高中数学课时作业：不等关系与不等式

课时作业35 不等关系与不等式
一、选择题
1．设M ＝2a (a －2),N ＝(a ＋1)(a －3),则有( A ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N
解析:因为M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0,所以
M >N ,故选A.
2．若a ,b ,c ∈R ,a >b ,则下列不等式成立的是( C ) A.1
a <
b B ．a 2>b 2 C.a
c 2＋1>b
c 2＋1
D ．a |c |>b |c | 解析:取a ＝1,b ＝－1,排除选项A ；取a ＝0,b ＝－1,排除选项B ；取c ＝0,排除选项D ；显然1c 2＋1>0,则不等式a >b 的两边同时乘1
c 2＋1,所得不等式仍成立．故选
C.
3．若a <b <0,则下列不等式不能成立的是( A ) A.1a －b >1
a B.1a >1
b C ．|a |>|b |
D ．a 2>b 2
解析:取a ＝－2,b ＝－1,则1a －b >1
a
不成立．
4．若a ,b 都是实数,则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析:由a －b >0得a >b ≥0,则a 2>b 2
⇒a 2－b 2>0；由a 2－b 2>0得a 2>b 2,可得a >b ≥0或a <b ≤0等,所以“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的充分不必要条件．故选A.
5．已知x >y >z ,x ＋y ＋z ＝0,则下列不等式成立的是( C )
A ．xy >yz
B ．xz >yz
C ．xy >xz
D ．x |y |>z |y |
解析:因为x >y >z ,x ＋y ＋z ＝0,所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0,所以x >0,z <0.
所以由⎩
⎨⎧
x >0，y >z 可得xy >xz .故选C.
6．已知a >b ,则下列各式一定正确的是( D ) A ．a lg x >b lg x B ．ax 2>bx 2 C ．a 2>b 2
D ．a ·2x >b ·2x
解析:A 中,当x ＝1时,不成立；B 中,当x ＝0时,不成立；C 中,当a ＝0,b ＝－1时,不成立；D 中,因为2x >0,所以a ·2x >b ·2x 成立．故选D.
7．已知a ＝14log 23,b ＝12,c ＝1
2log 53,则( A ) A ．c <a <b B ．a <b <c C ．b <c <a
D ．b <a <c
解析:由题可知a ＝log 24
3<log 2
4
4＝12＝b ,又a ＝14×lg3lg2＝12×lg 3lg2,那么c ＝12
log 53＝12×lg3lg5＝12×lg 3lg 5
<12×lg 3
lg2＝a ,则c <a <b .故选A.
8．若a <b ,d <c ,且(c －a )(c －b )<0,(d －a )(d －b )>0,则a ,b ,c ,d 的大小关系是( A )
A ．d <a <c <b
B ．a <c <b <d
C ．a <d <b <c
D ．a <d <c <b
解析:∵a <b ,(c －a )(c －b )<0,(d －a )(d －b )>0,∴a <c <b ,且d <a 或d >b ,结合d <c ,
知d <a <c <b .故选A.
二、填空题
9．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,要求菜园的面积不小于216 m 2,靠墙的一边长为x m,其中的不等关系可用不等式(组)表示
为⎩⎨⎧
0<x ≤18，x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
15－x 2≥216.
解析:矩形靠墙的一边长为x m,则另一边长为30－x 2 m,即⎝ ⎛
⎭
⎪⎫15－x 2 m,根据题意
知⎩⎨⎧
0<x ≤18，x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
15－x 2≥216.
10．已知a ,b 为实数,且a ≠b ,a <0,则a <2b －b 2
a (填“>”“<”或“＝”)． 解析:∵a ≠
b ,a <0,∴a －⎝ ⎛⎭⎪⎫2b －b 2a ＝(a －b )2a <0,∴a <2b －b 2
a .
11．已知a ,b ,c ,d 均为实数,有下列命题 ①若ab >0,bc －ad >0,则c a －d
b >0； ②若ab >0,
c a －d
b >0,则b
c －a
d >0； ③若bc －ad >0,c a －d
b >0,则ab >0. 其中正确的命题是①②③. 解析:∵ab >0,b
c －a
d >0, ∴c a －d b ＝bc －ad
ab >0,∴①正确； ∵ab >0,又c a －d
b >0,即b
c －a
d ab >0, ∴bc －ad >0,∴②正确；
∵bc －ad >0,又c a －d
b >0,即b
c －a
d ab >0,∴ab >0,∴③正确．故①②③都正确． 12．已知函数f (x )＝ax ＋b,0<f (1)<2,－1<f (－1)<1,则2a －b 的取值范围是
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，52. 解析:由函数的解析式可知0<a ＋b <2,－1<－a ＋b <1,又2a －b ＝12(a ＋b )－3
2(－
a ＋
b ),结合不等式的性质可得2a －b ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－32，52.
13．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ,则实数b 的取值范围是(－∞,－1)．
解析:因为ab 2>a >ab ,所以a ≠0,当a >0时,b 2>1>b ,即⎩⎪⎨⎪
⎧
b 2>1，b <1，解得b <－1；当
a <0时,
b 2<1<b ,即⎩⎨⎧
b 2<1，
b >1
无解．综上可得b <－1.
14．若x >y ,a >b ,则在①a －x >b －y ,②a ＋x >b ＋y ,③ax >by ,④x －b >y －a ,⑤a y >b
x 这五个式子中,恒成立的不等式的序号是②④.
解析:令x ＝－2,y ＝－3,a ＝3,b ＝2,符合题设条件x >y ,a >b ,因为a －x ＝3－(－2)＝5,b －y ＝2－(－3)＝5,所以a －x ＝b －y ,因此①不成立．因为ax ＝－6,by ＝－6,所以ax ＝by ,因此③也不成立．因为a y ＝3－3
＝
－1,b x ＝2－2＝－1,所以a y ＝b
x ,因此⑤不成立．由不等式的性质可推出②④成立．
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15．据统计,某超市两种蔬菜A ,B 连续n 天的价格(单位:元)分别为a 1,a 2,a 3,…,a n
和b 1,b 2,b 3,…,b n .令M ＝{m |a m <b m ,m ＝1,2,…,n },若M 中元素个数大于3
4n ,则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B ,记作:A ≺B .现有三种蔬菜A ,B ,C ,下列说法正确的是( C )
A ．若A ≺
B ,B ≺
C ,则A ≺C
B ．若A ≺B ,B ≺
C 同时不成立,则A ≺C 不成立 C ．A ≺B ,B ≺A 可同时不成立
D ．A ≺B ,B ≺A 可同时成立
解析:特例法:例如蔬菜A 连续10天的价格分别为1,2,3,4,…,10,蔬菜B 连续10天的价格分别为10,9,…,1时,A ≺B ,B ≺A 同时不成立,故选C.
16．(杭州质检)若实数a ,b ,c 满足对任意实数x ,y 有3x ＋4y －5≤ax ＋by ＋c ≤3x ＋4y ＋5,则( A )
A ．a ＋b －c 的最小值为2
B ．a －b ＋c 的最小值为－4
C ．a ＋b －c 的最小值为4
D ．a －b ＋c 的最大值为6
解析:当x＝1,y＝－1时,－6≤a－b＋c≤4,所以a－b＋c的最小值为－6,最大值为4,故B,D错误；当x＝－1,y＝－1时,－12≤－a－b＋c≤－2,则2≤a＋b－c≤12,所以a＋b－c的最小值为2,最大值为12,故A正确,C错误．故选A.。