2019版同步优化探究理数练习：第八章 第七节 双曲线 Word版含解析

课时作业

A组——基础对点练

1．已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(

)

A.3

B．3

C.3m

D．3m

解析：双曲线方程为x2

3m

－

y2

3

＝1，焦点F到一条渐近线的距离为3.选A.

答案：A

2．已知双曲线x2

a2

－

y2

3

＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )

A．2 B.

6

2

C.

5

2

D．1

解析：因为双曲线的方程为x2

a2

－

y2

3

＝1，所以e2＝1＋

3

a2

＝4，因此a2＝1，a＝1.选D.

答案：D 3．双曲线x2－4y2＝－1的渐近线方程为( )

A．x±2y＝0 B．y±2x＝0

C．x±4y＝0 D．y±4x＝0

解析：依题意，题中的双曲线即y2

1

4

－x2＝1，因此其渐近线方程是

y2

1

4

－x2＝0，即x±2y＝0，选

A.

答案：A

4．已知双曲线x2 3

－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝2

5，则△

PF 1F 2的面积为( )

A ．1 B.

3

C.5

D.

12

解析：在双曲线x2

3－y 2＝1中，a ＝

3，b ＝1，c ＝2.不防设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2

3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2

5，∴|PF 1|＝

5＋

3，|PF 2|＝5－

3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2

＋|PF 2|2

＝|F 1F 2|2

，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝1

2×|PF 1|×|PF 2|＝1

2

×(

5＋

3)×(

5－

3)＝1.故选A.

答案：A

5．已知双曲线C ：

x2a2

－

y2b2

＝1(a >0，b >0)，直线l ：y ＝2x －2.若直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线且经过C 的一个顶点

，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为

( )

A ．1

B ．2 C.

5

D ．4

解析：根据题意，双曲线C 的方程为

x2

a2－y2b2

＝1(a >0，b >0)，其焦点在x 轴上，渐近线方程为

y ＝±b a x ，又由直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线，可知b

a ＝2，直线l ：y ＝2x －2与x 轴的交

点坐标为(1,0)，即双曲线C 的一个顶点坐标为(1,0)，即a ＝1，则b ＝2a ＝2，故双曲线C 的焦点到渐近线的距离为2，故选B. 答案：B

6．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为

( )

A.

5＋12 B ．2

C.2

D ．2

2

解析：不妨设双曲线的方程为

x2

a2－y2

b2

＝1(a >0，b >0)，因为焦点F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为a ，所以bc a2＋b2

＝a ，即

bc

c ＝a ，所以b

a ＝1，所以该双曲线的离心率e ＝c

a

＝ 错误!＝2，故选C. 答案：C

7．已知双曲线C ：

x2a2

－

y2b2

＝1的离心率e ＝5

4，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )

A.x24

－y23＝1 B.x29

－

y2

16＝1 C.

x216－y2

9＝1 D.x2

3－y2

4

＝1 解析：由题意得e ＝

1＋b2a2＝5

4，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，

故双曲线C 的方程为x2

16－y2

9

＝1. 答案：C 8．已知双曲线

x2a2

－

y2b2

＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方

程为( )

A.x2

4

－y2＝1 B．x2－

y2

4

＝1

C.3x2

20

－

3y2

5

＝1 D.

3x2

5

－

3y2

20

＝1

解析：由题意得c＝5，b

a

＝

1

2

，则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为

x2

4

－y2＝1.

答案：A

9．(2018·山西八校联考)已知双曲线C：x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线y＝

3 3

(x＋c)与双曲线的一个交点P满足∠PF2F1＝2∠PF1F2，则双曲线的离心率e为( ) A.2B.3

C．23＋1 D.3＋1

解析：∵直线y＝

3

3

(x＋c)过左焦点F1，且其倾斜角为30°，∴∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°，

∴∠F2PF1＝90°，即F1P⊥F2P.∴|PF2|＝1

2

|F1F2|＝c，|PF1|＝|F1F2|sin 60°＝3c，由双曲线的

定义得2a＝|PF1|－|PF2|＝3c－c，∴双曲线C的离心率e＝c

a

＝

c

3c－c

2

＝3＋1，选D.

答案：D

10．已知F1，F2是双曲线C：x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是双曲线C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是( )

A.2x±y＝0 B．x±2y＝0