高等工程数学训练题

《高等工程数学》训练题I 、矩阵论部分1、 在线性空间V=R 2×2中，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111,0111,0011,00014321ββββ是V 的一个基，则a b c d V α⎛⎫∀=∈⎪⎝⎭，α在{}4321,,,ββββ下的坐标为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---d dc c b b a 。

2、设α1=(1,1,-2,1),α2=(2,7,1,4), α3=(-3,2,11,-1), β1=(1,0,0,1), β2=(1,6,3,3)，令V 1=L(α1,α2, α3)，V 2=L(β1, β2)，(1)求dim(V 1+V 2)及V 1+V 2的一个基； (2)求)V dim (V 21I 。

解：(1)对下列矩阵施行如下初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==00000010*******113210100002000101101132151550525501011011321'20220525505155011321311413011126027111321)(21321TT T T T A ββααα∴r(A)=3∴r(α1, α2, α3, β1, β2)=3 ∴dim(V 1+V 2)=3可选{α1, α2, β1}为V 1+V 2的基(2)∵dim V 1=r{α1, α2, α3}=2,dimV 2=r{β1, β2}=2∴dim(V 1∩V 2)=dimV 1+dimV 2-dim(V 1+V 2)=2+2-3=1 。

3、设V 是数域F 上的n 维线性空间，T 是V 的一个线性变换，证明（1）dimT(V)+dimker(T)=n 。

（2）若T 在{}12,,,n αααL 下对应矩阵为A ，则rankT=dimT(V)=r(A)。

证：令t=dimker(T)取12,,,t αααL 是ker(T)的一个基，扩充得121,,,,,t t n ααααα+L L 是V 的一个基。

下证1t n T T αα+L 是T(V)的一个基 （略）4、设V=R 2中线性变换T 1在基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12,2121αα下的矩阵为1223⎛⎫ ⎪⎝⎭， 线性变换T 2在基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ下的矩阵为3324⎛⎫⎪⎝⎭ (1)求T 1+T 2在基β1,β2下对应矩阵；(2)设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=33δ，求δ1T 在基α1,α2下的坐标；(3)求δ2T 在基β1,β2下的坐标。

思路：T1在基β1,β2下的矩阵B 1解：(1) ∵)(3111211ααβ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，2120121ααβ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= ∴()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0311312121ααββ 即从{}21,αα到{}21,ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=031131C 设T1在基β1,β2下的矩阵B 1，则 B 1=C -1A 1C ，其中 11223A ⎛⎫= ⎪⎝⎭。

所以 111111561233.21123100333B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而 T 1+T 2在基β1,β2下对应矩阵为 56893324132433⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

[ 或设()()C 2121ααββ=，即C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12212111，求出C1*11a b d b C C C ad bc C c d c a -⎛⎫⎛⎫-=⇒==⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭](2) ∵2133ααδ+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴21111ααδT T T +=∵11121112121212212(,)(,)2323T T T T αααααααααα⎧=+⎛⎫⎪=⇒⎨⎪=+⎝⎭⎪⎩ ∴()()212121153322ααααααδ+=+++=T∴δ1T 在基21,αα下的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛53(3) ∵1333βδ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴1223βδT T =又()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4233212212ββββT T∴⎩⎨⎧+=+=212221124323ββββββT T∴21122693βββδ+==T T∴δ2T 在β1,β2下的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛695、证明：Hermite 阵属于不同特征值的特征向量一定正交。

证：设n n C A ⨯∈,A A H =λ1, λ2是A 的两个互异的特征值，对应的特征向量分别取x 和y ， 则Ax=λ1x ，Ay=λ2y (θθ≠≠∈y x C y x n ,,,) ∵A 为Hermite 阵 ∴R ∈21,λλ∴y H Ax=y H (Ax)=y H (λ1x)= λ1y H x另一方面，y H Ax=y H A H x=(Ay)H x=(λ2y)H x=x y H 2λ=λ2y H x ∵λ1y H x=λ2y H x ∴(λ1-λ2) y H x=0 ∵λ1-λ2≠0 ∴(x,y)= y H x=0 ∴x 与y 正交。

6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110026011A ，求P 将A 相似化简为 Jordan 标准型J 。

解：分析，取⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32100100400011001λλλJ (λ1=λ2=-1, λ3=4为A 的特征值)，设P=(x 1,x 2,x 3)——可逆阵，()()()()()()()11121212213333311212333321111233是A 对应的特征向量是A 对应的特征向量，是的一个非零解Ax x x P AP J AP PJ Ax x x Ax x x A E x x A E x A E x x A E x A E x A E x x A E x λλλλλλλθλθλθλθλλθ-⎧=+⎪=⇔=⇔=--⎨⎪=--⎩⎧-=⎪⎪⇔-=⎨⎪-=-=⎪⎩⎧-=⎪⎪⇔-=⎨⎪-=⎪⎩即可求P 。

7、已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111111111121J J A ，求A 100 解：设f(λ)= λ100，则A 100=f(A)=12(1)(1)(1)(1)(1)(1)()2!()(1)(1)(1)(1)(1)(1)2!110011009910012110011009910012f f f f f f f J f J f f f f f f ⎛⎫- ⎪'-- ⎪ ⎪''-''- ⎪⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪' ⎪⎪'''⎪⎝⎭⎛⎫⎪- ⎪⎪⨯-⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪⨯ ⎪⎝⎭注：当nn CA ⨯∈为一个普通方阵时，计算f(A)的步骤(1)求A 的Jordan 标准形⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=S J J J J O21 (2)求一个可逆阵P ，使得()111211211-------==⇒=⋅=⇒=⇒=PPJ PJPA P PJ PJP PJP A PJP A J AP P k kkΛ(3)()11221011102210)()(----=++++=++=+++=PJ Pf PJb J b J b E b P P PJ b PJP b E b A b A b A b E b A f mm m m m m ΛΛΛ8、设n n C A ⨯∈，f(λ)是A 的任一零化多项式，m(λ)是A 的最小多项式，试证明：m(λ)| f(λ)。

证：用m(λ)作除式，f(λ)作被除式，两多项式相除，设商式为g(λ)，余式为r(λ)，则f(λ)= m(λ)q(λ)+ r(λ) （这里r(λ)≡0或r(λ)是一个次数比m(λ)低的非零多项式） 下证：r(λ)≡0反证，r(λ)是一个比m(λ)次数低的非零多项式。

设r(λ)的最高次项系数为k(k ≠0)，令)(1)(1λλr kr =∴r 1(λ)是首一多项式，且0)(1)(1==A r kA r∴r 1(λ)是A 的首一零化多项式，而且r 1(A)与r(A)同次，均比m(λ)次数低，这与m(λ)为A 的最小多项式矛盾！∴r(λ)≡0，m(λ)| f(λ)。

9、设 34302C i x ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=，则{}543,0,2max 295027502430222221=+-==++==++=+++-=∞i xx i x10、设3)()(121sin )1(312C k i k k i k k kk xk k ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+++=(k=1,2,3…)，则 *)(02132lim x i i x k k =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=→∞。

11、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-=111,42414311x i i ii A ，其中i 2=-1，求12,,A A Ax ∞解：{}{}76,7,7max 4,241,4311max ==+-+--++-++-+=∞i i i i A{}98,9,3max 1==A23434,4i Ax i Ax⎛⎫+ ⎪=-+==⎪ ⎪-⎝⎭12、已知3131313A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求①e A , ②e At , ③sinA 解：①设()()()()z z f z e f z f z f z e ''''''=⇒=== ∴()3333333333(3)(3)(3)(3)(3)(3)2!2(2)(3)(3)(3)3!2!62A e f e e f f f e e f A f f e e f f e e f f e e ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪' ⎪ ⎪⎪ ⎪''===' ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪'''''' ⎪⎪⎝⎭⎝⎭②令()zt f z e = （z 是自变量，t 为某固定字母）23(),(),()zt zt zt f z te f z t e f z t e ''''''===∴()2222222322222(2)(2)(2)(2)(2)(2)2!2(2)(2)(2)(2)3!2!62t t t t At t t t ttt e f te e f f f t e e f A f f te e f f t e t e f f te e ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪' ⎪ ⎪⎪ ⎪''===' ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪'''''' ⎪⎪⎝⎭⎝⎭③设()sin ,()cos ,()sin ,()cos f z z f z z f z z f z z ''''''===-=- ∴(2)sin 2(2)(2)cos 2sin 2(2)sin 2sin ()(2)(2)cos 2sin 22!2(2)(2)cos 2sin 2(2)(2)cos 2sin 23!2!62f f f f A f A f f f f f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪' ⎪ ⎪ ⎪ ⎪''==='- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪''''''-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注：当nn CA ⨯∈为一个普通方阵且()R A <ρ，求f(A)的步骤：①求出A 的Jordan 标准形⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=S J J J J O21； ②求一个可逆阵P ，使得11--=⇒=PJP A J AP P ； ③()11)(])([lim lim )(--∞→∞→===P J Pf P J Pf A f A f m m m m 。