第11章电磁感应[修正版]

dΦ dt
S
0
N
dΦ 0
dt
时，感应电流的磁场方向和 总结：绕行方向是ε 的假定方向， 若ε > 0
原磁场的方向相反，阻碍原 则与假定方向同向；反之，则反向。
磁场增强反。之，当穿过回路的
磁通量减小时，感应电流的
N
S
磁场方向和原磁场的方向相 绕行方向 ε的方向 ε的方向 绕行方向
同，阻碍原磁场变小。
自
L
dI dt
说明
(1) 负号：楞次定律 (2) 实验表明，L与回路几何形状、尺寸、磁介质的磁导率有关。 (3) 当线圈的匝数为N时
起本线圈所围面积里磁通量的变化，
并在回路中激起感应电动势的现象，
I
叫自感现象。
B
当➢ 自I 感 电I (t动) 势的计B算 B(t)
Φ自 Φ(t)
Φ自 LI L:自感系数
自感电动势 dΦ自 L dI I dL
dt
dt dt
若回路周围不存在铁磁质, 且回路大小、形状及周围磁介质分
布不变，则
例
在空间均匀的磁场中
B Bzˆ
导线 ab 绕 Z 轴以 匀速旋转 导线 ab 与 Z 轴夹角为
设 ab l
求 导线 ab 中的电动势
z
l
B
b
r
dl
2
v
B
l
解 建坐标如图
aO
v
B
vB rB
lBsin
di (v B)dl
vBdl cos
Bsin 2ldl
i
距离为r，该处
B垂直向里，大小为
B
0I 2r
V
B
与
dl 之间夹角为
2
，且 dl dr
sin
ab
b(v
B)
dl
b 0Iv sin 90 cos( )dl
a
a 2r
2
b 0Iv sin dr 0Iv ln d l sin
a 2r
sin 2r
d
感应电动势方向从b指向a.
i
dΦ dt
1 2
BR 2
d
dt
1 BR 2
2
dΦ 1 R2d B
2 方向 A O
11.2.2 感生电动势 有旋电场 感生电动势：由于磁场变化在导体回路中产生的电动势
谁提供非静电力？ 有旋电场
麦克斯韦提出: 不论有无导体或导
体回路，变化的磁场都将在其周围 空间产生具有闭合电场线的电场
感有生旋电电场场或Ew
i
L
(Ee
E Ee
Ew ) dl
Ew
L Ew
d来自百度文库
E 称为全电场
l
B d
S t
S
根据矢量分析的斯托克斯定理，应有
矢量 E的旋度沿曲面S
E dl L
( E) d S
S
法向分量的面积分等 于该矢量沿围绕此面
所以
S(
E)
d
S
B
B
S t
d
S
E
t
积曲线边界的线积分。
第11章 电磁感应
本章内容 补充知识： 电动势 §11.1 电磁感应基本定律 §11.2 动生电动势 感生电动势 §11.3 自感和互感 §11.4 磁场的能量 §11.5 麦克斯韦电磁场理论简介
补充知识： 电动势
为保证电流的连续性，在电源内部须存在一种能反抗静电力、 并把正电荷由负极低电势处推向正极高电势处的非静电力Fk
B)
dl
a
闭合回路中的动生电动势为
i
Ldi
(v
B)
dl
L
讨论
(1) dΦ 适用于一切产生电动势的回路
dt
(2) 而 i
b(v
B)
dl
适用于切割磁场线的导体
a
(3) 洛伦兹力总是垂直于电子的速度 方向，对电子不作功，那么建立的电 场的能量从何而来？
为使导体棒保持速度为v的匀速运 动，必须施加外力f0以克服洛仑兹力的 一个分力f′. 外力f0 所做的功转化为感 应电流的能量。
S dΦ 0
dt
N
dΦ 0
dt
例 在无限长直载流导线的磁场中，有一运动的导体线框，导体
线框与载流导线共面。设线框以匀速度 v 垂直导线水平向右
运动。 t=0 时，线框与导线紧靠。 求 线框中的感应电动势
解 通过面积元的磁通量
dΦ BdS 0I bdx
2πx
Φ dΦ la 0I bdx 0Ib ln l a
a × × b
求 bc，并判断b，c 两点的电势高低。
解
bc
S
B
dS
t
B 1R2
t 2
B 0 t
uc ub
×× × ×O × ×
a ×× b c
涡旋电场的应用
1. 电子感应加速器 结构： 圆形电磁铁，环型真空室
工作原理：
交变磁场作用于电子的洛仑兹力作 为电子圆周运动向心力；涡旋电场提 供与电子速度方向相同的电场力使电 子被加速。
加速器内的行程达几千米。用于基本粒子等科学研究。 E感
2. 涡电流的应用
涡电流：将金属导体快置入非均匀磁场中 切割磁力线，则会在导体块内形成自成 回路的电流，这种电流就叫涡电流。 涡电流利用
dB／dt＞0
◎ 可用作一些特殊要求的热源
高频感应炉； 优点是加热速度快，温度均匀，材料不
受污染且易于控制。 在冶金工业中，熔化某些活泼的
b
a
r 2
B t
cos
dl
×
r×
× R× h
a
× E×w
b
1 2
B t
b
a
r
sin dl
1 2
B t
b hdl hl B
a
2 t
hl C 2
ub ua
方法2： 构造闭合回路L
b
Ew dl a Ew dl
B
dS
B
dS lhB
S t
t S 2 t
××
× × × R×
N
I
S
I (t)
11.1.1 法拉第电磁感应定律
感应电动势的大小与通过导体回路的磁通量 的变化率成正比
dΦ 在国际单位制中
dt
dΦ
dt
说明
(1)负号“－” 表示感应电流的效果总是反抗引起感应电
流的原因—— 楞次定律
磁通链
(2) 若回路是 N 匝密绕线圈 N dΦ d(N ) d
xxB
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x f′x xx
x x
x x
x -x
x x
x x
vx x x fx0
x x
x x
x x
x x
x ux xx
x x
xxu+xxv
xx xFx
x x
x x
xf x
x x
x x
x x
x x
洛仑兹力起到了能量转化的传递作用，但前提是运动 导体中必须有能自由移动的电荷.
t
B
t
B
B
Ew
Ew
补充知识：矢量的旋度
哈米尔顿（Hamilton）算子
i
j
k
x y z
E
称为矢量 E 的旋度
i jk
E
x y z
Ex Ey Ez
E
( x
i
y
j
z
k )(Exi
Ey
j
Ezk )
( Ez
E y
)i
(
Ex
Ez
)
j
(
E
y
Ex
)k
y z
z x
x y
（2）在一般情况下，空间同时存在静电场 Ee 和涡旋电场 EW
什么装置能提供非静电力？
电源
能将其他形式的能量 转化为电能的装置。
例: 干电池、发电机、太阳能电池 I
如何度量这种本领？ ε ----电动势
Fk
+
Fe
A
B
G 。。
E
F
k
(非静电性场强)
kq
A
F dl q
E dl
k
(电源内) k
(电源内) k
电动势：非静电力Fk 把单位正电荷
dt
dt
dt
(3) 若闭合回路中电阻为R
Ii
dΦ
R Rdt
dqi dt
感应电荷为
qi
t2 t1
Iidt
2 1 d
R 1
1 2
R
确定感应电动势 ε 的方向
1. 在回路上选一与引起ε 的 磁场方向呈右螺旋关系的
ε的方向
N
绕行方向 ε的方向
S
绕行方向
绕行方向为正方向。
2. 当穿过回路的磁通量增大
有旋电场 与静电场 的比较
相同 不同
客观存在
对处于其中的电荷施加力的作用 激励源不同
有旋电场线为闭合曲线，非保守场
sEw d S 0
L Ew dl 0
感生电动势的计算
根据电动势的定义和法拉第电磁感应定律
i
L
Ew
dl
dΦ dt
d dt
BdS
S
因为回路固定不动，上式面源S 及夹角θ均与时间t 无关
故，对时间的求导和对曲面的积分可交换顺序
i
L Ew d l
B
d
S
S t
在变化的磁场中，有旋电场强度对任意闭合路径 L 的线积分
等于这一闭合路径所包围面积上磁通量的变化率。
说明
（1）
Ew与
i
L Ew d l
B
d
S
S t
B 符合左螺旋法则,此关系满足楞次定律
t
B
例 在匀强磁场 B 中，长 R 的铜棒绕其一端 O 在垂直于 B 的
平面内转动，角速度为
求 棒上的电动势。
解 方法一 (A动生电 动势):
i
(v B) dl
O
R
R
O vBdl O lBdl
B
v
l dl
O
A
d R
BR2
2
方向 A O
方法二(法拉第电磁感应定律):
在 dt 时间内导体棒切割磁场线
Ak
q
结论
从负极通过电源内部搬到 正极所作的功
A
B Ek dl
(1) ε 反映电源作功本领，与外电路无关；
(2) ε 是标量，规定其方向为电源内部电势升高的方向；
(3) 如果一个闭合电路 L 上处处都有非静电力 Fk 存在
Ek dl
§11.1 电磁感应基本定律
静电场、稳恒电流的磁场 什么现象？什么规律？
电子得到加速的时间最长只是交流电 流周期T的四分之一。在 T/4 结束时应把 电子引向靶枪。
环形真空室
电 子
Bv v
f
Fr eEr
v电
束
子
靶枪 电子
B
小型电子感应加速器可把电子加速到0.1～1MeV,用来
产生x 射线。大型的加速器可使电子能量达数百MeV， o
T t
即可把电子加速到0.99998c，百分之几秒时间内电子在
不随时间变化 如果（电）磁场随时间变化
磁铁与线圈有相对运动，线圈中产生电流
实
（1831年，法拉第）
v
验
一线圈电流变化，在附近其它线圈中产生电流
关键：磁通量发生变化是引起闭合导体中产生电流
的必要条件。
结论
I'
不论用什么方法，只要使穿过闭合导体回路的磁
通量发生变化，此回路中就会有感应电流产生。
----电磁感应现象
l 2πx
2π l
I l x
v a
b dx
dΦ dt
0 Ib
2π
dl / dt l a
dl
/ l
dt
0 Iabv
2πl(l a)
（选顺时针方向为正）
讨论：若导体线框不运动而是与长直导线保持相对静止，但长 直导线通以电流，I I0 sin t ，则结果如何？
§11.2 动生电动势 感生电动势
（电磁感应定律的积分形式）
（电磁感应定律的微分形式）
例 一半径为R 的长直螺线管中载有变化电流，当磁感应强度 的变化率 B / t 以恒定的速率增加时，
求 解
管内外的
管内：
Ew
L Ew
d
l
S
B t
d
S
Ew
2πr
B t
πr 2
Ew
r B
Ew
2
t
管外：
Ew
2πr
B t
πR 2
Ew
R2 2r
两种不 同机制
1. 相对于实验室参照系，磁场不随时间变化，而 导体回路运动（切割磁场线）------动生电动势
2. 相对于实验室参照系，若导体回路静止， 但磁
场随时间变化------感生电动势 b
11.2.1 动生电动势
fm
e(v
B)
Fe eE
当 fm 时Fe 达到平衡
eE evB
× ×× ××××
B t
O
Ew r
R
R
r
例 长直螺线管磁场 B t C 0
求 (1) 直径上放一导体杆ab ， Uab
a
dl
b
(2) 导体杆位置如图时， Uab
解 (1)
b
uab i a Ew dl 0
(2) 方法1：
Ew
R
××
uab i
b a Ew dl
b
a Ew cos dl
显像管 接高频发生器
涡电流的防止
涡电流的弊端是消耗能量，发散热量。
例如，在各种电机，变压器中，就 必须尽量减少铁芯中的涡流，以免过 热而烧毁电气设备。
因此在制作变压器铁芯时，用多片硅钢片叠合而成，使导 体横截面减小，涡电流也较小。
§11.3 自感和互感
11.3.1 自感现象
通电线圈由于自身电流的变化而引
d i
L
B sin 2 ldl
BL2 sin 2
2
0
0
感应电动势的方向从 a b
例 电流为I的长直载流导线近旁有一与之共面的导体ab，长为l.
设导体的a端与长导线相距为d，ab延长线与长导线的夹角为θ，
如图所示.导体ab以匀速度 v沿电流方向平移。
求 ab上的感应电动势.
解 在ab上取一线元 dl，它与长直导线的
I
× × × × × ×B ×
Fe
○G × × × × × × v ×
× × ×fm × × × ×
E vB
× ×× ××××
动生电动势 Uba El vBl
a
洛伦兹力——非静电力，充当搬运电荷的力
非静电性场强Ek为
Ek
fm e
(v
B)
动生电动势为
i
b a Ek d l
b(v
抽真空
稀有金属时，在高温下容易氧化，
将其放在真空环境中的坩埚中，坩
埚外绕着通有交流电的线圈，对金
属加热，防止氧化。
◎ 电子元件中的高纯真空
抽真空
在制造电子管、显像管或激光管时，在做 好后要抽气封口，但管子里金属电极上吸附 的气体不易很快放出，必须加热到高温才能 放出而被抽走,利用涡电流加热的方法，一 边加热，一边抽气，然后封口。