河北中考数学专题复习
2021年春人教版河北省数学九年级中考《 圆的基本性质》专题复习
圆的基本性质1．(2020·河北中考)有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A.”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC，如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（）A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°B．淇淇说的不对，∠A就得65°C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D．两人都不对，∠A应有3个不同值2．(2019·河北中考)根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）3．如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是（）A．△ACD的外心B．△ABC的外心C．△ACD的内心D．△ABC的内心4．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F.下列三角形中，外心不是点O的是（）A．△ABE B．△ACFC．△ABD D．△ADE5.下列说法错误的是（）A．直径是圆中最长的弦B．长度相等的两条弧是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧6.如图，AB是⊙O的直径，BC＝CD＝DE，∠COD＝38°，则∠AEO的度数是（）A.52°B．57°C．66°D．78°7.(2020·邢台临西县模拟)如图，⊙O的半径OA等于5，半径OC与弦AB 垂直，垂足为D，若OD＝3，则弦AB的长为（）A.10B．8C．6D．48.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为（）A.25°B．30°C．35°D．40°9.(2020·邯郸市模拟)已知△ABC和△ABD有相同的外心，∠C＝80°，则∠D的度数是（）A．80° B．100°C．80°或100° D．不能确定10.如图，⊙O的直径CD＝12 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE∶OC＝1∶3，则AB的长为（）A.22 cmB．42 cmC．62 cmD．82 cm11．(2020·河北模拟)如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB 于点D，连接BE，若AB＝27，CD＝1，则BE的长是（）A．5 B．6 C．7 D．812．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，CM＝DM＝2，直线MO交圆于点E，EM＝8，则圆的半径为（）A．4 B．3 C．174D．15413．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足为点F，DE＝5，OF＝1，那么CD＝．14.如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A.20°B．35°C．40°D．55°15．(2020·石家庄长安区模拟)如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF＝20°，则∠EOD等于（）A．30° B．40°C．35° D．45°16．(2020·石家庄桥西区模拟)如图，在⊙O中，∠ABC＝20°，∠DAC＝24°，则∠ADO的度数为（）A．43° B．44°C．45° D．46°17．(2020·临沂中考)如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°，点D为弦AC的中点，点E为BC上任意一点，则∠CED的大小可能是（）A.10°B．20°C．30°D．40°18.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC 的大小为（）A.45°B．50°C．60°D．75°19.(2020·唐山路北区一模)如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC＝AE，∠B＝122°，则∠D等于（）A.58°B．116°C．122°D．128°20．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)若∠PAC＝90°，AB＝23，求PD的长．21.(2020·石家庄市一模)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，把△ABC沿EF 折叠，点C的对应点为O，连接AO，使AO平分∠BAC，若∠BAC＝∠CFE＝50°，则点O是（）A.△ABC的内心B．△ABC的外心C．△ABF的内心D．△ABF的外心22．(2020·邢台市模拟)已知点O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于点D，若∠B＝40°，∠BAD＝22°，则∠C的度数为（）A．52° B．58° C．62° D．68°,23．如图，O，I分别是△ABC的外心和内心，AI的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，连接BI，BD，DC，则下列说法中错误的是（）A．弦DB绕点D顺时针旋转一定能与弦DC重合B．弦DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合C．△ADC沿直线AD折叠，则弦DC一定能与弦DB重合D．若BC经过外心O，沿直线BI折叠△ABI，则点A落在弦BC上圆的基本性质1．(2020·河北中考)有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A.”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC，如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是(A)A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°B．淇淇说的不对，∠A就得65°C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D．两人都不对，∠A应有3个不同值2．(2019·河北中考)根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是(C)3．如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(B)A．△ACD的外心B．△ABC的外心C．△ACD的内心D．△ABC的内心4．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F.下列三角形中，外心不是点O的是(B)A．△ABE B．△ACFC．△ABD D．△ADE5.下列说法错误的是(B)A．直径是圆中最长的弦B．长度相等的两条弧是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧6.如图，AB是⊙O的直径，BC＝CD＝DE，∠COD＝38°，则∠AEO的度数是(B)A.52°B．57°C．66°D．78°7.(2020·邢台临西县模拟)如图，⊙O的半径OA等于5，半径OC与弦AB 垂直，垂足为D，若OD＝3，则弦AB的长为(B)A.10B．8C．6D．48.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为(C)A.25°B．30°C．35°D．40°9.(2020·邯郸市模拟)已知△ABC和△ABD有相同的外心，∠C＝80°，则∠D的度数是(C)A．80° B．100°C．80°或100° D．不能确定10.如图，⊙O的直径CD＝12 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE∶OC＝1∶3，则AB的长为(D)A.22 cmB．42 cmC．62 cmD．82 cm11．(2020·河北模拟)如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB 于点D，连接BE，若AB＝27，CD＝1，则BE的长是(B)A．5 B．6 C．7 D．812．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，CM ＝DM＝2，直线MO交圆于点E，EM＝8，则圆的半径为(C)A．4 B．3 C．174D．15413．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足为点F，DE＝5，OF＝1，那么CD＝10－23．14.如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是(B)A.20°B．35°C．40°D．55°15．(2020·石家庄长安区模拟)如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF＝20°，则∠EOD等于(B)A．30° B．40°C．35° D．45°16．(2020·石家庄桥西区模拟)如图，在⊙O中，∠ABC＝20°，∠DAC＝24°，则∠ADO的度数为(D)A．43° B．44°C．45° D．46°17．(2020·临沂中考)如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°，点D为弦AC的中点，点E为BC上任意一点，则∠CED的大小可能是(C)A.10°B．20°C．30°D．40°18.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC 的大小为(C)A.45°B．50°C．60°D．75°19.(2020·唐山路北区一模)如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC＝AE，∠B＝122°，则∠D等于(B)A.58°B．116°C．122°D．128°20．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)若∠PAC＝90°，AB＝23，求PD的长．(1)证明：∵A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠APC，∠BAC＝∠CPB.∴∠ABC＝∠BAC＝60°.∴AC＝BC，且∠ACB＝60°.∴△ABC是等边三角形；(2)解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝AB＝BC＝23.∵∠PAC＝90°，∴∠D＝30°.∴DC＝2AC＝43.∴BD＝DC－BC＝23.∵四边形APBC是圆内接四边形，∴∠PBD＝∠PAC＝90°.在Rt△PBD中，PD＝BDcos 30°＝2332＝4.21.(2020·石家庄市一模)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，把△ABC沿EF 折叠，点C的对应点为O，连接AO，使AO平分∠BAC，若∠BAC＝∠CFE＝50°，则点O是(B)A.△ABC的内心B．△ABC的外心C．△ABF的内心D．△ABF的外心22．(2020·邢台市模拟)已知点O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于点D，若∠B＝40°，∠BAD＝22°，则∠C的度数为(D)A．52° B．58° C．62° D．68°,23．如图，O，I分别是△ABC的外心和内心，AI的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，连接BI，BD，DC，则下列说法中错误的是(C)A．弦DB绕点D顺时针旋转一定能与弦DC重合B．弦DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合C．△ADC沿直线AD折叠，则弦DC一定能与弦DB重合D．若BC经过外心O，沿直线BI折叠△ABI，则点A落在弦BC上。
2023年河北省中考数学模拟复习卷(答案在卷尾)
2023年河北省中考数学综合复习卷考试范围：初中；考试时间：120分钟；满分：120分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题(本大题有16个小题，共42分。
1～10小题各3分，11～16小题各2分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若23a <<时，化简23a a -+-=（ ）A ．1B ．25a -C ．1-D ．52a -2．把长为2023个单位长度的线段AB 放在单位长度为1的数轴上，则线段AB 能盖住的整点有（ ） A ．2022个 B ．2023个 C ．2022或2023个 D ．2023或2024个3．如图，将一个含45︒的三角板ABC ，绕点A 按顺时针方向旋转60︒，得到ADE ，连接BE ，且2,90AC BC ACB ==∠=︒，则线段BE =（ ）A BC D ．1 4．下列计算：①()011-=-；②()2124-=；③55-=±．其中正确的有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个5．2022年10月12日下午，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，神舟十四号飞行乘组三位航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲进行授课，央视新闻抖音号进行全程直播，某一时刻观看人数达到421.1万，421.1万用科学记数法可以表示为（ ）A ．70.421110⨯B ．64.21110⨯C ．4421.110⨯D ．3421110⨯6．如图，在矩形ABCD 中，6cm AB =，对角线AC 与BD 相交于点O ，DE AC ⊥，垂足为E ，3AE CE =，则BD 的长为（ ）A ．B ．C ．12cmD ．7．如图，索玛立方块是由丹麦数学家皮亚特·海恩发明的，它是由7个不规则的积木单元，拼成一个333⨯⨯的立方体，有400多种拼法，则下列四个积木单元中，俯视图面积最大的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．用换元法解方程222131x x x x-+=-时，若设21x y x =-，则原方程可化为关于y 的方程是（ ） A ．22310y y -+= B ．21203y y C ．2320y y -+= D ．2320y y ++=9．已知3,7a b ab +=-=，则多项式22a b ab a b +--的值为（ ）A ．24B ．18C ．24-D ．18-10．如图，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠放在一起，则312=∠+∠-∠（ ）A ．24°B ．26°C ．28°D ．30°11．如图，边长为4的正方形ABCD 内接于O ，E 是劣弧AB 上的动点（不与点A ，B 重合），F 是劣弧BC 上一点，连接OE ，OF ，分别与AB ，BC 交于点G ，H ，且90EOF ∠=︒，则在点E 运动过程中，下列关系会发生变化的是（ ）甲：AE 与BF 之间的数量关系；乙：GH 的长度；丙：图中阴影部分的面积和A ．只有甲B ．只有甲和乙C ．只有乙D ．只有乙和丙12．定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD 是ABC 的外角，求证：ACD A B ∠=∠+∠．证法1：如图．∠180A B ACB ∠+∠+∠=︒（三角形内角和定理）又∠180ACD ACB ∠+∠=︒（平角定义）∠ACD ACB A B ACB ∠+∠=∠+∠+∠（等量代换）∠ACD A B ∠=∠+∠（等式性质）证法2：如图，∠76A ∠=︒，59B ∠=︒，且135ACD ∠=︒（量角器测量所得）又∠1357659︒=︒+︒（计算所得）∠ACD A B ∠=∠+∠（等量代换）下列说法正确的是（ ）A ．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整B ．证法1用严谨的推理证明了该定理C ．证法2用特殊到一般法证明了该定理D ．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理13．王师傅用角尺平分一个角，如图①，学生小顾用三角尺平分一个角，如图②，他们都在AOB ∠两边上分别取OM ON =，前者使角尺两边相同刻度分别与M ，N 重合，角尺顶点为P ；后者分别过M ，N作OA ，OB 的垂线，交点为P ，则射线OP 平分AOB ，均可由OMP ONP ≌△△得知，其依据分别是（ ）A ．SSS ；SASB ．SAS ；SSSC ．SSS ；HLD ．SAS ；HL14．2022年12月4日11时01分，神州十四号载人飞船与空间站组合体成功分离返回地球，为了欢迎在中国空间站出差183天的航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲回家，北京市育英学校举行了“我的航天梦”英语演讲比赛．有9名学生通过海选进入决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（ ）A ．众数B ．频率C ．平均数D ．中位数15．如图，在矩形ABDC 中，AC =4cm ，AB =3cm ，点E 以0.5cm/s 的速度从点B 到点C ，同时点F 以0.4cm/s 的速度从点D 到点B ，当一个点到达终点时，则运动停止，点P 是边CD 上一点，且CP =1，且Q 是线段EF 的中点，则线段QD +QP 的最小值为（ ）A ．B ．5CD 16．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y （万元）与月份x 之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误．．的是（ ）A ．4月份的利润为50万元B ．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元C ．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元D ．9月份该厂利润达到200万元二、填空题(本大题共3个小题，每小题3分，共9分．其中19小题第一空1分，第二空2分)17．小明在学习圆的相关知识时，看到书本上提到可以用一把丁字尺（如图1）来找圆心，他想到爸爸的工具箱里有丁字尺，于是想利用丁字尺还原一个破损的圆，已知尺头4cm AB =，尺身刻度线l 垂直平分AB ，他摆出的情况如图2，发现两次测量丁字尺的尺身交于刻度为6cm 的位置，则这个破损的圆的直径是_______cm.18．在ABC 中，AB AC =，点G F ，分别为AB BC ，的中点，22AG AD EC ==，连接EG DF ，，将ABC 分成四块，如图（1）中∠，∠，∠，∠，四块图形恰好能拼成如图（2）的矩形，则tan B =___________．19．如图①，1234,,,O O O O 为四个等圆的圆心，,,,A B C D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是___；如图②，12345,,,,O O O O O 为五个等圆的圆心，,,,,A B C D E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 __．（答案不唯一）三、解答题(本大题共7个小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20．（7分）已知：整式21A n =+，2B n =，21C n =-，整式0C >．(1)当1999n =时，写出整式A B +的值______（用科学记数法表示结果）；(2)求整式22A B -；(3)嘉淇发现：当n 取正整数时，整式A 、B 、C 满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．21．（8分）我们定义：一个整数能表示22a b a b +++（a ，b 是整数）的形式，则这个数为“和谐数”，例如8是“和谐数”，理由：因为2282121=+++，所以8是“和谐数”．(1)请判断14______“和谐数”（填“是”或“不是”）；(2)请你写出一个大于14且小于20的“和谐数”：______；(3)当整数m ，n 满足()222817x m n x x ++=-+时，求“和谐数”22m n m n +++的值；(4)若实数x ，y 满足992280x y xy +--=，求22x y x y +++的最小值．22．（8分）小红、小明、小亮要参加某电视台组织的主持人演讲比赛，按程序分别进行答辩、笔试和网络投票，(1)在进行答辩之前，需要抽签决定答辩次序，直接写出小红抽到第一个答辩的概率；(2)答辩、笔试成绩如下表，网络投票每张选票只限填写小红、小明、小亮其中的一人，且每张得票记1分，统计选票后，绘出不完整的统计图．答辩、笔试成绩统计表根据以上信息，请解答： ①网络选票总数是________；补全条形统计图：②比赛组委会将答辩、笔试和网络投票三项得分按5∠4∠1的比例确定每人的总成绩，分数最高者为冠军，请你通过计算说明谁是冠军．23．（10分）对于平面直角坐标系xOy 中的点A 和点P ，若将点P 绕点A 逆时针旋转90°后得到点Q ，则称点Q 为点P 关于点A 的“垂链点”，图1为点P 关于点A 的“垂链点”Q 的示意图．(1)已知点A 的坐标为()00，，点P 关于点A 的“垂链点”为点Q ； ①若点P 的坐标为()20，，则点Q 的坐标为_______________； ②若点Q 的坐标为()21-，，则点P 的坐标为__________； (2)如图2，已知点C 的坐标为()10，，点D 在直线113y x =+上，若点D 关于点C 的“垂链点”在坐标轴上，试求出点D 的坐标； (3)如图3，已知图形G 是端点为()10，和()02-，的线段，图形H 是以点O 为中心，各边分别与坐标轴平行的边长为6的正方形，点M 为图形G 上的动点，点N 为图形H 上的动点，若存在点()0T t ，，使得点M 关于点T 的“垂链点”恰为点N ，请直接写出t 的取值范围．24．（10分）图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆AB 的两端都在圆O 上，A 、B 两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆CD 的底端C 固定在圆O 上，另一端D 是滑动杆AB 的中点，（即当支架水平放置时直线AB 平行于水平线，支撑杆CD 垂直于水平线），通过滑动A 、B 可以调节CD 的高度．当AB 经过圆心O 时，它的宽度达到最大值10cm ，在支架水平放置的状态下：(1)当滑动杆AB 的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆CD 的高度．(2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等（AE AB =），求该手机的宽度．25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线223(0)y ax ax a a =--≠的顶点为P ，且该抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．我们规定抛物线与x 轴围成的封闭区域称为“区域G ”（不包括边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点．(1)如果抛物线223y ax ax a =--经过点(13)，． ①求a 的值；②直接写出“区域G ”内整数点的个数；(2)当a<0时，如果抛物线223y ax ax a =--在“区域G ”内有4个整数点，求a 的取值范围；(3)当0a >时，抛物线与直线x a =交于点C ，把点C 向左平移5个单位长度得到点D ，以CD 为边作等腰直角三角形CDE ，使90DCE ∠=︒，点E 与抛物线的顶点始终在CD 的两侧，线段DE 与抛物线交于点F ，当2tan 3ECF ∠=时，直接写出a 的值．26．（14分）ABC 的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且AC BC =，EFP △的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =．(1)如图1，直接写出AB 与AP 的数量关系：______，AB 与AP 的位置关系：______；(2)将EPF 沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AB 于点O ，交AC 于点Q ，连接AP ，BQ ，求证：ABQ APQ ∠=∠；(3)将EPF 沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连接AP ，BQ ，试探究ABQ ∠与APQ ∠满足的数量关系，并说明理由；(4)若1cm AC BC ==，AB =，点P 在CB 的延长线上继续向左平移，当:3:2CBQ CBA ∠∠=时，请直接写出CBQ △与CBA △的面积之比．参考答案：1．B 【分析】直接利用绝对值的性质化简求出答案．【详解】解：23a <<，20a ∴-<，()222a a a ∴-=--=-，23a a ∴-+-23a a =-+-25a =-．故答案为：B ．【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，正确利用a 的取值范围化简是解题关键．2．D【分析】根据题意把长为1个单位长度的线段AB 放在单位长度为1的数轴上，可能盖住2个或1个点，以此类推，找出规律即可解答．【详解】解：1个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住2个点，两端不在整数点上，盖住1个点；2个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住3个点，两端不在整数点上，盖住2个点； 3个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住4个点，两端不在整数点上，盖住2个点； ⋯n 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住()1n +个点，两端不在整数点上，盖住n 个点；∴2023个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住2024个点，两端不在整数点上，盖住2023个点；故答案为：D ．【点睛】此题考查了数轴规律题，解题的关键是根据题意分情况找出规律．3．A【分析】连接BD ，延长BE 交AD 于点F ，根据旋转性质可知AB AD =，60DAB ∠=︒，90AED ∠=︒，2AE DE AC BC ====，由此得出ABD △为等边三角形，然后进一步通过证明BAE BDE ≌得出ABE DBE ∠∠=，根据等腰三角形三线合一可知BF AD ⊥，且AF DF =，由此利用勾股定理分别计算出AB 、BF 的长，最后通过BE BF EF =-进一步计算即可得出答案．【详解】解：如图，连接BD ，延长BE 交AD 于点F ，由旋转可知，AB AD =，60DAB ∠=︒，90AED ∠=︒，2AE DE AC BC ====，ABD ∴为等边三角形，AB BD ∴=，在BAE 与BDE △中，AE DE =，BA BD =，BE BE =，BAE BDE ∴≌（SSS ）， ABE DBE ∴∠=∠，∠BF AD ⊥，且AF DF =，2AC BC ==，90ACB ∠=︒，AB ∴=22222+=AB BD AD ∴===22AF ∴=2BF ∴=226AB AF -90AED ∠=︒，AE DE =，45FAE ∴∠=︒，BF AD ⊥，45FEA ∴∠=︒，EF AF ∴==2BE BF EF ∴=-=62故选：A ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形性质及判定和勾股定理与等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．4．D【分析】根据零指数幂，有理数的乘方，绝对值的计算法则求解即可．【详解】解：①()011-=，计算错误，不符合题意；②()224-=，计算错误，不符合题意；③55-=，计算错误，不符合题意； ∠计算正确的有0个，故选D ．【点睛】本题主要考查了零指数幂，有理数的乘方，绝对值，熟知相关知识是解题的关键，注意非零底数的零次幂的结果为1．5．B【分析】科学记数法的表示形式为10(110)n a a ⨯≤<，根据小数点移动的位数确定n 的值即可． 【详解】解：421.1万＝4211000＝64.21110⨯．故选：B ．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是正确确定a 的值以及n 的值．6．C【分析】由矩形的性质得出OA OD OC ==，由已知条件得出OE CE =，由线段垂直平分线的性质得出OD CD =，即可求出BD 的长． 【详解】解：3AE CE =，4AC CE ∴=，四边形ABCD 是矩形，122OA OC AC CE ∴===，12OD BD =，AC BD =，6cm CD AB ==， 2OA OD OC CE ∴===，OE CE ∴=DE AC ⊥，6cm OD CD ∴==，212cm BD OD ，故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，证明OD CD =是解决问题的关键．7．D【分析】根据俯视图中正方形的个数作出判断即可．【详解】解：A 、B 、C 三个选项中俯视图都是由3个小正方形组成，D 选项俯视图中有4个小正方形组成，因此俯视图面积最大的是D 选项中的图形，故D 正确．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了几何体的俯视图，解题的关键是分别判断出四个选项俯视图中正方形的个数．8．A【分析】把原方程按按照所给条件换元，整理即可．【详解】解：设21x y x =-， 222131x x x x-+=-可化为123y y +=， ∠2213y y +=，∠22310y y -+=，故选：A ．【点睛】本题考查换元法解方程，解题的关键是熟练掌握换元法．9．D【分析】先将22a b ab a b +--进行因式分解，然后整体代入求值即可．【详解】解：∠3,7a b ab +=-=，∠22a b ab a b +--()()ab a b a b =+-+()(1)a b ab =+-(3)(71)=-⨯-18=-．故选：D ．【点睛】本题主要考查了代数式求值以及因式分解的应用，解决本题关键是正确完成分解因式．10．A【分析】首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出312∠∠∠、、的度数是多少，进而求出312∠+∠-∠的度数即可． 【详解】解：正三角形的每个内角是：180360︒÷=︒，正方形的每个内角是：360490︒÷=︒，正五边形的每个内角是：()521805-⨯︒÷31805=⨯︒÷5405=︒÷108=︒，正六边形的每个内角是：()621806-⨯︒÷41806=⨯︒÷7206=︒÷120=︒，则()()()312906012010810890∠+∠-∠=︒-︒+︒-︒-︒-︒301218=︒+︒-︒24=︒．故选：A ．【点睛】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n 边形的内角和()()2?1803n n =-≥且n 为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n 边形取n 个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．11．C【分析】连接,OB OA ，根据题意可得AOB EOF ∠=∠，45OAB OBH ∠=∠=︒，从而得到AOE BOF ∠=∠，进而得到AE BF =；再证得AOG BOH △≌△，可得OGH 是等腰直角三角形，从而得到2GH OG =，再由在点E 运动过程中，OG 的长度在发生变化，可得GH 的长度会改变；分别求出EOF S 扇形，OGBH S 四边形，再由阴影部分的面积和为24OGBH EOF S S π-=-四边形扇形，即可．【详解】解：如图，连接,OB OA ，∠正方形ABCD 内接于O ，∠90AOB ∠=︒，45OAB OBH ∠=∠=︒，∠90EOF ∠=︒，∠AOB EOF ∠=∠，∠AOE BOF ∠=∠，∠AE BF =，即AE 与BF 之间的数量关系不变；∠45OAB OBH ∠=∠=︒，OA OB =，AOE BOF ∠=∠，∠AOG BOH △≌△，∠OG OH =，∠OGH 是等腰直角三角形，∠222GH OG OH OG +=，而在点E 运动过程中，OG 的长度在发生变化，∠GH 的长度会改变；根据题意得4AB =， ∠22OA OB OE AB ==== ∠(29022360EOF S ππ⨯==扇形，∠AOG BOH △≌△，∠AOG BOH S S =，∠112222422BOG BOH BOG AOG AOB OGBH S S S S S S OA OB =+=+==⋅=⨯四边形， ∠图中阴影部分的面积和为24OGBH EOF S S π-=-四边形扇形，不变；综上所述，关系会发生变化的是乙．故选：C【点睛】本题主要考查了圆的综合题，正方形的性质，熟练掌握圆周角定理，扇形面积公式，根据题意得到AOG BOH △≌△是解题的关键．12．B【分析】根据定理证明的一般步骤进行分析判断即可解答．【详解】解：∠证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形，∠A 的说法不正确，不符合题意；B 的说法正确，符合题意；C 、∠定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明，∠C 的说法不正确，不符合题意；D 、∠定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次数的多少无关，∠D 的说法不正确，不符合题意，综上，B 的说法正确，故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质的证明以及定理的证明的一般步骤，依据定理证明的一般步骤分析解答是解题的关键．13．C【分析】根据题意可知：王师傅用角尺平分一个角时使得：OM ON =，PM PN =，OP OP =，故王师傅的依据为：SSS ；学生小顾用三角尺平分一个角时使得：OM ON =，90OMP ONP ∠=∠=︒，且OP OP =，故学生小顾的依据为：HL ；即可得到结果【详解】∠王师傅用角尺平分一个角，在AOB ∠两边上分别取OM ON =，使角尺两边相同刻度分别与M ，N 重合，角尺顶点为P ；∠OM ON =，PM PN =，OP OP =，∠()SSS OMP ONP ≌△△，故王师傅的依据为：SSS ；∠学生小顾用三角尺平分一个角，在AOB ∠两边上分别取OM ON =，分别过M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ，∠OM ON =，90OMP ONP ∠=∠=︒，且OP OP =，∠()HL OMP ONP △≌△，故学生小顾的依据为：HL ；故答案为：C【点睛】本题考查了全等三角形的判定和角平分线的概念，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键14．D【分析】根据题意，可以选取合适的统计量，从而可以解答本题．【详解】解：∠有9名学生参加比赛，一名学生想知道自己能否进入前5名，∠这名学生要知道这组数据的中位数，故选：D ．【点睛】本题考查统计量的选择，解题的关键是明确题意，选取合适的统计量．15．A【分析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB ，PB ．首先用t 表示出点Q 的坐标，发现点Q 在直线y =2上运动，求出PB 的值，再根据PQ +PD =PQ +QB ≥PB ，可得结论．【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB ，PB ．∠四边形ABDC 是矩形，∠AC =BD =4cm ，AB =CD =3cm ，∠C （-3，0），B （0，4），∠∠CDB =90°，∠BC 222234CD CB +=+（cm ），∠EH ∠CD ，∠△BEH ∠∠BCD ，∠BE EH BH BC CD BD==，∠0.5534t EH BH==，∠EH=0.3t，BH=0.4t，∠E（-0.3t，4-0.4t），∠F（0，0.4t），∠QE=QF，∠Q（-320t，2），∠点Q在直线y=2上运动，∠B，D关于直线y=2对称，∠QD=QB，∠QP+QD=QB+QP，∠QP+QB≥PB，PB2224+5，∠QP+QD5∠QP+QD的最小值为5故选：A．【点睛】本题考查轴对称最短问题，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是构建平面直角坐标系，发现点Q在直线y=2上运动．16．C【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．【详解】A、设反比例函数的解析式为kyx =，把(1,200)代入得，k＝200，∠反比例函数的解析式为：200yx =，当x＝4时，y＝50，∠4月份的利润为50万元，正确意；B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，正确；C、当y＝100时，则200 100x=，解得：x ＝2，则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，不正确．D 、设一次函数解析式为：y ＝kx ＋b ，则4506110k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：3070k b =⎧⎨=-⎩， 故一次函数解析式为：y ＝30x −70，故y ＝200时，200＝30x −70，解得：x ＝9， 则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，正确．故选：C ．【点睛】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键． 17．10【分析】依题意，确定圆心位置，利用垂径定理构造直角三角形，求解即可．【详解】如图：确定圆心O ，依题意：OC AB ⊥122AC AB ∴== 在直角OCA 中：222222640OA AC OC =+=+=210OA =故答案为210OA =【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的综合运用，关键是根据题意建立圆的模型，利用垂径定理确定线段长度，从而求解．1815【分析】以F 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，设DF 交GE 于M ，过G 作GN BC ⊥于N ，过E 作EP BC ⊥于P ，延长GE 交x 轴Y 于H ，设BF CF m AF n ===，，用相似三角形性质可求出113113,,,,,224444G m n E m n D m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而可得直线DF 解析式为3n y x m =，直线GE 解析式为255n y x n m =-+，即可求出()3,,2,088m n M H m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据四块图形恰好能拼成如图（2）的矩形，得222FM MH FH +=，即()22222332028888m n m n m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简整理有15n =，在Rt ABF 中，15tan AF n B BF m ===． 【详解】解：AB AC =，A ∴在BC 的垂直平分线上，点G F ，分别为AB BC ，的中点， AG BG BF CF ∴==，，22AG AD EC ==，1144AD EC AC AB ∴===， 以F 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，设DF 交GE 于M ，过G 作GN BC ⊥于N ，过E 作EP BC ⊥于P ，延长GE 交x 轴Y 于H ，如图：设BF CF m AF n ===，，GN BC AF BC ⊥⊥，，90AFB GNB ∴∠=∠=︒，又ABF GBN ∠=∠，ABF GBN ∴∽，GN BN BG AF BF AB∴==，即12GN BN n m ==， 1122GN n BN m ∴==，， 12NF m ∴=， 1122G m n ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，， 同理CEP CAF ∽，14PE CP CE n m AC ∴===， 1144PE n CP m ∴==，， 34PF m ∴=， 3144E m n ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，， 同法可得1344D m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 设直线DF 解析式为1y k x =，把1344D m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入得：11344mk n =， 解得：13n k m=， ∠直线DF 解析式为3n y x m =， 设直线GE 解析式为22y k x b =+，把1131,,,2244G m n E m n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入得： 222211223144mk b n mk b n ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：22525n k m b n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∠直线GE 解析式为255n y x n m =-+， 联立得3255n y x m n y x n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得：838m x n y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，388m n M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，， 在255n y x n m =-+中，令0y =得2x m =， ()2,0H m ∴，四块图形恰好能拼成如图（2）的矩形，90FMH ∴∠=︒， 222FM MH FH ∴+=，()0,0F ，()22222332028888m n m n m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简整理可得2253n m =， 00m n >>，，15n ∴=， 在Rt ABF 中，15tan AF n B BF m === 15 【点睛】本题考查锐角三角函数，矩形的性质，解题的关键是读懂题意，建立直角坐标系，求出M 的坐标．19． 作图见解析，1O 和3O （答案不唯一） 作图见解析，13O O 与24O O 的交点O 和5O （答案不唯一）【分析】利用中心对称图形进行分析，对于图①，过13,O O 的直线即可满足题意；对于图②过13O O 和24O O 的交点O 和5O 的直线即可满足题意．【详解】解：图①既是轴对称图形，也是中心对称图形，则只需过它的对称中心任意画一条直线即可，如图所示：∴如过13,O O 的一条直线（答案不唯一），故答案为：1O 和3O ；图②它不是中心对称图形，图①中，直线过图形的对称中心即可；一个圆时，只要过圆心即可，则画一条过13O O 和24O O 的交点O 和5O 的直线即可，如图所示：故答案为：13O O 与24O O 的交点O 和5O ．【点睛】本题考查利用对称性质作图，借助图形，准确分析图形的对称特征是解决问题的关键． 20．(1)6410⨯(2)22(1)n -(3)正确，理由见解析【分析】1（）根据题意可得，()()22121A B n n n +=++=+，把1999n =代入计算应用科学记数法表示方法进行计算即可得出答案；2（）把21A n =+，2B n =，代入22A B -中，可得()()22212n n +-，应用完全平方公式及因式分解的方法进行计算即可得出答案；3（）先计算()()2222221B C n n +=+-，计算可得()221n +，应用勾股定理的逆定理即可得出答案．【详解】（1）解：()()22121A B n n n +=++=+， 当1999n =时，原式()219991=+22000=6410=⨯； 故答案为：6410⨯；（2）()()2222212A B n n -=+- ()2222214n n n =++- ()22221n n =-+ 22(1)n =-；（3）嘉淇的发现正确，理由如下：()()2222221B C n n +=+-()2222421n n n =+-+ ()221n =+，222B C A ∴+=，∴当n 取正整数时，整式A 、B 、C 满足一组勾股数．【点睛】本题主要考查了勾股定理及逆定理，科学记数法，熟练掌握勾股定理及逆定理，科学记数法的计算方法进行求解是解决本题的关键．21．(1)是(2)18(3)12或14(4)12【分析】（1）根据“和谐数”的定义，即可求解；（2）根据“和谐数”的定义，即可求解；（3）根据()222817x m n x x ++=-+，可得22228217x n m x m x x +=+++-，从而得到41m n =-⎧⎨=±⎩，再代入，即可求解；（4）根据992280x y xy +--=，可得()2928xy x y =+-，再代入把原式变形为()2241x y +-+，即可求解．【详解】（1）解：∠22143131=+++，∠14是“和谐数”；故答案为：是（2）解：∠22183232=+++，∠18是“和谐数”；故答案为：18（3）解：∠()222817x m n x x ++=-+，∠22228217x n m x m x x +=+++-， ∠222817m m n =-⎧⎨+=⎩，解得：41m n =-⎧⎨=±⎩， ∠当1n =时，()()2222414114m n m n +++=-++-+=，当1n =-时，()()()()2222414112m n m n +++=-+-+-+-=，综上所述，“和谐数”22m n m n +++的值为12或14；（4）解：∠992280x y xy +--=，∠()2928xy x y =+-，∠22x y x y +++2222y xy x y x y x =-++++ ()22x y x y xy -=+++()()2928y x x y x y -++=+++()()2828x y x y =+-++，()2241x y +-+=∠()204x y +-≥，∠()212124x y -≥++，即2212x y x y +++≥，∠22x y x y +++的最小值为12．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，理解“和谐数”的定义是解题的关键．22．(1)13； (2)①300张；条形图见解析；②小明；【分析】（1）根据概率公式解答即可；（2）①利用小红的票数和票数所占百分比求出总票数，便可得到小亮的票数；进而补全条形图；②根据答辩分数占50%，笔试分数占40%，投票分数占10%，分别计算三人的加权平均得分；分数最高的即为冠军．（1）解：∠三人抽到第一个答辩的概率相等，∠小红抽到第一个答辩的概率为13． （2）解：①由小红的得票数和百分比可得：总票数=102÷0.34=300（张）；小亮的票数=300-102-108=90（张）；∠完整条形图为：②由答辩、笔试和网络投票三项得分按5∠4∠1的比例确定每人的总成绩，可得：小红得分=92×0.5+85×0.4+102×0.1=90.2（分）；小明得分=89×0.5+88×0.4+108×0.1=90.5（分）；小亮得分=90×0.5+89×0.4+90×0.1=89.6（分）；小明分数最高，故：小明是冠军．【点睛】本题考查了概率公式，条形统计图和扇形统计图的联系，利用加权平均数作决策；掌握加权平均数的计算方法是解题关键．23．(1)①()()02? 12，②， (2)413D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或()01D ， (3)713t ≤≤或1133t -≤≤- 【分析】（1）根据旋转的性质，即可求解；（2）①当点D 在第一象限时，点D 关于点C 的“垂链点”在x 轴上，CD x ⊥轴，即可求解；②当点D 在第二象限时，证明DHC COD '≌即可求解；（3）分点N 落在正方形右边一条边上、上边一条边上两种情况，分别求解即可．【详解】（1）点A 的坐标为()00，，即点A 是原点，根据旋转性质得：①点()02Q ，②点()12P ，， 故答案为()02，，()12， （2）①当点D 在第一象限时，点D 关于点C 的“垂链点”在x 轴上，CD x ∴⊥轴，故点413D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，； ②当点D 在第二象限时，如下图，设点1m 13D m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，点D (0，n ），点D 的“垂链点”D 在y 轴上，过点D 作DH x ⊥轴于点H ，9090DCH HDC OCD DCH ∠∠∠+=︒+∠'=︒，，HDC OCD ∠∠∴='，90DHC COD ∠∠︒'==，DC D C '=,DHC COD '≌，则DH OC =，即1113m +=，解得：0m =， 故点()01D ，， 综上，点413D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或()01D ， （3）图形G 所在的直线表达式为：22y x =-，设点()22M m m -，，其中01m ≤≤， 当N 落在正方形的右边的一条边上，①当T 在x 轴上方时，如下图：分别过M 、N 作y 轴的垂线交于点H '、G '，同理可证：NG T TH ''≌M ，TH NG '='，即()223t m --=，21t m =+，而01m ≤≤，且3N y ≤，则713t ≤≤； ②当T 在x 轴下方时，当3t =-时，点M 关于点T 的“垂链点”恰好为N 在正方形的边上，故3t =-；当点T 在3t =-下方时，且3N x ≥-，同理可得：3m t =--，解得：3t 且0t >，不符合题意舍去；当N 点落在正方形的上面的一条边上时，同理可得：3t m =-，而01m ≤≤，且3N y ≤，解得：1133t -≤≤-， 综上，t 的取值范围是：713t ≤≤或1133t -≤≤-． 【点睛】本题考查一次函数综合运用，正方形的性质，图形的旋转，解不等式等，这种新定义类的题目，通常按照题设顺序逐次求解，解题时注意分类讨论，避免遗漏．24．(1)支撑杆CD 的高度为9cm ．(2)手机的宽度为8cm ．【分析】（1）如图，连结OA ，由题意可得：O 的直径为10，6,AB = 由,OD AB ⊥ 先求解,OD 从而可得答案；（2）如图，记圆心为O ，连结OA ，证明,AE CD BF AB 设,AD BD x ==则2,AE CD BF AB x 则25,OD x 再利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】（1）解：如图，连结OA ，由题意可得：O 的直径为10，6,AB =5,OA,CD AB ⊥ 即,OD AB ⊥ 3,AD BD ∴==22534,OD9.CD OC OD所以此时支撑杆CD 的高度为9cm ．（2）解：如图，记圆心为O ，连结OA ，由题意可得：,90,AB AE E EAB ABF∠四边形AEFB 为正方形，,CD EF,AE CD BFAB ,CD AB ⊥∴ 设,AD BD x ==则2,AE CD BF AB x5,OA OC25,OD x由勾股定理可得：2225=25,x x 解得120,4,x x ==经检验0x =不符合题意，舍去，取4,x = 8AB =（cm ），即手机的宽度为8cm ．【点睛】本题考查的是正方形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，建立方程解题是关键．25．(1)①34a =-；②6个 (2)当3142a -<-时，“区域G ”内有4个整数点； (3)12a =或32a =【分析】（1）①将点(13)，代入223y ax ax a =--，求出a 的值即可；。
河北省中考数学总复习 动点问题专题(无答案)
河北中考复习之动点问题1、如图6所示，一艘轮船以20里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40里/时的速度由南向北移动，距台风中心2010里的圆形区域（包括边界）都属台风区．当轮船到A 处时，测得台风中心移到位于点A 正南方向B 处，且AB = 100里．（1）若这艘轮船自A 处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由；（2）现轮船自A 处立即提高船速，向位于东偏北300方向，相距60里的D 港驶去．为使台风到来之前，到达D 港，问船速至少应提高多少（提高的船速取整数，1336≈.）？2、如图10，在菱形ABCD 中，AB ＝10，∠BAD ＝60°．点M 从点A 以每秒1个单位长的速度沿着AD 边向点D 移动；设点移动的时间为t 秒(100≤≤t ).(1) N 点为BC 边上任意一点.在点M 移动过程中，线段MN 是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分，并说明理由；(2) N 点从点B (与点M 出发的时刻相同)以每秒2个单位长的速度沿着BC 边向点C 移动，在什么时刻，梯形ABNM 的面积最大?并求出面积的最大值；(3) 点N 从点B (与点M 出发的时刻相同)以每秒)2(≥a a 个单位长的速度沿着射线BC 方向（可以超越C 点）移动，过点M 作MP ∥AB ，交BC 于点P .当MPN ∆≌ABC ∆时，设分的面积为S ，求出用t 表示S 的关系式，并求当0=S 时a 的值．3、如图12，在矩形ABCD 中，AB =12厘米，BC =6厘米．点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2厘米/秒的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1厘米/秒的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t (秒)表示移动的时间(0≤t ≤6),那么：（1） 当t 为何值时，QAP ∆为等腰直角三角形？（2） 求四边形QAPC 的面积；提出一个与计算结果有关的结论； （3） 当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与ABC ∆相似？图10图124、如图12，已知A 为∠POQ 的边OQ 上一点，以A 为顶点的∠MAN 的两边分别交射线OP 于M 、N 两点，且∠MAN ＝∠POQ ＝α（α为锐角）．当∠MAN 以点A 为旋转中心，AM 边从与AO 重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MAN 保持不变）时， M 、N 两点在射线OP 上同时以不同的速度向右平行移动．设OM ＝x ，ON ＝y （y ＞x ≥0），△AOM 的面积为S ．若cos α、OA 是方程2z 2－5 z ＋2＝0的两个根． （1）当∠MAN 旋转30°（即∠OAM ＝30°）时，求点N 移动的距离； （2）求证：MN ON AN ⋅=2；（3）求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围；（4）试写出S 随x 变化的函数关系式，并确定S 的取值范围．5、已知：如图12，等边三角形ABC 的边长为6，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AD =AE =2．若点F 从点B 开始以每秒1个单位长的速度沿射线BC 方向运动，设点F 运动的时间为t 秒．当t ＞0时，直线FD 与过点A 且平行于BC 的直线相交于点G ，GE 的延长线与BC 的延长线相交于点H ，AB 与GH 相交于点O ． （1）设△EGA 的面积为S ，写出S 与t 的函数关系式； （2）当t 为何值时，AB ⊥GH ； （3）请你证明△GFH 的面积为定值；（4）当t 为何值时，点F 和点C 是线段BH 的三等分点．6、如图12，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°，BC =16，DC =12，AD =21．动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动．设运动时间为t （秒）． （1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；（2）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？ （3）当线段PQ 与线段AB 相交于点O ，且2AO =OB 时，求∠BQP 的正切值；（4）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．P ON M A 图12Q 图12 A B CD P Q 图127、如图10所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ．建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N．小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮．（1）请你在图10中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）；（2）已知：MN=20 m，MD=8 m，PN=24 m，求（1）中的点C到胜利街口的距离CM．P图108、如图13，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由．图139、如图16，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC ？（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．图10、如图15，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =50，AC =30，D ，E ，F 分别是AC ，AB ，BC 的中点．点P 从点D 出发沿折线DE -EF -FC -CD 以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK ⊥AB ，交折线BC -CA 于点G ．点P ，Q 同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P ，Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）D ，F 两点间的距离是 ；（2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能，说明理由； （3）当点P 运动到折线EF -FC 上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值； （4）连结PG ，当PG ∥AB 时，请直接．．写出t 的值．12、如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值． 13、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=6，BC=8，AB ＝33，点M 是BC 的中点．点P 从点M 出发沿MB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，到达点B 后立刻以原速度沿BM 返回；点Q 从点M 出发以每秒1个单位长的速度在射线MC 上匀速运动．在点P ，Q 的运动过程中，以PQ 为边作等边三角形EPQ ，使它与梯形ABCD 在射线BC 的同侧．点P ，Q 同时出发，当点P 返回到点M 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P ，Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）设PQ 的长为y ，在点P 从点M 向点B 运动的过程中，写出y 与t 之间的函数关系式（不必写t 的取值范围）；（2）当BP=1时，求△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积；（3）随着时间t 的变化，线段AD 会有一部分被△EPQ 覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t 的取值范围；若不能，请说明理由．B DE K P Q CA 图15 F GACB PQED图1614、如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P 从点A 出发，沿折线AD-DC-CB 以每秒1个单位长的速度运动到点B 停止．设运动时间为t 秒，y=S △EPF ，则y 与t 的函数图象大致是（ ）15、如图151-和图152-，在ABC △中，51314cos .13AB BC ABC ===，，∠ 探究在如图151-，AH BC ⊥于点H ，则AH =_______，AC =_______， ABC △的面积ABC S △=___________． 拓展如图152-，点D 在AC 上（可与点A C ，重合），分别过点A C ，作直线BD 的垂线，垂足为E F ，.设.BD x AE m CF n ===，，（当点D 与点A 重合时，我们认为ABC S △=0.（1）用含x m ，或n 的代数式表示ABD S △及CBD S △；（2）求()m n +与x 的函数关系式，并求()m n +的最大值和最小值．（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围. 发现请你确定一条直线，使得A B C ，，三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值.A ．B ．C ．D ．16、一透明的敞口正方体容器ABCD-A ′B ′C ′D ′装有一些液体，棱AB 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE=α，如图1所示）．探究 如图1，液面刚好过棱CD ，并与棱BB ′交于点Q ，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示．解决问题：（1）CQ 与BE 的位置关系是 ，BQ 的长是 dm ；（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V 液=底面积S △BCQ ×高AB ） （3）求α的度数．（注：sin49°=cos41°=43，tan37°=34）拓展：在图1的基础上，以棱AB 为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图3或图4是其正面示意图．若液面与棱C ′C 或CB 交于点P ，设PC=x ，BQ=y ．分别就图3和图4求y 与x 的函数关系式，并写出相应的α的范围．延伸：在图4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图5，隔板高NM=1dm ，BM=CM ，NM ⊥BC ．继续向右缓慢旋转，当α=60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4dm 3．17、某景区内的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图1和图2．现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽略不计），两车速度均为200米/分．探究：设行驶吋间为t分．（1）当0≤t≤8时，分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A的路程y1，y2（米）与t（分）的函数关系式，并求出当两车相距的路程是400米时t的值；（2）t为何值时，1号车第三次恰好经过景点C？并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数．发现：如图2，游客甲在BC上的一点K（不与点B，C重合）处候车，准备乘车到出口A，设CK=x米．情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车．比较哪种情况用时较多？（含候车时间）决策：己知游客乙在DA上从D向出口A走去．步行的速度是50米/分．当行进到DA上一点P （不与点D，A 重合）时，刚好与2号车迎面相遇．（1）他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由：（2）设PA=s（0＜s＜800）米．若他想尽快到达出口A，根据s的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中．他该如何选择？。
2023河北中考数学考点总结
2023河北中考数学考点总结数量的学习起于数，一开始为熟悉的自然数及整数与被描述在算术内的有理数和无理数。
由于计数的需要，人类从现实事物中抽象出了自然数，它是数学中一切“数”的起点。
今天小编在这给大家整理了一些河北中考数学考点总结，我们一起来看看吧!河北中考数学考点总结知识点一、平面直角坐标系1，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向;两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用(a，b)表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当时，(a，b)和(b，a)是两个不同点的坐标。
知识点二、不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限点P(x,y)在第二象限点P(x,y)在第三象限点P(x,y)在第四象限2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上，x为任意实数点P(x,y)在y轴上，y为任意实数点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为(0，0)3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：(1)点P(x,y)到x轴的距离等于(2)点P(x,y)到y轴的距离等于(3)点P(x,y)到原点的距离等于中考数学考点总结1.二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到.当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k 个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x 的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大.若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小.4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁|当△=0.图象与x轴只有一个交点;当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，x 为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0.5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a 时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.6.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax^2+bx+c(a≠0).(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0).中考数学考点直角三角形的判定方法：判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
河北省中考数学总复习 第一编 教材知识梳理篇 第2章 方程(组)与不等式(组)第2节 一元二次方程及
第二节一元二次方程及应用年份题号考查点考查内容分值总分201719 一元二次方程的解法综合题，在新定义的背景下用直接开平方法解一元二次方程37 26(2)一元二次方程及根的判别式利用题中已知条件列出方程，并用判别式判断根的情况4201614一元二次方程根的判别式利用已知条件判断含字母系数的一元二次方程的根的情况2 2201512一元二次方程根的判别式考一元二次方程无实数根求参数的取值X围2 2201421 解一元二次方程(1)从推导一元二次方程的求根公式的步骤中找错误，并写出正确的求根公式；(2)用配方法解一元二次方程10 102013年未考查命题规律纵观某某近五年中考，2014、2015、2016、2017年考查了一元二次方程，分值2～10分，涉及的题型有选择、填空、解答，题目难度一般，其中一元二次方程的配方法在选择和解答题中各考查了1次，一元二次方程的应用在选择、填空中各考过1次，一元二次方程根的判别式考查了3次，属基础题.某某五年中考真题及模拟一元二次方程的解法1．(2014某某中考)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式时，对于b 2－4ac>0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0变形为： x 2＋b a x ＝－c a，第一步x 2＋b a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＝－c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2，第二步⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2，第三步 x ＋b 2a ＝b 2－4ac 4a (b 2－4ac ＞0)，第四步 x ＝－b ＋b 2－4ac 2a.第五步(1)嘉淇的解法从第__四__步开始出现错误；事实上，当b 2－4ac>0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式为__x ＝－b ±b 2－4ac2a__．(2)用配方法解方程：x 2－2x －24＝0. 解：x 1＝6，x 2＝－4.2．(2017某某中考模拟)在解方程(x ＋2)(x －2)＝5时，甲同学说：由于5＝1×5，可令x ＋2＝1，x －2＝5，得方程的根x 1＝－1，x 2＝7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x 2－9＝0，再分解因式，即(x ＋3)(x －3)＝0，得方程的根x 1＝－3，x 2＝3.对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是(A )A ．甲错误，乙正确B ．甲正确，乙错误C ．甲、乙都正确D ．甲、乙都错误3．(2016某某二十八中一模)现定义运算“★”，对于任意实数a ，b ，都有a★b＝a 2－3a ＋b ，如3★5＝32－3×3＋5，若x★2＝6，则实数x 的值是(B )A ．－4或－1B ．4或－1C ．4或－2D ．－4或2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系4．(2015某某中考)若关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，则a 的取值X 围是(B )A ．a<1B ．a>1C ．a ≤1D ．a ≥15．(2016某某中考)a ，b ，c 为常数，且(a －c)2>a 2＋c 2，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是(B )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．有一根为06．(2016某某十三中三模)已知关于x 的方程2x 2－mx －6＝0的一个根是2，则m ＝__1__，另一个根为__－32__．7．(2017某某二模)对于实数a ，b ，定义新运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a≥b），ab －b 2（a ＜b ），例如：4*2，因为4>2，所以4*2＝42－4×2＝8.(1)求(－5)*(－3)的值；(2)若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，求x 1*x 2的值． 解：(1)∵－5<－3，∴(－5)*(－3)＝(－5)×(－3)－(－3)2＝6； (2)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2或3； ①2*3＝2×3－9＝－3；②3*2＝32－2×3＝3.一元二次方程的应用8．(2016某某25中模拟)某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为(D )A ．48(1－x)2＝36B ．48(1＋x)2＝36C ．36(1－x)2＝48D ．36(1＋x)2＝489．(2016某某十八县重点中学一模)为落实“两免一补”政策，某市2014年投入教育经费2 500万元，预计2016年要投入教育经费3 600万元．已知2014年至2016年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2015年该市要投入的教育经费为__3__000__万元．10．(2017某某中考)某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产，，每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x(件)成反比．经市场调研发现，月需求量x 与月份n(n 为整数，1≤n ≤12)符合关系式x ＝2n 2－2kn ＋9(k ＋3)(k 为常数)，且得到了表中的数据．月份n(月) 1 2 成本y(万元/件) 11 12 需求量x(件/月)120100(1)求y 与x 满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；(2)求k ，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；(3)在这一年12个月中，若第m 个月和第(m ＋1)个月的利润相差最大，求m. 解：(1)由题意，设y ＝a ＋bx ，由表中数据得⎩⎪⎨⎪⎧11＝a ＋b120，12＝a ＋b100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝600，∴y ＝6＋600x，由题意，若12＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋600x ，则600x ＝0，∵x ＞0， ∴600x＞0， ∴不可能；(2)将n ＝1，x ＝120代入x ＝2n 2－2kn ＋9(k ＋3)，得120＝2－2k ＋9k ＋27， 解得k ＝13， ∴x ＝2n 2－26n ＋144，将n ＝2，x ＝100代入x ＝2n 2－26n ＋144也符合， ∴k ＝13；由题意，得18＝6＋600x ，解得x ＝50，∴50＝2n 2－26n ＋144，即n 2－13n ＋47＝0， ∵Δ＝(－13)2－4×1×47＜0，∴方程无实数根， ∴不存在；(3)设第m 个月的利润为W ，W ＝x(18－y)＝18x －x ⎝⎛⎭⎪⎫6＋600x＝12(x －50) ＝24(m 2－13m ＋47)，∴第(m ＋1)个月的利润为W′＝24[(m ＋1)2－13(m ＋1)＋47]＝24(m 2－11m ＋35)， 若W≥W′，W －W′＝48(6－m)，m 取最小值1时，W －W′取得最大值240；若W ＜W′，W ′－W ＝48(m －6)，由m ＋1≤12知m 取最大值11时，W ′－W 取得最大值240； ∴m ＝1或11.,中考考点清单一元二次方程的概念1．只含有__1__个未知数，未知数的最高次数是__2__，像这样的__整式__方程叫一元二次方程．其一般形式是__ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)__．【易错警示】判断一个方程是一元二次方程的条件：①是整式方程；②二次项系数不为零；③未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数．一元二次方程的解法2.直接开 平方法 这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程. 配方法配方法一般适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方程左边化为含有未知数的__完全平方__式，右边是一个非负常数．公式法求根公式为__x ＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac≥0)__，适用于所有的一元二次方程.因式分 解法因式分解法的步骤：(1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解为一次因式的乘积；(3)令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.【温馨提示】关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的解法： (1)当b ＝0，c ≠0时，x 2＝－c a ，考虑用直接开平方法解；(2)当c ＝0，b ≠0时，用因式分解法解； (3)当a ＝1，b 为偶数时，用配方法解简便．一元二次方程根的判别式3．根的判别式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的情况可由__b 2－4ac__来判定，我们将__b 2－4ac__称为根的判别式．4．判别式与根的关系：(1)b 2－4ac>0⇔方程有__两个不相等__的实数根； (2)b 2－4ac<0⇔方程没有实数根；(3)b 2－4ac ＝0⇔方程有__两个相等__的实数根．【易错警示】(1)一元二次方程有实数根的前提是b 2－4ac≥0；(2)当a ，c 异号时，Δ>0.一元二次方程的应用5．列一元二次方程解应用题的步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验；(6)做结论． 6．一元二次方程应用问题常见的等量关系： (1)增长率中的等量关系：增长率＝增量÷基础量；(2)利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；(3)利润中的等量关系：毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用， 利润率＝利润÷进货价．,中考重难点突破一元二次方程的解法【例1】(2016某某十七中二月调研)解下列方程：(1)(x －2)2＝12；(2)x 2－4x ＋1＝0；(3)x 2－3x ＋1＝0；(4)x 2＝2x.【解析】(1)可以用直接开平方法解；(2)因为b ＝－4是偶数，可以用配方法解；(3)因为b ＝－3是奇数，配方法解较复杂，可用公式法；(4)直接因式分解．【答案】解：(1)直接开平方，得x －2＝±22，即x 1＝2＋22，x 2＝2－22； (2)配方，得(x －2)2＝3，直接开平方，得x －2＝±3，即x 1＝2＋3，x 2＝2－3； (3)∵a＝1，b ＝－3，c ＝1，∴Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×1＝5>0，∴x ＝－（－3）±52×1，即x 1＝3＋52，x 2＝3－52； (4)分解因式，1＝2，x 2＝0.1．方程(x －3)(x ＋1)＝0的解是(C )A ．x ＝3B ．x ＝－1C ．x 1＝3，x 2＝－1D ．x 1＝－3，x 2＝12．(2016某某路北一模)用配方法解一元二次方程x 2＋4x －5＝0，此方程可变形为(A )A ．(x ＋2)2＝9B ．(x －2)2＝9C ．(x ＋2)2＝1D ．(x －2)2＝13．用公式法解方程： (1)(某某中考)x 2－3x ＋2＝0； 解：x 1＝1，x 2＝2；(2)(某某中考)x 2－1＝2(x ＋1)．解：x 1＝－1，x 2＝3.一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【例2】(2017某某中考)若关于x 的不等式x －a 2＜1的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0根的情况是(A )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定【解析】解不等式x －a 2＜1得x ＜1＋a 2，而不等式x －a 2＜1的解集为x ＜1，所以1＋a2＝1，解得a ＝0，又因为Δ＝a 2－4＝－4，所以关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根．故选C .【答案】C4．(2016某某丰润二模)方程x 2－x ＋3＝0根的情况是(D )A ．只有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根5．(2016某某博野模拟)已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值X 围是(C )A ．a>2B ．a<2C ．a<2且a≠1D ．a<－26．(2017某某中考)已知a ，b ，c 为常数，点P(a ，c)在第二象限，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况是(B )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断一元二次方程的应用【例3】(2017达州中考)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，，设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为________万元；，求可变成本平均每年增长的百分率．【解析】(1)根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6(1＋x)万元，则第三年的可变成本为2.6(1＋x)2万元；(2)根据养殖成本＝固定成本＋可变成本建立方程即可．【答案】(1)2.6(1＋x)2；(2)由题意，得4＋2.6(1＋x)2＝7.146.解得x1，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.【例4】有一人患了流感，经过两轮传染后共有256人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染(A)A．17人B．16人C．15人D．10人【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人；患流感的人把病毒传染给别人，自己也包括在总数中，第二轮作为传染源的是(x＋1)人，每人传染x个人，则传染x(x＋1)人．两轮后得流感的总人数为：一开始的1人＋第一轮传染的x个人＋第二轮传染的x(x＋1)人，列方程：1＋x＋x(1＋x)＝256，解得x1＝15，x2，所以x＝－17不合题意，应舍去；取x＝15，故选C.【答案】C【例5】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，正常销售情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？【解析】设降价x元，则每件盈利(50－x)元，数量增多2x件，再由单件利润×数量＝2 100即可．【答案】解：设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品盈利(50－x)元．由题意，得(50－x)(30＋2x)＝2 100.整理，得x2－35x＋300＝0.解得x1＝15，x2＝20.∵要尽快减少库存，∴x＝15不合题意，舍去，只取x＝20.答：每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元．【例6】(2017某某中考)如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60 m，宽为40 m的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的甬道，设甬道宽为a m.(1)用含a的式子表示花圃的面积；(2)如果甬道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时甬道的宽．【解析】(1)用含a 的式子先表示出花圃的长和宽，再利用矩形面积公式列出式子即可；(2)甬道所占面积等于大长方形空地面积减去中间小花圃的面积，再根据甬道所占面积是整个长方形空地面积的38，列出方程进行计算即可．【答案】解：(1)(60－2a)(40－2a)； (2)由题意，得60×40－(60－2a)(40－2a)＝38×60×40，解得a 1＝5，a 2＝45(舍去)． 答：此时甬道的宽为5 m .7．，2016年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x ，则可以列出方程为(A )A (1＋x)2＝4B ．(2.5＋x%)2＝4C (1＋x)(1＋2x)＝4D (1＋x%)2＝48．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了 1 m ，另一边减少了2 m ，剩余空地的面积为18 m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为x m ，则可列方程为(C )A ．(x ＋1)(x ＋2)＝18B ．x 2－3x ＋16＝0C ．(x －1)(x －2)＝18D ．x 2＋3x ＋16＝09．(2017原创)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，问每轮传染中平均一个人传染__7__word个人．如果不及时控制，第三轮又将有__448__人被传染．10．为了绿化校园环境，学校向某园林公司购买了一批树苗．园林公司规定；如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8 800元，那么该校共购买了多少棵树苗？解：设该校共买了x棵树苗．120×60＝7 200(元)．∵7 200＜8 800，∴购买树苗超过60棵；x[120－0.5(x－60)]＝8 800，x1＝220，x2＝80，当x＝220时，120－0.5×(220－60)＝40＜100，∴x＝220舍去．∴x＝80.答：该校共购买了80棵树苗．11 / 11。
河北省中考数学一轮复习专题4——二次根式
河北省中考数学一轮复习专题 4——二次根式姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 13 题；共 52 分)1. （4 分） (2021 八下·乐清期末) 下列各式中，能与 合并的是（ ）A.B.C.D. 2. （4 分） (2020 八下·八步期末) 下列根式是最简二次根式的是（ ）A.B.C.D.3. （4 分） (2017 八下·通辽期末) 化简： A.8 B . ﹣8 C . ﹣4 D.4=（ ）4. （4 分） 若|x+2|+ =0，则 xy 的值为（ ） A . －8 B . －6 C.5 D.6 5. （4 分） 在实数范围内，下列各式一定不成立的有（ ）① A . 1个 B . 2个 C . 3个；②；③；④．第 1 页 共 18 页D . 4个6. （4 分） (2019 八下·谢家集期末) 下列二次根式中，化简后能与 合并的是A.B.C.D. 7. （4 分） (2020 九下·重庆月考) 已知二次函数 y＝﹣x2+（a﹣2）x+3，当 x＞2 时，y 随 x 的增大而减小， 并且关于 x 的方程 ax2﹣2x+1＝0 无实数解.那么符合条件的所有整数 a 的和是（ ） A . 120 B . 20 C.0 D . 无法确定 8. （4 分） (2019 九上·官渡期末) 二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a≠0）中的 x 与 y 的部分对 应值如下表给出了以下结论： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12 …①二次函数 y＝ax2+bx+c 有最小值，最小值为﹣3；②当﹣ ＜x＜2 时，y＜0；③二次函数 y＝ax2+bx+c 的 图象与 x 轴有两个交点，且它们分别在 y 轴的两侧；④当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小．则其中正确结论有（ ）A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个 9. （4 分） 下列计算错误的是（ ）A. + =B. · =C.D. 10. （4 分） 下列说法中正确的是（ A . 实数-a2 是负数）第 2 页 共 18 页B . ＝|a| C . |-a|一定是正数 D . 实数-a 的绝对值是 a11. （4 分） (2020 八上·浙江月考) 如图，在平面直角坐标系中， 平行于 轴，点 坐标为，在 点的左侧，，若 点在第二象限，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D.12. （4 分） (2017 八下·湖州期中) 若代数式有意义，则实数 x 的取值范围是（ ）A . x≥﹣1B . x≥﹣1 且 x≠3C . x＞﹣1D . x＞﹣1 且 x≠313. （4 分） (2019 八上·罗湖期中) 下列各式的计算中，正确的是（ ）A.B.C.D.二、 填空题 (共 8 题；共 32 分)14. （4 分） (2020 八上·松江期末) 计算：________．15. （4 分） 当 a=2，b=﹣8，c=5 时，代数式的值为________．第 3 页 共 18 页16. （4 分） (2020 八上·遵化月考) 当 a=________时，最简二次根式 17. （4 分） 若|x﹣3|+|y+2|=0，则|x|+|y|= ________和可以合并．18. （4 分） (2019 八下·沙雅期中) 已知 a、b、c 是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是________.19. （4 分） (2020 七上·呼和浩特月考) 关于 的一元二次方程的一个根为 0，则 ________． 20. （4 分） (2020 八下·长兴期末) 如图，以正方形 ABCD 的一边 AD 为边向外作等边△ADE，则∠BED 的度数是________。
2021年河北省中考数学专题复习课件 第四章 三角形 命题点 8 直角三角形的性质与判定
考向 1 直角三角形
6. (2020石家庄模拟)如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，
四边形ABCD的周长记为c，若a－1＜c＜a(a为正整数)，则a的值为( C )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
考向 1 直角三角形
7. 将两个直角三角形纸片按如图所示方式叠放在一起，若AB＝8，则阴影部分 的面积等于( A )
第四章 三角形
命题点8 直角三角形的性质与判定
(必考)
考向 1 直角三角形
1. 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是. ∠A－∠B＝∠C
C. ∠A ∶∠B ∶∠C＝1 ∶2 ∶3
D. ∠A＝∠B＝3∠C
2. 直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边上的高为h，则下列各式总能成立
(1)若AB＝2，BF＝4，则AF＝ 2 3 ； (2)若ED＝4，则BC＝___2__2__3___．
3
考向 2 等腰直角三角形
13. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠ADC＝60°，则∠BAD的度 数是( B)
A. 10°
B. 15°
C. 30°
D. 45°
考向 2 等腰直角三角形
考向 1 直角三角形
11. (2020沧州期末)如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD， BD⊥CD，∠ADB＝∠C＝60°.若P为BC边上一动点，则DP的最小值为__3__； 若点P为BC边的中点，则DP长为_2__3_．
2022年冀教版九年级数学中考复习几何最值问题压轴题专题突破训练
2022年春冀教版九年级数学中考复习《几何最值问题压轴题》专题突破训练（附答案）1．如图，在边长为6cm的等边△ABC中，点D从A出发沿A→B的方向以1cm/s 的速度运动，点E从B出发沿B→C的方向以2cm/s的速度运动，D，E两点同时出发，当点E到达点C时，D，E两点停止运动，以DE为边作等边△DEF（D，E，F按逆时针顺序排列），点N为线段AB上一动点，点M为线段BC的中点，连MF，NF，当MF+NF取得最小值时，线段BN的长度为（）A．5cm B．4.5cm C．4cm D．3cm2．如图，△ABC是等边三角形，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当D点运动时，若AF的最小值为2+2，那么等边三角形△ABC的边长为（）A．10 B．8 C．6 D．43．如图，边长为9的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M 运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．3 B．C．D．4．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点O是AC的中点，点D在射线BO上，连结OE，EC，若AB＝8，则OE的最小值为（）A．2 B．2C．D．25．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转，使旋转角等于∠DAC，且DG⊥PG，即∠DPG＝∠DAC．连接CG，则CG最小值为（）A．B．C．D．6．如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为4，P为OB上一动点，则AP+OP的最小值为（）A．4 B．5 C．2D．37．如图，菱形ABCD的边长为2，∠B＝60°，E为BC边的中点，F为AB边上一动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（）A．B．1 C．D．8．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．9．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D为BC边上的中点，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE＝BC，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D 旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为．10．如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，E是AB中点，点G在直线BC上运动．将线段EG绕点E顺时针旋转90°，得线段EH，则线段AH的最小值为．11．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），△AOB为等边三角形，P是x轴上的一个动点，以线段AP为一边，在其右侧作等边三角形APQ，点P的运动过程中，OQ的最小值为．12．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点P为边AB上的一动点，联结PC，以PC为边向下作等边三角形PCQ，联结BQ，则BQ的最小值为．13．如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC上一点，且BE＝2.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG 的最小值为．14．如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，等边三角形DEF的顶点D，E，F分别在直角三角形的三边上，则EF长的最小值是．15．如图，在三角形△ABC中，∠A＝45°，AB＝8，CD为AB边上的高，CD ＝6，点P为边BC上的一动点，P1，P2分别为点P关于直线AB，AC的对称点，连接P1P2，则线段P1P2长度的取值范围是．16．如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC＝50，tan A＝3，BD为高．M，N分别是BD，CD上的动点，若DN﹣AD＝2DM，E是AB的中点，连接EM，MN，则EM+MN的最小值为．17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝6，在线段AB上有一点M，且BM＝2，在线段AC上有一动点N，连接MN，BN，将△BMN沿BN 翻折得到△BM′N，连接AM′，CM′，则2CM′+AM′的最小值为．18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则AD+BD的最小值是．19．如图，已知AC＝6，BC＝8，AB＝10，以点C为圆心，4为半径作圆．点D 是⊙C上的一个动点，连接AD、BD，则AD+BD的最小值为．20．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是边CD上一点，EF⊥AE交BC于点F，则CF长的取值范围是．21．如图，在等边△ABC和等边△DEF中，FD在直线AC上，BC＝3DE＝3，连接BD，BE，则BD+BE的最小值是．22．如图，已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝5，AB＝BC＝6，M 为AB边上一个动点，连接CM，以BM为直径的圆交CM于Q，点P为AB 上的另一个动点，连接DP、PQ，则DP+PQ的最小值为．23．如图，已知边长为的等边△ABC，平面内存在点P，则P A+PB+PC的取值范围为．24．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝4，AB＝8，点D在△ABC内，连接DA、DB、DC，则DC+DB+AD的最小值是．25．如图，在正方形ABCD中，点M，N在CB，CD上运动，且∠MAN＝45°，在MN上截取一点G，满足BM＝GM，连接AG，取AM，AN的中点F，E，连接GF，GE，令AM，AN交BD于H，I两点，若AB＝4，当GF+GE的取值最小时，则HI的长度为．26．如图，△ABC中，AB＝4，∠ACB＝75°，∠ABC＝45°，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则EF 的最小值为．27．在△AOB中，∠ABO＝90°，AB＝3，BO＝4，点C在OB上，且BC＝1，（1）如图1，以O为圆心，OC长为半径作半圆，点P为半圆上的动点，连接PB，作DB⊥PB，使点D落在直线OB的上方，且满足DB：PB＝3：4，连接AD①请说明△ADB∽△OPB；②如图2，当点P所在的位置使得AD∥OB时，连接OD，求OD的长；③点P在运动过程中，OD的长是否有最大值？若有，求出OD长的最大值：若没有，请说明理由．（2）如图3，若点P在以O为圆心，OC长为半径的圆上运动．连接P A，点P在运动过程中，P A﹣是否有最大值？若有，直接写出最大值；若没有，请说明理由．28．如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B，则P A是点P 到⊙O上的点的最短距离．（1）如图2，在⊙O上取一点C（不与点A、B重合），连PC、OC．求证：P A＜PC．（2）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．（3）如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′B长度的最小值．（4）①如图5，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH的最小值是．②如图6，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于．29．如图，在等边△ABC中，点D在AC边上，点E为BD延长线上一点，连接CE，过点C作CF∥BD交AE延长线于点F．（1）如图1，若∠BAF＝90°，tan∠AEB＝，AB＝8，求EF的长；（2）如图2，若∠CBE＝45°，点F在CE的垂直平分线上，点G在BC边上，连接AG交BE于点H，且∠BHG＝60°，求证：AG+AE+ED＝AB；（3）如图3，若∠CBE＝45°，tan∠BCE＝3，BC＝4，点K、M、N分别是△BCE三边上的动点，当△KMN周长取得最小值时，取线段BK的中点I，点T为平面内一点，且∠ETI＝45°，连接BT、CT，请直接写出的最大值．30．问题提出：（1）如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点A、B重合），连接DE，过点A作AF⊥DE，交BC于点F，则DE与AF的数量关系是：DE AF；问题探究：（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E、F分别在边AB、CD 上，点M为线段EF上一动点，过点M作EF的垂线分别交边AD、BC于点G、点H．若线段EF恰好平分矩形ABCD的面积，且DF＝1，求GH的长；问题解决：（3）如图③，在正方形ABCD中，M为AD上一点，且，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝4，求ME+2AF的最小值．参考答案1．解：如图，过点E作EH⊥AB于H，连接FC．由题可得：∠BEH＝30°，BD＝1×t＝t（cm），CE＝2（t﹣3）＝（2t﹣6）（cm），∴BE＝6﹣（2t﹣6）＝（12﹣2t）（cm），BH＝BE•cos B＝BE＝（6﹣t）（cm），∴DH＝t﹣（6﹣t）＝（2t﹣6）（cm），∴DH＝EC．∵△DEF是等边三角形，∴DE＝EF，∠DEF＝60°．∵∠HDE+∠HED＝90°，∠HED+∠FEC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴∠HDE＝∠FEC．在△DHE和△ECF中，，∴△DHE≌△ECF（SAS），∴∠DHE＝∠ECF＝90°，∴F点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段，作点M关于CF的对称点K，连接FK，过点K作KJ⊥AB于J，∵FM+FM＝FK+FN≥KJ，∴当点N与J重合，点F在KJ上时，FM+FN的值最小，此时BK＝BC+CK ＝6+3＝9（cm），∵∠KJB＝90°，∠B＝60°，∴BJ＝BK•cos60°＝9×＝4.5（cm），当MF+NF取得最小值时，线段BN的长度为4.5cm．故选：B．2．解：如图，连接BE，延长AC至N，使EN＝BE，连接FN，∵△ABC是等边三角形，E是AC的中点，∴AE＝EC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE⊥AC，∴∠BEN＝∠DEF＝90°，BE＝AE，∴∠BED＝∠CEF，在△BDE和△NFE中，，∴△BDE≌△NFE（SAS），∴∠N＝∠CBE＝30°，∴点N在与AN成30°的直线上运动，∴当AF'⊥F'N时，AF'有最小值，∴AF'＝AN，∴2+2＝（AE+AE），∴AE＝4，∴AC＝8，故选：B．3．解：如图，取BC的中点，连接MG，∵线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，∴∠MBH+∠HBN＝60°，又∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，即∠MBH+∠MBC＝60°，∴∠HBN＝∠GBM，∵CH是等边三角形的高，∴BH＝AB，∴BH＝BG，又∵BM旋转到BN，∴BM＝BN，在△MBG和△NBH中，，∴△MBG≌△NBH（SAS），∴MG＝NH，根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，此时∠BCH＝×60°＝30°，∴CG＝BC＝×9＝，∴MG＝CG＝，∴HN＝．∴线段HN长度的最小值是．故选：B．4．解：∵△ABC的等边三角形，点O是AC的中点，∴OC＝AC，∠ABD＝30°，∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝30°＝∠ABD，当OE⊥EC时，OE的长度最小，∵∠OEC＝90°，∠ACE＝30°，∴OE最小值＝OC＝AB＝2，故选：A．5．解：如图，作DH⊥AC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于E，∵DG⊥PG，DH⊥AC，∴∠DGP＝∠DHA，∵∠DPG＝∠DAH，∴△ADH∽△PDG，∴，∠ADH＝∠PDG，∴∠ADP＝∠HDG，∴△ADP∽△DHG，∴∠DHG＝∠DAP＝定值，∴点G在射线HF上运动，∴当CG⊥HF时，CG的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADH+∠HDF＝90°，∵∠DAH+∠ADH＝90°，∴∠HDF＝∠DAH＝∠DHF，∴FD＝FH，∵∠FCH+∠CDH＝90°，∠FHC+∠FHD＝90°，∴∠FHC＝∠FCH，∴FH＝FC＝DF＝1，在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝2，由勾股定理得AC＝2，DH＝，∴CH＝＝，∴EH＝，∵∠CFG＝∠HFE，∠CGF＝∠HEF＝90°，CF＝HF，∴△CGF≌△HEF（AAS），∴CG＝HE＝，∴CG的最小值为，故选：C．6．解：如图，过点A作AH⊥OC于点H，过点P作PF⊥OC于点F，连接AC 交OB于点J．∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB，∴OJ＝JB＝2，CJ＝＝＝，∴AC＝2CJ＝2，∵AH⊥OC，∴OC•AH＝•OB•AC，∴AH＝×＝4，∴sin∠POF＝＝＝，∴PF＝OP，∴AP+OP＝AP+PF，∵AP+PF≥AH，∴AP+OP≥4，∴AP+OP的最小值为4，故选：A．7．解：如图1，记AB与CD的中点分别为点M、N，连接MN、EM，则MN∥BC，∵点E是BC的中点，四边形ABCD是菱形，∴BM＝BE，∵∠B＝60°，∴△BME为等边三角形，∴∠BEM＝60°，∵△EFG是等边三角形，∴EF＝EG，∠FEG＝60°，∴∠BEM+∠MEF＝∠FEG+∠MEF，即∠BEF＝∠MEG，∴△BEF≌△MEG（SAS），∴∠B＝∠GME＝60°，∴∠BEM＝∠GME＝60°，∴GM∥BC，∵MN∥BC，∴点G在MN上运动，∴CG⊥MN时，CG的值最小，如图2所示，∵菱形ABCD的边长为2，CD＝2，∴CN＝1，∵∠BCD＝120°，∠GCB＝90°，∴∠GCN＝30°，在Rt△GCN中，CG＝CN•cos∠GCN＝1×＝．故选：C．8．解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，∵在Rt△AHD中，∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，∴DE＝1，∴DE＝CD，∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠DCE＝30°，∴CE＝2×CD＝．故答案为：．9．解：连接AD，∵△ABC是边长为2的等边三角形，点D为BC边上的中点，∴BD＝CD＝＝1，AD⊥BC，在Rt△ABD中，AD＝＝，当点E在DA延长线上时，AE＝DE﹣AD．此时AE取最小值，在Rt△ADG中，AG＝＝＝，故答案为：．10．解：将△AHE绕点E顺时针旋转90°得到△DGE，过D作直线BC垂线交CB延长线于F，过E作EK⊥CB于K，作EM⊥DF于M，在△ABC是等边三角形中，AB＝6，E是BA的中点，由旋转性质可得，AE＝DE＝3，AH＝DG，∠DEB＝90°，∵G是直线CB上一动点，∴当点G运动时，DG的最小值是DF，∵∠EKF＝∠KFM＝∠FME＝90°，∴四边形EKFM为矩形，∴EK＝MF，ME∥FK，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠KEB＝30°，∠BEM＝60°，即∠DEM＝30°，∴KB＝BE＝，DM＝DE＝，∴EK＝＝，∴DF＝DM+MF＝+．故答案为：+．11．解：∵△APQ、△AOB均为等边三角形，∴AP＝AQ、AO＝AB、∠P AQ＝∠OAB，∴∠P AO＝∠QAB；在△APO与△AQB中，，∴△APO≌△AQB（SAS）．∴∠ABQ＝∠AOP＝90°，∴OQ的最小值为OQ垂直直线BQ时，如图，延长BQ交y轴于点C，∵AB＝AO＝2，∴AC＝4，∴OQ＝（AC﹣AO）＝1．故答案为1．12．解：如图，以BC为边在正方形ABCD内部作等边三角形BCE，连接PE，过点E作EF⊥AB于F，∵△PCQ和△BCE是等边三角形，∴PC＝QC，BC＝CE＝BE＝4，∠ECB＝∠PCQ＝∠EBC＝60°，∴∠PCE＝∠BCQ，∠ABE＝30°，∵EF⊥AB，∴EF＝BE＝2，在△PEC和△QBC中，，∴△PEC≌△QBC（SAS），∴BQ＝PE，∴当PE有最小值时，BQ有最小值，∴当点P与点F重合时，PE有最小值为2，即BQ有最小值为2，故答案为：2．13．解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，过点C作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，过点E作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝2.5+＝，故答案为：．14．解：由题意知，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，∴∠B＝60°，延长BC至G，连接FG使∠G＝∠B＝60°，∵△DEF为等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°，∴∠BDE+∠FDG＝120°，∵∠B＝60°，∴∠BDE+∠BED＝120°，∴∠FDG＝∠BED，在△GFD和△BED中，，∴△GFD≌△BED（AAS），∴BD＝GF，设CG＝x，∵Rt△CFG中，∠G＝60°，∴∠CFG＝30°，∴GF＝2x，FC＝x，∴BD＝2x，CD＝1﹣2x，在Rt△DCF中，由勾股定理得，DC2+CF2＝DF2，∴DF＝EF＝＝，∵0≤2x≤1，即0≤x≤，∴当x＝时，EF＝，最小值∴EF的最小值为，故答案为：．15．解：如图，连接AP1，AP，AP2，作AH⊥BC于H．∵P1，P2分别为点P关于直线AB，AC的对称点，∴AP＝AP1＝AP2，∠P AB＝∠BAP1，∠P AC＝∠CAP2，∵∠BAC＝45°，∴∠P1AP2是等腰直角三角形，∴P1P2＝AP2＝P A．∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∠DAC＝∠DCA＝45°，∴AD＝DC＝6，∴AC＝6＞AB，∵AB＝8，∴BD＝2，BC＝＝＝2，∵S＝•BC•AH＝•AB•CD，△ABC∴AH＝＝，∵≤P A≤6，∴≤P1P2≤12．故答案为≤P1P2≤12．16．解：如图在线段DC上取一点F使得DF＝AD，在DF的下方以DF为斜边构造直角△DFG，使得FG＝2DG．连接GN，MG，过点E作EK⊥AC于K，过点G作GP⊥EK交EK的延长线于P，GJ⊥AC于J．∵BD⊥AC，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∵tan A＝＝3，∴可以设AD＝x，BD＝3x，则CD＝50﹣x，在Rt△BDC中，BC2＝BD2+CD2，∴502＝（3x）2+（50﹣x）2，解得x＝10，∴AD＝10，BD＝30，CD＝40，∵DN﹣AD＝DN﹣DF＝FN＝2DM，∴＝＝2，∵∠MDG＝90°+∠GDF，∠GFN＝90°+∠GDF，∴∠MDG＝∠GFN，∴△GFN∽△GDM，∴＝＝，∠FGN＝∠DGM，∴∠DGF＝∠MGN＝90°，GN＝2MG，∴MG＝MN，在Rt△DFG中，∠DGF＝90°，DF＝10，FG＝2DG，∴DG＝2，GF＝4，∵GJ⊥DF，∴GJ＝＝4，DJ＝＝＝2，∵AE＝EB，EK∥BD，∴AK＝DK＝5，∴EK＝BD＝15，KJ＝KD+DJ＝7，∵四边形PGJK是矩形，∴PG＝KJ＝7，PK＝GJ＝4，∴PE＝EK+PK＝19，∴EG＝＝＝，∵EM+MN＝（EM+MN）＝（EM+MG），∵EM+MG≥EG，∴EM+MN≥5．∴EM+MN的最小值为5．故答案为：5．17．解：如图，在BA上取一点T，使得BT＝，连接TM′，TC．∵BM′＝BM＝2，BT＝，BA＝6，∴M′B2＝BT•BA，∴＝，∵∠ABM′＝∠M′BT，∴△BAM′∽△BM′T，∴＝＝，∴TM′＝AM′，∵2CM′+AM′＝2（CM′+AM′）＝2（CM′+TM′），∵CM′+TM′≥CT，CT＝＝＝，∴2CM′+AM′≥，∴2CM′+AM′的最小值为．故答案为．18．解：在CA上截取CM，使得CM＝4，连接DM，BM．∵CD＝6，CM＝4，CA＝9，∴CD2＝CM•CA，∴＝，∵∠DCM＝∠ACD，∴△DCM∽△ACD，∴＝＝，∴DM＝AD，∴AD+BD＝DM+BD，∵DM+BD≥BM，在Rt△CBM中，∵∠MCB＝90°，CM＝4，BC＝12，∴BM＝＝4，∴AD+BD≥4，∴AD+BD的最小值为4．故答案为4．19．解：如图，在CB上取一点E，使CE＝2，连接CD、DE、AE．∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，所以AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵CD＝4，∴＝＝，∴△CED∼△CDB，∴＝＝，∴ED＝BD，∴AD+BD＝AD+ED≥AE，当且仅当E、D、A三点共线时，AD+BD取得最小值AE＝＝2．20．解：如图所示：∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，又∵∠AED+∠AEF+∠CEF＝180°，∴∠AED+∠CEF＝90°，又∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°，又∵∠AED+∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠CEF，∴△ADE∽△ECF，∴，又∵AB＝4，AD＝6，AB＝EC+ED，∴，解得：CF＝＝，又∵0≤CE≤4，∴，故答案为．21．解：如图，延长CB到T，使得BT＝DE，连接DT，作点B关于直线AC的对称点W，连接TW，DW，过点W作WK⊥BC交BC的延长线于K．∵△ABC，△DEF都是等边三角形，BC＝3DE＝3，∴BC＝AB＝3，DE＝1，∠ACB＝∠EDF＝60°，∴DE∥TC，∵DE＝BT＝1，∴四边形DEBT是平行四边形，∴BE＝DT，∴BD+BE＝BD+DT，∵B，W关于直线AC对称，∴CB＝CW＝3，∠ACW＝∠ACB＝60°，DB＝DW，∴∠WCK＝60°，∵WK⊥CK，∴∠K＝90°，∠CWK＝30°，∴CK＝CW＝，WK＝CK＝，∴TK＝1+3+＝，∴TW＝＝＝，∴DB+BE＝DB+DT＝DW+DT≥TW，∴BD+BE≥，∴BD+BE的最小值为．故答案为．22．解：如图，连接BQ，取BC的中点T，连接TQ．∵BM是直径，∴∠BQM＝∠BQC＝90°，∵BT＝CT＝3，∴QT＝BC＝3，∴当P，Q，T共线时，PQ的长最小，要使得PQ+PD的值最小，只要PT+PD的值最小即可，作点T关于直线AB的对称点T′，连接DT′交AB于P′，连接P′T交⊙T 于Q′，此时P′T+P′D的值最小，最小值＝DT′的长，过点D作DH⊥BC于H，则四边形ABHD是矩形，∴DH＝AB＝6，AD＝BH＝5，∴HT′＝3+5＝8，∴DT′＝＝＝10，∴P′D+P′T的最小值为10，∴P′D+P′Q′的最小值＝10﹣3＝7，故答案为7．23．解：如图，将△BPC绕点B顺时针旋转120°，得△BP′C′，连接PP′，过点B作BD⊥PP′于点D，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝BC′＝，∴AC′＝AB+BC′＝2，∵∠CBC′＝∠PBP′＝120°，∴∠ABC′＝∠ABC+∠CBC′＝180°，∴点A，B，C′在同一条直线上，∵BP＝BP′，∠PBP′＝120°，BD⊥PP′，∴∠BPP′＝∠BP′P＝30°，∴PD＝PB，∴PP′＝2PD＝PB，∴P A+PP′+PC＝P A+PB+PC＞AC′，因为等边三角形的边长为，∴P A+PB+PC的取值范围为大于等于2，故答案为：大于等于2．24．解：如图，将△ADB绕点A顺时针旋转120°得到△AEF，连接DE，CF，过点F作FH⊥CA交CA的延长线于H．∵AD＝AE，∠DAE＝120°，BD＝EF，∴DE＝AD，∴DC+DB+DA＝DC+DE+EF，∵CD+DE+EF≥CF，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝30°，∴AB＝AB•cos30°＝4，在Rt△AFH中，∠H＝90°，AF＝AB＝8，∠F AH＝30°，∴FH＝AF＝4，AH＝FH＝4，∴CH＝AC+AH＝8，∴CF＝＝＝4，∴CD+DB+AD≥4，∴CF的最小值为4．故答案为：．25．解：如图1中，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABJ，则AN＝AJ，∠DAN＝∠BAJ，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAJ＝∠MAB+∠BAJ＝∠MAB+∠DAN＝45°，∴∠MAJ＝∠MAN，∵AM＝AM，AJ＝AN，∴△AMJ≌△AMN（SAS），∴∠AMB＝∠AMN，∵MA＝MA，MB＝MG，∴△MAB≌△MAG（SAS），∴AB＝AG＝4，∠ABM＝∠AGM＝90°，∵AF＝FM，AE＝EN，∴FG＝AM，EG＝AN，∴GF+GE＝（AM+AN），下面证明当AM＝AN时，AM+AN的值最小，如图2中，过点A在直线l∥MN，作点N关于直线l的对称点N′，连接AN′，MN′．∵N，N′关于直线对称，∴AN＝AN′，∴AM+AN＝AN′+AM，∴当A，M，N′共线时，AM+AN的值最小，此时∵AN＝AN′，∴∠ANN′＝∠AN′N，∵MN∥直线l，NN′⊥直线l，∴NN′⊥MN，∴∠MNN′＝90°，∴∠AMN+∠AN′N＝90°，∠ANM+∠ANN′＝90°，∴∠AMN＝∠ANM，∴AN＝AM，∴当AM＝AN时，AM+AN的值最小，如图1中，当AM＝AN时，可知BH＝DI，过点H作HP⊥AB于P，在AP上截取一点K，使得AK＝KH，连接KH，设PH＝PB＝x，∵∠BAM＝∠DAN＝22.5°，KA＝KH，∴∠KAH＝∠KHA＝22.5°，∴∠PKH＝∠KAH+∠KHA＝45°，∴PK＝PB＝PH＝x．AK＝KH＝x，∵AB＝4，∴2x+x＝4，∴x＝4﹣2，∴BH＝DI＝PB＝4﹣4，∵BD＝4，∴HI＝4﹣2（4﹣4）＝8﹣4，故答案为8﹣4．26．解：连接OE、OF，过O点作OM⊥EF，如图，则EM＝FM，∵∠ACB＝75°，∠ABC＝45°，∴∠BAC＝60°，∴∠EOF＝2∠EAF＝120°，∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE＝30°，∴OM＝OE，∴EM＝OM＝OE，∴EF＝OE，当OE的值最小时，EF的值最小，∵D是线段BC上的一个动点，AD为直径，∴当AD垂直BC时，AD的值最小，过A点作AH⊥BC于H，∵∠ABH＝45°，∴AH＝AB＝×4＝2，即AD的最小值为2，∴OE的最小值为，∴EF的最小值为×＝．故答案为：．27．解：（1）①∵DB⊥PB，∠ABO＝90°，∴∠ADB＝∠CDP，又∵AB＝3，BO＝4，DB：PB＝3：4，即：，∴△ADB∽△OPB；②如解图（2），过D点作DH⊥BO交OB延长线于H点，∵AD∥OB，∠ABD＝90°，∴∠DAB＝90°，又∵△ADB∽△OPB，∴，∴AD＝，∵四边形ADHB为矩形，∴HD＝AB＝3，HB＝AD＝，∴OH＝OB+HB＝在Rt△DHO中，OD＝＝＝．③在△AOB中，∠ABO＝90°，AB＝3，BO＝4，∴OA＝5．由②得AD＝，∴D在以A为圆心AD为半径的圆上运动，∴OD的最大值为OD过A点时最大，即OD的最大值为＝OA+AD＝5+＝．（2）如解图（4），在OC上取点B′，使OB′＝OP＝，∵∠BOP＝∠POB′，＝，∴△BOP∽△POB′，∴，∴＝P A﹣PB′≤AB'，∴有最大值为AB′，在Rt△ABB′中，AB＝3，BB′＝＝，∴AB′＝＝＝，即：点P在运动过程中，P A﹣有最大值为，28．（1）证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不为点A、B），连接PC、OC．∵PO＜PC+OC，PO＝P A+OA，OA＝OC，∴P A＜PC．（2）解：连接AO与⊙O相交于点P，如图3，由已知定理可知，此时AP最短，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，BC为直径，∴PO＝CO＝1，∴AO＝＝，∴AP＝﹣1，故答案为：﹣1；（3）解：如图4，由折叠知A′M＝AM，又M是AD的中点，可得MA＝MA′＝MD，故点A′在以AD为直径的圆上，由模型可知，当点A′在BM上时，A′B长度取得最小值，∵边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，∵MA＝MA′＝MD，则BM⊥AM，∴BM＝＝，故A′B的最小值为：﹣1；（4）①解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH＝AO＝AB＝1，在Rt△AOD中，OD＝＝，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，DH最小值＝OD﹣OH＝﹣1．故答案为：﹣1；②解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图6，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（﹣2，3），∴点A′坐标（﹣2，﹣3），∵点B（3，4），∴A′B＝＝，∴MN＝A′B﹣BN﹣AM＝﹣2﹣1＝﹣3，∴PM+PN的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．29．解：（1）如图1，∵∠BAF＝90°，tan∠AEB＝，AB＝8，∴AE＝＝6，作CG⊥AF于G，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝8，∠CAB＝60°，∴∠CAG＝30°，∴CG＝AC＝4，AG＝AC•cos∠CAG＝4，在Rt△CGF中，∠CFG＝∠AEB，∴FG＝＝3，∴EF＝AF﹣AE＝AG+FG﹣AE＝4+3﹣6＝4﹣3；（2）如图2，证明：作CP⊥CB交BE的延长线于P，作CM⊥BE于M，CN⊥EF于N，∴∠CNE＝∠CME＝90°，∵点F在CE的垂直平分线上，∴FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC，∵CF∥BE，∴∠FCE＝∠CEB，∴∠CEF＝∠CEB，∵CE＝CE，∴△CNE≌△CME（AAS），∴CN＝CM，EN＝EM，∴∠BCP＝90°，∵∠CBE＝45°，∴∠CPB＝45°，∴CP＝CB，PB＝CB＝AB，∵AC＝CB，∴CP＝AC，∴△PCM≌△ACN（HL），∴AN＝PM，∴AN﹣EN＝PM﹣EM，∴PE＝AE，∵∠BHG＝60°，∠BHG＝∠ABD+∠BAH，∴∠ABD+∠BAH＝60°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAH+∠CAG＝60°，∴∠ABD＝∠CAG，∵∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝AB，∴△ACG≌△BAD（ASA），∴BD＝AG，∵PE+DE+BD＝PB，∴AE+DE+AG＝AB；（3）如图3，∵△KMN周长取得最小值，∴BK⊥CE，∵tan∠BCE＝3，BC＝4，∴sin∠BCE＝，cos∠BCE＝，∴CK＝4•cos∠BCE＝，BK＝，∵I是BK的中点，∴KI＝＝，作EP⊥BC于P，∵tan∠BCE＝＝3，∴设EP＝3k，CP＝k，∵∠CBE＝45°，∴BP＝CP＝3k，∵CB+BP＝BC∴k+3k＝4，∴k＝1，∴CP＝1，EP＝3，∴CE＝，∴EK＝CE﹣CK＝﹣＝，∴EK＝KI，∴△KEI是等腰直角三角形，以K为圆心，EK长为半径作⊙K，∵∠ETJ＝45°，∴T在⊙K上运动，取KI的中点O，∴＝＝，∵∠KTO＝∠BKT，∴△TKO∽△BKT，∴＝＝，∴OT＝BT，∵OT﹣CT≤CK，∴当O、C、T（图中T′）共线时，OT﹣CT最大＝OC，∵OK＝KI＝，CK＝，，∴OC＝＝，∴最大值是，∵BT﹣2CT＝2•（），∴BT﹣2CT最大值是，∴最大值＝＝．30．解：（1）如图1，DE＝AF，理由如下：在正方形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠BAF+∠AFB＝90°，∵AF⊥DE，∴∠AOE＝90°，∴∠BAF+∠AED＝90°，∴∠AFB＝∠AED，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴DE＝AF，故答案是“＝”；（2）如图2，连接AC，交EF于O，∵线段EF恰好平分矩形ABCD的面积，∴O是矩形的对称中心，∴BE＝DF＝1，作DI∥EF，AJ∥GH，∵四边形ABCD是矩形，∴DF∥IE，∴四边形DIEF是平行四边形，∴EI＝DF＝1，∴AI＝AB﹣BE﹣EI＝2，同理可得，AJ＝GH，∵EF⊥GH，∴DI⊥AJ，由（1）得，∠AID＝∠AJB，∴△ADI∽△BAJ，∴＝，∴＝，∴BJ＝，在Rt△ABJ中由勾股定理得，AJ＝＝＝，∴GH＝；（3）如图3，作EG⊥AD于G，∵，AD＝4，∴AM＝3，设DF＝a，则BE＝2a，∴GM＝AM﹣AG＝3﹣2a，在Rt△ADF中，AF＝＝，在Rt△EGM中，ME＝＝，∴ME+2AF＝+＝+ME+2AF最小值可以看作在平面直角坐标系中，点H（2a，0）到定点I（3，4），J（0，8）的距离之和最小，如图4，作J的对称点K，连接KI，则KI与x轴的交点是H点，此时ME最小，作IK⊥y轴于T，＝KI＝＝＝3．∴ME最小。
河北省九年级数学中考复习-平面直角坐标系专项复习
河北省2021年九年级数学中考复习-平面直角坐标系专项复习班级：姓名：成绩：1、已知点P(3-m，m-1)在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是( )A、 B、C、 D、2、在平面直角坐标系中，点P（﹣3，5）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3、将一组整数按如图所示的规律排列下去. 若有序数对（n ，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示的数为8，则（7, 4）表示的数是（）A. 32B.24C.25D. －254、如图，下列各点在阴影区域内的是( )A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）5、 如图，在直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（ 4 ， 3 ）， PQ ⊥ x 轴于 Q ， M ， N 分别为 OQ ， OP 上的动点，则 QN ＋ MN 的最小值为（ ）A ． 2527B ．524C ．512D ．2596 6、 如图，小手盖住的点的坐标可能为( )A ．（﹣4，﹣6）B ．（﹣6，3）C ．（5，2）D ．（3，﹣4）7、 如图，在直角梯形ABCD 中，若AD=5，点A 的坐标为（﹣2，7），则点D 的坐标为（ ）A ．（﹣2，2）B ．（﹣2，12）C ．（3，7）D ．（﹣7，7）8、 如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平 行。
从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用 A 1，A 2，A 3，A 4，…表示，则顶点A 55的坐标是 （ ）A． (13，13) B．(-13，-13) C．(14，14) D．(-14，-14)9、如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（－2，3），（－1，0），把它们的横坐标和纵坐标分别变成原来的2倍，得到点A′，B′，C′。
下列说法正确的是（）A．△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点（1，0）B．△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）C．△A′B′C′与△ABC是相似图形，但不是位似图形D．△A′B′C′与△ABC不是相似图形10、若，则点P（x，y）的位置是（）A．在数轴上 B．在去掉原点的横轴上C．在纵轴上 D．在去掉原点的纵轴上11、如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则对角线交点的坐标为( )A．(2,3) B．(3,2) C．(3,3) D．(3,3)12、点P不可能出现在（）A 、x轴上B 、y轴上 C、第三象限 D、第四象限13、将点A(2,-1)向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是（）A．(5,3) B．(-1,3) C．(-1,-5) D．(5,-5)14、如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_____．15、已知点与点关于轴对称，则，．16、在第二象限的点M，到x轴和y轴的距离分别是8和5，那么点M的坐标 .17、如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA=1，以点A1为直角顶点，OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2020的坐标是_____．18、在平面直角坐标系 xOy 中， A（-1 ， 0）， B（1 ， 0）， C（0 ， 1 ），点 D 为 x 轴正半轴上的一个动点，点 E 为第一象限内一点，且CE ⊥ CD ， CE=CD ．（1 ）试说明：∠ EBC＝∠ CAB ；（2 ）取 DE 的中点 F ，连接 OF ，试判断 OF 与 AC 的位置关系，并说明理由；（3 ）在（ 2 ）的条件下，试探索 O、D、F 三点能否构成等腰三角形，若能，请直接写出所有符合条件的点 D 的坐标；若不能，请说明理由．19、如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C．(1)请完成以下操作：①以点O为原点，垂直和水平方向为轴，网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD；(2)请在(1)的基础上，完成下列填空：⊙D的半径为__________；点（6，–2）在⊙D__________；（填“上”、“内”、“外”）∠ADC的度数为__________．20、如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．21、如图是一个被抹去x轴、y轴及原点O的网格图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的各顶点都在网格的格点上，若记点A的坐标为（﹣1，3），点C 的坐标为（1，﹣1）．（1）请在图中找出x轴、y轴及原点O的位置；（2）把△AB C向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，请你画出平移后的△A1B1C1，若△ABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P1的坐标是；（3）试求出△ABC的面积．22、如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB=3．（1）求点B的坐标，并画出△ABC；（2）求△ABC的面积；（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23、如图所示是某台阶的一部分，如果点A的坐标为（0，0），B点的坐标为（1，1），（1）请建立适当的直角坐标系，并写出C，D，E，F的坐标；（2）说明B，C，D，E，F的坐标与点A的坐标比较有什么变化？（3）如果该台阶有10级，你能得到该台阶的高度吗？24、已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C （2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是．。
2021年河北省中考复习数学《相似三角形》专题复习(人教版)(Word版附答案)
节相似三角形1．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（）A．增加了10% B．减少了10%C．增加了(1＋10%) D．没有改变2．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．图①乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．图②A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对3．如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）4．(2020·河北中考)在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是（ ）A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR5.在平面直角坐标系中，已知点A (－4，2)，B (－6，－4)，以原点O 为位似中心，相似比为12 ，把△ABO 缩小，则点B 的对应点B ′的坐标是（ ）A ．(－3，－2)B ．(－12，－8)C ．(－3，－2)或(3，2)D ．(－12，－8)或(12，8)6.如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝1.2，则DF 的长为（ ）A ．3.6B ．4.8C ．5D ．5.2 7.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE ∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A.ABAE＝AGAD B．DFCF＝DGADC．FGAC＝EGBD D．AEBE＝CFDF8.(2020·邯郸丛台区三模)如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DF＝2，求FC的长度．9．(2020·温州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q.若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（）A.14B．15C．83D．6510．(2020·黔东南中考)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为CD 的中点，连接AE，BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝．11.如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5).(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，并求出△A2B2C2的面积．12．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（）A.△ABC∽△A′B′C′B．点C，O，C′三点在同一直线上C．AO∶AA′＝1∶2D．AB∥A′B′13．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．(1)在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1(点A，B的对应点分别为A1，B1)，画出线段A1B1；(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；(3)以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是个平方单位．节相似三角形1．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比(D)A．增加了10% B．减少了10%C．增加了(1＋10%) D．没有改变2．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．图①乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．图②A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对3．如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)4．(2020·河北中考)在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是(A )A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR5.在平面直角坐标系中，已知点A (－4，2)，B (－6，－4)，以原点O 为位似中心，相似比为12 ，把△ABO 缩小，则点B 的对应点B ′的坐标是(C )A ．(－3，－2)B ．(－12，－8)C ．(－3，－2)或(3，2)D ．(－12，－8)或(12，8)6.如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝1.2，则DF 的长为(B )A ．3.6B ．4.8C ．5D ．5.2 7.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE ∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是(D)A.ABAE＝AGAD B．DFCF＝DGADC．FGAC＝EGBD D．AEBE＝CFDF8.(2020·邯郸丛台区三模)如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DF＝2，求FC的长度．【解答】(1)证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴ADAB＝AEAC＝13.又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；(2)解：∵△ADE∽△ABC，∴DEBC＝ADAB＝13，∠ADE＝∠ABC.∴DE∥BC.∴△DEF∽△CBF.∴DFCF＝DECB，即2CF＝13.∴FC＝6.9．(2020·温州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q.若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为(A)A.14B．15C．83D．6510．(2020·黔东南中考)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为CD的中点，连接AE，BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝4 3．11.如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5).(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，并求出△A2B2C2的面积．解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作的三角形；(2)如图，△A2B2C2即为所求作的三角形．分别过点A2，C2作y轴的平行线，过点B2作x轴的平行线．∵A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)，△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，∴A 2(－2，4)，B 2(4，2)，C 2(8，10).∴S △A 2B 2C 2＝（2＋8）×102－12 ×2×6－12 ×4×8＝28., 12．如图，以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′，以下说法中错误的是(C )A.△ABC ∽△A ′B ′C ′B ．点C ，O ，C ′三点在同一直线上 C ．AO ∶AA ′＝1∶2D ．AB ∥A ′B ′13．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O ，A ，B 均为网格线的交点．(1)在给定的网格中，以点O 为位似中心，将线段AB 放大为原来的2倍，得到线段A 1B 1(点A ，B 的对应点分别为A 1，B 1)，画出线段A 1B 1；(2)将线段A 1B 1绕点B 1逆时针旋转90°得到线段A 2B 1，画出线段A 2B 1； (3)以A ，A 1，B 1，A 2为顶点的四边形AA 1B 1A 2的面积是 个平方单位．解：(1)如图，线段A 1B 1即为所求； (2)如图，线段A 2B 1即为所求；(3)20.[由图可得，四边形AA 1B 1A 2为正方形， ∴四边形AA 1B 1A 2的面积是(22＋42 )2＝20.]。
河北省初三专项训练数学
河北省初三专项训练数学一、基础概念回顾在初三的数学学习中，基础概念的掌握是至关重要的。
以下是一些初三数学中常见的基础概念：1. 数与代数：包括有理数、无理数、实数、代数式、方程和不等式等。
2. 函数：一次函数、二次函数、反比例函数等。
3. 几何：包括平面几何和立体几何，如三角形、四边形、圆、多边形、圆柱、圆锥等。
4. 统计与概率：数据的收集、整理、描述和分析，以及概率的基本概念。
二、代数专项训练1. 代数式的化简：熟练掌握代数式的基本运算法则，如加减乘除、幂运算等。
2. 一元一次方程：解方程的基本步骤，包括移项、合并同类项、系数化为1等。
3. 一元二次方程：掌握因式分解法、配方法、公式法等解法。
4. 不等式的解法：包括一元一次不等式和一元二次不等式的解法。
三、几何专项训练1. 三角形的内角和定理：掌握三角形内角和为180度的定理，并能灵活运用。
2. 四边形的性质：包括平行四边形、梯形、矩形、菱形和正方形的性质。
3. 圆的性质：圆周角定理、切线的性质、圆的面积和周长等。
4. 立体几何：掌握圆柱、圆锥、球体的体积和表面积的计算方法。
四、函数专项训练1. 一次函数：掌握一次函数的图像和性质，包括斜率和截距的概念。
2. 二次函数：熟悉二次函数的图像，包括顶点、对称轴、开口方向等。
3. 反比例函数：理解反比例函数的图像和性质，包括双曲线的渐近线。
五、统计与概率专项训练1. 数据的收集与整理：学会使用图表来整理数据，如条形图、折线图、饼图等。
2. 数据的描述：掌握平均数、中位数、众数等统计量的概念和计算方法。
3. 数据的分析：学会使用方差、标准差等统计量来分析数据的离散程度。
4. 概率的计算：掌握古典概型和几何概型的概率计算方法。
六、解题技巧与策略1. 审题：仔细阅读题目，理解题目要求，避免因误解题意而出错。
2. 画图：对于一些几何题和函数题，画图可以帮助更好地理解问题。
3. 检查：解题后要进行必要的检查，确保答案的正确性。
河北中考数学复习专题四(直击中考数学24题)
中考复习专题——直击河北中考数学“第24题”1．用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形ABCD .把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB ，AC 重合.将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 相交于点E ，F 时，（如图13—1），通过观察或测量BE ，CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 的延长线相交于点E ，F 时（如图13—2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.2．如图14―1，14―2，四边表ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点。
直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F 。
⑴如图14―1，当点E 在AB 边的中点位置时：①通过测量DE ，EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量关系是 ；②连接点E 与AD 边的中点N ，猜想NE 与BF 满足的数量关系是 ； ③请证明你的上述两猜想。
⑵如图14―2，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N ，使得NE=BF ，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系。
3．如图－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．（1）如图－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； （2）若三角尺GEF 旋转到如图－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．图13—24．在△ABC 中，AB =AC ，CG ⊥BA 交BA 的延长线于点G ．一等腰直角三角尺按如图15-1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B ．（1）在图15-1中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系，然后证明你的猜想； （2）当三角尺沿AC 方向平移到图15-2所示的位置时， 一条直角边仍与AC 边在同一直线上，另一条 直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE ⊥BA 于点E ．此时请你通过观察、测量DE 、DF 与CG 的长度，猜想并写出DE ＋DF 与CG 之间满足 的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC 方向继续平移到图15-3所示的位置（点F 在线段AC 上，且点F 与点C 不重合）时，（2）中的猜想是否 仍然成立？（不用说明理由）5．将两块斜边长相等的等腰直角三角形按如图所示中的摆放． （1）如果把图1中的△BCN 绕点C 逆时针旋转90°，得到图2，图2中除了△ABC ≌△CED 、△BCN ≌△ACF 外，你还能找到一对全等三角形吗？写出你的结论，并说明理由．（2）将△CED 绕点C 旋转：①当点M 、N 在AB 上（不与A 、B 重合）时，线段AM 、MN 、NB 之间有一个不变的关系式，写出这个关系式，并说明理由．②当点M 在AB 上，N 在AB 的延长线上，线段AM 、MN 、NB 之间有何关系？请你直接写出结论，不需证明．图15-3 图15-1CA BD E M N图1CA BD E M N图2 F CA B D EM N图36．如图所示，两个同样大小的等边三角形△ABC 和△ACD ，边长为a ，它们拼成一个菱形ABCD ，另一个等边三角形AEF 绕A 旋转，AE 与BC 相交于M ，AF 与CD 相交于N ． （1）判断∠DAN 与∠CAM 是否相等，并简要说明理由． （2）求四边形AMCN 的面积；（3）探索△AMN 的面积何时最小，并说明理由，同时求出这个最小面积．7．如图1，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，AF 平分BAC ∠，交BD 于点F ． （1）求证：12EF AC AB +=； （2）点1C 从点C 出发，沿着线段CB 向点B 运动（不与点B 重合），同时点1A 从点A 出发，沿着BA 的延长线运动，点1C 与1A 的运动速度相同，当动点1C 停止运动时，另一动点1A 也随之停止运动．如图2，11A F 平分11BA C ∠，交BD 于点1F ，过点1F 作1111F E AC ⊥，垂足为1E ，请猜想11E F ，1112AC 与AB 三者之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）在（2）的条件下，当113A E =，112C E =时，求BD 的长．8．如图，已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC （或其延长线）的距离分别为h 1、h 2、h 3，△ABC 的高为h ．在图（1）中， 点P 是边BC 的中点，此时h 3=0，可得结论：h h h h =++321．图1BD图2AB CDA 1在图（2）--（5）中，点P 分别在线段MC 上、MC 延长线上、△ABC 内、△ABC 外． （1）请探究：图（2）--（5）中， h 1、h 2、h 3、h 之间的关系；（直接写出结论） （2）证明图（2）所得结论； （3）证明图（4）所得结论． （4） （附加题2分）在图（6）中，若四边形RBCS 是等腰梯形，∠B =∠C =60o ， RS =n ，BC =m ，点P 在梯形内，且点P 到四边BR 、RS 、SC 、CB 的距离分别是h 1、h 2、h 3、h 4，桥形的高为h ，则h 1、h 2、h 3、h 4、h 之间的关系为： ；图（4）与图（6）中的等式有何关系？27． 本小题满分10分，第(4)问附加题2分 解：（1）图②—⑤ 中的关系依次是：h 1+h 2+h 3=h ； h 1-h 2+h 3=h ； h 1+h 2+h 3=h ；h 1+h 2-h 3=h ． ………………………4分 （2）图②中，h 1+h 2+h 3=h ．证法一： ∵ h 1=BP sin60o ，h 2=PC sin60o ，h 3=0， ………………………………………6分∴ h 1+h 2+h 3=BP sin60o +PC sin60o=BC sin60o =AC sin60o=h ． ………………………………………………8分证法二：连结AP ， 则S ΔAPB +S ΔAPC =S ΔABC ． ………………………………………6分∴12111222AB h AC h BC h ⨯+⨯=⨯． 又 h 3=0，AB =AC =BC ， ∴h 1+h 2+h 3==h ． …………………………………………………8分（3）证明：图④中，h 1+h 2+h 3=h ．过点P 作RS ∥BC 与边AB 、AC 相交于R 、S ． ……………………9分在△AR S 中，由图②中结论知：h 1+h 2+0=h -h 3．∴ h 1+h 2+h 3=h ． ……………10分说明：（2）与（3）问，通过作辅助线，利用证全等三角形的方法类似给分．A B C D E PA B C D EP M (2) A B C D EM (P ) (1) A B C D E P M(5)（4）h1+h3+h4=mhm n．……………………………………11分让R、S延BR、CS延长线向上平移，当n=0时，图⑥变为图④，上面的等式就是图④中的等式，所以上面结论是图④中结论的推广．…………………12分9．已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C 重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E．当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，易证：OD+OE=2OC．当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明．图1 图2 图310．正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD 于点F。
数学中考复习资料河北
数学中考复习资料河北数学中考复习资料河北数学是一门需要理解和掌握的学科，对于中考来说，数学的复习尤为重要。
河北地区的中考数学试卷通常包含了各种题型，如选择题、填空题、计算题和应用题等。
为了帮助同学们更好地备考数学中考，下面将介绍一些复习资料和技巧。
一、选择题复习选择题是数学中考试卷中的常见题型，需要考生根据给出的选项选择正确答案。
复习时，同学们可以参考河北地区历年中考试卷中的选择题，分析各个知识点的考点和解题思路。
此外，还可以利用一些数学题库或习题集进行练习，提高对选择题的解题能力。
二、填空题复习填空题是考察学生对知识点的掌握程度和运用能力的题型。
在复习填空题时，同学们应重点关注一些常见的数学公式和定理，如勾股定理、平方差公式等。
同时，还需要掌握一些常用的计算方法和技巧，如因式分解、配方法等。
通过大量的练习，可以提高填空题的答题速度和准确性。
三、计算题复习计算题通常是数学中考试卷中的较难题型，需要考生进行一系列的计算和推理。
复习计算题时，同学们可以先将题目中的数据和条件进行整理和分析，然后根据题目要求进行计算。
在解题过程中，要注意运算的顺序和方法，避免出现粗心错误。
此外，还可以掌握一些常用的计算技巧，如近似计算、分数运算等。
四、应用题复习应用题是数学中考试卷中的综合题型，需要考生将数学知识应用到实际问题中进行分析和解决。
复习应用题时，同学们可以先读懂题目，理清问题的要求和条件。
然后，根据题目给出的信息，运用所学的数学知识进行推理和计算。
在解题过程中，要注意思路的合理性和解题步骤的清晰性。
总之，数学中考复习需要同学们对各个知识点进行全面的复习和总结。
除了掌握基本的概念和公式外，还需要通过大量的练习来提高解题能力和应对考试的信心。
同时，要注重对错题的分析和总结，找出自己的薄弱环节，并加以改进。
通过科学合理的复习方法和坚持不懈的努力，相信同学们一定能够在数学中考中取得好成绩。
祝愿同学们顺利通过数学中考！。
2020年河北中考数学专题复习讲练课件专题复习(二) 选择题和填空题
A
B
C
D
10．(2018·河北模拟)如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3， 点 D 在 BC 上，且 BD＝2CD，E，F 分别在 AB，AC 上运动且始终保持∠ EDF＝45°.设 BE＝x，CF＝y，则 y 与 x 之间的函数关系用图象表示为( D )
11．(2019·保定二模)如图，点 M 为▱ABCD 的边 AB 上一动点，过点 M 作直线 l 垂直于 AB，且直线 l 与▱ABCD 的另一边交于点 N.当点 M 从 A→ B 匀速运动时，设点 M 的运动时间为 t，△AMN 的面积为 S，能大致反映 S 与 t 之间函数关系的图象是(C )
题型2 判断函数图象 类型 1 根据函数性质判断函数图象
1．(2019·唐山古冶区一模)如图，正比例函数 y＝kx 与反比例函数 y＝ k－x 1的图象不可能是(D )
A
B
C
D
2．(2019·石家庄 28 中模拟)已知点 A(2，b)，B(－2，－b)，C(b，2)在 同一函数图象上，这个函数图象可以是(B )
关系的是(C )
A
B
C
D
类型 3 根据几何问题判断函数图象 9．(2019·唐山路北区一模)如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中剪去一 个边长为 1 的小正方形 CEFG，动点 P 从点 A 出发，沿 A→D→E→F→G →B 的路线绕多边形的边匀速运动到点 B 时停止(不含点 A 和点 B)，则△ ABP 的面积 S 随着时间 t 变化的函数图象大致是(A )
A．甲正确，乙不正确 C．甲、乙都正确
B．甲不正确，乙正确 D．甲、乙都不正确
8．(2018·石家庄裕华区一模)已知⊙O 及⊙O 外一点 P，过点 P 作⊙O 的一条切线(只有圆规和三角板这两种工具)，以下是甲、乙两位同学的作法：
河北省中考数学知识点总结(完整版)
河北省中考数学总复习资料代数部分第一章：实数基础知识点：一、实数的分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成qp的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。
2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不循环无限小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。
3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。
二、实数中的几个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数⇔a+b=0 2、倒数：（1）实数a （a ≠0）的倒数是a1；（2）a 和b 互为倒数⇔1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值：（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：⎪⎩⎪⎨⎧-==0,0,00, a a a a a a（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。
4、n 次方根（1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ±叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。
（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
（3）立方根：3a 叫实数a 的立方根。
（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。
三、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。
原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。
2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。
河北中考数学考点解析
河北中考数学考点解析许多诸如数、函数、几何等的数学对象反应出了定义在其中连续运算或关系的内部结构。
数学就研究这些结构的性质，例如：数论研究整数在算数运算下如何表示。
今天作者在这给大家整理了一些河北中考数学考点解析，我们一起来看看吧!河北中考数学考点解析一、平面直角坐标系1.各象限内点的坐标的特点2.坐标轴上点的坐标的特点3.关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点4.坐标平面内点与有序实数对的对应关系二、函数1.表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。
2.肯定自变量取值范畴的原则：⑴使代数式成心义;⑵使实际问题有意义。
3.画函数图象：⑴列表;⑵描点;⑶连线。
三、几种特别函数(定义→图象→性质)1. 正比例函数⑴定义：y=kx(k≠0) 或y/x=k。
⑵图象：直线(过原点)⑶性质：①k 0，…②k 0，…2. 一次函数⑴定义：y=kx+b(k≠0)⑵图象：直线过点(0,b)—与y轴的交点和(-b/k,0)—与x轴的交点。
⑶性质：①k 0,…②k 0,…⑷图象的四种情形：3. 二次函数⑴定义：特别地，都是二次函数。
⑵图象：抛物线(用描点法画出：先肯定顶点、对称轴、开口方向，再对称地描点)。
用配方法变为，则顶点为(h,k);对称轴为直线x=h;a 0时，开口向上;a 0时，开口向下。
⑶性质：a 0时，在对称轴左侧…，右侧…;a 0时，在对称轴左侧…，右侧…。
4.反比例函数⑴定义：或xy=k(k≠0)。
⑵图象：双曲线(两支)—用描点法画出。
⑶性质：①k 0时，图象位于…，y随x…;②k 0时，图象位于…，y随x…;③两支曲线无穷接近于坐标轴但永久不能到达坐标轴。
四、重要解题方法1. 用待定系数法求解析式(列方程[组]求解)。
对求二次函数的解析式，要公道选用一样式或顶点式，并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点，寻觅新的点的坐标。
以下图：2.利用图象一次(正比例)函数、反比例函数、二次函数中的k、b;a、b、c 的符号。
河北中考数学必考知识点归纳
河北中考数学必考知识点归纳
河北中考数学作为中学阶段的重要考试之一，其必考知识点涵盖了初中数学的多个方面。
以下是对这些知识点的归纳：
一、数与代数
1. 有理数：包括正数、负数和零的概念，有理数的四则运算。
2. 整数：正整数、负整数和零的分类，整数的性质。
3. 分数：分数的加减乘除运算，分数的化简与通分。
4. 代数式：整式、分式、多项式的概念和运算。
5. 等式与不等式：解一元一次方程、一元一次不等式。
6. 函数：一次函数、二次函数的图像和性质。
二、几何
1. 平面图形：线段、角、三角形、四边形、圆等基本图形的性质和计算。
2. 空间图形：立体图形的认识，包括长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等。
3. 图形的变换：平移、旋转、反射等几何变换。
4. 相似与全等：相似三角形、全等三角形的判定和性质。
5. 圆的性质：圆周角、切线、弧长、扇形面积等。
三、统计与概率
1. 数据的收集与处理：数据的分类、整理，条形图、折线图、饼图的绘制。
2. 描述统计：平均数、中位数、众数、方差等统计量的计算。
3. 概率：事件的确定性与不确定性，概率的计算。
四、综合应用
1. 数学问题的实际应用：将数学知识应用于解决实际问题。
2. 数学思维：逻辑推理、抽象思维、空间想象等能力的培养。
结束语
河北中考数学的知识点广泛，要求学生不仅要掌握基础的数学运算，还要能够灵活运用数学知识解决实际问题。
通过系统的复习和练习，学生可以更好地准备中考，发挥出自己的最佳水平。
希望以上的归纳能够帮助学生们更有效地复习，取得理想的成绩。
河北省数学中考复习综合专题：一元一次不等式应用题
河北省数学中考复习综合专题：一元一次不等式应用题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、综合题 (共30题；共322分)1. （10分）某小区为了营造优雅宜居人文环境，积极推进小区绿地、主题公园、休闲场地建设，小区利用甲种花卉和乙种花卉搭配成A，B两种园艺造型摆放在中央大道两侧，搭配数量如下表所示：甲种花卉（盆）乙种花卉（盆）A种园艺造型（个）80盆40盆B种园艺造型（个）50盆90盆（1）已知搭配一个A种园艺造型和一个B种园艺造型共需500元．若园林局搭配A种园艺造型32个，B种园艺造型18个共投入11800元．则A、B两种园艺造型的单价分别是多少元？（2）如果搭配A、B两种园艺造型共50个，某校学生课外小组承接了搭配方案的设计，其中甲种花卉不超过3490盆，乙种花卉不超过2950盆，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮忙设计出来．2. （10分）(2017·南漳模拟) 某玩具专柜要经营一种新上市的儿童玩具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出专柜销售这种玩具，每天所得的销售利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该玩具每天的销售利润最大；（3）专柜结合上述情况，设计了A、B两种营销方案：方案A：该玩具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件玩具的利润至少为25元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．3. （10分） (2019七下·萝北期末) 光明电器超市销售每台进价分别为190元、160元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周2台6台1840元第二周5台7台2840 元（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备再采购这两种型号的电风扇共40台，这40台电风扇全部售出后，若利润不低于2660元，求A种型号的电风扇至少要采购多少台？4. （10分） (2020七下·河池期末) 某汽车专卖店销售，两种型号的新能源汽车，上周售出1辆型车和3辆型车，销售额为96万元；本周已售出2辆型车和1辆型车，销售额为62万元．（1）求每辆型车和型车的售价各为多少万元．（2）甲公司拟向该店购买，两种型号的新能源汽车共6辆，且型车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？（3）试说明在（2）中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？5. （10分）(2020·无锡模拟) “壮丽70载，奋进新时代”.值伟大祖国70华诞之际，某网店特别推出甲、乙两种纪念文化衫，已知甲种纪念文化衫的售价比乙种纪念文化衫多15元，广益中学陈老师从该网店购买了2件甲种纪念文化衫和3件乙种纪念文化衫，共花费255元.（1）该网店甲、乙两种纪念文化衫每件的售价各是多少元？（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种纪念文化衫共200件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的，已知甲种纪念文化衫每件的进价为50元，乙种纪念文化衫每件的进价为40元.①若设购进甲种纪念文化衫m件，则该网店有哪几种进货方案？②若所购进纪念文化衫均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种纪念文化衫进货量m（件）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？6. （10分） (2019七下·迁西期末) 某商店从厂家选购甲、乙两种商品，乙商品每件进价比甲商品每件进价少20元，若购进甲商品5件和乙商品4件共需要1000元；（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？（2）若甲种商品的售价为每件145元，乙种商品的售价为每件120元，该商店准备购进甲、乙两种商品共40件，且这两种商品全部售出后总利润不少于870元，则甲种商品至少可购进多少件？7. （10分） (2016九上·海盐期中) 某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）若每个月的利润不低于2160元，售价应在什么范围？8. （10分）全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题，2014年，某社区共投入30万元用于购买健身器材和药品．（1）若2014年社区购买健身器材的费用不超过总投入的，问2014年最低投入多少万元购买药品？（2） 2015年，该社区购买健身器材的费用比上一年增加50%，购买药品的费用比上一年减少，但社区在这两方面的总投入仍与2014年相同．①求2014年社区购买药品的总费用；②据统计，2014年该社区积极健身的家庭达到200户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的，与2014年相比，如果2015年社区内健身家庭户数增加的百分比与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分比相同，那么，2015年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的，求2015年该社区健身家庭的户数．9. （15分）(2019·黄陂模拟) 每年的6月5日为世界环保日，为了提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新设备，现有甲、乙两种型号的设备可供选购，经调查：购买了3台甲型设备比购买2台乙型设备多花了16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元.（1）求甲、乙两种型号设备的价格；（2）该公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过110万元，你认为该公司有几种购买方案；（3）在（2）的条件下，已知甲型设备的产量为240吨/月，乙型设备的产量为180吨/月，若每月要求总产量不低于2040吨，为了节约资金，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案.10. （10分） (2020七下·南召期中) 为了更好改善河流的水质，治污公司决定购买10台污水处理设备.现有A，B两种型号的设备，经过市场调查，购买一台型设备比购买一台型设备多花费2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少花费6万元.（1）购买一台A型设备、购买一台B型设备各需要多少万元；（2）治污公司经预算购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案.11. （10分） (2020八下·沈阳期中) 新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同．（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？（2）若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且甲种数量不超过乙种的2倍，则如何购买总费用最低？最低多少元？12. （10分）(2017·揭西模拟) 为做好“创文创卫”工作，某县城进行道路改造，由A、B两个施工队施工，已知由A施工队单独完成所有工程需要20天．若在A、B两个施工队共同施工6天后，A施工队有事撤出工程，剩下的工程由B施工队单独施工15天才完成．（1）求B施工队单独完成所有工程需要多少天？（2）若施工开始后，要求B施工队施工不能超过18天，要完成该工程，A施工队至少需要施工多少天才能撤出工程？13. （10分） (2020九下·双鸭山期中) 佳润商场销售，两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：进价（万元/套） 1.5 1.2售价（万元/套） 1.65 1.4该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．（1）该商场计划购进，两种品牌的教学设备各多少套？（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少种设备的购进数量，增加种设备的购进数量，已知种设备增加的数量是种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问种设备购进数量至多减少多少套？（3）在（2）的条件下，该商场所能获得的最大利润是多少万元？14. （10分） (2019八上·鸡东期末) 欧城物业为美化小区，要对面积为9600平方米的区域进行绿化，计划安排甲、乙两个园林队完成，已知甲园林队每天绿化面积是乙园林队每天绿化面积的2倍，并且甲、乙两园林队独立完成面积为800平方米区域的绿化时，甲园林队比乙园林队少用2天．（1）求甲、乙两园林队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米．（2）物业每天需付给甲园林队的绿化费用为0.4万元，乙园林队的绿化费用为0.25万元，如果这次绿化总费用不超过10万元，那么欧城物业至少应安排甲园林队工作多少天？15. （10分） (2021八上·铜仁期末) 坐火车从上海到娄底，高铁G1329次列车比快车K575次列车少需要9小时，已知上海到娄底的铁路长约1260千米，G1329的平均速度是K575的2.5倍.（1）求K575的平均速度；（2）高铁G1329从上海到娄底只需几小时？16. （10分） (2020九上·南山期末) 某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场调查发现，当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个。
数学中考复习资料河北
数学中考复习资料河北数学作为考试科目中的头号“大佬”，一直以来都是令许多考生心生畏惧的存在。
然而，要想在数学考试中获得好成绩，学习和掌握相关知识点是不可避免的。
对于即将要参加数学中考的河北学生来说，复习资料的选择显得尤为重要。
第一步，理清重点在复习数学时，首先需要理清各个知识点的重点。
常见的重点知识点包括：线性方程组、平面几何、三角函数等。
对于这些内容，可以适当增加复习的频率，加深掌握程度。
同时，在考试前，还需把重点知识点快速浏览一遍，熟悉各知识点的考点分布，并投入一定的时间去掌握其中的难点。
第二步，精炼笔记学习数学最为重要的还是笔记的整理。
对于学习过的知识，及时记录下其关键点和公式，将各个知识点的概念和公式尽可能的用透彻的语言记入笔记，以便于日后轻松复习。
同时还要记得将其中一些通用公式整理出来，简化操作步骤，节约时间。
第三步，做题检验复习至此，首要目标是必须要多做题，充分发掘自己的优劣势。
在做题过程中，应尽量模拟考试的真实环境，以求在考试时不会因为环境因素而影响到心态。
同时，还可结合各种模拟试题进行实际考试模拟，掌握时限和考试的紧张感。
第四步，挑选复习资料那么，如何选择数学中考复习资料呢？首先，不能一味地追求复杂的难度，更加注重基础的整理和提高，做好用基础的思路来对付各种难题的一种能力。
其次，一定要保证所用资料是权威准确的，可以参考历年数学考试真题以及校内教材的资料。
同时，还应该根据自身情况选择适当的复习资料。
总体来说，数学复习虽然不容易，但只要掌握好正确的方法和技巧，就一定能够取得良好的成绩。
因此，广大河北中学生们应该选择靠谱的复习资料，注重重难点的掌握，加强实验和运用能力，在复习过程中助自己向成功迈进。
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河北中考数学专题复习解读河北省中考试题探究中考方向几何计算类题目展示与分析20.本小题满分7分某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h即m/s.交通管理部门在离该公路100 m处设置了一速度监测点A，在如图11所示的坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上.1请在图11中画出表示北偏东45°方向的射线AC，并标出点C的位置;2点B坐标为，点C坐标为 ;3一辆汽车从点B行驶到点C所用的时间为15 s，请通过计算，判断该汽车在限速公路上是否超速行驶?2021年中考试题展示22.本小题满分9分气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛设为点O的南偏东45°方向的B点生成，测得OB=100 km.台风中心从点B以40 km/ h的速度向正北方向移动，经5 h后到达海面上的点C处.因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/ h的速度向北偏西60°方向继续移动.以O为原点建立如图12所示的直角坐标系.1台风中心生成点B的坐标为，台风中心转折点C的坐标为 ;结果保留根号2已知距台风中心20 km的范围内均会受到台风的侵袭.如果某城市设为点A位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间?2021年中考试题展示20.本小题满分8分图10是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m，OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE = .1求半径OD;2根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干?2021年中考试题展示20.本小题满分8分如图11-1，正方形ABCD是一个6 × 6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1.位于AD中点处的光点P按图11-2的程序移动.1请在图11-1中画出光点P经过的路径;2求光点P经过的路径总长结果保留π.2021年中考试题展示05是中心投影与相似06是盲区与相似07是三角函数与坐标08是三角函数与坐标09是垂径定理与三角函数10是旋转﹑弧长与尺规作图关注基础知识，掌握有关图形的概念和性质。
2.关注计算﹑推理﹑证明能力的训练，强化学生的书写和表达。
3.联系实际，注重应用。
复习建议如图，在 .用尺规作图作∠A的角平分线保留作图痕迹，不要求写作法、证明，并求AD的长.试题积累实验与操作探究题目展示与分析23.在图14-1—14-5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE=2b，且边AD和AE在同一直线上.操作示例：当2b < a时，如图14-1，在BA上选取点G，使BG =b，连结FG和CG，裁掉△FAG 和△CGB并分别拼接到△FEH 和△CHD的位置构成四边形FGCH.思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上.连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置.这样，对于剪拼得到的四边形FGCH如图14-1，过点F作FM⊥AE于点M图略，利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°.进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形.2021年中考试题展示实践探究1正方形FGCH的面积是 ;用含a，b的式子表示2类比图14-1的剪拼方法，请你就图14-2—图14-4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图.联想拓展小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移.当b>a时，如图14-5的图形能否剪拼成一个正方形?若能，请你在图中画出剪拼的示意图;若不能，简要说明理由.考查从特殊到一般、类比、猜想、拓展等数学方法实践探究类比图14-1的剪拼方法，请你就图14-2—图14-4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图.G23.本小题满分10分在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3 km和2 km，AB= a kma>1.现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水.方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BAkm其中BP⊥ l于点P;图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2 ，且d2=PA+PBkm其中点与点A关于l对称，B与l交于点P.2021年中考试题展示观察计算1在方案一中，d1= km用含a的式子表示;2在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2= km用含a的式子表示.探索归纳1①当a = 4时，比较大小： d1 d2填“>”、“=”或“<”;②当a = 6时，比较大小： d1 d2填“>”、“=”或“<”;2请你参考右边方框中的方法指导，就a当a>1时的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二?考查从特殊到一般,数形结合的数学方法23.本小题满分10分如图13-1至图13-5，⊙O均作无滑动滚动，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c.阅读理解：1如图13-1，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到⊙O2的位置，当AB = c时，⊙O恰好自转1周.2如图13-2，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A-B-C滚动，在点B处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O绕点B旋转的角∠O1BO2 = n°，⊙O在点B处自转周.实践应用：1在阅读理解的1中，若AB = 2c，则⊙O自转周;若AB = l，则⊙O自转周.在阅读理解的2中，若∠ABC = 120°，则⊙O在点B处自转周;若∠ABC = 60°，则⊙O在点B处自转周.2如图13-3，∠ABC=90°，AB=BC=c.⊙O从⊙O1的位置出发，在∠ABC外部沿A-B-C滚动到⊙O4的位置，⊙O自转周.2021年中考试题展示考查从特殊到一般的数学思想拓展联想：1如图13-4，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周?请说明理由.2如图13-5，多边形的周长为l，⊙O从与某边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写出⊙O自转的周数.3①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小.”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是分米;②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数.23.本小题满分10分观察思考某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1，图14-2是它的示意图.其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动.在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动.数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH ⊥l于点H，并测得OH = 4分米，PQ = 3分米，OP= 2分米.解决问题1点Q与点O间的最小距离是分米;点Q与点O间的最大距离是分米;点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是分米.2如图14-3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的.”你认为他的判断对吗?为什么?2021年中考试题展示1.实验操作探究试题以几何图形探索为主，通过经历观察、实验、探究、猜想、归纳等一系列数学思考过程，总结得出解决实验操作问题的一般方法和策略。
2.试题通过具体有形的数学知识传递给学生一种数学的思维方式，题目类型属于合情推理的范畴，对能力要求较高.3.题目不单纯是已学的课本知识的应用，而是包含有理解和掌握一个新概念或新规定、发现和总结一个新规律或新结论的成分及过程，它可以突出的考查学生的现场学习、迁移和应用，发现与创新的能力。
4.题目设置的梯度合理，给学生良好的思维空间，充分体现了知识的形成和展示过程。
试题评析1.要将图形的基础知识掌握扎实并能灵活应用。
2.将河北省连续几年的中考试题汇总在一起作为专题训练学生，以便使学生了解这类试题的特点，这类题目考查的思维方式，解决这类问题的一般方法。
3.从全国各地选择部分具有或含有操作探究性的题目进行训练。
在复习题的选择上应有一定数量的、能够体现新课程学习方式和数学活动过程的试题。
4. 关注数学思想方法，关注数学学习方式的考查，即既关注学习的结果也关注学习的过程，突出能力重点是思维能力和创新意识。
复习建议1.定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点.如图-1，，，则点就是四边形的准内点.1如图-2，分别延长四边形ABCD的两组对边，交于E,F。
∠AFD与∠DEC的角平分线相交于点P.求证：点P是四边形ABCD的准内点.2分别画出平行四边形和梯形的准内点.作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明3判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”.不必说明理由①任意凸四边形一定存在准内点.②任意凸四边形一定只有一个准内点③若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则或 . 图-1试题积累图-2实验与推理题目展示与分析24.本小题满分10分在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图15-1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B.1在图15-1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想;2当三角尺沿AC方向平移到图15-2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于E.此时请你通过观察、测量DE、DF 与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想;3当三角尺在2的基础上沿AC方向继续平移到图15-3所示的位置点F在线段AC上，且点F与点C不重合时2中的猜想是否仍然成立?不用说明理由2021年中考试题展示24.本小题满分10分如图14-1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC;△EFP的边FP也在直线l 上，边EF与边AC重合，且EF=FP.1在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系;2将△EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想;3将△EFP沿直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ.你认为2中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?若成立，给出证明;若不成立，请说明理由.2021年中考试题展示24.本小题满分10分2021在图14-1至图14-3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点.四边形BCGF和CDHN都是正方形.AE的中点是M.1如图14-1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM = MH，FM⊥MH;2将图14-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图14-2，求证：△FMH是等腰直角三角形;3将图14-2中的CE缩短到图14-3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗?不必说明理由2021年中考试题展示24.本小题满分10分在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1 = ∠2 = 45°.1如图15-1，若AO = OB，请写出AO与BD 的数量关系和位置关系;2将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB.求证：AC = BD，AC ⊥ BD;3将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到图15-3，求的值.2021年中考试题展示1.实验推理型试题以几何图形探索为主，将学生的观察操作﹑猜想推断与演绎论证融为一体，将合情推理与演绎推理并存在一道题中，它与操作探究题的最大区别就是需要证明。