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高中数学《导数》教案

高中数学《导数》教案

导数一、极限的概念1、数列极限的定义:一般地,如果当项数n 无限增大时,无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于.....某个常数A (即A a n -无限趋近于0),那么就说数列}{n a 的极限是A ,记作A a n n =∞→lim 注:①上式读作“当n 趋向于无穷大时,n a 的极限等于A ”。

“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”,即n 无限增大的意思。

A a n n =∞→lim 有时也记作当n →∞时,n a →A②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________,____________________ ③思考:是否所有的无穷数列都有极限?例1:判断下列数列是否有极限,若有,写出极限;若没有,说明理由 (1)1,21,31,…,n 1,… ;(2)21,32,43,…,1+n n ,…;(3)-2,-2,-2,…,-2,…;(4)-0.1,0.01,-0.001,…,n)1.0(-,…; (5)-1,1,-1,…,n)1(-,…; 注:几个重要极限: (1)01lim=∞→n n (2)C C n =∞→lim (C 是常数) (3)无穷等比数列}{nq (1<q )的极限是0,即 :)1(0lim <=∞→q q nn2、当∞→x 时函数的极限(1) 画出函数xy 1=的图像,观察当自变量x 取正值且无限增大时,函数值的变化情况:函数值无限趋近于0,这时就说,当x 趋向于正无穷大时,的极限是0,记作:01lim =+∞→xx一般地,当自变量x 取正值且无限增大时,如果函数 )(x f y =的值无限趋近于一个常数A ,就说当x 数)(x f y =的极限是A ,记作:A x f x =+∞→)(lim也可以记作,当x +∞→时,A x f →)((2)从图中还可以看出,当自变量x 取负值而x 无限增大时,函数xy 1=的值无限趋近于0,这时就说,当x 趋向于负无穷大时,函数xy 1=的极限是0,记作:01lim =-∞→x x 一般地,当自变量x 取负值而x 无限增大时,如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ,就说当x 趋向于负无穷大时,函数)(x f y =的极限是A ,记作:A x f x =-∞→)(lim也可以记作,当x -∞→时,A x f →)((3)从上面的讨论可以知道,当自变量x 的绝对值无限增大时,函数x y 1=的值都无限趋近于0,这时就说,当x 趋向于无穷大时,函数xy 1=的极限是0,记作01lim =∞→x x一般地,当自变量x 的绝对值无限增大时,如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ,就说当x 趋向于无穷大时,函数)(x f y =的极限是A ,记作:A x f x =∞→)(lim也可以记作,当x ∞→时,A x f →)(特例:对于函数C x f =)((C 是常数),当自变量x 的绝对值无限增大时,函数C x f =)(的值保持不变,所以当x 趋向于无穷大时,函数C x f =)(的极限就是C ,即C C x =∞→lim例2:判断下列函数的极限:(1)x x )21(lim +∞→ (2)xx 10lim -∞→(3)21lim x x ∞→ (4)4lim ∞→x练习与作业1、判断下列数列是否有极限,若有,写出极限 (1)1,41,91, (21),… ;(2)7,7,7,…,7,…; (3) ,2)1(,,81,41,21nn---; (4)2,4,6,8,…,2n ,…; (5)0.1,0.01,0.001,…,n101,…; (6)0,,32,21--…,11-n ,…; (7),41,31,21-…,11)1(1+-+n n ,…;(8),51,59,54…,52n ,…;(9)-2, 0,-2,…,1)1(--n,…,2、判断下列函数的极限:(1)xx 4.0lim +∞→ (2)xx 2.1lim -∞→(3))1lim(-∞→x (4)41limxx ∞→ (5)x x )101(lim +∞→ (6)xx )45(lim -∞→(7)11lim2+∞→x x (8)5lim ∞→x二、函数的极限函数2x y =当x 无限趋近于2时的变化趋势 当x 从左侧趋近于2时 (-→2x )当x 从右侧趋近于2时 (+→2x )函数的极限有概念:当自变量x 无限趋近于0x (0x x ≠)时,如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数A ,就说当x 趋向0x 时,函数)(x f y =的极限是A ,记作A x f x x =→)(lim 0。

高中全套数学导数教案模板

高中全套数学导数教案模板

一、教学目标1. 知识与技能:(1)掌握导数的概念、性质及运算;(2)学会求导数的方法,包括基本初等函数的导数和复合函数的导数;(3)能够运用导数解决实际问题,如极值、最值、切线方程等。

2. 过程与方法:(1)通过观察、分析、归纳等方法,培养学生的逻辑思维能力;(2)通过实例讲解、练习巩固,提高学生的解题能力;(3)通过小组讨论、合作探究,培养学生的团队协作能力。

3. 情感态度与价值观:(1)激发学生对数学的兴趣,提高学生学习的积极性;(2)培养学生严谨、求实的科学态度;(3)培养学生面对困难勇于探索、敢于创新的精神。

二、教学重难点1. 教学重点:(1)导数的概念及性质;(2)求导数的方法,特别是复合函数的求导;(3)导数在实际问题中的应用。

2. 教学难点:(1)导数的概念理解;(2)复合函数求导的技巧;(3)导数在实际问题中的应用。

三、教学准备1. 教师准备:(1)多媒体课件;(2)教学辅助工具,如实物教具、模型等;(3)相关习题。

2. 学生准备:(1)预习导数的概念、性质及运算;(2)复习基本初等函数和复合函数;(3)准备好笔记本和笔。

四、教学过程(一)导入新课1. 复习函数、极限等相关知识;2. 提出问题:如何研究函数在某一点的变化趋势?3. 引入导数的概念,阐述导数的意义。

(二)新授课程1. 导数的概念及性质:(1)讲解导数的定义,通过实例让学生理解导数的含义;(2)介绍导数的性质,如可导性的判断、导数的运算等;(3)通过实例讲解导数的应用。

2. 求导数的方法:(1)基本初等函数的导数;(2)复合函数的求导,包括链式法则、乘积法则、商法则等;(3)通过实例讲解求导数的技巧。

(三)练习巩固1. 基本练习:让学生独立完成基本初等函数和复合函数的求导;2. 应用练习:让学生运用导数解决实际问题,如求极值、最值、切线方程等;3. 小组讨论:让学生分组讨论,互相交流求导的技巧和方法。

(四)课堂小结1. 回顾本节课所学内容,强调重点、难点;2. 布置课后作业,巩固所学知识。

高中数学人教版《导数》教案2023版

高中数学人教版《导数》教案2023版

高中数学人教版《导数》教案2023版一、教学目标通过本节课的学习,学生应能够达到以下目标:1. 了解导数的概念和基本性质;2. 理解导数的几何意义,并能够应用到实际问题中;3. 学会计算常见函数的导数;4. 掌握导数的基本计算法则;5. 运用导数求函数的极值点和函数图像的变化情况。

二、教学重点1. 导数的概念和性质;2. 导数的几何意义;3. 常见函数的导数计算;4. 导数的基本计算法则。

三、教学难点1. 导数的几何意义;2. 导数计算的基本法则。

四、教学过程1. 导入(5分钟)通过提问的方式,引导学生回顾上节课所学内容,激发学生对导数的兴趣。

2. 概念讲解(15分钟)首先,向学生介绍导数的定义,并举例说明,如常见函数的导数计算和几何意义。

然后,引导学生思考导数与函数图像的关系,并进行讲解。

3. 计算实例(25分钟)通过一些常见函数的导数计算实例,帮助学生掌握导数的计算方法和技巧。

同时,通过这些实例,让学生理解导数的几何意义。

4. 计算法则(15分钟)介绍导数的基本计算法则,如和差法则、常数法则和乘法法则,帮助学生简化导数的计算过程。

5. 应用实例(25分钟)通过一些实际问题,引导学生运用导数求函数的极值点和函数图像的变化情况。

让学生将导数与实际问题相结合,提高他们的应用能力。

6. 总结(10分钟)对本节课的内容进行总结,帮助学生回顾所学知识点,并对学生的学习进行反馈。

五、教学辅助材料1. PowerPoint课件,用于呈现导数的概念、计算实例和应用实例;2. 教学实例,用于进行实际问题的讲解和练习。

六、教学评估通过课堂练习和作业,对学生的掌握情况进行评估。

同时,观察学生在课堂上的参与度和表现,对学生的学习态度进行评估。

七、教学延伸为了帮助学生更好地掌握导数的知识,建议学生根据教材自主学习,完成相关的习题和练习。

并鼓励学生在日常生活中积极应用导数的概念和方法,以加深对导数的理解。

高中数学:导数教案 新人教A版选修1-1 教案

高中数学:导数教案 新人教A版选修1-1 教案

导数教案导数是近代数学中微积分的核心概念之一,是一种思想方法,这种思想方法是人类智慧的骄傲.一、教材分析导数的概念是高中新教材人教A版选修1-1第三章3的内容,是在学生学习了平均变化率基础上,阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系,从实例出发得到导数的概念,为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。

新教材在这个问题的处理上有很大变化,它与旧教材的区别是从平均变化率入手,用形象直观的“逼近”方法定义导数。

问题1气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率问题2高台跳水的平均速度--→瞬时速度根据上述教材结构与内容分析,立足学生的认知水平,制定如下教学目标和重、难点二、教学目标1、知识与技能:通过大量的实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数。

2、过程与方法:①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从非凡到一般的数学思想方法3、情感、态度与价值观:通过运动的观点体会导数的内涵,使学生把握导数的概念不再困难,从而激发学生学习数学的爱好.三、重点、难点重点:导数概念的形成,导数内涵的理解难点:在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率,深刻理解导数的内涵通过逼近的方法,引导学生观察来突破难点四、教学设想(具体如下表)教学环节教学内容师生互动设计思路创设情境引入新课幻灯片这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?首先回顾上节课留下的思考题:在学生相互讨论,交流结果的基础上,提出:大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”,但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。

为什么会产生这样的情况呢?引起学生的好奇,意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态,为了能更精确地刻画物体运动,我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。

新人教A版高中数学(选修2-2)1.2《导数的计算》word教案4篇

新人教A版高中数学(选修2-2)1.2《导数的计算》word教案4篇

§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标:1.熟练掌握基本初等函数的导数公式; 2.掌握导数的四则运算法则;3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

教学重点:基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点: 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程: 一.创设情景四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用二.新课讲授(一)基本初等函数的导数公式表)(2)推论:[]''()()cf x cf x =(常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数)三.典例分析例1.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价p (单位:元)与时间t (单位:年)有如下函数关系0()(15%)tp t p =+,其中0p 为0t =时的物价.假定某种商品的01p =,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?解:根据基本初等函数导数公式表,有'() 1.05ln1.05tp t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈(元/年)因此,在第10个年头,这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨. 例2.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数. (1)323y x x =-+ (2)y =xx --+1111;(3)y =x · sin x · ln x ;(4)y =xx 4; (5)y =xxln 1ln 1+-.(6)y =(2 x 2-5 x +1)e x(7) y =xx x xx x sin cos cos sin +-【点评】① 求导数是在定义域内实行的.② 求较复杂的函数积、商的导数,必须细心、耐心. 例3日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用(单位:元)为5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率:(1)90% (2)98% 解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.''''252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ⨯--⨯-==--20(100)5284(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =-(1)因为'25284(90)52.84(10090)c ==-,所以,纯净度为90%时,费用的瞬时变化率是52.84元/吨.(2)因为'25284(98)1321(10090)c ==-,所以,纯净度为98%时,费用的瞬时变化率是1321元/吨.函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知,''(98)25(90)c c =.它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率,大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍.这说明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费用增加的速度也越快.四.课堂练习 1.课本P 92练习2.已知曲线C :y =3 x 4-2 x 3-9 x 2+4,求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程;(y =-12 x +8)五.回顾总结(1)基本初等函数的导数公式表 (2)导数的运算法则六.布置作业§1.1.2 导数的概念学习目标1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义;2.会运用瞬时速度的定义,求物体在某一时刻的瞬时速度. 一、预习与反馈(预习教材P 4~ P 6,找出疑惑之处)探究任务一:瞬时速度问题1:在高台跳水运动中,运动员有不同时刻的速度是 新知:1. 瞬时速度定义:物体在某一时刻(某一位置)的速度,叫做瞬时速度.探究任务二:导数问题2: 瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的 导数的定义:函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆,我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或 即000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意:(1)。

高中数学导数全章教案

高中数学导数全章教案

高中数学导数全章教案第一节:导数定义
1.1 导数的概念
- 导数的定义
- 导数的几何意义
- 导数的物理意义
1.2 导数的计算
- 导数的基本概念
- 导数的四则运算法则
- 特殊函数的导数计算
1.3 导数的应用
- 切线方程
- 切线与曲线的位置关系
- 凹凸性与极值点
第二节:导数的性质
2.1 导数的代数性质
- 导数的恒等式
- 导数的积分法则
- 导数的链式法则
2.2 函数的单调性与极值
- 函数的单调性
- 函数的极值判定
- 函数的最值求解
2.3 函数的凹凸性
- 函数的凹凸性定义
- 凹凸性的判定
- 凹凸性与极值点的关系
第三节:高级导数
3.1 高阶导数
- 高阶导数的概念
- 高阶导数的计算方法
- 高阶导数的应用
3.2 隐函数与参数方程的导数
- 隐函数的导数计算
- 参数方程的导数计算
- 隐函数与参数方程的应用
3.3 微分与导数
- 微分的概念
- 微分的计算方法
- 微分与导数的关系
结语:在学习导数的过程中,要始终注重理论与实践的结合,只有通过不断的练习和实践,才能真正掌握导数的知识,提升数学能力。

希望同学们能够认真学习,勤奋练习,取得优
异的成绩。

高中数学导数的概念教案

高中数学导数的概念教案

高中数学导数的概念教案
一、教学目标:
1. 理解导数的定义及其物理意义;
2. 掌握导数计算的方法和规则;
3. 能够应用导数解决实际问题;
4. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。

二、教学重点和难点:
1. 理解导数的定义及其物理意义;
2. 导数计算的方法和规则;
3. 实际问题应用。

三、教学内容与安排:
第一课时:导数的基本概念
1. 定义:导数是函数在某一点处的瞬时变化率;
2. 物理意义:导数表示了函数的变化速率,可以用来解释速度、加速度等物理现象;
3. 讨论导数存在的必备条件。

第二课时:导数的计算方法
1. 导数的计算法则:和、差、积、商、复合函数的导数;
2. 高阶导数的计算方法;
3. 计算导数的基本技巧。

第三课时:导数的应用
1. 利用导数求函数的极值;
2. 利用导数解决优化问题;
3. 利用导数解决曲线的切线问题。

四、教学方法:
1. 讲授相结合,引导学生主动探究;
2. 注重示范和实例讲解,提高学生的问题解决能力;
3. 课堂小组讨论,促进学生之间的合作与交流。

五、教学评价:
1. 课堂练习与作业;
2. 实际问题解决能力的考核;
3. 学生的课堂表现和参与度。

六、教学反思:
1. 根据学生的理解情况调整教学内容和节奏;
2. 激发学生的学习兴趣,增强学生的主动学习意识;
3. 关注学生的学习过程,及时给予反馈和帮助。

高中数学导数全章详细教案

高中数学导数全章详细教案

高中数学导数全章详细教案一、导数的概念与意义1.1 导数的定义导数表示一个函数在某一点处的变化率,定义如下:$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$1.2 导数的物理意义导数可以表示函数在某一点的切线斜率,也可以表示函数在某一点的速度、加速度等物理量。

1.3 导数的几何意义导数表示函数曲线在某一点的切线斜率,也可以用来描述函数曲线的凹凸性等几何特性。

二、导数的计算方法2.1 导数的基本计算法则- 常数函数的导数为零- 幂函数的导数- 指数函数的导数- 对数函数的导数- 三角函数的导数- 反三角函数的导数2.2 导数的运算法则- 和、差、积函数的导数法则- 商函数的导数法则- 复合函数的导数法则2.3 隐函数求导对含有隐函数的方程两边同时求导,然后解出导数。

2.4 参数方程求导将参数方程表示的函数关系化简为常规函数后再求导。

三、导数的应用3.1 函数的单调性与极值通过导数的符号变化可以判断函数的单调性和极值。

3.2 函数的凹凸性与拐点通过导数的变化可以判断函数的凹凸性和拐点。

3.3 弧长与曲率通过导数可以求解函数曲线的弧长和曲率。

3.4 泰勒公式用导数的信息来近似表示函数的值,通过泰勒公式可以得到较好的近似结果。

四、导数的图像4.1 函数的导数图像通过函数的导数图像可以观察函数的单调性、凹凸性、极值等性质。

4.2 函数曲线的特性通过导数的信息可以画出函数曲线的切线、凹凸性、拐点等特性。

以上是高中数学导数章节的详细教案,希望对学习导数的同学有所帮助。

导数高中数学教案

导数高中数学教案

导数高中数学教案
教学内容:导数
一、教学目标:
1. 理解导数的定义和概念;
2. 掌握导数的计算方法;
3. 能够应用导数解决实际问题。

二、教学重点:
1. 导数的概念和定义;
2. 导数的计算方法。

三、教学难点:
1. 运用导数解决实际问题。

四、教学过程:
1. 导入:通过举例让学生了解导数是什么,为什么要学习导数,导数在现实生活中的应用。

2. 概念讲解:导数的定义,导数的几何意义,导数的计算方法。

3. 练习:让学生通过练习题掌握导数的计算方法。

4. 拓展:引导学生运用导数解决实际问题,如优化问题,曲线的切线方程等。

五、课堂练习:
1. 求函数f(x)=2x^2+3x的导数;
2. 求曲线y=x^3在点(1,1)处的切线方程;
3. 通过导数计算函数f(x)=x^2的极值。

六、课堂作业:
1. 完成课堂练习题;
2. 阅读相关教材,复习导数的知识点;
3. 提出问题,准备下节课的讨论。

七、教学反馈:
1. 整理学生的作业,及时给予反馈;
2. 总结本节课的重点和难点,为下节课的教学做准备。

以上为高中数学导数教案范本,希望对您有所帮助。

《导数的概念教案》

《导数的概念教案》

《导数的概念教案》word版一、教学目标:1. 理解导数的定义及物理意义;2. 掌握导数的计算方法及应用;3. 培养学生的逻辑思维能力和创新能力。

二、教学内容:1. 导数的定义:函数在某一点的导数表示函数在该点的瞬时变化率;2. 导数的计算:基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的导数;3. 导数的应用:求函数的极值、单调性、曲线的凹凸性等。

三、教学重点与难点:1. 重点:导数的定义、计算方法及应用;2. 难点:导数的计算规则、复合函数的导数、导数在实际问题中的应用。

四、教学方法:1. 采用讲授法,系统地讲解导数的定义、计算方法和应用;2. 利用例题解析,让学生掌握导数的计算技巧;3. 开展小组讨论,引导学生将导数应用于实际问题。

五、教学过程:1. 导入:回顾函数的概念,引导学生思考函数在某一点的瞬时变化率;2. 讲解导数的定义,通过图形和实例使学生理解导数的物理意义;3. 讲解导数的计算方法,包括基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的导数;4. 利用例题解析,让学生掌握导数的计算技巧;5. 开展小组讨论,引导学生将导数应用于实际问题;6. 总结本节课的主要内容,布置课后作业。

教案内容仅供参考,具体实施时可根据学生的实际情况进行调整。

六、教学评估:1. 课后作业:布置有关导数计算和应用的习题,巩固所学知识;2. 课堂练习:及时反馈学生的学习情况,针对性地进行讲解和辅导;3. 小组讨论:评估学生在讨论中的表现,了解学生的理解程度和团队合作能力。

七、教学拓展:1. 导数在实际应用中的例子:如优化问题、物理运动方程等;2. 导数与其他数学概念的联系:如微分方程、泰勒公式等;3. 导数在高等数学中的作用:如多元函数的导数、隐函数的导数等。

八、教学资源:1. 教材:选用合适的教材,如《高等数学》、《数学分析》等;2. 课件:制作精美的课件,辅助讲解和展示;3. 习题库:整理一份全面的习题库,便于学生课后练习。

人教版高中数学导数教案

人教版高中数学导数教案

人教版高中数学导数教案主题:导数
教学目标:
1. 了解导数的定义和性质;
2.掌握一元函数的导数计算方法;
3.能够应用导数解决实际问题。

教学重点:
1.导数的定义和性质;
2.一元函数的导数计算方法。

教学难点:
1.导数的基本概念理解;
2.导数计算方法的灵活运用。

教学过程:
一、导数的定义和性质
1. 引入:导数的概念及意义
2. 定义:导数的定义和符号表示
3. 性质:导数存在的条件和导数的性质
二、一元函数的导数计算方法
1. 基本导数公式
2. 导数的四则运算法则
3. 高阶导数的计算
三、应用导数解决实际问题
1. 最值问题
2. 切线与法线问题
3. 函数图像的优化问题
四、综合练习
1. 理论练习
2. 计算练习
3. 应用题练习
五、作业布置
1. 完成课堂练习
2. 完成作业练习
3. 思考课外拓展问题
六、教学反思与评价
1. 教学反思:教学方法是否得当,学生学习情况如何
2. 教学评价:学生的学习效果评价,课程目标的完成情况
【教学资料】
1. 课件资料
2. 教学习题
3. 作业
【教学反思】
本节课主要介绍了导数的基本概念和计算方法,希望通过本节课的教学,学生能够掌握导
数的基本知识,并能够灵活运用导数解决实际问题。

在教学过程中,老师需要注重启发式
教学,激发学生的学习兴趣,增强学生的解决问题的能力。

同时,老师需要及时总结反思,调整教学方法,以提高教学效果。

高中数学新教材人教A版《导数的概念》教案

高中数学新教材人教A版《导数的概念》教案

中学数学新教材人教A版《导数的概念》教案中学数学新教材人教A版《导数的概念》教案一、教材分析导数的概念是中学新教材人教A版选修2-2第一章1.1.2的内容,是在学生学习了物理的平均速度和瞬时速度的背景下,以及前节课所学的平均改变率基础上,阐述了平均改变率和瞬时改变率的关系,从实例动身得到导数的概念,为以后更好地探讨导数的几何意义和导数的应用奠定基础。

新教材在这个问题的处理上有很大改变,它与旧教材的区分是从平均改变率入手,用形象直观的“靠近”方法定义导数。

问题1气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率问题2高台跳水的平均速度--→瞬时速度依据上述教材结构与内容分析,立足学生的认知水平,制定如下教学目标和重、难点二、教学目标1、学问与技能:通过大量的实例的分析,经验由平均改变率过渡到瞬时改变率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时改变率就是导数。

2、过程与方法:① 通过动手计算培育学生视察、分析、比较和归纳实力② 通过问题的探究体会靠近、类比、以已知探求未知、从特别到一般的数学思想方法3、情感、看法与价值观:通过运动的观点体会导数的内涵,使学生驾驭导数的概念不再困难,从而激发学生学习数学的爱好.三、重点、难点重点:导数概念的形成,导数内涵的理解难点:在平均改变率的基础上去探求瞬时改变率,深刻理解导数的内涵通过靠近的方法,引导学生视察来突破难点四、教学设想五、学法与教法学法与教学用具学法:(1)合作学习:引导学生分组探讨,合作沟通,共同探讨问题。

(如问题2的处理)(2)自主学习:引导学生通过亲身经验,动口、动脑、动手参与数学活动。

(如问题3的处理)(3)探究学习:引导学生发挥主观能动性,主动探究新知。

(如例题的处理)教学用具:电脑、多媒体、计算器教法:整堂课围绕“一切为了学生进展”的教学原则,突出①动——师生互动、共同探究。

②导——老师指导、按部就班(1) 新课引入——提出问题,激发学生的求知欲(2) 理解导数的内涵——数形结合,动手计算,组织学生自主探究,获得导数的定义(3) 例题处理——始终从问题动身,层层设疑,让他们在探究中自得学问(4) 变式练习——深化对导数内涵的理解,巩固新知六、评价分析这堂课由平均速度到瞬时速度再到导数,展示了一个完整的数学探究过程。

高中数学人教版导数教案

高中数学人教版导数教案

高中数学人教版导数教案教学目标:
1. 了解导数的概念和意义;
2. 能够计算常数函数、幂函数和指数函数的导数;
3. 理解导数在几何上的意义。

教学重点:
1. 导数的定义和计算方法;
2. 常数函数、幂函数和指数函数的导数计算;
3. 导数在几何中的应用。

教学难点:
1. 正确理解导数的概念和计算方法;
2. 理解导数在几何中的应用;
3. 解决导数计算的实际问题。

教学过程:
一、导入导数的概念(10分钟)
1. 引导学生思考:什么是导数?导数有什么作用?
2. 通过简单的例子引导学生理解导数的概念。

二、常数函数的导数(15分钟)
1. 讲解常数函数的导数计算方法;
2. 给出例题让学生练习计算。

三、幂函数的导数(15分钟)
1. 讲解幂函数的导数计算方法;
2. 给出例题让学生练习计算。

四、指数函数的导数(15分钟)
1. 讲解指数函数的导数计算方法;
2. 给出例题让学生练习计算。

五、导数在几何中的应用(15分钟)
1. 介绍导数在几何中的应用;
2. 通过求切线和法线斜率的例题让学生理解导数在几何中的意义。

六、课堂练习(10分钟)
1. 综合练习导数的计算方法和应用。

七、作业布置(5分钟)
1. 布置相关习题,巩固所学内容。

教学反思:
本节课主要介绍了导数的概念和计算方法,通过讲解常数函数、幂函数和指数函数的导数计算,让学生掌握了导数的基本应用。

同时,通过导数在几何中的应用,使学生更好地理解导数的意义。

需要继续引导学生多做练习,加强对导数概念的理解和运用能力。

高中数学导数专题篇教案

高中数学导数专题篇教案

高中数学导数专题篇教案主题:导数一、教学目标:1. 熟练掌握导数的定义和求解方法;2. 能够应用导数解决实际问题;3. 深入理解导数的几何意义。

二、教学内容:1. 导数的定义和性质;2. 求导法则及常见函数的导数;3. 导数的几何意义及应用。

三、教学重难点:1. 导数的定义和性质的理解和运用;2. 求导法则的掌握;3. 导数的几何意义和应用的理解。

四、教学过程:1. 导数的定义和性质的介绍(15分钟)- 导数的定义:导数表示函数在某一点处的变化率,通常用极限的方式表示;- 导数的性质:可导意味着函数在该点处是光滑的,导数存在的条件是函数在该点处一致连续。

2. 求导法则及常见函数的导数(20分钟)- 求导法则:包括和差法、积法、商法和复合函数求导法则;- 常见函数的导数:常见函数的导数需牢记,如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

3. 导数的几何意义及应用(25分钟)- 导数的几何意义:导数表示函数图像在某一点处的切线的斜率;- 导数的应用:可以解决函数的极值、拐点及图像的凹凸性等问题。

4. 练习与总结(15分钟)- 练习:通过实例题让学生熟练掌握导数的求解方法;- 总结:学生归纳导数的定义、性质、求导法则及应用,并总结出解题方法。

五、课堂作业:1. 完成课堂练习题;2. 作业:练习册上的相关题目。

六、教学反思:在教学导数的过程中,要引导学生深入理解导数的定义、性质、求导法则和应用,培养学生的解题能力和实际运用能力。

同时,要结合实际问题进行导数的应用,提高学生的学习兴趣和掌握技能。

高中数学新教材人教A版《导数的概念》教案

高中数学新教材人教A版《导数的概念》教案

高中数学新教材人教A版《导数的概念》教案•相关推荐高中数学新教材人教A版《导数的概念》教案一、教材分析导数的概念是高中新教材人教A版选修2-2第一章1.1.2的内容,是在学生学习了物理的平均速度和瞬时速度的背景下,以及前节课所学的平均变化率基础上,阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系,从实例出发得到导数的概念,为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。

新教材在这个问题的处理上有很大变化,它与旧教材的区别是从平均变化率入手,用形象直观的“逼近”方法定义导数。

问题1气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率问题2高台跳水的平均速度--→瞬时速度根据上述教材结构与内容分析,立足学生的认知水平,制定如下教学目标和重、难点二、教学目标1、知识与技能:通过大量的实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数。

2、过程与方法:① 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力② 通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法3、情感、态度与价值观:通过运动的观点体会导数的内涵,使学生掌握导数的.概念不再困难,从而激发学生学习数学的兴趣.三、重点、难点重点:导数概念的形成,导数内涵的理解难点:在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率,深刻理解导数的内涵通过逼近的方法,引导学生观察来突破难点四、教学设想五、学法与教法学法与教学用具学法:(1)合作学习:引导学生分组讨论,合作交流,共同探讨问题。

(如问题2的处理)(2)自主学习:引导学生通过亲身经历,动口、动脑、动手参与数学活动。

(如问题3的处理)(3)探究学习:引导学生发挥主观能动性,主动探索新知。

(如例题的处理)教学用具:电脑、多媒体、计算器教法:整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则,突出①动——师生互动、共同探索。

②导——教师指导、循序渐进(1) 新课引入——提出问题,激发学生的求知欲(2) 理解导数的内涵——数形结合,动手计算,组织学生自主探索,获得导数的定义(3) 例题处理——始终从问题出发,层层设疑,让他们在探索中自得知识(4) 变式练习——深化对导数内涵的理解,巩固新知六、评价分析这堂课由平均速度到瞬时速度再到导数,展示了一个完整的数学探究过程。

高中数学下册导数教案

高中数学下册导数教案

高中数学下册导数教案教学内容:导数教学目标:1. 了解导数的定义和性质;2. 能够求解简单函数的导数;3. 能够运用导数解决实际问题。

教学重点:1. 导数的定义和性质;2. 求解函数的导数;3. 运用导数解决实际问题。

教学难点:1. 求解复合函数的导数;2. 运用导数解决实际问题。

教学准备:1. 教师准备:教材、黑板、粉笔、投影仪等;2. 学生准备:笔记本、笔、教材等。

教学步骤:一、导入(5分钟)1. 复习上节课内容,导数的定义及求解方法;2. 引入本节课主题,导数的性质。

二、讲解导数的性质(15分钟)1. 导数的加法性质、乘法性质和常数倍法则;2. 导数的链式法则和微分的性质;3. 解释导数的物理意义。

三、练习导数的求解(20分钟)1. 解析法求解简单函数的导数;2. 几何法求解导数;3. 运用导数的性质求解函数的导数。

四、导数在实际问题中的应用(15分钟)1. 运用导数解决最值问题;2. 运用导数解决曲线的切线问题。

五、课堂练习与总结(10分钟)1. 学生进行导数求解练习;2. 教师进行梳理与总结,强调本节课重要知识点。

六、作业布置(5分钟)1. 布置相关导数求解习题;2. 提醒学生复习导数的性质和应用。

教学反思:本节课以导数为主题,通过讲解导数的性质和应用,激发学生对导数的兴趣,提高他们对导数的理解和运用能力。

同时,引导学生积极参与课堂练习和思考,提高他们的学习效率和学习兴趣。

在教学中注重学生的实际操作和实践,从而帮助他们更好地掌握导数的知识。

人教版高中数学《导数》全部教案课程

人教版高中数学《导数》全部教案课程

导数的背景(5月4 日)教学目标理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义教学重点瞬时速度、切线的斜率、边际成本教学难点极限思想教学过程一、导入新课1. 瞬时速度问题1: 一个小球自由下落,它在下落3秒时的速度是多少?析:大家知道,自由落体的运动公式是s -gt2(其中g是重力加速度).2当时间增量t很小时,从3秒到(3+ t)秒这段时间内,小球下落的快慢变化不大•因此,可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.从3秒到(3+ t)秒这段时间内位移的增量:从而,v —29.4 4.9 t .t从上式可以看出,t越小,」越接近29.4米/秒;当t无限趋近于0时,亠无限趋近于29.4t t米/秒.此时我们说,当t趋向于0时,亠的极限是29.4.t当t趋向于0时,平均速度—的极限就是小球下降3秒时的速度,也叫做瞬时速度.t一般地,设物体的运动规律是s= s (t),则物体在t到(t + t)这段时间内的平均速度为—述一.如果t无限趋近于0时,」无限趋近于某个常数a,就说当t趋向于0时,t t t—的极限为a,这时a就是物体在时刻t的瞬时速度.t2. 切线的斜率问题2: P (1,1)是曲线y x2上的一点,Q是曲线上点P附近的一个点,当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.析:设点Q的横坐标为1+ x,则点Q的纵坐标为(1+ x )2,点Q对于点P的纵坐标的增量(即函数的增量)y (1 x)2 1 2x( x)2,2 X ( x)2所以,割线PQ的斜率k pQ由此可知,当点Q沿曲线逐渐向点P接近时,x变得越来越小,k pQ越来越接近2;当点Q 无限接近于点P时,即x无限趋近于0时,k pQ无限趋近于2.这表明,割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线.我们把这条直线叫做曲线在点P处的切线.由点斜式,这条切线的方程为:y 2x1.一般地,已知函数y f(x)的图象是曲线C,P( x0, y0) ,Q( x0 x, y0 y )是曲线C上的两点,当点Q沿曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P转动.当点Q沿着曲线无限接近点P,即卩x趋向于0时,如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT,那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.此时,割线PQ 的斜率k pQ 」无限趋近于切线PT的斜率k,也就是说,当x趋x向于0时,割线PQ的斜率k pQ 丄的极限为k.x3. 边际成本问题3:设成本为C,产量为q,成本与产量的函数关系式为C(q) 3q2 10,我们来研究当q= 50 时,产量变化q对成本的影响.在本问题中,成本的增量为:C C(50 q) C(50) 3(50 q)2 10 (3 502 10) 300 q 3( q)2.C C产量变化q对成本的影响可用:—300 3 q来刻划,q越小,一C越接近300;当q无限趋q q近于0时,一C无限趋近于300,我们就说当q趋向于0时,一C的极限是300.q q我们把一C的极限300叫做当q = 50时C(q) 3q2 10的边际成本.q一般地,设C是成本,q是产量,成本与产量的函数关系式为C二C (q),当产量为q。

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导数的背景(5月4日)教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度问题1:一个小球自由下落,它在下落3秒时的速度是多少? 析:大家知道,自由落体的运动公式是221gt s =(其中g 是重力加速度). 当时间增量t ∆很小时,从3秒到(3+t ∆)秒这段时间内,小球下落的快慢变化不大. 因此,可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.从3秒到(3+t ∆)秒这段时间内位移的增量:从而,t tsv ∆+=∆∆=--9.44.29. 从上式可以看出,t ∆越小,t s ∆∆越接近29.4米/秒;当t ∆无限趋近于0时,ts∆∆无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说,当t ∆趋向于0时,ts∆∆的极限是29.4.当t ∆趋向于0时,平均速度ts∆∆的极限就是小球下降3秒时的速度,也叫做瞬时速度.一般地,设物体的运动规律是s =s (t ),则物体在t 到(t +t ∆)这段时间内的平均速度为t t s t t s t s ∆-∆+=∆∆)()(. 如果t ∆无限趋近于0时,t s∆∆无限趋近于某个常数a ,就说当t ∆趋向于0时,ts∆∆的极限为a ,这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率问题2:P (1,1)是曲线2x y =上的一点,Q 是曲线上点P 附近的一个点,当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.析:设点Q 的横坐标为1+x ∆,则点Q 的纵坐标为(1+x ∆)2,点Q 对于点P 的纵坐标的增量(即函数的增量)22)(21)1(x x x y ∆+∆=-∆+=∆, 所以,割线PQ 的斜率x xx x x y k PQ∆+=∆∆+∆=∆∆=2)(22.由此可知,当点Q 沿曲线逐渐向点P 接近时,x ∆变得越来越小,PQ k 越来越接近2;当点Q 无限接近于点P 时,即x ∆无限趋近于0时,PQ k 无限趋近于2. 这表明,割线PQ 无限趋近于过点P 且斜率为2的直线. 我们把这条直线叫做曲线在点P 处的切线. 由点斜式,这条切线的方程为:12-=x y .一般地,已知函数)(x f y =的图象是曲线C ,P (00,y x ),Q (y y x x ∆+∆+00,)是曲线C 上的两点,当点Q 沿曲线逐渐向点P 接近时,割线PQ 绕着点P 转动. 当点Q 沿着曲线无限接近点P ,即x ∆趋向于0时,如果割线PQ 无限趋近于一个极限位置PT ,那么直线PT 叫做曲线在点P 处的切线. 此时,割线PQ 的斜率xyk PQ ∆∆=无限趋近于切线PT 的斜率k ,也就是说,当x ∆趋向于0时,割线PQ 的斜率xyk PQ ∆∆=的极限为k. 3. 边际成本问题3:设成本为C ,产量为q ,成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ,我们来研究当q =50时,产量变化q ∆对成本的影响.在本问题中,成本的增量为:222)(3300)10503(10)50(3)50()50(q q q C q C C ∆+∆=+⨯-+∆+=-∆+=∆.产量变化q ∆对成本的影响可用:q q C ∆+=∆∆3300来刻划,q ∆越小,qC∆∆越接近300;当q ∆无限趋近于0时,q C ∆∆无限趋近于300,我们就说当q ∆趋向于0时,q C∆∆的极限是300. 我们把qC∆∆的极限300叫做当q =50时103)(2+=q q C 的边际成本. 一般地,设C 是成本,q 是产量,成本与产量的函数关系式为C =C (q ),当产量为0q 时,产量变化q ∆对成本的影响可用增量比qq C q q C q C ∆-∆+=∆∆)()(00刻划. 如果q ∆无限趋近于0时,qC∆∆无限趋近于常数A ,经济学上称A 为边际成本. 它表明当产量为0q 时,增加单位产量需付出成本A (这是实际付出成本的一个近似值). 二、小结瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的极限;切线是割线的极限位置,切线的斜率是割线斜率xy∆∆当x ∆趋近于0时的极限;边际成本是平均成本q C ∆∆当q ∆趋近于0时的极限.三、练习与作业:1. 某物体的运动方程为25)(t t s =(位移单位:m ,时间单位:s )求它在t =2s 时的速度.2. 判断曲线22x y =在点P (1,2)处是否有切线,如果有,求出切线的方程.3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522+=q C ,求当产量q =80时的边际成本.4. 一球沿某一斜面自由滚下,测得滚下的垂直距离h (单位:m )与时间t (单位:s )之间的函数关系为2t h =,求t =4s 时此球在垂直方向的瞬时速度.5. 判断曲线221x y =在(1,21)处是否有切线,如果有,求出切线的方程. 6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742+=q C ,求当产量q =30时的边际成本.导数的概念(5月4日)教学目标与要求:理解导数的概念并会运用概念求导数。

教学重点:导数的概念以及求导数 教学难点:导数的概念 教学过程: 一、导入新课:上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。

虽然它们的实际意义不同,但从函数角度来看,却是相同的,都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。

由此我们引出下面导数的概念。

二、新授课:1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义,当自变量在0x x =处有增量x ∆时,则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆,如果0→∆x 时,y ∆与x ∆的比x y ∆∆(也叫函数的平均变化率)有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数,记作0/x x y =,即注:1.函数应在点0x 的附近有定义,否则导数不存在。

2.在定义导数的极限式中,x ∆趋近于0可正、可负、但不为0,而y ∆可能为0。

3.xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率,它的几何意义是过曲线)(x f y =上点()(,00x f x )及点)(,(00x x f x x ∆+∆+)的割线斜率。

4.导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率,它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度,它的几何意义是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率。

因此,如果)(x f y =在点0x 可导,则曲线)(x f y =在点()(,00x f x )处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-。

5.导数是一个局部概念,它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关,与x ∆无关。

6.在定义式中,设x x x ∆+=0,则0x x x -=∆,当x ∆趋近于0时,x 趋近于0x ,因此,导数的定义式可写成0000/)()(lim )()(lim)(0x x x f x f x x f x x f x f x x ox --=∆-∆+=→→∆。

7.若极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000不存在,则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。

8.若)(x f 在0x 可导,则曲线)(x f y =在点()(,00x f x )有切线存在。

反之不然,若曲线)(x f y =在点()(,00x f x )有切线,函数)(x f y =在0x 不一定可导,并且,若函数)(x f y =在0x 不可导,曲线在点()(,00x f x )也可能有切线。

一般地,a xb a x =∆+→∆)(lim 0,其中b a ,为常数。

特别地,a a x =→∆0lim。

如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数,此时对于每一个),(b a x ∈,都对应着一个确定的导数)(/x f ,从而构成了一个新的函数)(/x f 。

称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数,简称导数,也可记作/y ,即)(/x f =/y =xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim00 函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数)(/x f 在0x 处的函数值,即/x x y ==)(0/x f 。

所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作)(0/x f 。

注:1.如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数,则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导。

2.导数与导函数都称为导数,这要加以区分:求一个函数的导数,就是求导函数;求一个函数在给定点的导数,就是求导函数值。

它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/x f 在点0x 的函数值。

3.求导函数时,只需将求导数式中的0x 换成x 就可,即)(/x f =xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim4.由导数的定义可知,求函数)(x f y =的导数的一般方法是: (1).求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆。

(2).求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(。

(3).取极限,得导数/y =xy x ∆∆→∆0lim 。

例1.求122-=x y 在x =-3处的导数。

例2.已知函数x x y +=2(1)求/y 。

(2)求函数x x y +=2在x =2处的导数。

小结:理解导数的概念并会运用概念求导数。

练习与作业: 1.求下列函数的导数:(1)43-=x y ; (2)x y 21-= (3)x x y 1232-= (3)35x y -= 2.求函数12+=x y 在-1,0,1处导数。

3.求下列函数在指定点处的导数:(1)2,02==x x y ; (2)0,3102==x x y ; (3)1,)2(02=-=x x y (4)1,02-=-=x x x y . 4.求下列函数的导数: (1);14+=x y (2)210x y -=;(3);323x x y -= (4)722+=x y 。

5.求函数x x y 22-=在-2,0,2处的导数。

导数的概念习题课(5月6日)教学目标 理解导数的有关概念,掌握导数的运算法则 教学重点 导数的概念及求导法则 教学难点 导数的概念 一、课前预习1.)(x f 在点0x 处的导数是函数值的改变量___________与相应自变量的改变量__的商当______________2.若)(x f 在开区间(a ,b )内每一点都有导数)(/x f ,称)(/x f 为函数)(x f 的导函数;求一个函数的导数,就是求_____;求一个函数在给定点的导数,就是求_____.函数)(x f 在点0x 处的导数就是_____________.3.常数函数和幂函数的求导公式: )_____()(___)(*//N n x c n ∈== 4.导数运算法则:若________________,则: 二、举例例1.设函数1)(2-=x x f ,求:(1)当自变量x 由1变到1.1时,自变量的增量x ∆; (2)当自变量x 由1变到1.1时,函数的增量y ∆;(3)当自变量x 由1变到1.1时,函数的平均变化率; (4)函数在x =1处的变化率.例2.生产某种产品q 个单位时成本函数为205.0200)(q q C +=,求 (1)生产90个单位该产品时的平均成本;(2)生产90个到100个单位该产品时,成本的平均变化率; (3)生产90个与100个单位该产品时的边际成本各是多少. 例3.已知函数2)(x x f =,由定义求)(/x f ,并求)4(/f . 例4.已知函数2)()(b ax x f +=(a,b 为常数),求)(/x f . 例5.曲线223x y =上哪一点的切线与直线13-=x y 平行? 三、巩固练习1.若函数3)(x x f =,则/)]2([-f =______ 2.如果函数)(x f y =在点0x 处的导数分别为:(1)0)(0/=x f (2)1)(0/=x f (3)1)(0/-=x f (4)2)(0/=x f , 试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角. 3.已知函数22)(x x x f -=,求)0(/f ,)41(/f ,.4.求下列函数的导数 (1)23212++=x x y (2)15314123-+-=x x x y (3))4(23-=x x y (4))23()12(2+-=x x y 四、作业 1.若)(limx f x →存在,则/0)](lim [x f x →=_____2.若2)(x x f =,则1)1()(lim 1--→x f x f x =______________3.求下列函数的导数:(1)14020224+--=x x x y (2)432615423x x x x y --++= (3))3)(12(23x x x y ++= (4)32)1()2(-+=x x y4.某工厂每日产品的总成本C 是日产量x 的函数,即2571000)(x x x C ++=,试求: (1)当日产量为100时的平均成本;(2)当日产量由100增加到125时,增加部分的平均成本; (3)当日产量为100时的边际成本.5.设电量与时间的函数关系为1322++=t t Q ,求t =3s 时的电流强度.6.设质点的运动方程是1232++=t t s ,计算从t =2到t =2+t ∆之间的平均速度,并计算当t ∆=0.1时的平均速度,再计算t =2时的瞬时速度. 7.若曲线1232+=x y 的切线垂直于直线0362=++y x ,试求这条切线的方程. 8.在抛物线22x x y -+=上,哪一点的切线处于下述位置? (1)与x 轴平行(2)平行于第一象限角的平分线. (3)与x 轴相交成45°角9.已知曲线22x x y -=上有两点A (2,0),B (1,1),求:(1)割线AB 的斜率AB k ; (2)过点A 的切线的斜率AT k ; (3)点A 处的切线的方程.10.在抛物线2x y =上依次取M (1,1),N (3,9)两点,作过这两点的割线,问:抛物线上哪一点处的切线平行于这条割线?并求这条切线的方程.11.已知一气球的半径以10cm/s 的速度增长,求半径为10cm 时,该气球的体积与表面积的增长速度.12.一长方形两边长分别用x 与y 表示,如果x 以0.01m/s 的速度减小,y 边以0.02m/s 的速度增加,求在x =20m ,y =15m 时,长方形面积的变化率.13.(选做)证明:过曲线2a xy =上的任何一点(00,y x )(00>x )的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数.(提示:2/1)1(xx -=) 导数的应用习题课(5月8日)教学目标 掌握导数的几何意义,会求多项式函数的单调区间、极值、最值 教学重点 多项式函数的单调区间、极值、最值的求法 教学难点 多项式函数极值点的求法、多项式函数最值的应用 一、课前预习1.设函数)(x f y =在某个区间内有导数,如果在这个区间内____,则)(x f y =是这个区间内的_____;如果在这个区间内___,则)(x f y =是这个区间内的_____.2.设函数)(x f y =在0x x =及其附近有定义,如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的值都大(小),则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个______.3.如果)(x f y =在某个区间内有导数,则可以这样求它的极值:(1)求导数_____; (2)求方程________的根(可能极值点);(3)如果在根的左侧附近为_,右侧附近为_,则函数)(x f y =在这个根处取得极_值;如果在根的左侧附近为_,右侧附近为_,则函数)(x f y =在这个根处取得极_值.4.设)(x f y =是定义在[a ,b]上的函数,)(x f y =在(a ,b)内有导数,可以这样求最值:(1)求出函数在(a ,b)内的可能极值点(即方程0)(/=x f 在(a ,b)内的根n x x x ,,,21Λ);(2)比较函数值)(a f ,)(b f 与)(,),(),(21n x f x f x f Λ,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 二、举例例1.确定函数31292)(23-+-=x x x x f 的单调区间. 例2.设一质点的运动速度是315743)(234++-=t t t t v ,问:从t =0到t =10这段时间内,运动速度的改变情况怎样?例3.求函数4931)(3+-=x x x f 的极值. 例4.设函数x bx ax x f ++=232131)(在1x =1与2x =2处取得极值,试确定a 和b 的值,并问此时函数在1x 与2x 处是取极大值还是极小值?例5.求函数593)(3+-=x x x f 在[-2,2]上的最大值和最小值.例6.矩形横梁的强度与它断面的高的平方与宽的积成正比例,要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁,断面的宽和高应为多少?例7.求内接于抛物线21x y -=与x 轴所围图形内的最大矩形的面积.例8.某种产品的总成本C (单位:万元)是产量x (单位:万件)的函数:3202.004.06100)(x x x x C +-+=,试问:当生产水平为x =10万件时,从降低单位成本角度看,继续提高产量是否得当? 三、巩固练习 1.若函数)(x f 在区间[a ,b]内恒有0)(/<x f ,则此函数在[a ,b]上的最小值是____2.曲线1213141234+--+=x x x x y的极值点是______________ 3.设函数a ax ax ax x f ---=23)()(在x =1处取得极大值-2,则a =____. 4.求下列函数的单调区间:(1)1123223+-+=x x x y (2))2()1(2++=x x y 5.求下列函数的极值:(1)642+-=x x y , (2)59323+--=x x x y ,[-4,4] 6.求下列函数的最值:(1)642+-=x x y ,[-3,10] (2)233x x y -=,[-1,4]7.设某企业每季度生产某个产品q 个单位时,总成本函数为cq bq aq q C +-=23)(,(其中a >0,b >0,c >0),求:(1)使平均成本最小的产量(2)最小平均成本及相应的边际成本.8.一个企业生产某种产品,每批生产q 单位时的总成本为q q C +=3)((单位:百元),可得的总收入为26)(qq q R -=(单位:百元),问:每批生产该产品多少单位时,能使利润最大?最大利润是多少?9.在曲线)0,0(12≥≥-=y x x y 上找一点(00,y x ),过此点作一切线,与x 轴、y 轴构成一个三角形,问:0x 为何值时,此三角形面积最小?10.已知生产某种彩色电视机的总成本函数为73108102.2)(⨯+⨯=q q C ,通过市场调查,可以预计这种彩电的年需求量为p q 50101.35-⨯=,其中p (单位:元)是彩电售价,q (单位:台)是需求量. 试求使利润最大的销售量和销售价格.多项式函数的导数(5月6日)教学目的:会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数 教学重点:导数运算法则的应用 教学难点:多项式函数的求导 一、复习引入1、已知函数2)(x x f =,由定义求)4()(//f x f ,并求 2、根据导数的定义求下列函数的导数:(1)常数函数C y = (2)函数)(*N n x y n∈= 二、新课讲授1、两个常用函数的导数:2、导数的运算法则:如果函数)()(x g x f 、有导数,那么也就是说,两个函数的和或差的导数,等于这两个函数的导数的和或差;常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数.例1:求下列函数的导数:(1)37x y = (2)43x y -= (3)3534x x y += (4))2)(1(2-+=x x y (5)b a b ax x f 、()()(2+=为常数) 例2:已知曲线331x y =上一点)382(,P ,求: (1)过点P 的切线的斜率; (2)过点P 的切线方程.三、课堂小结:多项式函数求导法则的应用 四、课堂练习:1、求下列函数的导数:(1)28x y = (2)12-=x y (3)x x y +=22 (4)x x y 433-= (5))23)(12(+-=x x y (6))4(32-=x x y 2、已知曲线24x x y -=上有两点A (4,0),B (2,4),求:(1)割线AB 的斜率AB k ;(2)过点A 处的切线的斜率AT k ;(3)点A 处的切线的方程. 3、求曲线2432+-=x x y 在点M (2,6)处的切线方程. 五、课堂作业1、求下列函数的导数:(1)1452+-=x x y (2)7352++-=x x y (3)101372-+=x x y (4)333x x y -+= (5)453223-+-=x x x y (6))3)(2()(x x x f -+=(7)1040233)(34-+-=x x x x f (8)x x x f +-=2)2()( (9))3)(12()(23x x x x f +-= (10)x x y 4)12(32-+=2、求曲线32x x y -=在1-=x 处的切线的斜率。

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