约数的个数及合的经典计算技巧

大家都知道，一个自然数（0除外）的约数的个数是有限的，1的约数只有1个，就是1；一个质数的约数只有两个，就是1和它本身；任何一个合数的约数至少有3个，那么，一个合数的约数的个数到底有多少个呢？

象小一点的合数，如12的约数，我们可以用配对列举的办法迅速写出它的约数有1，12，2，6，3，4，一共有6个。如果是大一些的数，列举就相当麻烦了。有没有巧妙一些的方法呢？回答是肯定的。

我们可以先将这个合数分解质因数，然后把相同质因数个数（单独的质因数算一个）分别加1后再相乘，所得的积就是合数的约数个数。象上面提到的12，它分解质因数是12=2×2×3，也就是说12的质因数有2个2和1个3，因此它的约数个数就是（2+1）×（1+1）=6（个）。

如果要我们求60的约数个数，我们同样可以先把60分解质因数60=2×2×3×5，所以60的约数有（2+1）×（1+1）×（1+1）=12（个）。

有一些题目还需要我们计算出约数之和，当然也不用先将所有的约数列举出来再求和。我们同样可以先把合数分解质因数，再将仅含一个质因数的全部约数相加，然后将这些和数相乘所得的积就是这个合数的全部约数之和。

象12分解质因数是12=2×2×3，由2×2可知12的约数有（1，2，4），由3可知12的约数有（1，3）而12的约数是（1，2，4）中每一个数与（1，3）中每一个数分别相乘的全部结果，所以12的全部约数之和就是（1+2+4）×1+（1+2+4）×3=（1+2+4）×（1+3）=7×4=28。

同样，60=2×2×3×5，由2×2可知60的约数有（1，2，4），由3可知60的约数有（1，3），由5可知60的约数有（1，5），所以60的全部约数之和是（1+2+4）×（1+3）×（1+5）=7×4×6=168。

你学会求一个合数的约数个数及其约数之和吗？请你利用这种方法求出下列合数的约数个数及其约数之和。

① 45 ② 120 ③ 360 ④ 520

将此数分解质因数，如20=2*2*5就是分解成2、5两个质数的乘积
20的约数就有1、2、2*2=4、2*5=10、5、20
约数和=（1+2+2*2）*（1+5）=42
21的约数和=（1+3）*（1*7）=28
24的约数和=（1+2+2*2+2*2*2）*（1+3）
你可参照《知识出版社de奥赛数学》p51

、基本概念和符号：

1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；

二、整除判断方法：

1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3. 能被8、125整除：末三位的数字

所组成的数能被8、125整除。

4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5. 能被7整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6. 能被11整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

7. 能被13整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

三、整除的性质：

1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。