约数的个数及合的经典计算技巧
计算约数个数的方法
计算约数个数的方法
以下是 6 条关于计算约数个数的方法：
1. 分解质因数呀！就像拆解一个大玩具一样，把数字拆成它的质因数。
你看 12，拆成 2、2、3，然后根据质因数的指数加一相乘，这不就能算出
约数个数啦！就像你有好多不同的积木，可以搭出好多不同的造型一样。
2. 直接列举法也不错呀！一个一个去数这个数字的约数。
比如15，1、
3、5、15 不就是它的约数嘛，虽然麻烦点，但是很直观呀，就像你慢慢数
自己的宝贝一样，仔细又认真呢！
3. 还有倍数法呢！那可真是个巧妙的办法。
比如 6 的约数，那 12、18 这些 6 的倍数里不也包含了 6 的约数嘛，这就像是顺藤摸瓜一样，一找一
个准呀！
4. 利用公因数来算也挺有趣呀！两个数的公因数不也是它们各自的约数嘛。
就好像两个好朋友，能一起玩的游戏不也是他们各自喜欢玩的嘛，这不是很容易理解吗？
5. 试试表格法呀！把数字和它的约数列成一个表格，清晰又明了。
这就好比把你的东西整齐地摆放在抽屉里，想找的时候一下子就找到了，多方便呀！
6. 公式法可是很厉害的哦！记住那个公式，一下子就能算出约数个数。
这就好像你有了一把万能钥匙，什么门都能轻松打开，神奇吧！
我觉得这些方法都各有奇妙之处，大家可以根据具体情况选择适合自己的方法来计算约数个数呀！。
约数和公式
约数和公式约数是常见的整数概念，是指一个数能被另外一个数整除，所得的商和余数都是整数。
在数学中，约数通常被称为因数，而被整除的数则被称为倍数。
任何一个数都有约数，1和它本身都是它的约数，这被称为质数。
而对于任意一个数n，我们可以通过枚举比它小的每一个数，判断它们能否整除n，来求得它的所有约数。
约数有很多有趣的性质，其中之一是它们的个数与它们的乘积密切相关。
具体来说，一个数n的约数个数等于n的各个质因子幂次数加1的乘积。
例如，如果一个数的分解式为2^3 × 3^2 × 5，则它的约数个数就等于(3+1) × (2+1) × (1+1) = 24。
除此之外，还有一个常见的应用场景就是求约数之和。
约数之和是指一个数所有约数的和，数学符号表示为sigma(n)。
对于一个给定的数n，我们可以通过枚举它的每一个约数并求和来求得它的约数之和。
具体地，如果我们把n分解成若干个质因数的乘积，可以得到它的约数之和公式：sigma(n) = (p1^0 + p1^1 + ... + p1^a1) × (p2^0 + p2^1+ ... + p2^a2) × ... × (pk^0 + pk^1 + ... + pk^ak)其中pi表示n的第i个质因数，ai表示它的幂次数。
这个公式的意义在于，它把n的每一个约数和它对应的幂次数一一对应起来，然后求它们的乘积。
综上所述，约数和约数之和是数学中常见的概念，它们的应用极为广泛，从数论到计算机科学都扮演着至关重要的角色。
如果你学习这些概念，可以为你理解和解决一些复杂的问题提供帮助。
同时，我们也可以通过这些公式和性质来简化计算和分析过程，为实际问题的解决提供支持。
约数个数计算公式(二)
约数个数计算公式(二)约数个数计算公式简介在数论中，约数是指一个整数能被另一个整数整除的数。
求一个数的约数个数是数论中常见的问题之一。
本文将介绍几种常见的约数个数计算公式，并给出相应的例子进行说明。
计算公式1：穷举法穷举法是最简单直观的一种计算约数个数的方法。
它通过遍历所有小于等于给定数的正整数，判断是否能整除给定数，从而计算出约数的个数。
公式约数个数 = 约数1 + 约数2 + … + 约数n其中，约数i是小于等于给定数的正整数，且能整除给定数。
示例以整数12为例，穷举法计算其约数个数的步骤如下：1. 1 可整除 12，约数个数加1。
2. 2 可整除 12，约数个数加1。
3. 3 不可整除 12，跳过。
4. 4 可整除 12，约数个数加1。
5. 5 不可整除 12，跳过。
6. 6 可整除 12，约数个数加1。
7.7 不可整除 12，跳过。
8.8 不可整除 12，跳过。
9.9 不可整除 12，跳过。
10.10 不可整除 12，跳过。
11.11 不可整除 12，跳过。
12.12 可整除 12，约数个数加1。
最终，约数个数为6。
计算公式2：因数分解法因数分解法是另一种常用的计算约数个数的方法。
它通过将给定数分解为质因数的乘积，再利用质因数的指数求约数个数。
公式设给定数n的质因数分解为：n = p1^a1 * p2^a2 * … * pk^ak其中，p1, p2, …, pk为质因数，a1, a2, …, ak为对应的指数。
约数个数= (a1 + 1) * (a2 + 1) * … * (ak + 1)以整数24为例，因数分解法计算其约数个数的步骤如下：1.将24分解为质因数的乘积：24 = 2^3 * 3^12.根据公式，约数个数 = (3 + 1) * (1 + 1) = 4 * 2 = 8最终，约数个数为8。
计算公式3：欧拉函数法欧拉函数是数论中的一个重要函数，表示小于等于给定数且与给定数互质的数的个数。
1到n中所有整数的约数个数和数论
1到n中所有整数的约数个数和数论
数论中关于整数的约数个数的问题是一个经典的数论问题，也与著名的数论函数σ(n)（约数函数）相关。
σ(n)表示n的所有正约数之和，包括1和n本身。
首先，我们知道一个数n的约数是成对出现的，例如对于数m，如果它是n的约数，那么n/m也是n的约数。
但是当m等于n/m时，即m的平方等于n，那么m就是n的唯一的约数（平方数的约数个数为奇数个）。
因此，我们可以得出结论：当n不是完全平方数时，它的约数个数是偶数；当n是完全平方数时，它的约数个数是奇数。
现在，我们来具体分析一下1到n中所有整数的约数个数的和。
我们可以利用上面的结论，对1到n中每个数的约数个数进行分类讨论。
1. 对于非完全平方数m，它的约数个数是偶数，设为2k，则它的约数对中包括k对，每对的和为m，因此1到n中所有非完全平方数的约数个数和为2 * (1 + 2 + ... + k) = k * (k + 1)。
2. 对于完全平方数m，它的约数个数是奇数，设为2k + 1，则它的约数对中包括k对，每对的和为m，另外还有一个m的平方根没有配对，因此1到n中所有完全平方数的约数个数和为(k * (k + 1)) + m = k * (k + 1) + m。
通过以上分析，我们可以得出结论：1到n中所有整数的约数个数和为k * (k + 1) + m，其中k为非完全平方数的个数，m为完全平方数的个数。
因此，我们可以通过统计1到n中完全平方数的个数和非完全平方数的个数，然后套入上述公式，就可以计算出1到n中所有整数的约数个数的和。
(49)约数个数与约数和
五年级奥数解析（四十九）约数个数与约数和《奥赛天天练》第三十七讲《约数个数与约数和》，学习利用合数的质因数分解式求一个较大自然数所有约数的个数及所有约数和的方法。
计算公式：求一个自然数N的约数个数与约数和，先把这个自然数分解质因数，表示为：N﹦P1 a1·P2a2·P3a3……PKakN的约数的个数为：（a1＋1）×（a2＋1）×……×（ak＋1）；N的约数和为：（1＋P1＋ P12＋…＋ P1a1）×（1＋P2＋ P22＋…＋ P2a2）×……×（1＋PK＋PK2＋…＋PKak）。
例如：72﹦23×32先找出23的所有（3＋1﹦）4个约数：1、2、22、23；再找出32的所有（2＋1﹦）3个约数：1、3、32。
用23的每一个约数依次去乘以32的每一个约数，可以求出72的所有[（3＋1）×（2＋1）﹦]12个约数：1、3、32、2×1、2×3、2×32、22×1、22×3、22×32、23×1、23×3、23×32。
约数和为：（1＋2＋22＋23）×（1＋3＋32）﹦195约数个数与约数和的计算公式证明过程比较复杂，需要从单个质数，到只含有几个相同质因数的合数，到含有几个不同质因数的合数逐步推理，寻找、验证规律。
小学生理解比较困难，可以到初中奥数学习中再进一步探究。
《奥赛天天练》第37讲，模仿训练，练习1【题目】：求500的约数的个数。
【解析】：分解质因数：500﹦22×53根据约数个数计算公式，可以求出500的约数个数为：（2＋1）×（3＋1）﹦12（个）。
[整理版]自然数约数的个数及所有约数的和
![[整理版]自然数约数的个数及所有约数的和](https://img.taocdn.com/s3/m/44c01857bf1e650e52ea551810a6f524ccbfcb88.png)
自然数约数的个数及所有约数的和我们知道：一个数ɑ，如果能被数b整除，b就是ɑ的约数。
自然数(除了1以外)按照约数的多少，可以分成质数与合数两类：质数只有1和它自己两个约数；合数除了1和它自己以外，还有其它的约数；上面这些知识都是非常浅显的，连小学生都知道。
殊不知，在这些人们耳熟能详的知识中，却隐藏着许多饶有兴味的问题。
一、约数的个数一个数的约数的个数，与这个数由哪些质因数组成有关。
以12为例，分解质因数得到12＝22×3。
在构成12的约数时，质因数2，可以取2个(即22＝4)、1个(即21＝2)或者不取(即20＝1)，有3种方法，“3”比质因数2的幂指数“2”多1；对于质因数3，可以取1个(即31＝3)或者不取(即30＝1)，有2种方法，“2”比质因数3的幂指数“1”多1。
所以，总共可以组成3×2＝6个约数，分别是22×31＝4×3＝12，21×31＝2×3＝6，20×31＝1×3＝3，22×30＝4×1＝4，21×30＝2×1＝2，20×30＝1×1＝1。
推广到一般：如果一个数N＝ɑi b j…c k，其中，ɑ、b、…、c是N的质因数，i、j、…、k 是这些质因数的幂指数。
N的约数的个数等于：(i＋1)(j＋1)…(k＋1)以360为例，360＝23×32×5。
质因数2、3、5的幂指数分别是3、2、1，所以360的约数有(3＋1)(2＋1)(1＋1)＝24个。
检验：360的约数有360、180、120、90、72、60、45、40、36、30、24、20、18、15、12、10、9、8、6、5、4、3、2、1，共24个。
二、约数的总和仍以12为例，12＝22×3。
根据上面所说的12的约数的构成，这些约数的总和等于：22×31＋21×31＋20×31＋22×30＋21×30＋20×30，化简后得到：(22＋21＋20)(31＋30)。
约数与约数和的公式求法（五年级）
约数与约数和的公式求法（五年级）
题⽬：120这个数的约数有多少个？这些约数的和是多少？
解答：120＝2×2×2×3×5，所以约数有4×2×2＝16个
这些约数的和是（1＋2＋4＋8）×（1＋3）×（1＋5）＝360
（⽹上看到这位⽼师巧算约数的个数与约数和，这⽅法我才第⼀次看到，于是百度搜索了⼀下求约数与约数和的巧妙⽅法。
）
例如：1800=2*900=2*3*300=2*3*3*100=2*2*3*3*50=2*2*2*3*3*5*5
=2的3次⽅*3的2次⽅*5的2次⽅
所以约数的个数是（指数+1）相乘这是约数个数的计算公式
所以约数的个数是（3+1）*（2+1）*（2+1）=36个
约数和的公式是这样理解的：
120＝2×2×2×3×5，（1＋2＋4＋8）×（1＋3）×（1＋5）＝360
第⼀个2是2,第⼆个4是2的平⽅,第三个8是2的3次⽅，3和5也⼀样.
例如：72=2*2*2*3*3,所以约数和就是(1+2+4+8)*(1+3+9)=195
题⽬：把分数1/12 表⽰成形如1/（） +1/（）多少种？
简析：12×12=2^4×3^2，⽤指数+1的⽅法来求，（4+1）×（2+1）=15
15÷2+1=8种
题⽬：把分数1/6 表⽰成形如1/（） +1/（）多少种？
简析：6×6=2^2×3^2，（2+1）×（2+1）=9，9÷2+1=5种。
三年级约数的计算方法和技巧
三年级约数的计算方法和技巧嘿，小朋友们！今天咱们要来聊聊三年级的约数那些事儿哟！约数啊，就像是数字们的好朋友，能帮我们把复杂的数字变得简单点儿呢。
先来说说计算方法吧。
比如说，我们要找 12 的约数。
那我们就从 1 开始，一个一个地试试看，1 是不是 12 的约数呀？当然是啦，因为 12 除以 1 等于 12 嘛。
那 2 呢？12 除以 2 等于 6，所以 2 也是哦。
这样依次试下去，3 呀，4 呀，6 呀，12 呀，都是 12 的约数呢。
这是不是挺简单的呀？那技巧方面呢，也有不少哦。
比如，如果一个数的末尾是0 或者5，那它肯定能被 5 整除呀，5 不就是它的约数嘛。
再比如，一个数各个数位上的数字之和能被 3 整除，那这个数也就能被 3 整除，3 不就成了它的约数喽。
咱们来举个例子呀，就说 30 吧。
一看末尾是 0，那肯定能被 5 整除呀，5 就是它的约数。
再算算各个数位上数字之和，3+0=3，能被 3 整除，那 3 也是它的约数。
而且 30 除以 2 等于 15，2 也是它的约数呢。
哇，一下子就找到这么多约数啦！还有哦，如果两个数相乘等于另一个数，那这两个数也都是这个数的约数呀。
就好像 2×3=6，那 2 和 3 不都是 6 的约数嘛。
小朋友们，想想看，约数是不是很有趣呀？它就像是数字世界里的小秘密，等着我们去发现呢！通过找约数，我们能更好地理解数字之间的关系，这对我们以后学习数学可重要啦！所以呀，大家一定要好好掌握约数的计算方法和技巧哟！别小看这些小小的约数，它们能帮我们解决好多数学问题呢！你们说是不是呀？。
约数的计算方法和技巧
约数的计算方法和技巧
约数的计算方法和技巧有很多种,以下是一些常用的方法:
1. 质数分解法:将一个大于1的自然数分解质因数,即可找到其中含有多少个质因数的数。
2. 合数分解法:将一个大于1的自然数分解合数,即可找到其中含有多少个偶数和多少个奇数的数。
3. 韦达定理:韦达定理是一个用于计算两个数之间是否为因数
的定理。
4. 埃氏筛法:埃氏筛法是用于寻找质数的算法。
通过不断地缩小范围,将未筛选的数逐渐排除,最终找到质数。
5. 米勒-拉宾素性测试:米勒-拉宾素性测试是一种用于确定一
个数是否为素数的算法。
它通过模拟该数的加减运算,判断它是否容易被一个小于一定大小的数整除。
6. 欧拉公式:欧拉公式是一个用于计算两个数之间余数的公式。
该公式可以用于计算任意两个数的和与差,以及它们的中位数、众数等。
7. 快速幂算法:快速幂算法是一种用于计算一个整数的幂的算法。
该算法的时间复杂度为 O(log n),其中n是输入整数的位数。
8. 蒙特卡罗方法:蒙特卡罗方法是一种用于模拟随机过程的算法。
该方法可以用于计算一些随机变量的分布,从而得到它们的概率分布。
这些算法和技巧都是常用的约数计算方法和技巧,不同的约数问
题可能需要选择不同的算法和技巧来解决。
【知识总结】约数个数定理和约数和定理及其证明
【知识总结】约数个数定理和约数和定理及其证明
据说这俩是⼩学奥数内容？完了我菜成⼀团没上过⼩学
本⽂只研究正整数A的约数个数和约数和。
⾸先对A分解质因数
A=\prod_i^n p_i^{a_i} \ (p_i是质数)
约数个数定理
先看结论
num=\sum_i^n (a_i+1)
考虑对于A的任意⼀个约数a，都显然存在唯⼀的数列a'使
a=\prod_i^n p_i^{a'_i} \ (0 \leq a'_i \leq a_i)
由唯⼀分解定理得，每⼀个符合条件的数列a'都对应A的⼀个约数，反之亦然。
由乘法原理得共有(a_1+1)*(a_2+1)...*(a_n+1)种数列a'，得证。
约数和定理
同样先看结论：
sum=\prod_{i=1}^n\sum_{j=0}^{a_i}p_i^j
⾸先考虑n=1的情况，即A=p^a \ (p是质数)，显然约数和是\sum_{i=0}^{a}p^i
当n>1，如果已知了x=A/{p_n^{a_n}}的约数和sum'，如何求A的约数和sum呢？
显然，给每个x的约数x'均乘上每⼀个p_n^i \ (0 \leq i \leq a_n)，就构成了A的约数集合。
那么就得到
sum=\sum \left(x'*\sum _{i=0}^{a_n}p_n^i\right)
由乘法分配律得到
sum=sum'*\sum _{i=0}^{a_n}p_n^i
⼜由当n=1时sum=\sum_{i=0}^{a}p^i递推得到最终的结论。
Processing math: 0%。
约数个数计算公式(一)
约数个数计算公式(一)
约数个数计算公式
约数个数计算公式是用来计算一个正整数的约数个数的公式。
通过使用这个公式，我们可以方便地确定一个数的所有约数的个数，进
而进行相关计算。
概述
约数是指能够整除给定正整数的所有整数。
例如，对于整数10来说，它的约数为1、2、5和10，一共有4个约数。
那么约数个数计算
公式就是用来算出给定正整数的所有约数的个数的公式。
公式
给定正整数n，其约数个数计算公式如下：
约数个数 = (p1 + 1) * (p2 + 1) * ... * (pk + 1)
其中，p1、p2、…、pk是n的所有质因数。
举例说明
以正整数36为例，我们来使用约数个数计算公式计算其约数个数。
1.分解质因数：36 = 2^2 * 3^2
2.根据公式，计算约数个数：(2 + 1) * (2 + 1) = 3 * 3 = 9
因此，正整数36的约数个数为9个。
我们可以验证一下：36的
所有约数为1、2、3、4、6、9、12、18和36，共有9个。
其他应用
约数个数计算公式在数论和组合数学中有着广泛的应用。
它可以
用来求解整数的因子分解、找到所有满足某个条件的整数等等。
在计
算机编程中，这个公式也经常被用来解决相关问题，比如设计某种算
法或优化程序性能等。
总结
通过使用约数个数计算公式，我们可以方便地计算出给定正整数
的约数个数。
这个公式的应用范围广泛，不仅在数学领域有重要意义，也在计算机编程中有实际应用。
掌握了这个公式，我们能够更高效地
解决与约数个数相关的问题。
掌握简单的约数的计算
掌握简单的约数的计算作为数学的基础知识，约数的计算在我们日常生活和学习中都非常常见。
掌握简单的约数计算方法，不仅可以帮助我们解决实际问题，还能为我们的数学学习打下坚实的基础。
本文将介绍如何简单地计算约数，帮助读者掌握这一重要的数学技巧。
一、什么是约数约数，顾名思义，即能够整除某个数的数。
比如，2、3、4、6都是12的约数，因为它们能够整除12。
而5、7、8就不是12的约数。
二、约数计算的方法1. 因数分解法因数分解法是计算约数最常用的方法之一。
它的基本思想是将待计算的正整数分解为素数的乘积，然后通过组合这些素数的所有可能性，得到其所有的约数。
例如，我们要计算数值为30的约数，首先将30进行因数分解：30=2×3×5。
然后，我们可以通过组合2、3、5的各种可能，得到30的所有约数：1、2、3、5、6、10、15、30。
这些数都可以整除30，所以它们都是30的约数。
2. 列举法列举法是计算约数的另一种常用方法。
采用列举法时，我们从1开始，逐个列举出能够整除待计算数的整数，直到达到待计算数本身为止。
以数值为24的约数计算为例，我们从1开始逐一列举：1、2、3、4、6、8、12、24。
我们可以发现，以上这些整数都能够整除24，因此它们都是24的约数。
三、如何判断一个数是否为另一个数的约数判断一个数是否为另一个数的约数，只需要看这个数是否能够整除另一个数，即是否能够被另一个数整除而没有余数。
例如，我们要判断数值为45的约数。
我们可以逐个尝试用数值为45的整数去除以其他整数，如果能整除而没有余数，那么被试数即为45的约数。
反之，如果无法整除或者有余数，那么被试数则不是45的约数。
四、约数的应用掌握简单的约数计算方法，我们在实际生活中会发现很多应用场景。
以下是一些约数的常见应用。
1. 最大公约数最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。
通过计算两个数的约数，我们可以找到它们的最大公约数。
排列组合约数问题讲解
排列组合约数问题讲解
排列组合约数问题是一个复杂但有规律的数学问题，通常涉及数的因数分解和排列组合原理。
以下是对这个问题的基本讲解：
首先，我们要理解什么是约数。
约数，又称因数，是能够整除给定数的整数。
例如，12的约数有1、2、3、4、6和12。
在排列组合约数问题中，我们通常会遇到这样的问题：给定一个数M，它是由多个质数的幂次乘积组成，求M的所有约数的个数。
为了解这个问题，我们需要用到排列组合中的乘法原理。
假设M可以分解为n个质数的幂次乘积，即M = p1^a * p2^b * p3^c * ... * pn^z，其中p1、p2、p3、...、pn是质数，a、b、c、...、z是它们的幂次。
根据乘法原理，M的每一个约数都可以由这些质数的幂次中选择一个组成。
例如，对于质数p1，我们可以选择它的0次幂（即1）、1次幂、2次幂、...、a 次幂作为约数的一部分。
因此，对于质数p1，它有a+1种选择。
同理，对于质数p2、p3、...、pn，它们分别有b+1、c+1、...、z+1种选择。
根据乘法原理，M的所有约数的个数就是这些选择数的乘积，即(a+1) * (b+1) * (c+1) * ... * (z+1)。
这就是排列组合约数问题的基本解法。
需要注意的是，这个问题中的排列组合并不是传统意义上的排列和组合，而是用到了排列组合中的乘法原理。
另外，这个问题还可以进一步扩展，例如求M的所有约数的和、求M的所有奇约数的个数等等。
这些问题都可以通过类似的方法来解决，只是需要更深入地理解约数的性质和排列组合的原理。
小学五年级竞赛第六讲约数的个数与约数和定理
小学五年级竞赛第六讲约数的个数与约数和定理第六讲约数的个数与约数和定理一、课前热身：1、20有多少个约数吗？这些约数的和是多少？2、大于0的自然数，如果满足所有约数之和等于它自身的2倍，则这样的数称为完美数或完全数．比如，6的所有约数为1，2，3，6，它们的和=1+2+3+6=12，而且6是最小的完美数．是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一．研究完美数可以从计算自然数的所有约数之和开始，321的所有因数之和为．二、典例精析：3、已知300=2×2×3×5×5，则300一共有多少个不同的约数？这些约数的和是多少？4、2009的平方的约数有多少个？5、一个正整数，它的2倍的约数恰好比它自己的约数多2个，它的3倍的约数恰好比它自己的约数多3个.那么，这个正整数是多少？6、已知a有8个约数，b有9个约数，且a、b的最大公约数是12，试求a、b的值.7、设数A共有9个不同约数，B共有6个不同约数，C共有8个不同约数，这三个数中的任何两个都互不整除，求三个数之积的最小值.8、自然数A的所有约数两两求和，又得到若干个自然数，在这些新的数中，其中最小的为4，最大的为876，求A的值.9、把360的所有约数从小到大排列，第4个数是4，那么倒数第4个数是多少？10、整数n一共有10个因数，这些因数从小到大排列，第8个是。
那么整数n的最大值是多少？三、竞赛真题：11、（2010?华罗庚金杯）恰有20个因数的最小自然数是（）A．120 B．240 C．360 D．43212、（2012?希望杯）已知自然数N的个位数字是0，且有8个约数，则N最小是。
13、（2017?华罗庚金杯）已知自然数n有10个约数，2n有20个约数，3n 有15个约数，那么6n有个约数。
14、（2011?希望杯）如果一个自然数的约数的个数是奇数，我们称这个自然数为“希望数”，那么1000以内最大的“希望数”是。
求约数的个数（约数个数定理）
求约数的个数（约数个数定理）最近做了⼀个要求求⼀个数约数个数的题，后来发现居然有这⽅⾯的定理，也就是约数个数定理，所以赶紧记下来。
⼤概是：对于⼀个⼤于1正整数n可以分解质因数：n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*…*p k^a k,则n的正约数的个数就是（a1+1）（a2+1）（a3+1）…(a k+1) .其中p1，p2，p3，…p k都是n的质因数;a1、a2、a3…ak是p1、p2、p3，…p k的指数。
具体情况可以百度之；附上⼀份代码：1 #include<iostream>2 #include<cstdio>3 #include<cmath>4using namespace std;5int main()6 {7int t;8while(scanf("%d",&t)==1)9 {10int temp=t;11int count=1;12int c=1;13int i=2;14bool flag=false;15while(t!=1&&t>1)16 {17if(i>sqrt(temp))18 {19 count*=2;20break;21 }22if(t%i==0)23 {24 c++;25 t/=i;26 flag=true;27 }28else29 {30if(flag)31 {32 count*=c;33 c=1;34 flag=false;35 }36 i++;37 }38 }39if(flag)40 count*=c;41 printf("%d\n",count);42 }43return0;44 }输⼊数字输出它的约数个数，本来约数只要判除素数就⾏，但是打素数也挺慢就算了。
ACM知识：求一个数有多少约数及所有约数之和、分解质因数
今天做题遇见，于是就搜了一下，于是就有了这篇文章。
（其实我不知道原理....Orz）我觉得分解质因数的最优算法应该不是我这篇文章中的这个.....谁有好的算法可以给我说一下，谢谢。
1.有多少个约数：先分解质因数因数的次数分别是4,2,1所以约数的个数为(4+1)*(2+1)*(1+1)=5*3*2=30个eg：先分解质因数720=2^4*3^2*5因数的次数分别是4,2,1所以约数的个数为(4+1)*(2+1)*(1+1)=5*3*2=30个2.所有约数之和：2004的约数之和为:1, 2, 3, 4, 6, 12, 167, 334, 501, 668, 1002 ,2004 = 4704如何求一个数所有约数之和呢?首先,应用算术基本定理,化简为素数方幂的乘积。
X = a1^k1 * a2^k2........an^knX的所有素数之和可用公式(1+a1 + a1^2...a1^k1) * (1+a2 + a2^2...a2^k2) * .....(1+an + an^2...an^kn)表示如:2004 = 2^2 * 3 *167２００４所有因子之和为(1 + 2 + 2^2) * (1 + 3) * ( 1 + 167) = 4704;程序实现的时候，可利用等比数列快速求1 + a1 + a1^2 + .....a1^n; 3.分解质因数我用的算法是这个：程序分析：对n进行分解质因数，应先找到一个最小的质数k，然后按下述步骤完成：(1)如果这个质数恰等于n，则说明分解质因数的过程已经结束，打印出即可。
(2)如果n <> k，但n能被k整除，则应打印出k的值，并用n除以k的商,作为新的正整数你n,重复执行第一步。
(3)如果n不能被k整除，则用k+1作为k的值,重复执行第一步。
2.程序源代码：/* zheng int is divided yinshu*/#include "stdio.h "#include "conio.h "main(){int n,i;printf( "\nplease input a number:\n ");scanf( "%d ",&n);printf( "%d= ",n);for(i=2;i <=n;i++)while(n!=i){if(n%i==0){printf( "%d* ",i);n=n/i;}elsebreak;}printf( "%d ",n);//注意这个n才是最后一个质因数。
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① 45 ② 120 ③ 360 ④ 520
将此数分解质因数，如20=2*2*5就是分解成2、5两个质数的乘积
20的约数就有1、2、2*2=4、2*5=10、5、20
约数和=（1+2+2*2）*（1+5）=42
21的约数和=（1+3）*（1*7）=28
2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
5. 能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
大家都知道，一个自然数（0除外）的约数的个数是有限的，1的约数只有1个，就是1；一个质数的约数只有两个，就是1和它本身；任何一个合数的约数至少有3个，那么，一个合数的约数的个数到底有多少个呢？
象小一点的合数，如12的约数，我们可以用配对列举的办法迅速写出它的约数有1，12，2，6，3，4，一共有6个。如果是大一些的数，列举就相当麻烦了。有没有巧妙一些的方法呢？回答是肯定的。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
24的约数和=（1+2+2*2+2*2*2）*（1+3）
你可参照《知识出版社de奥赛数学》p51
、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；
同样，60=2×2×3×5，由2×2可知60的约数有（1，2，4），由3可知60的约数有（1，3），由5可知60的约数有（1，5），所以60的全部约数之和是（1+2+4）×（1+3）×（1+5）=7×4×6=168。
你学会求一个合数的约数个数及其约数之和吗？请你利用这种方法求出下列合数的约数个数及其约数之和。
我们可以先将这个合数分解质因数，然后把相同质因数个数（单独的质因数算一个）分别加1后再相乘，所得的积就是合数的约数个数。象上面提到的12，它分解质因数是12=2×2×3，也就是说12的质因数有2个2和1个3，因此它的约数个数就是（2+1）×（1+1）=6（个）。
如果要我们求60的约数个数，我们同样可以先把60分解质因数60=2×2×3×5，所以60的约数有（2+1）×（1+1）×（1+1）=12（个）。
二、整除判断方法：
1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
有一些题目还需要我们计算出约数之和，当然也不用先将所有的约数列举出来再求和。我们同样可以先把合数分解质因数，再将仅含一个质因数的全部约数相加，然后将这些和数相乘所得的积就是这个合数的全部约数之和。
象12分解质因数是12=2×2×3，由2×2可知12的约数有（1，2，4），由3可知12的约数有（1，3）而12的约数是（1，2，4）中每一个数与（1，3）中每一个数分别相乘的全部结果，所以12的全部约数之和就是（1+2+4）×1+（1+2+4）×3=（1+2+4）×（1+3）=7×4=28。