简单的三角恒等变换(讲义)

简单的三角恒等变换

【学习目标】

1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式；

2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧；

3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化；

4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力；

5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力．

【要点梳理】

要点一：升（降）幂缩（扩）角公式

升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-= 降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-= 要点诠释： 利用二倍角公式的等价变形：21cos 2sin 2α

α-=，21cos 2cos 2α

α+=进行“升、降幂”变换，即由左边的

“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．

要点二：辅助角公式

1．形如sin cos a x b x +的三角函数式的变形：

sin cos a x b x +

x x ⎫⎪⎭

令cos ϕϕ==

sin cos a x b x +

)sin cos cos sin x x ϕϕ+

)x ϕ+

（其中ϕ角所在象限由,a b 的符号确定，ϕ角的值由tan b a ϕ=确定，或

由sin ϕ=

和cos ϕ=）

2．辅助角公式在解题中的应用

通过应用公式sin cos a x b x +

=)x ϕ+（或sin cos a x b x +

)αϕ-），将形如

sin cos a x b x +（,a b

)x ϕ+

)αϕ-）

．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等．

要点三：半角公式(以下公式只要求会推导，不要求记忆)

sin 2α

=cos 2α=

tan 2α

= 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．

sin 1cos tan ,tan 21cos 2sin α

ααααα

-==+ 以上两个公式称作半角正切的有理式表示．

要点四：积化和差公式

1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=-++ 1cos sin [sin()sin()]2

αβαβαβ=+-- 1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=-++ 1sin sin [cos()cos()]2

αβαβαβ=--+ 要点诠释：

规律1：公式右边中括号前的系数都有

12

． 规律2：中括号中前后两项的角分别为αβ+和αβ-． 规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数．

要点五：和差化积公式

sin sin 2sin cos 22x y x y x y +-+= sin sin 2cos sin 22

x y x y x y +--= cos cos 2cos cos 22x y x y x y +-+= cos cos 2sin sin 22

x y x y x y +--=- 要点诠释：

规律1：在所有的公式中，右边积的系数中都有2．

规律2：在所有的公式中，左边都是角A 与B 的弦函数相加减，右边都是

2A B +与2

A B -的弦函数相乘． 规律3：在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣（cos ）加扣等于俩扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出“扣减扣等于没扣”．

规律4：两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘．

注意

1、公式中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系．

2、只有系数绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式．如sin cos αβ+就不能直接化积，应先化成同名三角函数后，再用公式化成积的形式．

3、三角函数的和差化积，常因采用的途径不同，而导致结果在形式上有所差异，但只要没有运算错误，其结果实质上是一样的．

4、为了能把三角函数的和差化成积的形式，有时需要把某些特殊数值当作三角函数值，如

1πππcos cos cos 2sin sin 236262αααα⎛⎫⎛⎫-=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

． 5、三角函数式和差化积的结果应是几个三角函数式的最简形式．

【典型例题】

类型一：利用公式对三角函数式进行证明

例1．求证：α

ααααsin cos 1cos 1sin 2tan

-=+=

【变式1】求证：2tan 12tan 2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan

2sin 22

2

2α-α=αα+α-=αα+α=α

例2．求证：（1）1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++- (2) cos cos 2cos cos 22

x y x y x y +-+=

【变式1】求证：sin sin 2sin

cos 22θϕθϕθϕ+-+=

【变式2】求证：32sin tan

tan 22cos cos 2x x x x x -=+．

类型二：利用公式对三角函数式进行化简

例3． 已知

322

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