复数 教案(绝对经典)

复 数

复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，并且一般在前三题的位置，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算，难度较小． 【复习指导】

1．复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义． 2．要把复数的基本运算作为复习的重点，尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等．因考题较容易，所以重在练基础。

基础梳理

1．复数的有关概念 (1)复数的概念

形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫作复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数． (2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面．x 轴叫作实轴，y 轴叫作虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数． (5)复数的模

向量OZ →的模r 叫作复数z ＝a ＋b i 的模，记作__|z |__或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的几何意义

(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2，实际上就是指复平面上的点Z 到原点O 的距离；|z 1－z 2|的几何意义是复平面上的点Z 1、Z 2两点间的距离．

(2)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ → 相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →

.

3．复数的四则运算

设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 (1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；

(4)除法：z 1z 2

＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0)．

一条规律

任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小． 两条性质

(1)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(各式中n ∈N )． (2)(1±i)2＝±2i ，

1＋i 1－i ＝i ，1－i

1＋i

＝－i. 双基自测

1．复数

－i

1＋2i

(i 是虚数单位)的实部是( )． A.15 B ．－15 C ．－15i D ．－25

答案 D 解析 －i 1＋2i ＝－i (1－2i )(1＋2i )(1－2i )

＝－2－i 5＝－25－1

5i.

2．设i 是虚数单位，复数

1－3i

1－i

＝( )． A ．2－i B ．2＋i C ．－1－2i D ．－1＋2i

答案 A 解析

1－3i 1－i ＝12

(1－3i)(1＋i)＝1

2(4－2i)＝2－i.

3．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )． A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1

D ．a ＝－1，b ＝－1

答案 C 解析 由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得：－1＋a i ＝b ＋i ，根据复数相等得：a ＝1，b ＝－1.

4．设复数z 满足(1＋i)z ＝2，其中i 为虚数单位，则z ＝( )． A ．2－2i B ．2＋2i C ．1－i D ．1＋i

答案 C 解析 z ＝2

1＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )

＝2(1－i )2＝1－i.

5、如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ） （A ）A （B ）B （C ）C （D ）D 题型一 复数的概念

例1 (1)已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1

z 2的虚

部为( )

y

x

D

B

A O

C

A ．1

B ．i

C.25

D ．0

(2)若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

思维启迪：(1)若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则b ＝0时，z ∈R ；b ≠0时，z 是虚数；a ＝0且b ≠0时，z 是纯虚数．

(2)直接根据复数相等的条件求解．

答案 (1)A (2)A

解析 (1)由z 1z 2＝2＋a i 1－2i ＝(2＋a i )(1＋2i )5＝2－2a 5＋4＋a 5i 是纯虚数，得a ＝1，此时z 1

z 2

＝i ，其虚部为1.

(2)由⎩

⎪⎨⎪⎧

m 2＋m ＋1＝3

m 2＋m －4＝－2， 解得m ＝－2或m ＝1，

所以“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分不必要条件．

(1)若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________． (2)设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．

答案 (1)－1 (2)2

解析 (1)由复数z 为纯虚数， 得⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2－1＝0x －1≠0，解得x ＝－1，故选A.

(2)方法一 ∵z (2－3i)＝6＋4i ，∴z ＝6＋4i 2－3i ＝26i

13

＝2i ， ∴|z |＝2.

方法二 由z (2－3i)＝6＋4i ，得z ＝6＋4i 2－3i . 则|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4i 2－3i ＝

|6＋4i||2－3i|＝62＋4222＋(－3)2

＝2.

考向二 复数的几何意义

【例2】►在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )．

A ．4＋8i

B ．8＋2i

C ．2＋4i

D ．4＋i

解析 复数6＋5i 对应的点为A (6,5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2,4)，故点C 对应的复数为2＋4i. 答案 C 【训练2】 复数1＋i 1－i ＋i 2 012

对应的点位于复平面内的第________象限．

解析 1＋i 1－i

＋i 2 012

＝i ＋1.故对应的点(1,1)位于复平面内第一象限．答案 一

考向三 复数的运算