数学中的类比思想

时需
小议数学中的类比思想
王安平
关键字：类比的思想数形之间、数数之间的类比所谓类比，是指两种事物之间存在着相互类似的性质或特点。

这个词来源于希腊文“ analogia”原意为比例，后来引申为某种类似的事物。

类比的思想方法在科学发展中占有着十分重要的地位。

例如，著名科学家牛顿的万有引力定律就是把天体运动与自由落体运动做类比而发现的；著名的生物学家达尔文把植物的自花受精与人类的近亲结婚相类比，从而发现了自己子女体弱多病的原因。

类比的思想涉及了对知识的迁移。

所谓迁移就是一种学习对另一种学习的影响。

在教学中我们应当注意对学生迁移意识的培养，也就是说要注重运用类比的思想。

在我们平时的数学教学中，经常发现在数学中有一些相类似的概念，可以利用类比法进行学习；另外，在教学中也可以利用类比的思想进行教学。

的确，类比法是学习数学的一种常用方法。

数学的类比主要体现在以下几个方面:
㈠几何图形之间的类比
（1）几何形体数量关系的类比
在以往的高考题目中，也出现了类似题目。

例如：在某年上海的高考模拟题中的一道题：
已知：在平面几何有勾股定理：“假设ABC的两边AB、AC互相垂直，则有关系：AB2 AC2 BC2。

”当我们拓展到空间，类比平面几何的勾股定理并研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系时，我们可得到相应结论：假设三棱锥A BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两垂直，则S2ABC S2ACD S2ADB S2BCD
（2）几何性质之间的类比
例如，几何体中的椭圆与双曲线就有很多的相似之处:
在平面几何与立体几何中也存在性质之间的类比，例如:
------------------------- 布磊Sn/ — ....... .. ...... ..... ......
同样是在某年上海的高考模拟题中的一道题:
已知：在三角形中存在余弦定理：
a 1 2
b 2
c 3 4 2bccosA ,
那么，在三棱柱 ABC A 1B 1C 1中存在关系（假设 表示平面
BCC 泪与平面ACC 1A 1所成的二面角）：
S
A B B 1 A
5 6
BCC 1B 1 S A C C 1 A 2S BCC I B I S
A CC I A
cos
㈡数与形之间的类比
众所周知，初等数学可分为代数与几何。

在数学发展的初期， 代数与几何是相互独立的两个学科，但随着解析几何的产生，代数与 几何实现了统一。

数形结合的思想也是我们在平时教学过程中需重点 培养学生所具备的一种数学思想。

下面我们看几道例题： 例1 :求函数y 山应的最值
2 sin x
分析：这道题如果我们按照代数运算的常规解法，只能作出如下解答:
y 3
—c0SX
2y ysinx 3 cosx ysin x cosx 3 2y
2 sin x
:
3 2 y 3 2 y 1si n(x ) 3 2y sin(x ) =2
丨=2
I 1
J y
2
1 J y 2
1 |3 2y| y 2
1 (3 2y)
2 y 2
1
3y 2
12y 8 0
6 2 .3
6 2 3
6 2 .3
6 2 3
y
y min , y max
3
3
3
3
------------------------- 时 磊 Sn/ ---------- ------ ----- ---- 但是本题，我们若利用数形结合的思想，则会使解答过程大幅度 简化。

当我们考虑到题目所给形式与直线的斜率公式
k 翌
y i
(x 1
X 2)有些类似时，我们可以认为原题为：过动点
X 2 X i
(sin x, cos x)与定点(2,3)的连线的斜率的最值，很明显，点
(sin x,cosx)
直线的距离为1,所以通过点到直线的距离可得,
例2求函数f(x) . x 2
4x 13
x
2
10x 26的最小值
分析：对于这道求函数最值的问题，我们可以利用判别式的方法或 其它一些代数方法进行求解，但是它们的计算量都较大。

当我们观
察到题目中只含有二次根式，并且在二次根式中含有二次式，同学 们可以联想一下，在高中阶段我们所学的公式中，两点间的距离公
式是满足这种形式的。

所以，可以将原函数配凑成两点间距离公式 的形式f
(x)
,(x 2)
2
(0 3)
2
,(x 5)
2
(0 1)2。

可见，这里面包含
着三个点(x ,0),(2,3)和(5,-1)。

依次设三点为 A,B,C ，其实本题就是在 求
AB |AC 的最小值。

在坐标系内画出这三点，其中A 点在x 轴上移 动，当这三
点共线时|AB AC |BC ;当A 点不在BC 上时，这三点 构成三角形，由三角形的知识我们知道|AB |AC |BC 。

不难看出， 只有当三点共线时AB AC 有最小值
BC 。

所以，f(x)min (AB AC)min BC 5
是单位圆上的点。

假设过点(2,3)的直线方程为y 3 k(x 2)，则求原
题的最值就转化为求上面这条直线与单位圆相切时
k 的值。

由原点到
所以，原题y min 呼，y max 于。

,y
max
时需Sr 彳 ----------- -------------------- ----- ----- 通过简单计算可知，这时x 17。

4
在各个省市的高考模拟题中经常出现类似于这样的题目： 例3：方程：log 3X x 3的解所在的区间是(
) A (0,1) B (1,2) C (2,3)
D (3,4)
从表面上看，这是一道解方程的题，然而这种题如果利用解方程的常 规方法，也只有利用逐步逼近的最小二乘法才能解决，
但是这种数学
方法的运用要求同学们有高等数学的知识，这只有到了大学才能学 到，那么这道题对于高中阶段的同学们就无从下手了吗？我们先来回 顾一下有关方程的一些表示的几何意义。

例如：方程
x
2
8x 7 0表
示的就是一个二次函数y x 2
8x 7与x 轴的交点，也可以说成一个二 次函数y
x
2
8x 与一个常量函数y 7 0的交点，所以由此可知原题 log 3
x x 3的解实际上
就是一个在求对数函数 y log s X 和一个一次函 数y 3 x 的交点横坐标。

可见，我们只要在同一个坐标系内画出 y log s X 和y 3 x 的图像，然后观察交点的横坐标所在区间就可以 了。

通过画图像可明显得到交点的横坐标所在的区间为
(2,3)，选C 。

应该讲数与形的类比中蕴含着数形结合的数学思想，这是高职、 高考中的一个重点，应该引起足够的重视。

㈢数与数之间的类比
在代数中有一些概念是存在类比关系的，例如均值不等式中
时磊忖呎…
并且我们在解一些代数题目时，如果有着较强的类比能力的话往往题目就会得到很大简化。

例1:在三角函数中有着这样的一道习题
化简下面的式子:
y sin2xsin 2ysin 2z sin(x y)sin(y z)sin(z x) sin(x z)sin(y z)sin(y x) sin(y x)sin
2zsin(x y) sin(y z)sin(z y)sin 2x sin(z x)sin(x z)sin 2y
式以及二倍角的正弦公式去进行化简则工作量是十分巨大。

但我们观
察到，题目是一个六项的代数和，前三项是正的，后三项是负的，且每一项都是三个正弦的乘积形式，我们可以与三阶行列式的展开式相
类比，可以进行如下的解法:
sin2x si n(x y) sin (x z)
y sin(y x)si n2y sin(y z)
sin(z x)sin(z y)sin 2z
例2： ( 1)解方程：3
x 1
3
3x 2 4x 3 0
分析：此题让人眼花缭乱, 深感无从下手，如果利用两角和的正弦公
sin xcosx sin xcosx sin xcosy sin ycosx cosysinx siny cosy sinzcosx coszsinx sinzcosy sin xcosx sin xcosy sin xcosz sinycosx sinycosy sinycosz sin zcosx sin zcosy sin zcosz cosxsin y sin xcosz cosxsinz sinycosy sinycosz cosysinz coszsin y sin zcosz sin zcosz sinxcosx cosxsin y cosxsinz cosys inx siny cosy cosys inz coszsinx coszsin y sinzcosz
sin x si nx sin x
cosxcosy cosz sin y sin y sin y
sin z si nz sin z
cosx cosx cosx sin xsin ysin
z
cosy cosy cosy
cosz cosz cosz
0 0 0
(2)求证：
(1
2003)2002 (1 2003)2002
N
<2003
分析：同学们一看肯定就会问，为什么例 2包括了两道题目，而且，
这两道题目表面上似乎没有什么联系，可谓是风马牛不相及，但是， 同学们还是先看一看这两道题目的解题过程吧。

解(1):观察到题目中x 1 3x 2 4x 3
3
x 1
3
3x 2 x 1 3x 2
令 x 1 t
3
-t t 3.3t 1 3t 1 0
设一个函数f(t) 3
t t ， 则 f (3t 1)
3
3t 1 3t 1
所以，f(t) f(3t 1) 0
又由于这个函数是一个奇函数，f( t) f(t) 所以，f(3t 1) f(t)
f( t)
由于，函数f(t) 3
、t t 是在整个定义域区间内单调的函数,
所以
3t 1 t t
； x
所以原方程的解为x
解(2):设一个函数f(x) (1 x)
2002
(1 x)2002
，通过判断可以知道，这
个函数是一个奇函数。

所以函数的展开式中一定只含有
x 的奇数次
2002 2002
项，那么在函数g(x)丄虫
(
1 x)
的展开式中一定只含有x 的偶
x
数次项，所以将
(1
2003)2002 (1 2003)2002
寸 2003
展开后，在-2003上一定就只有偶数次，也就是说，在展开式中将不 再含有
有关2003的因式，而是一些整数的乘加运算，综上所述，我
------------------------- 时需 --------------- ----- ---- ---
2003严（1 - 2003严N
们可以推断出结论：「
^■"2003
总结：以上就是这两道题目的解题过程，通过观察我们不难发现，这两道表面上似乎没有什么联系的题目，在解题过程中，存在着很多共同之处。

首先，两道题目都设了一个函数，其次，对所设的函数的奇偶性题目都进行了讨论，并且通过函数的奇偶性，我们解决了题目。

如果我们在解（1）时，同学们还沿用常规方法（等式两边开立方）那么题目的运算量可想而知；如果，我们在解（2）时，采用二项式定理将原式展开，那么它的运算量也是不小的。

可见，在解题过程中, 合理的运用我们所学的知识进行类比，有时往往能使我们一筹莫展或运算量很大的题目柳暗花明，这就叫巧解。

当然我们在进行类比时也有可能出现诸如此类的错误:
例如：由于a（b c） ab ac这个乘法的分配律，则
我们对于这些从外形上看相似的概念，如果也利用类比的思想去处理有关的问题，那么我们就会得到错误的结论，这也可以称为类比的思想在数学中的局限性，我们不能一味根据外形的相似，而忽略对数运算、正（余）弦运算与乘法运算的根本差异。

------------------------- 时需Sr彳---------- ----- ----- --- 综上所述，类比的思想在我们处理一些数学问题时的确起着十分重要的作用，我们也应该学习类比的思想，但是在利用类比的思想去处理一些问题时，我们也要注意所类比的两个事物在本质上是否是相同或相似的，不能只顾形式上的一致而忽略本质不同的问题。