高中数学不等式练习题(供参考)
(完整)高中数学不等式习题及详细答案
第三章 不等式一、选择题1．已知x ≥25，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )．A ．最大值45B ．最小值45C ．最大值1D ．最小值12．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221＋)(xy 的最小值是( )．A ．3B ．27 C ．4 D ．29 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ab1≥22B ．(a ＋b )(a 1＋b1)≥4 C22≥a ＋bD ．ba ab+2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式xx f x f )()(－－＜0的解集为( )．A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(0，1)5．当0＜x ＜2π时，函数f (x )＝x xx 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )．A ．2B ．32C ．4D ．346．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18B ．6C ．23D ．2437．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧4≤ 34 ≥30 ≥y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )．A ．73B ．37C ．43D ．348．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为35，则点P 的坐标是( )．A ．(－5，1)B ．(－1，5)C ．(－7，2)D ．(2，－7)9．已知平面区域如图所示，z ＝mx ＋y (m ＞0)在平面区域内取得最优解(最大值)有无数多个，则m 的值为( )．A ．－207B ．207 C ．21D ．不存在10．当x ＞1时，不等式x ＋11-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]二、填空题11．不等式组⎩⎨⎧ 所表示的平面区域的面积是 ．12．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧ 若目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围是 ．13．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是 ． 14．设a ，b 均为正的常数且x ＞0，y ＞0，xa＋y b ＝1，则x ＋y 的最小值为 ．15．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则m 1＋n2的最小值为 ． 16．某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p 1，第三年比第二年增长的百分率为p 2，若p 1＋p 2为定值，则年平均增长的百分率p 的最大值为 ．(x －y ＋5)(x ＋y )≥00≤x ≤3 x ＋2y －3≤0 x ＋3y －3≥0， y －1≤0(第9题)三、解答题17．求函数y ＝1＋10＋7＋2x x x (x ＞－1)的最小值．18．已知直线l 经过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．(第18题)19．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少？20．(1)已知x ＜45，求函数y ＝4x －1＋5－41x 的最大值； (2)已知x ，y ∈R ＊(正实数集)，且x 1＋y 9＝1，求x ＋y 的最小值；(3)已知a ＞0，b ＞0，且a 2＋22b ＝1，求2＋1b a 的最大值．参考答案1．D解析：由已知f (x )＝4－25＋4－2x x x ＝)()(2－21＋2－2x x ＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡2－1＋2－x x )(， ∵ x ≥25，x －2＞0， ∴21⎥⎦⎤⎢⎣⎡2－1＋2－x x )(≥21·2－12－2x x ⋅)(＝1， 当且仅当x －2＝2－1x ，即x ＝3时取等号． 2．C 解析：221＋)(y x ＋221＋)(xy ＝x 2＋22241＋＋＋41＋x x y y yy x ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋x x ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋y y ＋⎪⎪⎭⎫⎝⎛x y y x ＋． ∵ x 2＋241x ≥22241x x ⋅＝1，当且仅当x2＝241x ，x ＝22时取等号； 41＋22y y ≥22241y y ⋅＝1，当且仅当y 2＝241y ，y ＝22时取等号； x yy x ＋≥2x y y x ⋅＝2(x ＞0，y ＞0)，当且仅当y x ＝xy，y 2＝x 2时取等号． ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋x x ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋y y ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x y y x ＋≥1＋1＋2＝4，前三个不等式的等号同时成立时，原式取最小值，故当且仅当x ＝y ＝22时原式取最小值4． 3．D 解析：方法一：特值法，如取a ＝4，b ＝1，代入各选项中的不等式，易判断只有ba ab+2≥ab 不成立．方法二：可逐项使用均值不等式判断 A ：a ＋b ＋ab1≥2ab ＋ab1≥2abab 12⋅＝22，不等式成立．B ：∵ a ＋b ≥2ab >0，a 1＋b 1≥2ab 1>0，相乘得 (a ＋b )( a 1＋b1)≥4成立．C ：∵ a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－222⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ＝222⎪⎭⎫⎝⎛+b a ，又ab ≤2b a +⇒ab1≥b a +222≥a ＋b 成立． D ：∵ a ＋b ≥2ab ⇒b a +1≤ab 21，∴b a ab +2≤ab ab 22＝ab ，即ba ab+2≥ab 不成立．4．D解析: 因为f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，x x f x f )()(－－＜0x x f )(2⇔＜0⇔xf (x )＜0，满足x 与f (x )异号的x 的集合为所求．因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，画出f (x )在(0，＋∞)的简图如图，再根据f (x )是奇函数的性质得到f (x ) 在(－∞，0)的图象．由f (x )的图象可知，当且仅当x ∈(－1，0)∪(0，1)时，x 与f (x )异号． 5．C解析：由0＜x ＜2π，有sin x ＞0，cos x ＞0． f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12＝x x x x cos sin 2sin 8＋cos 222＝xx sin cos ＋x x cos sin 4≥2x x x x cos sin 4sin cos· ＝4，当且仅当xx sin cos ＝x xcos sin 4，即tan x ＝21时，取“＝”． ∵ 0＜x ＜2π，∴ 存在x 使tan x ＝21，这时f (x )min ＝4．6．B解析：∵ a ＋b ＝2，故3a ＋3b ≥2b a 33⋅＝2b a +3＝6，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．(第4题)故3a ＋3b 的最小值是6．7．A解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分 △ABC ．由⎩⎨⎧4343＝＋＝＋y x y x 得A (1，1)，又B (0，4)，C (0，43)．由于直线y ＝k x ＋43过点C (0，43)，设它与直线 3x ＋y ＝4的交点为D ，则由S △BCD ＝21S △ABC ，知D 为AB 的中点，即x D ＝21，∴ y D ＝25， ∴ 25＝k ×21＋34，k ＝37．8．A解析：设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧解得⎩⎨⎧. 1＝， 5＝－00y x∴ 点P 坐标是(－5，1)． 9．B解析：当直线mx ＋y ＝z 与直线AC 平行时，线段AC 上的每个点都是最优解．∵ k AC ＝1－5522－3＝－207， ∴ －m ＝－207，即m ＝207． 10．D 解析：由x ＋1－1x ＝(x －1)＋1－1x ＋1， ∵ x ＞1，∴ x －1＞0，则有(x －1)＋1－1x ＋1≥21－11－x x )·(＋1＝3，则a ≤3．. 53＝56＋2， 0＜1－－， 0＝3＋2＋000000-y x y x y x二、填空题 11．24．解析：不等式(x －y ＋5)(x ＋y )≥0可转化为两个 二元一次不等式组． ⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⇔ 或⎪⎩⎪⎨⎧这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求．第一个不等式组所对应的区域如图，而第二个不等式组所对应的区域不存在．图中A (3，8)，B (3，－3)，C (0，5)，阴影部分的面积为25＋113)(⨯＝24． 12．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 ＞a a ．解析：若z ＝ax ＋y (a ＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的倾斜角一定小于直线x ＋2y －3＝0的倾斜角，直线z ＝ax ＋y 的斜率就一定小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，可得：－a ＜－21，即a ＞21．13．a b ≥9．解析：由于a ，b 均为正数，等式中含有ab 和a ＋b 这个特征，可以设想使用2＋ba ≥ab 构造一个不等式．∵ ab ＝a ＋b ＋3≥ab 2＋3，即a b ≥ab 2＋3(当且仅当a ＝b 时等号成立)， ∴ (ab )2－ab 2－3≥0，∴ (ab －3)(ab ＋1)≥0，∴ab ≥3，即a b ≥9(当且仅当a ＝b ＝3时等号成立)． 14．(a ＋b )2． 解析：由已知xay ，y bx 均为正数，(x －y ＋5)(x ＋y )≥0 0≤x ≤3x －y ＋5≥0 x ＋y ≥0 0≤x ≤3 x －y ＋5≤0 x ＋ y ≤0 0≤x ≤3(第11题)∴ x ＋y ＝(x ＋y )(x a＋y b )＝a ＋b ＋x ay ＋y bx ≥a ＋b ＋ybx x ay ·2 ＝a ＋b ＋2ab ， 即x ＋y ≥(a ＋b )2，当且仅当1＝＋ ＝yb x a y bxx ay 即 ab b y ab a x ＋＝＋＝时取等号． 15．8．解析：因为y ＝log a x 的图象恒过定点(1，0)，故函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过定点A (－2，－1)，把点A 坐标代入直线方程得m (－2)＋n (－1)＋1＝0，即2m ＋n ＝1，而由mn ＞0知mn ，n m 4均为正，∴m 1＋n2＝(2m ＋n )(m 1＋n 2)＝4＋m n ＋n m 4≥4＋n m m n 42⋅＝8，当且仅当1＝＋24＝n m n m m n 即 21＝41＝n m 时取等号． 16．221p p +． 解析：设该厂第一年的产值为a ，由题意，a (1＋p )2＝a (1＋p 1)(1＋p 2)，且1＋p 1＞0， 1＋p 2＞0，所以a (1＋p )2＝a (1＋p1)(1＋p 2)≤a 2212＋1＋＋1⎪⎭⎫ ⎝⎛p p ＝a 2212＋＋1⎪⎭⎫ ⎝⎛p p ，解得p ≤2＋21p p ，当且仅当1＋p 1＝1＋p 2，即p 1＝p 2时取等号．所以p 的最大值是2＋21pp ． 三、解答题17．解：令x ＋1＝t ＞0，则x ＝t －1，y ＝t t t 10＋1－7＋1－2)()(＝t t t 4＋5＋2＝t ＋t4＋5≥t t 42⋅＋5＝9，当且仅当t ＝t4，即t ＝2，x ＝1时取等号，故x ＝1时，y 取最小值9．18．解：因为直线l 经过点P (3，2)且与x 轴y 轴都相交， 故其斜率必存在且小于0．设直线l 的斜率为k ， 则l 的方程可写成y －2＝k (x －3)，其中k ＜0． 令x ＝0，则y ＝2－3k ；令y ＝0，则x ＝－k2＋3． S △AOB ＝21(2－3k )(－k 2＋3)＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(k k 4－＋9－＋12≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅)()(k k 4－9－2＋1221＝12，当且仅当(－9k )＝(－k 4)，即k ＝－32时，S △AOB 有最小值12，所求直线方程为 y －2＝－32(x －3)，即2x ＋3y －12＝0． 19．解：设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，则有关系：A 原料用量B 原料用量甲产品x 吨 3x 2x 乙产品y 吨y3y则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++>> 18≤3213≤ 30 0y x y x y x ，目标函数z ＝5x ＋3y作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知 当x ＝3，y ＝4时可获得最大利润为27万元.20．解：(1)∵ x ＜45，∴ 4x －5＜0，故5－4x ＞0． y ＝4x －1＋541x －＝－(5－4x ＋x－451)＋4．∵ 5－4x ＋x－451≥x －x －451452)(＝2，∴ y ≤－2＋4＝2， 当且仅当5－4x ＝x －451，即x ＝1或x ＝23(舍)时，等号成立， 故当x ＝1时，y max ＝2．xOAy P (3,2)B(第18题)(第18题)第 11 页 共 11 页 (2)∵ x ＞0，y ＞0，x1＋y 9＝1， ∴ x ＋y ＝(x 1＋y 9)(x ＋y )＝x y ＋y x 9＋10≥2yx x y 9 · ＋10＝6＋10＝16． 当且仅当x y ＝y x 9，且x 1＋y 9＝1，即⎩⎨⎧12＝， 4＝y x 时等号成立， ∴ 当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16．(3)a 2＋1b ＝a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2＋2122b ＝2·a 2＋212b ≤22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2＋21＋22b a ＝423， 当且仅当a ＝2＋212b ，即a ＝23，b ＝22时，a 2＋1b 有最大值423．。
高中数学不等式经典练习题1(含答案)
高中数学不等式经典练习题1(含答案) 高中数学不等式经典练题【编著】黄勇权一、选择题1、若a∈R，下列不等式恒成立的是（）A、a²+1≥a2、已知x＞y＞0，若x+y=1，则下列数中最大的是（）D、x²+y²3、a∈R，b∈R，若a²+b²=1，则a+b（）C、有最小值24、a，b为任意实数，若a＞b，则有（）A、a²＞b²5、实数a，b＞0，则a+b的最大值是。
C、36、已知x＞0，y＞0，z＞0，且x+y+z=3，则xy+xz+yz的最大值是。
B、37、已知a，b，c∈R，若a＞b，则以下不等式成立的是（）A、ac＞bc。
8、实数a≥1，b≥0，若3a²+6a+2b²=3，则（a+1）3b²+1的最大值。
D、39、已知a、b为正实数，且满足2ab=2a+b+3，则a+b/2的最小值是。
B、310、已知x，y，z为正数，若ab+bc+ca=1，则a+b+c的最小值是A、2.二、填空题1、已知实数x，y满足x+y=2xy，则xy的最小值是1/2.2、已知m＞0，n＞0，且m+n=1，则（m-1）（n-1）的最小值是1/4.3、函数y=x+2-x的最大值是2.4、已知x、y为正数，若2x+3y=4，则x/2+y/3的最小值是8/15.5、函数f（a）=a-a²的最大值是1/4.6、m、n均为正数，若m+n=1，则mn最小值是1/4.7、已知x，y，z为正数，若3x+2y+z=2，则9x²+4y²+z²的最小值是13/9.8、x+2y=4，则x/2+3y/4的最大值是8/3.9、已知a、b、c为正实数，若a+b+c=1，则ab+bc+ca的最小值为1/3.三道数学题的解答1.已知实数 $x,y,z$ 满足$x^2+y^2=2,y^2+z^2=3,z^2+x^2=3$，求$xy+yz+zx$ 的最大值。
高中数学-不等式的应用练习
高中数学-不等式的应用练习一、选择题1．某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0＜t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出⎣⎢⎡⎦⎥⎤如前10天的平均售出为f 1010的月饼最少为( ) A ．18 B ．27 C ．20D ．16解析：平均销售量y ＝f t t ＝t 2＋10t ＋16t ＝t ＋16t＋10≥18，当且仅当t ＝16t，即t ＝4∈[1,30]时等号成立，即平均销售量的最小值为18. 答案：A2．汽车上坡时的速度为a ，原路返回时的速度为b ，且0＜a ＜b ，则汽车全程的平均速度比a ，b 的平均值( )A ．大B ．小C ．相等D ．不能确定解析：设单程为s ，则上坡时间t 1＝sa ，下坡时间t 2＝s b， 平均速度为v ＝2s t 1＋t 2＝2s s a ＋s b ＝21a ＋1b＜a ＋b2. 答案：B3．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析：若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x8＝20， 当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号．答案：B4．如图，建立平面直角坐标系，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km ，某炮位于原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．则炮的最大射程为( )A ．20 kmB ．10 kmC ．5 kmD ．15 km解析：令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0.由实际意义和题设条件，知x ＞0，k ＞0.故x＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1k，即k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10 km. 答案：B 二、填空题5．设三角形的三边长分别为3,4,5，P 是三角形内的一点，则点P 到这个三角形三边的距离的积的最大值是________.解析：设点P 到三角形三边的距离分别为h 1，h 2，h 3. 由题意，得三角形为直角三角形，S ＝12×3×4＝6.∴12h 1·3＋12h 2·4＋12h 3·5＝6. ∴3h 1＋4h 2＋5h 3＝12≥3360h 1h 2h 3. ∴h 1h 2h 3≤6460＝1615.答案：16156．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为____________m.解析：如图，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，交DE 于点F .易知DE BC ＝x 40＝AD AB ＝AFAH⇒AF ＝x ⇒FH＝40－x .则S ＝x (40－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4022，当且仅当40－x ＝x ，即x ＝20时取等号．所以满足题意的边长x 为20 m.答案：20 三、解答题7．某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元．(1)该船捕捞几年后开始盈利(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)? (2)该船捕捞若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出． 哪一种方案较为合算？请说明理由．解：(1)设捕捞n 年后开始盈利，盈利为y 元，则y ＝50n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n ＋n n －12·4－98＝－2n 2＋40n －98.由y ＞0，得n 2－20n ＋49＜0.解得10－51＜n ＜10＋51(n ∈N ＋)． 所以3≤n ≤17.故捕捞3年后开始盈利．(2)①由(1)，得y ＝－2n 2＋40n －98.所以平均盈利为y n ＝－2n －98n＋40≤－22n ·98n＋40＝12，当且仅当2n ＝98n，即n ＝7时，年平均盈利最大．故经过7年捕捞后平均盈利最大，共盈利12×7＋26＝110(万元)． ②由(1)，得y ＝－2n 2＋40n －98＝－2(n －10)2＋102. 所以当n ＝10时，函数y 的最大值为102.故经过10年捕捞后盈利总额最大，共盈利102＋8＝110(万元)． 因为两种方案盈利相等，但方案②的时间长， 所以方案①合算．8．某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，其主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和矩形EFGH 构成的面积是200 m 2的十字形区域，现计划在正方形MNPQ 上建一花坛，造价为4 200元/m 2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m 2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m 2.(1)设总造价为S 元，AD 的边长为x m ，试建立S 关于x 的函数解析式； (2)计划至少要投多少万元才能建造这个休闲小区？ 解：(1)设DQ ＝y m ，则x 2＋4xy ＝200，即 y ＝200－x24x.所以S ＝4 200x 2＋210×4xy ＋80×4×12y 2＝38 000＋4 000x 2＋400 000x2(0＜x ＜102)． (2)由(1)，得S ＝38 000＋4 000x 2＋400 000x2≥38 000＋216×108＝118 000，当且仅当4 000x 2＝400 000x2，即x ＝10时取等号． 因为118 000元＝11.8万元，所以计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．一、选择题1．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外，每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )A ．10B ．11C ．13D ．21解析：设该企业需要更新设备的年数为x ，设备年平均费用为y 万元，则x 年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x ＝[x (x ＋1)]万元，所以x 年的年平均费用为y ＝100＋0.5x ＋x x ＋1x＝x ＋100x＋1.5万元．由平均值不等式，得y ＝x ＋100x＋1.5x ·100x ＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号．答案：A2．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流x (0＜x ＜100，x ∈N ＋)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析：由题意，得分流前每年创造的产值为100t 万元，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t 万元．则⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100，x ∈N ＋，100－x1＋1.2x %t ≥100t .解得0＜x ≤503.因为x ∈N ＋，所以x 的最大值为16. 答案：B 二、填空题3．制造一个容积为π2 m 3的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为每平方米30元，做侧面的金属板的价格为每平方米20元，则当圆柱形桶的底面半径为________m 、高为________m 时，所使用的材料成本最低．解析：设此圆柱形桶的底面半径为r m ，高为h m ，则底面面积为πr 2m 2，侧面积为2πrh m 2.设原料成本为y 元，则y ＝30πr 2＋40πrh . 因为桶的容积为π2 m 3，所以πr 2h ＝π2，即rh ＝12r.所以y ＝30πr 2＋20rπ＝10π⎝ ⎛⎭⎪⎫3r 2＋1r ＋1r ≥10π·333，当且仅当3r 2＝1r ，即r ＝393时等号成立，此时h ＝392.答案：393 3924．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为________.解析：设底面边长为x ，高为h ，则34x 2h ＝V ，即h ＝43V 3x2. 所以S 表＝2×34x 2＋3xh ＝32x 2＋3x ·43V 3x 2＝32x 2＋43Vx ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8V x ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4V x ＋4V x ≥32×3316V 2＝33·32V 2， 当且仅当x 2＝4V x，即x ＝34V 时取等号．答案：34V 三、解答题5．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．(1) (2)解：设正六棱柱容器的底面边长为x (x ＞0)，高为h ，由下图，可得2h ＋3x ＝ 3.所以h ＝32(1－x )，V ＝S 底·h ＝6×34x 2h ＝ 332x 2·32(1－x )＝23×332·x 2·x 2·(1－x )≤9⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋x2＋1－x 33＝13，当且仅当x 2＝1－x ，即x ＝23时等号成立．所以当底面边长为23时，正六棱柱容器容积最大，为13.6．某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200 kg ，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．(1)该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？(2)若提供饲料的公司规定：当一次购买饲料不少于5 t 时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%)．该厂是否可以考虑利用此优惠条件？请说明理由．解：(1)设该厂应隔x (x ∈N ＋)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 1元． 因为饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)， 所以x 天饲料的保管与其他费用共 6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝(3x 2－3x )元． 从而有y 1＝1x(3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x＋3x ＋357≥417，当且仅当300x＝3x ，即x ＝10时取等号．故每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．(2)该厂可以考虑利用此优惠条件．理由如下：若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料．设该厂利用此优惠条件，每隔x 天(x ≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 2元，则y 2＝1x(3x 2－3x ＋300)＋200×1.8×0.85＝300x＋3x ＋303(x ≥25)．因为y ′2＝－300x2＋3，所以当x ≥25时，y 2′＞0，即函数y 2在区间[25，＋∞)上是增函数． 则当x ＝25时，函数y 2取得最小值为390. 而390＜417，故该厂可以考虑利用此优惠条件．。
高中数学不等式经典题型专题训练试题(含答案)
高中数学不等式经典题型专题训练试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分100分。
考试时间120分钟。
２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。
考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）一．单选题（共10小题，每题2分，共20分）1．设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，，则a，b，c大小关系（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b2．已知实数x，y满足条件，则目标函数z=2x-y（）A．有最小值0，有最大值6B．有最小值-2，有最大值3C．有最小值3，有最大值6D．有最小值-2，有最大值63．若x是三角形的最小内角，则函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值是（）A．-1B．C．D．4．不等式x2-|x|-2＜0的解集是（）A．{x|-2＜x＜2}B．{x|x＜-2或x＞2}C．{x|-1＜x＜1}D．{x|x＜-1或x＞1}5．若不等式f（x）=ax2-x-c＞0的解集为（-2，1），则函数y=f（x）的图象为（）A．B．C．D．6．设a=0.20.3，b=0.20.2，c=log20.4，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a7．设0＜b＜a＜1，则下列不等式中成立的是（）A．a2＜ab＜1B．C．ab＜b2＜1D．2b＜2a＜28．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（）A．sin（α+β）＞sinα+sinβB．sin（α+β）＞cosα+cosβC．cos（α+β）＜sinα+sinβD．cos（α+β）＜cosα+cosβ9．若0＜m＜n，则下列结论正确的是（）A．B．2m＞2n C．D．log2m＞log2n10．设a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．B．C．|a|＞-b D．二．填空题（共10小题，每题2分，共20分）11．已知x＞-1，y＞0且满足x+2y=2，则的最小值为______．12．已知a，b∈R+，且2a+b=1则的最大值是______．13．已知向量，若⊥，则16x+4y的最小值为______．14．若x＞0，y＞0，且+=1，则x+y的最小值是______．15、在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为______（m）．16．已知x＞-1，y＞0且满足x+2y=2，则的最小值为______．17．若实数a+b=2，a＞0，b＞0，则的最小值为______．18．若x，y满足约束条件，则z=3x-y的最小值是______．19．若a，b∈R，且4≤a2+b2≤9，则a2-ab+b2的范围是______．20．已知f（x）=，不等式f（x）≥-1的解集是______．三．简答题（共10小题，共60分）21．（6分）已知x＞0，y＞0，（1）若2x+y=1，求+的最小值．（2）若x+8y-xy=0，求xy的最小值．22．（6分）设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（1）ab+bc+ca≤；（2）++≥1．23．（6分）已知a，b，c均为正实数，且满足abc=1，证明：（1）a+b+c≥；（2）a2+b2+c2≥24．（6分）设函数f（x）=|x+3|-|x-4|①解不等式f（x）＞3；②求函数f（x）的最小值．25．（6分）已知向量=（1+sin2x，sinx-cosx），=（1，sinx+cosx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求f（x）的最大值及相应的x的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对边，若f（）=2，a=2，求△ABC 面积的最大值．26．（6分）27．（4分）已知：x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，则x-2y-3z的最大值为______．28．（4分）若a，b，c∈R+，且++=1，求a+2b+3c的最小值．29．（10分）某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：①原材料费每件50元；②职工工资支出7500+20x元；③电力与机器保养等费用为x2-30x+600元：其中x是该厂生产这种产品的总件数．（I）把每件产品的成本费p（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；（Ⅱ）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过170件且能全部销售，根据市场调查，每件产品的销售价为Q（x）（元），且Q（x）=1240-．试问生产多少件产品，总利润最高？并求出最高总利润．（总利润=总销售额-总的成本）30．（6分）已知定义在R上的函数f（x）=|x-1|+|x+2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若m，n是正实数，且m+n=a，求+的最小值．参考答案一．单选题（共__小题）1．设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，，则a，b，c大小关系（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b答案：D解析：解：由题意知，a=sin14°+cos14°==，同理可得，b=sin16°+cos16°=，=，∵y=sinx在（0，90°）是增函数，∴sin59°＜sin60°＜sin61°，∴a＜c＜b，故选D．2．已知实数x，y满足条件，则目标函数z=2x-y（）A．有最小值0，有最大值6B．有最小值-2，有最大值3C．有最小值3，有最大值6D．有最小值-2，有最大值6答案：D解析：解：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．当目标函数z=2x-y过直线x=3与直线y=0的交点（3，0），目标函数取得最大值6；当目标函数z=2x-y过直线x=0与直线x-y+2=0的交点（0，2）时，目标函数取得最小值-2．故选D．3．若x是三角形的最小内角，则函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值是（）A．-1B．C．D．答案：D解析：解：y=sinx+cosx+sinxcosx=sinx（1+cosx）+1+cosx-1=（1+sinx）（1+cosx）-1≤[（1+sinx）2+（（1+cosx）2]-1（当且仅当1+sinx=1+cosx时成立，此时sinx=cosx=）即y（max）=+故选D4．不等式x2-|x|-2＜0的解集是（）A．{x|-2＜x＜2}B．{x|x＜-2或x＞2}C．{x|-1＜x＜1}D．{x|x＜-1或x＞1}答案：A解析：解：原不等式化为|x|2-|x|-2＜0因式分解得（|x|-2）（|x|+1）＜0因为|x|+1＞0，所以|x|-2＜0即|x|＜2解得：-2＜x＜2．故选A5．若不等式f（x）=ax2-x-c＞0的解集为（-2，1），则函数y=f（x）的图象为（）A．B．C．D．答案：B解析：解：∵不等式f（x）=ax2-x-c＞0的解集为（-2，1），∴a＜0，且-2，1是对应方程ax2-x-c=0的两个根，∴（-2，0），（1，0）是对应函数f（x）=ax2-x-c与x轴的两个交点，∴对应函数y=f（x）的图象为B．故选B．6．设a=0.20.3，b=0.20.2，c=log20.4，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a答案：A解析：解：∵函数y=0.2x是减函数，0.3＞0.2，故有a=0.20.3＜0.20.2=1，又a=0.20.3＞0，可得b＞a ＞0．由于函数y=log2x在（0，+∞）上是增函数，故c=log20.4＜log21=0，即c＜0．综上可得，b＞a＞c，故选A．7．设0＜b＜a＜1，则下列不等式中成立的是（）A．a2＜ab＜1B．C．ab＜b2＜1D．2b＜2a＜2答案：D解析：解：采用特殊值法，取a=，b=．则a2=，b2=，ab=，故知A，C错；对于B，由于函数y=是定义域上的减函数，∴，故B错；对于D，由于函数y=2x是定义域上的增函数，∴2b＜2a＜2，故D对．故选D．8．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（）A．sin（α+β）＞sinα+sinβB．sin（α+β）＞cosα+cosβC．cos（α+β）＜sinα+sinβD．cos（α+β）＜cosα+cosβ答案：D解析：解：对于AB中的α，β可以分别令为30°，60°则知道A，B均不成立对于C中的α，β可以令他们都等于15°，则知道C不成立cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ故选D9．若0＜m＜n，则下列结论正确的是（）A．B．2m＞2n C．D．log2m＞log2n 答案：C解析：解：观察B，D两个选项，由于底数2＞1，故相关的函数是增函数，由0＜m＜n，∴2m＜2n，log2m＜log2n，所以B，D不对．又观察A，C两个选项，两式底数满足0＜＜1，故相关的函数是一个减函数，由0＜m＜n，∴，所以A不对，C对．故答案为C．10．设a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．B．C．|a|＞-b D．答案：D解析：解：∵a＜b＜0，∴，A正确，-a＞-b＞0，，B正确，|a|＞|b|=-b，C正确；，故D不正确．故选D．二．填空题（共__小题）11．已知x＞-1，y＞0且满足x+2y=2，则的最小值为______．答案：3解析：解：∵x＞-1，y＞0且满足x+2y=2，∴x+1＞0且x+1+2y=3，∴=（）（x+1+2y）=[5++]≥（5+2）=3，当且仅当=即x=0且y=1时取等号，故答案为：3．12．已知a，b∈R+，且2a+b=1则的最大值是______．答案：解析：解：∵2a+b=1，∴4a2+b2=1-4ab，∴S==4ab+2-1，令=t＞0，则S=4-，∵2a+b=1，∴1≥2⇒0＜t≤故当t=时，S有最大值为：故答案为：．13．已知向量，若⊥，则16x+4y的最小值为______．答案：8解析：解：∵∴4（x-1）+2y=0即4x+2y=4∵=当且仅当24x=22y即4x=2y=2取等号故答案为814．若x＞0，y＞0，且+=1，则x+y的最小值是______．答案：25解析：解：∵x＞0，y＞0，且+=1，∴x+y=（x+y）（+）=17++≥17+2=25当且仅当=，即x=5，y=20时取等号，∴x+y的最小值是25，故答案为：25．15、在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为______（m）．答案：20解析：解：设矩形高为y，由三角形相似得：=，且x＞0，y＞0，x＜40，y＜40，⇒40=x+y≥2，仅当x=y=20m时，矩形的面积s=xy取最大值400m2．故答案为：20．16．已知x＞-1，y＞0且满足x+2y=2，则的最小值为______．答案：3解析：解：∵x＞-1，y＞0且满足x+2y=2，∴x+1＞0且x+1+2y=3，∴=（）（x+1+2y）=[5++]≥（5+2）=3，当且仅当=即x=0且y=1时取等号，故答案为：3．17．若实数a+b=2，a＞0，b＞0，则的最小值为______．答案：解析：解：∵实数a+b=2，a＞0，b＞0，则=+=++≥+2=+，当且仅当b=a=4-2时取等号．故答案为：．18．若x，y满足约束条件，则z=3x-y的最小值是______．答案：-4解析：解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=3x-y为y=3x-z，由图可知，当直线y=3x-z过点C（0，4）时直线在y轴上的截距最大，z有最小值为-4．故答案为：-4．19．若a，b∈R，且4≤a2+b2≤9，则a2-ab+b2的范围是______．答案：[2，]解析：解：∵a，b∈R，且4≤a2+b2≤9；∴设a=rcosθ，b=rsinθ，且2≤r≤3，∴s=a2-ab+b2=r2cos2θ-r2sinθcosθ+r2sin2θ=r2（1-sinθcosθ）=r2（1-sin2θ），由三角函数的图象与性质，得；当sin2θ取最大值1且r取最小值2时，s取得最小值2，当sin2θ取最小值-1且r取最大值3时，s取得最大值；综上，a2-ab+b2的范围是[2，]．故答案为：．20．已知f（x）=，不等式f（x）≥-1的解集是______．答案：{x|-4≤x≤2}解析：解：∵已知f（x）=，故由不等式f（x）≥-1可得①，或②．解①可得-4＜x≤0，解②可得0＜x≤2．综上可得，不等式的解集为{x|-4≤x≤2}，故答案为{x|-4≤x≤2}．三．简答题（共__小题）21．已知x＞0，y＞0，（1）若2x+y=1，求+的最小值．（2）若x+8y-xy=0，求xy的最小值．答案：解：（1）+=（+）（2x+y）=2+++1=3++≥3+2，当且仅当2x2=y2等号成立，∴+的最小值为3+2．（2）∵x+8y-xy=0，∴xy=x+8y≥2，当且仅当x=8y时等号成立．∴≥4，∴xy≥32，∴xy的最小值为32．解析：解：（1）+=（+）（2x+y）=2+++1=3++≥3+2，当且仅当2x2=y2等号成立，∴+的最小值为3+2．（2）∵x+8y-xy=0，∴xy=x+8y≥2，当且仅当x=8y时等号成立．∴≥4，∴xy≥32，∴xy的最小值为32．22．设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（1）ab+bc+ca≤；（2）++≥1．答案：证明：（1）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（当且仅当a=b=c取得等号）由题设可得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，即有3（ab+bc+ca）≤1，则ab+bc+ca≤；（2）+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，故+++（a+b+c）≥2（a+b+c），即有++≥a+b+c．（当且仅当a=b=c取得等号）．故++≥1．解析：证明：（1）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（当且仅当a=b=c取得等号）由题设可得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，即有3（ab+bc+ca）≤1，则ab+bc+ca≤；（2）+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，故+++（a+b+c）≥2（a+b+c），即有++≥a+b+c．（当且仅当a=b=c取得等号）．故++≥1．23．已知a，b，c均为正实数，且满足abc=1，证明：（1）a+b+c≥；（2）a2+b2+c2≥．答案：证明：∵a，b，c∈R+∴a+b≥2，b+c≥2，a+c≥2∴2a+2b+2c≥2+2+2∴a+b+c≥++∵abc=1，∴a+b+c≥++；（2）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac，∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac，∵ab+bc+ac=≥=++，∴a2+b2+c2≥++．解析：证明：∵a，b，c∈R+∴a+b≥2，b+c≥2，a+c≥2∴2a+2b+2c≥2+2+2∴a+b+c≥++∵abc=1，∴a+b+c≥++；（2）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac，∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac，∵ab+bc+ac=≥=++，∴a2+b2+c2≥++．24．设函数f（x）=|x+3|-|x-4|①解不等式f（x）＞3；②求函数f（x）的最小值．答案：解：①不等式f（x）＞3，即|x+3|-|x-4|＞3．而|x+3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-3对应点和4对应点的距离之差，数轴上的2对应点到-3对应点和4对应点的距离之差为3，故不等式的解集为{x|x＞2}．…（3分）②f（x）=|x+3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-3对应点和4对应点的距离之差，可得函数f（x）的最小值为-7．（7分）解析：解：①不等式f（x）＞3，即|x+3|-|x-4|＞3．而|x+3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-3对应点和4对应点的距离之差，数轴上的2对应点到-3对应点和4对应点的距离之差为3，故不等式的解集为{x|x＞2}．…（3分）②f（x）=|x+3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-3对应点和4对应点的距离之差，可得函数f（x）的最小值为-7．（7分）25．已知向量=（1+sin2x，sinx-cosx），=（1，sinx+cosx），函数f（x）=•（Ⅰ）求f（x）的最大值及相应的x的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对边，若f（）=2，a=2，求△ABC 面积的最大值．答案：解：（Ⅰ）∵=（1+sin2x，sinx-cosx），=（1，sinx+cosx），∴f（x）=•=1+sin2x+sin2x-cos2x，=1+sin2x-cos2x，=1+sin（2x-），∴当2x-=2kπ+即x=+kπ，k∈Z时，函数取得最大值1+．（Ⅱ）由（I）知f（）=2时，sin（A-）=，∴A-=2kπ+或A-=2kπ+，即A=+2kπ或A=π+2kπ，k∈Z，∵A是三角形的一个内角，∴A=，即△ABC是直角三角形．∵a=2，∴b2+c2=4，∴S△ABC=bc≤=1（当且仅当b=c=时，取得最大值），∴△ABC面积的最大值为1．解析：解：（Ⅰ）∵=（1+sin2x，sinx-cosx），=（1，sinx+cosx），∴f（x）=•=1+sin2x+sin2x-cos2x，=1+sin2x-cos2x，=1+sin（2x-），∴当2x-=2kπ+即x=+kπ，k∈Z时，函数取得最大值1+．（Ⅱ）由（I）知f（）=2时，sin（A-）=，∴A-=2kπ+或A-=2kπ+，即A=+2kπ或A=π+2kπ，k∈Z，∵A是三角形的一个内角，∴A=，即△ABC是直角三角形．∵a=2，∴b2+c2=4，∴S△ABC=bc≤=1（当且仅当b=c=时，取得最大值），∴△ABC面积的最大值为1．26、解：由柯西不等式：（1+3+5）²≤（a+b+c）（）因为：a+b+c=12所以（1+3+5）²≤12*（）81≤12*（）≤当且仅当==时取等号即：最小值为27．已知：x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，则x-2y-3z的最大值为______．答案：解：由已知x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，和柯西不等式（a2+b2+c2）（e2+f2+g2）≥（ae+bf+cg）2则构造出[12+（-2）2+（-3）2]（x2+y2+z2）≥（x-2y-3z）2．即：（x-2y-3z）2≤14即：x-2y-3z的最大值为．故答案为．解析：解：由已知x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，和柯西不等式（a2+b2+c2）（e2+f2+g2）≥（ae+bf+cg）2则构造出[12+（-2）2+（-3）2]（x2+y2+z2）≥（x-2y-3z）2．即：（x-2y-3z）2≤14即：x-2y-3z的最大值为．故答案为．28．若a，b，c∈R+，且，求a+2b+3c的最小值．答案：解：∵a，b，c∈R+，，∴=1+1+1，当且仅当a=2b=3c=3时取等号．即a+2b+3c≥9，∴a+2b+3c的最小值为9．解析：解：∵a，b，c∈R+，，∴=1+1+1，当且仅当a=2b=3c=3时取等号．即a+2b+3c≥9，∴a+2b+3c的最小值为9．29．某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：①原材料费每件50元；②职工工资支出7500+20x元；③电力与机器保养等费用为x2-30x+600元：其中x是该厂生产这种产品的总件数．（I）把每件产品的成本费p（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；（Ⅱ）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过170件且能全部销售，根据市场调查，每件产品的销售价为Q（x）（元），且Q（x）=1240-．试问生产多少件产品，总利润最高？并求出最高总利润．（总利润=总销售额-总的成本）答案：解：（I）P（x）=50++=+x+40．由基本不等式得P（x）≥2+40=220．当且仅当=x，即x=90时，等号成立．所以P（x）=+x+40．每件产品的最低成本费为220 元．（Ⅱ）设总利润为y=f（x）=xQ（x）-xP（x）=，f′（x）==（x-100）（x+120）当0＜x＜100时，f′（x）＞0，当x＞100时，f′（x）＜0．所以f（x）在（0，100）单调递增，在（100，170）单调递减，所以当x=100时，ymax=f（100）=故生产100件产品时，总利润最高，最高总利润为．解析：解：（I）P（x）=50++=+x+40．由基本不等式得P（x）≥2+40=220．当且仅当=x，即x=90时，等号成立．所以P（x）=+x+40．每件产品的最低成本费为220 元．（Ⅱ）设总利润为y=f（x）=xQ（x）-xP（x）=，f′（x）==（x-100）（x+120）当0＜x＜100时，f′（x）＞0，当x＞100时，f′（x）＜0．所以f（x）在（0，100）单调递增，在（100，170）单调递减，所以当x=100时，ymax=f（100）=故生产100件产品时，总利润最高，最高总利润为．30．已知定义在R上的函数f（x）=|x-1|+|x+2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若m，n是正实数，且m+n=a，求+的最小值．答案：解：（1）由|x-1|+|x+2|的几何意义表示了数轴上点x到点1与到点-2的距离之和，如图：则x在[-2，1]上时，函数f（x）=|x-1|+|x+2|取得最小值a=3．即a=3．（2）由题意，m+n=3，则+=+=+++=1++≥1+2=1+．（当且仅当=时，等号成立）．即+的最小值为1+．解析：解：（1）由|x-1|+|x+2|的几何意义表示了数轴上点x到点1与到点-2的距离之和，如图：则x在[-2，1]上时，函数f（x）=|x-1|+|x+2|取得最小值a=3．即a=3．（2）由题意，m+n=3，则+=+=+++=1++≥1+2=1+．（当且仅当=时，等号成立）．即+的最小值为1+．。
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10， 又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米． 练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ， 即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。
高中数学必修一不等式习题
高中数学必修一不等式习题1.（2022·山东滕州·高一期末）“x6”是“sinx1”的充要条件。
2.（2022·四川广元·高二期末（理））命题“x R，均有x2cosx12”的否定为“x R，使得x cosx12”。
3.（2011·上海·高考真题（文））若a,b R，且ab0，则恒成立的不等式是a b2ab。
4.（2013·重庆·高考真题（文））关于x的不等式x22ax8a20(a0)的解集为(x1,x2)，且：x2x115，则a=15/2.5.（2015·湖南·高考真题（文））若实数a,b满足a+b=1，则ab的最小值为1/4.6.（2021·全国·高一单元测试）若不等式ax22x c0的解集是(-∞,-1/3]∪[1/2,+∞)，则不等式cx22x a0的解集是[1/1,1/2]。
7.（2021·XXX（XXX）高一阶段练）若正实数a,b满足a+b=1，则a+b的最大值为2，ab的最小值为1/4.8.（2021·全国·高一期中）已知a>0，若a+4b=4ab，则a+b的最小值是2.9.（2021·XXX高一期中）对于所有的实数x，不等式（a-2）x+2（a-2）x-4<XXX成立，则a的取值范围是a≤-2或a≥2.10.（2020·XXX高一期末）不等式(x+3)2-2}。
11．（2022·北京石景山·高一期末）函数不等式 $ax^2-x+c>0$ 的解集为 $\{x| -4\leq x\leq -2\} \cup (-2<x<1)$，则函数$y=ax^2+x+c$ 的图像大致为选项 $\text{B}$。
13．（2021·XXX高一阶段练）若两个正实数 $x$，$y$ 满足 $14y+x=\dfrac{1}{4}$，且存在这样的 $x$，$y$ 使不等式 $x+2<m^2+3m$ 有解，则实数 $m$ 的取值范围是选项$\text{B}$。
高中数学不等式经典练习题1(含答案)
高中数学 不等式 经典练习题【编著】黄勇权一、选择题1、若a ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ）A 、a ²+1≥ aB 、a ²+4＞4aC 、 1a＞1 D 、2a ＞2a-1 2、已知x ＞y ＞0，若x+y=1，则下列数中最大的是（ ） A 、12 B 、 x+y 2C 、2xyD x ²+y ² 3、a ∈R ，b ∈R ，若a ²+b ²=1，则a+b （ ）A 、 有最小值 - 2B 、有最小值-1C 、 有最小值 2D 、有最小值14、a ，b 为任意实数，若a ＞b ，则有（ ）A 、 a ²＞b ²B 、（a-1 ）²＞（b-1）²C 、丨a-1丨＞ 丨b-1丨D 、2a-1＞2b-15、实数a ，b ＞0，则ba b a ++的最大值是 。
A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 26、已知 x ＞0，y ＞0，z ＞0，若 x+y+z= 3，则 xy+xz+yz 的最大值是 。
A 、3、B 、 3C 、 2D 、 17、已知a ，b ，c ∈R ，若a ＞b ，以下不等式成立的是（ ）A 、 ac ＞bcB 、 a ³＞b ³C 、1b 11a 1++＞ D 、22b1a 1＞ 8、实数a ≥1，b ≥0，若3a ²+6a+2b ²=3，则（a+1）1b 32+的最大值 。
A 、 2B 、 3C 、 53 2D 、 523 9、已知a 、b 为正实数，且满足2ab=2a+b+3，则a+2b 的最小值是 。
A 、 1 B 、 3 C 、4 D 、610、已知x ，y ，z 为正数，若ab+bc+ca=1，则a+b+c 的最小值是A 、 2B 、 3C 、2D 、3二、填空题1、已知实数x ，y 满足 1x + 4y= 2 xy ，则xy 则最小值是 。
完整版)高中数学不等式习题及详细答案
完整版)高中数学不等式习题及详细答案第三章不等式一、选择题1.已知 $x\geq 2$，则 $f(x)=\frac{x^2-4x+5}{2x-4}$ 的取值范围是（）。
A。
最大值为 5，最小值为 1B。
最大值为 5，最小值为 $\frac{11}{2}$C。
最大值为 1，最小值为 $\frac{11}{2}$D。
最大值为 1，最小值为 02.若 $x>0$，$y>0$，则$(x+\frac{1}{y})^2+(y+\frac{1}{x})^2$ 的最小值是（）。
A。
3B。
$\frac{7}{2}$C。
4D。
$\frac{9}{2}$3.设 $a>0$，$b>0$，则下列不等式中不成立的是（）。
A。
$a+b+\frac{1}{ab}\geq 2\sqrt{2}$B。
$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{2})\geq 4$C。
$\sqrt{a^2+b^2}\geq a+b-\sqrt{2ab}$D。
$\frac{2ab}{a+b}\geq \sqrt{ab}$4.已知奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是增函数，且$f(1)=3$，则不等式 $f(x)-f(-x)<0$ 的解集为（）。
A。
$(-1,+\infty)$B。
$(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)$C。
$(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)$D。
$(-1,1)$5.当 $0<x<\frac{\pi}{2}$ 时，函数 $f(x)=\frac{1+\cos^2 x+8\sin^2 x}{2\sin^2 x}$ 的最小值为（）。
A。
2B。
$\frac{2}{3}$C。
4D。
$\frac{3}{2}$6.若实数 $a,b$ 满足 $a+b=2$，则 $3a+3b$ 的最小值是（）。
A。
18B。
高中数学必修不等式练习题(附答案)
高中数学必修不等式练习题学校：______姓名：_____班级：_____考号：______一．单选题（共__小题）1．设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，，则a，b，c大小关系（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b2．不等式||＞的解集是（）A．（0，2）B．（-∞，0）C．（2，+∞）D．（-∞，0）∪（0，+∞）3．若＜＜0，则下列不等式中不正确的是（）A．ab＜b2B．a+b＜ab C．a2＞b2D．+＞24．设a=0.20.3，b=0.20.2，c=log20.4，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a5．已知a、b、c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中一定不成立的（）A．ab＞ac B．c（b-a）＜0C．cb2≤ab2D．ac（a-c）＜06．下列各组的大小比较正确的是（）B．＞C．0.8-2＜D．＞A．＞7．若关于x的不等式mx-2＞0的解集是{x|x＞2}，则实数m等于（）D．2A．-1B．-2C．1二．填空题（共__小题）8．不等式|2-x|+|x+1|≤a，对∀x∈[1，5]恒成立的实数a的取值范围______．9．已知正数a，b，c满足abc=1，求证：（a+2）（b+2）（c+2）≥27．10．若角α、β满足，则α-β的取值范围是______．11．已知，，，则a，b，c按从大到小的顺序排列为______．12．比较a=2，b=3，c=4的大小关系为______．三．简答题（共__小题）13．求证：-≤≤．14．已知3b=6a-2a，4a=8b-5b，试判断实数a，b的大小关系，并给出证明．15．设a，b，c都是正实数，求证：（Ⅰ）a+b+c≥++（Ⅱ）（a+b+c）（a2+b2+c2）≥9abc．16．设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x+≥2y+3．17．求证：-≤x≤．18．已知x1，x2，x3为正实数，若x1+x2+x3=1，求证：．19．解关于x的不等式|ax-1|＞a+1（a＞-1）．20．（1）设x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值．（2）若x∈R，y∈R，求证：．21．已知a＞b＞0，求证：．22．已知a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，求证（ab+cd）（ac+bd）≥4abcd．23．已知实数a，b，c满足a＞b＞c，求证：++＞0．24．求证：x∈R时，|x-1|≤4|x3-1|．参考答案一．单选题（共__小题）1．设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，，则a，b，c大小关系（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b答案：D解析：解：由题意知，a=sin14°+cos14°==，同理可得，b=sin16°+cos16°=，=，∵y=sinx在（0，90°）是增函数，∴sin59°＜sin60°＜sin61°，∴a＜c＜b，故选D．2．不等式||＞的解集是（）A．（0，2）B．（-∞，0）C．（2，+∞）D．（-∞，0）∪（0，+∞）答案：A解析：解：分析不等式||＞，故的值必为负数．即，解得0＜x＜2．故选A．3．若＜＜0，则下列不等式中不正确的是（）A．ab＜b2B．a+b＜ab C．a2＞b2D．+＞2答案：C解析：解：∵＜＜0，∴b＜a＜0，∴b2＞a2，因此C不正确．故选：C．4．设a=0.20.3，b=0.20.2，c=log20.4，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a答案：A解析：解：∵函数y=0.2x是减函数，0.3＞0.2，故有a=0.20.3＜0.20.2=1，又a=0.20.3＞0，可得b＞a ＞0．由于函数y=log2x在（0，+∞）上是增函数，故c=log20.4＜log21=0，即c＜0．综上可得，b＞a＞c，故选A．5．已知a、b、c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中一定不成立的（）A．ab＞ac B．c（b-a）＜0C．cb2≤ab2D．ac（a-c）＜0答案：B解析：解：∵c＜b＜a，且ac＜0，∴c＜0，a＞0，b-a＜0；∴ab＞ac，cb2≤ab2，c（b-a）＞0；ac（a-c）＜0；故选B．6．下列各组的大小比较正确的是（）B．＞C．0.8-2＜D．＞A．＞答案：D解析：解：A．考察指数函数y=0.45x在R单调递减，∴＜，不正确；B．考察幂函数在（0，+∞）上单调递减，∴=，不正确；C．∵0.8-2＞1，＜1，∴＜0.8-2，不正确；D．考察对数函数y=在（0，+∞）上单调递增，∴＞．正确．故选：D．7．若关于x的不等式mx-2＞0的解集是{x|x＞2}，则实数m等于（）A．-1B．-2C．1D．2答案：C解析：解：∵关于x的不等式mx-2＞0的解集是{x|x＞2}，∴m＞0，，因此，解得m=1．故选：C．二．填空题（共__小题）8．不等式|2-x|+|x+1|≤a，对∀x∈[1，5]恒成立的实数a 的取值范围______．答案：[9，+∞）解析：解：∵不等式|2-x|+|x+1|≤a，对∀x∈[1，5]恒成立，故|2-x|+|x+1|的最大值小于或等于a．|2-x|+|x+1|表示数轴上的x对应点到-1和2对应点的距离之和，故当x∈[1，5]时，只有x=5时，|2-x|+|x+1|取得最大值9，∴a≥9，故答案为[9，+∞）．9．已知正数a，b，c满足abc=1，求证：（a+2）（b+2）（c+2）≥27．答案：解析：证明：由于正数a，b，c满足abc=1，故有（a+2）（b+2）（c+2）=（a+1+1）（b+1+1）（c+1+1）≥3•3•3=27=27，当且仅当a=b=c=1时等号成立，故：（a+2）（b+2）（c+2）≥27成立．10．若角α、β满足，则α-β的取值范围是______．答案：解析：解：∵角α、β满足，∴-π＜-β＜-，∴-＜α-β＜，∵α-β＜0，∴-＜α-β＜0，故答案为：；11．已知，，，则a，b，c按从大到小的顺序排列为______．答案：c，a，b解析：解：∵=，＜0，=log23＞1，∴c＞a＞b．故答案为：c，a，b．12．比较a=2，b=3，c=4的大小关系为______．答案：a＞c＞b解析：解：∵a=2＞1，b=3=，1＞c=4=＞．∴a＞c＞b．故答案为：a＞c＞b．三．简答题（共__小题）13．求证：-≤≤．答案：证明：要证明-≤≤只需证明-≤，≤成立要证明-≤，只需证明-（2x2+3x+6）≤13（x+2）只需证明2x2+16x+32≥0又△=0，故2x2+16x+32≥0明显成立，∴-≤成立同理，≤成立综上可知，-≤≤14．已知3b=6a-2a，4a=8b-5b，试判断实数a，b的大小关系，并给出证明．答案：解：假设a≥b，则3a≥3b，4a≥4b．∴6a=3b+2a≤3a+2a，8b=4a+5b≥4b+5b，化为f（a）=≥1，g（b）=≤1，利用指数函数的单调性可知：f（x）与g（x）在R上单调递减，f（1）=＜1，g（1）=＞1，∴f（a）≥1＞f（1），g（b）≤1＜g（1），∴a＜1，b＞1，∴a＜1＜b，与假设a≥b，∴假设不成立．∴a＜b．15．设a，b，c都是正实数，求证：（Ⅰ）a+b+c≥++（Ⅱ）（a+b+c）（a2+b2+c2）≥9abc．答案：证明：（Ⅰ）∵a，b，c都是正实数，∴a+b≥2，b+c≥2，a+c≥2∴把以上三个式子相加得：2（a+b+c）≥2+2+2∴a+b+c≥++；（Ⅱ）∵a，b，c都是正实数，∴a+b+c≥，a2+b2+c2≥相乘可得（a+b+c）（a2+b2+c2）≥9abc．16．设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x+≥2y+3．答案：证明：由题设x＞y，可得x-y＞0；∵2x+-2y=2（x-y）+=（x-y）+（x-y）+；又（x-y）+（x-y）+，当x-y=1时取“=“；∴2x+-2y≥3，即2x+≥2y+3．17．求证：-≤x≤．答案：证明：∵|x|≤=，∴-≤x≤．18．已知x1，x2，x3为正实数，若x1+x2+x3=1，求证：．答案：证明：∵x1，x2，x3为正实数，∴，，，∴三式相加，可得+x3≥2（x1+x2+x3），∵若x1+x2+x3=1，∴．19．解关于x的不等式|ax-1|＞a+1（a＞-1）．答案：解：|ax-1|＞a+1⇔ax-1＞a+1或ax-1＜-a-1⇔ax＞a+2或ax＜-a．…（2分）当-1＜a＜0时，x＜或x＞-1，∴原不等式的解集为（-∞，）∪（-1，+∞）．…（5分）当a=0时，原不等式的解集为φ．…（7分）当a＞0时，x＞，或x＜-1，∴原不等式的解集为（-∞，-1）∪（，+∞）．…（10分）20．（1）设x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值．（2）若x∈R，y∈R，求证：．答案：证明：（1）∵x＞0，y＞0，+=1，∴x+y=（x+y）（+）=8+++2≥2+10=18（当且仅当x=12，y=6时取“=”），∴x+y的最小值为18．（2）∵x∈R，y∈R，∴-=-==≥0，∴≥．21．已知a＞b＞0，求证：．答案：证明：由于a+-（b+）=（a-b）+（-）=（a-b）（1+）=（a-b）•，因为a＞b＞0⇒ab＞0⇒ab+1＞0且a-b＞0，所以（a-b）•＞0．即a+-（b+）＞0．所以a＞b＞0时，成立．22．已知a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，求证（ab+cd）（ac+bd）≥4abcd．答案：证明：由于a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，则（ab+cd）（ac+bd）=a2bc+b2ad+c2ad+d2bc=（a2+d2）bc+（b2+c2）ad≥2adbc+2bcad=4abcd，当且仅当a=d，b=c取得等号．则有（ab+cd）（ac+bd）≥4abcd成立．23．已知实数a，b，c满足a＞b＞c，求证：++＞0．答案：证明：∵实数a，b，c满足a＞b＞c，∴a-c＞a-b＞0，b-c＞0，∴＞•＞0，∴+＞，∴++＞0．24．求证：x∈R时，|x-1|≤4|x3-1|．答案：证明：|x-1|≤4|x3-1||x-1|≤4|（x-1）（x2+x+1）||x-1|≤4|x-1||（x2+x+1）| x=1时，左式=右式=0，符合题意；x≠1时，x2+x+1=（x+）2+＞，所以4|x-1||（x2+x+1）|＞|x-1|；综上，x∈R时，|x-1|≤4|x3-1|．解析：证明：|x-1|≤4|x3-1||x-1|≤4|（x-1）（x2+x+1）||x-1|≤4|x-1||（x2+x+1）| x=1时，左式=右式=0，符合题意；x≠1时，x2+x+1=（x+）2+＞，所以4|x-1||（x2+x+1）|＞|x-1|；综上，x∈R时，|x-1|≤4|x3-1|．。
不等式的练习习题
2018年11月03日不等式的高中数学组卷一．选择题（共18小题）1．下列说法正确的是（）A．若a＜b，则B．若ac3＞bc3，则a＞bC．若a＞b，k∈N*，则a k＞b k D．若 a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c 2．设M=（a+1）（a﹣3），N=2a（a﹣2），则（）A．M＞A B．M≥N C．M＜N D．M≤N;3．不等式x2+5x﹣14＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣7）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（7，+∞）C．（﹣2，7）D．（﹣7，2）4．不等式﹣x2+3x﹣2≥0的解集为（）A．（﹣∞，1]∪[2，+∞）B．[1，2]C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（1，2）5．如果a∈R，且a2+a＜0，那么a，a2，﹣a的大小关系为（）A．a2＞a＞﹣a B．﹣a＞a2＞a C．﹣a＞a＞a2D．a2＞﹣a＞a《6．已知关于x的不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是（2，3），则a﹣b的值是（）A．﹣11B．11C．﹣1D．17．若a＞0，b＞0，且a+2b ﹣4=0，则ab的最大值为（）A．B．1C．2D．48．若直线过点（1，1），则4a+b的最小值为（）A．6B．8C ．9D．109．如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且，则的最小值为（）A．B．18C．9D．25]10．若不等式x2+ax+1≥0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）11．如果关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，那么对于函数应有（）A．f（5）＜f（2）＜f（﹣1）B．f（2）＜f（5）＜f（﹣1）C．f（﹣1）＜f（2）＜f（5）D．f（2）＜f（﹣1）＜f（5）12．若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（﹣∞，﹣2），则关于x的不等式ax2+bx ＞0的解集为（）A．（﹣2，0）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（0，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）|13．若不等式2x2+ax+2≥0对一切x∈（0，]恒成立，则a的最小值为（）A．0B．﹣2C．﹣5D．﹣314．若关于x的不等式x2﹣ax+2＞0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，3）D．15．若关于x的不等式ax﹣1＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax﹣1）（x+2）≥0的解集是（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣2，1]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）16．若正数x，y满足x+3y=5xy，则4x+3y的最小值为（）}A．B．C．5D．617．已知x＞0，y＞0，2x4y=2，则+的最小值是（）A．6B．5C．3+2D．418．已知x＞0，y＞0，xy﹣2x﹣y=2，则x+y的最小值为（）A．5B．7C．9D．10二．填空题（共8小题）19．不等式（1﹣2x）（x+3）≥0的解集为,20．若关于x的不等式（x+1）（x﹣3）＜m的解集为（0，n），则实数n的值为．21．当x＞0时，的最小值为3，则实数a的值为．22．已知x＞2，求f（x）=2x+的最小值．23．已知对∀x∈R，ax2﹣x+1＞0恒成立，则a的取值范围是．24．存在x∈R，ax2+4x+1≤0，则实数a的取值范围是．25．已知关于x的不等式x2﹣4x≥m对任意x∈（0，3]恒成立，则m取值范围．26．在R上定义运算a※b=（a+1）b，若存在x∈[1，2]，使不等式（m﹣x）※（m+x）＜4成立，则实数m的取值范围为．27．若正实数a，b满足ab=b+4，则a+b最小值为'三．解答题（共14小题）28．若不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|1＜x＜2}．（1）试求a，b的值；（2）求不等式的解集．29．（1）已知x＞0，y＞0，log2x+log2y=2，求的最小值；（2）已知x＞0，y＞0，2x+4y=4，求的最小值．30．已知函数f（x）=x2+ax+6．^（Ⅰ）当a=5时，解不等式f（x）＜0；（Ⅱ）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．31．已知关于x的不等式kx2﹣2x+3k＜0．（1）若不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣1}，求k的值；（2）若不等式的解集为∅，求实数k的取值范围．32．已知函数f（x）=3x2+（4﹣m）x﹣6m，g（x）=2x2﹣x﹣m（1）若m=1，求不等式f（x）≤0的解集；（2）若m＞0，求关于x的不等式f（x）＞g（x）的解集．~33．已知函数f（x ）=x2﹣ax+3（a∈R）．（1）当a=2时，解不等式f（x）≥6；（2）若x∈[1，+∞）时，f（x）≥1﹣x2恒成立，求a的取值范围．34．已知关于x的不等式x2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．（1）求b的值；（2）当c∈R时，解关于x的不等式x2﹣（c+b）x+bc＜0．35．若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0^（2）b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R．36．（1）解关于x不等式：ax2﹣（a+1）x+1＜0（a＞0）．（2）对于任意的x∈[0，2]，不等式x2﹣2ax﹣1≤0恒成立，试求a的取值范围．37．已知．（1）当时，解不等式f（x）≤0；（2）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0．38．某市垃圾处理站每月的垃圾处理成本y（元）与月垃圾处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y=﹣200x+80000，求该站每月垃圾处理量为多少吨时，才能使每吨垃圾的平均处理成本最低最低平均处理成本是多少39．要制作一个体积为9m3，高为1m的有盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米10元，侧面造价是每平方米5元，盖的总造价为100元，求该容器长为多少时，容器的总造价最低为多少元|40．某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部销售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且（10＜x＜100），该公司在电饭煲的生产中所获年利润为W（万元），（注：利润=销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式，并求年利润的最大值；（2）为了让年利润W不低于2360万元，求年产量x的取值范围．2018年11月03日不等式的高中数学组卷参考答案与试题解析/一．选择题（共18小题）1．下列说法正确的是（）A．若a＜b，则B．若ac3＞bc3，则a＞bC．若a＞b，k∈N*，则a k＞b k D．若 a ＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c【解答】解：A．当a＜0，b＞0时，满足a＜b，但不成立，B．若c＜0，当ac3＞bc3，则a＞b不成立，C．当a=﹣2，b=2，k=2时，满足条件a＞b，k∈N*，但a k＞b k不成立，！D．若a＞b，c＞d，则﹣d＞﹣c，则a﹣d＞b﹣c成立，故选：D．2．设M=（a+1）（a﹣3），N=2a（a﹣2），则（）A．M＞A B．M≥N C．M＜N D．M≤N【解答】解：N﹣M=2a（a﹣2）﹣（a+1）（a﹣3）=2a2﹣4a﹣（a2﹣2a﹣2）=a2﹣2a+2=（a﹣1）2+1＞0，即M＜N，/故选：C．3．不等式x2+5x﹣14＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣7）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（7，+∞）C．（﹣2，7）D．（﹣7，2）【解答】解：不等式x2+5x﹣14＜0可化为（x+7）（x﹣2）＜0，[解得﹣7＜x＜2，∴不等式的解集为（﹣7，2）．故选：D．4．不等式﹣x2+3x﹣2≥0的解集为（）A．（﹣∞，1]∪[2，+∞）B．[1，2]C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（1，2）\【解答】解：不等式﹣x2+3x﹣2≥0可化为x2﹣3x+2≤0，（x﹣1）（x﹣2）≤0，解得1≤x≤2，∴不等式的解集为[1，2]．故选：B．5．如果a∈R，且a2+a＜0，那么a，a 2，﹣a的大小关系为（）-A．a2＞a＞﹣a B．﹣a＞a2＞a C．﹣a＞a＞a2D．a2＞﹣a＞a【解答】解：因为a2+a＜0，即a（a+1）＜0，所以﹣1＜a ＜0，因此﹣a＞a2＞0，有﹣a ＞a2＞a．故选：B．|6．已知关于x的不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是（2，3），则a﹣b的值是（）A．﹣11B．11C．﹣1D．1【解答】解：关于x的不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是（2，3），则2、3是方程x2﹣ax﹣b=0的实数根，∴a=2+3=5，b=﹣2×3=﹣6，a﹣b=5﹣（﹣6）=11．)故选：B．7．若a＞0，b＞0，且a+2b﹣4=0，则ab的最大值为（）A．B．1C．2D．4【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+2b﹣4=0∴a+2b=4∴ab==2…当且仅当a=2b=2即a=2，b=1时取等号∴ab的最大值为2故选：C．8．若直线过点（1，1），则4a+b的最小值为（）A．6B．8C．9D．10【解答】解：∵直线过点（1，1），%∴=1则4a+b=（4a+b）（）=5≥5+2=9∴4a+b的最小值为9故选：C ．9．如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且，则的最小值为（）A．B．18C．9D．25^【解答】解：在△ABC 中，点D是线段BC上的动点，且，则x+y=1．所以：==4+9+≥13+12=25（当且仅当x=，y=等号成立），故选：D．10．若不等式x2+ax+1≥0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）,【解答】解：不等式x2+ax+1≥0对任意x∈R恒成立，则△=a2﹣4≤0，﹣2≤a≤2，∴实数a的取值范围是[﹣2，2]．故选：C．11．如果关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，那么对于函数应有（）A．f（5）＜f（2）＜f（﹣1）B．f（2）＜f（5）＜f（﹣1）！C．f（﹣1）＜f（2）＜f（5）D．f（2）＜f（﹣1）＜f（5）【解答】解：∵关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，∴a＞0，函数的对称轴为x=1，∴f（﹣1）=f（3），函数在（1，+∞）上单调递增，∴f（2）＜f（3）＜f（5），∴f（2）＜f（﹣1）＜f（5），故选：D．:12．若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（﹣∞，﹣2），则关于x的不等式ax2+bx＞0的解集为（）A．（﹣2，0）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（0，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）【解答】解：关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（﹣∞，﹣2），则有x＜，即；)∴，代入不等式ax2+bx＞0中，得ax2﹣2ax＞0，化为x2﹣2x＜0，解得0＜x＜2，∴所求不等式的解集为（0，2）．故选：C．%13．若不等式2x2+ax+2≥0对一切x∈（0，]恒成立，则a的最小值为（）A．0B．﹣2C．﹣5D．﹣3【解答】解：不等式2x2+ax+2≥0对一切x∈（0，]恒成立，即2x2+2≥﹣ax恒成立，∵x∈（0，]，∴2x+．令y=，由对勾函数性质：当x=时，y可得最小值为5，#那么：a≥﹣5．故选：C．14．若关于x 的不等式x2﹣ax+2＞0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，3）D．【解答】解：x∈[1，5]时，不等式x2﹣ax+2＞0可化为x2+2＞ax，即a＜x+；…设f（x）=x+，x∈[1，5]，则f（x）的最大值为f（5）=5+=；∴关于x的不等式x2﹣ax+2＞0在区间[1，5]上有解时，a的取值范围是a＜．故选：D．15．若关于x的不等式ax﹣1＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax﹣1）（x+2）≥0的解集是（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣2，1]:C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）【解答】解：关于x的不等式ax﹣1＞0的解集是（1，+∞），∴ax＞1，∴=1，解得a=1；∴关于x的不等式（ax ﹣1）（x+2）≥0化为（x ﹣1）（x+2）≥0，解得x≤﹣2或x≥1，`∴所求不等式的解集是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．故选：D．16．若正数x，y满足x+3y=5xy，则4x+3y的最小值为（）A．B．C ．5D．6【解答】解：由3x+y=5xy得=+=1，∴4x+3y=（4x+3y）（+）=+++≥+2=+=5，】当且仅当=，即y=2x，即5x=10x 2，∴x=，y=1时取等号．故4x+3y的最小值是5，故选：C．17．已知x＞0，y＞0，2x4y=2，则+的最小值是（）A．6B．5C．3+2D．4—【解答】解：∵2x4y=2x 22y=2x+2y=2，∴x+2y=1，由基本不等式可得，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为．故选：C．18．已知x＞0，y＞0，xy﹣2x﹣y=2，则x+y的最小值为（）A．5B．7C．9D．10【解答】解：已知x＞0，y＞0，xy﹣2x﹣y=2，；则：x=，所以，由x＞0，得到y＞2时，x+y==+y=≥3+4=7，故函数x+y的最小值为7．故选：B．二．填空题（共8小题）19．不等式（1﹣2x）（x+3）≥0的解集为[﹣3，]/【解答】解：不等式（1﹣2x）（x+3）≥0化为（2x﹣1）（x+3）≤0，解得﹣3≤x≤，∴不等式的解集为[﹣3，]．故答案为：[﹣3，]．20．若关于x的不等式（x+1）（x﹣3）＜m的解集为（0，n），则实数n的值为 2 ．?【解答】解：由题意可知，0和n是关于x的方程（x+1）（x﹣3）=m的两实根，即方程x2﹣2x﹣3﹣m=0的两根，由韦达定理可得，解得n=2，故答案为：2．21．当x＞0时，的最小值为3，则实数a的值为 4 ．【解答】解：当x＞0时，x+1＞0，a＞0，《∴x+=x+1+﹣1=2，∵最小值为3，则2﹣1=3，∴a=4．故答案为：4．22．已知x＞2，求f（x）=2x+的最小值4+2．【解答】解：由x＞2，则x﹣2＞0"那么：f（x）=2x+=2（x﹣2）+=2．（当且仅当x=时，等号成立），故答案为：．23．已知对∀x∈R，ax2﹣x+1＞0恒成立，则a的取值范围是a＞．【解答】解：对∀x∈R，ax2﹣x+1＞0恒成立，∴，；即，解得a＞；∴a的取值范围是a＞．故答案为：a＞．24．存在x∈R，ax2+4x+1≤0，则实数a的取值范围是a≤4 ．【解答】解：命题：存在x∈R，使ax2+4x+1≤0的否定为：，任意x∈R，ax2+4x+1＞0恒成立；求对任意x∈R时，ax2+4x+1＞0恒成立的a的取值范围：①当a=0时，不等式化为4x+1＞0，解得x＞﹣，不合题意；②当a≠0时，有，解得a＞4，由①②得a的范围是：a＞4；所以存在x∈R，使ax2+4x+1≤0时a的取值范围是：a≤4．故答案为：a≤4．{25．已知关于x的不等式x2﹣4x≥m对任意x∈（0，3]恒成立，则m取值范围（﹣∞，﹣4] ．【解答】解：x2﹣4x≥m对任意x∈（0，3]恒成立，令f（x）=x2﹣4x，x∈（0，3]，∵f（x）的对称轴为x=2，∴f（x）在（0，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，∴x=2时取得最小值为﹣4；∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣4]．;故答案为：（﹣∞，﹣4]．26．在R上定义运算a※b=（a+1）b，若存在x∈[1，2]，使不等式（m﹣x）※（m+x）＜4成立，则实数m的取值范围为﹣3＜m＜2 ．【解答】解：由题意知，不等式（m﹣x）※（m+x）＜4化为（m﹣x+1）（m+x）＜4，即m2+m﹣4＜x2﹣x；设f（x）=x2﹣x，x∈[1，2]，则f（x）的最大值是f（2）=4﹣2=2；{令m2+m﹣4＜2，即m2+m ﹣6＜0，解得﹣3＜m＜2，∴实数m的取值范围是﹣3＜m＜2．故答案为：﹣3＜m＜2．三．解答题（共14小题）27．若正实数a，b满足ab=b+4，则a+b最小值为 5~【解答】解：在等式ab=b+4两边同时除以b得，所以，当且仅当时，即当b=2时，等号成立，因此，a+b的最小值为5，故答案为：5．28．若不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|1＜x＜2}．（1）试求a，b 的值；（2）求不等式的解集．%【解答】解：（1）∵不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|1＜x＜2}．∴a＜0且方程ax2+bx﹣1=0的解是1和2，∴，∴．（2），化为，即，即（x﹣2）（3x﹣2）＜0，解得，&∴不等式的解集为（，1）．29．（1）已知x ＞0，y＞0，log2x+log2y=2，求的最小值；（2）已知x＞0，y＞0，2x+4y=4，求的最小值．【解答】解：（1）已知x＞0，y＞0，log2x+log2y=2，则：log2xy=2，解得：xy=4．|则：==，故的最小值为．（2）已知x＞0，y＞0，2x+4y=4，则：，整理得：x+2y≤2，所以：，解得：xy，所以：，）所以：≥4，故最小值为4．30．已知函数f（x）=x2+ax+6．（Ⅰ）当a=5时，解不等式f（x）＜0；（Ⅱ）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2+ax+6，`a=5时，不等式f（x）＜0化为x2+5x+6＞0，即（x+3）（x+2）＜0，解得﹣3＜x＜﹣2，∴不等式的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}；（Ⅱ）不等式f（x）＞0为x2+ax+6＞0，其解集为R，则有△=a2﹣4×6＜0，解得﹣2＜a＜2，∴实数a的取值范围是（﹣2，2）．》31．已知关于x的不等式kx2﹣2x+3k＜0．（1）若不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣1}，求k的值；（2）若不等式的解集为∅，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）由不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣1}，可知k＜0，﹣3和﹣1是一元二次方程kx2﹣2x+3k=0的两根，所以，;解得k=﹣；（2）因不等式kx2﹣2x+3k＜0的解集为∅，若k=0，则不等式﹣2x＜0，此时x＞0，不合题意；若k ≠0，则，解得k≥；综上，实数k 的取值范围是k≥．（32．已知函数f（x）=3x2+（4﹣m）x﹣6m，g（x）=2x2﹣x﹣m（1）若m=1，求不等式f（x）≤0的解集；（2）若m＞0，求关于x的不等式f（x）＞g（x）的解集．【解答】解：（1）m=1时，f（x）=3x2+3x﹣6，……………………………（2分）∴不等式f（x）≤0即3x2+3x﹣6≤0，解得﹣2≤x≤1，∴不等式f（x）≤0的解集为{x|﹣2≤x≤1}；…………………………（6分）>（2）由f（x）＞g（x），得x2+（5﹣m）x﹣5m＞0，……………………（8分）即（x﹣m）（x+5）＞0，由于m＞0，所以x＞m或x＜﹣5；…………（11分）∴不等式的解集为{x|x＜﹣5或x＞m}．…………（12分）33．已知函数f（x）=x2﹣ax+3（a∈R）．（1）当a=2时，解不等式f（x）≥6；（2）若x∈[1，+∞）时，f（x）≥1﹣x2恒成立，求a的取值范围．…【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣ax+3，当a=2时，不等式f（x）≥6化为x2﹣2x+3≥6，即x2﹣2x﹣3≥0，解得x≤﹣1或x≥3，∴该不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）；（2）若x∈[1，+∞）时，f（x）≥1﹣x2恒成立，则x2﹣ax+3≥1﹣x2恒成立，,即a≤2x+在x∈[1，+∞）时恒成立；设f（x）=2x+，其中x∈[1，+∞），则f（x）≥2•=4，当且仅当x=1时取“=”；∴a的取值范围是a≤4．34．已知关于x的不等式x2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．（1）求b的值；（2）当c∈R时，解关于x的不等式x2﹣（c+b）x+bc＜0．}【解答】解：（1）根据题意，不等式x2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，即1、b是方程x2﹣3x+2=0的两根，则有1+b=3，即b=2；（2）由（1）的结论，x2﹣（c+b）x+bc＜0可以变形为x2﹣（c+2）x+2c＜0，即（x ﹣2）（x﹣c）＜0，方程x2﹣（c+2）x+2c=0有两根，2和c，当c＞2时，不等式的解集为{x|2＜x＜c}，'当c＜2时，不等式的解集为{x|c＜x＜2}，当c=2时，不等式的解集为∅．综合可得：当c＞2时，不等式的解集为{x|2＜x＜c}，当c＜2时，不等式的解集为{x|c＜x＜2}，当c=2时，不等式的解集为∅．35．若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0（2）b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R．!【解答】解：（1）由题意知，1﹣a＜0，且﹣3和1是方程（1﹣a）x2﹣4x+6=0的两根，∴，解得a=3．∴不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0即为2x2﹣x ﹣3＞0，解得x＜﹣1或x ＞．∴所求不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞}；（2）ax 2+bx+3≥0即为3x2+bx+3≥0，若此不等式的解集为R，则b2﹣4×3×3≤0，∴﹣6≤b≤6．36．（1）解关于x不等式：ax2﹣（a+1）x+1＜0（a ＞0）．（2）对于任意的x∈[0，2]，不等式x2﹣2ax ﹣1≤0恒成立，试求a 的取值范围．【解答】解：（1）原不等式变为（ax﹣1）（x﹣1）＜0，因为a＞0，所以．所以当a＞1，即时，解为；当a=1时，解集为ϕ；当0＜a＜1，即时，解为．综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为；当a=1时，不等式的解集为ϕ；当a＞1时，不等式的解集为．（2）不妨设g（x）=x2﹣2ax﹣1，则只要g（x）≤0在[0，2]上恒成立即可．所以，即，解得．则a的取值范围为．37．已知．（1）当时，解不等式f（x）≤0；（2）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0．【解答】解：（1）函数，当时，有不等式化为，即，∴不等式的解集为；（2）∵不等式，当时，有0＜a＜1，∴不等式的解集为；当时，有a＞1，∴不等式的解集为；当时，有a=1，∴不等式的解集为{1}．38．某市垃圾处理站每月的垃圾处理成本y（元）与月垃圾处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y=﹣200x+80000，求该站每月垃圾处理量为多少吨时，才能使每吨垃圾的平均处理成本最低最低平均处理成本是多少【解答】解：由题意可知，每吨垃圾的平均处理成本为：．当且仅当，即x=400时等号成立，故该站垃圾处理量为400吨时，才能使每吨垃圾的平均处理成本最低，最低成本为200元．39．要制作一个体积为9m3，高为1m的有盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米10元，侧面造价是每平方米5元，盖的总造价为100元，求该容器长为多少时，容器的总造价最低为多少元【解答】解：设该长方体容器长为xm，则宽为，又设该容器的造价为y元，则，因为（当且仅当即x=3时取“=”），所以 ymin=250．答：该容器长为3米时，容器的总造价最低为250元．40．某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部销售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且（10＜x＜100），该公司在电饭煲的生产中所获年利润为W（万元），（注：利润=销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式，并求年利润的最大值；（2）为了让年利润W不低于2360万元，求年产量x的取值范围．【解答】解：（1），10＜x ＜100=，∵，当且仅当x=50时，“=”成立，∴w≤﹣1600+4360=2760，即年利润的最大值为2760．（2）整理得x2﹣125x+2500≤0，解得：25≤x≤100，又10＜x＜100，所以25≤x＜100时答：为了让年利润W不低于2360万元，年产量x的范围是[25，100）．。
高中数学1不等式比较大小(供参考)
【例1】 若0a b <<，1a b +=，则在下列四个选项中，较大的是（ ）A ．12B ．22a b +C ．2abD ．b【例2】 将232，1223⎛⎫⎪⎝⎭，122按从大到小的顺序排列应该是 ．【例3】 若52x =-，23x =-，则,x y 满足（ ）A ．x y >B ．x y ≥C ．x y <D ．x y =【例4】 若110a b<<，则下列不等式中， ①a b ab +< ②||||a b > ③a b < ④2b aa b+> 正确的不等式有____ ．（写出所有正确不等式的序号）典例分析比较大小【例5】已知,a b∈R，那么“||a b>”是“22a b>”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【例6】若0b a<<，则下列不等式中正确的是（）A．11a b>B．a b>C．2b aa b+>D．a b ab+>【例7】比较下列代数式的大小：⑴23x x+与2x-；⑵61x+与42x x+；【例8】比较下列代数式的大小：⑴43x x y-与34xy y-；⑵（其中0xy>，且x y>）⑶x yx y与y xx y（其中0,0,x y x y>>≠）．【例9】 a 、b 、c 、d 均为正实数，且a b >，将b a 、a b 、bc a c++与a d b d ++按从小到大的顺序进行排列．【例10】 比较大小：log a ab、log a b 与log b a （其中21a b a >>>）【例11】 已知a 、b 、c 、d 均为实数，且0ab >，c da b -<-，则下列各式恒成立的是（ ） A ．bc ad <B ．bc ad >C ．a b c d >D ．a b c d<【例12】 当a b c >>时，下列不等式恒成立的是（ ）A ．ab ac >B ．a c b c >C ．ab bc >D ．()0a b c b -->【例13】 已知三个不等式：0ab >，0bc ad ->，0c da b->（其中a 、b 、c 、d 均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【例14】 ⑴已知：11,a b a b>>，求证：0,0a b ><． ⑵若0a b >>，0c d >>，求证：d ca b<．【例15】 设a ∈R ，则1a >是11a<的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【例16】 如果00a b <>，，那么，下列不等式中正确的是（ ）A ．11a b< B a b - C ．22a b < D ．||||a b >【例17】 设,a b ∈R ，若||0a b ->，则下列不等式中正确的是（ ）A ．0b a ->B ．330a b +<C ．220a b -<D ．0b a +>【例18】 若110a b<<，则下列结论不正确的是（ ） A ．22a b < B ．2ab b < C ．2b aa b+> D ．||||||a b a b +>+【例19】 若0a b <<，则下列结论中正确的命题是（ ）A ．11a b>和11||||a b >均不能成立 B ．11a b a >-和11||||a b >均不能成立 C ．不等式11a b a >-和2211a b b a ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭均不能成立D ．不等式11||||a b >和2211a b b a ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭均不能成立【例20】 若111a b<<，则下列结论中不正确的是（ ） A ．log log a b b a > B ．|log log |2a b b a +> C ．2(log )1b a <D ．|log ||log ||log log |a b a b b a b a +>+【例21】 设a b ∈R ，，且()10b a b ++<，()10b a b +-<，则（ ）A ．1a >B ．1a <-C ．11a -<<D ．1a >【例22】 判断下列各命题的真假，并说明理由．⑴若22ac bc >，则.a b > ⑵若a b >，则11.a b< ⑶若,a b c d >>，则.a c b d ->- ⑷若,a b m +>∈N ，则.m m a b >【例23】 已知102a -<<，试将下列各数按大小顺序排列：21A a =+，21B a =-，11C a=+，11D a=-．【例24】 实数a b c d 、、、满足条件：①,a b c d <<；②()()0a c b c -->；③()()0a d b d --<，则有（ ）A ．a c d b <<<B ．c a b d <<<C ．a c b d <<<D ．c a d b <<<【例25】 已知实数a 、b 满足等式1123ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列五个关系式①0b a << ②0a b << ③0a b << ④0b a << ⑤a b = 其中不可能成立的关系式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例26】 设()1log 3x f x =+，()2log 2x g x =，其中0x >且1x ≠．试比较()f x 与()g x 的大小．【例27】 若2log 3a =，3log 2b =，13log 2c =，21log 3d =，则,,,a b c d 的大小关系是（ ）A ．a b c d <<<B ．d b c a <<<C ．d c b a <<<D ．c d a b <<<【例28】 若110a b <<，则下列不等式①a b ab +<②||||a b >③a b <④2b aa b+>中，正确的不等式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例29】 设a 、b 、c 、d 、m 、n 均为正实数，P Q =那么（ ） A ．P Q ≥ B ．P Q ≤C ．P Q <D ．P 、Q 间大小关系不确定，而与m 、n 的大小有关【例30】 设a 、b 为非零实数，若a b <，则下列各式成立的是（ ）A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b <D ．b aa b<【例31】 设a b c ，，是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ．||||||a b a c b c --+-≤ B ．2211a a a a++≥C ．1||2a b a b-+-≥ D【例32】 “0a b >，且a b ≠”是“222a b ab +<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【例33】 0a ≥，0b ≥，且2a b +=，则（ ）A ．12ab ≤B ．12ab ≥ C ．222a b +≥ D ．223a b +≤【例34】 若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤B ．221a b +≥C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥【例35】 设实数a 、b 满足0a b <<，且1a b +=，则下列四数中最大的是（ ）A ．12B ．22a b +C ．2abD ．a【例36】 正实数a 、b 、c 满足a d b c +=+，a d b c -<-，则（ ）A ．ad bc =B ．ad bc <C ．ad bc >D ．ad 与bc 大小不定【例37】 已知a b c >>2a c-的大小关系是 ．【例38】 已知实数x 、y 、z 满足条件0x y z ++=，0xyz >，设111T x y z=++，则（ ）A ．0T >B ．0T =C ．0T <D ．以上都可能【例39】 若10a b >>>，以下不等式恒成立的是（ ）A ．12a b +> B ．12b a +>C ．1lg 2a b b +>D ．1lg 2b a a +<【例40】 若121200a a b b <<<<，，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是（ ）A ．1122a b a b +B ．1212a a b b +C ．1221a b a b +D ．12。
高中数学基本不等式训练题(含答案)
高中数学基本不等式训练题(含答案)高中数学基本不等式训练题(含答案)1．若xy＞0，则对 xy＋yx说法正确的是()A．有最大值－2 B．有最小值2C．无最大值和最小值 D．无法确定答案：B2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是()A．400 B．100C．40 D．20答案：A3．已知x2，则当x＝____时，x＋4x有最小值____．答案：2 44．已知f(x)＝12x＋4x.(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；(2)当x＜0 时，求f(x)的最大值．解：(1)∵x＞0，12x，4x＞0.12x＋4x212x4x＝83.当且仅当12x＝4x，即x＝3时取最小值83，当x＞0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x＜0，－x＞0.则－f(x)＝12－x＋(－4x)212－x－4x＝83，当且仅当12－x＝－4x时，即x＝－3时取等号．A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a，b(0，＋)，ba，ab(0，＋)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然x，y(0，＋)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的；③∵aR，不符合基本不等式的条件，4a＋a24aa＝4是错误的；④由xy＜0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy ＋yx提出负号后，(－xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()A．2 B．22C．4 D．5解析：选C.∵1a＋1b＋2ab2ab＋2ab222＝4.当且仅当a＝bab ＝1时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4. 6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()A．最大值64 B．最大值164C．最小值64 D．最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，xy＝8x＋2y28x2y＝8xy，当且仅当8x＝2y时等号成立．xy64.二、填空题7．函数y＝x＋1x＋1(x0)的最小值为________．答案：18．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．解析：1＝x＋4y4y＝4xy，xy116.答案：大1169．(2019年高考山东卷)已知x，yR＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．解析：∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y42xy12，xy3.当且仅当x3＝y4时取等号．答案：3三、解答题10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6的最小值；(2)求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．解：(1)∵x＞－1，x＋1＞0.y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋52 x＋14x＋1＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．x＝1时，函数的最小值是9.(2)y＝x2＋8x－1＝x2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x－1＝(x－1)＋9x－1＋2.∵x＞1，x－1＞0.(x－1)＋9x－1＋22x－19x－1＋2＝8.当且仅当x－1＝9x－1，即x＝4时等号成立，y有最小值8.11．已知a，b，c(0，＋)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)(1b －1)(1c－1)8.证明：∵a，b，c(0，＋)，a＋b＋c＝1，1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca2bca，同理1b－12acb，1c－12abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a－1)(1b－1)(1c－1)8.当且仅当a＝b＝c时取等号．12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米．总造价f(x)＝400(2x＋2200x)＋100200x＋60200＝800(x＋225x)＋120191600x225x＋12019＝36000(元)当且仅当x＝225x(x＞0)，即x＝15时等号成立．。
高中数学不等式经典题型集锦(含答案)
高中数学不等式经典题型集锦姓名班级学号得分注意事项：1、本试题满分100分，考试时间90分钟2、答题前填好自己的姓名、班级、考号等信息3.请将答案正确填写在答题卡上一．单选题（每题3分，共48分）1．若t∈（0，1]，则t+有最小值（）A．2B．3 C．-2D．不存在2．不等式（1+x）（2-x）（3+x2）＞0的解集是（）A．φB．RC．{x|-1＜x＜2} D．{x|x＞2或x＜-1}3．如果实数x，y满足：，则目标函数z=4x+y的最大值为（）A．2 B．3 C．D．44．设变量x，y满足约束条件，则z=6x-y的最小值为（）A．-8 B．0 C．-2 D．-75．在△ABC中，E为AC上一点，且，P为BE上一点，且（m＞0，n＞0），则取最小值时，向量=（m，n）的模为（）A．B．C．D．26．若a，b，c＞0且a2+2ab+2ac+4bc=12，则a+b+c的最小值是（）A．B．3 C．2 D．7．不等式x2-ax-12a2＜0（a＜0）的解集是（）A．（-3a，4a）B．（4a，-3a）C．（-3，4）D．（2a，6a）8．若第一象限的点（a，b）关于直线x+y-2=0的对称点在直线2x+y+3=0上，则的最小值是（）A．1 B．3 C．D．9．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值是（）A．5 B．6 C．8 D．910．若a，b，c＞0且，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．11．已知x，y满足，且z=2x-y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．2 D．-212．不等式的解集是（）A．[1，+∞）B．（2，+∞）∪（-∞，-1]C．[2，+∞）∪（-∞，-1] D．[3，+∞）∪（-∞，2）13．若不等式x2-ax+b＜0的解集为（1，2），则不等式＜的解集为（）A．（，+∞）B．（-∞，0）∪（，+∞）C．（，+∞）D．（-∞，0）∪（，+∞）14．若关于x的不等式-+ax＞-1的解集为{x|-1＜x＜2}，则实数a=（）A．B．C．-2 D．215．若a＞0，b＞0，则不等式-b＜＜a等价于（）A．＜x＜0或0＜x＜B．-＜x＜C．x＜-或x＞D．x＜或x＞16．二次函数f（x）=ax2+bx+c中，a＞0且a≠1，对于任意的x∈R都有f（x-3）=f（1-x），设m=f（），n=f[]，则（）A．m＜n B．m=nC．m＞n D．m，n的大小关系不确定二．填空题（每题3分，共27分）17．设，x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=4，a+b=2，则的最大值为______．18．已知3a+2b=1，a，b∈R*，则的最小值______．19．已知实数x，y满足x＞y＞0且x+y=1，则的最小值是______．20．若x＞0，y＞0，且+=2，则6x+5y的最小值为______．21．已知x，y为正数，且x++3y+=10，则x+3y的最大值为______．22．若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是______．23．已知0＜b＜a＜c≤4，ab=2，则的最小值是______．24．设x，y∈R，且x2+xy+y2=9，则x2+y2的最小值为______．25．若x＞0，y＞0，且y=，则x+y的最小值为______．三．简答题（每题5分，共25分）26．已知a，b，c为正数，证明：≥abc．27．已知不等式|x+2|+|x-2丨＜10的解集为A．（1）求集合A；，不等式a+b＞（x-4）（-9）+m恒成立，求实数m的（2）若∀a，b∈A，x∈R+取值范围．28．设，则的最小值为______．，x+y+z=3．29．已知x，y，z∈R+（1）求++的最小值（2）证明：3≤x2+y2+z2＜9．30．已知关于x的不等式在x∈（a，+∞）上恒成立，求实数a的最小值．参考答案一．单选题（共__小题）1．若t∈（0，1]，则t+ 有最小值（）A．2B．3 C．-2D．不存在答案：B解析：解：构造函数f（t）=t+，根据双勾函数的图象和性质，f（t）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以，当t∈（0，1]时，f（t）单调递减，=f（1）=3，即f（t）min故答案为：B．2．不等式（1+x）（2-x）（3+x2）＞0的解集是（）A．φB．RC．{x|-1＜x＜2} D．{x|x＞2或x＜-1}答案：C解析：解：∵3+x2＞0，∴原不等式即为（1+x）（2-x）＞0，再化为（1+x）（x-2）＜0，解得-1＜x＜2．故选C3．如果实数x，y满足：，则目标函数z=4x+y的最大值为（）A．2 B．3 C．D．4答案：C解析：解：约束条件的可行域如下图示：由图易得目标函数z=4x+y在A（，）处取得最大，最大值，故选C．4．设变量x，y满足约束条件，则z=6x-y的最小值为（）A．-8 B．0 C．-2 D．-7答案：D解析：解：由约束条件作出可行域如图，联立，得B（-1，1），化目标函数z=6x-y为y=-6x+z，由图可知，当直线y=-6x+z过B时，直线在y轴上的截距最大，z最小为6×（-1）-1=-7．故选：D．5．在△ABC中，E为AC上一点，且，P为BE上一点，且（m＞0，n＞0），则取最小值时，向量=（m，n）的模为（）A．B．C．D．2答案：C解析：解：∵，∴=m+4n，又∵P为BE上一点，不妨设=λ，（0＜λ＜1），∴=+=+λ=+λ（）=（1-λ）+λ，∴m+4n=（1-λ）+λ，∵，不共线，∴，∴m+4n=1，∴=（）（m+4n）=5++≥5+2=9当且仅当=即m=且n=时，上式取到最小值，∴向量=（m，n）的模||==故选：C6．若a，b，c＞0且a2+2ab+2ac+4bc=12，则a+b+c的最小值是（）A．B．3 C．2 D．答案：A解析：解：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=（a2+2ab+2ac+4bc）+b2+c2-2bc=12+（b-c）2≥12，当且仅当b=c时取等号，∴a+b+c≥故选项为A7．不等式x2-ax-12a2＜0（a＜0）的解集是（）A．（-3a，4a）B．（4a，-3a）C．（-3，4）D．（2a，6a）答案：B解析：解：x2-ax-12a2＜0，因式分解得：（x-4a）（x+3a）＜0，可化为：或，∵a＜0，∴4a＜0，-3a＞0，解得：4a＜x＜-3a，则原不等式的解集是（4a，-3a）．故选B8．若第一象限的点（a，b）关于直线x+y-2=0的对称点在直线2x+y+3=0上，则的最小值是（）A．1 B．3 C．D．答案：C解析：解：设A（a，b）关于直线x+y-2=0的对称点B（x0，y）在直线2x+y+3=0上，∴线段AB的中点（，）在直线x+y-2=0上，由题意得：，∴a+2b=9，∴+=+=++≥+2=，当且仅当：=即b=2a时“=”成立，故选：C．9．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值是（）A．5 B．6 C．8 D．9答案：D解析：解：由x2+y2+2x-4y+1=0得：（x+1）2+（y-2）2=4，∴该圆的圆心为O（-1，2），半径r=2；又直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，∴直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆心O（-1，2），∴-2a-2b+2=0，即a+b=1，又a＞0，b＞0，∴=（）•（a+b）=1+++4≥5+2=9（当且仅当a=，b=时取“=”）．故选D．10．若a，b，c＞0且，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．答案：D解析：解：若a，b，c＞0且，所以，∴，则（2a+b+c）≥，故选项为D．11．已知x，y满足，且z=2x-y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．2 D．-2答案：B解析：解：由题意可得，∴a＜1，不等式组表示的平面区域如图所示，三角形的三个顶点坐标分别为（a，a），（a，2-a），（1，1）．由z=2x-y可得y=2x-z，则z表示直线y=2x-z在y轴上的截距的相反数，截距越大，z越小作直线L：y=-2x，把直线向可行域平移，当直线经过（1，1）时，z最大为1，当直线经过点（a，2-a）时，z最小为3a-2，∵z=2x-y的最大值是最小值的4倍，∴4（3a-2）=1，即12a=9，∴a=．故选B．12．不等式的解集是（）A．[1，+∞）B．（2，+∞）∪（-∞，-1]C．[2，+∞）∪（-∞，-1] D．[3，+∞）∪（-∞，2）答案：B解析：解：不等式化为即，即，转化为：所以不等式的解集为：（-∞，-1]∪（2，+∞）．故选B．13．若不等式x2-ax+b＜0的解集为（1，2），则不等式＜的解集为（）A．（，+∞）B．（-∞，0）∪（，+∞）C．（，+∞）D．（-∞，0）∪（，+∞）答案：B解析：解：因为不等式x2-ax+b＜0的解集为（1，2），所以1+2=a，1×2=b，即a=3，b=2，所以不等式＜为，整理得，解得x＜0或者x＞，所以不等式的解集为：（-∞，0）∪（，+∞）．故选B．14．若关于x的不等式-+ax＞-1的解集为{x|-1＜x＜2}，则实数a=（）A．B．C．-2 D．2答案：A解析：解：由的解集是{x|-1＜x＜2}，可知-1与2是方程的两根，∴，解得 a=．故选A．15．若a＞0，b＞0，则不等式-b＜＜a等价于（）A．＜x＜0或0＜x＜B．-＜x＜C．x＜-或x＞D．x＜或x＞答案：D解析：解：故选D．16．二次函数f（x）=ax2+bx+c中，a＞0且a≠1，对于任意的x∈R都有f（x-3）=f（1-x），设m=f（），n=f[]，则（）A．m＜n B．m=nC．m＞n D．m，n的大小关系不确定答案：A解析：解：∵二次函数f（x）=ax2+bx+c中，a＞0且a≠1，对于任意的x∈R都有f（x-3）=f（1-x），∴二次函数f（x）关于直线x==-1对称．∴m=f（）=f（-2），n=f[]=f（）=，∵a＞0且a≠1，∴函数f（x）在（-∞，-1]上单调递减，∴．∴n＞m．故选：A．二．填空题（共__小题）17．设，x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=4，a+b=2，则的最大值为______．答案：解析：解：∵a＞1，b＞1，a+b=2，∴，即ab≤2，当且仅当时取等号．∵a x=b y=4，∴xlga=lg4，ylgb=lg4，∴===．故答案为．18．已知3a+2b=1，a，b∈R*，则的最小值______．答案：解析：解；∵3a+2b=1，a，b∈R*，∴3a∵====∴的最小值为故答案：．19．已知实数x，y满足x＞y＞0且x+y=1，则的最小值是______．答案：解析：解：∵x＞y＞0且x+y=1，∴．则=+=+=f（x），f′（x）=-=，令f′（x）＞0，解得＜x＜1，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得，此时函数f（x）单调递减．∴当x=时，函数f（x）取得最小值，=．故答案为：．20．若x＞0，y＞0，且+=2，则6x+5y的最小值为______．答案：解析：解：6x+5y===，当且仅当，a=时取等号．故答案为：．21．已知x，y为正数，且x++3y+=10，则x+3y的最大值为______．答案：8解析：解：∵x++3y+=10，∴（x+3y）（x++3y+）=10（x+3y），∴（x+3y）2-10（x+3y）+10++=0，∵+≥6（=，即x=y时取等号）∴（x+3y）2-10（x+3y）+16≤0，∴2≤x+3y≤8，∴x+3y的最大值为8，此时x=y=2．故答案为：8．22．若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是______．答案：-2解析：解：∵2a+2b=1，∴=，即，∴a+b≤-2，当且仅当，即a=b=-1时取等号，∴a=b=-1时，a+b取最大值-2．故答案为：-2．23．已知0＜b＜a＜c≤4，ab=2，则的最小值是______．答案：解析：解：∵已知0＜b＜a＜c≤4，ab=2，∴0＜b＜1，2＜a，a-＞0．则=+=+=（a-）+（）+≥2+=4+=，当且仅当（a-）=（）且c=时，等号成立，故答案为：．24．设x，y∈R，且x2+xy+y2=9，则x2+y2的最小值为______．答案：6解析：解：∵，解得x2+y2≥6，当且仅当x=y=时取等号．故答案为6．25．若x＞0，y＞0，且y=，则x+y的最小值为______．答案：18解析：解：∵x＞0，y＞0，且y=＞0，解得x＞2．∴x+y===x-2++2≥+2=18，当且仅当x=6时取等号，此时x+y的最小值为18．故答案为：18．三．简答题（共__小题）26．已知a，b，c为正数，证明：≥abc．答案：证明：∵a，b，c为正数，∴a2（b2+c2）≥2a2bc①，b2（a2+c2）≥2b2ac②，c2（b2+a2）≥2c2ba③①+②+③可得：2（a2b2+b2c2+c2a2）≥2abc（a+b+c）∴≥abc．27．已知不等式|x+2|+|x-2丨＜10的解集为A．（1）求集合A；，不等式a+b＞（x-4）（-9）+m恒成立，求实数m的（2）若∀a，b∈A，x∈R+取值范围．答案：解：（1）不等式|x+2|+|x-2丨＜10等价于，或或，解得-5＜x＜5，故可得集合A=（-5，5）；，（2）∵a，b∈A=（-5，5），x∈R+∴-10＜a+b＜10，∴（x-4）（-9）=1--9x+36=37-（+9x）≤37-2=25，∵不等式a+b＞（x-4）（-9）+m恒成立，∴m+25≤-10，解得m≤-3528．设，则的最小值为______．答案：解：∵，∴1-2x＞0∴==13+≥13+=25 当且仅当，即x=时，的最小值为25故答案为：25，x+y+z=3．29．已知x，y，z∈R+（1）求++的最小值（2）证明：3≤x2+y2+z2＜9．答案：，x+y+z=3．（1）解：∵x，y，z∈R+∴++===3，当且仅当x=y=z=1时取等号，∴++的最小值是3．（2）证明：∵（x-y）2+（x-z）2+（y-z）2≥0，∴2（x2+y2+z2）≥2xy+2xz+2yz，∴3（x2+y2+z2）≥（x+y+z）2=32，∴x2+y2+z2≥3；又x2+y2+z2-9=x2+y2+z2-（x+y+z）2=-2（xy+yz+xz）＜0．综上可得：3≤x2+y2+z2＜9．解析：（30．已知关于x的不等式在x∈（a，+∞）上恒成立，求实数a的最小值．答案：解：不等式在x∈（a，+∞）上恒成立，设y=，∴x-1≥2，x≥3，故实数a的最小值3．。
高中数学必修一不等式习题
必修一 不等式一、单选题1．（2022·山东滕州·高一期末）“06x π<<”是“1sin 2x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．（2022·四川广元·高二期末（理））命题“x R ∀∈，均有2cos 10x x ++<”的否定为（ ） A ．x R ∀∈，均有2cos 10x x ++≥B ．0x R ∃∈，使得200cos 10x x ++<C ．0x R ∃∈，使得200cos 10x x ++≥D ．x R ∀∈，均有2cos 10x x ++>3．（2011·上海·高考真题（文））若,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是A ．222a b ab +>B ．a b +≥C ．11a b +>D ．2b aa b+≥4．（2013·重庆·高考真题（文））关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为12(,)x x ，且：2115x x -=，则a =（ ） A ．52B ．72C ．154D ．1525．（2015·湖南·高考真题（文））若实数,a b 满足12a b+ab 的最小值为A B ．2 C ．D ．46．（2021·全国·高一单元测试）若不等式220ax x c ++<的解集是121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则不等式220cx x a ++≤的解集是. A ．11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[-2，3]D ．[-3，2]7．（2021·福建·福州高新区第一中学（闽侯县第三中学）高一阶段练习）若正实数,a b 满足1a b +=，则 A ．11a b+有最大值4 B ．ab 有最小值14C D ．22a b +有最小值28．（2021·全国·高一期中）已知0a >，0b >，若44a b ab +=，则a b +的最小值是（ ）A ．2B 1C ．94D ．529．（2021·湖南·长沙市实验中学高一期中）对x R ∀∈，不等式()()222240a x a x -+--<恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．22a -<≤B ．22a -≤≤C ．2a <-或2a ≥D ．2a ≤-或2a ≥10．（2020·吉林·长春市第二实验中学高一期末） 不等式(x ＋3)2＜1的解集是( ) A ．{x |x ＞－2} B ．{x |x ＜－4} C ．{x |－4＜x ＜－2}D ．{x |－4≤x ≤－2}11．（2022·北京石景山·高一期末）不等式20ax x c -+>的解集为{21}xx -<<∣，则函数2y ax x c =++的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．（2021·全国·高一期中）若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b +的值为（ ） A ．10-B ．14-C ．10D ．1413．（2021·全国·高一单元测试）若0a <b <，则下列结论中不恒成立的是（ ）A ．a b >B ．11a b> C ．222a b ab +> D ．a b +>-14．（2021·福建·龙岩市第一中学锦山学校高一阶段练习）若两个正实数x ，y 满足141x y +=，且存在这样的x ，y 使不等式234yx m m +<+有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,4)- B ．(4,1)-C ．()(),41,-∞-+∞ D ．()(),30,-∞-⋃+∞15．（2021·全国·高一专题练习）已知a 、b 、c 满足c b a <<且0ac <，则下列选项中不一定能成立的是 A ．ab ac >B ．()0c b a ->C ．22cb ca <D ．()0ac a c -<16．（2021·广西·蒙山县第一中学高二阶段练习（理））“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．非充分非必要条件17．（2021·贵州金沙·高一阶段练习）“0a b >>”是“1ab>”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件18．（2021·全国·高一专题练习）已知a >1，b >1，记M ＝11a b+，N ，则M 与N的大小关系为（ ） A ．M >N B ．M ＝N C ．M <ND ．不确定19．（2021·江西·上高二中高一阶段练习）不等式111x ≥--的解集为（ ） A ．(],0-∞ B ．(](),01,-∞+∞C ．[)()0,11,+∞D ．[)0,+∞20．（2021·全国·高一课时练习）若“﹣2<x <3”是“x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0）”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥1B ．m ≥2C ．m ≥3D ．m ≥421．（2021·新疆·哈密市第八中学高一期中）若,a b c d >>，则下列关系一定成立的是（ ） A ．ac bd > B ．ac bc > C ．a c b d +>+D ．a c b d ->-22．（2021·全国·高一单元测试）当01x <<时，141x x+-的最小值为（ ）A ．0B ．9C ．41ee e +- D ．1023．（2022·广东广雅中学高一期末）若命题“22103x x -+<”是命题“x a >”的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥B ．12a ≥C ．12a ≤D ．1a ≤24．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）若0a <，则关于x 的不等式(1)(2)0ax x -->的解集为（ ）A ．12x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．12x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．1{x x a<或2}x > D ．{2x x <或1}x a>二、多选题25．（2022·辽宁营口·高一期末）下列选项中，满足p 是q 的充分不必要条件的是（ ） A ．:1p x >，:0q x > B ．:2≠p x ，2:4≠q x C ．:0p x =，:0=q xyD ．:p x y >，22:q x y >26．（2021·全国·高一专题练习）已知,a b R +∈且1a b +=，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）．A ．14abB ．1174ab ab +C 2bD ．11222a b+ 27．（2022·全国·高一期末）若正实数a ，b 满足1a b +=则下列说法正确的是（ ）A ．ab 有最大值14B C ．11a b+有最小值2 D ．22a b +有最大值1228．（2021·全国·高一课时练习）解关于x 的不等式：2(24)80ax a x +-->，则下列说法中正确的是（ ）A ．当0a =时，不等式的解集为{}4x x >B ．当0a >时，不等式的解集为{|4x x >或2x a ⎫<-⎬⎭C ．当0a <时，不等式的解集为24x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．当12a =-时，不等式的解集为∅29．（2021·江苏·沛县教师发展中心高一阶段练习）若0a b <<，下列不等式中不成立的是（ ） A ．1ab < B ．11a b< C ．|a|>b - D ．22b a >30．（2021·全国·高一专题练习）设正实数m 、n 满足2m n +=，则下列说法中正确的是（ ）A ．124m n ->B ．mn 的最大值为1C 的最小值为2D ．22m n +的最小值为231．（2021·云南·弥勒市一中高一阶段练习）已知,,,a b c d R ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若22ac bc >，则a b > C ．若0a b >>，则()0a b c ->D ．若,a b c d >>，则a d b c ->-32．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一期末）设0a >，0b >，给出下列不等式恒成立的是（ ） A ．21a a +> B ．296a a +> C ．()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭D ．114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭三、填空题33．（2017·江苏·高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________．34．（2021·全国·高一课时练习）函数y R ，则实数k 的取值范围为______．35．（2021·广东北江实验学校高一阶段练习）设0a >，1b >，若2a b +=，则911a b +-的最小值为__________．36．（2017·北京·高考真题（文））已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.37．（2020·江苏镇江·高二期末）不等式2320x x -++>的解集为____________． 38．（2021·全国·高一单元测试）若4x >，1y >，且124xy x y =++，则x y + 最小值是_____．39．（2021·全国·高一单元测试）已知x 、y 都是正数，且满足230x y xy ++=，则xy 的最大值为_________．40．（2021·全国·高一单元测试）已知0x >，则97x x--的最大值为________．41．（2021·云南·曲靖市沾益区第四中学高一阶段练习）不等式3442x x +≥-的解集是___________．四、解答题42．（2021·河北雄县·高一阶段练习）()1已知3x >，求43y x x =+-的最小值，并求取到最小值时x 的值；()2已知0x >，0y >，223x y +=，求xy 的最大值，并求取到最大值时x 、y 的值．43．（2021·陕西·西安一中高二期中）设函数()21f x mx mx =--（1）若对一切实数x ，()0f x <恒成立，求m 的取值范围； （2）若对于[]1,3x ∈，()5f x m <-+恒成立，求m 的取值范围：44．（2021·全国·高一单元测试）已知函数2()()f x x ax a R =-∈. （1）若2a =，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若[1,)x ∈+∞时，2()2f x x ≥--恒成立，求a 的取值范围.45．（2021·全国·高一单元测试）已知0,0x y >>，且41x y +=. （1）求xy 的最大值； （2）求1y x y+的最小值.。
高中数学不等式精选练习题及答案
高中数学不等式精选练习题及答案一、填空题（每题5分，共50分）1、已知x＞0，则2x +162x+3的最小值是。
2、已知x＞0，y＞0，x+y=1，则23 +2 的最大值是。
3、已知正数a，b 满足a+32b=6，则ab 的最大值。
4、已知2＜x＜3，则x3−x +1x−2的最小值是。
5、已知a＞2，b＞3，若a+b =7，则2a−2+1b−3最小值是。
6、若x，y 满足不等式2x −y ≥0x ≤y +4x +y ≤7，则3x-y 的最小值是。
7、实数m，n 满足n=1+m，n∈（0，1），则2023n-m+12023m的最小值是。
8、已知a＞0，b＞0，3a+2b-ab=0，则4a+3b 的最小值是。
9、已知x＞0，y＞0，4x+y+2xy=52，则4x+y 的最小值是。
10、已知f （x）=丨2x+2丨+丨x -3丨，则f （x）≤5的解集是。
二、解答题（每题10分，共50分）11、已知a＞0，b＞0，b＞0，若a+b+c=1证明：a ³c+b ³a+c ³b ≥abc12、已知x＞0，y＞0，z＞0，若x+y+z=31x+y +1y+z+1z+x≥3213、已知x＞0，y＞0，z＞0，求证：xyz +xzy +yzx≥x+y+z 14、已知x＞0，y＞0，z＞0，x+y+z=2求证：1x+1z+1y9215、已知x＞0，y＞0，z＞0，证明（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz参考答案一、填空题因为x ＞02x+32 +3=（2x+3）+162 +3-3≥-3=5当且仅当2x+3=162 +3时，等号成立，最小值为5。
第2题因为x＞0，y＞0，x+y=123 +2=23y +2x又3+2x=（3+2x）∙（x+y）=3+2yx+5=5+2623 +2最大值为=10-46故答案为：10-46因为a＞0，b＞06=a+32b即：6≥3不等式两边同时乘方32∙a ba b≤6a b最大值为6故答案为：6第4题因为2＜x＜3所以x-2＞0，3-x＞0x3−x=−(−x)3−x=−（3−x）+33−x=33−x-1x3−x+1x−2=（33−x-1）+1x−2=（33−x+1x−2）·1-1①又（3-x）+（x-2）=1②将②代替①中的第一个1，得上式=（33−x+1x−2）·[（3-x）+（x-2）]-1=3(x−2)3−x+x−3x−2+3≥3−x+3=3+23 x3−x+1x−2最小值是3+23故答案为：3+23已知a＞2，b＞3则a-2＞0，b-3＞0因为a+b =7所以（a-2）+（b-3）=2即：12[（a-2）+（b-3）]=1①2a−2+1b−3=（2a−2+1b−3）∙1②将①代替②中的1，得上式=（2a−2+1b−3）∙12[（a-2）+（b-3）]=12[3+2（b−3）a−2+a−2b−3]≥32+12∙=3+2222a−2+1b−3最小值是3+222第6题联立x =y +42x −y =0解得A（-4，-8）令t=3x-y，所以y=3x-t 当直线y=3x-t 经过A 点时t 最小=-4故答案为：-4第7题因为n∈（0，1），n=1+m 所以-m∈（0，1）由n=1+m，即n -m=1所以：n+（-m）=1............①，其中n∈（0，1），-m∈（0，1）2023n-m+12023m=2023n-（m2023m +12023m）=2023n-12023m-12023=（2023n-12023m）·1-12023将①替换上面的1上式=〔2023n+（-12023m）〕·〔n+（-m）〕-12023=2023+−2023m n+（−n 2023m ）≥20252023n-m+12023m 的最小值是2025故答案为：2025第8题已知a＞0，b＞0，所以3a+2b-ab=0即3a+2b=ab3b+2a=1所以4a+3b=（4a+3b）∙（3b+2a）=12a b+6b a+=17+122即4a+3b 的最小值是17+122故答案为：17+122第9题2xy=12（4x∙y）≤12∙14（4x+y）²=18（4x+y）²即：2xy≤18（4x+y）²①已知4x+y+2xy=52，变换一下，得：2xy=52-（4x+y）②将②代入①52-（4x+y）≤18（4x+y）²整理得：（4x+y）²+8（4x+y）-20≥04x+y≤-10（舍去）4x+y≥2即4x+y的最小值是2故答案为：2第10题f（x）=丨2x+2丨+丨x-3丨=−3x+1，x≤−1 x+5，−1＜x＜3 3x−1，x≥3（1）当x≤−1时，−3x+1≤5，解得：−43≤x≤−1（2）−1＜x＜3时，x+5≤5，解得：−1＜x≤0，（3）x≥3时，3x−1≤5，x≤2，无解综上，f（x）≤5的解集是−43≤x≤0故答案为：−43≤x≤0第11题证明：因为a＞0，b＞0，b＞0a 2b+b=2ab 2c+c ≥2bc 2a+a ≥2ca 2b+b）+（b2c+c）+（c2a+a）≥2（a+b+c）a 2b+b 2c+c 2a）+（a+b+c）≥2（a+b+c）a 2b +b 2c+c 2a≥a+b+c已知a+b+c=1a2b+b 2c +c 2a≥1等号两边同时乘以abc所以：a ³c+b ³a+c ³b ≥abc第12题因为x+y+z=3所以2（x+y+z）=6即（x+y）+（y+z）+（z+x）=6①1x+y +1y+z+1z+x=16（1x+y+1y+z+1z+x）∙6将①替换上式中的6，得上式=16（1x+y+1y+z+1z+x ）∙〔（x+y）+（y+z）+（z+x）〕=16（3+y+zx+y+x+y y+z+z+xx+y+x+y z+x+z+x y+z+y+zz+x）16（3++）=16（3+6）=321x+y +1y+z+1z+x≥32第13题已知x＞0，y＞0，z＞0xyz+xzy≥2=2xxzy +yz x≥2zxy z+yz x ≥2yxy z+xz y+yz x）≥2（x+y+z）xy z+xz y+yz x≥x+y+z第14题已知x＞0，y＞0，z＞0，又x+y+z=2所以12（x+y+z）=1①1x+1z+1y=（1x+1z+1y）·1将①替换上式中的1上式=12（1x +1z+1y ）·（x+y+z）=12（3+y x+zx +x y +zy +x z +yz）1292所以：1x+1z+1y92第15题因为x＞0，y＞0，z＞0所以x+y≥2x·y同理y+z≥2y·zz+x≥2z·x三式相乘，得（x+y）（y+z）（z+x）≥8x²·y²∙z²所以：（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz。
高中数学多选题(不等式、圆锥曲线、立体几何)(题目及答案)
专题1 《不等式》多选题1. 若101a b c >><<，,则( C D )A 、 c c a b <B 、 c c ab ba <C 、 log log b a a c b c <D 、c c b a log log >2、已知则且,2,0,0=+≥≥b a b a （ ACD ）学科网A 、1≤abB 、 21≥ab C 、222≥+b a D 、422≤+b a3、已知：0>>y x ，则下列不等式恒成立的是（ BC ）A 、yx )31()31(> B 、y x 3131log log <C 、)1ln()1ln(22y y x x -+<-+D 、y xy xlg lg >4、如果a >b ，那么下列不等式中成立的是 （ AB ）A 、3131b a > B 、a 3 >b 3 C 、3131-->b aD 、3232b a >5、设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列不等式中恒成立的是（A B C ）A 、c b c a b a -+-≤-B 、a a aa 1122+≥+C 、a a a a -+<+-+213D 、21≥-+-ba b a 6、当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，记m 的取值范围为集合M ，则M 的子集不可能是（ CD ）A 、)9,13(--B 、)5,9(--C 、)1,5(--D 、)3,1(-【解】 5m -≤7、如果关于x 的方程2230x ax a -+-=至少有一个正根，则实数a 的取值范围不可能是（ ABD ）A 、[2,2]-B 、 3,2]C 、(3,2]-D 、[3,2]-【解】由230,a -<或2030a a >⎧⎨-=⎩，或⎪⎩⎪⎨⎧>->≥--=∆,03,0,0)3(4222a a a a 得，(3,2]a ∈-8、下列命题是假命题的是（ ACD ）A 、a b >是22ac bc >的充要条件B 、1a >，1b >是1ab >的充分不必要条件C 、),2(+∞∈∀x ， x 2＞2xD 、0x ∃∈R ，≤xe ln 0 （e 为自然对数的底数）专题2 《圆锥曲线》多选题1.设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y =x 2 +1相切，则( BD )A 、a b 5=B 、渐近线与x 轴夹角的正切值为2C 、该双曲线的离心率等于5D 、该双曲线的离心率等于6 【解】设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0'0|2x x yx ==.由题意有002y x x =又2001y x =+ 解得: 2201,2,1()5b bx e a a=∴==+=.2、设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程不可能是( A C ).A 、x y 42-=B 、x y 82-=C 、24y x = D 、 28y x =【解】: 抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F 坐标为(,0)4a ,则直线l 的方程为2()4a y x =-,它与y 轴的交点为A (0,)2a -,所以△OAF 的面积为1||||4242a a⋅=,解得8a =±.所以抛物线方程为28y x =±3、对于椭圆191622=+y x 和双曲线19722=-y x 有下列命题，其中正确命题有（ AB ） A 、椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; B 、双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; C 、双曲线与椭圆共焦点; D 、椭圆与双曲线有两个顶点相同.4、已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．PQ 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆经过P 、Q 两点，则下列结论正确的是 （ A C ）A 、椭圆EB 、椭圆方程为162422=+y x ；C 、椭圆方程为221123x y +=； D 、椭圆长轴长为32【解】（I ）过点(c ,0),(0,b )的直线方程为0bx cy bc，则原点O 到直线的距离bcd a==，由12d c ，得2222a b a c ，解得离心率32c a . (II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244x y b . (1)依题意，圆心M(-2,1)是线段PQ 的中点，易知，PQ 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1y k x ，代入(1)得 2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b设),(),,(2211y x Q y x P ， 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k由124x x ，得28(21)4,14k k k 解得12k. 从而21282x x b 22)10，解得23b.故椭圆E 的方程为221123x y .5、设O 为坐标原点，点AB若2OB OA =，则直线AB 的方程可以为（ BC ）A 、x y 2-=B 、x y -=C 、x y =D 、x y 2=【解】y x =或y x =-.提示：,A B 两点的坐标分别记为(,),(,)A A B B x y x y ，因为2OB OA =，所以,,O A B 三点共线且点,A B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y kx =，将y kx =代入22(14)4k x +=，所以，将y kx =代入中，得22(4)16k x +=，所以 又由2OB OA =，得224B A x x =，即解得1k =±.故直线AB 的方程为y x =或y x =-. 6、已知椭圆2214x y +=，过点(1,0)M -作直线l 交椭圆于,A B 两点，O 是坐标原点．则 （ ACD ） A 、AB 中点P 的轨迹方程为2240x x y ++=；B 、OAB ∆面积的最大值为3，C 、OAB ∆面积的最大值为23， D 、 OAB ∆面积的最大值时直线l 的方程为1-=x ．【解】（1）设1122(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则221122221(1)41(2)4x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩（1）－（2），得12121212()()()()04x x x x y y y y -++-+=，041x y y x +⋅=+，即2240x x y ++= （2）令:1l x hy =-代入2244x y +=，得22(4)230h y hy +--=，216(3)h ∆=+，1222112244S OM y y h h =⋅⋅-=⋅=++，t =≥22211t S t t t ==++在)+∞上单调递减，t =0h =时，max S =，:1l x =- ． 7、设椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且1F 是2QF 的中点．过点2F Q A 、、的圆恰好与直线033=--y x 相切。
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不等式练习题
一、选择题
1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( )
（A ）a 2＞b 2 （B ）a b ＜1 （C ）lg(a -b)＞0 （D ）(21)a ＜(2
1)b
2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ）
a 1+a ≥2 (a ≠0) （C ）a 1＜b
1(a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11)(1122--b
a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9
4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R );
(3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( )
(A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个
5、f (n ) = 12+n －n , ϕ(n )=
n
21, g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n )<g (n ) <ϕ(n ) (B ) f (n )<ϕ(n )<g (n )
(C ) g (n )<ϕ(n )<g (n ) (D )g (n )<f (n )<ϕ(n ) 6、设x 2+y 2 = 1, 则x +y ( )
(A ) 有最小值1 (B ) 有最小值2
(C )有最小值－1 (D ) 有最小值－2
7、不等式|x ＋5|＞3的解集是 ( )
(A){x|－8＜x ＜8} (B){x|－2＜x ＜2}
(C){x|x ＜－2或x ＞2＝ (D){x|x ＜－8或x ＞－2＝
8、若a ，b ，c 为任意实数，且a ＞b ，则下列不等式恒成立的是 ( )
(A)ac ＞bc (B)|a ＋c|＞|b ＋c| (C)a 2＞b 2 (D)a ＋c ＞b ＋c
9、设集合M={x|
13-+x x ≤0},N={x|x 2+2x -3≤0},P={x|322)2
1(-+x x ≥1},则有 ( ) （A ）M ⊂N=P （B ）M ⊂N ⊂P （C ）M=P ⊂N （D ）M=N=P 10、设a,b ∈R,且a+b=3,则2a +2b 的最小值是 ( )
（A ）6 （B ）42 （C ）22 （D ）26
11、若关于x 的不等式ax 2＋bx －2＞0的解集是⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛
-∞-,3121, ，则ab 等于( ) (A)－24 (B)24 (C)14 (D)－14
12、如果关于x 的不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ( )
(A)]2,(-∞ (B))2,(--∞ (C)]2,2(- (D)(－2,2)
13、设不等式f(x)≥0的解集是[1，2]，不等式g(x) ≥0的解集为Φ，则不等式 0)
()(>x g x f 的解集是 ( ) (A) Φ (B)+∞-∞,2()1,( ) (C)[1，2] (D)R
14、2
2+>+x x x x 的解集是 ( ) (A ) (－2,0) (B ) (－2,0) (C ) R (D ) (－∞,－2)∪(0,+ ∞)
15、不等式33
31>--x 的解集是 ( ) (A ) (－∞,1) (B ) (43,1 ) (C ) (4
3,1) (D ) R 二、填空题
1、若x 与实数列a 1,a 2,…,a n 中各数差的平方和最小,则x=________.
2、不等式x
x x
121log 〈的解集是________. 3、某工厂产量第二年增长率是p 1,第三年增长率是p 2,第四年增长率是p 3且p 1＋p 2＋p 3=m(定值),那么这三年平均增长率的最大值是________.
4、a ≥0,b ≥0,a 2＋2
2b =1,则a 21b +的最大值是________. 5、若实数x 、y 满足xy ＞0且x 2y=2,则xy ＋x 2的最小值是________. 6、x ＞1时，f(x)=x ＋
11612++x x x 的最小值是________，此时x=________. 7、不等式log 4(8x －2x )≤x 的解集是________.
8、不等式3
21141-〉-x x 的解集是________.
9、命题①：关于x 的不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对x ∈R 恒成立;命题②：f(x)=－(1
－3a －a 2)x 是减函数.若命题①、②至少有一个为真命题,则实数a 的取值范围是________.
10、设A={x|x ≥
x
1,x ∈R},B={x|12+x ＜3,x ∈R ＝,则D=A ∩B=________. 三、解答题 1、解不等式：1
211922+-+-x x x x ≥7. 2、解不等式：x 4－2x 3－3x 2＜0.
3、解不等式：6
5592+--x x x ≥－2. 4、解不等式：2269x x x -+-＞3.
5、解不等式：232+-x x ＞x ＋5.
6、若x 2＋y 2=1，求(1＋xy)(1－xy)的最大、最小值。
7、若x,y ＞0，求y x y
x ++的最大值。
8、已知关于x 的方程x 2＋(m 2－1)x ＋m －2=0的一个根比－1小，另一个根比1大， 求参数m 的取值范围。
9、解不等式：log a (x ＋1-a)>1.
10解不等式38->-x x .
不等式练习答案
一、DADCB DDDAB BCBAB
二、1、n 1(a 1＋a 2＋…＋a n ) 2、0＜x ＜1或x ＞2 3、3
m 4、423 5、3 6、8,2＋3 7、(0,251log 2
+) 8、0＜x ＜log 23 9、-3＜x ≤2 10、－2
1≤x ＜0或1≤x ＜4 三、1、[－21,1]∪(1,3
4) 2、(－1,0)∪(0,3) 3、(－∞,2)∪(3,＋∞) 4、(0,3) 5、(－∞,－13
23) 6、1， 43 7、2 8、－2＜m ＜0
9、解：(I)当a>1时，原不等式等价于不等式组：⎩⎨⎧>-+>-+.101a a x a x ， 解得x>2a -1.
(II)当0<a<1时，原不等式等价于不等式组：⎩⎨⎧<->-+.101a a x a x ＋， 解得：a -1<x<2a -1.
综上，当a>1时，不等式的解集为{x|x>2a -1}；
当0<a<1时，不等式的解集为{x|a -1<x<2a -1}.
10、原不等价于不等式组(1)⎪⎩
⎪⎨⎧->-≥-≥-2)3(80308x x x x 或(2)⎩⎨⎧<-≥-0308x x 由(1)得2
2153+<≤x ， 由(2)得x ＜3， 故原不等式的解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
+<2215|x x。