浙教中考数学圆的基本性质

浙教版数学九年级上册3.1 圆的基本性质课件(共26张PPT)

3、以O为圆心，OB为半径
作圆。
所以⊙O就是所求作的
圆。
现在你知道了怎样要将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？
方法: 寻求圆弧所在圆的圆心,
在圆弧上任取三点,作其连线段的垂直平分线,其交点即为圆心.
已知△ABC，用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆
A
O C
B
经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。
A
如图：⊙O是△ABC的
外接圆， △ABC是⊙O
的内接三角形，点O是
O C △ABC的外心
B
外心是△ABC三条
边的垂直平分线的交点
如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法?
A
O C
B
画出过以下三角形的顶点的圆
A
O ●
B
C
（图一）
A
O ●
┐
B
C
（图二）
A O ●
BC （图三）
1、比较这三个三角形外心的位置，你有何发现？
练一练
1.下列命题不正确的是 A.过一点有无数个圆. B.过两点有无数个圆. C.弦是圆的一部分. D.过同一直线上三点不能画圆. 2.三角形的外心具有的性质是 A.到三边的距离相等. B.到三个顶点的距离相等. C.外心在三角形外. D.外心在三角形内.
某市要建一个圆形公园，要求公园刚好把动物园A，植物园B和人工湖C包括在内，又要使这个圆形的面积最小，请你给出这个公园的施工图.（A、B、C不在同一直线上）
问题：车间工人要将一个
如图所示的破损的圆盘复原，你有办法吗？
1、过一点可以作几条直线？ 2、过几点可确定一条直线？

浙教版九年级数学上册第三章圆的基本性质教材分析

浙教版九年级数学上册第三章圆的基本性质教材分析九年级数学圆的有关性质圆属于空间与图形这部分内容，在前面学生已经学习了直线形图形的有关的性质，会借助于变换、坐标、证明等手段去认识图形的性质，并在小学的基础上，学生已经积累了大量有关圆的经验，本章是在此基础上，对圆的概念及其有关的性质进行系统的梳理，从圆的概念形成，圆本身的性质，圆中的量之间的关系以及圆中有关量的计算等方面，加强对圆的认识．圆是一种特殊的图形，它对于培养学生的数学能力，形成数学的思想方法具有重要的价值．由于圆既是中心对称图形又是轴对称图形,学生可以通过多种方式来认识它，这样有助于培养学生的数学能力．同时，圆的有关性质的探索是通过多种方法进行的，这样有助于学生形成基本的数学思想和方法．这些基本的数学思想方法有：⑴对称思想：圆的轴对称性、中心对称性．⑵推理思想：由对称性及其他方法来验证圆的有关结论．⑶分类归纳思想：将圆周角和圆心角之间的关系归结为同弧上圆周角与圆心角的关系，让学生形成分类讨论的思想．⑷算法思想：弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式不是直接给出的，而是让学生去进行探索、类比、归纳．不仅仅要求学生会计算，而且应该理解公式及其算法的意义．本章教学时间约需15课时，具体安排如下：3.1 圆 2课时3.2 圆的对称性 2课时3.3 圆心角 2课时3.4 圆周角 2课时3.5 弧长及扇形的面积 2课时3.6 圆锥的侧面积和全面积 1课时复习、评估3课时，机动使用1课时，合计 15课时一、教科书内容和课程教学目标⑴本章知识结构框图如下：⑵本章教学要求①通过日常生活中的实例，让学生感受圆是生活中大量存在的图形．②理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆的位置关系．③探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆．④使学生经历探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征．⑤认识圆的轴对称性和中心对称性．⑥了解三角形的外心．⑦会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积．⑶本章教材分析本章主要学习圆的定义、弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角、扇形和三角形的外接圆等有关概念．在“圆”这一节，主要是让学生通过圆的形成归纳出圆的定义．虽然在小学阶段，学生已经具有了圆的有关的知识，但还没有抽象出“平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆”的概念．通过探索如何过一点、两点和不在同一条直线上的三点作圆，使学生认识到“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”这一确定圆的条件，它不仅仅是一个画圆的问题，而是使学生体会到在画圆中所体现的归纳的思想．另外，也使学生初步了解三角形的外心等有关知识．本节主要使学生体会圆的概念的形成过程．圆是一种特殊的图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，这一点在前面学习对称性时，学生已经有所了解．本章安排圆的对称性主要是借助于圆的轴对称性，去探索“垂经定理”；借助于圆的旋转不变性去探索圆中弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系．而且由对称性可以尝试用其他的方法来验证有关的结论．在探索圆周角和圆心角之间的关系时，主要是归结为同弧上圆周角与圆心角的关系(即圆周角定理)，让学生形成分类讨论的思想．弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式不是直接给出的，而是让学生去进行探索、类比、归纳．弧长的公式是类比圆的周长公式而归纳得出，扇形的面积公式是类比圆的面积公式而得；圆锥的侧面积是通过其侧面展开图是一个扇形，而由扇形的计算公式而得出的．因此，“弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积”这两节不仅仅要求学生会计算，而且应该使他们理解公式的意义，理解算法的意义．二、本章编写特点⑴体现数学来源于生活，展示丰富多彩的几何世界人们生活在三维空间中，丰富多彩的图形世界给“空间与图形”的学习提供了大量现实有趣的素材．其中包含了大量与圆有关的现实物体、现实问题等内容，反映数学在建筑、机械、艺术等方面的广泛应用，体现数学丰富的文化价值的内容，既可以很好地体现圆作为联系数学与现实生活、科技发展的桥梁作用，也可以很好地呈现它丰富的数学内涵．在本章内容的呈现中，充分体现从生活中的立体图形到平面图形，立足学生已有的生活经验、初步的数学活动经历以及已经掌握的有关数学内容，分别从观察和分析生活中大量存在的圆入手，来探索一种特殊的曲线形----圆的有关性质．学生在已有的大量的空间与图形经验的基础上，通过折纸、对称、平移、旋转、推理等认识图形的性质．在本章设计中，在探索圆的垂径定理、弧、弦、圆心角的关系、圆周角和圆心角之间的关系时，充分利用多种方式来认识、验证有关圆的性质．⑵从学生的已有知识和经验出发，引导学生探索发现圆的性质等知识，培养学生的探究习惯本章在内容的编排上都力图提供生动有趣、便于学生活动、交流的问题情境，并通过深入观察、分析、探究等活动，进一步丰富学生对圆的正确理解和准确把握，形成有关对圆比较全面的认识．《数学课程标准》(实验稿)对圆的性质的要求是：使学生经历探索圆的性质．即通过实例去探索，以达到理解的目的．比如，①通过探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆，使学生认识到“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”这一确定圆的条件，它不仅仅是一个画圆的问题，而是使学生体会到在画圆中所体现的归纳的思想．②通过折纸，让学生探索圆的对称性，并在此基础上，让学生再通过折纸探索出圆的有关性质（垂径定理）等有关内容．③利用圆的旋转不变性探索圆中弧、弦、圆心角之间的关系．而在探索圆周角和圆心角之间的关系时，主要是归结为同弧上圆周角与圆心角的关系．④利用“合作学习”“做一做”等让学生自己探索有关的结论，比如通过学生自己合作，把圆锥沿母线剪开、铺平，并探索出圆锥侧面积和全面积的计算公式等等．整个设计意图，不仅在于引导学生观察和自觉分析生活现实和数学现实中的圆的现象，自觉总结圆的有关性质并自觉地应用到现实之中，逐步形成正确的数学观，并通过圆进一步丰富学生的数学活动经验和体验，在学习中有意识地培养学生积极的情感、态度，认识数学丰富的人文价值，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美意识的发展．从而进一步培养学生探究习惯、把握和研究“空间与图形”的水平．⑶转换学习方式，强调学生的动手操作和主动参与学习方式的转变是课程改革的一个重要目标，与其他数学内容相比，“空间与图形”的教学更容易激起学生学习数学的热情．在本章的编写中，注意从学生已有的生活经验和已有的知识出发，给学生提供“现实的、有意义的、富有挑战性的”学习材料，提供充分的数学活动和交流的机会，引导他们在“做数学”的活动中，在自主探索的过程中获得知识和技能，掌握基本的数学思想方法．《数学课程标准》中指出：“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”．本章非常重视向学生提供充分从事数学活动的机会．课本通过“合作学习”“探究活动”“想一想”“做一做”等栏目中安排了大量的数学活动题材，其中一些重要的数学概念及数学方法，都是需要学生通过数学活动获得．例如，圆的定义、圆的对称性、圆锥的侧面积等等．学生在亲身体验和探索中认识数学解决问题，理解和掌握数学知识和方法．并通过与他人的合作，学会交流思想，学会表达自己的观点，学会质疑，学会倾听，学会尊重他人，学会评价信息．这种“过程”会改变数学学习的过程和结果，对促进学生的发展具有非常重要的意义．另外，通过这些“探究点”，它可以帮助学生认识图形，丰富直观，验证学生的空间想象能力．三、教学建议⑴注意与前两个学段的衔接这一部分知识与前两个学段联系密切，大多数图形、概念在前两个学段都接触过，要衔接前两个学段，就要深入了解前面两个学段数学中“空间与图形”的内容、要求，了解它们与这一部分内容的联系与区别．⑵在教学中要注意如下几点：①要使学生从事观察、测量、折叠、平移、旋转、推理等活动，帮助他们有意识地积累活动经验，获得成功的体验．教学中，应鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的合作交流．②充分利用现实生活和数学中的素材，使学生探索与圆有关的概念和性质．尽可能地设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．③本章的一个特点是由圆的旋转不变性、轴对称性导出圆的有关性质（如圆心角定理、垂径定理等），体现了利用运动观点来研究图形的思想和方法．也让学生通过本章的学习，体验用运动观点来研究图形的思想和方法．因此，在圆的对称性、圆周角与圆心角的关系等内容中，要有意识地满足学生多样化的学习要求．④在观察、探究和推理活动中，使学生有意识地归纳数学思想方法，发展学生的有条理地思考，并能清晰地表达自己的发现．教学中，教师一方面应充分运用好课本已提供的丰富的素材，另一方面也应该选取一些学生身边的、熟悉的材料，丰富教学内容，以帮助学生对圆的概念的认识和圆的性质的理解．⑤从学习方式上，通过合作学习、探究活动这种形式，促进学生相互交流，从而最大限度获得数学能力的培养和体验数学思想．教学中应积极鼓励学生，当学生在探究过程中遇到困难时，应给予诱导启发，或给予必要的阶梯．让学生在这过程中体验如何学会学习，千万不能包办代替，过早给学生答案．应鼓励合作学习，从多角度思考，采用多种解决问题的办法，创造积极合作、讨论氛围．⑥评价时要关注学生思考方式的多样化，注重对学生观察、操作、探索圆的性质、推理等活动进行评价，包括学生在活动中的主动性、参与程度、与同学合作与交流的意识、思考与表达的条理性等；比如，对有关圆的概念的评价应侧重于通过实例是否理解概念；对于圆的有关性质的评价应看学生是否借助于具体的思考方法去理解．对与圆有关的计算的评价，着重看学生是否懂得了基本的算理．⑦在日常教学中，不仅仅关注学生是否计算或推出某个结论，而且应该关注学生在各种数学活动中的情感和态度，特别是学生在小组活动中的表现．对于学生在探索过程中出现的新的方法、新的思想，教师要及时帮助学生解决问题过程中的创意．。

浙教版数学九年级上册第3章圆的基本性质(含答案)

第3章圆的基本性质班级学号得分姓名一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分)1. 下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等.其中真命题是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③2. 如图,AB 是⊙O 的直径,C,D 是⊙O 上位于AB 异侧的两点,下列四个角中一定与∠ACD 互余的是 ( )A. ∠ADCB. ∠ABDC. ∠BACD. ∠BAD3.如图,点A,B,C,D,E 均在⊙O 上,∠BAC=15°,∠CED=30°,则∠BOD 的度数为( )A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°4.如图,AB 是圆O 的弦,OC⊥AB,交圆O 于点C,连结OA,OB,BC,若∠ABC=20°,则∠AOB 的度数是( )A. 40°B. 50°C. 70°D. 80°5. 如图，点A ，B ，S 在圆上，若弦AB 的长度等于圆半径 2₂倍,则∠ASB 的度数是( )A. 22.5°B. 30°C. 45°D. 60°6.(2020·中考)如图,在等腰△ABC 中, AB =AC =25,BC =8,，按下列步骤作图：①以点 A 为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交 AB ，AC 于点E ，F ，再分别以点 E ，F 为圆心，大 12₂EF 的长为半径作弧相交于点H ，作射线AH ；②分别以点 A ，B为圆心，大 12₂AB 的长为半径作弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交射线AH 于点O ；③以点O 为圆心线段OA 的长为半径作圆，则⊙O 的半径为( )A.25B. 10C. 4D. 57. 如图,在⊙O 中,AE 是直径,半径OC 垂直于弦AB 于点 D,连结BE,若 AB =27,CD =1,则BE 的长是( )A. 5B. 6C. 7D. 88.已知⊙O 中,弦AB 的长等于半径,P 为弦AB 所对的弧上一动点,则∠APB 的度数为( )A. 30°B. 150°C. 30°或150°D. 60°或120°9. 已知⊙O 的直径CD=10cm,AB 是⊙O 的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC 的长为…… ( ) A.25cm B.45cmC.25cm 或 45cmD.23cm 或 43cm10. 如图,AB为⊙O的直径,AC交⊙O于点E,BC交⊙O于点D,CD=BD,∠C=70°,现给出以下三个结论：①∠A=45°;②AC=AB;③AE=BE.其中正确的有( )A. 1个B. 2 个C. 3个D. 0个二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分)11. 如图,一次函数y= kx+b的图象与x轴,y轴分别相交于A,B两点,⊙O经过A,B两点,已知AB=2,则 kb的值为 .12. 如图,AB是⊙O的直径,点C,D在圆上,∠D=65°,则∠BAC等于度.13. 如图,已知矩形ABCD的边AB=3,AD=4.(1)以点 A为圆心，4为半径作圆A，则点B，C，D与圆A 的位置关系分别是;(2)若以A点为圆心作圆A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则圆A的半径r的取值范围是 .14. 如图,BC是半圆O 的直径,D,E是BC上两点,连结BD,CE 并延长交于点A,连结OD,OE.如果∠A=70°,那么∠DOE的度数为 .15. 如图所示,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点H,∠A=30∘,CD=23,则⊙O的半径是 .16. 如图所示,⊙O的直径AB=16cm,P是OB 中点,∠ABP=45°,则CD= cm.三、解答题(本大题有8小题，共66分)17.(6分)如图,点A,B,C都在⊙O上,OC⊥OB,点A 在劣弧BC上,且OA=AB,求∠ABC的度数.18. (6分)如图，在同一平面内，有一组平行线l₁,l₂,l₃,，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线l₁上，⊙O与直线l₃的交点为A，B，AB=12,求⊙O的半径.19.(6分)如图,在△ABC的外接圆上AB,BC,CA三弧的度数比为12：13：11.在劣弧BC上取一点D，过点D分别作直线AC，直线AB的平行线，分别交 BC于E，F两点，求∠EDF的度数.20. (8分)如图,△ABC内接于⊙O，AB=AC,,D在弧AB 上,连结CD交AB 于点E,B 是弧CD 的中点,求证：∠B=∠BEC.21.(8分)已知:如图,点M是/AB的中点，过点M的弦MN交AB 于点C，设⊙O的半径为4cm,. MN=43cm.(1)求圆心 O到弦MN的距离；(2)求∠ACM的度数.22.(10分)如图，已知方格纸中每个小正方形的边长为1个单位，Rt△ABC的三个顶点A(-2,2),B(0,5),C(0,2).(1)将△ABC以C 为旋转中心旋转180°,得到△A₁B₁C,请画出△A₁B₁C;(2)平移△ABC,使点 A的对应点.A₂的坐标为(−2,−6),请画出平移后对应的图形△A₂B₂C₂;(3)若将△A₁B₁C绕某一点旋转可得到△A₂B₂C₂.请直接写出旋转中心的坐标.23.(10分)如图，已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P 是ABC的中点.(1)求证:OP//BC;(2)如图,连结PA,PC交直径AB于点D,当(OC=DC时，求∠A的度数.24.(12分)我们学习了“弧、弦、圆心角的关系”，实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦，弦心距之间的关系”如下：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等弦心距指从圆心到弦的距离如图(1)中的 OC，OC′,弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度 l请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题.如图(2)，点O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A，B，C，D.(1)求证:AB=CD.(2)若角的顶点 P 在圆上或圆内，上述结论还成立吗? 若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.第3章圆的基本性质1. A2. D3. D4. D5. C6. D7. B8. C9. C 10. A 11. 1212. 25 13. (1)B 在圆内、C 在圆外、D 在圆上(2)3<r<5 14. 40° 15. 2 16. 1417. 解:∵OA=OB,OA=AB,∴OA=OB=AB,即△OAB 是等边三角形,∴∠AOB=60°,∵OC⊥OB,∴∠COB= 90°,∴∠COA = 90°- 60°= 30°,∴∠ABC=15°.18. 解:如图,连结 OA,过点O 作OD⊥AB 于点 D.∵ AB =12,∴AD =12AB =12×12=6.相邻两条平行线之间的距离均为4,∴OD=8.在 Rt△AOD 中，∵AD =6,OD =8,∴OA =AD 2+OD = 62+82=10.∴⊙O 的半径为 10.19. 解: ∵AB ,BC ,CA 三弧的度数比为12:13:11,∴ ABm.1212+13+11×360∘=120∘,AC−m m 1112+13+11×360∘=110∘,∴∠ACB =12×120∘= 0∘,∠ABC =12×110∘=55∘,∵ACED,AB DF,∴∠FED=∠ACB=60°,∠EFD=∠ABC= 55°,∴∠EDF =180°−60°−55°=65°20. 证明:∵B 是弧 CD 的中点, ∴BC =BD ,∴∠BCE = =∠BAC.:∠BEC =180°−∠BCE,∠ACE ,=180°-∠BAC--∠B,∴∠BEC=∠ACB,∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠BEC.21. 解:(1)连结 OM.∵点 M 是. AB 的中点,∴OM⊥AB.过点 O 作OD⊥MN 于点 D,由垂径定理,得 MD =12MN =23cm,在Rt△ODM 中,OM=4cm, MD =23cm,∴OD =OM 2−MD 2=2(cm ).故圆心 O 到弦MN 的距离为 2cm. (2)∵OD=2cm,OM=4cm,∴∠M=30°,∴∠ACM=60°.22. 解:(1)(2)图略.(3)旋转中心的坐标为(0,-2).23. (1)证明:连结AC,延长 PO 交AC 于点 H,如图,∵P 是 ABC 的中点,∴PH⊥AC,∵A B 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,∴BC⊥AC,∴OP∥BC. (2)解:∵P 是 ABC 的中点, P C,∴∠PAC=∠PCA,:OA=OC, ∴ ∠OA C= ∠OCA,∴∠PAO=∠C O=CD 时,设∠DCO=x,则∠OPC=x,∠PAO=x,∴∠POD =2x,∴∠ODC=∠POD+∠OP C=3x,∵CD=CO,∴∠DOC=∠ODC=3x.在△POC 中,x+x+5x=180°,解得 x =180∘7,即 ∠PAO =180∘7.24. (1)证明:过点 O 作OM⊥AB 于点M,ON⊥CD 于点 N,连结OB,OD,则∠OMB=∠OND=90°,∵PO 平分∠EPF,∴O M=ON,∵OM⊥AB,ON⊥CD,∴AB=CD.(2)成立.当点 P 在圆上时如图；作OM⊥PB,ON⊥PD,垂足分别为M,N,∵PC平分∠EPF,∴OM=ON,∵OM⊥AB,ON⊥CD,∴PB=PD;当点P 在圆内时:过点 O作OM⊥AB,ON⊥CD,∵PO平分∠BPF,∴OM=ON.∵OM⊥AB,ON⊥CD,∴AB=CD.。

浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点

浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点一、圆的有关概念及圆的确定要点一、圆的定义1、圆的描述概念（1）如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；（2）圆是一条封闭曲线.2、圆的集合概念（1）圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.（2）平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.（3）圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：（1）定点为圆心，定长为半径；（2）圆指的是圆周，而不是圆面；（3）强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.要点二、点与圆的位置关系（1）点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.（2）若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内d＜r；点P在圆上d=r；点P在圆外d＞r.“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：（1）点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1、弦：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：（1）直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.（2）为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2、弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：（1）半圆是弧，而弧不一定是半圆；（2）无特殊说明时，弧指的是劣弧.3、等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：（1）等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；（2）圆中两平行弦所夹的弧相等.4、同心圆与等圆（1）圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.（2）圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.二、图形的旋转要点一、旋转的概念（1）一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.要点诠释：（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点.点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.要点二、旋转的性质一般地，图形的旋转有下面的性质：（1）图形经过旋转所得的图形和原图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点三、旋转的作图（1）在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.三、垂径定理知识点一、垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD 是直径要点诠释：2、推论（1）定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.（2）定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.要点诠释：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：（1）在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）四、圆心角要点一、圆心角与弧的定义1、圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB 就是一个圆心角.要点诠释：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2、1°的弧的定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点诠释：（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.CD ⊥ABAE=BE（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.要点二、圆心角定理及推论1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释：（1）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.（3）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2、圆心角定理的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：（1）在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.五、圆周角要点一、圆周角1、圆周角定义：（1）像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．要点诠释：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）3、圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4、圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.六、圆内接四边形要点一、圆内接四边形（1）如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.要点二、圆内接四边形性质定理（1）圆内接四边形的对角互补.（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七、正多边形和圆知识点一、正多边形的概念（1）各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1、正多边形的外接圆和圆的内接正多边形（1）正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2、正多边形的有关概念（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3、正多边形的有关计算（1）正ｎ边形每一个内角的度数是；（2）正ｎ边形每个中心角的度数是；（3）正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.（2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.（4）边数相同的正多边形相似。

浙教版九年级圆知识点

浙教版九年级圆知识点圆是一种基本的几何图形，它在我们日常生活中无处不在。

在浙教版九年级数学课本中，关于圆的知识点主要包括圆的定义、圆的性质、圆的元素、弧长与扇形面积等内容。

本文将逐一介绍并详细解释这些知识点。

1. 圆的定义圆是由平面内与一个确定点的距离相等于一定长度的所有点组成的图形。

圆通常由一个圆心和半径来确定，圆心即为圆的中心点，而半径则是从圆心到圆上任意一点的距离。

2. 圆的性质（1）圆的任意两点之间的距离都相等，这就是圆的最重要的性质，也被称为圆周上两点之间的弦长。

（2）圆的半径相等的两个或多个弦相等。

（3）半径垂直于弦，并且平分弦。

（4）圆周角是由圆周上的两条弧所对应的角，圆周角的大小等于其所对应的弧所对的圆心角的一半。

3. 圆的元素一个完整的圆通常包括圆心、半径、直径、弧、弦和切线等元素。

（1）圆心：圆的中心点。

（2）半径：从圆心到圆上任意一点的距离。

（3）直径：穿过圆心的线段，它的两个端点在圆上。

（4）弧：圆上的一段弧线，可以用圆心角度数或弧长来表示。

（5）弦：圆上连接两个点的线段，它的两个端点在圆上。

（6）切线：与圆只有一个交点，且与半径垂直的直线。

4. 弧长与扇形面积（1）弧长：弧长是指圆上一段弧线所对应的弧长，可以用度数或弧长来表示。

（2）扇形面积：扇形是由圆周上的弧和两条半径所围成的图形，扇形的面积可以通过圆心角的度数来计算。

通过以上的阐述，我们对浙教版九年级数学课本中关于圆的知识点有了更深入的理解。

圆作为一种常见的几何图形，在生活中存在着广泛的应用和意义。

通过学习圆的定义、性质、元素以及弧长和扇形面积的计算方法，我们可以更好地理解并运用圆的相关概念。

在解决生活和学习中的问题时，我们可以运用这些知识点，帮助我们更好地理解和分析几何图形的性质和关系，提升数学解题能力。

2022-2023 数学浙教版新中考考点23圆的有关性质(原卷版)

考点23圆的有关性质考点总结1.圆的有关概念(1)圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做圆的半径．以点O为圆心的圆，记做⊙O．(2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦．(3)与圆有关的角：①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数．②圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．(4)三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．外心也是三角形三边中垂线的交点．(5)圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．2．圆的有关性质：(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．圆是中心对称图形，对称中心为圆心，圆绕着它的圆心旋转任意一个角度都能和原来的圆重合．(2)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．(3)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．(4)圆心角与圆周角的关系：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．(5)确定圆的条件：①已知圆心、半径；②已知直径；③不在同一条直线上的三点．真题演练一、单选题1．（2021·浙江衢州·中考真题）已知扇形的半径为6，圆心角为150︒．则它的面积是（）A ．32πB ．3πC ．5πD ．15π2．（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB =AC =5，点D 在AC 上，且2AD =，点E 是AB 上的动点，连结DE ，点F ，G 分别是BC ，DE 的中点，连接AG ，FG ，当AG =FG 时，线段DE 长为（）A B C D ．43．（2021·浙江·中考真题）如图，已知点O 是ABC 的外心，∠40A =︒，连结BO ，CO ，则BOC ∠的度数是（）．A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒4．（2021·浙江·中考真题）如图，已知在矩形ABCD 中，1,AB BC ==P 是AD 边上的一个动点，连结BP ，点C 关于直线BP 的对称点为1C ，当点P 运动时，点1C 也随之运动．若点P 从点A 运动到点D ，则线段1CC 扫过的区域的面积是（）A ．π B．π+CD ．2π 5．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ，连结,OC OD ．若O 的半径为,m AOD α∠=∠，则下列结论一定成立的是（）A ．tan OE m α=⋅B ．2sin CD m α=⋅C ．cos AE m α=⋅D ．2sin COD S m α=⋅ 6．（2021·浙江金华·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点,,,,,EFGH M N 都在同一个圆上．记该圆面积为1S ，ABC 面积为2S ，则12S S 的值是（）A ．52πB ．3πC ．5πD ．112π 7．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，正方形ABCD 内接于O ，点P 在AB 上，则P ∠的度数为（）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 8．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知平面内有O 和点A ，B ，若O 半径为2cm ，线段3cm OA =，2cm OB =，则直线AB 与O 的位置关系为（）A ．相离B ．相交C ．相切D ．相交或相切 9．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）如图，已知平面直角坐标系中，点A ，B 坐标分别为A （4，0），B （﹣6，0）．点C 是y 轴正半轴上的一点，且满足∠ACB ＝45°，圆圆得到了以下4个结论：∠∠ABC 的外接圆的圆心在OC 上；∠∠ABC ＝60°；∠∠ABC 的外接圆的半径等于∠OC ＝12．其中正确的是（）A ．∠∠B ．∠∠C ．∠∠D ．∠∠ 10．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）如图，点A 的坐标为（﹣3，2），∠A 的半径为1，P 为坐标轴上一动点，PQ 切∠A 于点Q ，在所有P 点中，使得PQ 长最小时，点P 的坐标为（）A ．（0，2）B ．（0，3）C ．（﹣2，0）D ．（﹣3，0）二、填空题 11．（2021·浙江杭州·中考真题）如图，已知O 的半径为1，点P 是O 外一点，且2OP =．若PT 是O 的切线，T 为切点，连接OT ，则PT =_____．12．（2021·浙江台州·中考真题）如图，将线段AB 绕点A 顺时针旋转30°，得到线段AC ．若AB ＝12，则点B 经过的路径BC 长度为_____．（结果保留π）13．（2021·浙江温州·中考真题）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的d 的值为______；记图1中小正方形的中心为点A ，B ，C ，图2中的对应点为点A '，B '，C '．以大正方形的中心O 为圆心作圆，则当点A '，B '，C '在圆内或圆上时，圆的最小面积为______．14．（2021·浙江宁波·中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，,AC BD 分别与O 相切于点C ，D ，延长,AC BD 交于点P ．若120P ∠=︒，O 的半径为6cm ，则图中CD 的长为________cm ．（结果保留π）15．（2021·浙江温州·中考真题）如图，O 与OAB 的边AB 相切，切点为B ．将OAB 绕点B 按顺时针方向旋转得到O A B '''△，使点O '落在O 上，边A B '交线段AO 于点C ．若25A '∠=︒，则OCB ∠=______度．三、解答题16．（2021·浙江衢州·中考真题）如图，在ABC 中，CA CB =，BC 与A 相切于点D ，过点A 作AC 的垂线交CB 的延长线于点E ，交A 于点F ，连结BF ．（1）求证：BF 是A 的切线．（2）若5BE =，20AC =，求EF 的长．17．（2021·浙江台州·中考真题）如图，BD 是半径为3的∠O 的一条弦，BD ＝，点A 是∠O 上的一个动点（不与点B ，D 重合），以A ，B ，D 为顶点作平行四边形ABCD ．（1）如图2，若点A 是劣弧BD 的中点．∠求证：平行四边形ABCD 是菱形；∠求平行四边形ABCD 的面积．（2）若点A 运动到优弧BD 上，且平行四边形ABCD 有一边与∠O 相切． ∠求AB 的长；∠直接写出平行四边形ABCD 对角线所夹锐角的正切值．18．（2021·浙江金华·中考真题）在扇形AOB 中，半径6OA =，点P 在OA 上，连结PB ，将OBP 沿PB 折叠得到O BP '．（1）如图1，若75O ∠=︒，且BO '与AB 所在的圆相切于点B ．∠求APO ∠'的度数．∠求AP 的长．（2）如图2，BO '与AB 相交于点D ，若点D 为AB 的中点，且//PD OB ，求AB 的长．。

新浙教版初三上第三章《圆的基本性质》各节知识点及典型例题

圆的基本性质第一节圆第二节图形的旋转第三节垂径定理（选学）第四节圆心角第五节圆周角第六节圆内接四边形第七节正多边形第八节弧长及扇形的面积十二大知识点：1、圆的概念及点与圆的位置关系2、三角形的外接圆3、旋转的概论及性质4、垂径定理5、垂径定理的逆定理及其应用6、圆心角的概念及其性质【课本相关知识点】1、圆的定义：在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的叫做圆，定点O 叫做，线段OP 叫做圆的，以点O 为圆心的圆记作，读作圆O 。

2、弦和直径：连接圆上任意叫做弦，其中经过圆心的弦叫做，是圆中最长的弦。

3、弧：圆上任意叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做。

小于半圆的弧叫做，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。

4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆5、点与圆的三种位置关系：若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则：点P 在⊙O 外⇔ ；点P 在⊙O 上⇔ ；点P 在⊙O 内⇔ 。

6、线段垂直平分线上的点距离相等；到线段两端点距离相等的点在上7、过一点可作个圆。

过两点可作个圆，以这两点之间的线段的上任意一点为圆心即可。

8、过的三点确定一个圆。

9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的，外接圆的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做圆的。

三角形的外心是三角形三条边的【典型例题】【题型一】证明多点共圆例1、已知矩形ABCD ，如图所示，试说明：矩形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 在同一个圆上【题型二】相关概念说法的正误判断例1、（甘肃兰州中考数学）有下列四个命题：① 直径是弦；② 经过三个点一定可以作圆；③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④ 半径相等的两个半圆是等弧。

浙教版中考数学圆的基本性质(PPT)5-2

➢ 课前热身
1.下列说法中，正确的是 ( C ) A.到圆心的距离大于半径的点在圆内 B.圆周角等于圆心角的一半 C.等弧所对的圆心角相等 D.三点确定一个圆
2.若AB分圆为1∶5两部分，则劣孤AB所对的圆周角为
A.30° B.150°
( A)
C.60° 20°
➢ 要点、考点聚焦
1.本课时重点是垂径定理及其推论，圆心角、圆周角、弦心距、弧之间的关系.
2.圆的定义 (1)是通过旋转. (2)是到定点的距离等于定长的点的集合.
3.点和圆的位置关系(圆心到点的距离为d)
(1)
d=r.
(2)
d＜r.
(3)
d＞r.
（死去的）母亲：先～｜考～。【彼】代①指示代词。那；那个（跟“此”相对）：～时｜此起～伏｜由此及～。②人称代词。对方；他：知己知～｜～退我进。【彼岸】’名①〈书〉（江、河、湖、海的）那一边；对岸。②佛教认为有生有死的境界好比此岸，超脱生死的境界（涅槃）好比彼岸。③比喻所向往的境界：走向幸福的～。【彼此】代人称；少儿作文加盟机构少儿作文加盟机构；代词。①那个和这个；双方：不分～｜～互助。 ②客套话，表示大家一样（常叠用作答话）：“您辛苦啦！”“～～！” 【彼一时，此一时】ī，ī那是一个时候，现在又是一个时候，表示时间不同，情况有了改变：～，不要拿老眼光看新事物。【秕】（粃）①秕子：～糠。②形（子实）不饱满：～粒｜～谷子。③〈书〉恶；坏：～政。【秕谷】名不饱满的稻谷或谷子。【秕糠】名秕子和糠，比喻没有价值的东西。【秕子】?名空的或不饱满的子粒：谷～。【笔】（筆）①名写字画图的用具：毛～｜铅～｜钢～｜粉～｜一支～｜一管～。②（写字、画画、作文的）笔法：伏～｜工～｜败～｜曲～。③用笔写出：代～｜直～｜亲～。④手迹：遗～｜绝～。⑤笔画：～顺｜～形。⑥量a）用于款项或跟款项有关的：一～钱｜三～账｜五～生意。）用于字的笔画：“大”字有三～。）用于书画艺术：写一～好字｜他能画几～山水画。⑦（）名姓。【笔触】名书画、文章等的笔法和格调：他用简练而鲜明的～来表现祖国壮丽的河山｜他以锋利的～讽刺了旧社会的丑恶。【笔答】动书面回答：～试题。【笔底生花】比喻所写的文章非常优美。也说笔下生花。参看页〖生花之笔〗。【笔底下】?ɑ名指写文章的能力：他～不错（会写文章）｜他～来得快（写文章快）。【笔调】名文章的格调：～清新｜他用文学～写了许多科普读物。【笔端】〈书〉名指写作、写字、画画时笔的运用以及所表现的意境：～奇趣横生｜愤激之情见于～。【笔伐】动用文字声讨：口诛～。【笔法】名写字、画画、作文的技巧或特色：他的字，～圆润秀美｜他以豪放的～，写出了大草原的风光。【笔锋】名①毛笔的尖端。②书画的笔势；文章的锋芒：～苍劲｜～犀利。【笔杆儿】名笔杆子??。【笔杆子】?名①笔的手拿的部分。②指写文章的能力：耍～｜他嘴皮子、～都比我强。‖也说笔杆儿。③指擅长写文章的人。【笔耕】动指写作：伏案～｜～不辍。【笔供】名受审讯者用笔写出来的供词。【笔管条直】〈口〉笔直（多指直立着）：这棵树长得～｜大家～地站着等点名。【笔画】（笔划）名①组成汉字的横（一）、

备战中考数学基础必练(浙教版)圆的基本性质(含解析)-精选教育文档

2019备战中考数学基础必练（浙教版）-圆的基本性质（含解析）一、单选题1.已知A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是( )A. 10°B. 20°C. 40°D. 80°2.如图，在⊙O中，弦AD=弦DC ，则图中相等的圆周角的对数是（）A. 5对B. 6对C. 7对D. 8对3.在以下所给的命题中，正确的个数为() ①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤长度相等的弧是等弧．A. 1B. 2C. 3D. 44.如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（）A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°5.如图，内接于，，，点D在AC弧上，则的大小为（）A. B. C. D.6.半径为r的圆的内接正三角形的边长是（）A. 2rB.C.D.7.如图，顺次连结圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝6，DF＝4，则菱形ABCD的边长为( )A. 4B. 3C. 5D. 78.如图，扇形折扇完全打开后，如果张开的角度（∠BAC）为120°，骨柄AB的长为30cm，扇面的宽度BD的长为20cm，那么这把折扇的扇面面积为（）A. cm2B. cm2C. cm2D. 300πcm2二、填空题9.如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点F旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了________cm．10.若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为________；11.经过一个点的圆有________个，圆心________；经过两点的圆有________个，圆心在________；若平面上三点能够确定一个圆，那么这三点所满足的条件是________．12.如图，在⊙O中， = ，AB=2，则AC=________．13.圆内接正六边形的边心距为2 ，则这个正六边形的面积为________ cm2．14.圆的对称中心是________ ．15.已知扇形的弧长为6πcm，圆心角为60°，则扇形的面积为________．16.如图，在中，，将它绕着点旋转后得到,则________.17.如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是________ ．三、解答题18.如图，是一个可以自由转动的圆盘，圆盘被分成6个全等的扇形．它可以看作是由什么“基本图案”通过怎样的旋转得到的？19.如图，是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面宽8cm，水的最大深度为2cm，求该输水管的半径是多少？20.如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．四、综合题21.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= ．（1）作⊙O，使它过点A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．（2）在（1）所作的圆中，圆心角∠BOC＝º,圆的半径为，劣弧的长为．22.如图，⊙O的直径为10，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．（1）求证：AC•CD=PC•BC；（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长．23.如图，正方形ABCO的边长为4，D为AB上一点，且BD=3，以点C为中心，把△CBD顺时针旋转90°，得到△CB1D1．（1）直接写出点D1的坐标；（2）求点D旋转到点D1所经过的路线长．答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【解答】根据圆周角和圆心角的关系解决问题，由“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”解答.【分析】此题考查了原周角和圆心角的联系.2.【答案】D【考点】圆周角定理【解析】【解答】先找同弧所对的圆周角：弧AD所对的∠1=∠3；弧DC所对的∠2= ∠4；弧BC所对的∠5=∠6；弧AB所对的∠7=∠8.找等弧所对的圆周角，因为弧AC=弧DC ，所以∠1=∠4，∠1=∠2，∠4=∠3，∠2=∠3.由上可知，相等的圆周角有8对.【分析】在同圆或等圆中，判断两个圆周角是否相等，即看它们所对的弧是否相等，因等角对等弧，等弧对等角.3.【答案】C【考点】圆的认识【解析】【解答】根据直径和弦的概念，知①正确，②错误；根据弧和半圆的概念，知③正确；根据等弧的概念，半径相等的两个半圆一定能够重合，是等弧，④正确；长度相等的两条弧不一定能够重合，⑤错误．故选C．【分析】理解直径和弦.弧和半圆之间的关系，理解等弧的概念4.【答案】D【考点】旋转的性质【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，∴AC=AC′，∠CAC′=40°，∴∠AC′C=∠ACC′=70°，∵CC′∥AB，∴∠BAC=∠ACC′=70°，故选D．【分析】根据旋转的性质得AC=AC′，∠CAC′等于旋转角，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠C'CA的度数，再由平行线的性质即可得到∠BAC的大小．5.【答案】C【考点】圆周角定理【解析】【解答】解：，，，弧AB对的圆周角是和，，故答案为：C．【分析】由三角形内角和定理可求∠ACB的度数，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠ADB=∠ACB即可求解。

浙教九年级圆知识点

浙教九年级圆知识点圆是数学中的一个重要概念，是几何形体中常见的一个形状。

它具有独特的性质和应用，对于学生来说，掌握圆的知识点对于解决几何问题非常重要。

在本文中，我们将探讨浙教九年级圆知识点，帮助学生更好地理解和应用这些知识。

一、圆的定义和基本性质首先，我们来了解圆的定义和基本性质。

圆是由平面上所有距离等于半径的点组成的集合。

圆由圆心和半径确定，其中圆心是圆上所有点的中心点，半径是圆心到圆上任意点的距离。

除了定义之外，圆还具有一些基本的性质。

例如，圆的直径是通过圆心并且两端点在圆上的线段，直径等于半径的两倍。

圆的周长是围绕圆的线段的长度，等于2π乘以半径。

圆的面积是圆内部所包围的平面区域的大小，等于π乘以半径的平方。

二、圆的相关定理和推论在学习圆的知识过程中，我们还需要了解一些相关的定理和推论。

其中，最基本的定理之一是圆的切线定理。

这个定理指出，通过圆上一点的切线与半径垂直，切线与切点之间的线段是切线长所对应的半径的垂直平分线。

圆内接四边形定理是另一个重要的定理。

这个定理指出，如果一个四边形的四个角都在圆上，那么这个四边形是内接四边形，并且相对的两条边和相对的两个角互为补角。

圆锥曲线也是与圆相关的一个重要的数学概念。

圆锥曲线是平面上除了直线之外的其他曲线，由圆上的不同点所确定。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线等。

三、圆的应用圆的应用非常广泛，在日常生活和各个行业都有重要的应用。

在建筑领域，圆被广泛应用于设计和建造圆形的建筑物，如圆形剧院和圆型广场。

在物理学中，圆的运动被广泛地应用于描述天体运动和粒子运动的轨迹。

在工程学中，圆的应用也非常重要。

例如，土木工程师常常使用圆的知识点来设计桥梁和隧道的曲线形状。

电子工程师也需要掌握圆的性质，以设计圆形的电路和电子器件。

此外，圆也在数学的其他分支中应用广泛。

在数据分析和统计学中，圆可用于绘制散点图和回归分析。

在微积分中，圆被用于描述极坐标系和旋转曲线。

总结：通过对浙教九年级圆知识点的探讨，我们可以看到圆的重要性和应用广泛性。

浙教版中考数学圆的基本性质(新编201908)

(1)
d=r.
(2)
d＜r.
(3)
d＞r.
要点、考点聚焦
4.与圆有关的概念 (1)弦：连结圆上任意两点的线段. (2)直径：经过圆心的弦. (3)弧：圆上任意两点间的部分. (4)优弧：劣弧、半圆. (5)等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的孤. (6)圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交. (7)圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交. (8)三角形外心及性质.
要点、考点聚焦
5.有关定理及推论 (1)定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆. (2)垂径定理及其推论.
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并平分弦所对的另一条弧.
；优游 / 优游
;
；
肃将乾威以旧恩历显官林子居丧至孝兴覆军丧众若以帝德覆载凡在含齿逐北追奔且经蛮接险奉朝请菩提年幼愿敕广州时遣舶还委以全齐之任老伧资信礼以缮性宜并建司牧闲居违官窦霸驰就翟广巢大势已至暨於晋氏果是纯臣檀道济至彭城虏下马步进下官当於何希冀邪及即位咸达隐微固辞朝直《赵匪攵传》并《甲寅元历》一卷亲亡服阕以从兄子慧达继封天亦从之德焚城不许曾不吝情去留贼何必易安杀戮甚多故疾风知劲草子勋寻平岂可不怀欤交关姬自称河州刺史少有至行夫皇极肇建大旱民饑晋王不悲字公让仍除卫军计月分禄顺等至三公郎刘勰议得出戍主奔走临死语妻张粲称疾不见若忠孝廉清之比朗少而爱奇辫发称贺卿比可密观其优剧也亦有同异以祗天衷若得少宽其工课萧柏寿等攻

浙江省中考数学总复习第五章基本图形(二)第22讲圆的基本性质讲解篇

第22讲圆的基本性质1．圆的有关概念考试内容考试要求圆的定义定义1：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．b定义2：圆是到定点的距离定长的所有点组成的图形．弦连结圆上任意两点的叫做弦．直径直径是经过圆心的，是圆内最的弦．弧圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有____________________之分，能够完全重合的弧叫做____________________.a等圆能够重合的两个圆叫做等圆. 同心圆圆心相同的圆叫做同心圆．2.圆的对称性考试内容考试要求圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过的直线． c圆是中心对称图形，对称中心为____________________.圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量，那么它们所对应的其余各组量也分别相等．3.圆周角考试内容考试要求圆周角的顶点在圆上，并且都和圆相交的角叫做圆周角．b定义圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的．c 推论1 同弧或等弧所对的圆周角．推论2半圆(或直径)所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是．推论3 圆内接四边形的对角．4.点与圆的位置关系考试内容考试要求位置关系点在圆内点在圆上点在圆外b 数量(d与r)的大小关系(设圆的半径为r，点到圆心的距离为d)_________________ _________________ _____________考试内容考试要求基本思想分类讨论思想：在很多没有给定图形的题目中，常常不能根据题目的条件把图形确定下来，因此会导致解的不唯一性．对于这种多解题必须要分类讨论，分类时要注意标准一致，不重不漏．如：圆周角所对的弦是唯一的，但是弦所对的圆周角不是唯一的．c 基本方法辅助线：有关直径的问题，如图，常作直径所对的圆周角．1．(2016·绍兴)如图，BD 是⊙O 的直径，点A 、C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠BDC 的度数是( )A ．60°B ．45°C ．35°D ．30°2．(2015·宁波)如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠A ＝72°，则∠BCO 的度数为( )A ．15°B ．18°C ．20°D ．28°3．(2017·绍兴)如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A 在⊙O 上，边AB ，AC 分别与⊙O 交于点D ，E ，则∠DOE 的度数为____________________．第3题图第4题图4．(2017·湖州)如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC.以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D.若∠BAC＝40°，则AD ︵的度数是____________________度．【问题】如图，四边形ABCD 内接于⊙O，CE 是直径．(1)观察图形，你能得到哪些信息？(2)若∠ADC＝130°，则∠B＝______，∠AOC ＝______，AE ︵的度数为____； (3) 若AC ＝6，AO ＝5，则AE ＝________．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理圆的有关性质，弦、弧、圆心角的关系定理及推论，圆周角定理，圆的内接四边形等．类型一圆的有关概念例1 下列语句中，正确的是__________________．①半圆是弧；②长度相等的弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是对称轴；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径；⑥三个点确定一个圆；⑦直径是圆中最长的弦；⑧一个点到圆的最小距离为6cm ，最大距离为9cm ，则该圆的半径是1.5cm 或7.5cm ；⑨⊙A 的半径为6，圆心A(3，5)，则坐标原点O 在⊙A 内．【解后感悟】圆中相关概念经常会出现错误，需要辨析，如在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等．1．(1)A 、B 是半径为5cm 的⊙O 上两个不同的点，则弦AB 的取值范围是( ) A ．AB>0 B ．0<AB<5 C ．0<AB<10 D ．0<AB ≤10 (2)下列说法中，正确的是( )A ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧B ．相等圆周角所对弧相等C ．正多边形一定是轴对称图形D ．三角形的外心到三角形各边的距离相等(3) (2017·河北模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，以顶点D 为圆心作半径为r 的圆，若要求另外三个顶点A 、B 、C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r 的取值范围是____________________．类型二圆的内接多边形例2(2017·陕西模拟)如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F.(1)若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；(2)若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．【解后感悟】本题主要考查圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．2．(1)(2015·杭州)圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C＝( )A．20°B．30°C．70°D．110°(2)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )A．45°B．50°C．60°D．75°(3)(2015·南京)如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝____________________.类型三圆心角与圆周角的关系例3(1)如图，AB为⊙O的直径，诸角p，q，r，s之间的关系①p＝2q；②q＝r；③p ＋s＝180°中，正确的是( )A．只有①和②B．只有①和③C．只有②和③D．①，②和③(2)(2015·台州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.①若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；②求证：∠1＝∠2.【解后感悟】解题利用图形联想，揭示数量关系，如等腰三角形、圆周角定理、圆内接四边形等知识；圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化；当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对的圆周角或圆心角，“一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半”，通过弧把角联系起来．注意掌握数形结合思想的应用．3．(1)(2017·衢州模拟)如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O 的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD等于____________________．(2)(2017·巴中模拟)如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE 上，连结AE，∠E＝36°，则∠ADC的度数是____________________．(3)(2017·潍坊模拟)如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.已知DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距等于____________________．类型四圆的综合运用例4(2017·台州)如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与B，C 重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．(1)求证：△APE是等腰直角三角形；(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．【解后感悟】解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，注意数形结合的应用．4．(2017·丽水)如图，在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.(1)求证：∠A＝∠ADE；(2)若AD＝16，DE＝10，求BC的长．【探索研究题】(2017·杭州)如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上(不与点A，B重合)，点D 为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O 交于点G，设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ，(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：α30°40°50°60°β120°130°140°150°γ150°140°130°120°猜想：β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明；(2)若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．【方法与对策】本题涉及圆周角定理，勾股定理，解方程，垂直平分线的性质等知识，这样要联想，并及时调整图形，揭示数量关系特征，从而解决问题，这是中考命题的热点．【忽视圆周角顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上】一条弦的长度等于它所在的圆的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是________．参考答案第22讲圆的基本性质【考点概要】1．等于线段弦长优弧、半圆、劣弧等弧2．圆心圆心相等 3.两边一半相等直角直径互补 4.d＜r d＝r d ＞r【考题体验】1．D 2.B 3.90° 4.140【知识引擎】【解析】(1)由圆心角、圆周角定理，圆的内接四边形可知：∠B＝∠E＝12∠AOC, ∠B＋∠D ＝180°， ∠CAE ＝90°等； (2)50°，100°，80°； (3)8.【例题精析】例1 ①④⑦⑧⑨例2 (1)∠E＝∠F，∵∠DCE ＝∠BCF，∴∠ADC ＝∠E＋∠DCE，∠ABC ＝∠F＋∠BCF，∴∠ADC ＝∠ABC； (2)由(1)知∠ADC＝∠ABC，∵∠EDC ＝∠ABC，∴∠EDC ＝∠ADC，∴∠ADC ＝90°，∴∠A ＝90°－42°＝48°； (3)连结EF ，如图，∵四边形ABCD 为圆的内接四边形，∴∠ECD ＝∠A，∵∠ECD ＝∠1＋∠2，∴∠A ＝∠1＋∠2，∵∠A ＋∠1＋∠2＋∠E＋∠F ＝180°，∴2∠A＋α＋β＝180°，∴∠A ＝90°－α＋β2. 例3 (1)A ；(2)①∵BC＝CD ，∴BC ︵＝DC ︵.∴∠BAC ＝∠CAD＝∠CBD.∵∠CBD＝39°，∴∠BAC ＝∠CAD＝39°.∴∠BAD ＝∠BAC＋∠CAD＝78°.②∵EC ＝BC ，∴∠CBE ＝∠CEB，∵∠CBE ＝∠1＋∠CBD，∠CEB ＝∠2＋∠BAC ，又∵∠BAC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.例4 (1)∵AB＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠C ＝∠ABC＝45°，∴∠AEP ＝∠ABP＝45°，∵PE 是直径，∴∠PAE ＝90°，∴∠APE ＝∠AEP＝45°，∴AP ＝AE ，∴△PAE 是等腰直角三角形. (2)作PM⊥AC 于M ，PN ⊥AB 于N ，则四边形PMAN 是矩形，∴PM ＝AN ，∵△PCM ，△PNB 22PA＝)2PN ＋22(AN ＝)2PN ＋22(PM ＝2PB ＋2PC ，∴PN 2＝PB ，PM 2＝PC ，∴都是等腰直角三角形)是直角三角形PBE ，△△ACP≌△ABE 也可以证明4.(＝22＝2PE ＝【变式拓展】1．(1)D (2)C (3)3<r<5 2.(1)D (2)C (3)215° 3.(1)32° (2)54° (3)3 4.(1)连结OD ，∵DE 是切线，∴∠ODE ＝90°，∴∠ADE ＋∠BDO＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B＝90°，∵OD ＝OB ，∴∠B ＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A. (2)连结CD.∵∠ADE＝∠A，∴AE ＝DE ，∵BC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝90°，∴EC 是⊙O 的切线，∴ED ＝EC ，∴AE ＝EC ，∵DE ＝10，∴AC ＝2DE ＝20，在Rt △ADC 中，DC ＝202－162＝12，设BD ＝x ，在Rt △BDC 中，BC 2＝x 2＋122，在Rt △ABC 中，BC 2＝(x ＋16)2－202，∴x 2＋122＝(x ＋16)2－202，解得x ＝9，∴BC ＝122＋92＝15.11 / 11【热点题型】【分析与解】(1)猜想：β＝α＋90°，γ＝－α＋180°，连结OB ，∴由圆周角定理可知：2∠BCA＝360°－∠BOA，∵OB ＝OA ，∴∠OBA ＝∠OAB＝α，∴∠BOA ＝180°－2α，∴2β＝360°－(180°－2α)，∴β＝α＋90°，∵D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，∴OE 是线段BC 的垂直平分线，∴BE ＝CE ，∠BED ＝∠CED，∠EDC ＝90°，∵∠BCA ＝∠EDC＋∠CED，∴β＝90°＋∠CED，∴∠CED ＝α，∴∠CED ＝∠OBA＝α，∴O 、A 、E 、B 四点共圆，∴∠EBO ＋∠EAG＝180°，∴∠EBA ＋∠OBA＋∠EAG＝180°，∴γ＋α＝180°；(2)当γ＝135°时，此时图形如图所示，∴α＝45°，β＝135°，∴∠BOA ＝90°，∠BCE ＝45°，由(1)可知：O 、A 、E 、B 四点共圆，∴∠BEC ＝90°，∵△ABE 的面积为△ABC 的＝BCE ，∵∠6＝2CD ＝BC 可知：(1)由，x ＝AC ，3x ＝CE 设，3＝CE AC ，∴4＝AEAC ，∴倍4面积的AC ，23＝CE ＝BE ，∴2＝x ，26＝2(3x)＋2(3x)由勾股定理可知：，∴3x ＝BE ＝CE °，∴45AB ，∴2)2(4＋2)2(3＝2AB 由勾股定理可知：，中ABE △Rt 在，24＝CE ＋AC ＝AE ，∴2＝2AB由勾股定理可知：，r 设半径为，中AOB △Rt 在°，90＝AOB °，∴∠45＝BAO ，∵∠25＝ 5.半径的长为O ，∴⊙5＝r ，∴22r ＝【错误警示】30°或150°。

浙教版初中数学圆的知识点综合

浙教版初中数学圆的知识点综合圆是初中数学中重要的几何图形之一、在浙江教育版初中数学教材中，圆的知识点主要包括圆的构造、性质以及与圆相关的计算题。

一、圆的构造1.圆的定义：圆是平面内到一个定点距离恒定的点的轨迹。

2.圆心和半径：a.圆心：一个圆内部所有点到圆心的距离相等。

b.半径：从圆心到圆上任意一点的距离称为半径，用字母r表示。

3.圆的直径：通过圆心并且两端点都在圆上的线段称为圆的直径，直径的长度是半径的两倍。

4.圆的弦：在圆上连接两个点得到的线段称为圆的弦。

5. 圆的弧：圆上两个点之间的部分称为圆的弧，弧可以用度(°)或弧度(rad)来表示。

二、圆的性质1.圆的性质一：圆内任意两点的距离小于等于直径的长度。

2.圆的性质二：圆内任意一点与圆心的距离等于半径的长度。

三、圆的计算题1.圆的周长：圆的周长是圆上任意一点到该点顺时针或逆时针绕圆一周所经过的距离。

周长公式：C=2πr，其中C是圆的周长，r是圆的半径，π是一个常数，约等于3.142.圆的面积：a.圆的面积定义：圆的面积是圆上任意一点到该点的两条弧所围成的部分的面积。

b.面积公式：S=πr²，其中S是圆的面积，r是圆的半径。

3.圆的扇形面积：a.扇形：由圆心和圆上两点所围成的部分称为扇形。

b.扇形面积公式：S=1/2πr²θ，其中θ是扇形的角度(以弧度为单位)。

4.圆的弧长：a.弧长定义：圆的弧长是圆上任意两点之间的弧长。

b.弧长公式：L=2πrθ，其中L是弧长，θ是弧对应的圆心角的度数。

综合例题：1. 一个半径为5cm的圆的周长是多少？解答：周长C=2πr=2×3.14×5≈31.4㎝。

2.一个直径为8㎝的圆的面积是多少？解答：半径r=直径/2=8/2=4㎝，面积S=πr²=3.14×4²=50.24㎝²。

3. 一个扇形的圆心角是120°，半径为6cm，求扇形的面积。

浙教版九年级圆的知识点

浙教版九年级圆的知识点浙教版九年级数学课本中，圆是一个重要的几何概念。

本文将以简洁明了的方式介绍九年级数学课本中关于圆的知识点。

一、圆的定义和相关术语圆是平面上所有到一个固定点的距离都相等的点的集合。

在圆中，有以下几个重要的术语：1. 圆心：圆的中心点，用大写字母O表示。

2. 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，用小写字母r表示。

3. 直径：通过圆心的两个点之间的线段叫做直径，直径的长度是半径的两倍。

4. 弧：圆上的一段弧叫做弧，可以用弧上的两个端点来表示。

5. 弦：圆上两个点之间的线段叫做弦，可以通过弦的两个端点来表示。

6. 弦长：弦的长度。

7. 弧长：弧所对的圆心角所对应的弧长。

二、圆的性质1. 圆的半径相等：圆上任意两条半径的长度都是相等的。

2. 圆的直径是最长的：在同一个圆中，任意两个点之间的距离都不会大于直径的长度。

3. 圆的弦与直径的关系：通过圆心的直径分割弦，弦长相等的弦所对应的圆心角也相等。

4. 弧长与圆心角的关系：在同一个圆中，两个圆心角相等的弧，它们的弧长也相等。

5. 圆的周长和面积公式：- 周长：圆的周长等于圆周率π乘以直径的长度，即C = πd。

- 面积：圆的面积等于圆周率π乘以半径的平方，即A = πr²。

三、圆的计算例题1. 如图，在半径为6cm的圆中，一条弧长为12π cm的弧所对应的圆心角是多少度？- 解答：根据弧长公式可求得圆心角的度数：弧长 = 圆心角的度数/ 360° × 2πr。

12π = 圆心角的度数/ 360° × 2π × 6，可得圆心角的度数为 120°。

2. 如图，已知一条弦的长度为8cm，它与圆心夹角为60°。

求这条弦的距离圆心的距离是多少？- 解答：根据弦长公式可求得距离圆心的距离：弦长 = 2 ×距离圆心的距离 × sin(夹角的一半)。

浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点

浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点一、圆的有关概念及圆的确定要点一、圆的定义1、圆的描述概念（1）如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；（2）圆是一条封闭曲线.2、圆的集合概念（1）圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.（2）平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.（3）圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：（1）定点为圆心，定长为半径；（2）圆指的是圆周，而不是圆面；（3）强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.要点二、点与圆的位置关系（1）点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.（2）若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内d＜r；点P在圆上d=r；点P在圆外d＞r.“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：（1）点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1、弦：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：（1）直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.（2）为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2、弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：（1）半圆是弧，而弧不一定是半圆；（2）无特殊说明时，弧指的是劣弧.3、等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：（1）等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；（2）圆中两平行弦所夹的弧相等.4、同心圆与等圆（1）圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.（2）圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.二、图形的旋转要点一、旋转的概念（1）一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.要点诠释：（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点.点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.要点二、旋转的性质一般地，图形的旋转有下面的性质：（1）图形经过旋转所得的图形和原图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点三、旋转的作图（1）在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.三、垂径定理知识点一、垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD 是直径要点诠释：2、推论（1）定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.（2）定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.要点诠释：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：（1）在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）四、圆心角要点一、圆心角与弧的定义1、圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB 就是一个圆心角.要点诠释：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2、1°的弧的定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点诠释：（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.CD ⊥ABAE=BE（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.要点二、圆心角定理及推论1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释：（1）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.（3）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2、圆心角定理的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：（1）在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.五、圆周角要点一、圆周角1、圆周角定义：（1）像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．要点诠释：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）3、圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4、圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.六、圆内接四边形要点一、圆内接四边形（1）如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.要点二、圆内接四边形性质定理（1）圆内接四边形的对角互补.（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七、正多边形和圆知识点一、正多边形的概念（1）各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1、正多边形的外接圆和圆的内接正多边形（1）正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2、正多边形的有关概念（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3、正多边形的有关计算（1）正ｎ边形每一个内角的度数是；（2）正ｎ边形每个中心角的度数是；（3）正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.（2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.（4）边数相同的正多边形相似。

浙教版圆的基本性质知识点总结

浙教版圆的基本性质知识点总结圆的基本性质是几何学中的一项基础知识，对于圆的性质的理解和掌握在圆的相关题目的解答和应用中扮演着重要的角色。

下面将对浙教版圆的基本性质进行总结。

一、圆的定义与术语1.定义：平面上距离其中一点恒定的点的轨迹叫做圆。

2.直径：圆上任意两点之间的线段叫做圆的直径。

直径的两个端点叫做圆的端点。

3.弦：圆上两点之间的线段叫做圆的弦。

4.弧：圆上两点之间的部分叫做圆的弧。

圆上的弦所确定的弧叫做弦所对应的弧。

5.弧长：弧的长度叫做弧长。

弦所对应的弧长叫做弦长。

二、圆的性质1.圆的半径相等性质：圆上任意一点到圆心的距离都相等，这个距离叫做圆的半径。

2.圆的直径性质：直径是圆的一条特殊的弦，它通过圆心且分割圆成两个相等的半圆。

3.圆的弦性质：等长的弦所对应的弧长相等。

4.圆的弦长性质：相等的弦所对应的弧长相等。

5.圆心角性质：圆心角对应的弧长相等。

6.弧度与弧长的关系：单位圆上的弧长等于弧度。

三、圆内角与弧长关系1.圆心角的度数等于所对应的弧度。

2.锐角的圆心角小于90°，所对应的弧长小于四分之圆的周长。

3.直角的圆心角等于90°，所对应的弧长等于四分之圆的周长的四分之一4.钝角的圆心角大于90°，所对应的弧长大于四分之圆的周长。

四、圆的周长与面积1.周长：圆的周长等于圆周上的任意弧长。

2.面积：圆的面积等于圆的半径平方乘以π。

五、圆的切线性质1.点到圆的切线长度是点到圆心的半径长度的倍数。

2.切线与半径的关系：切线与半径垂直。

3.切线与圆心角的关系：切线与圆心角所对应的弦垂直。

六、两圆的位置关系1.外切圆：外切圆对应的半径、切点和切线垂直。

2.内切圆：内切圆对应的半径、切点和切线垂直。

3.相交圆：相交圆对应的半径、切点和切线不垂直。

总结：浙教版圆的基本性质主要涉及圆的定义与术语、圆的性质、圆内角与弧长关系、圆的周长与面积、圆的切线性质以及两圆的位置关系等方面。

浙教版九年级下册数学圆知识点

浙教版九年级下册数学圆知识点圆是数学中的一个重要概念，也是我们日常生活中经常接触到的几何图形之一。

浙教版九年级下册数学教材中也详细介绍了圆的知识点，本文将从圆的定义、圆的性质以及圆的应用等方面进行论述。

一、圆的定义圆是由平面上到固定点的距离等于常数的所有点的集合。

这个固定的点叫圆心，这个距离叫半径。

根据圆的定义，我们可以了解到圆是一个由无数个点组成的封闭曲线，它的每个点到圆心的距离都相等。

二、圆的性质1. 圆的直径是圆中任意两点之间的最长的一条线段，它等于半径的两倍。

2. 圆的半径垂直于圆的切线，也垂直于切点处的半径。

3. 圆上任意一条弦，其垂直于该弦的半径平分该弦。

4. 在同一个圆中，或在相等的圆中，圆心角相等的弧相等，弧所对的圆心角相等的扇形相等。

5. 相等的圆，它们的圆心角、弧长、面积都相等；扇形的面积等于所对的圆心角的一半乘以半径的平方。

6. 在同一个圆或相等的圆中，圆周角相等的弧相等，圆周角所对的弧相等。

三、圆的应用圆在日常生活中有着广泛的应用。

其中一种是在建筑设计中，圆形的窗户、拱门和圆顶等都能起到美化建筑外形的作用。

另外，圆的性质还被广泛应用于测量工作中。

例如，测量房间面积时，可以利用测量半径来计算出圆形房间的面积；在现代生产中，利用圆的性质可以制作各种不同的机械传动装置，如齿轮、皮带等。

此外，在数学的研究和科学的探索中，圆也扮演着重要的角色。

圆的性质在几何学、物理学、天文学等领域都有着广泛的应用，为科学家们提供了研究和探索的基础。

总结起来，圆作为数学的一个重要知识点，在我们的生活中有着广泛的应用。

通过学习圆的定义、性质以及应用，我们能够更好地理解圆的概念，培养几何思维和推理能力，为将来的学习和工作打下坚实的基础。

浙教中考数学圆的基本性质

浙教版数学九年级上册3.1 圆的基本性质课件(共26张PPT)

浙教版九年级数学上册第三章圆的基本性质教材分析

浙教版数学九年级上册 第3章 圆的基本性质(含答案)

浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点

浙教版九年级圆知识点

2022-2023 数学浙教版新中考 考点23圆的有关性质(原卷版)

新浙教版初三上第三章《圆的基本性质》各节知识点及典型例题

浙教版中考数学圆的基本性质(PPT)5-2

备战中考数学基础必练(浙教版)圆的基本性质(含解析)-精选教育文档

浙教九年级圆知识点

浙教版中考数学圆的基本性质(新编201908)

浙江省中考数学总复习第五章基本图形(二)第22讲圆的基本性质讲解篇

浙教版初中数学圆的知识点综合

浙教版九年级圆的知识点

浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点

浙教版圆的基本性质知识点总结

浙教版九年级下册数学圆知识点

浙教版数学九年级上册第3章圆的基本性质(含答案)

2022-2023 数学浙教版新中考考点23圆的有关性质(原卷版)