高等工程数学训练题

《高等工程数学》训练题

I 、矩阵论部分

1、 在线性空间V=R 2

×2

中，⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=1111,0111,0011,00

014321ββββ是V 的一个基，则a b c d V α⎛⎫

∀=∈

⎪⎝⎭

，α在{}4321,,,ββββ下的坐标为⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛---d d

c c b b a 。 2、设α1=(1,1,-2,1),α2=(2,7,1,4), α3=(-3,2,11,-1), β1=(1,0,0,1), β2=(1,6,3,3)，令V 1=L(α1,

α2, α3)，V 2=L(β1, β2)，

(1)求dim(V 1+V 2)及V 1+V 2的一个基； (2)求)V dim (V 21I 。

解：(1)对下列矩阵施行如下初等行变换

⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛---==00000

010*******

11321

010000200010110113215155052550101

1011321'202

2

0525

505155

011

32

1311413011126027111321)(21321T

T T T T A ββααα

∴r(A)=3

∴r(α1, α2, α3, β1, β2)=3 ∴dim(V 1+V 2)=3

可选{α1, α2, β1}为V 1+V 2的基

(2)∵dim V 1=r{α1, α2, α3}=2,dimV 2=r{β1, β2}=2

∴dim(V 1∩V 2)=dimV 1+dimV 2-dim(V 1+V 2)=2+2-3=1 。

3、设V 是数域F 上的n 维线性空间，T 是V 的一个线性变换，证明

（1）dimT(V)+dimker(T)=n 。（2）若T 在{}12,,,n αααL 下对应矩阵为A ，则

rankT=dimT(V)=r(A)。

证：令t=dimker(T)

取12,,,t αααL 是ker(T)的一个基，扩充得121,,,,,t t n ααααα+L L 是V 的一个基。 下证1t n T T αα+L 是T(V)的一个基 （略）

4、设V=R 2中线性变换

T 1在基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12,2121αα下的矩阵为1223⎛⎫ ⎪⎝⎭

， 线性变换T 2在基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ下的矩阵为3324⎛⎫

⎪⎝⎭ (1)求T 1+T 2在基β1,β2下对应矩阵；

(2)设⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=33δ，求δ1T 在基α1,α2下的坐标；

(3)求δ2T 在基β1,β2下的坐标。 思路：T1在基β1,β2下的矩阵B 1

解：(1) ∵)(3111211ααβ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，2120121ααβ+=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛= ∴()()⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=0311312121ααββ 即从{}21,αα到{}21,ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=031131C 设T1在基β1,β2下的矩阵B 1，则 B 1=C -1A 1C ，其中 11223A ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

。

所以 1

11111561233.21123100333B -⎛⎫⎛⎫

⎛⎫

⎪ ⎪

⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

从而 T 1+T 2在基β1,β2下对应矩阵为 56893324132433⎛⎫

⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

。 [ 或设()()C 2121ααββ=，即C ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12212111，求出C

1

*11a b d b C C C ad bc C c d c a -⎛⎫⎛⎫-=⇒==

⎪ ⎪--⎝⎭

⎝⎭]

(2) ∵2133ααδ+=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=

∴21111ααδT T T +=

∵1112

1112121212

212(,)(,)2323T T T T αααααααααα⎧=+⎛⎫⎪=⇒⎨

⎪=+⎝⎭⎪⎩ ∴()()212121153322ααααααδ+=+++=T

∴δ1T 在基21,αα下的坐标为⎪⎪⎭⎫

⎝⎛53

(3) ∵1333βδ=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=

∴1223βδT T =

又()()⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=4233212212ββββT T

∴⎩⎨⎧+=+=21222

1124323ββββββT T

∴21122693βββδ+==T T

∴δ2T 在β1,β2下的坐标为⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛69

5、证明：Hermite 阵属于不同特征值的特征向量一定正交。

证：设n n C A ⨯∈,A A H =

λ1, λ2是A 的两个互异的特征值，对应的特征向量分别取x 和y ， 则Ax=λ1x ，Ay=λ2y (θθ≠≠∈y x C y x n ,,,) ∵A 为Hermite 阵 ∴R ∈21,λλ

∴y H Ax=y H (Ax)=y H (λ1x)= λ1y H x

另一方面，y H Ax=y H A H x=(Ay)H x=(λ2y)H x=x y H 2λ=λ2y H x ∵λ1y H x=λ2y H x ∴(λ1-λ2) y H x=0 ∵λ1-λ2≠0 ∴(x,y)= y H x=0 ∴x 与y 正交。