椭圆的离心率的问题(原创)
椭圆离心率取值范围解题策略
椭圆离心率取值范围解题策略离心率是高中“圆锥曲线”的一个重要几何性质，是三种圆锥曲线统一定义的桥梁和纽带，是研究圆锥曲线其他性质的基础，它是一个比值椭圆的离心率是刻画椭圆“扁圆”程度的基本量之一.在我们的教材中直接给出了离心率的定义，并没有明确解释为什么把这个比值作为椭圆的离心率.如果教师在教学中只是告诉学生这是“人为规定”，学生没有经历概念的产生和发展过程，就很难理解概念的本质，因此在运用概念解题时无从下手.本节课就是希望通过数学文化背景深入认识椭圆的离心率，从而更好地解决和椭圆离心率有关的问题.一、离心率定义的内涵在教材中焦距与长轴长的比值定义为椭圆的离心率.在教学中，许多学生会有这样的疑问：也可以刻画椭圆的扁圆程度，为什么不用它们定义椭圆的离心率？”其实作为椭圆的离心率更有优势，我们知道椭圆是平面上到两个定点F1，F2距离的和为常数2a的动点的轨迹(其中|F1F2|=2c，且2a>2c)，此定义中涉及的参数是a和c，为了和椭圆的定义保持一致，所以用表示椭圆的离心率；另外，椭圆的第二定义是“到定点的距离与到定直线的距离的比值为常数的动点的轨迹”，而这个常数恰好是即椭圆的离心率.其实说椭圆的离心率是“人为规定”也未尝不可，因为在天文学中把天体运行轨道的离心率也叫作偏心率，描述的是某一天体椭圆轨道与理想圆形的偏离程度.天文学家发现太阳系中，行星是围绕着以太阳为焦点的椭圆形轨道运行的，所以行星和太阳之间的距离不是恒定的，其中离太阳最近的距离为a-c，离太阳最远的距离为a+c，也就是说偏心率就是衡量行星偏离太阳的程度，所以用表示椭圆的偏心率更符合客观实际.二、椭圆离心率取值范围的几种求法求椭圆离心率的取值范围是高考经常考查的热点问题之一，这类题涉及解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强、方法灵活，解题关键是构造关于a，c或e的不等式，下面用几个实例通过构造不等式求椭圆离心率的取值范围.1.利用椭圆的范围构造不等式例1 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得∠F1PF2=90°，求椭圆离心率e的取值范围.解：设点P的坐标为(x，y)，点F1的坐标为(-c，0)，点F2的坐标为(c，0)，则有因为∠F1PF2=90°，得则即(x+c)(x-c)+y2=0，整理得x2+y2=c2，将其与椭圆方程联立，消去y，可得由椭圆上点的坐标的范围可知，0≤x2<a2，解得c2≥b2，即所以2.利用二次方程判别式构造不等式以上题为例.解：由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a，所以有+2|PF1|·|PF2|=4a2，又因为∠F1PF2=90°，所以=4c2，由此可得|PF1|·|PF2|=2(a2-c2)，所以|PF1|，|PF2|可以看作二次方程x2-2ax+2(a2-c2)=0的两实根.所以Δ=4a2-8(a2-c2)≥0，整理得所以3.利用焦半径的取值范围构造不等式例2 已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上存在一点P，使得线段PF1的中垂线经过焦点F2，则椭圆离心率e的取值范围是______.图1解：如图1，因为线段PF1的中垂线经过焦点F2，所以|PF2|=|F1F2|=2c，即椭圆上存在一点P，使得|PF2|=2c.所以|PF2|=2c≥a-c，所以a≤3c，所以即4.利用均值不等式构造不等式例3 设F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上任意一点M都满足∠F1MF2为锐角，则椭圆离心率的取值范围是( ).解：因为又因为∠F1MF2为锐角，所以又因为-4c2=(|MF1|+|MF2|)2-2|MF1||MF2|-4c2>0，所以|MF1||MF2|<2a2-2c2，由均值不等式得所以a2<2a2-2c2，解得所以图25.利用椭圆中重要结论构造不等式以上题为例.解：如图2，当M移动到椭圆的短轴的端点B时，∠F1MF2最大.由已知可知，∠F1BF2为锐角，即∠F1BO<45°，在Rt△F1BO中，所以6.利用题设中的已知条件构造不等式例4 已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：5x-12y=0交椭圆于A，B两点，若|AF|+|BF|=6，点M到直线l的距离不小于则该椭圆E的离心率的取值范围是( ).图3解：如图3所示，设F1为椭圆的左焦点，连接AF1，BF1，则四边形AFBF1为平行四边形，所以6=|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a，所以a=3.取M(0，b)，因为点M到直线l的距离不小于所以解得b≥1，所以又因为0<e<1，所以椭圆E的离心率的取值范围是故选A.在新一轮课改的实施过程中，作为数学教师，需要在平时的教学中，适时地引导学生探究出问题的本源，只有这样深入才能使学生更容易掌握解决问题的方法.而椭圆离心率取值范围的解法灵活多样，综合性强，需要我们认真分析题意，探究问题本源，才能找到最佳突破口，从而准确、快速地解决问题.参考文献：[1]王侠.椭圆离心率的深入认知及基本求法[J].中小学数学，2013(4).[2]黄贻淦.如何建立不等式求离心率的范围[J].数理化解题研究，2012(2).[3]林风，林善柱.数学概念教学要重视其生成过程——“椭圆离心率及其应用”的教学思考[J].中学数学教学参考(上)，2017(12).*基金项目：本文系2018年度甘肃省教育科学“十三五”规划重点课题“基于核心素养下的数学史融入高中数学教学的实践”(课题编号：GS[2018]GHB3863)的阶段性成果之一.。
椭圆的离心率问题
椭圆和双曲线中的离心率问题1. 已知12F F 、是椭圆222210)x y a b a b+=>>（的左右焦点，过1F 的直线与椭圆相交于A B 、两点，若220,,AB AF AB AF ⋅==则椭圆的离心率为（ ）A.B. -C. 1D. 12.若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） 4.5A3.5B 2.5C 1.5D3.设P 是以12F F 、为焦点的椭圆222210)x y a b a b +=>>（上的一点，且120PF PF ⋅=，121tan 2PF F ∠=，则该椭圆的离心率是（ ）A B 1.3C 1.2D4. 已知椭圆E 的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 且斜率为2的直线交椭圆E 于P Q 、两点，若12PF F ∆为直角三角形，则椭圆E 的离心率为（ ）3A 2.3B 3C 1.3D5. 已知直线y x =与椭圆222210)x y a b a b+=>>（的两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为( )A B C 1.2D6. 椭圆222210)x y a b a b +=>>（的左焦点为F ,(,0),(0,)A a B b -是两个顶点，如果F 到直线AB ，那么椭圆的离心率为( )A B 1.2C 4.5D7. 过椭圆222210)x y a b a b +=>>（的左焦点1F 做x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点，若1260F PF ∠=︒,则椭圆的离心率为（ ）2A .3B 1.2C 1.3D8. 已知椭圆222210)x y a b a b+=>>（的左焦点为F ，右顶点为A ,点B 在椭圆上，且BF x ⊥ 轴，直线AB 交y 轴于点P ,若2AP PB =,则椭圆的离心率是（ ）A B 1.3C 1.2D9.椭圆222210)x y a b a b +=>>（的左顶点为A ，左、右焦点为12F F 、，D 是它短轴的一个端点，若122DF DA DF =+,则该椭圆的离心率为（ ）1.2A 1.3B 1.4C 1.5D10. 已知12F F 、是椭圆C 222210)x y a b a b +=>>（的左右焦点，P 为直线32a x =上一点，12F PF ∆是底角为30︒的等腰三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）1.2A2.3B3.4C4.5D22. 已知F 1，F 2是椭圆C 的左右焦点，点P 在椭圆上，且满足122PF PF =，1230PF F ∠=︒,则椭圆的离心率为____ 23.在平面直角坐标系xoy 中，设椭圆222210)x y a b a b+=>>（的焦距为2c,以点O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过点2(,0)a P c作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为________. 24.过椭圆222210)x y a b a b+=>>（的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ,与y 轴的交点为B ,若AM MB =,则该椭圆的离心率为_____________.25.已知12F F 、为椭圆22121x y k k +=++的左、右焦点，过焦点1F 的直线交椭圆于A B 、两点，若2ABF ∆的周长为8，则椭圆的离心率为____________.二.求离心率取值范围问题.33.已知两定点2A（-,0) 和 2B （,0),动点P x y （,)在直线 :3l y x =+ 上移动，椭圆C 以A B 、为焦点且经过点P ，求椭圆C 的离心率的最大值.为（ ）A B C D 34.已知12F F 、是椭圆C 222210)x y a b a b+=>>（的左右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A B 、两点，若2ABF ∆为钝角三角形，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）.0A（） .01)B （ .1,1)C 1,1)D35.从一块短轴长为2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的范围是223,4b b ⎡⎤⎣⎦，则这个椭圆的离心率的取值范围是（ ）.A ⎣⎦ .B ⎣⎦ .C ⎣⎦ .D ⎣⎦40.已知椭圆222210)x y a b a b+=>>（的左右焦点分别为12(,0)F c F c （-,0)、，若椭圆上存在点P (异于长轴端点)，使得1221sin sin c PF F a PF F ∠=∠，则该椭圆的离心率e 的取值范围是__________.41.已知12F F 、是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，12=120F PF ∠︒，则该椭圆的离心率e 的取值范围是_______42.已知12(,0)F c F c （-,0)、为椭圆22221x y a b+=的两个焦点，P 为椭圆上一点且212PF PF c ⋅=，则此椭圆离心率的取值范围是__________.43.已知12F F 、是椭圆222210)x y a b a b +=>>（的左右焦点，若在直线2a x c=上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线过2F ，则椭圆的离心率e 的取值范围是__________.44.已知12F F 、是椭圆222210)x y a b a b+=>>（的左右焦点，M 是椭圆上一点，且满足 120F M F M ∙=,则离心率e 的取值范围是__________.40.( -1,1) 41. )1⎣ .42. ⎣⎦. 43. )1⎣. 44)1⎣+1). 46. )5⎣答案： 1-5 ABAAB 6-10 CBDBC 11-15 DDAAB 16-20 DADBB 21 A22. .23. 2.24. .25. 12.26.29. 5.30.2. 31. 2 32. 5 33-37 BAACB.38.39 B B.40.( -1,1)41. )1⎣.42. 2⎣⎦，.43. )1⎣.44)12⎣+1).46. )5⎣。
求椭圆离心率范围的常见题型及解析
求椭圆离心率范围的常见题型及解析解析解题关键：挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e的不等式。
一、利用曲线的范围，建立不等关系已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$右顶点为A，点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。
小改写：已知椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，右顶点为A，点P在椭圆上，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。
二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足所有点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）。
小改写：已知F1、F2是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的两个焦点，满足所有点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）。
三、利用点与椭圆的位置关系，建立不等关系已知$\triangle ABC$的顶点B为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$短轴的一个端点，另两个顶点也在椭圆上，若$\triangle ABC$的重心恰好为椭圆的一个焦点F(c,0)，求椭圆离心率的范围。
小改写：已知椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，短轴的一个端点为B，另两个顶点也在椭圆上，$\triangle ABC$的重心恰好为椭圆的一个焦点F(c,0)，求椭圆离心率的范围。
四、利用函数的值域，建立不等关系椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$与直线$x+y-1=0$相交于A、B两点，且OA·OB=（O为原点），若椭圆长轴长的取值范围为$[5,6]$，求椭圆离心率的范围。
椭圆离心率问题
一、椭恻离心率的1.运川几何图形中线段的几何意义。
基础题目：如图• 0为椭圆的中心，F为焦点• A为顶点，准线L交0A于B. P、Q在椭恻上• PD丄L于D.QFIAD于F,设椭圆的离心率为e.则（!）*晋卞②^罟禺算④*+|吕厂、I F0 I⑤ *1757评：AQP为椭圆上的点•根据椭圆的第一定义得，V I A0 I =a, I OF I =c,・••有⑤：Tl AO I =aU BO I =辛.••有③。
题目1：椭圆务+^l（a>b>0）的两焦点为F, . F2 •以F1F2为边作正三角形.若椭圆恰好平分正三角形的两边.则椭圆的离心率e思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2的中点B.连接8F_把已知条件放在椭圆内•构造△RBF2分析三角形的^^^边长及关系。
解：V I F1F2 I =2c I BF1 I =c I BFz I =©C c-K/3c=2a Ae= yjs-l*2 u2变形椭圆农+h=lSb>0）的两儘点为F1、F2 •点P在椭圆上，使△OPF1为正三角形•求椭恻离心解：连接 PF2测 I OF2 I = I OFJ = I OP I ,ZF I PF2 =90^ 图形如上图，y2变形2:椭圆农+^i(a>b>0)的两焦点为F 八Fz . AB 为椭恻的顶点.P 是椭圆上一点•且PF 】丄X 轴.tP•■TP Fl I = — I Fa Fl I =2c I OB I =b I OA I =a "AB •■- I F X' I ■夕 又"b=毎疋•'•a2=5c2 e=¥ 点评：以上题目，构造焦点三角形・通过#边的几何总义及关系，推寻有关a 与C 的方程式，推导离心率。
一、运用正余弦定理解决图形中的三角形y2 \i2题目2：椭圆+^l(a>b>0), A 是左顶点.F 是右焦点.B 是短轴的一个顶点.ZA8F=90" ■求ePF2 〃 AB,求椭圆离心率解: PF2根据和比性质:I FiP I + I PF2 I sinFiFzP+sin PF1F22c ZPFiFa =75 * Z PF2Fi=15「 5in9(r V e* sin75“ +5inl5' " 3点评：在焦点三角形中・使用第一定义和正弦定理可知X2 v2变形 h 椭圆+^l(a>b>O)rrj 两焦点为 Fl (-C. 0)、F2 (c,0), P 是椭圆上一点，且ZFiPF ； =60 .求 e 的取值范ra解 S I AO I =3 I OF I =C I BF I =a I AB I 而 a^b^+a^ =(a+c)2 =$2+2合c+c2 aJ ：2・ac=0 两边同除以 aPe^+e-l=0 e=—e - '-护(舍去)变形:椭+^l{a>b>0). e=2号E A 是左顶点，F 是右焦点.B 是短轴的一个顶点，求ZABF 点评: 此题是上一题的条件与结论的互换•解题中分析各边.由余弦定理解决角的问題。
椭圆离心率求值和最值问题
福建泉州外国语中学 林贵清
本题是2016年全国 III卷理科第11题，这是 一道求离心率的值
思路一：可充分运用平 面几何中的三角形相似 知识求解；
思路二：利用斜率相等的知识 解决问题；
思路三：利用三点共线的知识 解决问题；
思路四：利用向量三点共线的 知识解决问题；
规律方法总结
m2 c2
16 3
m c
43 3
, 当且仅当 n
m 2
时，等号成立.故选
A.
利用余弦定理结合基本不等式求解
法三 在 PF1F2 中，由余弦定理得
4c2
m2
n2
2
m n 2
m2
n2
m2 4
n2
3m2 4
m2 , c2
16 3
m c
43 3
x 3时，f (x)有最大值f ( 3) 3 4 3 4 3 . 33
利用正弦定理求解
法五 在 PF1F2 中，
设
PF2 F1
,Q
m
n,
F2 PF1
3
,
(
3பைடு நூலகம்
,
2
3
),
由正弦定理得
m 4c m 4 3 sin 4 3 ，
sin 3 c 3
• 求离心率的本质就是探究 a, c 之间的数量关系，知道 a,b, c 中任意两者间的
等量关系或不等关系便可求解出 e 的值或范围；
• 常用的方法：定义法、方程、不等式法、平面知识、三点共线等
(完整版)椭圆离心率高考练习题
椭圆的离心率专题训练一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C． D．4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A． B．C． D．5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A． B．C．D．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B． C．D．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A．B．2﹣C．2（2﹣）D．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．或10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．13．（2015•高安市校级模拟）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C． D．一l14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A． B． C．D．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A．B．C． D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）19．点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A． B． C． D．﹣120．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]21．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）22．设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6D．9﹣623．直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，1）24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，]B．（0，]C．[，1）D．[，]25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A． B． C．D．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B 在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B． C．D．29．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C． D．参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e ＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b ，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A ．B ．C ．D ．解解：∵表示焦点在x 轴上且离心率小于，答：∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==，故选B．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．解解：已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，答：F为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF，AN，AF，BF所以：四边形AFNB为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccosα+2csinα利用e==所以：则：即：椭圆离心率e的取值范围为[]故选：A4．斜率为的直线l 与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：两个交点横坐标是﹣c，c所以两个交点分别为（﹣c ，﹣c）（c ，c）代入椭圆=1两边乘2a2b2则c2（2b2+a2）=2a2b2∵b2=a2﹣c2c2（3a2﹣2c2）=2a^4﹣2a2c22a^4﹣5a2c2+2c^4=0（2a2﹣c2）（a2﹣2c2）=0=2，或∵0＜e＜1所以e==故选A5．设椭圆C ：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．解解：设|PF2|=x，答：∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选A．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I ，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A ．B ．C ．D ．解答：解：设P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，∴G点坐标为 G （，），∵，∴IG∥x轴，∴I 的纵坐标为，在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴=•|F1F2|•|y0|又∵I为△F1PF2的内心，∴I 的纵坐标即为内切圆半径，内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||∴•|F1F2|•|y0|=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||即×2c•|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率e==故选A7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．解答：解：设P（m，n ），=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又 m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A ．B．2﹣C．2（2﹣）D ．解解：如图，答：在Rt△MF1F2中，∠MF2F1=60°，F1F2=2c∴MF2=4c，MF1=2 cMF1+MF2=4c+2c=2a⇒e==2﹣，故选B．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P 满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．或解答：解：∵椭圆C上的点P 满足，∴|PF1|==3c，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF2|=2a﹣3c．利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a﹣3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣3c，化为．∴椭圆C的离心率e 的取值范围是．故选：C．10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．解答：解：F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1），则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°==，解得x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是 e ∈．故选A．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P ，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C ．D ．解答：解：设P（asinα，bcosα），A1（﹣a，0），A2（a，0）；∴，；∴；∴；∴，a，c＞0；∴解得；∴该椭圆的离心率的范围是（）．故选：C．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：设椭圆（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），|MF2|=|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，即a﹣c=2，①取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，由勾股定理可得|MF2|2﹣|MK|2=|NF2|2﹣|NK|2，即为4c2﹣4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为a+c=12，②由①②解得a=7，c=5，则离心率e==．故选：D．13．椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F 关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．一l解：设F（﹣c，0）关于直线x+y=0的对称点A（m，n），则解答：，∴m=，n=c，代入椭圆方程可得，化简可得e4﹣8e2+4=0，∴e=﹣1，故选：D．14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：F 1，F 2分别为椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），（c ＞0），P 为椭圆上一点，且PF 2垂直于x 轴．若|F 1F 2|=2|PF 2|， 可得2c=2，即ac=b 2=a 2﹣c 2．可得e 2+e ﹣1=0． 解得e=．故选：D ． 15．已知椭圆（a ＞b ＞0）的两焦点分别是F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于P ，Q 两点，若|PF 2|=|F 1F 2|，且2|PF 1|=3|QF 1|，则椭圆的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ．解答： 解：由题意作图如右图，l 1，l 2是椭圆的准线，设点Q （x 0，y 0），∵2|PF 1|=3|QF 1|，∴点P （﹣c ﹣x 0，﹣y 0）； 又∵|PF 1|=|MP|，|QF 1|=|QA|， ∴2|MP|=3|QA|， 又∵|MP|=﹣c ﹣x 0+，|QA|=x 0+，∴3（x 0+）=2（﹣c ﹣x 0+），解得，x 0=﹣，∵|PF 2|=|F 1F 2|， ∴（c+x 0+）=2c ； 将x 0=﹣代入化简可得，3a 2+5c 2﹣8ac=0， 即5﹣8+3=0；解得，=1（舍去）或=；故选：A．16．已知椭圆C ：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y 轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．又|MF2|=2|OA|，在Rt△OMF2中，∴∠AF2F1=60°，在Rt△AF1F2中，|AF2|=c，|AF1|=c．∴2a=c+c，∴=﹣1．故选：C．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A ．B ．C ．D ．解答：解：∵|MF1|=|MO|=|MF2|，由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF2|=3|MF2|，即|MF2|=a，|MF1|=a，在△F1OM中，|F1O|=c，|F1M|=a，|OM|=a，则cos∠MOF1==，在△OF2M中，|F2O|=c，|M0|=|F2M|=a，则cos∠MOF2==，由∠MOF1=180°﹣∠MOF2得：cos∠MOF1+co s∠MOF2=0，即为+=0，整理得：3c2﹣2a2=0，即=，即e2=，即有e=．故选：D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）解答：解：由已知P （，y），得F1P的中点Q 的坐标为（），∴，∵，∴y2=2b2﹣，∴y2=（a2﹣c2）（3﹣）＞0，∴3﹣＞0，∵0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：C．19．点F 为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．﹣1解答：解：如下图所示：设椭圆的右焦点为F，根据椭圆的对称性，得直线OP的斜率为k=tan60°=，∴点P坐标为：（c ，c），代人椭圆的标准方程，得，∴b2c2+3a2c2=4a2b2，∴e=．故选：D．20．已知椭圆C ：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O 的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]解答：解：如图所示，连接OE，OF，OM，∵△MEF为正三角形，∴∠OME=30°，∴OM=2b，则2b≤a，∴，∴椭圆C的离心率e==．又e＜1．∴椭圆C 的离心率的取值范围是．故选：C．21．在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）解答：解：如图所示，设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：，取y=，A．∵△ABC是锐角三角形，∴∠BAD＜45°，∴1＞，化为，解得．故选：A．22．设F1、F2为椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6D．9﹣6解答：解：可设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，则|AF2|=2a﹣m=（2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2﹣）2a2+4（）2a2，即有c2=（9﹣6）a2，即有e2==9﹣6．故选D．23．直线y=kx与椭圆C ：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，1）解答：解：设F2是椭圆的右焦点．∵•=0，∴BF⊥AF，∵O点为AB的中点，OF=OF2．∴四边形AFBF2是平行四边形，∴四边形AFBF2是矩形．如图所示，设∠ABF=θ，∵BF=2ccosθ，BF2=AF=2csinθ，BF+BF2=2a，∴2ccosθ+2csinθ=2a，∴e=，sinθ+cosθ=，∵θ∈（0，]，∴∈，∴∈．∴∈，∴e ∈．故选：D．24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，]B．（0，]C．[，1）D．[，]解答：解：设P（x0，y0），则2c2==（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=+，化为．又，∴=，∵，∴，∵b2=a2﹣c2，∴，∴．故选：A．25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：设P（x0，y0），则，∴=．∵，∴（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=c2，化为=c2，∴=2c2，化为=，∵，∴0≤≤a2，解得．故选：D．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：由题意知c=1，离心率e=，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则c=1，∵P在直线l：y=x+2上移动，∴2a=|PA|+|PB|．过A作直线y=x+2的对称点C，设C（m，n），则由，解得，即有C（﹣2，1），则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时a 有最小值，对应的离心率e 有最大值，故选C．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B 在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k ＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）解解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，答：∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k ＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B 使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．解答：解：连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，∵∠BPA=，∠APO=∠BPO=，在直角三角形OAP 中，∠AOP=，∴cos∠AOP==，∴|OP|==2b，∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即，∴，又0＜e＜1，∴≤e＜1，∴椭圆C的离心率的取值范围是[，1），故选：A．29．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A ．B ．C ．D ．解答：解：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO2|+|MO1|=4﹣r=2a，∴e1=．②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令12﹣r=t（10＜t＜12），e1+2e2=2×≥2×==故选：A．。
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧【摘要】高中数学中，离心率题型是一个常见但也容易出错的题目。
本文将介绍关于高中数学离心率题型的解法技巧。
在我们将介绍离心率的定义和背景知识。
在我们将详细讲解离心率的性质、解题步骤，并举例说明常见的题型。
我们会提醒大家在解题时需要注意的事项，并进行实战演练。
在我们将总结本文的内容，并探讨离心率在实际生活中的拓展应用，以及如何进一步提升解题能力。
通过本文的学习，读者将能够更加熟练地解决高中数学中关于离心率的题目。
【关键词】高中数学、离心率、题型、解法、有效技巧、引言、定义与性质、解题步骤、常见题型举例、注意事项、实战演练、结论、总结、拓展应用、思考提升。
1. 引言1.1 介绍高中数学中的离心率题型是一种常见而重要的题型，涉及到椭圆、双曲线和抛物线等几何图形的特性和性质。
理解和掌握离心率的计算方法对于解题十分重要，而有效的解决技巧可以帮助学生提高解题效率，提升数学成绩。
在本文中，我们将介绍关于高中数学离心率题型的解题技巧，希望能够为学生们在学习和应试过程中提供指导和帮助。
在接下来的我们将详细介绍离心率的定义和性质，解题步骤以及常见题型举例，同时给出一些注意事项和实战演练，希望能够帮助学生们全面深入地理解和掌握离心率这一重要的数学知识。
通过不断的学习和练习，我们相信每位学生都能够在离心率题型上取得更好的成绩。
1.2 背景知识高中数学中，离心率是一个重要且常见的概念。
在几何学和代数学中，离心率通常用来描述椭圆、双曲线和抛物线等二次曲线的形状。
理解离心率的概念对于解决与二次曲线相关的数学问题非常重要。
离心率的定义是一个数值，用来衡量一个二次曲线的“扁平”程度。
在椭圆和双曲线中，离心率的取值范围是0到1，越接近1表示曲线越扁平；在抛物线中，离心率为1，表示曲线为对称。
在解决与离心率相关的数学题目时，首先要掌握离心率的定义及其性质。
需要了解解题的基本步骤，包括求解离心率、判断曲线类型、求解焦点、导线等。
椭圆中的离心率最值问题
椭圆中的离心率最值问题作者：柯淑芳来源：《高中生学习·高二版》2016年第03期椭圆中的离心率最值问题是解析几何中的重点和难点，往往借助于图形的性质、椭圆的范围、正余弦函数的有界性、均值不等式等来构造关于a，b，c的不等式，从而达到求解的目的. 本文主要研究如何利用椭圆焦点三角形中的角求解椭圆中的离心率最值问题.首先给出一些关于椭圆焦点三角形的相关概念和性质如下：椭圆上任意一点P与两焦点所构成的三角形，称为焦点三角形.性质1 若[F1，F2]是椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的两个焦点，[P]是椭圆上一点，且[∠F1PF2=θ]，则[SΔF1PF2=b2tanθ2].[P][F1][F2][x][y][θ] [O]证明设[PF1=m]，[PF2=n]，由余弦定理得[m2+n2-2mncosθ=F1F22=4c2，]由椭圆定义得[m+n=2a，]由上得：[mn=2（a2-c2）1+cosθ=2b21+cosθ]，[∴][SΔF1PF2=12mnsinθ=b2sinθ1+cosθ=b2tanθ2].性质2 已知椭圆方程为[x2a2+y2b2=1（a>b>0），]两焦点分别为[F1，F2，]设焦点三角形[PF1F2]中[∠F1PF2=θ，]则[cosθ≥1-2e2]（当且仅当动点为短轴端点时取等号）.证明在[△F1PF2]中，由余弦定理可知[cos∠F1PF2=PF12+PF22-F1F222PF1∙PF2][=（PF1+PF2）2-2PF1∙PF2-4c22PF1∙PF2][=2a2-2c2PF1∙PF2-1≥2a2-2c2PF1+PF222-1][=2a2-2c2a2-1=1-2e2].性质3 已知[B]为椭圆短轴的端点，[F1，F2]为椭圆的两个焦点，[O]为坐标原点.①[sin∠F1BO=ca=e]，②[P]为椭圆上任意一点，当[P]位于短轴端点时[∠F1PF2]达到最大值即[∠F1BF2≥∠F1PF2].[P][B][F1][F2][x][y][θ] [O]例1 [F1，F2]为椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左右焦点，若椭圆上存在点[P]，使得[∠F1PF2=π2]，求椭圆离心率[e]的取值范围.解法一设[B]为椭圆短轴上的一个端点，则[∠F1BF2≥∠F1PF2=π2].所以，[∠F1BO≥π4].所以，[sin∠F1BO=ca=e≥22].又因为[0解法二利用余弦定理，∵[∠F1BF2≥90°]，∴[cos∠F1BF2=a2+a2-4c22a2≤0]，即[a2≤2c2]，∴[e=ca≥22]，∴[e∈22，1].解法三由焦点三角形的性质可知[S△F1PF2=b2tan45°]，∴[b2≤S△F1PF2=12∙2c∙b=bc]，即[b≤c]，∴[b2≤c2]，∴[a2-c2≤c2]，∴[e∈22，1].解法四由焦半径公式得[PF1=a+ex0]，[PF2=a-ex0]，由勾股定理得[（a+ex0）2+（a-ex0）2=4c2]，即[x02=2a2-a2c2≥0]，∴[e=ca≥22]，∴[e∈22，1].解法五利用均值不等式，设[PF1=m，PF2=n]，∴[m2+n2=4c2]，又[2a=m+n]，∴[4a2=m2+n2+2mn≤2（m2+n2）=8c2]，即[a2≤2c2]，∴[e=c a≥22]，∴[e∈22，1] .点评在这五种解题方法中，主要从两个方向构造不等式最终得到椭圆离心率的最值，一个是角度（如解法一、二、三），另一个是长度（如解法四和五）. 显然，用长度构造计算量稍大些；用角度构造，特别是利用焦点三角形的性质直接计算简单方便得多.下面看看利用椭圆焦点三角形的角度求离心率最值的应用.例2 已知椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的两焦点分别为[F1，F2，]若椭圆上存在一点[P，]使得[∠F1PF2=120°，]求椭圆的离心率[e]的取值范围.解析由椭圆焦点三角形性质可知[cos120°≥1-2e2，] 即[-12≥1-2e2]，于是得到[e]的取值范围是[32，1].例3 [F1，F2]为椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左右焦点，[P]是椭圆上一点，且[SΔPF1F2=33b2]，求椭圆离心率[e]的取值范围.解析由焦点三角形的性质得[SΔPF1F2=b2×tan12∠F1PF2]，可以得到[∠F1PF2=π3]，∴[cosπ3≥1-2e2]，即[12≥1-2e2]，∴[e∈12，1].总之，利用椭圆焦点三角形中的角求椭圆中的离心率最值可以更加简便，为我们节省了解题的时间，而归根到底椭圆焦点三角形的角的特殊性质还是抓住课本——椭圆的定义[PF1+PF2=2a][2a>F1F2]，再结合正余弦定理或勾股定理，由边的关系找出a与c的关系，从而求出离心率的最值或取值范围.。
椭圆离心率总结汇总
关于椭圆离心率设椭圆x a y ba b 222210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点P ，使∠=︒F PF 1290，求离心率e 的取值范围。
解法1：利用曲线范围设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 1212121222229000→→→→→→=+=-∠=︒⊥⋅=+-+=+=()()()()，，，由，知，则，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得x a c a b a b F PF x aa c ab a b a2222222122222222229000=--∠=︒≤<≤--<但由椭圆范围及知即可得，即，且从而得，且所以，）c b c a c c a e c a e c a e 2222222221221≥≥-<=≥=<∈[解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=⇒++=又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()||||()∆=--≥⇒=≥⇒≥4801222222222a a c e c a e ()因此，e ∈[)221 解法3：利用三角函数有界性记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有||sin ||sin ||sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cosPF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222122βααβαβαβαβαβ==︒⇒++=+====+=+-=-又，，则有而知从而可得09002452221221≤-<︒≤-<︒<-≤≤<||||cos αβαβαβe解法4：利用焦半径 由焦半径公式得||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x ca e x c x c a e P x y x a x a 12122212222222222222222222224220=+=-+=+++-+=+==-≠±≤<，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即022212222≤-<∈c a e ae 得，）[解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有212a PF PF =+|||| 平方后得42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||得c a2212≥ 所以有，）e ∈[221 解法6：巧用图形的几何特性由∠=︒F PF 1290，知点P 在以||F F c 122=为直径的圆上。
离心率问题的7种题型15种方法(教师版)
目录题型一:椭圆离心率的求值 2方法一：定义法求离心率 2方法二：运用通径求离心率 3方法三：运用e=e=1+k2λ-1λ+1求离心率 4方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα+sinβ求离心率 4方法五：运用k OM⋅k AB=-b2a2求离心率 5方法六：运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率 6方法七：运用相似比求离心率 6方法八：求出点的坐标带入椭圆方程建立等式 7方法九：运用几何关系求离心率 7题型二:双曲线离心率的求解 9方法一：定义法关系求离心率 10方法二：运用渐近线求离心率 10方法三：运用e=1+k2λ-1λ+1求离心率 11方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα-sinβ求离心率 11方法五：运用结论k OM•k AB=b2a2求离心率 12方法六：运用几何关系求离心率 13题型三:椭圆、双曲线离心率综合运用 15题型四:根据已知不等式求离心率的取值范围 17题型五:根据顶角建立不等式求离心率范围 18题型六:根据焦半径范围求离心率范围 19题型七:题型七根据渐近线求离心率的取值范围 21离心率问题的7种题型15种方法1离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式椭圆公式1:e =ca 公式2:e =1-b 2a2证明：e =c a=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1-b 2a 2公式3:已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则椭圆的离心率e =sin (α+β)sin α+sin β证明：∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,由正弦定理得：F 1F 2 sin (180o −α−β)=PF 2 sin α=PF 1sin β由等比定理得：F 1F 2 sin (α+β)=PF 1 +PF 2 sin α+sin β，即2c sin (α+β)=2a sin α+sin β∴e =c a =sin (α+β)sin α+sin β。
求椭圆离心率常用的三种方法
椭圆的离心率是椭圆的一个重要性质，它是反映椭圆的扁平程度的量.求椭圆的离心率问题比较常见.这类问题常与平面几何、三角函数、平面向量等知识相结合，侧重于考查同学们的逻辑推理和数学运算能力.那么,求椭圆的离心率有哪些方法呢？下面结合实例进行探讨.一、公式法我们知道，圆锥曲线的离心率公式为e=ca.因此要求椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率，只需求出椭圆方程中的参数a、c的值或c与a的比值即可.例1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则E的离心率为_______.解：因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以2a=4b，所以ba=12，可得e=ca本题较为简单，由题意可以很容易确定椭圆中参数a、b之间的关系，直接根据椭圆方程中参数a、b、c之间的关系a2=b2+c2，即可求得c与a的比值，从而求得椭圆的离心率.例2.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点为F()2,0，P为椭圆的左顶点，且||PF=5，则椭圆C的离心率为（）.A.23B.12C.25D.13解：因为椭圆的右焦点为F()2,0，所以c=2，因为P为椭圆的左顶点，所以||PF=a+c=a+2=5，解得a=3，所以椭圆C的离心率为e=ca=23.故选A.我们首先根据题意可以确定c的值；然后根据P点的位置，确定a的值，即可根据椭圆离心率的公式求得问题的答案.二、几何性质法几何性质法是指利用平面几何图形的性质解题.在求椭圆的离心率时，我们可以根据题意画出几何图形，将椭圆参数方程中的a视为长半轴长、b视为短半轴长、c视为焦半径，根据椭圆、三角形、平行四边形、梯形的性质来求得椭圆的长半轴长、短半轴长、焦半径，或建立三者之间的关系式.例3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1()a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆C上第一象限的点，若||MF1=||F1F2，直线F1M与y轴交于点A，且F2A是∠MF2F1的角平分线，则椭圆C的离心率为_______.解：由题意得||MF1=||F1F2=2c，由椭圆的定义得||MF2=2a-2c，记∠MF1F2=θ，则∠AF2F1=∠MF2A=θ，∠F1F2M=∠F1MF2=∠MAF2=2θ，则||AF2=||AF1=2a-2c，所以||AM=4c-2a，故ΔMF1F2∽ΔMF2A，则||MF2||F1F2=||AM||MF2，则2a-2c2c=4c-2a2a-2c，可得e2+e-1=0，解得e=5-12或e=-5-12（舍）.解答本题，需运用相似三角形的性质建立关于||MF1、||F1F2||AM、||MF2的关系式，并根据椭圆的定义，即在平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹，确定||MF1、||F1F2||AM、||MF2与a、c之间的关系，从而使问题获解.例4.如图1，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，点M()x0,y0()x0>c是C上的一点，点A是直线MF2与y轴的交点，ΔAMF1的内切圆与MF1相切于点N，若|MN|=2||F1F2，则椭圆C的离心率e=______．解：设内切圆与AM切于Q，与AF1切于P，所以||MN=||MQ=2||F1F2=22c，||F1N=||F1P，||AP=||AQ，图141由圆的对称性知||AF 1=||AF 2，所以||PF 1=||QF 2，即||NF 1=||QF 2，所以2a=||MF 2+||MF 1=()||MQ -||QF 2+()||MN +||NF 1=||MQ +||MN =42所以e =c a =242我们先结合图形明确点、圆、椭圆之间的位置关系；然后根据椭圆的定义将问题转化为线段问题，即可根据圆的对称性、圆与切线的位置关系建立线段||MF 2、||MF 1、||MQ 、||QF 2、||MN 、||NF 1之间的关系，得到关于a 、c 的关系式，进而求出椭圆的离心率.用几何性质法解题的计算量较小，有利于提升解题的效率.三、构造齐次式在求椭圆的离心率时，若不易求出a 、c 的值或比值，则可考虑根据题目中的条件与椭圆的方程，建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，即可根据离心率公式e =ca，得到关于e 的二次方程，进而通过解方程求得离心率e 的值.例5.如图2，已知椭圆的方程为：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0，过原点的直线交椭圆于M ，N 两点，点P 在x 轴上，其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交椭圆于点Q .若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，求椭圆的离心率.解：设M ()x 1,y 1，Q ()x 2,y 2，则N ()-x 1,-y 1，P ()3x 1,0，设直线MN 、QM 、NP 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1=y 1x 1，k 2=y 2-y 1x 2-x 1，k 3=0+y 13x 1-()-x 1=y 14x 1=14k 1，因为直线QM 是圆的切线，所以QM ⊥MN ，k 1k 2=-1，所以k 2k 3=-14，又Q 在直线NP 上，所以k 3=y 2+y 1x 2+x 1，因为M 、Q 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1()a >b >0上，所以x 21a 2+y 21b 2=1，x 22a 2+y 22b2=1，将上述两式相减得x 21-x 22a 2+y 21-y 22b 2=0，整理得y 2+y 1x 2+x 1⋅y 2-y 1x 2-x 1=-b 2a 2，故k 2k 3=-b 2a 2=-14，即b 2a 2=14，可得a 2-c 2a 2=34，即a2-c 2a 2=1-e 2=14，解得e 我们先根据三条直线与圆、椭圆的位置关系建立关于a 、c 的二次齐次式a 2-c 2a 2=34；再根据离心率公式e=c a ，建立关于e 的方程，即可求得e 的值.在求得e 的值后，一定要注意检验所得的值是否在(0,1)内，以确保得到的答案是正确的.图2图3例6.如图3，已知AB 直线过椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左焦点F ()-2,0，且与椭圆交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若点C ，F 分别是线段AB 的三等分点，则该椭圆的离心率为_______.解：因为点C 、F 是线段AB 的三等分点，由图3可知C 为AF 的中点，右焦点为F 2，所以AF 2//OC ，所以AF 2⊥x 轴，由椭圆的方程得A 点的坐标为()c ,b 2a ，C ()0,b 22a，因为C ,B 关于F 对称，所以B 点的坐标为()-2c ,-b 22a ，将其代入椭圆的方程x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0中得：4c 2a 2+b 24a2=1,即16c 2+b 2=4a 2,得a 2=5c 2，所以离心率为e =c a 先由点C 、F 是线段AB 的三等分点可得AF 2//OC ；再根据线段的对称性可求得B 点的坐标；最后将其代入椭圆中，即可建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，进而得到关于椭圆离心率e 的方程.无论采用哪种方法求椭圆的离心率，我们需明确解题的目的有两个：一是通过计算求得c 与a 的值；二是利用已知条件建立关于c 与a 的齐次式，进一步将其转化为关于ca的方程.（作者单位：四川省内江市威远中学校）42。
【圆锥曲线】02椭圆离心率与几何性质(含经典题型+答案)
椭圆的离心率与几何性质角，则该椭圆的离心率为 .2.若椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点可构成一个等边三角形,则椭圆的离心率为（ ）1123. . . .4222A B C D 3.在一椭圆中以焦点F 1、F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e 等于（ ）.秒杀秘籍：椭圆离心率的计算定义：如图所示，P 为椭圆的上顶点，令122,PF F OPF αθ∠=∠=，离心率就是sin cos ce aθα=== 例1：已知直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点和一个焦点,那么这个椭圆的方程为____________________,离心率为_______. 解：()()220;2,00,1x y -+=∴-直线过点；,故过椭圆的上顶点和左焦点，根据图形可得2,1,5c b a ===；故椭圆方程为2215x y +=，255c e a ==椭圆顶点三角形与离心率：如右图，2tan 1be aα==-， 例2：椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的四个顶点为A 、B 、C 、D ,若菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率是( ) A.253- B.853+ C. 215- D.815+解：根据图形可得22222tan b c c b ac a c ac a ba c α===⇒=⇒-=-； 即22251110,2c c e e e a a --=⇒+-==（黄金椭圆2b ac =）半通径的焦点三角形与离心率：如右图，过椭圆右焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于点P ，则22b PF a =，12,F PF α∠=222222221cos 12bab a ac e a c ea α--===++- 例3：设椭圆的两个焦点分别为1F ,2F ,过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△12F PF 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为__________ .解：根据图形可得()22222212cos 21122e e e e α--==⇒=⇒=-+ 例4：椭圆221123x y +=的两个焦点为F 1，F 2, 点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的 倍。
求离心率范围的六种方法
求解离心率范围六法在圆锥曲线的诸多性质中，离心率经常渗透在各类题型中。
离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，在每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。
因此求离心率的取值范围，综合性强，是解析几何复习的一个难点。
笔者从事高中数学教学二十余载，积累了六种求解这类问题的通法，供同仁研讨。
一、利用椭圆上一点P (x ,y )坐标的取值范围，构造关于a ,b ,c 的不等式例1 若椭圆()012222 b a by a x =+上存在一点P ，使︒=∠900PA ，其中0为原点，A 为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e 的取值范围。
解：设()00,y x P 为椭圆上一点，则122220=+b y a x . ① 因为︒=∠900PA ，所以以O A 为直径的圆经过点P ，所以020020=+-y ax x . ②联立①、②消去0y 并整理得当a x =0时，P 与A 重合，不合题意，舍去。
所以2220ba ab x -=又a x 00，所以a ba ab 2220-， 即 ()22222c a b a -=得2122 ac ，即223e又10 e ，故e 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 二、利用圆锥曲线的焦点和曲线上一点构成的“焦三角形”三边大小关系，构造关于a ,b ,c 不等式例2 已知双曲线()0,01x 2222 b a by a =-左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为p ,ι是双曲线左支上一点，并且221PF PF d =，由双曲线第二定义得ed =1PF ，所以12PF PF e =. ① 由又曲线第一定义得a PF 2PF 12=- ②由①-②得在21PF F ∆中，所以 c e ea e a 21212≥-+- ， 即e e e ≥-+11. 又1 e ，从而解得e 的取值范围是(]21,1+。
三、利用圆锥曲线的“焦三角形”+余弦定理+均值不等式例3 设椭圆()012222 b a by a x =+的两焦点为F 1、F 2，问当离心率E 在什么范围内取值时，椭圆上存在点P ，使21PF F ∆=120°.解：设椭圆的焦距为2c ，由椭圆的定义知a PF PF 221=+.在21PF F ∆中，由余弦定理得=212221PF PF PF PF ++ =（21221)PF PF PF PF -+所以22212122244a PF PF PF PF c a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≤=- 所以23,4322≥≤a cc a 得. 又10 e ，故e 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 四、利用圆锥曲线的定义，结合完全平方数（式）非负的属性构造关于a ,b ,c 的不等式例4 如图1，已知椭圆长轴长为4，以y 轴为准线，且左顶点在抛物线1y 2-=x 上，求椭圆离心率e 的取值范围。
椭圆的离心率问题 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
专题6：椭圆的离心率问题一、单选题1．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I ，G 分别为12PF F ∆的内心和重心，当IG x ⊥轴时，椭圆的离心率为A ．13B ．12C D 2．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于916-，则椭圆的离心率为（ ）A ．34B ．4C ．916D 3．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点和上顶点分别为点()(),0F c b c >和点A ，直线:65280l x y --=交椭圆于,P Q 两点，若F 恰好为APQ 的重心，则椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．3C D4．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且123F PF π∠=，若12F PF ∆的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当4R r =时，椭圆的离心率为（ ）A ．45B ．23C ．12D ．155．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为A ．3B ．4C ．2D ．6．已知12(,0)(,0)F c F c -，为椭圆22221x y a b+=的两个焦点，P （不在x轴上）为椭圆上一点，且满足212PF PF c ⋅=，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．32⎢⎣⎭B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3⎫⎪⎣⎭D ．0,2⎛ ⎝⎭7．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12F F ，，点Q 为椭圆上一点. 12QF F 的重心为G ，内心为I ，且12GI F F λ=，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．13D ．3二、填空题8．已知椭圆C ：2222x y a b+=1（a >b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆C 上不与左右顶点重合的动点，设I ，G 分别为△PF 1F 2的内心和重心.当直线IG 的倾斜角不随着点P 的运动而变化时，椭圆C 的离心率为_____.9．如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为3和1，球心距离128OO =,截面分别与球1O ，球2O 切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．10．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，P 是椭圆上不同于A ，B 的一点，设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当2233(ln ||ln ||)a m n ⎛⎫-+++ ⎪取得最小值时，椭圆C 的离心率是______.11．已知椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点为F ，经过坐标原点O的直线交椭圆于A ． B 两点，M 、N 分别为线段AF 、BF 的中点，若存在以MN 为直径的圆恰经过坐标原点O ，则椭圆的离心率的取值范围为___.12．已知斜率为1的直线l 经过椭圆2222:1x y M a b+=的左焦点，且与椭圆M 交于A ，B 两点，若椭圆M 上存在点C ，使得ABC 的重心恰好是坐标原点，则椭圆M 的离心率e =______.13．已知中心在原点的椭圆C 的一个端点为)A ，直线:21l y x =+.若C 上存在相异的两点M ，N 关于l 对称，则椭圆C 离心率的取值范围是___________.14．已知点P 为直线40ax y +-=上一点，,PA PB 是椭圆()222:10x C y a a+=>的两条切线，若恰好存在一点P 使得PA PB ⊥，则椭圆C 的离心率为__________.15．已知点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，过点P 的一条直线与圆2222x y a b +=+相交于, A B 两点，若存在点P ，使得22||||PA PB a b ⋅=-，则椭圆的离心率取值范围为_________.16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>左顶点为A ，O 为坐标原点，若椭圆上存在点M 使OM MA ⊥，则椭圆的离心率e 的取值范围是______.17．已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且124F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为___________.18．已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>有相同的焦点F 1、F 2，点P 是两曲线的一个公共点，12,e e 分别是两曲线的离心率，若PF 1⊥PF 2，则22124e e +的最小值为__________．参考答案1．A【分析】结合图像，利用P 点坐标以及重心性质，得到G 点坐标，再由题目条件GI x ⊥轴，得到I 点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到MNME 的比值，再结合MIN ∆与MPE ∆相似，即可求得I 点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于,,a b c 的关系式，从而求得椭圆离心率.【解析】如图，令P 点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接PO ，显然G 点在PO 上，连接PI 并延长交x 轴于点M ，连接GI 并延长交x 轴于点N ，GI x ⊥轴，过点P 作PE 垂直于x 轴于点E ，设点00(,)P x y ，12(,0),(,0)F c F c -，则00,OE x PE y ==，因为G 为12PF F ∆的重心，所以00(,)33x y G ， 因为IG x ⊥轴，所以I 点横坐标也为03x ，03xON =，因为PM 为12F PF ∠的角平分线，则有01212122()()23x PF PF F N NF FO ON OF ON ON -=-=+--==， 又因为12+2PF PF a =，所以可得0012,33x xPF a PF a =+=-，又由角平分线的性质可得，0110223=3x a F M PF x F M PF a +=-，而12=F M c OM F M c OM +- 所以得03cx OM a=，所以0()3a c x MN ON OM a -=-=，0(3)3a c x ME OE OM a-=-=，所以3INMN a c PEMEa c -==-，即0()3a c y IN a c-=-， 因为1212121211()22PF F S PF PF F F IN F F PE ∆=++= 即00()11(22)(2)232a c y a c c y a c -+=-，解得13c a =，所以答案为A. 【点评】本题主要考查离心率求解，关键是利用等面积法建立关于,,a b c 的关系式，同时也考查了重心坐标公式，以及内心的性质应用，属于难题.椭圆离心率求解方法主要有：（1）根据题目条件求出,a c ，利用离心率公式直接求解.（2）建立,,a b c 的齐次等式，转化为关于e 的方程求解，同时注意数形结合. 2．B【分析】分别设内外层椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>、22221(1)()()x y m ma mb +=>，进而设切线AC 、BD 分别为1()y k x ma =+、2y k x mb =+，联立方程组整理并结合0∆=求1k 、2k 关于a 、b 、m 的关系式，再结合已知得到a 、b 的齐次方程求离心率即可.【解析】若内层椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由离心率相同，可设外层椭圆方程为22221(1)()()x y m ma mb +=>，△(,0),(0,)A ma B mb -，设切线AC 为1()y k x ma =+，切线BD 为2y k x mb =+，△12222()1y k x ma x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22223224222111()20a k b x ma k x m a k a b +++-=，由0∆=知：32222224222111(2)4()()0ma k a k b m a k a b -+-=，整理得2212211b k a m =⋅-，同理，222221y k x mb x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22222(1)b k m a =⋅-，△4221249()()16b k k a ==-，即22916b a =，故4c e a ===. 故选：B.【点评】关键点点睛：根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合0∆=及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求离心率. 3．C【分析】由题设()(),0,0,F c A b ，利用F 为APQ 的重心，求出线段PQ 的中点为3,22c b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将B 代入直线方程得592802b c +-=，再利用点差法可得225a bc =，结合222a b c =+，可求出,,a b c ，进而求出离心率. 【解析】由题设()()()()1122,0,0,,,,,F c A b P x y Q x y ，则线段PQ 的中点为()00,B x y ，由三角形重心的性质知2AF FB =，即()00,2,()c b x c y -=-，解得：003,22c bx y ==-即3,22c bB ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入直线:65280l x y --=，得592802b c +-=△.又B 为线段PQ 的中点，则12123,x x c y y b +=+=-，又,P Q 为椭圆上两点，2222112222221,1x y x y a b a b∴+=+=，以上两式相减得()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-+=，所以221212221212365PQy y x x b b c k x x a y y a b -+==-⋅=-⨯=-+-，化简得225a bc =△ 由△△及222a b c =+，解得：42a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即离心率5e =. 故选：C.【点评】本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：△直接求出,a c ，从而求出e ；△构造,a c 的齐次式，求出e ；△采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；△根据圆锥曲线的统一定义求解． 4．B【分析】利用正弦定理得到R =再利用椭圆的定义，设1PF m =，2PF n =，得到2m n a +=，结合余弦定理22242cos3c m n mn π=+-，得到22230a c ac --=，即得解.【解析】椭圆的焦点为()1,0F c -，()2,0F c ，122F F c =根据正弦定理可得121222sin 3sin3F F c R F PF π===∠△R =14r R ==设1PF m =，2PF n =，则2m n a +=， 由余弦定理得22242cos 3c m n mn π=+- ()22343m n mn a mn =+-=-，△()2243a c mn -=，△)12221sin 233F PFa c S mn π∆-==， 又12F PF S ∆=()()1226a c m n c r +++⋅=，△))2236a c a c -+=即22230a c ac --=， 故2320e e +-=，解得：23e =或1e =-（舍）. 故选：B .【点评】本题考查了椭圆的性质综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题. 5．A【分析】设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，双曲线方程为22221(0,0)x y m n m n+=>>，焦距为2c 由椭圆和双曲线的定义，不妨设P 在第一象限，求出1212||,||,(,PF PF F F 为焦点），在12PF F ∆中利用余弦定理，求出,,a m c 关系，进而得出椭圆与双曲线的离心率关系，利用三角换元，结合正弦函数的有界性，即可求解.【解析】设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，双曲线方程为22221(0,0)x y m n m n-=>>，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -22222c a b m n =-=+不妨设P 在第一象限，121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，得12PF a m PF a m ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩， 在12PF F ∆中，22212121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，即2222222343,4a m c a m c c=++=，设椭圆和双曲线的离心率分别为12221213,,4e e e e +=，设12112cos 1,cos 2sin sin 2e θθθθ=>>=<<< 取π0θ3，12112cos )3e e πθθθ+=+=+， 当6πθ=时，1211e e +取得最大值为3. 故选:A.【点评】本题考查椭圆与双曲线的定义和性质，利用余弦定理和三角换元是解题的关键，属于较难题. 6．A【分析】首先根据椭圆定义可知122PF PF a +=，根据余弦定理2222121212122cos 4PF PF PF PF F PF F F c +-⋅∠==，再根据21212cos PF PF F PF c ⋅∠=，根据这三个式子的变形得到21222cos 123c F PF a c∠=<-和22223a c a ∴-≤，最后求离心率. 【解析】由椭圆的定义，得122PF PF a +=，平方得222121224PF PF PF PF a ++=△.由212PF PF c ⋅=，21212cos PF PF F PF c ∴⋅∠=△，12F PF ∠是锐角，由余弦定理得2222121212122cos 4PF PF PF PF F PF F F c +-⋅∠==△， -△得()22121221cos 44PF PF F PF a c +∠=- △由△△，得21222cos 123c F PF a c ∠=<-，12F PF ∠是锐角，2220123c a c <<- ， 即22230a c ->且22223c a c <-∴ 2e <. 由△△可知222126PF PF c += △由△△可得221223PF PF a c =- ，2122122PF PF PF PF a ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，22223a c a ∴-≤，即223a c ≤，e ∴≥.则椭圆离心率的取值范围是32⎣⎭.故选：A.【点评】本题考查求椭圆的离心率，已知考查转化与化归的思想和变形，计算能力，属于中档题型，本题的关键和难点是三个式子的变形，得到关于,a c 的不等式关系. 7．A【分析】由题意，设Q （x 0，y 0），由G 为△F 1QF 2的重心，得G 点坐标为（03x ，03y ），利用面积相等可得，12×2c•|y 0|=12（2a+2c ）|03y |，从而求椭圆的离心率．【解析】椭圆()222210x y a b a b+=＞＞的左右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），设Q （x 0，y 0），△G 为△F 1QF 2的重心，△G 点坐标为 G （03x ，03y ），△12GI F F λ=，则GI △12F F ，△I 的纵坐标为03y，又△|QF 1|+|QF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c ， △12F QF S=12•|F 1F 2|•|y 0|，又△I 为△F 1QF 2的内心，△|03y |即为内切圆的半径，内心I 把△F 1QF 2分为三个底分别为△F 1MF 2的三边，高为内切圆半径的小三角形，△12F QF S=12（|QF 1|+|F 1F 2|+|QF 2|）|03y |， 即12×2c•|y 0|=12（2a+2c ）|03y |，△2c=a ，△椭圆C 的离心率为e=12， △该椭圆的离心率12，故选：A ．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形的重心与内心的性质、三角形面积计算公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．8．13【分析】首先找到特殊位置，即取P 在上顶点时，内心和重心都在y 轴上，由于内心和重心连线的斜率不随着点P 的运动而变化，可得：GI 始终垂直于x 轴，可得内切圆半径为3a ca c-⋅-y 0，再利用等面积法列式解方程可得：13c a=.【解析】当直线IG 的倾斜角不随着点P 的运动而变化时，取P 特殊情况在上顶点时，内切圆的圆心在y 轴上，重心也在y 轴上， 由此可得不论P 在何处，GI 始终垂直于x 轴， 设内切圆与边的切点分别为Q ，N ，A ，如图所示：设P 在第一象限，坐标为：（x 0，y 0）连接PO ，则重心G 在PO 上， 连接PI 并延长交x 轴于M 点，连接GI 并延长交x 轴于N ， 则GN △x 轴，作PE 垂直于x 轴交于E ，可得重心G （03x ，03y ）所以I 的横坐标也为03x ，|ON |03x =，由内切圆的性质可得，PG =P A ，F 1Q =F 1N ，NF 2=AF 2， 所以PF 1﹣PF 2=（PG +QF 1）﹣（P A +AF 2）=F 1N ﹣NF 2=（F 1O +ON ）﹣（OF 2﹣ON ）=2ON 023x =， 而PF 1+PF 2=2a ，所以PF 1=a 03x +，PF 2=a 03x -， 由角平分线的性质可得01102233x a PF F M c OM x PF MF c OM a ++===--，所以可得OM 03cx a=，所以可得MN =ON ﹣OM ()000333a c x x cx a a-=-=， 所以ME =OE ﹣OM =x 0()00333a c x cx a a--=， 所以3IN MN a c PE OE a c -==-，即IN 3a c a c -=⋅-PE 3a ca c -=⋅-y 0， 1212PF F S =（PF 1+F 1F 2+PF 2）⋅IN 1212F F PE =⋅，即12（2a +2c ）001232a c y c y a c -⋅⋅=⋅⋅-， 所以整理为：13c a =，故答案为：13.【点评】本题考查了求椭圆的离心率，考查了内心和重心的概念，考查了转化思想和较强的计算能力，其方法为根据条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，化简可得.本题属于难题.9【分析】利用已知条件和几何关系找出圆锥母线与轴的夹角为α ，截面与轴的夹角为β 的余弦值，即可得出椭圆离心率．【解析】如图，圆锥面与其内切球1O ，2O 分别相切与,A B ，连接12,O A O B ,则1O A AB ⊥，2O B AB ⊥，过2O 作21O D O A 垂直于D ，连接12,O E O F ，EF 交12O O 于点C设圆锥母线与轴的夹角为α ，截面与轴的夹角为β.在21Rt O DO 中，1312DO ，22282215O D11221515cos84O O O D 128O O = 128CO O C 12EO C FO C22128O CO CO EO F 解得2=2O C 222222213CFO FO C即23cos2CFO C则椭圆的离心率cos 252cos515e【点评】“双球模型”椭圆离心率等于截面与轴的交角的余弦cos β与圆锥母线与轴的夹角的余弦cos α之比，即coscose．10．2【分析】设出P 的坐标,得到mn (用a ,b 表示)，求出2a a a b ln m ln n ln mn ln b b b a ++=+=+，令1a t b =>，则()3222363f t t t t lnt =-+-，利用导数求得使()f t 取最小值的t ，可得2ab=，则椭圆离心率可求 ．【解析】解：(),0A a -，(),0B a ，设0(P x ，0)y ，则()2220202b a x y a -=，则00y m x a =+，00y n x a =-，2202220y b mn x a a ∴==--，∴()22333a ln m ln n b mn mn⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭ 3222222223623633a b a a a b ln ln b b b a b b b a a a ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪--⎪⎝⎭， 令1at b=>，则()3222363f t t t t lnt =-+-．()()()2322232436t t t t t f t t t-+-+-'==， ∴当2t =时， 函数()f t 取得最小值()2f ．∴ 2a b =．e ∴==，【点评】关键点点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、关键利用导数研究函数的单调性极值与最值．11．2，1)【分析】设AB 方程为y kx =，联立方程组求出A ，B 坐标，进而得出M ，N 的坐标，由OM ON ⊥列方程得到关于k 的方程，令此方程有解得出a ，b ，c 的关系，从而得出离心率的范围．【解析】设直线AB 的方程为y kx =，联立方程组22221y kxx y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得222222()a k b x a b +=，A ∴，B，又(,0)C c ，M ，N 是AF ，BF 的中点，2c M ∴+，，2c N，以MN 为直径的圆恰经过坐标原点O ，OM ON ∴⊥，222)0222c c abk a k -∴+=+，即222222222222044()4()c a b a b k a k b a k b --=++， 222222222()0c a k b a b a b k ∴+--=，2222222224()a c a b k a b b c b ∴-=-=，即22224()a c b k b -=，存在符合条件的直线AB ，使得OM ON ⊥，∴关于k 的方程22224()a c b k b -=有解，22c b ∴>，即222c a c >-，222c a ∴>，∴2212c a>，c e a ∴=>，又1e <，∴12e <<． 故答案为：(2，1)．【点评】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，求离心率范围应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围. 12．5【分析】设点A ，B ，C 坐标分别为(),1,2,3i i x y i =，则根据题意有12312300x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，分别将点A ，B ，C 的坐标代入椭圆方程得12122212x x y y a b +=-，然后联立直线l 与椭圆方程，利用韦达定理得到12x x 和12y y 的值，代入12122212x x y y a b +=-得到关于,,a b c 的齐次式，然后解出离心率.【解析】设A ，B ，C 坐标分别为(),1,2,3i i x y i =，因为ABC 的重心恰好是坐标原点，则12312300x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，则()()312312x x x y y y ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，代入椭圆方程可得()()221212221x x y y a b +++=， 其中22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以12122212x x y y a b +=-……△ 因为直线l 的斜率为1，且过左焦点，则l 的方程为：x y c =-，联立方程22221x y cx y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 可得：()2222420a b y b cy b +--=，所以212222b c y y a b +=+，41222b y y a b-=+……△所以()()()4421212121222c b x x y c y c y y c y y c a b-=--=-++=+……△，将△△代入△得22225c e a ==，从而5e =.故答案为：5【点评】本题考查椭圆的离心率求解问题，难度较大.解答时,注意A ，B ，C 三点坐标之间的关系，注意韦达定理在解题中的运用.13．11⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】由题意，设椭圆()22:10,33x y C λλλ+=>≠，()11,M x y ，()22,N x y ，M ，N 的中点为()00,P x y ，由()00,P x y 在C 内，可得不等式220013x y λ+<，从而得到关于λ的不等式，解不等式可得λ的取值范围，从而求得离心率的范围.【解析】由题意，设椭圆()22:10,33x y C λλλ+=>≠，()11,M x y ，()22,N x y ，M ，N 的中点为()00,P x y ，则221113x y λ+=，222213x y λ+=，两式相减得，()()()()1212121203x x x x y y y y λ+-+-+=，而1202x x x +=，1202y yy +=. 所以，MN 所在直线的斜率211202112033MN y y x x xk x x y y y λλ-+==-=--+， 由M ，N 关于l 对称，直线MN l ⊥，故00132x y λ-=-△，又()00,P x y 在l 上，所以0021y x =+△，联立△与△的方程，解得，0326x λ=-，03y λλ=-.由题意，()00,P x y 在C 内，可得220013x y λ+<，化简2428330λλ-+>，即()()232110λλ-->，解得302λ<<或112λ>. 令椭圆C 的离心率为e ，当302λ<<时，C 的焦点在x 上，233e λ-=，即233e λ=-，故230332e <-<，所以12e <<； 当112λ>时，C 的焦点在y 上，23e λλ-=，即231e λ=-，故231112e >-1e <<.<，所以C 的离心率的取值范围是11,1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：11⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【点评】本题考查椭圆与直线方程、离心率等综合知识以及推理论证与运算求解能力.14 【分析】首先设(,)P m n ，过点P 切线为()y n k x m -=-，根据直线与椭圆相切，联立0∆=得到2222()210a m k mnk n -++-=，因为PA PB ⊥，得到121k k =-，即2221m n a +=+.从而得到(0,0)到直线40ax y +-=的距离为a =.【解析】设(,)P m n ，过点P 切线为()y n k x m -=-，由题知：联立222222222()(1)2()[()1]01y n k x m k a x ka n km x a n km x y a-=-⎧⎪⇒++-+--=⎨+=⎪⎩， 因为直线与椭圆相切，所以2422222=4()4(1)[()1]0k a n km a k a n km ∆--+--=， 整理得：2222()210a m k mnk n -++-=. 设切线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，因为PA PB ⊥，所以212221=1n k k a m-=--，即2221m n a+=+.所以点P 在以(0,0)即(0,0)到直线40ax y +-=.d ==a =又因为1b =，所以c=e ==.【点评】本题主要考查离心率的求法，同时考查了直线与椭圆的位置关系，属于难题.15．⎫⎪⎪⎣⎭【分析】设()00,P x y ，设出直线AB 的参数方程，利用参数的几何意义可得22||||,PA PB b a ⎡⎤∈⎣⎦,由题意得到222a b ，据此求得离心率的取值范围.【解析】设()00,P x y ，直线AB 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩，(t 为参数)代入圆2222x y a b +=+，化简得：()2222200002cos sin 0t x y t x y a b αα++++--=， ()22222222120000||||PA PB t t x y a b a b x y ∴==+--=+-+， 222200,x y b a ⎡⎤+∈⎣⎦， 22||||,PA PB b a ⎡⎤∴∈⎣⎦，存在点P ，使得22||||PA PB a b ⋅=-，222a b b ∴-，即222a b ， 222a c ∴，212e ∴，12e ≤<，故答案为：2⎫⎪⎪⎣⎭【点评】本题主要考查了椭圆离心率取值范围的求解，考查直线、圆与椭圆的综合运用，考查直线参数方程的运用，属于中档题.16．,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【分析】M 的轨迹方程为：()222,024a a x y y ⎛⎫++=≠ ⎪⎝⎭，联立方程化简得到222220a b x ax b a-++=，根据对应函数的对称轴计算得到答案. 【解析】椭圆上存在点M 使OM MA ⊥，即M 的轨迹方程为：()222,024a a x y y ⎛⎫++=≠ ⎪⎝⎭.联立方程2222222124x y a b a ax y ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪++= ⎪⎪⎝⎭⎩ ，化简得到222220a b x ax b a -++=. 易知：x a =-是方程的解，且0x =时，222220a bx ax b a-++>.方程在(),0a -上有解，只需满足：22202ax a a b a >=->-- ，解得c e a =>.故答案为：⎫⎪⎪⎝⎭.【点评】本题考查了椭圆的离心率问题，确定M 的轨迹方程是解题的关键. 17．2【分析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长2a ，焦距2c ．由椭圆及双曲线定义用1a ，2a 表示出1||PF ，2||PF ，在△12F PF 中根据余弦定理可得到1a ，2a 与c 的关系，转化为离心率，再由基本不等式得结论．【解析】解：如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长为2a ， 则根据椭圆及双曲线的定义：121||||2PF PF a +=，122||||2PF PF a -=，112||PF a a ∴=+，212||PF a a =-，设12||2F F c =，124F PF π∠=，则：在△12PF F 中由余弦定理得，222121212124()()2()()cos4c a a a a a a a a π=++--+-，化简得：22212(2(24a a c +=，124+=，又1212122e e ，∴1212e e ，即1222e e ，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为2． ．【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长，属于中档题． 18．92【解析】【分析】由题意设焦距为2c ，椭圆长轴长为2a 1，双曲线实轴为2a 2，令P 在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推志出a 12+a 22=2c 2，由此能求出4e 12+e 22的最小值．【解析】由题意设焦距为2c ,椭圆长轴长为12a ,双曲线实轴为22a ，令P 在双曲线的右支上， 由双曲线的定义1222PF PF a -=，△ 由椭圆定义1212PF PF a +=，△ 又△PF 1⊥PF 2， △22212||4PF PF c +=，△△2+△2,得22221212||22PF PF a a +=+，△将△代入△,得222122a a c +=，△[)90,110.故答案为：92.【点评】本题主要考查了双曲线与椭圆离心率的计算，用到了双曲线和椭圆的定义及基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，属于中档题.。
(完整版)专题：椭圆的离心率解法大全,推荐文档
专题：椭圆的离心率一，利用定义求椭圆的离心率（a c e = 或 221⎪⎭⎫⎝⎛-=a b e ）1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率=e322，椭圆1422=+m y x 的离心率为21，则=m [解析]当焦点在x 轴上时，32124=⇒=-m m ； 当焦点在y 轴上时，316214=⇒=-m mm ， 综上316=m 或3 3，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是534，已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆122=+ny m x 的离心率为 [解析]由⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=02222mn n m n nm n ⎩⎨⎧==42n m ，椭圆122=+n y m x 的离心率为22 5，已知)0.0(121>>=+n m nm 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的的离心率为236，设椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是21。
二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e1，在∆Rt ABC 中，ο90=∠A ，1==AC AB ，如果一个椭圆过A 、B 两点，它的一个焦点为C ，另一个焦点在AB 上，求这个椭圆的离心率 ()36-=e2， 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且ο901=∠BDB ,则椭圆的离心率为( ) [解析]=⇒=-⇒-=-⋅e ac c a cba b 221)(215-3，以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是13-变式（1）：以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是13-4,椭圆x 2a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？解：∵｜F 1F 2｜=2c ｜BF 1｜=c ｜BF 2｜=3c c+3c=2a ∴e= ca= 3-1变式（1）：椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，点P 在椭圆上，使△OPF 1 为正三角形，求椭圆离心率？解：连接PF 2 ,则｜OF 2｜=｜OF 1｜=｜OP ｜,∠F 1PF 2 =90°图形如上图，e=3-1变式（2） 椭圆x 2 a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1 ⊥X 轴，PF 2 ∥AB,求椭圆离心率？解：∵｜PF 1｜= b 2 a ｜F 2 F 1｜=2c ｜OB ｜=b ｜OA ｜=a PF 2 ∥AB ∴｜PF 1｜ ｜F 2 F 1｜= b a 又 ∵b= a 2-c 2∴a 2=5c 2 e=55变式(3):将上题中的条件“PF 2 ∥AB ”变换为“PO ∥AB (O 为坐标原点)”相似题：椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a 2+b 2a 2+b 2+a 2 =(a+c)2 =a 2+2ac+c 2 a 2-c 2-ac=0 两边同除以a 2 e 2+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-52(舍去)变式(1):椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)，e=-1+ 52, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求∠ABF ？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。
椭圆离心率50道题训练含详解
（2）设椭圆 ： ， 为椭圆 上一点，过点 的直线交椭圆 于A， 两点，且 为线段 的中点，过 ， 两点的直线交椭圆 于 ， 两点，如图．当 在椭圆 上移动时，四边形 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
参考答案
1．C
【详解】
由椭圆 ，可得 ，所以 ，
所以椭圆的离心率为 .
15．已知椭圆 ： 的离心率为 ，则 的值可能是（）
A． B． C． D．
16．椭圆的中心在原点，离心率为 ，则该椭圆的方程可能为（）
A． B．
C． D．
17．已知曲线 ： ，其中 为非零常数，则下列结论中正确的是（）
A．当 时，则曲线 是一个圆
B．当 时，则曲线 是一个椭圆
C．若 时，则曲线 是焦点为 的椭圆
A．椭圆的离心率是 B．线段AB长度的取值范围是
C． 面积的最大值是 D． 的周长存在最大值
22．如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为 和 ，半焦距分别为 和 ，离心率分别为 和 ，则下列结论正确的是（）
A． B．
C． D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁
34．椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ，过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，已知 ， ，则椭圆 的离心率为___________.
35．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，且 ，若第一象限的点 、 在 上， ， ， ，则直线 的斜率为__________.
36．设 , 分别是椭圆 的左､右焦点，过点 的直线交椭圆 于 两点， ，若 ，则椭圆 的离心率为___________.
四、解答题
44．已知椭圆的焦点为 和 ， 是椭圆上的一点，且 是 与 的等差中项.
离心率问题
x y 已知椭圆2 (c,0) ， a b a c 若椭圆上存在一点 P 使 ，则该椭圆的离心率 sin PF1F2 sin PF2 F1
的取值范围为 ．
2
2
规律方法：
求椭圆的离心率的方法：
(1)直接求出 a， c来求解 e.通过已知条件列出方程组，
解出a，c的值；
(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，
c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率 e的一元二
次方程求解；
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
的对称点 A 是椭圆 C 上的点，则椭圆 C 的离心率为( 1 A. 2 3－ 1 B. 2 3 C. 2 D. 3－1 )
练习2
2
2
2.
x y 椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的左焦点为 F，若 F 关于直线 3x＋y＝0 a b
典例三：解方程思想
x y 设椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2， a b 过 F2 作 x 轴的垂线与 C 相交于 A，B 两点，F1B 与 y 轴相交 于点 D，若 AD⊥F1B，则椭圆 C 的离心率等于________.
2
2
练习3
x 2 y2 .已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，右顶点为 A，上顶 a b 点为 B，若椭圆 C 的中心到直线 AB 的距离为 ＝( 2 A. 2 ) 3 B. 2 2 C. 3 3 D. 3 6 |F F |，则椭圆 C 的离心率 e 6 1 2
典例三：解不等式思想
x 2 y2 1 已知椭圆 2＋ 2＝ 1 (a>b>0)的离心率等于 ，其焦点分别 3 a b 为 A，B，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在 sin A＋ sin B △ABC 中， 的值等于 ________. sin C
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
反馈练习
x 1、设M点是椭圆 、上一点， 2 b
2
F1、F2为椭圆的左右焦点，如果 为椭圆的左右焦点， ∠MF1F2=750， ∠MF1F2=150,求此 求此 椭圆的离心率
例2、设M点是椭圆 、 点是椭圆
x a
2 2
y + = 1上一 2 b
2
为椭圆的左右焦点， 点，F1、F2为椭圆的左右焦点，如果 ∠F1MF2=900，求此椭圆的 离心率的
1 3
。
4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列， 、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列， 3 则其离心率e=__________ 则其离心率 5
5、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于 、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆， 四个不同的点， 四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组 成一个正六边形， 成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率 Y
Y M
范围
F1
O
F2
X
问题的关键是寻 找a、c的不等关 、 的不等关 系
1、从等式中找不等式：先找a、c的等 、从等式中找不等式：先找 、 的等 量关系，再利用基本不等式（放缩） 量关系，再利用基本不等式（放缩）或 椭圆的x、 的范围找到 的范围找到a、 的不等式 的不等式。 椭圆的 、y的范围找到 、c的不等式。 2、直接找a、c的不等关系，包括与 的 、直接找 、 的不等关系 包括与b的 的不等关系， 不等关系。 不等关系。 反馈练习 2 2 x y 1、设椭圆 a 2 + b 2 = 1( a > b > 0 )上有点P使 、 上有点 使 ∠OPA=900（A为长轴的右焦点，O为 为长轴的右焦点， 为 为长轴的右焦点 坐标原点），求离心率的范围。 坐标原点），求离心率的范围。 ），求离心率的范围
3− 。 1
F1
O
F2
X
x2 y2 + = 1 的离心率为 6、若椭圆 、 k +8 9
1 则k= 2
例题讲解 例1、如图所示椭圆的中心在原点，焦 、如图所示椭圆的中心在原点， 轴上， 、 是椭圆的顶点 是椭圆的顶点， 点F1、F2在x轴上，A、B是椭圆的顶点， 轴上 P是椭圆上的一点，且PF1⊥x轴， 是椭圆上的一点， 是椭圆上的一点 轴 PF2∥AB，求此椭圆的离心率； ，求此椭圆的离心率；
椭圆的离心率的问题
2011、11、11 、 、
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率 、若椭圆的焦距长等于它的短轴长， 为
2 2
。
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角 、 形，则其离心率为
1 2
。
3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其 、 的两个焦点把长轴分成三等分， 离心率为
作业 1、已知椭圆两焦点为F1、F2，A为椭圆 、已知椭圆两焦点为 为椭圆 上一点， 上一点，且AF1⊥AF2，∠AF2F1=600 求 此椭圆的离心率； 此椭圆的离心率；
x a
2
2、椭圆 2 、 的左 焦点（ ， ）， ），A（ ， ）、 ）、B（ ， ） 焦点（-c，0）， （-a，0）、 （0，b） 是椭圆的两个顶点，如果F 到直线AB 是椭圆的两个顶点，如果 1到直线 b 求椭圆的离心率； 的距离是 7 ，求椭圆的离心率；
P F1 Y B A F2
X
感悟： 感悟： 1、在求离心率时，一般寻找a、c 、在求离心率时，一般寻找 、 的等量关系； 的等量关系； c 2、除了用 2=a2-c2外还可用 e= 、除了用b a 的代换，通过方程思想求e 的代换，通过方程思想求e 3、在椭圆中涉及焦点三角形的问 、 题的时候，要充分利用椭圆的定义、 题的时候，要充分利用椭圆的定义、 正弦定理、 正弦定理、余弦定理和相似全等三 角形等知识
y + = 1( a > b > 0 ) 2 b
2