MATLAB与信号处理补充

用若干二阶网络级联构成滤波器，二阶子 网络称为二阶节。
H1(z)
HM (z)
级联型结构的优缺点： 优点： ①简化实现，用一个二阶节，通过变
换系数就可实现整个系统； ②极、零点可单独控制、调整，调
整 a1i 、a2i 可单独调整第 i 对零点，调
整 b1i 、b2i 可单独调整第 i 对极点；
③各二阶节零、极点的搭配可互换位 置，优化组合以减小运算误差；
缺点： 不能直接调整零点，因多个二阶 节的零点并不是整个系统函数的零点，当 需要准确的传输零点时，级联型最合适。
三、FIR DF网络结构形式
FIR DF 特点：主要是非递归结构，无反馈，
但在频率采样结构等某些结构中也包含有反
馈的递归部分。
它的系统函数和差分方程一般有如下形
式：
N 1
H (z) h(n)z n
现 h(n) 是长为 N 的序列，因此也可对系 统函数H(z)在单位圆上作 N 等分采样，这个
采样值也就是 h(n) 的离散付里叶变换值H(k)。
H (k ) H (z) zwNk DFT [h(n)]
根据上一章的讨论，用频率采样表达z函数 的内插公式为：
(1 di z 1)
i 1
i 1
由于系数 ai 、 bi 都是实数，极、零点为 实根或共轭复根，所以有
M1
M2
(1 gi z 1 ) (1 hi z 1 )(1 hi* z 1 )
H (z) A i1
i 1
N1
N2
(1 pi z 1 ) (1 qi z 1 )(1 qi* z 1 )
看作是两个独立的网络(H1(z)和H2(z)),两 部分串接构成总的系统函数：
H (z) H1(z)H2 (z)
由系统函数的不变性(系统是线性的)， 得
H (z) H 2 (z)H1`(z)
两条延时链中对应的延时单元内容完全相 同,可合并，得：
直接II型优缺点：
优点：延迟线减少一半，为N个，可节 省寄存器或存储单元。
二、IIR数字滤波器的结构
IIR数字滤波器的结构特点：存在反馈 环路，递归型结构。
同一系统函数，有各种不同的结构形式。 其主要结构有：
(1) 直接型 直接由 IIR DF 的差分方程所得的网络结构。
N
N
y(n) ai x(n i) bi y(n i)
i0
i 1
H (z) H1(z)H2 (z)
(2)级联型(串联型) 当需要控制滤波器的传输零点时，可将系 统函数分解为二阶实系数因子的形式：
N 1
M
H (z) h(n)zn (a0i a1i z1 a2i z2 )
n0
i 1
于是可用二阶节级联构成，每一个二阶节 控制一对零点。
缺点： ①所需要的系数a比直接型的h(n) 多； ②乘法运算多于直接型。
N 1 2
n0
2
由上两式，可得到线性相位FIR滤波器的结 构,如图。
图 N为偶数的线性相位FIR滤波器结构
图 N为奇数的线性相位FIR滤波器结构
优点：
线相相位型结构的乘法次数减为
N 2
(N偶数)
N 1
2 (N奇数)
(横截型结构乘法次数:N次)
(4)频率采样型
第二章讨论了有限长序列可以进行频域采 样。
a0i a1i z 1 1 b1i z 1 b2i z 2
上式表明，可用L个一阶网络、M个二阶网 络以及一个常数 A0 并联组成滤波器 H(z)， 结构如下图：
特点： ①系统实现简单，只需一个二阶节，系统 通过改变输入系数即可完成； ②极点位置可单独调整； ③运算速度快(可并行进行)； ④各二阶网络的误差互不影响，总的误差 小，对字长要求低。
i 1
i 1
g i 、pi ——实根
hi 、qi ——复根
且 N1 2N2 N M1 2M 2 N
将共轭因子合并为实系数二阶因子，单实根 因子看作二阶因子的一个特例，则
H (z)
A
M i 1
1 a1i z1 1 b1i z1
a2i z2 b2i z2
M
A Hi (z) i 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
aij 、bij ——为实系数
上述结构缺点：
①需要2N个延迟器(z-1)，太多。 ②系数ai、bi对滤波器性能的控制不直接， 对极、零点的控制难，一个ai、bi的改变会影 响系统的零点或极点分布。 ③对字长变化敏感(对ai、bi的准确度要求严 格)。 ④易不稳定，阶数高时，上述影响更大。
(2)直接Ⅱ型 上面直接型结构中的两部分可分别
n0
N 1
N 1
y(n) h(i)x(n i) h(n i)x(i)
i0
i0
基本的结构形式有如下几种： (1)直接型(卷积型、横截型)
卷积型：差分方程是信号的卷积形式； 横截型：差分方程是一条输入x(n)延时链 的横向结构。
直接由差分方程可画出对应的网络结 构：
图
直接型的转置： 图
图
(3)线性相位型
FIR的重要特点是可设计成具有严格线性相 位的滤波器，此时 h(n) 满足偶对称或奇对 称条件。h(n) 偶对称时，
N为偶数，
N 1 2
H (z) h(n)[Z n Z ] (N 1n)
n0
N为奇数，
H (z)
N 11 2
h(n)[z n
z ( N 1n) ]
h
N
1
z
H1z
N
ai z i
i0
W X
z z
H2z
1
N
1 bi zi
Y z W z
i 1
N
wn ai xn i i0
N
yn wn bi yn i i 1
可以 看到 H1(z) 实 现 了系 统的 零 点， H 2 (z) 实现了系统的极点。H(z)
由这两部分级联构成。
图二 IIR数字滤波器的网络结构
缺点：同直接型。
通常在实际中很少采用上述两种结构实 现高阶系统，而是把高阶变成一系列不同组 合的低阶系统(一、二阶)来实现。
(3)级联型(串联) 一个 N 阶系统函数可用它的零、极点表
示，即把它的分子、分母都表达为因子形式
N
ai z i
N
(1 ci z 1)
H(z)
i0 N
A
i 1 N
1 bi z i
(4)并联型 将系统函数展开成部分分式之和，可用并 联方式构成滤波器：
N
ai z i
N
H (z)
i 1 N
A0
1
bi z i
i 1
i 1
Ai (1 di z 1 )
将上式中的共轭复根成对地合并为二阶实 系数的部分分式，
L
H (z) A0
i 1
Ai (1 pi z 1)
M
i 1