振动与波习题课讲解

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第4章振动与波动习题课

A 0.5 cm
π 3
(2)
π v 4π sin(8πt ) 2 3π cm/s 3
π a 32π 2 cos(8πt ) 16π 2 cm/s2 3
(3)
k m 2 3.2 2 N/m
第四章习题解答
4-4. 已知弹簧振子的振动曲线如图。试求：（1）图中所标 ABCDE各点的相位，并画出旋转矢量图；（2）振动方程的表达式。
2π 4π 解： T 1 π (1) cos ，v0 0 2 3
x 2.0 10 cos(4πt
2

1 4π (2) cos ，v0 0 2 3 4π 2 x 2.0 10 cos(4πt ) m 3
第四章习题解答
解： (1)
π 如图： A点相位为 0，B点相位为， 3
0 x/cm
10 5
A B
1.0
C点相位为
π 2π 4π ，D点相位为，E点相位为 2 3 3
2.2
t/s
C
-10
D
E
A 10 cm
T 1.2 2 2.4 s
2 π 5π T 6 1 π (2) cos ，v0 0 2 3 5π π x A cos( t ) 10cos( t ) cm 6 3
t/s
0 1 -0.2
t/s
2
-0.2
( b)
x=2m处质元的振动曲线
第四章习题解答
4-26. 一列沿x轴正方向传播的平面简谐波在t=0s时的波形如图所示，设波速为 u 4 m/s 。求：（1）波长、周期、角频率；（2）写出此波的波动方程；（3）在图上画出t等于四分之一周期时的波形图并标出波的传播方向。 y/m u T 5s 解：(1) λ 20 m 0.05 u 2π 2 π 20 x/m 0 10 T 5 π -0.05 (2) cos 0，v0 0 2 x π 2π y 0.05cos ( t ) m 4 2 5 (3)

振动与波习题课及课后作业解答

O B N X
π
2π
λ
2OB π = 5π
2π
= 入反 = π
λ
x (5π +
2π
λ
x) = 6π
4π
2kπ , 波腹 = (2k + 1)π , 波节
0≤x≤1.25λ ≤ ≤ λ
λ
x
3. 空气中声速为空气中声速为340m/s, 一列车以一列车以72km/h的速度行驶车上旅客的速度行驶, 的速度行驶听到汽笛声频率为360Hz, 则目送此火车离去的站台上的旅客听到听到汽笛声频率为此汽笛声的频率为( 此汽笛声的频率为 B) (A) 360Hz (B) 340Hz (C) 382.5Hz (D) 405Hz 解:
t = ( / 2π )T = T / 12 6
A/2 -π/3
π
ω
x
A
2. 如图为用余弦函数表示的一质点作谐振动曲线振动圆频率如图为用余弦函数表示的一质点作谐振动曲线, ,从初始状态到达状态所需时间为 2s 从初始状态到达状态a所需时间为 . 为 7π/6 π 从初始状态到达状态分析: 分析:本题的关键是确定各时刻 X(m) 6 的位相, 的位相,在振动曲线上由位移和 3 速度方向(斜率的正负) 速度方向(斜率的正负)定 0 t=0时: -3 X0=A/2,v0<0 = π/3 t=1时: X=0,v>0 ωt+= 3π/2
u vs
s
u = 334m s 1 (3)
u v0 ( 4) λ ′ = ν′ 334 65 = = 0.190m 1418
ω
t = 0, v0 = ωA sin 0 = 10cm / s
3 ∴0 = π 2

11-12振动和波习题课

振动和波习题课Ⅰ教学基本要求振动和波动1.掌握描述简谐振动和简谐波的各物理量（特别是相位）及各量间的关系。

2.理解旋转矢量法。

3.掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义。

4.理解同方向、同频率的两个简谐振动的合成规律。

5.理解机械波产生的条件。

掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波函数的方法及波函数的物理意义。

理解波形图线。

了解波的能量传播特征及能流、能流密度概念。

6.了解惠更斯原理和波的叠加原理。

理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件。

7.理解驻波及其形成条件。

8.了解机械波的多普勒效应及其产生原因。

在波源或观察者单独相对介质运动，且运动方向沿二者连线的情况下，能用多普勒频移公式进行计算。

Ⅱ内容提要一、振动1.简谐振动的定义：恢复力F=-kx微分方程d2x/d t2+ω2x=0运动方程x=A cos(ωt+ϕ0)弹簧振子ω=(k/m)1/2，单摆ω=(g/l)1/2，复摆ω=(mgh/J)1/2；2.描述谐振动的物理量：(1)固有量：固有频率ω，周期T，频率ν其关系为ω=2π/T=2πνν=1/T (2)非固有量，振幅A A=(x02+v02/ω2)1/2位相ϕϕ=ωt+ϕ0初位相ϕ0tanϕ0=-v0/(ω x0)(再结合另一三角函数定出ϕ0)；3.旋转矢量法(略)；4.谐振动能量：E k=E sin2(ωt+ϕ0)E p=E cos2(ωt+ϕ0)E=E k+ E p5.谐振动的合成：(1)同方向同频率两谐振动的合成A=[A12+A22+2A1A2cos(ϕ20-ϕ10)]1/2tgϕ0=(A1sinϕ10+A2sinϕ20)/(A1cosϕ10+A2cosϕ20) (再结合另一三角函数定出ϕ0)拍∆ω<<ω1拍频∆ν=|ν2-ν1| (2)相互垂直振动的合成ω1=ω2时为椭圆方程：x2/A12+y2/A22- 2(x/A1)(y/A2)cos(ϕ20-ϕ10)=sin2(ϕ20-ϕ10)ω1与ω2成简单整数比时成李萨如图形二、波动1.机械波的产生的条件:(1)波源,(2)媒质.机械波的传播实质是相位(或振动状态)的传播,质量并不迁移；2.描述波的物理量：波长λ，频率ν，周期T，波速.u其关系为T=1/ν=λ/u u=λ/T=λν3.平面简谐波的波动方程y=A cos[ω(t-x/u)+ϕ0]=A cos[2π(t/T-x/λ)+ϕ0]=A cos[2π(νt-x/λ)+ϕ0]4.平均能量密度w=ρA2ω2/2，能流密度(波的强度) I=w u=ρA2ω2u/25.惠更斯原理(略)；6.波的叠加原理：独立性，叠加性；7.波的干涉(1)相干条件：频率相同，振动方向相同，位相差恒定。

2、振动与波习题课-zd

8、机械波通过不同媒质时，就波长、频率和波速u而言，其中、u 要改变，不改变。 9、如图所示，两相干波源S1、S2相距 /4(为波长)， S1的位相比 S2的位相超前p /2 ，在 S1、S2的连线上，S1 外侧各点(例如P点)两波引起的两谐振动的 p 。位相差为提示： = 2 - 1 - 2p (S2P – S1P)/ = -p
解：
S1 S 2

4
2 1
π 2
P S1
S2 Q
x
2 1
2π

( r2 r1 )
（1）S1外侧P点
r2 r1 S 2 P S1 P
Δ π 2 2π

4
A A1 A2 0
4
π
P点因干涉而静止
（2）S2外侧Q点
r2 r1 S 2Q S1Q

Δ π 2
P S1
S2 Q
x

4
2π (

4

)0
A A1 A2 2A0
Q点干涉加强结论：S1 外侧无振动， S2 外侧振动加强。
1、下列几种运动哪些是简谐振动？（
）
(A)小球在地面上作完全弹性的上下跳动 (B)细绳系一小球在水平面内作匀速圆周运动
Δ 2 1
4π 3 π 3
2π( r2 r1 )
x
M
r1 30

50 30 10
r2
2π
A
40
3π
A A1 A2 1 cm
B
(2) 1 = 2，求：连线AM上干涉加强点的位置。
Δ 2 1 2π( 40 x x )

大学物理振动和波习题课

12、一质点作简谐振动，周期为 T。质点由平衡
位置向Ｘ轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的时间为（）。
A T 4 B T 1 C 2 T 6 D T 8
解：令简谐振动为 xA si n t
则当 xA2 时， si n t0.5
Acos2(t 1) T2
Acos2T(t 13)
.
7.图中所示为两个简谐振动的振动曲线．若以余弦函数表示这两个振动的合成结果，则合振动的方程为
xx1x2 0.04cos(t)
x (m)
0.08
O
-0.04
1
x1 t (s)
2 x2
.
8 如果在固定端 x0处反射的反射波方程式是
y2 Aco2stx
设反射波无能量损失，则入射波的方程式是（）形成的驻波的表达式是（）。
y1OAcos2vt y2OA cos2vt
形成的驻入波射为波：方程 y1Acos 2 t x
y y 1 y 2 A c 2 ot s2 x A c 2 ot s2 x
得：
S
wu
1 A22u
2
3.惠更斯原理和波的叠加原理
惠更斯原理:
波阵面上每一点都可以看作是发出球面子波的新波源，这些子波的包络面就是下一时刻的波阵面。
波的叠加原理:
当几列波在介质中某点相遇时，该质点的
振动位移等于各列波单独传播时在该点引起位移的矢量和。
.
4.波的干涉: 相干条件：振动方向相同
频率相同
1.机械波
产生的条件：波源和弹性介质
描述波动的特征量: 波速、波长、波的周期、频率
2.平面简谐波
波函数 yAcos(tux)

振动和波习题课

20000 5 2 S 1.6 10 J / m s 2 4 10000
１0）入射波方程为y1=Acos2 (t/T+x/ )，在自由端x=0处发生反射后形成驻波，设反射后波的强度不变，则反射波方程为，在x=2／3处质点合振动的振幅为。
自由端：在反射点没有半波损失。
波动
1.理解机械波产生的条件；掌握描述平面简谐波的各物理量及各量间的关系；掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波函数的方法；能运用波形图线分析和解决问题。 2.理解波的能量传播特征及能流密度概念。 3.了解电磁波的性质。 4.理解惠更斯原理和波的叠加原理；掌握波的相干条件。能运用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强或减弱的条件。 5.理解驻波的概念及其形成条件，能确定波腹和波节的位置。 6.能用多普勒频移公式计算。
振动练习
１）一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移大小为振幅的1/4时,其动能为振动总能量的 [E ] （A）7／16
（B）9／16
（C）11／16
（D）13／16
（E）15／16
1 2 2 2 E k m A si n (t 0 ) 2 1 m 2 ( A2 x 2 ) 2
（D）1:1:2
1 1 1 弹簧的串并联：串联时等效劲度系数 k k1 k 2
并联时等效劲度系数 k k1 k2
4）用余弦函数描述一简谐振动，速度V与时间t的关系曲线如图所示，则振动初位相为[ A ] （ A）／ 6 （B）／３（C）／２（D）２／３（Ｅ）５／６
Байду номын сангаас振动
1.掌握描述简谐振动的各物理量，特别是相位, 及各物理量之间的关系。掌握位移-时间曲线，掌握旋转矢量法。能根据给定的初始条件，写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义；能比较同频率的不同谐振动的相位差。 2.掌握简谐振动的动力学特征，能建立一维简谐振动（弹簧振子、单摆、复摆等）的微分方程。 3.掌握同方向、同频率的两个简谐振动的合成规律；了解拍和拍频；了解相互垂直、同频率的两个简谐振动的合成情况。

振动波动习题讲解

轴负方向传播的平面简谐波在t 沿x轴负方向传播的平面简谐波在 = 2 s 轴负方向传播的平面简谐波在时刻的波形曲线如图所示，设波速u 时刻的波形曲线如图所示，设波速 = 0.5 m/s．求：原点的振动方程．原点O的振动方程的振动方程．．
2 解：方法一 T = = = 4(s) u 0.5
y (m) 0.5 O 1 u t=2s 2 x (m)
P
λ
y (m) 0.5 O 1 u t=2s 2 x (m)
t = 2 s =T/2。则t = 0时波形比题图。时波形比题图中的波形倒退λ/2，如图。中的波形倒退，如图。此时y 此时 0 = 0，且朝轴负方向运动，，且朝y 轴负方向运动， ∴
一平面简谐波以400 m·s-1的波速在均匀媒质中沿的波速在均匀媒质中沿x 一平面简谐波以轴正向传播.已知波源的振动周期为已知波源的振动周期为0.01s 、振幅为轴正向传播已知波源的振动周期为 0.2m. 设以波源振动经过平衡位置且向y 轴正向运设以波源振动经过平衡位置且向动作为计时起点，写出以距波源2m处为坐标原点动作为计时起点，写出以距波源处为坐标原点的波动方程。的波动方程。
x (m)
（该波的振幅A、波速u与波长为已知量）该波的振幅、波速与波长λ为已知量）与波长为已知量
点作为坐标原点，解：若以此时为计时零点，以O点作为坐标原点，则若以此时为计时零点，点作为坐标原点 π y (m) ∵ ω = 2πν = 2π u ϕ =− A λ 2 u x π ∴波动方程为 y = Acos[2π (t′ + ) − ] 0 P λ u 2 若以2s前为计时零点，显然有 t′ = t − 2 若以前为计时零点，前为计时零点 ∴以2s前为计时零点波动方程为前为计时零点波动方程为

II2_振动和波+详细解答

振动1．一倔强系数为k 的轻弹簧，下端挂一质量为m 的物体，系统的振动周期为1T ，若将此弹簧截去一半的长度,下端挂一质量为12m 的物体,则系统振动周期2T 等于（A ）21T （B ）1T （C ）1T /2 （D ）1T /2 （E ）1T /4（C ）弹簧的弹性系数问题：一根弹簧，弹性系数为k ，把它截短以后，k 不是减小了，而是增大了。

为什么？因为我们知道胡克定律为：f kx =（力的大小），即 f k x=。

下面两根弹簧，本来材料、长度、弹性系数都是完全一样的，但是把其中的一根截短，加上相等的拉力f ，截短以后的弹簧伸长量要小于原来长度的弹簧的伸长量，弹性系数k 增大了。

f12T = 22k k =，下端挂一质量为12m的物体，则系统振动周期2T 为：2T 1112222T π⎛=== ⎝2．图（下左）中三条曲线分别表示简谐振动中的位移x ，速度v 和加速度a ，下列说法中那一个是正确的？（A ）曲线3、1、2分别表示x 、v 、a 曲线。

（B ）曲线2、1、3分别表示x 、v 、a 曲线。

（C ）曲线1、3、2分别表示x 、v 、a 曲线。

（D ）曲线2、3、1分别表示x 、v 、a 曲线。

（E ）曲线1、2、3分别表示x 、v 、a 曲线。

（E ）位移x 与加速度a 的曲线时刻都是反相的，从图上看曲线1、3反相，曲线2是速度v 曲线；另外，速度比位移的位相超前2π，加速度比速度的位相超前2π，从图上看曲线3比2超前了2π，3是加速度曲线；曲线2比1超前了2π，1是位移曲线。

3．在t =0时，周期为T 、振幅为A 的单摆分别处于图（上右）(a)、(b)、(c)三种状态，若选单摆的平衡位置为x 轴的原点，x 轴正向指向右方，则单摆作小角度摆动的振动表达式分别为（1）；（2）；（3）。

关键是写出初位相，用旋转矢量法最方便：0v (a)(b)t（a ）φ= -π/2（b ）φ= π/2（c ）φ= π所以：（1）Y=Acos (t T π2－2π) （2）Y=Acos (t T π2+2π) （3）Y=Acos (t Tπ2+π)4．一系统作谐振动，周期为T ，以余弦函数表达振动时，初位相为零，在0≤t ≤T /2范围内，系统在t = 、时刻动能和势能相等。

第9章振动和波习题课ppt课件

AA B • /2 O
•
C •
A/ 2
A
x
f 3
2 T
tf2//3TT 6
A 2
• O
x A
f 2
.
26
15. 用余弦函数描述一谐振子的振动，若速度－时间函数关系如图，则振动的初相位为
v
2
①π/6；②π/3；③π/2；④5π/6
由 xAcots()
0
vm / 2
vm
知 v A sit n ) ( v m sit n )(
性势能EpA与EpB之比
① E pA k A E pB kB
② E pA E pB
kA2 kB2
③ E pA kB E pB k A
④ E pA E pB
kB2
k
2 A
EpA 1 2kA( xA)21 2kA(m kA)2g (m 2kA )2g k A
o
x
（C） yAco2stt02
（D） y A c2 o ts t0
答案：B
.
24
12、一平面简谐波，沿 x 轴负方向传播．角频率为ω，波速为u．设t＝T／4时刻的波形如图所示，则该波的表达式为：
y
A
u
O-A
x
（A）y＝Acosω(t-x／u) （B）y＝Acos[ω(t-x／u)+π/2] （C）y＝Acos[ω(t+x／u)] （D）y＝Acos[ω(t+x／u)+π]
2x
0
运动学方程： xAcots()
2、简谐振动的特征：
①简谐振动为周期振动。
②振动状态由A、ω、φ 决定。 ③ω由系统本身性质决定。
A、 φ由振动系统和初始条件共同确定。

医用物理学课后习题解答

后是否仍为简谐振动?②合振动的周期是多少?
解: ①由于分振动的频率不同，所以它们合成后将不是简谐振动。②合振动的频率为 100Hz，
周期
T=
1 100
s=0.01s。
8-7 弹簧振子作简谐振动时，若其振幅增为原来的两倍，而频率降为原来的一半，它们的能量怎样改变?
答:
弹簧振子作简谐振动时，其能量为 E
x A cos( t )
（a）
①第一种情况:位于平衡点右侧 6cm 处，这时位移 x=6cm，将 t=0，A=6cm，x=6cm 代入（a）式得
6 6 cos 6
解之得， =0。已知 T=2 秒，则
2 2
，将 A、ω、值代入（a）式可得第一种情况
的位移表达式为
x 6 cos t （cm）
x=-A， v=0， a=Aω2
8-3 一个作简谐振动的质点，在 t=0 时，离开平衡位置 6cm 处，速度为零，振动周期为 2s，求该简谐振动的位移、速度、加速度的表达式。解:根据题意，t=0 时，质点速度为零，离开平衡位置 6cm，这说明该振动的振幅为 A=6cm，这时质点可能位于平衡点右侧 6cm 处，或位于平衡点左侧 6cm 处。下面分这两种情况进行讨论，设该振动方程为:
解:
①已知波源 O 的振动方程为
y
0.06
cos
9
t ，则其振幅为 A=0.06m，角频率
9
，
又知 u=2m·s -1 ，则该波的波动方程为
s
0.06
cos
9
(t
x 2
)
由它可得 x=10m 处的质点振动方程为
y
0.06
cos
9
b 2

振动与波动(习题与答案)

第10章振动与波动一.基本要求1. 掌握简谐振动的基本特征，能建立弹簧振子、单摆作谐振动的微分方程。

2. 掌握振幅、周期、频率、相位等概念的物理意义。

3. 能根据初始条件写出一维谐振动的运动学方程，并能理解其物理意义。

4. 掌握描述谐振动的旋转矢量法，并用以分析和讨论有关的问题。

5. 理解同方向、同频率谐振动的合成规律以及合振幅最大和最小的条件。

6. 理解机械波产生的条件。

7. 掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。

8. 了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。

9. 理解惠更斯原理和波的叠加原理。

掌握波的相干条件。

能用相位差或波程差概念来分析和确定相干波叠加后振幅加强或减弱的条件。

10. 理解驻波形成的条件，了解驻波和行波的区别，了解半波损失。

二. 内容提要1. 简谐振动的动力学特征作谐振动的物体所受到的力为线性回复力，即取系统的平衡位置为坐标原点，则简谐振动的动力学方程（即微分方程）为2. 简谐振动的运动学特征作谐振动的物体的位置坐标x与时间t成余弦（或正弦）函数关系，即由它可导出物体的振动速度)=tAv-ω+ωsin(ϕ物体的振动加速度)=tAa2cos(ϕ-+ωω3. 振幅A 作谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值，振幅的大小由初始条件确定，即4. 周期与频率作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间T 称为周期，单位时间内完成的振动次数γ称为频率。

周期与频率互为倒数，即ν=1T 或 T1=ν5. 角频率(也称圆频率）ω 作谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与周期、频率的关系为 ωπ=2T 或 πν=ω26. 相位和初相谐振动方程中（ϕ+ωt ）项称为相位，它决定着作谐振动的物体的状态。

t=0时的相位称为初相，它由谐振动的初始条件决定，即应该注意，由此式算得的ϕ在0~2π范围内有两个可能取值，须根据t=0时刻的速度方向进行合理取舍。

7. 旋转矢量法作逆时针匀速率转动的矢量，其长度等于谐振动的振幅A ，其角速度等于谐振动的角频率ω，且t=0时，它与x 轴的夹角为谐振动的初相ϕ，t=t时刻它与x 轴的夹角为谐振动的相位ϕω+t 。

高中物理：振动和波练习及详解

高中物理振动和波练习及详解一、单项选择题1.一个单摆从甲地到乙地,发现振动变快了,为了调整到原来的快慢,下述说法正确的是( ) A. 因 g 甲＞g 乙，故应缩短摆长 B. 因为g 甲＞g 乙，故应加长摆长 C. 因为g 甲＜g 乙，故应缩短摆长 D. 因为g 甲＜g 乙，故应加长摆长【答案】D【详解】一单摆因从甲地移到乙地，振动变快了，即周期减小了，根据2T =，得到g增大，T 才会减小，所以甲地的重力加速度小于乙地的重力加速度，即g 甲＜g 乙；要使T 还要恢复，只要增大T ，故只能将摆长适当增长，故D 正确，ABC 错误．2.如图所示,弹簧左端固定,右端系一物块,物块可以在粗糙水平桌面上滑动，物块与水平面各处动摩擦因数相同,弹簧原长时物块位于O 点．当先后分别把物块拉到P1和P2点由静止释放后,物块都能运动到O 点左方,设两次运动过程中物块速度最大时的位置分别为Q1和Q2点,则这两点( )A. 都在O 点右方,且Q1离O 点较近B. 都在O 点右方,且Q2离O 点较近C. 都在O 点右方,且Q1、Q2为同一位置D. 都正好与O 点重合【答案】C【详解】先后分别把物块拉到P1和P2点由静止释放，开始弹簧的弹力大于摩擦力的大小，物体做加速运动，加速度逐渐减小，当加速度减小到零时，即F=kx=f 时，速度最大，此时弹簧的形变量f x k=，知Q1和Q2点都在O 点右方，且Q1、Q2在同一位置，故C 正确，ABD错误．3.在相同的时间内单摆甲作了10次全振动,单摆乙作了6次全振动,两个单摆的摆长相差16cm ，则甲摆的摆长为（） A. 25cm B. 9cm C. 18cm D. 12cm 【答案】B【详解】在相同时间内单摆甲做了n1=10次全振动，单摆乙做了n2=6次全振动，知甲乙单摆的周期比为3：5，根据2T =224gT L π=，则有：211222925L T L T ==，又L2-L1=16cm ．所以L1=9cm ，L2=25cm ，故B 正确，ACD 错误．4.一个质量分布均匀的空心小球，用一根长线把它悬挂起来，球中充满水，然后让球小角度摆动起来，摆动过程中水在小孔中缓慢均匀漏出，那么，它的摆动周期将（） A. 变大 B. 变小C. 先变大后变小D. 先变小后变大【答案】C【详解】单摆在摆角小于5°时的振动是简谐运动，其周期是2T =球，重心在球心，当水从底部的小孔流出，直到流完的过程，金属球（包括水）的重心先下降，水流完后，重心升高，回到球心，则摆长先增大，后减小，最后恢复到原来的长度，所以单摆的周期先变大后变小，最终恢复到原来的大小，故C 正确，ABD 错误． 5.一弹簧振子做简谐运动，周期为T( )A. 若t 时刻和(t+△t)时刻振子位移相同，则△t 一定等于T 的整数倍B. 若t 时刻和(t+△t)时刻振子运动速度大小相等、方向相反，则△t 一定等于T/2的整数倍C. 若△t=T/2，则在t 时刻和(t+△t)时刻弹簧的长度一定相等D. 若△t=T/2，则在t 时刻和(t+△t)时刻振子运动的加速度大小一定相等【答案】D【详解】在t 时刻和（t+△t ）时刻振子的位移相同，所以这两时刻振子通过同一个位置，而每一个周期内，振子两次出现在同一个位置上．所以当速度方向相同时，则△t 可以等于T 的整数；当速度方向相反时，则△t 不等于T 的整数，故A 错误；若t 时刻和（t+△t ）时刻振子运动速度大小相等，方向相反，则△t可能等于2T的整数倍，也可能大于2T的整数倍，也可能小于的整数倍，故B 错误；若△t=2T ，则在t 时刻和（t+△t ）时刻振子的位置关于平衡位置对称或经过平衡位置，所以这两时刻位移的大小一定相等，由kxa m =-知加速度大小一定相等．但弹簧的状态不一定相同，则长度不一定相等，故D 正确，C 错误．所以D 正确，ABC 错误．6.关于机械振动和机械波，下列说法中正确的是（）A. 物体作机械振动时，一定产生机械波B. 没有机械振动，也可能形成机械波C. 有机械波，一定有质点作机械振动D. 机械振动和机械波的产生无关【答案】C【详解】机械振动在介质中的传播称为机械波，所以有机械波必有机械振动，而有机械振动若没介质不会形成机械波，故C 正确，ABD 错误． 7.关于波长,下列说法中正确的是（）A. 横波的两个波峰之间的距离等于一个波长B. 一个周期内介质质点通过的路程是一个波长C. 横波上相邻的波峰和波谷间的距离等于一个波长D. 波源开始振动后，在振动的一个周期里波传播的距离等于一个波长【答案】D 【详解】横波的两个波峰之间的距离等于若干个波长，只有相邻两个波峰之间的距离等于一个波长，故A 错误；质点只在自由的平衡位置附近做简谐运动，通过一个周期内介质质点通过的路程是四个振幅，与波长没有关系，故B 错误；横波上相邻的波峰和波谷间的距离等于半个波长，故C 错误；波源开始振动后，在振动的一个周期里波传播的距离等于一个波长，故D 正确．所以D 正确，ABC 错误．8.关于波的叠加和干涉，下列说法中正确的是（）A. 两列频率不相同的波相遇时，因为没有稳定的干涉图样，所以波没有叠加B. 两列频率相同的波相遇时，振动加强的点只是波峰与波峰相遇的点C. 两列频率相同的波相遇时，如果介质中的某点振动是加强的，某时刻该质点的位移可能是零D. 两列频率相同的波相遇时，振动加强点的位移总是比振动减弱点的位移大【答案】C【解析】根据波的叠加原理，只要两列波相遇就会叠加，所以选项A 错误．两列频率相同的波相遇时，振动加强的点是波峰与波峰、波谷与波谷相遇，所以B 选项错．振动加强的点仅是振幅加大，但仍在平衡位置附近振动，也一定有位移为零的时刻，所以选项C 正确，D 错误．故选C.二、多项选择题9.关于简谐运动的位移、速度、加速度的关系,下列说法正确的是( ) A. 加速度增大时，速度必减小 B. 速度、加速度方向始终相反C. 通过平衡位置时，v 、a 均改变方向D. 远离平衡位置时，v 、a 方向相反【答案】AD 【详解】加速度满足kx a m =-，所以加速度增大时，位移也增大，所以速度必减小，故A 正确；向平衡位置运动时，速度、加速度方向相同，故B 错误；通过平衡位置时，速度方向不改变，故C 错误；远离平衡位置时，加速度方向指向平衡位置，速度方向背离平衡位置，即v 、a 方向相反，故D 正确．所以D 正确，BC 错误．10.如图所示,在O 点悬一根细长直杆,杆上串有一个小球A,用长为l 的细线系着另一个小球B,上端也固定在O 点,将B 拉开,使细线偏离竖直方向一个小角度,将A 停在距O 点L/2处,同时释放,若B 第一次回到平衡位置时与A 正好相碰(g 取10m/s2,π2取10),则（） A. A 球与细杆之间不应有摩擦力 B. A 球的加速度必须等于4m/s2C. A 球受到的摩擦力等于其重力的0.6倍D. 只有知道细线偏离竖直方向的角度大小才能求出A 球受到的摩擦力【答案】BC【详解】球B 是单摆，根据单摆的周期公式2T =B 第一次回到平衡位置过程的时间：4T t =，球A匀加速下降，根据位移时间关系公式，有2122L at=，解得：2244/ga m s π=≈ ，故B 正确；球A 匀加速下降，根据牛顿第二定律，有：mg-f=ma ，解得：f=m （g-a ）=0.6mg ，A 球受到的摩擦力等于其重力的0.6倍，故AD 错误，C 正确．所以BC 正确，AD 错误． 11.一弹簧振子做简谐振动,t 时刻刚好经过平衡位置，则振子在t+△t 和t-△t 时刻一定相同的物理量有( ) A. 速度 B. 加速度 C. 位移 D. 机械能【答案】AD【详解】t 时刻刚好经过平衡位置，则振子在t+△t 和t-△t 时刻质点位置关于平衡位置对称，此时速度和机械能相同，加速度和位移方向相反，故AD 正确，BC 错误．12.细长轻绳下端拴一小球构成单摆,在悬挂点正下方1/2摆长处有一个能挡住摆线的钉子A ，如图所示．现将单摆向左拉开一个小角度，无初速度释放．对于以后的运动，下列说法正确的是（）A. 摆球往返一次的时间比无钉子时短B. 摆球往左右两侧上升的最大高度相同C. 摆球往在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等D. 摆球往在平衡位置右侧的最大摆角是左侧最大摆角的两倍．【答案】AB【详解】无钉子时，单摆的周期2T =，有钉子后，在半个周期内绕悬挂点摆动，半个周期内绕钉子摆动，周期T '=A 正确；根据机械能守恒定律，左右两侧上升的高度相同．有钉子子时走过的弧长小于无钉子走过的弧长．摆角不是2倍关系，故B 正确，CD 错误．所以AB 正确，CD 错误．13.关于机械波，下列说法不正确的是（） A. 在传播过程中能传递能量 B. 频率由波源决定C. 能产生干涉、衍射现象D. 能在真空中传播【答案】D【详解】A ．波传播振动这种运动形式的同时传递能量，故A 正确，不符合题意； B ．波的频率是由波源决定的，故B 正确，不符合题意； C ．干涉、衍射是波的特有现象，机械波在一定条件下也能发生干涉和衍射现象，故C 正确，不符合题意；D ．机械波传播要借助于介质，真空中不能传播，故D 错误，符合题意。

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7、平均能量密度：能量密度的平均值。 w ? 1 ?A2? 2
2
??
8、平均能流密度：能流密度的平均值。 I ? ? u
二、基本规律
1、简谐振动的动力学方程
d2x ?? 2x ? 0
dt2
d2? ? ? 2? ? 0
dt2
2、简谐振动的运动方程
x ? A cos( ? t ? ? ) ? ? ? 0 cos( ? t ? ? )
mg sin ? ? k1 x ? k2 x2
按图所取坐标,原点取在平衡位置,物体沿x轴移
动x时,两弹簧与分别被拉伸 x1'和x2,'即 x ? x1'? x2 ' 对物体分析受力,有
X k2
k1
F ? mg sin? ? k2 (x2 ? x2?)
k1 (x1 ? x1?) ? k2 (x2 ? x2?) 将(1)代入(2),得 F ? ? k1x1? ? ? k2 x2?
?
?
r1
?
r2
?
?? ? ??? ?
k?
(2k
?
1)
?
2
k ? 0,1,2? ? 加强 k ? 0,1,2? ? 减弱
8、驻波：
振幅、传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象 .
x?
? k ? k ? 0,1,?
2
Amax ? 2 A
? (2k ? 1) ?
?
?
?
t=0
t=T/4
1
2
x ? A cos(? t ? ? 0 )
它们所对应的相位分别为:0, ? /2, ?, 3?/2, 2?.
t=T/2 3
t=3T/4 t=T
24
5
?
? ? /2
3
O 5 1x
3? /2
4
3. 如图所示,两个轻弹簧的劲度系数分别为 k1 k2, 当物体在
光滑斜面上振动时.(1)证明其运动仍是简谐运动;(2)求系统的振
6、一维简谐波的波动方程：
y ? Acos[? (t ? x ) ? ? ] ? Acos[2? ( t ? x ) ? ? ]
u
T?
7、波的干涉：频率相同、振动方向相同、初位相差恒定。
??
?
?
2
??1
?
2? (r2 ? ?
r1 )
?
? ? 2k?
??? (2k ?
1)?
k ? 0,1,2,? ? 加强 k ? 0,1,2,? ? 减弱
0m
考虑(3)与x的表达式,得
则物体作简谐振动,频率
F
?
?
k1 k 2 k1 ? k2
(x1? ?
x?2 )
?
? kx
?? ? ? 1
k1 ?k1k 22? 2? m 2? (k1 ? k2 )m
讨论
?? ? ? 1
k1 ?
k1k 2
2? 2? m 2? (k1 ? k2 )m
(1)由结果可见 ,倾角θ与弹簧是否作简谐运动及频率无关 . 弹簧无论水平、斜置还是竖直悬挂,物体均作简谐运动 .其频率
3、由初始条件确定 A ?
A?
x02
?
v
2 0
?2
tan ? ? ? v0 ? x0
4、简谐振动的能量
E
?
Ek
?
EP
?
1 kA 2 2
5、同方向、同频率简谐振动的合成：
A ? A12 ? A22 ? 2A1 A2 cos(? 2 ? ? 1)
tg? ? A1sin?1 ? A2 sin? 2 A1 cos?1 ? A2 cos? 2
? ? ? 0 cos(? t ? ? 0 )
?0 ? ?
t ? 0,? ? ?
?0 ? 0
?
答：? 角是振幅，振动初相位为0
振动的角频率 ? ? g
t=0
l
单摆的角速度
?
d?
dt
?
?? 0?
sin(? t ? ? 0 )
单摆的角速度不是振动的角频率 .
2. 把单摆从平衡位置拉开 ,使摆线与竖直方向成 ?角,然后放手任其振动 ,试判断图中所示五种运动状态所对应的相位 .
?
r1)
?
? ? 2k?
??? (2k ?
1)?
k ? 0,1,2,? ? 加强 A ? A1 ? A2 k ? 0,1,2,? ? 减弱 A ? A1 ? A2
x?
? k ? k ? 0 ,1, ?
2
Amax ? 2 A
波腹
? (2 k ? 1) ?
4
k ? 0,1 .2 ? Amin ? 0
波节
tg? ? A1 sin ? 1 ? A2 sin ? 2 A1 cos ? 1 ? A2 cos ? 2
动
x
x
y ? A cos[ ? (t ? ) ? ? ] ? A cos(? t ? 2? ? ? )
u
?
u ? ?T
与
? ? 1 ?A 2? 2
??
I ??u
2
波波
??
?
?
2
?
?1
?
2?
(r2 ?
三、基本题型
1、已知运动方程求相应物理量。 2、会证明简谐振动的方法，并求出谐振动的周期。 3、已知一些条件给出谐振动的运动方程。 4、已知波动方程求相应物理量。 5、已知一些条件给出波动方程。 6、能解决波的干涉问题。
1. 把一单摆从平衡位置拉开 ,使悬线与竖直方向成一小角度? ,然后放手任其摆动 ,如果从放手时开始计算时间 ,此? 角是否是振动的初相 ?单摆的角速度是否是振动的角频率 ?
动频率.
k1
k1
k2
X k2
0m
?
分析要证明一系统作简谐振动 ,须分析受力 ,看是
否满足简谐振动的受力特征 (或动力学方程 ).建立如图
(2)所示的坐标 ,设系统的平衡位置为原点 ,沿x轴物体
受弹力和重力的分力 .利用串联时各弹簧受力相等 ,分
析在任一位置时受力和位移关系 .即可证.
证: 设平衡时两弹簧伸长分别为x1 x2, 则由物体受力平衡,有
k1
m
k 2 (a)
相同.固有频率.
k1
(2)如振动系统并联 (a)或如图(b)
k2 m
所示 ,频率均为
4
k ? 0,1.2? Amin ? 0
波腹波节
*9、多普勒效应：
? '? u ? vo ?
u ? vs
d2x ? ? 2x ? 0
dt 2
x ? A cos( ? t ? ? ) 旋转矢量法
振
振动
? ? 2? T
1 ??
T
A?
x02
?
v02 ?2
? ? tan(? v0 ) ? x0
A?
A12 ? A22 ? 2A1 A2 cos(? 2 ? ? 1)
振动与波习题课
一、基本概念
1、振幅：振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。
2、周期：振动物体完成一次完整振动所需要的时间。
3、频率：单位时间内振动物体完成完整振动的次数
4、相位：表示谐振动状态的最重要的物理量
5、波长：振动相位相同的两个相邻波阵面之间的距离是一个波长
6、波速：单位时间某种一定的振动状态 (或振动相位 ) 所传播的距离称为波速