数字信号数字内插

1、数字内插的概念
采样周期T 是许多信号处理技术和应用中首先要考虑的因素，它决定了信号处理过程实现的方便性、效率、和精度。

在某些情况下，输入信号可能己经某个采样周期T 事先采样过，而我们的目的是要将这个已采样的信号转换成为一个以新的采样周期T 采样的信号，从而使这个处理后的信号仍对应于同一个原始的模拟信号；在另一些情况下，在一个处理方法中的不同部分以不同的采样速率进行处理可能会更方便或更有效，因此，也需要将系统中的信号采样速率进行转换。

从数字信号处理的角度看，内插过程可通过线性滤波实现，这是讨论的基本点。

这种将信号采样频率从一个给定频率F=1/T 转换到另一个频率F ’=1/T ’的过程就称为采样频率转换。

当新的采样频率高于原始频率F ’>F 或T>T ’时，称为插值；而当F ’<F 或T<T ’时，称为抽取在数字存储示波器中，为了改善视觉混淆现象，就需要对己采集的数据点作插 值后，再显示在示波器屏幕上。

图1所示为一个采样频率变换系统。

输入信号x(n)是经过采样速率为F=1/T 的采样脉冲 采样得到的，而期望输出信号y(m)的采样速率为F ’=1/T ’,其中，T ’/T=F/F ’=1/L ，L 为整数。

图 1 采样频率变换系统
这个采样频率转换系统是线性时变系统，也就是说gm(n)(m 是下标)是输入采样时刻为[m/L]-n 。

，而输出采样时刻为m 的系统响应(这里[u]表示小于或等于u 的取整)。

因此，输出采样y(m)可用输入信号线性和的形式表示，即
()()()n m y m gm n x n L ∞
=-∞
⎢⎥
=
-⎢⎥⎣⎦∑ （1） 从以后的讨论中，我们将会看到，系统响应gm(n)是m 的周期函数，且周期为L ，即
()()gm n gm rL n =+，r=0，±1，±2， (2)
当T ’=T 或L=1时，gm(n)的周期为1，且m-n 的整数部分即为m-n ，因此（1）式就是一
个简单的时变数字卷积表达式:
()()()n y m g n x m n ∞
=-∞
=
-∑
2、数字内插的过程
如果采样速率提高L 倍，则新的采样周期T ’为T ’/T=1/L 且新的采样频率F ’为F ’=LF 。

假设x(n)为一个全带宽信号，即其频谱在-F/2 ≤ f ≦ F/2 范围内的所有频率f 上（除了一些孤
立点之外）均不为零，即
2()0,22
jw FT
X e fT πωππ≠=≤
= 将信号x(n)的采样频率提高L 倍就意味着必须在x(n)的每两点之间插入L-1个采样值。

图2中输入信号x(n)每两点之间加入L-1个零值得到序列w(m)
(/),0,,2,...
()0,x m L m L L w m =±±⎧=⎨
⎩
其它 （2） w(m)的z 变换为
()()()()m
mL L m m W Z w m Z
x m Z X Z ∞
∞
--=-∞
=-∞
=
==∑∑
令'
jw Z e
=，则上式变为
''()()jw jw L W e x e =
上式即为信号w(m)以输入信号x(n)的频谱形式表示的傅立叶变换形式（其中w ’=2πfT ’）。

从图2 (c)中可以看w(m)的频谱中不仅包含有我们感兴趣的频带(即-π/L 到π/ L)，而且还有以原采样频率的谐波分量±2π/L ，±4π/L ，...为中心的频带。

为了恢复我们感兴趣的基带信号，除去不想要的高频分量，就需要将信号w(m)通过一个低通滤波器。

这个滤波器的理想特性为:
2','/()2
0,jw fT G L H e πωπ⎧
≤=⎪
=⎨⎪⎩其它
（3）
图 2 采样速率提高L 倍的方框图和典型波形及频谱
在后面的讨论中，我们可以看到，为了保证y(m)的幅度不变，滤波器的增益G 在通带内应为L 。

令'
H jw e =（）为近似（3）式特性的实际滤波器的频响，因此
'''()()()jw jw jw Y e H e X e L = （4）
用(3)式近似表示为:
''
(),'/()0,jw L
jw GX e w L Y e π⎧≤⎪=⎨⎪⎩其它
由图(2)和(4)式可得
''/'/(0)()'()()'(0)()'()/(0)jw
jw jw L L jw L jw L
y Y e dw H e X e dw G
y G
X e dw G X e dw L x L
π
π
π
π
ππ
ππ
----=
====
⎰⎰
⎰⎰ （5）
因此，为了使y(m)和x(n)的幅度保持一致，就需要使增益G=L 。

令h(m)为'
H jw e =（）的
单位抽样响应，则y(m)可表示为
()()()k y m w k h m k ∞
=-∞
=
-∑
（6）
将（2）代入（5）得
()()(/)()()k r y m h m k x k L h m rL x r ∞∞
=-∞
=-∞
=
-=-∑∑
（7）
令
m r n L ⎢⎥
=-⎢⎥⎣⎦
（8）
且
()m m m L L ⎢⎥
-=⊕⎢⎥⎣⎦
（9）
这里（i ）⊕L 表示对i 取模L 。

将（8）式和（9）式代入（7）式得
()()()()()n n m m m y m h m L nL x L n h nL m L x n L L L ∞
∞
=-∞=-∞
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
==+-=+⊕-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑ （10）
（9）式是以输入x （n ）和滤波器系数力h （m ）表示的输出y （m ）的表达式，它是(1)
式的一个特例。

因此，对于插入因数为L 的内插有
()()gm n h nL m L =+⊕
（11）
式(11)对于所有的m 和n ，从式(11)可以看出gm(n)是m 的周期函数，且周期为L 。

3、数字内插的结构
直接利用式(10)来实现插值时，滤波器h(n)工作于较高的采样频率产上，因此其效率
是很低的。

以下，我们将讨论一种可有效实现采样频率变换的结构。

在多频数字系统中常用的有效结构之一是多相网络(也称多路网络)。

由1-L 插值的输入一输出时域关系式(9)可知，对于每个输出y(m)，m=0，1,2，...，L-1， 都需要不懂的系数gm （n ），gm （n ）为周期为L 的时变滤波器，因此甸产生L 个y(m)之后，这些系数又重复使用；也就是说，为得到Y(L)所用的系数g 。

(n)与y(0)的一样，为得到y(L+1) 用到的系数g1(n)与y(1)的一样。

相类似的，每产生L 个y(m)之后，(11)式中的[m/L]项都增加1。

因此，输出序列有y(L)， y(L+1)，...，y(2L-1)是系数gm （n ）与x （1-n ）相乘的结果。

这样，我们就可以看出(9)式中 的X(n)的采样速率为F ，而y （m ）产生的采样速率为LF 。

基于(10)式的一个插值实现方法如图3所示。

这个结构的工作过程如下所述：h(m)的子序列g0(n)，g1(n)，...，gL-1(n)等效于L 个工作于采样率F 的独立的线性时不变滤波器，它们均工作于较低的采样速率F ，为了区别时变系数与时不变滤波器，我们将这些滤波器分别定义为P0(n)，P1(n)，...，PL-1(n)。

因此
0()()(),0,1,2,...,1P n g n h nL L ρρρ==+=-
（12）
这些滤波器这称为多相滤波器。

对于每个输入x(n)都有L 个输出采样值(见图3)。

最上面的支路输出y0(m)在m=nL ，n=0，±1，±2，时有非零值，这些非零值对应于输出序列中的y(nL)，n=0，±1，±2，...。

下一个支路的输出y1(m)在m=nL ，n=0，±1，±2，时有非零值，因为它们在高采样速率上有一个单
位延时，因此y1(m)对应于插值输出的y(nL+1)在m=nL，n=0，±1，±2，...。

推广到一般，第。