2019版同步优化探究理数练习：第八章 第七节 双曲线 Word版含解析
2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第八章 第七节 双曲线 Word版含解析
课时作业 A 组——基础对点练1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A.3 B ．3 C.3mD ．3m解析：双曲线方程为x 23m －y 23＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为 3.选A.答案：A2．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62C.52D ．1解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D.答案：D3．双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．y ±2x ＝0 C ．x ±4y ＝0D ．y ±4x ＝0解析：依题意，题中的双曲线即y 214－x 2＝1，因此其渐近线方程是y 214－x 2＝0，即x ±2y ＝0，选A. 答案：A4．已知双曲线x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝25，则△PF 1F 2的面积为( ) A ．1 B. 3 C. 5D.12解析：在双曲线x 23－y 2＝1中，a ＝3，b ＝1，c ＝2.不防设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，又|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴|PF 1|＝5＋3，|PF 2|＝5－ 3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝12×(5＋3)×(5－3)＝1.故选A. 答案：A5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，直线l ：y ＝2x －2.若直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线且经过C 的一个顶点，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为( ) A ．1 B ．2 C. 5D ．4解析：根据题意，双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其焦点在x 轴上，渐近线方程为y ＝±b a x ，又由直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线，可知ba ＝2，直线l ：y ＝2x －2与x 轴的交点坐标为(1,0)，即双曲线C 的一个顶点坐标为(1,0)，即a ＝1，则b ＝2a ＝2，故双曲线C 的焦点到渐近线的距离为2，故选B. 答案：B6．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A.5＋12B ．2 C. 2D ．2 2解析：不妨设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为焦点F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为a ，所以bca 2＋b 2＝a ，即bc c ＝a ，所以b a ＝1，所以该双曲线的离心率e ＝ca＝1＋(b a)2＝2，故选C. 答案：C7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2 (5,0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 解析：由题意得e ＝1＋b 2a 2＝54，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1.答案：C8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1 解析：由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.答案：A9．(2018·山西八校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，直线y ＝33(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为( ) A. 2 B. 3 C ．23＋1 D.3＋1解析：∵直线y ＝33(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为30°，∴∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°，∴∠F 2PF 1＝90°，即F 1P ⊥F 2P .∴|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝|F 1F 2|sin 60°＝3c ，由双曲线的定义得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ，∴双曲线C 的离心率e ＝c a ＝c3c －c2＝3＋1，选D.答案：D10．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．2x ±y ＝0D ．x ±2y ＝0解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，即∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A. 答案：A11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C的方程为( ) A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 解析：依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝251＝b a ×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝20b 2＝5，∴双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1.答案：A12．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：因为双曲线过点(4，3)且渐近线方程为y ＝±12x ，故点(4，3)在直线y ＝12x 的下方．设该双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以⎩⎨⎧42a 2－(3)2b2＝1，b a ＝12，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.法二：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故可设双曲线为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，又双曲线过点(4， 3)，所以424－(3)2＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为 x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝113．双曲线Γ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y ＝ab x ，即ax －by ＝0的距离为|5b |a 2＋b 2＝5bc＝b ＝3，所以a ＝4,2a ＝8. 答案：814．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线C 的方程为________．解析：易得椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，b a ＝2，∴a 2＝1，b 2＝4， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1.答案：x 2－y 24＝115．(2018·合肥市质检)双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线x＝a 与双曲线M 的渐近线交于点P ，若sin ∠PF 1F 2＝13，则该双曲线的离心率为________．解析：不妨设P 为直线x ＝a 与双曲线M 的渐近线在第一象限内的交点，则P 点坐标为(a ，b )，因为sin ∠PF 1F 2＝13，所以|PF 1|＝3b ，所以(a ＋c )2＋b 2＝9b 2，即9a 2＋2ac －7c 2＝0,7e 2－2e －9＝0，又e >1，解得e ＝97.答案：97B 组——能力提升练1．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．(1，2] B ．(1,2] C ．[2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：∵2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|⇒4|OP →|≤2c ⇒|OP →|≤c 2，又|OP →|≥a ，∴a ≤c 2，即c ≥2a ，∴e ＝ca ≥2.故选D. 答案：D2．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．答案：D3．(2018·云南五市联考)设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：易知双曲线的两个焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，恰为两个圆的圆心，两个圆的半径分别为2,1，所以|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，故|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝(|PF 1|－|PF 2|)＋3＝5，同理|PM |－|PN |的最小值为(|PF 1|－2)－(|PF 2|＋1)＝(|PF 1|－|PF 2|)－3＝－1，所以|m －n |＝6，故选C. 答案：C4．(2018·江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2分别是C 的左、右焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则点P 到x 轴的距离为( ) A.233B. 2 C ．2D.263解析：由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，点P (x 0，2x 0)，由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2，故选C. 答案：C5．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b2，y A ＝2b4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，选D.答案：D6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( ) A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：因为以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c ＝5，b a ＝43，又c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝3，b ＝4，所以此双曲线的方程为x 29－y 216＝1.答案：C7．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →，则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2D. 5解析：不妨设B (x ，－bax )，|OB |＝x 2＋(－bax )2＝c ，可取B (－a ，b )，由题意可知点A 为BF 的中点，所以A (c －a 2，b 2)，又点A 在直线y ＝b a x 上，则b a ·c －a 2＝b2，c ＝2a ，e ＝2.答案：C8．若直线l 1和直线l 2相交于一点，将直线l 1绕该点逆时针旋转到与l 2第一次重合时所转的角为θ，则角θ就称为l 1到l 2的角，tan θ＝k 2－k 11＋k 1k 2，其中k 1，k 2分别是l 1，l 2的斜率，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 是右顶点，P 是直线x ＝a 2c 上的一点，e 是双曲线的离心率，直线P A 到PF 的角为θ，则tan θ的最大值为( ) A.1e B.e1＋eC.e 21＋eD.e 2解析：设P A ，PF 的斜率分别为k 3，k 4，由题意可知tan θ＝k 4－k 31＋k 3k 4，不妨设P (a 2c ，y )(y >0)，则k 3＝y a 2c －a ，k 4＝y a 2c －c .令m ＝a 2c －a ，n ＝a2c －c ，则tan θ＝y n －ym 1＋y n ×y m ＝m －n mn y＋y ，由m －n ＝c－a >0，得当mn y ＋y 取得最小值时tan θ取最大值，又y >0，m <0，n <0，所以mny ＋y ≥2mn ，当且仅当y ＝mn 时等号成立，此时tan θ＝m －n2mn ＝c －a2(a 2c －a )(a 2c－c )＝e21＋e，故选C.答案：C9．(2018·淄博模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，作圆x 2＋y 2＝a 2的切线交双曲线的右支于点P ，切点为T ，PF 1的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是( ) A ．b －a ＝|MO |－|MT | B ．b －a >|MO |－|MT | C ．b －a <|MO |－|MT | D ．b －a ＝|MO |＋|MT |解析：如图，连接OT ，则OT ⊥F 1T ，在直角三角形OTF 1中，|F 1T |＝|OF 1|2－|OT |2＝b ，连接PF 2，∵M 为线段F 1P 的中点，O 为F 1F 2的中点， ∴|OM |＝12|PF 2|，∴|MO |－|MT |＝12|PF 2|－⎝⎛⎭⎫12|PF 1|－|F 1T |＝12(|PF 2|－|PF 1|)＋b ＝12×(－2a )＋b ＝b －a ，故选A. 答案：A10．(2018·昆明市检测)已知点F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，以点F 为圆心的圆与C 的渐近线相切，且与C 交于A ，B 两点，若AF ⊥x 轴，则C 的离心率为________． 解析：不妨设F 为双曲线的右焦点，则F (c,0)，易知双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，则双曲线的焦点F 到渐近线的距离d ＝bc a 2＋b2＝b ，所以圆F 的半径为b .在双曲线方程中，令x＝c ，得y ＝±b 2a ，所以A (c ，±b 2a )．因为点A 在圆F 上，所以b 2a＝b ，即a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝2a ，所以e ＝ca ＝ 2.答案： 211．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点M (－3,4)关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F 2，则该双曲线的标准方程为______________．解析：不妨设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2(c,0)关于渐近线y ＝ba x 对称的点在双曲线上，则过焦点F 2且垂直于该渐近线的直线方程为y －0＝－a b (x －c )，即y ＝－ab(x －c )．联立可得方程组⎩⎨⎧y ＝b ax ，y ＝－ab (x －c )，解得⎩⎨⎧x ＝a 2c，y ＝abc ，由中点坐标公式可得F 2关于渐近线对称的点的坐标为(2a 2c －c ，2abc)，将其代入双曲线的方程可得(2a 2－c 2)2a 2c 2－4a 2c 2＝1，化简可得c 2＝5a 2，c 2＝a 2＋b 2＝5a 2，所以b 2＝4a 2.因为M (－3,4)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，所以9a 2－16b 2＝1，9a 2－164a2＝1，所以a 2＝5，b 2＝20，则该双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：x 25－y 220＝112．设双曲线x 2－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是______．解析：由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为(27，8)． 答案：(27，8)13．(2018·沈阳质量监测)已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则P A →·PB →的值是________． 解析：设P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x 3－y ＝0，x3＋y ＝0，所以可取|P A |＝|x 03－y 0|13＋1，|PB |＝|x 03＋y 0|13＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos2∠AOx ＝－cos π3＝－12，所以P A →·PB→＝|P A →|·|PB →|·cos ∠APB ＝|x 203－y 20|43·(－12)＝34×(－12)＝－38.答案：－38。
2019版同步优化探究理数练习：第八章第七节双曲线含答案解析
课时作业A组一一基础对点练1 .已知F为双曲线C: x2—3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )A. 3C. 3mD. 3m2 2解析：双曲线方程为3m—鲁二1,焦点F到一条渐近线的距离为，3.选A.答案：A2 22.已知双曲线拿一卷二1(a>0)的离心率为2,则a=( )CF解析:2 2因为双曲线的方程为?一3 =31,所以e2= 1 + T = 4,因此a2= 1, a = 1.选 D.a答案:3.双曲线x2—4y2=—1的渐近线方程为(A. x±y= 0C . x±!y=0 2解析：依题意，题中的双曲线即1 —x2^ 1,4B. yi2x= 0D . y±4x=因此其渐近线方程是2t —x2= 0, 即卩xi2y= 0,选A.4答案：A24 .已知双曲线倉—y2= 1的左、右焦点分别为F1, F2,点P在双曲线上，且满足|PF1| + |PF2| = 2 5, 则厶PF1F2的面积为( )A . 1 B. 3C..5D.|解析：在双曲线x3 —y2= 1中，a= .3, b= 1,c= 2.不防设P点在双曲线的右支上，则有|PF1|—|PF2| =2a = 2 3，又|PF1|+|PF2|= 2 5,A |PF1匸5+ .3, |PF2|= 5—, 3.又|F1F2| = 2c= 4,而|PF1|2A A+ |PF2|2= |F1F2^,A PF1 丄PF2,.・. SA PF1F2=|PF1|X |PF2|=十( .5+ . 3)X ( . 5—. 3)= 1•故选A.答案：A2 25.已知双曲线C ：拿―b 2= 1(a>0, b>0)，直线I : y =2x — 2•若直线I 平行于双曲线C 的一条渐近线且经过C 的一个顶点，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为D . 422b解析：根据题意，双曲线C 的方程为彩—缶=1(a>0, b>0),其焦点在x 轴上，渐近线方程为y =±bx ,又由直线I 平行于双曲线C 的一条渐近线，可知2 = 2,直线I : y = 2x — 2与x 轴的交点坐标为 a (1,0),即双曲线C 的一个顶点坐标为(1,0),即a = 1,则b = 2a = 2,故双曲线C 的焦点到渐近线 的距离为2,故选B.答案：B6.已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，贝U 该双曲线的离心率为C. 2解析：不妨设双曲线的方程为 令一y}= 1(a>0, b>0)，因为焦点F(c,0)到渐近线bx — ay = 0的距离 为a ，所以爲畀孑a ，即学=a ，所以b =1所以该双曲线的离心率e =a = 故选C. 答案：Cb 2 51 + 2=,又右焦点为 F 2(5,0), a2 + b 2= c 2,所以 a 2= 16, b 2 = 9,故双曲 a 4C. .57.已知双曲线 C : 2 2A ——匚=1 A.4 3 1 x 2 y C.x6—9 =1x 2 V 25孑一亩=1的离心率e = 4，且其右焦点为F 2(5,0),则双曲线C 的方程为()2 2一 V- = 1B .916_12 2=解析：由题意得e =2 2线C的方程为16-首=1.答案：C2 28.已知双曲线拿一存=1(a>0, b>0)的焦距为2 5,且双曲线的一条渐近线与直线2x+ y= 0垂直, 则双曲线的方程为()2巧-y2=1C3x! 3y C.202 B. x2-y=142 2D3X_-3y_= 15 20解析: 由题意得c= 5, b= 2，则a= 2, b= 1,所以双曲线的方程为^4 — /= 1. 答案:9. (2018山西八校联考)已知双曲线2 2C:学—狰=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1, F2，焦距为2c,直线y= c)与双曲线的()A. 2C. 2 .3+ 1解析：•••直线y= ~33(x+ c)过左焦点/ F2PF仁90° 即F i P丄F2P. •••|PF2 个交点P满足/ PF2F I = 2/PF1F2,则双曲线的离心率e为B. 3D. 3+ 1F1,且其倾斜角为30° A/ PF1F2= 30° / PF2F1 = 60° 二1匸2尸卡2|= C, |PF1|= |F I F2|S in 60°=寸3c，由双曲线的定义得2a=|PF1|—|PF2|=A/3C— c,.••双曲线 C 的离心率e=£ = 一1,选 D.a73c— c2答案：D2 210.已知F1, F2是双曲线C:拿一*= 1(a>0, b>0)的两个焦点，P是双曲线C上一点，若|PF1|+ |PF2| = 6&,且厶PF1F2最小内角的大小为30°则双曲线C的渐近线方程是( )A. 2xiy= 0 B . x±. 2y= 0C. 2x±y= 0D. x±2y= 0解析: 不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|—|PF2|=2a,|PF1|+ |PF2|= 6a,所以|PF1|= 4a, |PF2| = 2a,且IF1F2匸2c,即|PF2|为最小边，即/ PF1F2= 30° 则厶PF1F2 为直角三角形，所以2c = 2.3a ,所以b = 2a ，即渐近线方程为y =±, 2x ,故选A. 答案：A•••双曲线C 的方程为20—彳=1. 答案：A42x 2 所以~4—(J3)2 =入所以入=1,故双曲线方程为才—y 2= 1. 2x13.双曲线r /—1(a>0, b>0)的焦距为10,焦点到渐近线的距离为 3,贝U r 的实轴长等解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y = ；x ,即ax — by = 0的距离为.［订呼二¥= b = 3,所以a =法二：因为双曲线的渐近线方程为y = X 2 ，故可设双曲线为4y 2= X 疋0),又双曲线过点(4, 3), 11•已知双曲线 C ：2 2x y 孑一1(a>0, b>0)的焦距为10,点P(2,1)在C 的一条渐近线上，则C 的方程为()2 2A x_ — y_ 1A .205x 2y 22BL5 20— 丫= 120 80解析：依题意a 2+ b 2= 251= bX 2 aa 2= 20，解得b 2二5，12 .已知双曲线过点(4 ,3), 且渐近线方程为y 二±2x ,则该双曲线的标准方程解析：法一：因为双曲线过点(4,3)且渐近线方程为y = ±2x ,故点(4,3)在直线y =*x 的下方.设 该双曲线的标准方程为a 2— £= 1(a>42 \[3 2孑— 0, b>0)，所以 ab 1 b 2a = 2,，解得a = 2,故双曲线b = 1,答案：4—y 2二 1程为y =吃X ，则双曲线C 的方程为 ___________________ 解析：易得椭圆的焦点为(一5, 0), ( 5, 0),a 2 +b 2= 5,二 a 2= 1, b 2 = 4,2•••双曲线C 的方程为X 2— y 4 = 1.2答案：x 2—” 1X 2y 215. (2018合肥市质检)双曲线M :孑一看1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为 F 1, F 2，直线x = a1与双曲线M 的渐近线交于点P ,若sin /PF 1F 2=3则该双曲线的离心率为 __________________________ . 解析：不妨设P 为直线x = a 与双曲线M 的渐近线在第一象限内的交点，贝UP 点坐标为(a , b),因为 sin / PF 1F 2 = 3,所以|PF 1|= 3b ,所以(a + c)2+ b 2= 9b 2，即 9a 2+ 2ac — 7c 2= 0,7e 2— 2e — 9=0,9又e>1,解得e = 7.B 组一一能力提升练C :字一£= 1(a>0, b>0)的两个焦点，若在双曲线上存在点 P 满足2|PF i+ PF 2|W |F i F 2|，则双曲线的离心率的取值范围是()A • (1, .2]B . (1,2] C. [,2,+x)D . [2 ,+x)—》 —》 —》 —》 —》 c —》cC解析：T 2|PF 1 + PF 2|< |F 1F 2|? 4|0P|W 2c? |OP|< ，又 |OP|> a ,： a ^., 即 卩 c > 2a,A e =—》2.2 2 a故选D. 答案：D4,2a = 8.1有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方1 •已知F i , F 2是双曲线14.已知双曲线C :x 2 xb>0)与椭圆9 +2 2 2 22•若实数k 满足0<k<9，则曲线25-冷=1与曲线25X Tk —y9二1的( )A •离心率相等B •虚半轴长相等C .实半轴长相等D •焦距相等解析：由0<k<9,易知两曲线均为双曲线且焦点都在 x 轴上，由25+ 9— k = 25 — k + 9，得两双 曲线的焦距相等. 答案：D3. (2018云南五市联考)设P 为双曲线x 2—£= 1右支上一点，M , N 分别是圆(x + 4)2+ y 2= 4和(x — 4)2 + y 2= 1上的点，设|PM|— |PN|的最大值和最小值分别为 m , n ,则|m — n 匸( )A . 4B . 5C . 6F 1( — 4,0), F 2(4,0)，恰为两个圆的圆心，两个圆的半径分别min= |PF 2| — 1, 故 |PM|— |PN| 的最大值为(|PF 1| + 2)—(|PF 2|— 1) |PN|的最小值为(|PF 1|— 2)— (|PF 2|+ 1) = (|PF 1— |PF 2|) — 3 =—x 2 y 2曲线C ： — — ； = 1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1, F 2=0,则点P 到x 轴的距离为()B .V 2解析：由题意知F 1( — 6, 0), F 2( .6, 0),不妨设I 的方程为y = 2x ,点P(x 0, ,2x 0)，由PF 1 PF 2 =(—.6 — X 0,— 2x 0) ( 6 — X 0,— 2x 0) = 3x o — 6 = 0,得 x °= ±. 2,故点 P 到 x 轴的距离为.2|x °| =2,故选C. 答案：Cx 2y 25.已知双曲线4 —器=1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A , B , C , D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ,则双曲线的方程为( )解析：易知双曲线的两个焦点分别为 为 2,1，所以 |PM|max = |PF 1|+ 2，|PN=(|PF 1— |PF 2|) + 3 = 5,同理 |PM —1，所以|m — n| = 6,故选C. 答案：C4. (2018江南十校联考)已知I 是双分别是C 的左、右焦点，若PF 1 PF 2A. 3 C . 2D.2,63略34°= 1近线交于点B ,若FB = 2FA ,贝吐匕双曲线的离心率为()A. 2 C . 2c — a b b b c — a b小所以A(~2 , 2)，又点A 在直线y = ax 上，则a •厂二2，c = 2a , e = 2.答案:8.若直线|1和直线12相交于一点，将直线11绕该点逆时针旋转到与12第一次重合时所转的角为9, k 2 一 k 1 x 2则角9就称为l 1到l 2的角，tan A 亓匚危，其中k 1, k 2分别是l 1, l 2的斜率，已知双曲线E :孑一2 2x y ‘ C<r — = 1解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形 ABCD 为矩形•双曲线的渐近线方程为y =字,圆的方程为x 2 + y 2 = 4,不妨设交点 A 在第一象限，由y = bx,x 2 + y 2= 4得X A = /—^=2，『A = j 2,2 v 4+ b \!4+ b故四边形ABCD 的面积为4x A y A =秽：2= 2b ,解得b 2= 12,故所求的双曲线方程为》—卷=1,选D.答案：D2 26•已知双曲线拿一” 1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F i 、F 2,以|F I F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),贝吐匕双曲线的方程为()B x ! y !_ 1 x 2y 2D — — —= 1x 2 y 2A•花- 9 二 12 2Cx_—y _ 二解析: 因为以|F I F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c = 5,+ b 2, 所以a = 3, b = 4,所以此双曲 2 2线的方程为x 9 —务=1.C2 27.过双曲线拿一^2= 1(a>0, b>0)的 答案: 个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ,与另一条渐B. 3 D. 5解析: 不妨设B(x ,—,OB|=x 2 + — ；x 2= c ,可取B( — a , b),由题意可知点A 为BF 的中占I2 2滸=1（a>0, b>0）的右焦点为F , A 是右顶点，P 是直线x =三上的一点，e 是双曲线的离心率，直 线PA 到PF 的角为9,则tan B 的最大值为（） B. ；i e+eC. 2 1+ e答案：C2 -9. （2018淄博模拟）过双曲线拿一^2= 1（a>0, b>0）的左焦点F 1，作圆x 2 + / = a 2的切线交双曲线的右支于点P ,切点为T , PF i 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是（）b — a = |M0| —|MT| b — a>|MO|— |MT|b — a = |MO| + |MT|解析：如图，连接OT ,贝U OT 丄F 1T ,在直角三角形 OTF 1；|OF 1|2—|OT|2= b ,连接 PF 2,••• M 为线段F 1P 的中点，O 为F 1F 2的中点，•••|MO| —|MT|= 2|PF 2|— 2|PF 1|— |F 1T| = 2(|PF 2|— |PF 1|)+ b =qx (— 2a) + b = b — a ,故选 A.答案：A X 2 y 210. (2018昆明市检测)已知点F 为双曲线C ：孑一詁=1(a>0, b>0)的一个焦点，以点F 为圆心的A.1 e D.f解析：设PA , PF 的斜率分别为k 3, k 4, 由题意可知 tan2k 4— k 3 aak ，不妨设 P(_c , y)(y>0),则 ky . ) 人 =，k4=a^~. 令—a — c2 a m =c — a , n2a=——c ,贝U tan y —y n mm — n r ‘口 9== ，由 m — n = c — a>0，得 y y mn ' '当号+ y 取得最小值时 AlZtan 9取最大值，又y>0, m<0, *0,所以罗+ y > 2 :'mn ,当且仅当y = : mn时等号成立，此时tan m — n A ------2 mnc — a：-a - c=2 J + e ，故选 C.C . b — a<|MO|— |MT|中，|F 1T| =圆与C 的渐近线相切，且与C 交于A , B 两点，若AF 丄x 轴，则C 的离心率为 解析：不妨设F 为双曲线的右焦点，则F(c,O)，易知双曲线的渐近线方程为y =,贝U 双曲线的焦点F 到渐近线的距离d = 严 尸b,所以圆F 的半径为b.在双曲线方程中，令x = c,得，寸 a 2 * * 5+ b 2ab2 _______________________________________________•因为点A 在圆F 上，所以占=b ,即a = b ,所以c= • a 2+ b 2= 2a ,所以所以A(c ,c e=_ a2.答案：22 211•双曲线拿一皆1(a>0, b>0)上一点M( — 3,4)关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F 2, 则该双曲线的标准方程为 _____________________________ .x 2 y 2b解析：不妨设双曲线孑一生二1的右焦点F 2(C ,0)关于渐近线y = ax 对称的点在双曲线上, 则过焦点F 2且垂直于该渐近线的直线方程为y — 0二—早仪―c)，a即 y = — b （x —c ）-联立可得方程组b 尸a x ， a尸一b x —c ，2ab ）c）解析：由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2丄X 轴时，|PF 1|+|PF 2| 有最大值8;当/ P 为直角时，|PF i |+ |PF 2|有最小值2.7因为△ F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF i | + |PF 21的取值范围为（2 .'7，8）. 答案：（2 7, 8）X 213.（2018沈阳质量监测）已知P 是双曲线—y 2= 1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为 A ，B ,求PAPB 的值.x解析：设P （x o ，y o ）,因为该双曲线的渐近线分别是 — y =0，X 0 騙+ yo1|PB| =— ，又 cos / APB = — cos / AOB = — cos2/ AOx = 2 lX0-y21 1 (—刁 | cos / APB = 3 1 =3X (—2) IIIII II II II II II I III II II In—cos 3=I II II II I 舟，所以PA PB = |P A | |P BI IIIII I I I III I I I I I I II II I II II I I I .x o , I 羽-y o ly = 0,所以可取|PA|=讨丘—，W 1x2方程为x4—y2= 1.1 1 1 12a x= c 解得「aby=石，由中点坐标公式可得F2关于渐近线对称的点的坐标为(2? —c，2 2— 2 2 2将其代入双曲线的方程可得―a_2c2 —= 1,化简可得c2= 5a2, c2= a2+ b2= 5a2,所以b2= 4a2.a c c因为M(—3, 4)在双曲线拿一£= 1上，所以事一学=1,事一着=1,所以a2= 5, b2= 20,则该2 2双曲线的标准方程为x—= 1.5 202 2答案：x一2o二112.设双曲线x2—£ = 1的左，右焦点分别为F i, F2若点P在双曲线上，且△ F1PF2为锐角三角形，则|PF i|+ |PF2|的取值范围是。
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9 2
，
1
的双曲线的
标准方程。
x2 【例 6】设 F1、F2 分别是双曲线 a2
y2 b2
1的左、右焦点，若双曲线上存在点 A，使
F1AF2 90 ，且︱AF1︱=3︱AF2︱，求双曲线的离心率。
练习。已知双曲线 x2 y 2 1的离心率 e 2 3 ，过 A(a,0), B(0,b) 的直线到原点的距离
5
【例 2】求虚轴长为 12，离心率为 双曲线标准方程。
4
【例 3】求焦距为 26，且经过点 M（0，12）双曲线标准方程。
练习。焦点为 0,6，且与双曲线 x2 y2 1有相同的渐近线的双曲线方程是 （ 2
）
A． x2 y 2 1
12 24
B． y 2 x2 1
12 24
C． y 2 x2 1
24 12
D． x2 y 2 1
24 12
【例 4】与双曲线 x2 y2 1有公共渐进线，且经过点 A 3, 2 3 9 16
练习。求一条渐近线方程是 3x 4 y 0 ，一个焦点是 4,0的双曲线标准方程，并求此双曲
线的离心率．
解决双曲线的性质问题，关键是找好等量关系，特别是 e、a、b、c 四者的关系，构造出
F1 、F2
分别是双曲线的左、右焦点，若| PF1 | 3 ，则| PF2 |
（）
A．1 或 5
B． 6
C． 7
D． 9
11．已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1, (a
0, b
0) 的左，右焦点分别为 F1, F2 ,点
P
在双曲线的右
支上，且| PF1 | 4 | PF2 | ,则双曲线的离心率 e 的最大值为 （ ）
(精校)《双曲线》练习题经典(含答案)(可编辑修改)
∴Error!＝－Error!，解得 λ＝－14。∴曲线 C 的方程是 x2－Error!＝1。
31．(本题满分 12 分) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 2, 0 ，右顶点为 3, 0 。
y2 D. － ＝1
3
11．设 F1，F2 是双曲线 x2－ ＝1 的两个焦点，P 是双曲线上的一点,且 3｜PF1|＝4｜PF2｜，则△
PF1F2 的面积等于( C ） A．4Error!
B．8
C．24
D．48
12．过双曲线 x2－y2＝8 的左焦点 F1 有一条弦 PQ 在左支上，若｜PQ|＝7，F2 是双曲线的右焦点，
9λ
（2）由题设知直线 l 的方程为 y＝Error!x－2，设 A（x1，y1）,B(x2，y2），
联立方程组
y y2
2x x2
2, 1.
消去
y
得：（λ＋2)x2－4
x＋4－λ＝0.
∵方程组有两解,∴λ＋2≠0 且 Δ>0,
∴λ>2 或 λ〈0 且 λ≠－2,x1·x2＝Error!,
A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
17．如图，F1、F2 是双曲线
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过 F1 的直
线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ B ）
A．4 B． C．
D．
18．如图，已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为 F1，F2，｜F1F2|=4，P 是
30。已知 曲线 C： ＋x2＝1.
高考数学统考一轮复习 第八章 平面解析几何 第七节 双曲线课时规范练(文,含解析)北师大版
学习资料第八章平面解析几何第七节双曲线课时规范练A组—-基础对点练1．双曲线错误!－错误!＝1(0＜m＜3）的焦距为(）A．6B．12C．36 D。
236－2m2解析：c2＝36－m2＋m2＝36，∴c＝6。
双曲线的焦距为12。
答案：B2．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点是(0，3),则k的值是（)A．1 B．－1C.错误!D。
－错误!解析:kx2－错误!＝1,焦点在y轴上，c＝3，解得k＝－1。
答案:B3．(2020·山东滕州月考）已知双曲线错误!－错误!＝1的左、右焦点分别为F1、F2,若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18,N是MF2的中点，O为坐标原点，则｜NO|等于（)A.错误!B．1C．2 D.4解析：由双曲线x225－错误!＝1，知a＝5，由双曲线定义｜MF2|－｜MF1|＝2a＝10，得|MF1|＝8,∴|NO|＝错误!|MF1｜＝4。
答案：D4．(2020·湖南永州模拟)焦点是（0，±2)，且与双曲线错误!－错误!＝1有相同的渐近线的双曲线的方程是()A．x2－错误!＝1 B．y2－错误!＝1C．x2－y2＝2 D。
y2－x2＝2解析:由已知，双曲线焦点在y轴上，且为等轴双曲线，故选D。
答案：D5．双曲线错误!－错误!＝1的渐近线方程是()A．y＝±错误!x B．y＝±错误!xC．y＝±错误!x D。
y＝±错误!x解析：双曲线错误!－错误!＝1中，a＝3，b＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x.答案:C6．（2020·石家庄模拟）若双曲线M：x2a2－错误!＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2,P为双曲线M上一点,且｜PF1|＝15,|PF2｜＝7，｜F1F2｜＝10，则双曲线M的离心率为(）A．3 B．2C。
错误!D。
错误!解析：P为双曲线M上一点，且|PF1|＝15，｜PF2｜＝7，｜F1F2|＝10，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝8,｜F1F2｜＝2c＝10，则双曲线的离心率为:e＝错误!＝错误!.答案：D7．（2020·彭州模拟)设F为双曲线C：错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P、Q，若|PQ|＝2|QF｜，∠PQF＝60°，则该双曲线的离心率为（)A.错误!B．1＋错误!C．2＋ 3 D。
2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第九章 第七节 双曲线 Word版含解析
一、填空题1．已知点M (－2,0)、N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝22，则动点P 的轨迹方程为________．解析：因为|MN |＝4,22<4，所以动点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为22的双曲线靠近点N 的一支，即x 2－y 2＝2，x ≥2.答案：x 2－y 2＝2(x ≥2)2．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为________．解析：双曲线x 24－y 212＝1的渐近线为y ＝±3x ，c ＝4＋12＝4，其焦点坐标为(±4,0)，由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为431＋(±3)2＝2 3.答案：2 3 3．与双曲线x 29－y 216＝1有公共渐近线且经过点A (－3,23)的双曲线的方程是________．解析：由条件可设所求双曲线方程为x 29－y 216＝k (k >0)，将点A (－3,23)代入得k ＝(－3)29－(23)216＝14，所以所求双曲线方程为4x 29－y 24＝1.答案：4x 29－y 24＝14．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－5,0)和C (5,0)，顶点B 在双曲线x 216－y 29＝1上，则sin B |sin A －sin C |为________． 解析：由题意得a ＝4，b ＝3，c ＝5.A 、C 为双曲线的焦点，∴||BC |－|BA ||＝8，|AC |＝10.由正弦定理得sin B |sin A －sin C |＝|AC |||BC |－|BA ||＝108＝54.答案：545．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝________.解析：如图，设|PF1|＝m ，|PF 2|＝n .则⎩⎪⎨⎪⎧ |m －n |＝2，(22)2＝m 2＋n 2－2mn cos ∠F 1PF 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2mn ＋n 2＝4，m 2－mn ＋n 2＝8.∴mn ＝4. 即|PF 1|·|PF 2|＝4.答案：46．已知点F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，P 为该曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为________．解析：不妨设P 点在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a .∵△PF 1F 2是等腰直角三角形，∴只能是∠PF 2F 1＝90°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝2a ＋2c ，∴(2a ＋2c )2＝2·(2c )2，即c 2－2ac －a 2＝0，两边同除以a 2，得e 2－2e －1＝0.∵e >1，∴e ＝2＋1. 答案：2＋17．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a 等于________．解析：由离心率公式，得a 2＋3a 2＝22(a >0)，解得a ＝1.答案：18．A 、F 分别是双曲线9x 2－3y 2＝1的左顶点和右焦点，P 是双曲线右支上任一点，若∠PF A ＝λ·∠P AF ，则λ＝________.解析：特殊值法，取点P 为(23，1)，得∠PF A ＝2∠P AF ，故λ＝2.答案：29．若双曲线x 24－y 2b 2＝1 (b ＞0) 的渐近线方程为y ＝±12x ，则b 等于________．解析：双曲线x 24－y 2b 2＝1的渐近线方程为x 24－y 2b 2＝0，即y ＝±b 2x (b >0)，∴b ＝1.答案：1二、解答题10.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．解析：设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x 0，y 0)．在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos π3＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|.又∵S △PF 1F 2＝23，∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝2 3.∴|PF 1|·|PF 2|＝8.∴4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2.又∵e ＝c a ＝2，∴a 2＝23.∴双曲线的方程为：3x 22－y 22＝1.11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，直线l 过A (a,0)，B (0，－b )两点，原点O 到直线l 的距离是32.(1)求双曲线的方程；(2)过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点，若OM →·ON →＝－23，求直线m 的方程．解析：(1)依题意，l 的方程为x a ＋y －b＝1， 即bx －ay －ab ＝0，由原点O 到l 的距离为32， 得ab a 2＋b 2＝ab c ＝32， 又e ＝c a ＝233，∴b ＝1，a ＝ 3.故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.(2)显然直线m 不与x 轴垂直，设m 方程为y ＝kx －1，则点M 、N 坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是方程组⎩⎨⎧ y ＝kx －1x 23－y 2＝1的解，消去y ，得(1－3k 2)x 2＋6kx －6＝0.①依题意，1－3k 2≠0，由根与系数关系，知x 1＋x 2＝6k 3k 2－1，x 1x 2＝63k 2－1.OM →·ON →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－1)(kx 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2－k (x 1＋x 2)＋1＝6(1＋k 2)3k 2－1－6k 23k 2－1＋1＝63k 2－1＋1.又∵OM →·ON →＝－23，∴63k 2－1＋1＝－23，k ＝±12，经检验知，当k ＝±12时，方程①有两个不相等的实数根，∴方程为y ＝12x －1或y ＝－12x －1.12．A ，B ，C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6 km ，C 在B的北偏西30°，相距4 km ，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B ，C 两地比A 距P 地远，因此4 s后，B ，C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，A 若炮击P 地，求炮击的方位角．解析：如图所示，以直线BA为x轴、线段BA的中垂线为y轴建立直角坐标系，则B(－3,0)，A(3,0)，C(－5,23)．∵|PB|＝|PC|.∴点P在线段BC的垂直平分线上．∵k BC＝－3，BC中点为D(－4，3)，∴直线PD的方程为y－3＝13(x＋4)．①又|PB|－|P A|＝4，故P在以A、B为焦点的双曲线的右支上．设P(x，y)，则双曲线方程为x24－y25＝1(x≥0)．②由①、②解得x＝8，y＝53，所以P(8,53)．因此k P A＝538－3＝ 3.故炮击的方位角为北偏东30°.。
2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章第八节曲线与方程含答案解析
x＋ 3a 2 y2
即
2
12a
－4a2＝1.
∴点 P 的轨迹为双曲线．故选 D.
答案： D
4．已知动点 P(x， y)与两定点 M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数 λ(λ≠0)．则动点 P 的轨
迹 C 的方程为
．
解析： 由题设知直线 PM 与 PN 的斜率存在且均不为零，所以
整理得 x2－yλ2＝ 1(λ≠ 0， x≠ ±1)． 即动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2－ yλ2＝1(λ≠0，x≠ ±1) 答案： x2－yλ2＝1(λ≠0，x≠±1)
2，所以
mn＝ 4，又直线
AC 与 BD 的交点
为 M，
所以
y y－m x＋2＝ x－2 ，
y y－n x－2＝x＋2，
所以
4y m＝x＋2，
－4y n＝x－2，
16y2 所以－ x2－4＝4，所以点
M
的轨迹方程为
x2 4＋
y2＝
1(y≠0)． 答案： x42＋y2＝1(y≠0)
x2 y2 4．过椭圆 a2＋b2＝ 1(a＞ b＞ 0)上任意一点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，则线段 MN 中点的轨迹方
∵Q→P·Q→F＝F→P·F→Q，
∴(0， y＋1) ·(－ x,2)＝(x，y－1) ·(x，－ 2)， 即 2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得 x2＝4y， ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2＝ 4y.
答案： A
2．已知两定点 A(－2,0)， B(1,0)，如果动点 P 满足 |PA|＝2|PB|，则动点 P 的轨迹是 ( )
x－2 2＋y2－3，
故曲线 E 的方程为 y2＝6x.
(2)设直线 AB 的方程为 my＝x－2，
2019版同步优化探究理数北师大版练习：第八章第七节双曲线含解析
2019版同步优化探究理数北师大版练习：第八章第七节双曲线含解析1 / 11 / 1课时作业A 组 —— 基础对点练1．已知 F 为双曲线 C ：x 2－my 2＝ 3m(m>0)的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 ()A. 3 B ．3C. 3mD ．3mx2y2分析：双曲线方程为 3m － 3 ＝1，焦点 F 到一条渐近线的距离为 3.选 A.答案： A22x y2．已知双曲线 a 2－ 3 ＝ 1(a>0)的离心率为 2，则 a ＝ ()6A ．2 B. 25C. 2D ．1x 2 y 2232分析： 由于双曲线的方程为 a 2－ 3 ＝1，所以 e ＝ 1＋ a 2＝ 4，所以 a ＝ 1， a ＝ 1. 选 D.答案： D2 2)3．双曲线 x －4y ＝－ 1 的渐近线方程为 (A ． x ±2y ＝0B ．y ±2x ＝0C ．x ±4y ＝0D ．y ±4x ＝0y 2 2y 2 2分析：依题意，题中的双曲线即 1 －x ＝1，所以其渐近线方程是1 － x ＝0，即 x ±2y44＝ 0，选 A.答案： Ax 224．已知双曲线 3 －y ＝1 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，点 P 在双曲线上，且知足 |PF 1|＋|PF 2|＝2 5，则△ PF 1F 2 的面积为 ( )A ． 1B. 3。
(完整版)双曲线及其标准方程测试题及解析人教版
双曲线及其标准方程测试题及解析（人教版）§2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程课时目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念(1)双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的点的轨迹为__________________________________________．平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的点的轨迹__________．(2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F1、F2叫做________________，两焦点间的距离叫做________________．2．双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F1__________，F2__________.(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________________________，焦点F1________，F2__________.(3)双曲线中a、b、c的关系是____________．一、选择题1．已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若ax2＋by2＝b(ab0)，则这个曲线是()A．双曲线，焦点在x轴上B．双曲线，焦点在y轴上C．椭圆，焦点在x轴上D．椭圆，焦点在y轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()A．x2－y23＝1B.x23－y2＝1C．y2－x23＝1D．x22－y22＝14．双曲线x2m－y23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m的值为()A．12B．1或3C．1＋22D．2－125．一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为()A．抛物线B．圆C．双曲线的一支D．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－5，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是()A．x24－y2＝1B．x2－y24＝1C．x22－y23＝1D．x23－y22＝1题号123456答案二、填空题7．设F1、F2是双曲线x24－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且PF1→PF2→＝0，则|PF1||PF2|＝______. 8．已知方程x21＋k－y21－k＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．9．F1、F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点，P在双曲线上且满足|PF1||PF2|＝32，则∠F1PF2＝______.三、解答题10．设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A满足sinB －sinC＝12sinA，求动点A的轨迹方程．能力提升12．若点O和点F(－2，0)分别为双曲线x2a2－y2＝1(a0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则OP→FP→的取值范围为()A．[3－23，＋∞)B．[3＋23，＋∞)C．[－74，＋∞)D．[74，＋∞)13．已知双曲线的一个焦点为F(7，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．§2.2双曲线2．2.1双曲线及其标准方程答案知识梳理1．(1)|F1F2|以F1，F2为端点的两条射线不存在(2)双曲线的焦点双曲线的焦距2．(1)x2a2－y2b2＝1(a0，b0)(－c,0)(c,0)(2)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)(0，－c)(0，c)(3)c2＝a2＋b2作业设计1．B[根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲乙，只有当2a|F1F2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．] 2．B[原方程可化为x2ba＋y2＝1，因为ab0，所以ba0，所以曲线是焦点在y轴上的双曲线，故选B.]3．A[∵双曲线的焦点在x轴上，∴设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．由题知c＝2，∴a2＋b2＝4.①又点(2,3)在双曲线上，∴22a2－32b2＝1.②由①②解得a2＝1，b2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x2－y23＝1.]4．A[∵双曲线的焦点为(2,0)，在x轴上且c＝2，∴m＋3＋m＝c2＝4.∴m＝12.]5．C[由题意两定圆的圆心坐标为O1(0,0)，O2(4,0)，设动圆圆心为O，动圆半径为r，则|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝1|O1O2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B[设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，因为c＝5，c2＝a2＋b2，所以b2＝5－a2，所以x2a2－y25－a2＝1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2)，则P点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a2－165－a2＝1，解得a2＝1或a2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x2－y24＝1.故选B.]7．2解析∵||PF1|－|PF2||＝4，又PF1⊥PF2，|F1F2|＝25，∴|PF1|2＋|PF2|2＝20，∴(|PF1|－|PF2|)2＝20－2|PF1||PF2|＝16，∴|PF1||PF2|＝2.8．－1k1解析因为方程x21＋k－y21－k＝1表示双曲线，所以(1＋k)(1－k)0.所以(k＋1)(k－1)0.所以－1k1.9．90°解析设∠F1PF2＝α，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.在△F1PF2中，由余弦定理，得(2c)2＝r21＋r22－2r1r2cosα，∴cosα＝(r1－r2)2＋2r1r2－4c22r1r2＝36＋64－10064＝0.∴α＝90°.10．解方法一设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，由题意知c2＝36－27＝9，c＝3.又点A的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有42a2－(±15)2b2＝1，a2＋b2＝9，解得a2＝4，b2＝5. 所以双曲线的标准方程为y24－x25＝1.方法二将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±15，4)，又两焦点分别为F1(0,3)，F2(0，－3)．所以2a＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4，即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y24－x25＝1.11．解设A点的坐标为(x，y)，在△ABC中，由正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC＝2R，代入sinB－sinC＝12sinA，得|AC|2R－|AB|2R＝12|BC|2R，又|BC|＝8，所以|AC|－|AB|＝4.因此A点的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a＝4,2c＝8，所以a＝2，c＝4，b2＝12.所以A点的轨迹方程为x24－y212＝1(x2)．12．B[由c＝2得a2＋1＝4，∴a2＝3，∴双曲线方程为x23－y2＝1.设P(x，y)(x≥3)，∴OP→FP→＝(x，y)(x＋2，y)＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋x23－1＝43x2＋2x－1(x≥3)．令g(x)＝43x2＋2x－1(x≥3)，则g(x)在[3，＋∞)上单调递增．g(x)min＝g(3)＝3＋23.OP→FP→的取值范围为[3＋23，＋∞)．]13．解设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1，且c＝7，则a2＋b2＝7.①由MN中点的横坐标为－23知，中点坐标为－23，－53.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，得b2(x1＋x2)(x1－x2)－a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∵x1＋x2＝－43y1＋y2＝－103，且y1－y2x1－x2＝1，∴2b2＝5a2.②由①，②求得a2＝2，b2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x22－y25＝1.。
2019版同步优化探究文数(北师大版)练习第八章 第七节 双曲线 Word版含解析
课时作业组——基础对点练．已知为双曲线：－＝(>)的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为( )．．解析：双曲线方程为－＝，焦点到一条渐近线的距离为.选.答案：．已知双曲线－＝(>)的离心率为，则＝( )．．解析：因为双曲线的方程为－＝，所以＝＋＝，因此＝，＝.选.答案：．双曲线－＝－的渐近线方程为( )．±＝．±＝．±＝．±＝解析：依题意，题中的双曲线即－＝，因此其渐近线方程是－＝，即±＝，选.答案：．已知双曲线－＝的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且满足＋＝，则△的面积为( )．解析：在双曲线－＝中，＝，＝，＝.不防设点在双曲线的右支上，则有－＝＝，又＋＝，∴＝＋，＝－.又＝＝，而＋＝，∴⊥，∴△＝××＝×(＋)×(－)＝.故选.答案：．已知双曲线：－＝(>，>)，直线：＝－.若直线平行于双曲线的一条渐近线且经过的一个顶点，则双曲线的焦点到渐近线的距离为( )．．．解析：根据题意，双曲线的方程为－＝(>，>)，其焦点在轴上，渐近线方程为＝±，又由直线平行于双曲线的一条渐近线，可知＝，直线：＝－与轴的交点坐标为()，即双曲线的一个顶点坐标为()，即＝，则＝＝，故双曲线的焦点到渐近线的距离为，故选.答案：．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为( )．．解析：不妨设双曲线的方程为－＝(>，>)，因为焦点()到渐近线－＝的距离为，所以＝，即＝，所以＝，所以该双曲线的离心率＝＝＝，故选.答案：．已知双曲线：－＝的离心率＝，且其右焦点为 ()，则双曲线的方程为( )－＝－＝－＝－＝解析：由题意得＝＝，又右焦点为()，＋＝，所以＝，＝，故双曲线的方程为－＝.答案：．已知双曲线－＝(>，>)的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线＋＝垂直，则双曲线的方程为( )．－＝－＝－＝－＝解析：由题意得＝，＝，则＝，＝，所以双曲线的方程为－＝.答案：．(·山西八校联考)已知双曲线：－＝(>，>)的左、右焦点分别为，，焦距为，直线＝(＋)与双曲线的一个交点满足∠＝∠，则双曲线的离心率为( )＋．＋解析：∵直线＝(＋)过左焦点，且其倾斜角为°，∴∠＝°，∠＝°，∴∠＝°，即⊥.∴＝＝，＝°＝，由双曲线的定义得＝－＝－，∴双曲线的离心率＝＝＝＋，选.答案：．已知，是双曲线：－＝(>，>)的两个焦点，是双曲线上一点，若＋＝，且△最小内角的大小为°，则双曲线的渐近线方程是( )．±＝±＝．±＝．±＝解析：不妨设>，则(\\(－＝，＋＝，))所以＝，＝，且＝，即为最小边，即∠＝°，则△为直角三角形，所以＝，所以＝，即渐近线方程为＝±，故选.答案：．已知双曲线：－＝(>，>)的焦距为，点()在的一条渐近线上，则的方程为( )－＝－＝－＝－＝解析：依题意(\\(＋＝＝()×))，解得(\\(＝＝))，∴双曲线的方程为－＝.答案：。
2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章 第六节 抛物线含答案解析
课时作业 A 组——基础对点练1．(2017·沈阳质量监测)抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a D.⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0 解析：将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C.答案：C2．(2017·辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．2 B.12 C.32D.52解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32.答案：C3．(2017·邯郸质检)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：依题意，设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝(x 1＋12)＋(x 2＋12)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.选C.答案：C4．已知直线l ：y ＝kx －k 与抛物线C ：y 2＝4x 及其准线分别交于M ，N 两点，F 为抛物线的焦点，若2FM →＝MN →，则实数k 等于( ) A ．±33 B ．±1 C ．±3D ．±2解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，直线l ：y ＝kx －k 过抛物线的焦点，如图．过M 作MM ′⊥准线x ＝－1，垂足为M ′，由抛物线的定相等，由2FM →＝义，得|MM ′|＝|MF |，易知∠M ′MN 与直线l 的倾斜角MN →，得cos ∠M ′MN ＝|MM ′||MN |＝12，则tan ∠M ′MN ＝±3，∴直线l的斜率k ＝±3，故选C. 答案：C5．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( ) A ．25－1 B ．25－2 C.17－1D.17－2解析：由题意得圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心A (0,4)，半径r ＝1，抛物线的焦点F (1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF |－r ＝1＋16－1＝17－1.选C. 答案：C6．(2017·沈阳质量监测)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作P A ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF |＝ .解析：设l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF |＝2，所以|AB |＝233，设P (x 0，y 0)，则x 0＝±233，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，从而|PF |＝|P A |＝y 0＋1＝43. 答案：437．(2017·云南检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0)，⊙M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，如果抛物线C 的准线与⊙M 相切，那么p 的值为 ．解析：将⊙M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4,0)，半径r ＝2，又抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴|4－p2|＝2，解得p ＝12或4. 答案：12或48.如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是 ．解析：分别过点A 、B 作准线的垂线AE 、BD ，分别交准线于点E 、D (图略)，则|BF |＝|BD |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BD |，∴∠BCD ＝30°，又|AE |＝|AF |＝3，∴|AC |＝6，即点F 是AC 的中点，根据题意得p ＝32，∴抛物线的方程是y 2＝3x . 答案：y 2＝3x9．已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F ，圆W ：(x ＋p )2＋y 2＝p 2的圆心到过点F 的直线l 的距离为p .(1)求直线l 的斜率；(2)若直线l 与抛物线交于A 、B 两点，△WAB 的面积为8，求抛物线的方程．解析：(1)易知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F (p,0)，依题意直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋p ，因为W (－p,0)， 所以点W 到直线l 的距离为|－p －p |1＋(－m )2＝p ，解得m ＝±3，所以直线l 的斜率为±33. (2)由(1)知直线l 的方程为x ＝±3y ＋p ，由于两条直线关于x 轴对称，不妨取x ＝3y ＋p ， 联立⎩⎨⎧x ＝3y ＋p ，y 2＝4px ，消去x 得y 2－43py －4p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝43p ，y 1y 2＝－4p 2， 所以|AB |＝1＋(3)2·(43p )2＋4×4p 2＝16p ， 因为△WAB 的面积为8，所以12p ×16p ＝8，得p ＝1， 所以抛物线的方程为y 2＝4x .10．(2017·合肥质检)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)，O 是坐标原点，点A ，B 为抛物线C 1上异于O 点的两点，以OA 为直径的圆C 2过点B . (1)若A (－2,1)，求p 的值以及圆C 2的方程； (2)求圆C 2的面积S 的最小值(用p 表示)．解析：(1)∵A (－2,1)在抛物线C 1上，∴4＝2p ，p ＝2.又圆C 2的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，半径为|OA |2＝52，∴圆C 2的方程为(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54.(2)记A (x 1，x 212p )，B (x 2，x 222p )．则OB →＝(x 2，x 222p )，AB →＝(x 2－x 1，x 22－x 212p )． 由OB →·AB →＝0知，x 2(x 2－x 1)＋x 22(x 22－x 21)4p 2＝0.∵x 2≠0，且x 1≠x 2，∴x 22＋x 1·x 2＝－4p 2，∴x 1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4p 2x 2. ∴x 21＝x 22＋16p 4x 22＋8p 2≥216p 4＋8p 2＝16p 2，当且仅当x 22＝16p 4x 22，即x 22＝4p 2时取等号．又|OA |2＝x 21＋x 414p 2＝14p2(x 41＋4p 2·x 21)，注意到x 21≥16p 2， ∴|OA |2≥14p 2(162·p 4＋4p 2·16p 2)＝80p 2.而S ＝π·|OA |24，∴S ≥20πp 2，即S 的最小值为20πp 2，当且仅当x 22＝4p 2时取得．B 组——能力提升练1．已知抛物线C ：y 2＝mx (m >0)的焦点为F ，点A (0，－3)．若射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点D ，且|FM |∶|MD |＝1∶2，则点M 的纵坐标为( ) A ．－13 B ．－33 C ．－23D ．－233解析：依题意，F 点的坐标为(m4，0)，设点M 在准线上的射影为K ，由抛物线的定义知|MF |＝|MK |，因为|FM |∶|MD |＝1∶2，所以|KD |∶|KM |＝3∶1，k FD ＝3，k FD ＝0＋3m 4－0＝43m ，所以43m ＝3，解得m ＝4，所以直线FM 的方程为y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得x ＝3(舍去)或x ＝13，所以y 2＝43，y ＝－233或y ＝233(舍去)，故点M 的坐标为(13，－233)，故选D.答案：D2．(2018·石家庄质检)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝855，则抛物线C 2的方程为( ) A ．y 2＝85x B ．y 2＝165x C ．y 2＝325xD ．y 2＝645x解析：由题意，知直线AB 必过原点，则设AB 的方程为y ＝kx (k >0)，圆心C 1(0,2)到直线AB 的距离d ＝2k 2＋1＝22－(455)2＝255，解得k ＝2(k ＝－2舍去)．由⎩⎨⎧y ＝2x x 2＋(y －2)2＝4，可取A (0,0)，B (85，165)，把(85，165)代入抛物线方程，得(165)2＝2p ·85，解得p ＝165，所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x ，故选C. 答案：C3．已知点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x ＋12)2＋(y －4)2＝1上，则|PQ |的最小值为( ) A.352－1 B.332－1 C ．23－1D.10－1解析：设点P (y 2，y )(y ∈R)，圆(x ＋12)2＋(y －4)2＝1的圆心为A (－12，4)，则|P A |2＝(y 2＋12)2＋(y －4)2＝y 4＋2y 2－8y ＋654，令t ＝y 4＋2y 2－8y ＋654，则t ′＝4y 3＋4y －8，令m ＝t ′＝4y 3＋4y －8，则m ′＝12y 2＋4>0，所以m ＝t ′＝4y 3＋4y －8在R 上是增函数，因为t ′|y ＝1＝0，所以y ＝1为t ＝y 4＋2y 2－8y ＋654的极小值点也是最小值点，所以|P A |2＝t 的最小值为454，所以|P A |的最小值为352，所以|PQ |的最小值为352－1，故选A. 答案：A4．(2018·山西八校联考)已知抛物线y 2＝4x 的准线与x 轴相交于点P ，过点P 且斜率为k (k >0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若|FB |＝2|F A |，则AB 的长度为 ．解析：依题意知P (－1,0)，F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|FB |＝2|F A |，得x 2＋1＝2(x 1＋1)，即x 2＝2x 1＋1 ①，∵P (－1,0)，则AB 的方程为y ＝kx ＋k ，与y 2＝4x 联立，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，则Δ＝(2k 2－4)2－4k 4>0，即k 2<1，x 1x 2＝1 ②，由①②得x 1＝12，则A (12，2)， ∴k ＝2－012－(－1)＝223.∴x 1＋x 2＝52， |AB |＝(1＋89)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝172.答案：1725．(2018·昆明市检测)设F 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点A ，直线F A 恰与曲线y ＝k x (k >0)相切于点A ，F A 交C 的准线于点B ，则|F A ||BA |等于 ． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝kx，解得⎩⎨⎧x ＝k32pk ，y ＝32pk .由y ＝k x ，得y ′＝－k x 2，所以k F A ＝32pkk32pk －p 2＝－kk 234p 2k 2，化简得k ＝p 242，所以x ＝k 32pk＝p 4， |F A ||AB |＝|x F －x A ||x A －x B |＝p 2－p 4p 4－(－p 2)＝13.答案：136．(2017·唐山统考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12. (1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程． 解析：(1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ， 得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p 2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . (2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0， y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8. 设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2| ＝(1＋m 2)(16m 2－32)，②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝±3.所以，直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0. 7.如图，由部分抛物线：y 2＝mx ＋1(m ＞0，x ≥0)和半圆x 2＋y 2＝r 2(x ≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C ”，若“黄金抛物线C ”经过点(3,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. (1)求“黄金抛物线C ”的方程；(2)设P (0,1)和Q (0，－1)，过点P 作直线l 与“黄金抛物线C ”相交于A ，P ，B 三点，问是否存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解析：(1)∵“黄金抛物线C ”过点(3,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，∴r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1,4＝3m ＋1，∴m ＝1.∴“黄金抛物线C ”的方程为y 2＝x ＋1(x ≥0)和x 2＋y 2＝1(x ≤0)．(2)假设存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ，显然直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l ：y ＝kx ＋1，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1y 2＝x ＋1，消去y ，得k 2x 2＋(2k －1)x ＝0，∴x B ＝1－2kk 2，y B ＝1－k k ，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k k 2，1－k k ，∴k BQ ＝k 1－2k ， 联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1x 2＋y 2＝1，消去y ，得(k 2＋1)x 2＋2kx ＝0，∴x A ＝－2kk 2＋1，y A ＝1－k 2k 2＋1，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k 2＋1，1－k 2k 2＋1，∴k AQ ＝－1k ， ∵QP 平分∠AQB ，∴k AQ ＋k BQ ＝0， ∴k 1－2k －1k＝0，解得k ＝－1±2， 由图形可得k ＝－1－2应舍去，∴k ＝2－1，∴存在直线l：y＝(2－1)x＋1，使得QP平分∠AQB.。
2019-2020学年高中数学 8.7双 曲 线同步训练 理 新人教A版.doc
2019-2020学年高中数学 8.7双 曲 线同步训练 理 新人教A 版一、选择题（每小题6分，共36分）1.已知双曲线22x a -22y b=1的一个焦点与圆x 2+y 2-2x=0线的方程为( )（A ）5x 2-25y 4=1 （B ）2x 5-2y 4=1 （C ）2y 5-2x 4=1 （D ）5y 2-25x 4=1 2.(2012·沈阳模拟）双曲线2x n-y 2=1(n ＞1)的两个焦点为F 1,F 2,P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=PF 1F 2的面积为( ) (A)12(B)1 (C)2 (D)43.(预测题)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )（A （B（C （D4.已知双曲线2x 25-2y 9=1的左支上一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是线段MF 2的中点，O 是坐标原点，则|ON|等于( )（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）235.(2012·武汉模拟)已知抛物线y 2=4x 的准线与双曲线222x y a-=1(a>0)交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是( )(C)2(D)36.设F 1、F 2分别为双曲线22x a -22y b=1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( ) （A ）3x ±4y=0 （B ）3x ±5y=0 （C ）4x ±3y=0 （D ）5x ±4y=0 二、填空题（每小题6分，共18分）7.（2012·杭州模拟）已知直线ax+y+2=0与双曲线x 2-2y 4=1的一条渐近线平行，则这两条平行直线之间的距离是______.8.（2012·随州模拟）P 为双曲线x 2-2y 15=1右支上一点，M 、N 分别是圆(x+4)2+y 2=4和(x-4)2+y 2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为_______.9.（易错题）以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，若|PA |-|PB |=k ，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若OP =12(OA +OB )，则动点P 的轨迹为椭圆；③方程2x 2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线2x 25-2y 9=1与椭圆2x 35+y 2=1有相同的焦点．其中真命题的序号为_______(写出所有真命题的序号)． 三、解答题（每小题15分，共30分）10.（2012·黄冈模拟）点P 是以F 1，F 2为焦点的双曲线E ：22x a －22y b＝1(a>0，b>0)上的一点，已知PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝2|PF 2|，O 为坐标原点．(1)求双曲线的离心率e ；(2)过点P 作直线分别与双曲线两渐近线相交于P 1，P 2两点，且1OP ·2OP ＝274－，12PP ＋2PP ＝0，求双曲线E 的方程.11.已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22x a －22y b＝1(a>0，b>0)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为M(1,3)．(1)求C 的离心率；(2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF|·|BF|＝17，求证：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切． 【探究创新】（16分）某飞船返回仓顺利返回地球后，为了及时救出航天员，地面指挥中心在返回仓预计到达的区域内安排了三个救援中心（如图1分别记为A ，B ，C ），B 地在A 地正东方向上，两地相距6 km ； C 地在B 地北偏东30°方向上，两地相距4 km ，假设P 为航天员着陆点，某一时刻A 救援中心接到从P 点发出的求救信号，经过4 s 后，B 、C 两个救援中心也同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1 km/s. (1)求A 、C 两地救援中心的距离； (2)求P 相对A 的方向角；(3)试分析信号分别从P 点处和P 点的正上方Q 点（如图2，返回仓经Q 点垂直落至P 点）处发出时，A 、B 两个救援中心收到信号的时间差的变化情况（变大还是变小），并证明你的结论.答案解析1.【解析】选A.因为圆x 2+y 2-2x=0的圆心坐标为(1,0)，所以双曲线中c=1，又因为双曲线的离心率为ca所以2=45，因此，双曲线方程为5x 2-25y 4=1. 2.【解析】选B.不妨设点P在双曲线的右支上，则1212PF PF PF PF ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴|PF 12又∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,∴∠F 1PF 2=90°, ∴12PF F S=121PF PF 2=1. 3.【解析】选D.因为焦点在x 轴上与焦点在y 轴上的离心率一样，所以不妨设双曲线方程为22x a -22y b=1（a>0,b>0），则双曲线的渐近线的斜率k=ba±， 一个焦点坐标为F(c,0)，一个虚轴的端点为B(0,b)，所以k FB =bc-，又因为直线FB 与双曲线的一条渐近线垂直，所以k ·k FB =b b ()ac -)=-1（b a-显然不符合）,即b 2=ac,c 2-a 2=ac,所以,c 2-a 2-ac=0,即e 2-e-1=0，解得e=12+（负值舍去）. 【变式备选】双曲线 22x a -22y b =1(a ＞0,b ＞0)的离心率为2,则2b 13a+的最小值为( )（A （B （C ）2 （D ）1 【解析】选A.因为双曲线的离心率为2，所以ca=2， 即c=2a ，c 2=4a 2；又因为c 2=a 2+b 2，所以a 2+b 2=4a 2，即，因此2b 13a +=23a 13a +=1a 3a +≥a=13a 时等号成立.即2b 13a +的最小值为3.4.【解析】选A.设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线的定义知： |MF 2|-|MF 1|=10,又因为|MF 2|=18，所以|MF 1|=8, 而|ON|=12|MF 1|=4. 5.【解析】选B.由题意易知，抛物线的准线方程为x=-1，焦点为F(1,0)，直线x=-1与双曲线的交点坐标为(-1),若△FAB 为直角三角形，则只能是∠AFB 为直角，△FAB 为等腰直角三角形，所以=2⇒从而可得所以双曲线的离心率e=c a 选B.6.【解析】选C.设PF 1的中点为M ，因为|PF 2|=|F 1F 2|， 所以F 2M ⊥PF 1，因为|F 2M|=2a ， 在直角三角形F 1F 2M 中，|F 1，故|PF 1|=4b,根据双曲线的定义得4b-2c=2a,即2b-c=a,因为c 2=a 2+b 2，所以(2b-a)2=a 2+b 2,即3b 2-4ab=0,即3b=4a, 故双曲线的渐近线方程是y=4x 3±， 即4x ±3y=0.【变式备选】F 1,F 2是双曲线C ：22x a -22y b=1(a>0,b>0)的两个焦点，P 是C 上一点，且△F 1PF 2是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为( ) （A）1+（B）2（C）3（D）3【解析】选A.设双曲线C 的焦距为2c,依题设不妨令|F 1F 2|=|PF 2|,即2c=2b a，∴2c=22c a a -,即2ac=c 2-a 2,∴e 2-2e-1=0,∴e=1又∵e ＞1,∴7.【解析】∵双曲线方程为:x 2-2y 4=1, ∴其渐近线方程为:y=±2x, 又∵ax+y+2=0与渐近线平行, ∴a=2,∴两平行线之间的距离为8.【解析】双曲线的两个焦点F 1(-4,0)、F 2(4,0)分别为两个圆的圆心，两圆的半径分别为r 1=2,r 2=1.由题意得|PM|max =|PF 1|+2,|PN|min =|PF 2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为(|PF 1|+2)-(|PF 2|-1)=|PF 1|-|PF 2|+3=5. 答案：5【方法技巧】圆锥曲线上的点到定点距离的和、差的最值的求法：一般不用选变量建立目标函数的方法求解，而是利用该点适合圆锥曲线的定义，将所求转化为与焦点的距离有关的最值问题，再利用数形结合法求解.9.【解析】①错误，当k ＞0且k ＜|AB|，表示以A 、B 为焦点的双曲线的一支；当k ＞0且k=|AB|时表示一条射线；当k ＞0且k ＞|AB|时，不表示任何图形；当k ＜0时，类似同上．②错误，P 是AB 中点，且P 到圆心与A 的距离的平方和为定值．故P 的轨迹应为圆．③方程两根为12和2,可以作为椭圆和双曲线的离心率，故正确.④由标准方程易求双曲线和椭圆的焦点坐标都为(0)，故正确. 答案:③④10.【解析】(1)∵|PF 1|＝2|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a.∵PF 1⊥PF 2，∴(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，即5a 2=c 2, ∴e(2)由(1)知双曲线的方程可设为22x a -22y 4a＝1，渐近线方程为y ＝±2x.设P 1(x 1,2x 1)，P 2(x 2，－2x 2)，P(x ，y)， ∵1OP ·2OP ＝－3x 1x 2＝274－⇒x 1x 2＝94， ∵21PP ＋2PP ＝0⇒12122x x x 32(2x x )y 3⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＝－＝∵点P 在双曲线上，∴2122(2x x )9a ＋－2122(2x x )9a －＝1， 化简得x 1x 2＝29a 8，∴29a 8＝94⇒a 2＝2，∴双曲线方程为2x 2－2y 8＝1.11.【解析】(1)由题意知，l 的方程为y ＝x ＋2.代入C 的方程，并化简，得(b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0. 设B(x 1，y 1)、D(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2224a b a －， x 1·x 2＝222224a a b b a ＋－－， ①由M(1,3)为BD 的中点知12x x 2＋＝1， 故12×2224a b a －＝1， 即b 2＝3a 2， ②故c 2a ， 所以C 的离心率e ＝ca＝2. (2)由①②知，C 的方程为：3x 2－y 2＝3a 2，A(a,0)，F(2a,0)，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝243a 2＋－<0，故不妨设x 1≤－a ，x 2≥a.|BF|1,|FD|2-a,|BF|·|FD|＝(a －2x 1)(2x 2－a)＝－4x 1x 2＋2a(x 1＋x 2)－a 2＝5a 2＋4a ＋8.又|BF|·|FD|＝17，故5a 2＋4a ＋8＝17， 解得a ＝1或a ＝95－(舍去)．故|BD|1－x 2|·=6.连接MA ，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3， 从而|MA|＝|MB|＝|MD|，且MA ⊥x 轴，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切． 所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切. 【探究创新】 【解析】（1）以AB 的中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A(-3,0),B(3,0),C(5,，则 (km)，即A、C两个救援中心的距离为km.（2）∵|PC|=|PB|，所以P在BC线段的垂直平分线上.又∵|PB|-|PA|=4，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且|A B|=6,∴双曲线方程为2x4-2y5=1(x＜0).BC的垂直平分线的方程为-7=0，联立两方程解得： x=-8.∴P(-8,∴k PA=tan∠PAB=∴∠PAB＝120°,所以P点在A点的北偏西30°方向上.（3）如图，设|PQ|=h,|PB|=x,|PA|=y,∵|QB|-|QA|22=(x y)-＜1, ∴|QB| -|QA|＜|PB|-|PA|,∴QB1-QA1＜PB1-PA1.即信号从P点的正上方Q点处发出时A、B收到信号的时间差比信号从P点处发出时A、B收到信号的时间差变小.。
2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第8章 第7节 双
第七节双曲线[考纲传真](教师用书独具)1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．(对应学生用书第144页)[基础知识填充]1．双曲线的定义(1)平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质[1．三种常见双曲线方程的设法(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．2．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝ 2.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.() [答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)已知双曲线x2a2－y23＝1(a>0)的离心率为2，则a＝()A ．2B ．62C ．52 D ．1D [依题意，e ＝ca ＝a 2＋3a ＝2，所以a 2＋3＝2a ，则a 2＝1，a ＝1.]3．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．11 B ．9 C ．5 D ．3B [由题意知a ＝3，b ＝4，∴c ＝5.由双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9.]4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( ) A ．x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C ．3x 220－3y 25＝1D ．3x 25－3y 220＝1A[由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，a 2＋b 2＝5，a ＞0，b ＞0，解得a ＝2，则b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1，故选A ．]5．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.5 [∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a >0)， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.](对应学生用书第145页)(1)已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( ) A ．48 B ．24 C ．12D ．6(2)(2017·湖北武汉调研)若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则|PF |＋|P A |的最小值是( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．12(1)B (2)B [(1)由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10， 由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S△PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.(2)由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B ，则B (4,0)，由双曲线的定义知|PF |＋|P A |＝4＋|PB |＋|P A |≥4＋|AB |＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号． 所以|PF |＋|P A |的最小值为9.][跟踪训练] 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )【导学号：79140294】A ．14B ．13C ．24D ．23A [由e ＝ca ＝2得c ＝2a ，如图，由双曲线的定义得|F 1A |－|F 2A |＝2a .又|F 1A |＝2|F 2A |，故|F 1A |＝4a ，|F 2A |＝2a ，∴cos ∠AF 2F 1＝(4a )2＋(2a )2－(4a )22×4a ×2a ＝14.](1)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A ．x 28－y 210＝1 B ．x 24－y 25＝1 C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1(2)(2018·湖北调考)已知点A (－1,0)，B (1,0)为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，点M 在双曲线上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 24＝1B ．x 2－y 23＝1C ．x 2－y 22＝1D ．x 2－y 2＝1(1)B (2)D [(1)由y ＝52x 可得b a ＝52. ① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)， 可得a 2＋b 2＝9.②由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1. 故选B ．(2)由题意知a ＝1.不妨设点M 在第一象限，则由题意有|AB |＝|BM |＝2，∠ABM ＝120°.过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，则|BN |＝1，|MN |＝3，所以M (2，3)，代入双曲线方程得4－3b 2＝1，解得b ＝1，所以双曲线的方程为x 2－y 2＝1，故选D ．][跟踪训练] (1)已知双曲线C ：x a 2－y b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( ) A ．x 24－y 23＝1 B ．x 29－y 216＝1 C ．x 216－y 29＝1D ．x 23－y 24＝1 (2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为__________．(1)C (2)x 216－y 29＝1 [由焦点F 2(5,0)知c ＝5. 又e ＝c a ＝54，得a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9. 所以双曲线C 的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8. 由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3.故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1，即x 216－y 29＝1.]◎角度1 双曲线的离心率问题(2018·长沙模拟(二))已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆(x －22)2＋y 2＝83相切，则该双曲线的离心率为( ) A ．62 B ．32 C ． 3D ．3A [由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线y ＝ba x ，即bx －ay ＝0与圆相切得|22b |b 2＋a2＝22b c ＝223，即c ＝3b ，则c 2＝3b 2＝3(c 2－a 2)，化简得2c ＝3a ，则该双曲线的离心率为e ＝c a ＝32＝62，故选A ．]◎角度2 双曲线的渐近线问题(2018·合肥二检)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为________．y ＝±2x [因为e ＝ca ＝3，所以c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，故b ＝2a ，则此双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x .]◎角度3 双曲线性质的综合应用(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( ) A ．13 B ．12 C ．23D ．32D [因为F 是双曲线C ：x 2－y23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3， 所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32. 故选D ．][跟踪训练] (1)(2017·全国卷Ⅱ)若a >1，则双曲线x a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(2，2) C ．(1，2)D ．(1,2)(2)(2016·全国卷Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)(3)(2017·武汉调研)双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为54，焦点到渐近线的距离为3，则C 的实轴长等于________.【导学号：79140295】(1)C (2)A (3)8 [(1)由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a ＞1，∴0＜1a 2＜1，∴1＜1＋1a 2＜2， ∴1＜e ＜ 2. 故选C ．(2)若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎨⎧m 2＋n ＞0，3m 2－n ＞0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎨⎧1＋n ＞0，3－n ＞0，∴－1<n <3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x 2－m 2－n ＝1，即⎩⎨⎧n －3m 2＞0，－m 2－n ＞0，即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在．故选A ．(3)因为e ＝c a ＝54，所以c ＝54a ，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ab x ，即ax －by ＝0，焦点为(0，c )，所以bc a 2＋b 2＝b ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2516a 2－9，所以a 2＝16，即a ＝4，故2a ＝8.]。
双曲线(讲)-2019年高考数学(文)---精校解析 Word版
【考纲解读】【知识清单】1.双曲线的定义及标准方程1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程2.双曲线的几何性质双曲线的几何性质考点1 双曲线的定义及标准方程【1-1】【2017天津，文5】已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（）（A）（B）（C）（D）【答案】【1-2】【2018年天津卷文】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为A. B.C.D.【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为（c >0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择A选项. 【综合点评】 1.双曲线的轨迹类型是；2．双曲线标准方程的求解方法是”待定系数法”，“先定型，后计算”．【领悟技法】1.待定系数法求双曲线方程的常用方法(1)与双曲线a2x2－b2y2＝1共渐近线的可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)；(2)若渐近线方程为y ＝±a b x ，则可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)； (3)若过两个已知点则设为m x2＋n y2＝1(mn <0)． 2．应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．3．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a 、b 、c 的关系易错易混．【触类旁通】【变式一】【2017天津，理5】已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ） （B ）（C ）（D ）【变式二】【2018届重庆市巴蜀中学高三9月月考】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为异于的两点，且的中点在双曲线的左支上，点关于和的对称点分别为，则的值为（ ）A. 26B.C. 52D.【答案】D【解析】设MN 与双曲线的交点为点P ，由几何关系结合三角形中位线可得：，则：，点P 位于双曲线的左支，则：.本题选择D选项.【综合点评】1、在焦点三角形中，注意双曲线的定义和正弦定理、余弦定理交汇解题；2、求双曲线方程需要两个独立条件．考点2 双曲线的简单几何性质【2-1】【2018年全国卷Ⅲ文】已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为A. B. C. D.【答案】D【2-2】【2017课标II，文5】若，则双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，因为，所以，则，故选C.【2-3】【2017江苏，8】在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,,其焦点是,则四边形的面积是 .【答案】【综合点评】1．已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分m ＝a b 或m ＝b a讨论，求离心率值，需要寻求的等式，求离心率取值范围，需寻求关于的不等式关系，并结合求．2．注意数形结合思想在处理渐近线夹角，离心率范围求法中的应用．【领悟技法】1．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞.2．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.3．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 4．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 5．渐近线与离心率a2x2－b2y2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为a b ＝ a2b2＝ a2c2－a2＝.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．【触类旁通】【变式1】【2018年浙江卷】双曲线的焦点坐标是( )A. (−，0)，(，0) B. (−2，0)，(2，0) C. (0，−)，(0，) D. (0，−2)，(0，2)【答案】B【变式2】【2018届湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学高三上学期期中联考】已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b，则E的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】由题意可知：双曲线的右焦点，由关于原点的对称点为则四边形为平行四边形则由，根据椭圆的定义在中，则，整理得则双曲线的离心率故答案选【综合点评】1、充分利用条件列关于的等式或不等式，可得离心率的取值或取值范围；2、双曲线的渐近线是与之间的比值关系，再结合，可得的关系，及离心率的关系，从这点而言，渐近线方程和离心率是有联系的．【易错试题常警惕】易错典例：已知圆，圆都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程．易错分析：忽视双曲线定义．温馨提示：双曲线的轨迹类型是．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休.""数"与"形"反映了事物两个方面的属性.我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.【典例】【2018年全国卷Ⅲ理】设是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（）A. B. 2 C. D.【答案】C。
2020年同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章第七节双曲线Word版含解析.doc
课时作业 A 组一一基础对点练1.已知F 为双曲线C : x 2— m\j z = 3m(m>0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近 线的距离为()B. 3C. 3mD . 3m解析：双曲线方程为 盖—£二1,焦点F 到一条渐近线的距离为 3.选 A. 答案：A2 2x y2.已知双曲线 孑一3= 1(a>0)的离心率为2,C . 2选D. 答案:3. 双曲线x 2 — 4y 2= — 1的渐近线方程为( A. x ±y = 0 C . x ±y = 02解析：依题意，题中的双曲线即片—x 2二1,因此其渐近线方程是4=0,选 A. 答案：A24. 已知双曲线x3 — y 2= 1的左、右焦点分别为F 1, F 2,点P 在双曲线上，且满足 |PF 1|+ |PF 2| = 2 5，则△ PF 1F 2 的面积为( ) A. 1 B. 3C. .5则a =(解析:因为双曲线的方程为 号一£二1,所以=4,因此 a 2= 1, a = 1.x 2解析：在双曲线3 — y 2二1中，a = 3, b = 1, c = 2.不防设P 点在双曲线的右支 上，则有 |PF 1|—|PF 2匸2a = 2 3,又 |PF 1|+|PF 2|= 2.5,二 |PF 1 = 5+ 3, |PF 2| =5— 3•又|F 1F 2|= 2c = 4,而|PF 1『+ |PF 2|2=尸许2『，二 PF 1 丄 PF 2,A S A PF 1F 21 1=2^ |PF 1|X |PF 2| = 2X( ,5+ , 3)X ( 5— 3)= 1.故选 A. 答案：A225. 已知双曲线C ：字一b 2= 1(a>0, b>0)，直线l : y = 2x — 2.若直线l 平行于双曲 线C 的一条渐近线且经过C 的一个顶点，则双曲线 C 的焦点到渐近线的距离为B. 2D. 4解析：根据题意，双曲线C 的方程为$—£= 1(a>0, b>0)，其焦点在x 轴上，渐 近线方程为y =£x ，又由直线I 平行于双曲线C 的一条渐近线，可知2 = 2,直a a 线I : y = 2x — 2与x 轴的交点坐标为(1,0),即双曲线C 的一个顶点坐标为(1,0), 即a = 1,则b = 2a = 2,故双曲线C 的焦点到渐近线的距离为2,故选B. 答案：B6.已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，贝U 该双曲线的离心率为B. 2C. .22 2解析：不妨设双曲线的方程为拿一律=1(a>0, b>0)，因为焦点F(c,0)到渐近线bx bc bc b-ay= 0的距离为a ，所以a 2+b 2 = a ，即；=a ，所以a= X 所以该双曲线的离答案：C C ：拿一y 2= 1的离心率e =4,且其右焦点为F 2(5,0),则双曲线CC. ,5心率e = c=a1+ b2= 2,故选 C.a 丫7.已知双曲线c_ c_ e= a" 3c — c ■.3+ 1,选 D.的方程为()2 2 —乞=1 A. 43 1x 2y C.w —9 =1 D. 2 2x y 9 一 _16 = 2 x 2 _y_= 1 B. 3 4 1 b 2 5 1 + 孑=4’ 又右焦点为 F 2(5,0), a 2 + b 2 = c 2,所以 a 2= 16, 2 2 b 2= 9,故双曲线C 的方程为16—卷=1. 解析：由题意得e = 答案：C 2 2 8.已知双曲线拿一*= 1（a>0, b>0）的焦距为 2 5, 且双曲线的一条渐近线与直线2x + y = 0垂直，则双曲线的方程为（）24 7 C 3x !疋 C.20 2 缶1 _ 3x 2 3y2 .5 20 1 B . x 2 解析: b i x 2由题意得c = 5,舌=2，则a =2, b = 1,所以双曲线的方程为"4 — y 2= 1. 答案: 2 2 9. （2018 山西八校联考）已知双曲线C :拿一討1（a>0, b>0）的左、右焦点分别 为F i , F 2，焦距为2c ,直线y = "f （x + c ）与双曲线的一个交点P 满足/ PF 2F I = 2A. .2 C . 2 .3+ 1B. 3 D. 3+ 1 解析：•••直线 3 y = 3 (x + c)过左焦点F 1,且其倾斜角为 30° .Z PF 1F 2= 30°/ PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为（）1 / PF 2F 1 = 60° •••/ F 2PF 1 = 90°即卩 F 1P 丄F 2P.A |PF 2| = 2尸们2| = c,|PF 1=|F 1F 2|sin60°= 3c ,由双曲线的定义得 2a = |PF 1|—|PF 2|= 3c — c ,.••双曲线C 的离心率1线y 二1x 的下方.设该双曲线的标准方程为2 2拿一古=1(a>0, b>0)，所以答案：D2 2双曲线C 的方程为2x0—倉=1. 答案：A12.已知双曲线过点(4,3),且渐近线方程为y 二gx ,则该双曲线的标准方程因为双曲线过点(4, 3)且渐近线方程为y =±x ，故点(4, .3)在直10.已知F i , F 2是双曲线C :上一点，若|PF i |+|PF 2|= 6&,且厶PF 1F 2最小内角的大小为30°则双曲线C 的 渐近线方程是() A. 2x 酉=0 B . x ± 2y = 0 C . 2x ±^= 0D . x ±2y = 0解析: 不妨设|PF i |>|PF 2|,则|PF i |—|PF 2| = 2a ,|PF |+ |PF | =所以 |PF i |= 4a , |PF 2|= 2a , 且|F i F 2|= 2c ,即|PF 2|为最小边，即/ PF i F 2= 30° 则 △ PF i F 2为直角三角形，所以2c = 2 3a ,所以b = 2a ,即渐近线方程为y =± 2 x ,故选A. 答案：A2 211.已知双曲线C :拿一*= 1(a>0, b>0)的焦距为i0,点P(2,i)在C 的一条渐近 线上，贝U C 的方程为（） x 2 yA — 一匚=1 A.20 52 2C £ 一 y- = 1Bx !—/ = 1 B .5 20_1 x 2 y 2D — 一 ~^—= 1解析：依题意a 2+b 2= 25，解得a 2 = 20b 2 = 5 ,解析：法P 是双曲线C，解得a = 2,故双曲线方程为4 — y 1 2 3= 1.b = 1, 42，故可设双曲线为x 4—W= W 0),又L42L£双曲线过点(4, ©),所以4 — (Q3)2=入所以=1,故双曲线方程为"4—y 2= 1. 2答案：:—/= 12 /13.双曲线r 拿一b 2= 1(a>0, b>0)的焦距为10,焦点到渐近线的距离为3,则r 的实轴长等于2 2 2 214.已知双曲线C ：拿一^2= 1(a>0, b>0)与椭圆倉+眷=1有相同的焦点，且双 曲线C 的渐近线方程为y = ±x ，则双曲线C 的方程为 解析：易得椭圆的焦点为(一.5, 0), ( 5, 0),a 2 +b 2 = 5, :「2,a•••双曲线C 的方程为x 2—4=1. 答案：x 2— ； = 12 215. (2018合肥市质检)双曲线M :字一^2= 1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F 1,1坐标为(a , b)，因为 sin /PF I F 2 = 3,所以 |PF i 匸3b ,所以(a + c)2+ b 2= 9b 2，即 9a 2 +1F 2,直线x = a 与双曲线M 的渐近线交于点P ,若sin / PF 1F 2=§,则该双曲线的 离心率为 ________________ .解析：不妨设P 为直线x = a 与双曲线M 的渐近线在第一象限内的交点，则P 点法二：因为双曲线的渐近线方程为y =解析: 双曲线的焦点(0,5)到渐近线y =b x , 即ax — b 尸0的距离为；订匕尸?b = 3, 答案:所以 a=4,2a = 8. 二 a 2= 1, b 2 = 4,2ac — 7c 2= 0,7e 2— 2e — 9= 0,又 e>1，解得 e = 9. 9答案：7B 组一一能力提升练2 21. 已知F i , F 2是双曲线C ： *—1(a>0, b>0)的两个焦点，若在双曲线上存 在点P 满足2|P F 1 + P F 2|< |F 7F 2|，则双曲线的离心率的取值范围是( )A. (1, 2] B . (1,2] C . [ 2,+x )D . [2 ,+x )解析：T 2|P F 1 + P F 2|< |F 1F 2|? 4|5P|W 2c? |5P|W 号，又|O )P|> a ,二 a <号，即 c > 2a , ••• e = c >2.故选 D.a 答案：D一X 2 y 2 x 2 y 22.若实数k 满足0<k<9，贝U 曲线25— 9— k = 1与曲线25—k — 9 = 1的( )B. 虚半轴长相等C. 实半轴长相等解析：由0<k<9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由〔25+ 9— k =5 625 — k + 9，得两双曲线的焦距相等. 答案：D6 (2018云南五市联考)设P 为双曲线x 2—聶=1右支上一点，M , N 分别是圆(x + 4)2 + y 2= 4和(x — 4)2 + y 2 = 1上的点，设|PM|—|PN|的最大值和最小值分别为 m , n ,则 |m — n|=()B . 5C. 6D . 7解析：易知双曲线的两个焦点分别为F 1( — 4,0), F 2(4,0),恰为两个圆的圆心，两 个圆的半径分别为 2,1，所以 |PM|max = |PF 1|+ 2, |PN|min = |PF 2|— 1, 故 |PM|— |PN| 的最大值为(|PF 1|+ 2)— (|PF 2|— 1) = (|PF 1|— |PF 2|) + 3= 5,同理 |PM|— |PN|A .离心率相等 D .焦距相等值为(|PF i |— 2)— (|PF 2|+ 1) = (|PF I |—|PF 2|) — 3= — 1,所以 |m — n|= 6,故选 C. 答案：CX 2 y 24. (2018江南十校联考)已知I 是双曲线C :空—亍=1的一条渐近线，P 是I 上 的一点，F i , F 2分别是C 的左、右焦点，若P F i P F 2= 0,则点P 到x 轴的距离B. 2解析：由题意知F i (— 6, 0), F 2( 6, 0),不妨设I 的方程为y = 2x ，点P(x o , 2x o ), 由P F i P F 2= ( —V 6 — X o ,—V 2x o )(76 — x o ,—/2x o ) = 3x o — 6= 0,得 x o = ±.2,故点P 到x 轴的距离为2|x o |= 2,故选C. 答案：C2 25. 已知双曲线乡—治=1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆 与双曲线的两条渐近线相交于 A , B , C , D 四点，四边形ABCD 的面积为2b , 则双曲线的方程为() x 2 A.7 - 3v -_ 1 B x ! 4Y !_ 1 -4 - 1B .4 —3 - 1C x2— C.4 2 2 2—1 D x -—亠 1 4 14 12 1解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形.双曲线的渐近线方 程为y=gx ，圆的方程为x 2 + y 2= 4,不妨设交点A 在第一象限，由y =吳，x 2+宀4得2 4+ b 2, yA = 4+b 2,故四边形ABCD 的面积为4xAyA = 4+P答案：D的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，贝吐匕双曲线的方程为( )的最小A. C . 2D. 2.6 32b ,解得b 2= 12,故所求的双曲线方程为2 2x — y 4 121,选 D. 6.已知双曲线 拿一*= 1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为 F 1、F 2,以|F 1F 21为直径x 2 y 2A ————1 A.16 92 2C x__ y_ 二 1 C.9 16—解析：因为以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),所以c = 5, £ a3，又c 2= a 2 + b 2,所以a = 3, b = 4,所以此双曲线的方程为 看—磊=1. 答案：C2 27.过双曲线拿一b ^= 1(a>0, b>0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点 A ,与另一条渐近线交于点 B ,若FB = 2FA ,则此双曲线的离心率为( )A. ,2B. .3D. 5知点A 为BF 的中点，所以A(c _2a, 2),又点A 在直线y =|x 上，则|， c = 2a , e = 2. 答案：C8. 若直线|1和直线12相交于一点，将直线11绕该点逆时针旋转到与12第一次重 k 2 k 1合时所转的角为9,则角9就称为11到12的角，tan 已―，其中k 1, k 2分别1 + K 1K 22 2是l 1, l 2的斜率，已知双曲线E ：拿一活=1(a>0, b>0)的右焦点为F , A 是右顶a 2点，P 是直线x =；上的一点，e 是双曲线的离心率，直线 PA 到PF 的角为9,W则tan 9的最大值为( )B.l 1 ec ^l =2,1 + ek 4 _ k 3解析：设PA, PF 的斜率分别为也，k4,由题意可知tan 缸齐—&不妨设B x 2 y 2 1 B.3 _ 4二 1x 2 y 2 彳 D 一 — —= 14 3 1C . 2解析：不妨设B(x ,—,OB|=x 2 + — ；X 2= c ,可取B( — a , b),由题意可1 A.— e D.|y —y y y a 7 8 a 2 ny)(y>0)，贝Uk 3= a 2 ，k 4 = a 2 .令 m = - — a , n =； — c ,贝U tan A — y yaa c c ▲、科、/科 a — c 1 + x 工 c c nm门，由m — n = c — a>0,得当 乎+ y 取得最小值时tan B 取最大值，又y>0, mr +y m<0, n<0,所以m y n + y >2乜而，当且仅当丫=｛而时等号成立，此时tan Ac — a2 2 a aa — — c c c答案：9. （2018淄博模拟）过双曲线予一治=1（a>0, b>0）的左焦点F i ，作圆的切线交双曲线的右支于点 P ,切点为T , PF i 的中点M 在第一象限，则以下结 论正确的是（）b — a = |M0|— |MT| b — a>|MO|— |MT|b — a = |MO|+ |MT|解析：如图，连接OT ,贝U OT 丄F 1T ,在直角三角形 OTF 1 中，|F 1T|= ；'|OF 1|2—|OTf = b ,连接 PF 2, ••• M 为线段F 1P 的中点，O 为F 1F 2的中点，7 1 1••• |MO|— |MT|= 2|PF 2| — 2|PF 1|—|F 1T| = 2(|PF 2|—|PF 1|)+ b = a ,故选A. 答案：A8 210. （2018昆明市检测）已知点F 为双曲线C : _2 — 法1（a>0, b>0）的一个焦点,a b 以点F 为圆心的圆与C 的渐近线相切，且与C 交于A , B 两点，若AF 丄x 轴, 则C 的离心率为 _____________________ .x 2 + y 2= a 2C . b — a<|MO|— |MT|联立可得方程组 b y二a x ，a 2x =_, c 解得「 ab尸c ，由中点坐标公式可得F 2关于渐近线对称的点的坐标为(cW2ab ） c ）2a 2— c 2 2 4a 2将其代入双曲线的方程可得-a —一- 了 = 1化简可得c 2= 5a 2, c 2 = a 2 + b 2=5a 2,所以b 2= 4a 2.因为M( — 3, 4)在双曲线字—討1 上,所以学—琴=1, =1,所以a 2 = 5, b 2= 20,则该双曲线的标准方程为x — £ = 1.5 20卫 16a 2 4a 2 12.设双曲线x 2 — 3 = 1的左，右焦点分别为 F 1, F 2.若点P 在双曲线上，且△解析：不妨设F 为双曲线的右焦点，则F(c,0),易知双曲线的渐近线方程为y =』 abc一x ,则双曲线的焦点F 到渐近线的距离d = 需二b ,所以圆F 的半径为b.在 b 2双曲线方程中，令x =c ,得y = ±a ，所以A(c ,a b ,即卩 a = b ,所以 c = a 2 + b 2=・ 2a ,所以 e =c , 2.aa答案：• 211. 双曲线x 2 — £= 1(a>0, b>0)上一点 M( — 3,4)关于— 「条渐近线的对称点恰为右焦点F 2,则该双曲线的标准方程为 _______________________________ • 22b解析：不妨设双曲线拿一b ^= 1的右焦点F 2(c,0)关于渐近线y =ax 对称的点在双曲线上,a 则过焦点F 2且垂直于该渐近线的直线方程为 y — 0= —b (x — c),•因为点A 在圆F 上，所以阳 a即 y =—£（x —3 8-F 1PF 2为锐角三角形，则|PF i |+ |PF 21的取值范围是 _____________ . 解析：由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2丄x轴时，|PF 1|+ |PF 2|有最大值8;当Z P 为直角时，|PF i |+ |PF 2|有最小值2.7•因为 △ F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF i |+ |PF 21的取值范围为(2 7, 8). 答案：(2 7, 8)213. (2018沈阳质量监测)已知P 是双曲线X — y 2= 1上任意一点，过点P 分别作 双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为 A ，B ,求RAPB 的值. 解析：设P(x o , y o )，因为该双曲线的渐近线分别是x oX 0騙-y °|騙 + y o |可取 |PA|= .——-,|PB|= j —，又 cos Z APB = — cos Z AOB = — cos2Z AOx 、1+1=—cos n=- 1 所以 PA P B = |PA| |PB| •s Z APB = 20y- 2頁11)(-X3-4 ----1，所以1+ 13 8-。
(word完整版)高中数学双曲线课后习题(带答案)(2021年整理)
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双曲线课后习题一、选择题（本大题共10小题,每小题5分，共50分)1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3． 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是( ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关4．已知m ，n 为两个不相等的非零实数,则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的曲线可能是A B C D 5． 双曲线的两条准线将实轴三等分，则它的离心率为 （ ） A ．23B ．3C ．34D ．36．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ )A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x7．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-by a x 有（ ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ． 相同的焦点8．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6,则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ ) A ．28 B ．22 C ．14 D ．129．已知双曲线方程为1422=-y x ，过P （1，0）的直线L 与双曲线只有一个公共点,则L 条数共有 ( ） A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条 10．给出下列曲线：①4x +2y －1=0； ②x 2+y 2=3; ③1222=+y x ④1222=-y x ,其中与直线 y=－2x －3有交点的所有曲线是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④ 二、填空题（本题共4小题,每小题6分,共24分）11．双曲线17922=-y x 的右焦点到右准线的距离为__________________________．12．与椭圆1251622=+y x 有相同的焦点，且两准线间的距离为310的双曲线方程为____________．13．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =__________________．4．过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线1422=-y x 的弦所在直线方程为 ．三、解答题（本大题共6题,共76分）15．求一条渐近线方程是043=+y x ,一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．（12分）16．双曲线()0222>=-a a y x 的两个焦点分别为21,F F ，P 为双曲线上任意一点，求证：21PF PO PF 、、成等比数列（O 为坐标原点）．（12分）17．已知动点P 与双曲线x 2－y 2＝1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－错误!。
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课时作业A组——基础对点练1．已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A.3B．3C.3mD．3m解析：双曲线方程为x23m－y23＝1，焦点F到一条渐近线的距离为3.选A.答案：A2．已知双曲线x2a2－y23＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )A．2 B.62C.52D．1解析：因为双曲线的方程为x2a2－y23＝1，所以e2＝1＋3a2＝4，因此a2＝1，a＝1.选D.答案：D 3．双曲线x2－4y2＝－1的渐近线方程为( )A．x±2y＝0 B．y±2x＝0C．x±4y＝0 D．y±4x＝0解析：依题意，题中的双曲线即y214－x2＝1，因此其渐近线方程是y214－x2＝0，即x±2y＝0，选A.答案：A4．已知双曲线x2 3－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝25，则△PF 1F 2的面积为( )A ．1 B.3C.5D.12解析：在双曲线x23－y 2＝1中，a ＝3，b ＝1，c ＝2.不防设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，又|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴|PF 1|＝5＋3，|PF 2|＝5－3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝12×(5＋3)×(5－3)＝1.故选A.答案：A5．已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，直线l ：y ＝2x －2.若直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线且经过C 的一个顶点，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为( )A ．1B ．2 C.5D ．4解析：根据题意，双曲线C 的方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，其焦点在x 轴上，渐近线方程为y ＝±b a x ，又由直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线，可知ba ＝2，直线l ：y ＝2x －2与x 轴的交点坐标为(1,0)，即双曲线C 的一个顶点坐标为(1,0)，即a ＝1，则b ＝2a ＝2，故双曲线C 的焦点到渐近线的距离为2，故选B. 答案：B6．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为( )A.5＋12 B ．2C.2D ．22解析：不妨设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，因为焦点F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为a ，所以bc a2＋b2＝a ，即bcc ＝a ，所以ba ＝1，所以该双曲线的离心率e ＝ca＝ 错误!＝2，故选C. 答案：C7．已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x24－y23＝1 B.x29－y216＝1 C.x216－y29＝1 D.x23－y24＝1 解析：由题意得e ＝1＋b2a2＝54，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x216－y29＝1. 答案：C 8．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x24－y2＝1 B．x2－y24＝1C.3x220－3y25＝1 D.3x25－3y220＝1解析：由题意得c＝5，ba＝12，则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为x24－y2＝1.答案：A9．(2018·山西八校联考)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线y＝3 3(x＋c)与双曲线的一个交点P满足∠PF2F1＝2∠PF1F2，则双曲线的离心率e为( ) A.2B.3C．23＋1 D.3＋1解析：∵直线y＝33(x＋c)过左焦点F1，且其倾斜角为30°，∴∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°，∴∠F2PF1＝90°，即F1P⊥F2P.∴|PF2|＝12|F1F2|＝c，|PF1|＝|F1F2|sin 60°＝3c，由双曲线的定义得2a＝|PF1|－|PF2|＝3c－c，∴双曲线C的离心率e＝ca＝c3c－c2＝3＋1，选D.答案：D10．已知F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是双曲线C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是( )A.2x±y＝0 B．x±2y＝0C ．2x ±y ＝0D ．x ±2y ＝0解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF1|－|PF2|＝2a ，|PF1|＋|PF2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，即∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.答案：A11．已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C 的方程为( ) A.x220－y25＝1 B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1 D.x220－y280＝1 解析：依题意⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝251＝ba×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝20b2＝5，∴双曲线C 的方程为x220－y25＝1.答案：A12．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为．解析：法一：因为双曲线过点(4，3)且渐近线方程为y ＝±12x ，故点(4，3)在直线y ＝12x的下方．设该双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，所以错误!，解得错误!故双曲线方程为x24－y 2＝1.法二：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故可设双曲线为x24－y 2＝λ(λ≠0)，又双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为x24－y 2＝1.答案：x24－y 2＝113．双曲线Γ：y2a2－x2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于． 解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y ＝ab x ，即ax －by ＝0的距离为|5b|a2＋b2＝5bc ＝b ＝3，所以a ＝4,2a ＝8. 答案：814．已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)与椭圆x29＋y24＝1有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线C 的方程为． 解析：易得椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝5，ba＝2，∴a 2＝1，b 2＝4，∴双曲线C 的方程为x 2－y24＝1.答案：x 2－y24＝115．(2018·合肥市质检)双曲线M ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线x ＝a 与双曲线M 的渐近线交于点P ，若sin ∠PF 1F 2＝13，则该双曲线的离心率为．解析：不妨设P 为直线x ＝a 与双曲线M 的渐近线在第一象限内的交点，则P 点坐标为(a ，b )，因为sin ∠PF 1F 2＝13，所以|PF 1|＝3b ，所以(a ＋c )2＋b 2＝9b 2，即9a 2＋2ac －7c 2＝0,7e 2－2e －9＝0，又e >1，解得e ＝97.答案：97B 组——能力提升练1．已知F 1，F 2是双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P 满足2|PF1→＋PF2→|≤|F1F2→|，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1，2]B ．(1,2]C ．[2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：∵2|PF1→＋PF2→|≤|F1F2→|⇒4|OP →|≤2c ⇒|OP →|≤c 2，又|OP →|≥a ，∴a ≤c 2，即c ≥2a ，∴e ＝c a ≥2.故选D. 答案：D2．若实数k 满足0<k <9，则曲线x225－y29－k ＝1与曲线x225－k －y29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等 解析：由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．答案：D3．(2018·云南五市联考)设P 为双曲线x 2－y215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：易知双曲线的两个焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，恰为两个圆的圆心，两个圆的半径分别为2,1，所以|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，故|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝(|PF 1|－|PF 2|)＋3＝5，同理|PM |－|PN |的最小值为(|PF 1|－2)－(|PF 2|＋1)＝(|PF 1|－|PF 2|)－3＝－1，所以|m －n |＝6，故选C.答案：C4．(2018·江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x22－y24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2分别是C 的左、右焦点，若PF1→·PF2→＝0，则点P 到x 轴的距离为( )A.233B.2C ．2 D.263解析：由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，点P (x 0，2x 0)，由PF1→·PF2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2，故选C.答案：C5．已知双曲线x24－y2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x24－3y24＝1 B.x24－4y23＝1C.x24－y24＝1 D.x24－y212＝1解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b2，y A ＝2b4＋b2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b4＋b2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x24－y212＝1，选D.答案：D6．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )A.x216－y29＝1 B.x23－y24＝1 C.x29－y216＝1 D.x24－y23＝1解析：因为以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c ＝5，b a ＝43，又c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝3，b ＝4，所以此双曲线的方程为x29－y216＝1. 答案：C7．过双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2FA →，则此双曲线的离心率为( )A.2B.3 C ．2 D.5解析：不妨设B (x ，－bax )，|OB |＝错误!＝c ，可取B (－a ，b )，由题意可知点A 为BF 的中点，所以A (c －a 2，b 2)，又点A 在直线y ＝b a x 上，则b a ·c －a 2＝b2，c ＝2a ，e ＝2.答案：C8．若直线l 1和直线l 2相交于一点，将直线l 1绕该点逆时针旋转到与l 2第一次重合时所转的角为θ，则角θ就称为l 1到l 2的角，tanθ＝k2－k11＋k1k2，其中k 1，k 2分别是l 1，l 2的斜率，已知双曲线E ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 是右顶点，P 是直线x ＝a2c上的一点，e 是双曲线的离心率，直线P A 到PF 的角为θ，则tan θ的最大值为( )A.1eB.e 1＋eC.e 21＋e D.e2解析：设P A ，PF 的斜率分别为k 3，k 4，由题意可知tan θ＝k4－k31＋k3k4，不妨设P (a2c，y )(y >0)，则k 3＝ya2c －a ，k 4＝ya2c－c .令m ＝a2c －a ，n ＝a2c－c ，则tan θ＝yn－y m 1＋y n ×y m ＝m －nmny＋y，由m －n ＝c－a >0，得当mn y ＋y 取得最小值时tan θ取最大值，又y >0，m <0，n <0，所以mn y＋y ≥2mn ，当且仅当y ＝mn 时等号成立，此时tan θ＝m －n 2mn＝错误!＝错误!，故选C.答案：C9．(2018·淄博模拟)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，作圆x 2＋y 2＝a 2的切线交双曲线的右支于点P ，切点为T ，PF 1的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是( )A ．b －a ＝|MO |－|MT |B ．b －a >|MO |－|MT |C ．b －a <|MO |－|MT |D ．b －a ＝|MO |＋|MT |接OT ，则OT ⊥F 1T ，在直角三角形OTF 1中，|F 1T |＝解析：如图，连|OF1|2－|OT|2＝b ，连接PF 2， F 1P 的中点，O 为F 1F 2的中点，∵M 为线段∴|OM |＝12|PF 2|，∴|MO |－|MT |＝12|PF 2|－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12|PF1|－|F1T|＝12(|PF 2|－|PF 1|)＋b ＝12×(－2a )＋b ＝b －a ，故选A.答案：A10．(2018·昆明市检测)已知点F 为双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，以点F 为圆心的圆与C 的渐近线相切，且与C 交于A ，B两点，若AF ⊥x 轴，则C 的离心率为．解析：不妨设F 为双曲线的右焦点，则F (c,0)，易知双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，则双曲线的焦点F 到渐近线的距离d ＝bc a2＋b2＝b ，所以圆F 的半径为b .在双曲线方程中，令x ＝c ，得y ＝±b2a ，所以A (c ，±b2a )．因为点A 在圆F 上，所以b2a＝b ，即a ＝b ，所以c ＝a2＋b2＝2a ，所以e ＝ca＝2.答案：211．双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)上一点M (－3,4)关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F 2，则该双曲线的标准方程为．解析：不妨设双曲线x2a2－y2b2＝1的右焦点F 2(c,0)关于渐近线y ＝bax 对称的点在双曲线上，则过焦点F 2且垂直于该渐近线的直线方程为y －0＝－ab (x －c )，即y ＝－ab(x －c )．联立可得方程组错误!解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a2c，y ＝abc，由中点坐标公式可得F 2关于渐近线对称的点的坐标为(2a2c －c ，2abc)，将其代入双曲线的方程可得错误!－错误!＝1，化简可得c 2＝5a 2，c 2＝a 2＋b 2＝5a 2，所以b 2＝4a 2.因为M (－3，4)在双曲线x2a2－y2b2＝1上，所以9a2－16b2＝1，9a2－164a2＝1，所以a 2＝5，b 2＝20，则该双曲线的标准方程为x25－y220＝1.答案：x25－y220＝112．设双曲线x 2－y23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是．解析：由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为(27，8)．答案：(27，8)13．(2018·沈阳质量监测)已知P 是双曲线x23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，求PA →·PB→的值．解析：设P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x 3－y ＝0，x 3＋y ＝0，所以可取|P A |＝|x03－y0|13＋1，|PB |＝|x03＋y0|13＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos2∠AOx ＝－cos π3＝－12，所以PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|·cos ∠APB ＝|x203－y20|43·(－12)＝34×(－12)＝－38.。