【精品】高中数学 必修2_直线的一般式方程及综合 讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案) _提高

直线的一般式方程及综合【学习目标】1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题.【要点梳理】要点一、直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．要点诠释：1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.当B≠0时，方程③可变形为A Cy xB B=--，它表示过点0,CB⎛⎫-⎪⎝⎭，斜率为AB-的直线．当B=0，A≠0时，方程③可变形为Ax+C=0，即CxA=-，它表示一条与x轴垂直的直线．由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是1122x y-+=，还可以是4x―2y+2=0等．）要点二、直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：要点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x 1≠x 2，y 1≠y 2），应用时若采用(y 2―y 1)(x ―x 1)―(x 2―x 1)(y ―y 1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同． 要点三、直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同． （1）从斜截式考虑已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,12121212//()l l k k b b αα⇒=⇒=≠；12121211221tan cot 12l l k k k k παααα⊥⇒-=⇒=-⇒=-⇒=- 于是与直线y kx b =+平行的直线可以设为1y kx b =+；垂直的直线可以设为21y x b k=-+．（2）从一般式考虑：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212120l l A A B B ⊥⇔+=121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠或12210B C B C -≠，记忆式（111222A B C A B C =≠） 1l 与2l 重合，12210A B A B -=，12210A C A C -=，12210B C B C -=于是与直线0Ax By C ++=平行的直线可以设为0Ax By D ++=；垂直的直线可以设为0Bx Ay D -+=.【典型例题】类型一：直线的一般式方程例1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．（1）斜率是12-，经过点A （8，―2）；（2）经过点B （4，2），平行于x 轴； （3）在x 轴和y 轴上的截距分别是32，―3； （4）经过两点P 1（3，―2），P 2（5，―4）．【答案】（1）x+2y ―4=0（2）y ―2=0（3）2x ―y ―3=0（4）10x y +-=【解析】 （1）由点斜式方程得1(2)(8)2y x --=--，化成一般式得x+2y ―4=0．（2）由斜截式得y=2，化为一般式得y ―2=0． （3）由截距式得1332x y +=-，化成一般式得2x ―y ―3=0． （4）由两点式得234(2)53y x +-=----，化成一般式方程为10x y +-=．【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x 的系数为正，x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项、y 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．举一反三：【变式1】已知直线l 经过点(3,1)B -，且倾斜角是30︒，求直线的点斜式方程和一般式方程.【答案】13)y x +=-330y --=【解析】因为直线倾斜角是30︒，所以直线的斜率tan tan 30k α==︒=，所以直线的点斜式方程为：13)3y x +=-330y --=.【高清课堂：直线的一般式 381507 例4】例2．ABC ∆的一个顶点为(1,4)A --，B ∠、C ∠ 的平分线在直线10y +=和10x y ++=上，求直线BC 的方程.【答案】230x y +-=【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等 ，所以可得A 点关于B ∠的平分线的对称点'A 在BC 上，B 点关于C ∠的平分线 的对称点'B 也在BC 上．写出直线''A B 的方程，即为直线BC 的方程.例3．求与直线3x+4y+1=0平行且过点（1，2）的直线l 的方程． 【答案】3x+4y ―11=0 【解析】解法一：设直线l 的斜率为k ，∵l 与直线3x+4y+1=0平行，∴34k =-．又∵l 经过点（1，2），可得所求直线方程为32(1)4y x -=--，即3x+4y ―11=0．解法二：设与直线3x+4y+1=0平行的直线l 的方程为3x+4y+m=0， ∵l 经过点（1，2），∴3×1+4×2+m=0，解得m=―11． ∴所求直线方程为3x+4y ―11=0．【总结升华】（1）一般地，直线Ax+By+C=0中系数A 、B 确定直线的斜率，因此，与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+m=0，这是常采用的解题技巧．我们称Ax+By+m=0是与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程．参数m 可以取m ≠C 的任意实数，这样就得到无数条与直线Ax+By+C=0平行的直线．当m=C 时，Ax+By+m=0与Ax+By+C=0重合．（2）一般地，经过点A （x 0，y 0），且与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为A(x ―x 0)+B(y ―y 0)=0．（3）类似地有：与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx ―Ay+m=0（A ，B 不同时为零）．举一反三：【高清课堂：直线的一般式 381507 例1】【变式1】已知直线1l ：3mx+8y+3m-10=0 和 2l ：x+6my-4=0 .问 m 为何值时:（1）1l 与2l 平行（2）1l 与2l 垂直.【答案】（1）23m =-（2）0m =【解析】当0m =时，1l ：8y-10=0；2l ：x-4=0，12l l ⊥当0m ≠时，1l ：310388m m y x -=-+；2l ：1466y x m m=-+由3186m m -=-，得23m =±，由103486m m -=得2833m =或 而31()()186m m-⋅-=-无解综上所述（1）23m =-，1l 与2l 平行．（2）0m =，1l 与2l 垂直．【变式2】 求经过点A （2，1），且与直线2x+y ―10=0垂直的直线l 的方程． 【答案】x －2y=0【解析】因为直线l 与直线2x+y ―10=0垂直，可设直线l 的方程为20x y m -+=，把点A （2，1）代入直线l 的方程得：0m =，所以直线l 的方程为：x －2y=0． 类型二：直线与坐标轴形成三角形问题例4．已知直线l 的倾斜角的正弦值为35，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程．【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数——直线在y 轴上的截距b ，再根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，便可求出b ．也可以根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，设截距式直线方程，从而得出1||62ab =，再根据它的斜率已知，从而得到关于a ，b 的方程组，解之即可．【答案】334y x =±或334y x =-± 【解析】解法一：设l 的倾斜角为α，由3sin 5α=，得3tan 4α=±． 设l 的方程为34y x b =±+，令y=0，得43x b =±．∴直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为4,03b ⎛⎫± ⎪⎝⎭，（0，b ）．∴2142||6233S b b b ∆=±⋅==，即b 2=9，∴b=±3． 故所求的直线方程分别为334y x =±或334y x =-±．解法二：设直线l 的方程为1x y a b +=，倾斜角为α，由3sin 5α=，得3tan 4α=±．∴1||||6234a b b a⎧⋅=⎪⎪⎨⎪-=±⎪⎩，解得43a b =±⎧⎨=±⎩．故所求的直线方程为143x y +=±或143x y-=±． 【总结升华】（1）本例中，由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y 轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．举一反三：【变式1】如下图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°、30°．过点P （1，0）作直线AB 分别交OA 、OB 于点A 、B ．当AB 的中点C 恰好落在直线12y x =上时，求直线AB 的方程．【答案】331)y x +=- 【解析】设直线AB 的方程为(1)y k x =-，因为直线OA 为：y x =，直线OB 为：33y x =，求得,A B 两点坐标分别是：3(,),,113331k k kk A B k k k k ⎛⎫ ⎪----⎝⎭，求得C 点坐标，进一步求出斜率332k +=，所以直线方程为33(1)2y x +=- 高清：直线方程的点斜式与两点式 381492例3例5.过点P(2，1)作直线l 与x 轴、y 轴正半轴交于A 、B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程.【思路点拨】因直线l 已经过定点P(2，1)，只缺斜率，可先设出直线l 的点斜式方程，且易知k<0，再用k 表示A 、B 点坐标，结合函数及不等式知识求解. 【答案】x+2y-4=0 【解析】解法一：设直线l 的方程为:y-1=k(x-2)， 令y=0，得:x=kk 12-； 令x=0，得y=1-2k ，∵l 与x 轴、y 轴的交点均在正半轴上， ∴kk 12->0且1-2k>0 故k<0， △AOB 的面积1211111(12)(44)2(4)44222k S k k k k k k ⎛⎫-⎛⎫=⋅⋅-=--+≥-⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当-4k=-k 1，即k=-21时， S 取最小值4，故所求方程为y-1=-21(x-2)，即:x+2y-4=0.解法二：设直线方程为1=+b ya x ，∴A(a ，0)，B(0，b)，且a>0，b>0， ∵点P(2，1)在直线l 上，故112=+ba ，由均值不等式:1=,82212≥⨯≥+ab ab b a 得当且仅当2112==b a ，即a=4，b=2时取等号，且S=21ab=4，此时l 方程为,124=+yx 即:x+2y-4=0.解法三：如图，过P(2，1)作x 轴与y 轴的垂线PM 、PN ， 垂足分别为M 、N ，设θ=∠PAM=∠BPN ，则△AOB 面积 S=S 矩形OMPN +S △PAM +S △BPN=1121cot 2tan 22cot 2tan 22θθθθ+⨯⨯+≥+⋅⋅ =4，当且仅当11cot 2tan ,tan 22θθθ==即时，S △AOB有最小值4，故此时直线l 的方程为y-1=-21(x-2)，即:x+2y-4=0.【总结升华】解法一与解法二选取了直线方程的不同形式，解法三考虑到图形的直观性，利用了形数结合的思想，体现了解题的“灵活性”. 已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.举一反三：【变式1】已知a ∈（0，2），直线l 1：ax ―2y ―2a+4=0和直线l 2：2x+a 2y ―2a 2―y ―2=0与坐标轴围成一个四边形，要使此四边形面积最小，求a 的值．【答案】12【解析】直线l 1与y 轴交点为A （0，2-a ），直线l 2与x 轴交点为B （a 2+2，0），如图由直线l 1：ax ―2y ―2a+4=0，l 2：2x+a 2y ―2a 2―y ―2=0知，两直线的交点为（2，2），过C 点作x 轴垂线，垂足为D ，于是 S 四边形AOBC =S 梯形AODC +S △BCD=211(22)222a a -++⨯ =24a a -+=2115()24a -+所以当12a =时，S 四过形AOBC 最小．类型三：直线方程的实际应用例6．一条光线从点(3,2)A 出发，经x 轴反射，通过点(1,6)B -，求入射光线和反射光线所在直线的方程．【思路点拨】利用对称的知识来求解。