【八上期末.数学】上海市长宁区2015-2016学年八年级(上)期末数学试卷(解析版).pdf

2015-2016学年上海市长宁区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．用配方法解方程x2﹣2x﹣99=0时，原方程变形为（）A．（x+1）2=100B．（x﹣1）2=100C．（x+1）2=98D．（x﹣1）2=982．下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．3．已知xy＞0，化简二次根式的正确结果是（）A．B．C．D．4．据测试，拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小明洗手后没有把水龙头拧紧，水龙头以测试速度滴水，当小明离开x分钟后，水龙头滴水y毫升水，则y与x之间的函数关系式是（）A．y=0.05x B．y=5x C．y=100x D．y=0.05x+1005．下列命题中，假命题是（）A．对顶角相等B．等角的补角相等C．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行D．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等6．一个直角三角形的斜边长比一条直角边长多2cm，另一条直角边长6cm，那么这个直角三角形的斜边长为（）A．4cm B．8cm C．10cm D．12cm二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．二次根式中，实数x的取值范围是．8．化简：=．9．与同类二次根式（填“是”或“不是”）．10．方程的解是．11．当m=时，关于x的方程x2﹣6x﹣m=0有两个相等的实数根．12．在实数范围内分解因式：9y2+6y﹣1=．13．某品牌服装原售价每件580元，连续两次降价x%后，现售价为每件371元，列出关于x的方程为．14．函数y=的定义域是．15．已知A、B是反比例函数图象上关于原点O对称的两点，过点A且平行y轴的直线与过点B 且平行x轴的直线交于点C，则△ABC的面积为．16．如果式子表示点P（a，b）和点Q的距离，那么Q点坐标是．17．已知在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，边AB的垂直平分线交BC于点E，则=．18．如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD对折，使得点C落在点F处，DF交AB于E．如果EF=3，DC=9，那么∠EBF=°．三、作图或简答题（本大题共4题，每题5分，满分20分）19．求作一点P，使其到A、B两点的距离相等，且到∠MON两边的距离相等．（只要保留作图痕迹，说明所求作的点，不必写出作图过程）20．已知x=3，y=2，求的值．21．计算：（5﹣6）（﹣）22．解方程：3x2﹣6x﹣7=0．四、证明或解答题（本大题共3题，23、24题，每题8分，25题10分，共26分）23．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AC上的一点，BE交AD于点F，已知AE=EF．求证：AC=BF．24．已知反比例函数和一次函数y=mx的图象都经过第一象限的点A，点B在x轴正半轴上，O 是坐标原点，△ABO是直角边长为2的等腰直角三角形．（1）实数k和m的值；（2）设点C（﹣m，k），求经过点C的反比例函数图象的解析式，并说出满足条件的反比例函数图象的共同特征（至少2个）．25．如图，在△ABC中，AB=AC=5，P是射线BC上的点．（1）如图（1），若BC=6，设BP=x，AP=y．求y关于x的函数解析式并写出定义域；（2）如图（2），若点P在BC边上，求证：AP2+PB•PC=25；（3）如图（3），当点P在BC延长线上，请直接写出AP2，PB，PC，AB2满足的数量关系．2015-2016学年上海市长宁区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．用配方法解方程x2﹣2x﹣99=0时，原方程变形为（）A．（x+1）2=100B．（x﹣1）2=100C．（x+1）2=98D．（x﹣1）2=98【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】把常数项﹣99移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．【解答】解：由x2﹣2x﹣99=0可得：x2﹣2x=99，则x2﹣2x+1=99+1，即：（x﹣1）2=100，故选：B．【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．2．下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．【考点】二次根式的加减法．【分析】根据二次根式的加减法，即可解答．【解答】解：A、≠，故错误；B、2+≠2，故错误；C、，正确；D、，故错误；故选：C．【点评】本题考查了二次根式的加减法，解决本题的关键是熟记二次根式的加减法．3．已知xy＞0，化简二次根式的正确结果是（）A．B．C．D．【考点】二次根式的性质与化简．【分析】二次根式有意义，y＜0，结合已知条件得y＜0，化简即可得出最简形式．【解答】解：根据题意，xy＞0，得x和y同号，又∵中﹣≥0，∴y＜0，∴x＜0，y＜0，则原式=x•=x•=﹣，故选：A．【点评】主要考查了二次根式的化简，注意开平方的结果为非负数是解题的关键．4．据测试，拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小明洗手后没有把水龙头拧紧，水龙头以测试速度滴水，当小明离开x分钟后，水龙头滴水y毫升水，则y与x之间的函数关系式是（）A．y=0.05x B．y=5x C．y=100x D．y=0.05x+100【考点】函数关系式．【分析】每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升，则一分钟滴水100×0.05毫升，则x分钟可滴100×0.05x毫升，据此即可求解．【解答】解：根据题意可得：y=100×0.05x，即y=5x．故选B．【点评】本题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，正确表示出一分钟滴的水的体积是解题的关键．5．下列命题中，假命题是（）A．对顶角相等B．等角的补角相等C．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行D．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等【考点】命题与定理．【分析】分别判断后，找到错误的命题就是假命题．【解答】解：A、对顶角相等，正确，是真命题；B、等角的补角相等，正确，是真命题；C、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，正确，是真命题；D、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故错误，是假命题．故选D．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的定义、平行线的性质等知识，难度不大．6．一个直角三角形的斜边长比一条直角边长多2cm，另一条直角边长6cm，那么这个直角三角形的斜边长为（）A．4cm B．8cm C．10cm D．12cm【考点】勾股定理．【分析】设直角三角形的斜边是xcm，则另一条直角边是（x﹣2）cm．根据勾股定理列方程求解即可．【解答】解：设直角三角形的斜边是xcm，则另一条直角边是（x﹣2）cm．根据勾股定理，得（x﹣2）2+36=x2，解得：x=10．则斜边的长是10cm．故选C．【点评】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是根据勾股定理列出方程，熟练求得方程的解．二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．二次根式中，实数x的取值范围是x≥﹣3．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得，x+3≥0，解得，x≥﹣3，故答案为：x≥﹣3．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．8．化简：=2．【考点】二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】根据二次根式的乘法得到原式==×，然后利用二次根式的性质化简即可．【解答】解：原式==×=2．故答案为：2．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：=|a|．也考查了二次根式的乘法．9．与是同类二次根式（填“是”或“不是”）．【考点】同类二次根式．【分析】先化简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．【解答】解：∵=，∴与是同类二次根式，故答案为是．【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．10．方程的解是x 1=0，x 2=．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】化成x 2﹣x=0，然后提取公因式x，故用因式分解法解较简便．【解答】解：原式为x 2﹣x=0，∴x（x﹣）=0，x=0或x﹣=0，x 1=0，x 2=．故答案为x 1=0，x 2=．【点评】本题考查简单的一元二次方程的解法，在解一元二次方程时应当注意要根据实际情况选择最合适快捷的解法．11．当m=﹣9时，关于x 的方程x 2﹣6x﹣m=0有两个相等的实数根．【考点】根的判别式．【分析】由方程有两根相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于m 的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：∵关于x 的方程x 2﹣6x﹣m=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣6）2﹣4×1×（﹣m）=36+4m=0，解得：m=﹣9．故答案为：﹣9．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出△=36+4m=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的情况结合根的判别式，得出方程（不等式或不等式组）关键．12．在实数范围内分解因式：9y 2+6y﹣1=（3y+1+）（3y+1﹣）．【考点】实数范围内分解因式．【分析】首先解方程9y 2+6y﹣1=0，求得y 的值，则可以直接写出分解后的结果．【解答】解：解方程9y 2+6y﹣1=0，得y=，则9y 2+6y﹣1=（3y+1+）（3y+1﹣）．故答案是：（3y+1+）（3y+1﹣）．【点评】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．13．某品牌服装原售价每件580元，连续两次降价x%后，现售价为每件371元，列出关于x的方程为580（1﹣x%）2=371．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】根据降价后的价格=原价（1﹣降低的百分率），本题可先用580（1﹣x%）表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．【解答】解：当商品第一次降价x%时，其售价为580﹣580x%=580（1﹣x%）；当商品第二次降价x%后，其售价为580（1﹣x%）﹣580（1﹣x%）x%=580（1﹣x%）2．则580（1﹣x%）2=371．故答案为：580（1﹣x%）2=371．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．14．函数y=的定义域是x≠2．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于0，故分母x﹣2≠0，解得x的范围．【解答】解：根据题意得：x﹣2≠0解得：x≠2，故答案为：x≠2．【点评】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足分母不等于0．15．已知A、B是反比例函数图象上关于原点O对称的两点，过点A且平行y轴的直线与过点B且平行x轴的直线交于点C，则△ABC的面积为2．【考点】反比例函数系数k的几何意义；关于原点对称的点的坐标．【分析】连接OC，设AC 与x 轴交于点D，BC 与y 轴交于点E．首先由反比例函数y=的比例系数k 的几何意义，可知△AOD 的面积等于|k|，再由A、B 两点关于原点对称，BC∥x 轴，AC∥y 轴，可知S △AOC =2×S △AOD ，S △ABC =2×S △AOC ，从而求出结果．【解答】解：如图，连接OC，设AC 与x 轴交于点D，BC 与y 轴交于点E．∵A、B 两点关于原点对称，BC∥x 轴，AC∥y 轴，∴AC⊥x 轴，AD=CD，OA=OB．∴S△COD =S △AOD =，∴S △AOC =1，∴S △BOC =S △AOC =1，∴S △ABC =S △BOC +S △AOC =2．故选C．【点评】本题主要考查了三角形一边上的中线将三角形的面积二等分及反比例函数的比例系数k 的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系，即S=|k|．16．如果式子表示点P（a，b）和点Q 的距离，那么Q 点坐标是（﹣1，2）．【考点】两点间的距离公式．【分析】由平面内两点间的距离公式：MN=．（其中点M 的坐标（a，b），点N 的坐标（c，d）），要求解．【解答】解：由平面内两点间距离公式∵PQ=∴所以Q 点的坐标为（﹣1，2）．故填：（﹣1，2）【点评】本题考查平面内任意两点间距离公式，掌握平行于坐标轴的两点间距离公式是解题的关键．17．已知在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，边AB的垂直平分线交BC于点E，则=．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】连接AE，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据直角三角形的性质得到答案．【解答】解：连接AE，∵AB=AC，∠A=120°，∴∠B=∠C=30°，∵EF是AB的垂直平分线，∴EA=EB，∴∠EAB=∠B=30°，∴∠EAC=90°，又∠C=30°，∴EA=EC，又EA=EB，∴=，故答案为：．【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质和直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．18．如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD对折，使得点C落在点F处，DF交AB于E．如果EF=3，DC=9，那么∠EBF=30°．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据翻折变换的性质得到∠F=∠C=90°，根据全等三角形的判断和性质定理得到BE=6，根据直角三角形的性质解答即可．【解答】解：由翻折变换的性质可知，∠F=∠C=90°，在△AED和△FEB中，，∴AE=EF=3，又DC=9，∴BE=6，又∠F=90°，∴∠EBF=30°，故答案为：30．【点评】本题考查的是翻折变换的性质，掌握翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．三、作图或简答题（本大题共4题，每题5分，满分20分）19．求作一点P，使其到A、B两点的距离相等，且到∠MON两边的距离相等．（只要保留作图痕迹，说明所求作的点，不必写出作图过程）【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】作∠MON角平分线和线段AB的垂直平分线，交点P即是所求．【解答】解：如图所示：点P即为所求．【点评】此题主要考查角平分线和线段的垂直平分线的作法；注意角平分线到角两边的距离相等；线段垂直平分线上到线段两个端点的距离相等．20．已知x=3，y=2，求的值．【考点】二次根式的化简求值；分式的化简求值．【分析】先通分，再利用平方差公式和二次根式的性质与法则化简，最后计算分式的减法，代入求值即可．【解答】解：原式===，当x=3，y=2时，原式=．【点评】本题主要考查分式的化简求值与二次根式的化简求值，熟练掌握分式与二次根式的运算法则与性质是解题的关键．21．计算：（5﹣6）（﹣）【考点】二次根式的混合运算．【分析】首先化简二次根式，进而利用乘法运算法则化简求出即可．【解答】解：（5﹣6）（﹣）=（﹣3）（﹣）=﹣．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．22．解方程：3x 2﹣6x﹣7=0．【考点】解一元二次方程-公式法．【分析】先找出a，b，c，求出△=b 2﹣4ac 的值，再代入求根公式即可求解．【解答】解：a=3，b=﹣6，c=﹣7，∴，∴x 1=，x 2=【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程，找出a，b，c，求出△=b 2﹣4ac 的值，是解此题的关键．四、证明或解答题（本大题共3题，23、24题，每题8分，25题10分，共26分）23．如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AC 上的一点，BE 交AD 于点F，已知AE=EF．求证：AC=BF．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】延长AD 到G，使得DG=AD，先证明△ADC≌△GDB，得AC=BG，证明BG=BF 即可解决问题．【解答】证明：延长AD 到G，使得DG=AD．在△ADC 和△GDB 中，，∴△ADC≌△GDB，∴AC=BG 且∠CAD=∠G∵AE=EF，∴∠EFA=∠EAF，∴∠G=∠EFA，∵∠EFA=∠BFG，∴∠G=∠BFG，∴BG=BF，∵AC=BG，∴BF=AC．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．24．已知反比例函数和一次函数y=mx的图象都经过第一象限的点A，点B在x轴正半轴上，O 是坐标原点，△ABO是直角边长为2的等腰直角三角形．（1）实数k和m的值；（2）设点C（﹣m，k），求经过点C的反比例函数图象的解析式，并说出满足条件的反比例函数图象的共同特征（至少2个）．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】函数及其图象．【分析】（1）根据题意可以分两种情况，然后画出相应的图形，从而可以得到k和m的值；（2）由（1）可知两种情况下的点C的坐标，从而可以分别求出相应的反比例函数的解析式，进而可以写出满足条件的反比例函数图象的共同特征．【解答】解：（1）当∠ABO=90°且OB=AB时，如右图（1）所示，∵OB=AB=2，∴点A（2，2），∵反比例函数和一次函数y=mx的图象都经过第一象限的点A，∴，2=2m，解得，k=4，m=1；当∠OAB=90°且OA=AB=2时，如图（2）所示，则∠AOB=45°，∴点A（）∵反比例函数和一次函数y=mx的图象都经过第一象限的点A，∴，，解得，k=2，m=1；（2）设反比例函数，当k=4，m=1时，则点C为（﹣1，4），∵反比例函数的图象过点C（﹣1，4），∴，解得，n=﹣4，∴过点C的反比例函数图象的解析式为；当k=2，m=1时，则点C为（﹣1，2），∵反比例函数的图象过点C（﹣1，2），∴，解得，n=﹣2，∴过点C的反比例函数图象的解析式为；满足条件的反比例函数图象的共同特征：①图象都在二、四象限；②在每个象限，y随x的增大而增大；③函数图象关于原点对称．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．25．如图，在△ABC中，AB=AC=5，P是射线BC上的点．（1）如图（1），若BC=6，设BP=x，AP=y．求y关于x的函数解析式并写出定义域；（2）如图（2），若点P在BC边上，求证：AP2+PB•PC=25；（3）如图（3），当点P在BC延长线上，请直接写出AP2，PB，PC，AB2满足的数量关系．【考点】三角形综合题．【分析】（1）作AH⊥BC于H，可求得BH=HC=3，则HP=|x﹣3|，在Rt△AHP中，由勾股定理可得到函数关系式；（2）用x可分别表示出PB和PC，再利用（1）的结论可求得AP2+PB•PC=25；（3）同（2）的过程可证得AP2﹣PB•PC=25，可得到AP2﹣PB•PC=AB2．【解答】解：（1）如图1，作AH⊥BC于H，∵AB=AC，∴BH=HC=BC=3，在Rt△ABH中，AB=5，∴AH==4，在Rt△AHP中，由勾股定理可得AP=，∵BP=x，∴HP=|x﹣3|∴y=（x≥0）；（2）证明：如图2，当点C在线段BC上时，则PC=BC﹣BP=6﹣x，∴PB•PC=x（6﹣x）=6x﹣x2，又由（1）可知AP=，∴AP2=42+（x﹣3）2=x2﹣6x+25，∴AP2+PB•PC=x2﹣6x+25+6x﹣x2=25（3）如图3，当点P在线段BC的延长线上时，则有PC=PB﹣BC=x﹣6，∴PB•PC=x（x﹣6）=x2﹣6x，又AP2=x2﹣6x+25，∴AP2﹣PB•PC=x2﹣6x+25﹣（x2﹣6x）=25，∵AB=5，∴AP2﹣PB•PC=AB2．【点评】本题为三角形的综合应用，涉及知识点有勾股定理、函数解析式及方程思想等．在解决（2）、（3）问时，注意利用（1）中所求得的函数解析式．本题所考查内容都是基础知识，难度不大．。