等腰直角三角形,∵EP =FP ,∴PC =PE ,PC ⊥PE .②PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC =PE ,PC ⊥PE .理由如下:如解图2,作BF ∥DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF ,同①理,可知△FBP ≌△EDP (SAS ),∴BF =DE ,PE =PF =12EF , ∵DE =AE ,∴BF =AE ,∵当α=90°时,∠EAC =90°,∴ED ∥AC ,EA ∥BC∵FB ∥AC ,∠FBC =90,∴∠CBF =∠CAE ,在△FBC 和△EAC 中, BF AE CBE CAE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△FBC ≌△EAC (SAS ),∴CF =CE ,∠FCB =∠ECA ,∵∠ACB =90°,∴∠FCE =90°,∴△FCE 是等腰直角三角形,∵EP =FP ,∴CP ⊥EP ,CP =EP =12EF . ③如解图3,作BF ∥DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF ,过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点,当α=150°时,由旋转旋转可知,∠CAE =150°,DE 与BC 所成夹角的锐角为30°, ∴∠FBC =∠EAC =α=150°同②可得△FBP ≌△EDP (SAS ),同②△FCE 是等腰直角三角形,CP ⊥EP ,CP =EP =2CE , 在Rt △AHE 中,∠EAH =30°,AE =DE =1,∴HE =12,AH =32, 又∵AC =AB =3, ∴CH =3+3, ∴EC 2=CH 2+HE 2=1033+∴PC 2=21103322EC +=【点睛】本题考查几何变换综合题,考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形性质、勾股定理和30°直角三角形性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于压轴题.8.正方形ABCD 中,点E 、F 分别是边AD 、AB 的中点,连接EF .(1)如图1,若点G 是边BC 的中点,连接FG ,则EF 与FG 关系为: ;(2)如图2,若点P 为BC 延长线上一动点,连接FP ,将线段FP 以点F 为旋转中心,逆时针旋转90°,得到线段FQ ,连接EQ ,请猜想BF 、EQ 、BP 三者之间的数量关系,并证明你的结论.(3)若点P为CB延长线上一动点,按照(2)中的作法,在图3中补全图形,并直接写出BF、EQ、BP三者之间的数量关系:.【答案】(1)证明见解析(2)BF+EQ=BP(3)BF+BP=EQ【解析】试题分析:(1)EF与FG关系为垂直且相等(EF=FG且EF⊥FG).证明如下:∵点E、F、G分别是正方形边AD、AB、BC的中点,∴△AEF和△BGD是两个全等的等腰直角三角形.∴EF=FG,∠AFE=∠BFG=45°.∴∠EFG=90°,即EF⊥FG.(2)取BC的中点G,连接FG,则由SAS易证△FQE≌△FPG,从而EQ=GP,因此)=-.EF2BP EQ(3)同(2)可证△FQE≌△FPG(SAS),得EQ=GP,因此,))===-=-.EF GF2BG2GP BP2EQ BP。

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