2020高等数学B(上)复习资料
《高等数学》(上)期末复习知识要点
1、 四则运算法则与复合运算法则（换元法）；2、 初等函数的连续性（代入法）： 00lim ()()x x f x f x →=；3、 两个重要极限：1）0sin lim1x x x→=，【特征：0sin lim 1→=】2）1lim(1)x x e x →∞+=（或1lim(1)n n e n→∞+=，10lim(1)x x x e →+=）；【特征：1lim(1)e →∞+= 】4、 存在准则：1）夹逼准则，2）单调有界准则；5、 洛必达法则：未定式00或∞∞（其它类型未定式：000,,,1,0∞⋅∞∞−∞∞必须转化）； 6、 等价无穷小量替换：只适用于乘除，加减不适用.（当0x →时，21cos 2x x −∼, sin (tan ,arctan ,arcsin ,1,ln(1)),x x x x x e x x −+∼(1)1a x x α+−∼(α为常数)等等)7、 无穷小的性质：有界量与无穷小的乘积、有限个无穷小的和与乘积均为无穷小等 8、 泰勒公式(麦克劳林公式)； 9、 微分中值定理；10、 定积分或导数定义*: 1）*【定积分定义】、设()f x 在[,]a b 上可积，则1lim ()()nb a n i b a b af a i f x dx n n→∞=−−+⋅=∑∫； 2）【导数定义】设()f x 在点a 处可导，则0()()()()lim()lim ()x ah f x f a f a h f a f a f a x a h→→−+−′′==−或.1、 函数()f x 在点0x 处连续000lim ()()lim ()lim ()()x x x x x x f x f x f x f x f x +−→→→⇔=⇔==；2、 间断点：1）第一类间断点：可去，跳跃；2）第二类间断点：无穷，振荡等.3、 连续函数的运算性质：连续函数的加减乘除仍为连续函数；连续函数的复合函数仍为连续函数 4、 初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内处处连续 5、 闭区间上连续函数的性质：1）有界性；2）最大值最小值定理；3）零点定理【闭上连续两端异号零点在开内】；4）介值定理及其推论一、 极限及其求法：二、 函数的连续性《高等数学》(上)期末复习要点1、 定义： 1）0000000()()()()()limlimx x x f x f x f x x f x f x x x x →∆→−+∆−′==−∆； 2）0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→−+∆−′==−∆3）0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x−−−→∆→−+∆−′==−∆4）000()()()f x f x A f x A +−′′′==⇔= 2、 求导法则：【必须牢记18个基本导数公式】 1） 显函数()y f x =：I、四则运算法则： ()[()()],[()()],[],[()]()u x u x v x u x v x ku x v x ′′′′±⋅； II、复合函数的求导法则：设(),()y f u u g x ==都可导，则[()]y f g x =的导数为(){[()]}()()[()]()u g x d f g x f u g x f g x g x dx =′′′′=⋅=⋅，或dy dy du dx du dx=⋅ III、反函数的求导法则：1dy dx dxdy= IV、对数求导法则（特别适用于幂指函数）：()y f x =，ln ||ln |()|y f x == （化简），y y′⇒= 2） 参数方程：()()x x t y y t =⎧⎨=⎩，()dy dydxg t dtdt dx == ，22()()d y dg t dg t dxdt dtdx dx=== ， 其它阶同理可求.3） 隐函数：(,)0F x y =（方程两边对x 求导，注意y 为x 的函数）10x y dyF F dx′′⇒⋅+⋅= 3、 高阶导数：234(4)()234(),(),(),,()n n n d y d y d y d y f x f x f x f x dx dx dx dx′′′′′==== 等4、 微分()dy f x dx ′=5、 关系：可微与可导等价；可导必连续，反之未必.三、 导数与微分1、 曲线的切线与法线方程：00()y y k x x −=−，0()k f x ′=切，01/()k f x ′=−法；2、 微分中值定理：首先必须验证定理的条件是否满足，然后根据定理下结论！1）Rolle 定理：()0()f a b ξξ′=<<；2）Lagrange 中值定理：()()()()()f b f a f b a a b ξξ′−=−<<；估计函数值之差3）Cauchy 中值定理：()()()()()()()f b f a f a bg b g a g ξξξ′−=<<′−；4）Taylor 中值定理：()(1)100000()()()()()()!(1)!k n nkn k f x f f x x x x x x x k n ξξ++==−+−+∑在与之间 3、 洛必达法则：00()()limlim ()()f x f x org x g x ∞∞′′，其它型未定式必须转化 4、 泰勒公式：熟悉5个常见带Peano 型余项的Maclaurin 公式5、 函数的单调性【一阶导符号判定】、极值、最值及其函数图形的凹凸性【二阶导符号判定】、拐点和渐近线 6、 不等式的证明：1）单调性；2）中值定理；3）凹凸性；4）最值 7、 方程根的存在性及唯一性：1）零点定理；2）Rolle 定理；3）单调性；4）极值最值等等 8、 恒等式的证明：若在区间I 上()0f x ′≡，则在区间I 上()f x C ≡2π1、 基本性质：线性，对积分区间的可加性，保号性（特别课后Ex.7：用连续性与不恒等于去等号），定积分中值定理【()()()()baf x dx f b a a b ξξ=−<<∫】，定积分的奇偶对称性、周期性.2、()()f x dx F x C =+∫与Newton-Leibniz 公式：()()bba af x dx F x =∫，（()()F x f x ′=）3、 换元法：1）第一类（凑微分法）；2）第二类：三角代换，倒代换等4、 分部积分法:1）三指动，幂不动；2）幂动，反对不动；3）凑同类所求便再现.5、 积分上限函数的导数：()()x a d f t dt f x dx =∫， ()()[()]()g x a d f t dt f g x g x dx′=⋅∫， 其中()f x 连续，()g x 可导，a 为常数，积分中的表达式()f t 必须与x 无关6、 有理函数的积分【假分式用除法化为多项式加真分式，真分式因式分解化为部分分式】以及可化为有理函数的积分【①三角函数有理式的积分：万能代换tan()2xt = ()x ππ−<<；②简单根式：线性函数或分式函数的根式讨厌要换之，开方不同最小公倍数】7、 反常积分：无穷限的反常积分或瑕积分，广义Newton－Leibniz 公式，特别注意瑕点在积分区间内部的瑕积分四、 导数的应用sin n xdx 】五、积分：不定积分，定积分，反常积分【必须牢记24个基本积分公式以及I n =∫1、 平面图形的面积：1） 直角坐标,x y ：a、 曲边梯形1{(,)|,0()}D x y a x b y f x =≤≤≤≤：()baA f x dx =∫；b、 上、下型{(,)|,()()}D x y a x b g x y f x =≤≤≤≤：[()()]baA f x g x dx =−∫；c、 左、右型{(,)|,()()}D x y c y d g y x f y =≤≤≤≤：[()()]dcA f y g y dy =−∫；d、 设曲边梯形1D 的曲边由参数方程：(),()x x t y y t ==给出，则()()()b aA f x dx y t x t dt βα′==⋅∫∫【先代公式后换元】2） 极坐标,ρθ（极坐标变换cos ,sin x y ρθρθ==）： 设曲边扇形{(,)|,0()}D ρθαθβρρθ=≤≤≤≤，则21()2A d βαρθθ=∫ 2、 体积：CaseA、旋转体的体积：1） X－型或上下型{(,)|,0()}D x y a x b y f x =≤≤≤≤：I、绕x 轴 2()bx aV f x dx π=∫；II、绕y 轴 2()(0)by aV xf x dx a π=≥∫2） Y－型或左右型{(,)|,0()}D x y c y d x g y =≤≤≤≤： I、绕y 轴 2()dy cV g y dy π=∫；II、绕x 轴 2()(0)dx cV yg y dy c π=≥∫CaseB、平行截面面积为已知的立体{(,,)|,(,)}x x y z a x b y z D Ω=≤≤∈，若()x AreaD A x =，则()baV A x dx =∫3、 弧长：由不同方程，代不同公式 1)():()()x x t C t y y t αβ=⎧≤≤⎨=⎩，()s βααβ=<∫；2）:(),C y f x a x b =≤≤，()as a b =<∫；3）:(),C ρρθαθβ=≤≤，()s βαθαβ=<∫六、 定积分的应用【有公式代就代公式，否则用元素法】 （一） 一阶微分方程：(,,)0F x y y ′=，(,)y f x y ′=或(.)(,)0M x y dx N x y dy +=1、 可分离变量：()()f x dx g y dy =，积分之可得通解2、 齐次：()dy ydx xϕ=，令y u x =，可将原方程化为关于,x u 的可分离变量3、 线性：()()dyP x y Q x dx+=，通解为()()[()]P x dx P x dx y e Q x e dx C −∫∫=+∫；或利用常数变易法或利用积分因之法：()()P x dxx e µ∫=4、 伯努利：()()(0,1)n dyP x y Q x y n dx+=≠，令1n z y −=，可将原方程化为关于,x z 的线性． （二） 可降阶的高阶微分方程： I 、()()n yf x =【右端只含x 】：连续积分之；II 、(,)y f x y ′′′=【不显含y 】：令,y p ′=则dpy dx′′=，可将原方程化为关于,x p 的一阶． III 、(,)y f y y ′′′=【不显含x 】：令y p ′=，则dpy p dy′′=，可将原方程化为关于,y p 的一阶 （三） 概念与理论1、 概念：阶，解（特解，通解），初始条件，初值问题，积分曲线2、 线性微分方程的解的结构：1）齐次：()()0y P x y Q x y ′′′++=，通解：1122()()y C y x C y x =+，其中12(),()y x y x 为该方程线性无关的两个解． 2）非齐次：()()()y P x y Q x y f x ′′′++= 通解：()*()y Y x y x =+，其中()Y x 为对应的齐次方程的通解，*()y x 为原方程的一个特解． 3）设12*(),*()y x y x 分别为1()()()y P x y Q x y f x ′′′++= 与2()()()y P x y Q x y f x ′′′++=的特解，则12**()*()y y x y x =+为12()()()()y P x y Q x y f x f x ′′′++=＋的特解．七、 微分方程附录I——基本求导公式：1221(1)()0(2)();(3)();(4)(ln ||);1(5)()ln ;(6)(log );(01)ln (7)(sin )cos ;(8)(cos )sin ;(9)(tan )sec ;(10)(cot )csc ;(11)(sec )sec tan ;(12)x x x x a C C x x e e x xa a a x a a x ax x x x x x x x x x x αααα−′′′′====′′==>≠′′′′==−==−′=，为常数；，为常数常数且(csc )csc cot ;(13)(arcsin )(14)(arccos )(17)(sh )ch ;(18)(ch )sh .x x x x x x x x x ′′=−=′=′′==附录II——基本积分公式：122(1)1(2)1;(3)ln ||;1(4);(5)01;ln (6)sin cos ;(7)cos sin ;(8)sec tan ;(9)csc cot ;(10)sec tan sec x x x xkdx kx C k x x dx C dx x C x a e dx e C a dx C a a a xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C αααα+=+=+≠−=++=+=+>≠=−+=+=+=−+=+∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫，为常数；，常数，常数且;(11)csccot csc;(12)tan ln |cos |;(13)cot ln |sin |;(14)sec ln |sec tan |;(15)csc ln |csc cot |;(16);(18)x xdx x C xdx x C xdx x C xdx x x C xdx x x C C =−+=−+=+=++=−+∫∫∫∫∫2200;(20)(21)ln(;(22)ln ||;(23)sh ch ;(24)ch sh .1331,2422sin cos n n n C x C x C xdx x C xdx x C n n n nI xdx xdx πππ=+=++=+=+−−⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎞−===⎜⎟⎝⎠∫∫∫∫∫ 1342,253n n n n n n ⎧⎪⎪⎨−−⎪⋅⋅⋅⋅⎪−⎩ 为正偶数；为大于1的正奇数.。
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华南理工大学网络教育学院 《高等数学（上）》辅导一、 求函数值 例题：1、若2()f x x =，()x x e ϕ=，则(())f x ϕ= ． 解：()22(())()xx x f x f e ee ϕ===2、若(1)21f x x -=+，则()f x = ． 解：令1x t -=，则1x t =+ 所以()2(1)123f t t t =++=+即 ()23f x x =+二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理 常见的等价无穷小：无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用相应的等价无穷小替换例题：1、320sin 3lim x xx →=？ 解：当0sin3~3x x x →，， 原式=3200(3)lim lim270x x x x x→→==2、0sin3limx xx→=？解：原式=03lim 3x xx →=3、201-cos limx xx→=？ 解：当210cos ~2x x x →，1-原式=220112lim 2x xx →=4、0ln(13)lim x x x →+=？解：当03)~3x x x →，ln(1+原式=.03lim 3x x x →=.5、201lim x x e x→-=？解：当201~2x x e x →-，原式=.02lim 2x x x →=.三、 多项式之比的极限2lim 03x xx x →∞=+，2211lim 33x x x x →∞-=+，23lim x x x x→∞+=∞四、 导数的几何意义（填空题）0()f x '：表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线斜率曲线..()y f x =..在点00(,())M x f x 处的切线方程为： 曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的法线方程为： 例题：1、曲线44xy x +=-在点(2,3)M 的切线的斜率．解：222(4)'(4)(4)(4)(4)x x x x x x y x =='+--+-'=- 2、曲线cos x xy e =在点(0,1)M 处的切线方程．解：2(cos )'cos ()()x x x x x x e x e y e =='-'= 所以曲线cos x xy e=在点(0,1)M 处的切线方程为：1(0)y x -=--，即10x y +-=3、曲线y =在点(1,1)M 处的切线方程． 解：53112233x x y x =='=-=-所以曲线y =在点(1,1)M 处的切线方程为：21(1)3y x -=--，即2350x y +-=五、 导数的四则运算、复合函数的导数、微分 复合函数求导的链式法则： 微分：()dy f x dx '= 例题：1、设y =，则'y =？解：()()1'2221112y x x -'=+⋅+=2、设2sin y x =，则'y =？ 解：()''222cos 2cos y x xx x =⋅=3、设sin 2x y =，则dy =？解：()''sin sin 2ln 2sin 2cos ln 2x x y x x =⋅= 则dy =sin 2cos ln 2x x dx 4、设sin x y e =，则dy =？ 解：()''cos cos xx xx y e eee =⋅=所以cos x x dy e e dx = 5、设2x y e-=，则dy =？（答案：22x xedx --）六、 运用导数判定单调性、求极值 例题：1、求ln y x x =的单调区间和极值． 解：定义域(0,)x ∈+∞令ln 10y x '=+=，求出驻点1x e -=函数的单调递减区间为1(0,]e -，单调递增区间为1(,)e -+∞极小值为11()y e e =-．2、求x y xe -=的单调区间和极值． 解：定义域(,)x ∈-∞+∞令(1)0x x x y e xe x e --'=-=-=，求出驻点1x =函数的单调递减区间为[1,)+∞，单调递增区间为(,1)-∞，极大值为1(1)y e -=． 3、求函数.2()x f x e-=.的单调区间和极值．解：定义域(,)x ∈-∞+∞ 令2()2x f x xe-'=-，得0x =极大值为(0)1f =．4、求函数31()3f x x x =-的极值．答案：极小值为2(1)3y =-，极大值为2(1)3y -=七、 隐函数求导 例题：1、求由方程2sin 0x e y xy +-=所确定的隐函数()y y x =的导数dydx． 解：方程两边关于x 求导，得：即 2cos 2xy e y y xy-'=-2、求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y y x =的导数dy dx． 解：方程两边同时关于x 求导，得： 即3、求由方程sin()y x y =+所确定的隐函数()y y x =的导数dydx． 答案： cos()1cos()dy x y dx x y +=-+4、求由方程ln ln 0xy x y ++=所确定的隐函数()y y x =的导数dydx． 答案： dy y dx x =-八、 洛必达法则求极限，注意结合等价无穷小替换原理 例题：1、求极限011lim 1sin x x e x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 解：原式0sin (1)lim (1)sin x x x x e e x→--=-20sin (1)lim x x x e x→--=.()0sin ~,1~xx x x e x →- 当时，. 2、求极限30sin lim tan x x x x →-00⎛⎫⎪⎝⎭ 解：原式=3sin limx x xx→-()0tan ~x x x → 当时， =22012lim 3x xx → 2101cos ~2x x x ⎛⎫→- ⎪⎝⎭ 当时， 3、求201lim x x e x x →--00⎛⎫ ⎪⎝⎭（答案：12） 九、 原函数、不定积分的概念及其性质 知识点：设()()F x f x '=，则称()F x 是()f x 的一个原函数，()F x C +是()f x 的全体原函数，且有：例题：1、( )是函数33x x +的原函数．A ．233x + B ．421342x x + C ．42x x + D ．421142x x +解：因为42313342x x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭所以421342x x +是33x x +的原函数．2、( )是函数2cos x x 的原函数． A ．22sin x -B ．22sin xC ．21sin 2x -D ．21sin 2x解：因为22211sin (cos )2cos 22x x x x x '⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭g所以21sin 2x 是2cos x x 的原函数．3是( )的原函数A ．12xBC ．ln xD解：因为'=的原函数．4、( )是函数1x的原函数．A ．21xB ．21x -C ．ln x -D ．ln ||x解：因为()1ln ||x x'=所以ln ||x 是1x的原函数．十、 凑微分法求不定积分（或定积分）简单凑微分问题：2x e dx ⎰，sin 4xdx ⎰，cos5xdx ⎰,ln ln xd x ⎰ 一般的凑微分问题：⎰，⎰，sin 1cos x dx x +⎰，ln x dx x ⎰例题： 1、⎰解：注意到2(1)2x x '-=-原式=()2112x --⎰C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭参考公式 2、⎰解：注意到2(23)6x x '-=-原式21=(23)6x --3223x C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰参考公式=319C -+ 3、sin 1cos x dx x+⎰解：注意到(1cos )sin x x '+=-原式1=(1cos )1cos d x x -++⎰1ln ||dx x C x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰参考公式=ln |1cos x |C -++ 4、5x e dx +⎰解：原式=5(5)x e d x ++⎰()x x e dx e C =+⎰参考公式=5x e C ++5、cos5xdx ⎰ 解：原式1cos5(5)5xd x =⎰()cos sin xdx x C =+⎰参考公式 6、sin 3xdx ⎰ 解：原式1sin3(3)3xd x =⎰()sin cos xdx x C =-+⎰参考公式 十一、 不定积分的第二类换元法——去根号（或定积分）等 例题： 1、求不定积分t =，则221ln(1)x e t x t =-⇒=-原式=22121211t dt dt t t t ⋅=--⎰⎰2、4⎰．t =，则22x t dx tdt =⇒= 当0042x t x t ====时，；当时，原式=2200111221+t 1+tt tdt dt +-⋅=⎰⎰3、1⎰t =，则21x t =-，2dx tdt =当0x =时，1t =；当1x =时，t =原积分211)2t t tdt =-⋅ 十二、 不定积分的分部积分法（或定积分）诸如sin x xdx ⎰，cos x xdx ⎰，x xe dx ⎰，x xe dx -⎰，ln x xdx ⎰，可采用分部积分法分部积分公式：()()()()()()u x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰ 例题：1、求不定积分sin x xdx ⎰． 解 sin (cos )x xdx xd x =-⎰⎰2、求不定积分x xe dx -⎰ 解 x x xe dx xde --=-⎰⎰3、求不定积分ln x xdx ⎰解 21ln ln ()2x xdx xd x =⎰⎰十三、 定积分的概念及其性质知识点：定积分的几何意义，奇偶对称性等 例题：1、定积分23ax a x e dx -⎰等于 ．解： 因为23x x e 是x 的奇函数，所以原式=0 2、定积分23sin aa x xdx -⎰等于 ．解： 因为23sin x x 是x 的奇函数，所以原式=0 3、定积分22sin 1x xdx x π-π+⎰等于 ． 解： 因为22sin 1x xx+是x 的奇函数，所以原式=0十四、 变上限积分函数求导 例题：1、 设函数()f x 在[,]a b 上连续，3()()x aF x f t dt =⎰，则()F x '=（ C ）．A ．()f xB ．3()f xC ．233()x f xD ．23()x f x2、设21()arctan x f x tdt =⎰，则()f x '=22arctan x x ．3、设30()sin xf x t dt =⎰，则()f x '=3sin x ．十五、 凑微分法求定积分（或不定积分） 思想与不定积分类似 例题：1、10x ⎰解：注意到32(1)3x x '+=原式301(1)3x =+⎰3223x C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰参考公式=13029 十六、 定积分的第二类换元法——去根号（或不定积分， 思想与不定积分类似 例题：1、4⎰．t =，则22x t dx tdt =⇒= 当0042x t x t ====时，；当时，原式=2200111221+t 1+tt tdt dt +-⋅=⎰⎰2、1⎰t =，则21x t =-，2dx tdt =当0x =时，1t =；当1x =时，t =原积分211)2t t tdt =-⋅ 十七、 定积分的分部积分法（或不定积分） 思想与不定积分类似 例题：1、求定积分20sin x xdx π⎰． 解220sin (cos )x xdx xd x ππ=-⎰⎰2、求定积分10x xe dx -⎰ 解11xx xe dx xde --=-⎰⎰十八、 求平面图形面积知识点：X 型积分区域的面积求法 Y 型积分区域的面积求法通过作辅助线将已知区域化为若干个X 型或Y 型积分区域的面积求法 例题：1、求由ln y x =、0x =，ln 2y =及ln 7y =所围成的封闭图形的面积．解：由ln y x =得y x e =面积为ln 7ln 2(0)y S e dy =-⎰2、计算由曲线y =1y =及0x =所围成的图形的面积．解：由1y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩A 为(1,1)面积为1(1S dx =-⎰3、求由曲线1y x =与直线y x =及2x =所围成的平面图形的面积．解：由2y xx =⎧⎨=⎩得交点A 为(2,2)由1y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得交点B 为(1,1)面积为211()S x dx x =-⎰。
高等数学B上
华南理工大学高等数学B上（随堂练习）第一章函数与极限1.函数的定义域是( )A． B． C． D．参考答案：A2.函数的定义域是 ( )A． B．C． D．参考答案：C3.函数的定义域是( )A． B．C． D．参考答案：A4.函数的定义域为( )A． B．C． D．参考答案：B5.函数的定义域是（）A． B． C． D．参考答案：C6.函数的定义域是( ) A． B． C． D．参考答案：C7.函数的定义域是（）A． B． C． D．参考答案：A8.若，则( )A． B．C． D．参考答案：A9.若，，则( ) A． B． C． D．参考答案：D10.设，则( ) A． B． C． D．参考答案：A11. ( ) A． B． C． D．参考答案：B12.( ) A． B．不存在 C． D．参考答案：D13. ( ) A．不存在 B． C． D．参考答案：C14.( ) A． B．不存在 C． D．参考答案：D15.( ) A． B． C． D．参考答案：A16.( ) A． B． C．不存在 D．参考答案：B17.当时，下列变量是无穷小的是( ) A． B． C． D．参考答案：C18.当时，与等价的无穷小是( ) A． B． C． D．参考答案：A19. ( )A．0 B． C． D．1参考答案：B20.( )A．8 B．2 C． D．0参考答案：D21.( )A．0 B．1 C． D．2参考答案：D22.下列等式成立的是( )A． B．C． D．参考答案：C问题解析：23.( )A． B．1 C．不存在 D．参考答案：A24.( )A．1 B． C．不存在 D．参考答案：D25.( )A．0 B．1 C． D．参考答案：C26.设函数在点处极限存在，则( ) A．2 B．4 C．1 D．0参考答案：A27.设，则 ( )A．0 B．-1 C．1 D．2参考答案：C28.设，则( )A．1 B．2 C．0 D．不存在参考答案：A29.设在处连续，则=( ) A．1 B．2 C．0 D．不存在参考答案：A第一章函数与极限·第二节数列的极限1.曲线在点处的切线的斜率为( ) A．－2 B．2 C．－1 D．1参考答案：B2.曲线在点处的切线方程为( )A． B．C． D．参考答案：B3.曲线在点处的切线方程为( )A． B．C． D．参考答案：C4.曲线在点(1,1)处的切线方程为( )A． B．C． D．参考答案：B5.设直线是曲线的一条切线，则常数( ) A． -5 B． 1 C．-1 D．5参考答案：D6.设函数，则( )A． B． C． D．参考答案：C7.设函数，则 ( )A． B．C． D．参考答案：A8.设函数，则( )A． B．C． D．参考答案：A9.设函数，则 ( )A． B．C． D．参考答案：D10.设函数，则( )A． B．C． D．参考答案：B11.设函数，在( )A． B．C． D．参考答案：C12.设函数，则( ) A． B．C． D．参考答案：A13.设函数，则( )A． B． C． D．参考答案：C14.设函数，则( )A． B． C． D．参考答案：D15.设函数，则 ( )A． B．C． D．参考答案：C16.设函数，则( )A． B． C． D．参考答案：A17.设函数，则( )A． B． C． D．参考答案：B18.设确定隐函数，则( )A． B． C． D．参考答案：B19.设函数，则( )A．4 B．-4 C．1 D．-1参考答案：C20.设方程所确定的隐函数为，则( )A． B． C． D．参考答案：B21.设函数由方程所确定，则( ) A．0 B． C． D．参考答案：B22.设方程所确定的隐函数为，则( ) A． B． C． D．参考答案：A23.设方程所确定的隐函数为，则( ) A． B．0 C． D．参考答案：D问题解析：24.设，则( )A． B．C． D．参考答案：A25.设函数，则( )A． B．C． D．参考答案：B26.设函数，则( )A． B．C． D．参考答案：B27.设，则( )A． B．C． D．参考答案：A第一章函数与极限·第三节函数的极限1.( )A． B．0 C． D．1参考答案：C2.( )A． B．0 C． D．13.( )A． B． C． D．不存在参考答案：B4.( )A． B． C．1 D．不存在参考答案：A5.( )A． B． C．1 D．不存在参考答案：A6.( )A． B． C．1 D．0参考答案：A7.函数的单调减少区间是 ( ) A． B． C． D．参考答案：A8.函数的单调区间是 ( ) A． B． C． D．9.函数的单调增加区间是( )A． B． C． D．参考答案：A10.函数的单调增加区间为 ( ) ．A． B． C． D．参考答案：C11.函数的单调减区间为( ) A． B． C． D．参考答案：B12.函数的单调增加区间为( )A． B． C． D．参考答案：D13.函数的极值等于( )A．1 B．0 C． D．参考答案：C14.函数的极值为( )A． B． C．0 D．1参考答案：A15.函数的极值为( )A．1 B．0 C． D．参考答案：A16.函数的极大值为( )A．-16 B．0 C．16 D．-7参考答案：B问题解析：17.函数的极大值为( )A．3 B．1 C．-1 D．0参考答案：A18.有一张长方形不锈钢薄板，长为，宽为长的．现在它的四个角上各裁去一个大小相同的小正方形块，再把四边折起来焊成一个无盖的长方盒．问裁去小正方形的边长为( )时，才能使盒子的容积最大．A． B． C． D．参考答案：B19.设有一根长为的铁丝，分别构成圆形和正方形．为使圆形和正方形面积之和最小，则其中一段铁丝的长为( )A． B． C． D．参考答案：A20.欲围一个面积为150m2的矩形场地，围墙高3米．四面围墙所用材料的选价不同，正面6元/ m2，其余三面3元/ m2．试问矩形场地的长为( )时，才能使材料费最省．A．15 B．10 C．5 D．8参考答案：A21.设两个正数之和为8，则其中一个数为( )时，这两个正数的立方和最小．A．4 B．2 C．3 D．5参考答案：A22.要造一个体积为的圆柱形油罐，问底半径为( )时才能使表面积最小．A． B． C． D．参考答案：C23.某车间靠墙壁要盖一间方长形小屋，现有存砖只够砌20m长的墙壁．问围成的长方形的长为( )时，才能使这间小屋的面积最大．A．8 B．4 C．5 D．10参考答案：D24.曲线的下凹区间为( )A． B． C． D．参考答案：A25.曲线的拐点坐标为( )A． B． C． D．不存在参考答案：B第一章函数与极限·第六节极限存在准则：两个重要极限1. ( )是的一个原函数．A． B． C． D．参考答案：C2.下列函数中，（）是的原函数A． B． C． D．参考答案：C3.下列函数中，( )是的原函数A． B． C． D．参考答案：D4. ( )是函数的原函数．A． B． C． D．参考答案：D5.下列等式中，( )是正确的A． B．C． D．参考答案：D6.若，则( )A． B． C． D．参考答案：B7.若满足，则（）．A． B． C． D．参考答案：B8.( )A. B．C． D．参考答案：D问题解析：9.( )A． B． C． D．参考答案：B10.( )A． B． C． D．参考答案：A11.( )A． B．C． D．参考答案：B12.( )A． B． C． D．参考答案：B13.( ) A． B．C． D．参考答案：A14.( ) A． B．C． D．参考答案：C15.( ) A． B．C． D．参考答案：A16.( ) A． B．C． D．参考答案：A问题解析：17.( ) A． B．C． D．参考答案：A18.( )A． B．C． D．参考答案：D19.( )A． B．C． D．参考答案：A20.( )A． B．C． D．参考答案：B21.( )A． B．C． D．参考答案：C22.( )A． B．C． D．参考答案：A第二章导数与微分·第一节导数概念1.( )A． B．C． D．参考答案：B2.曲线，直线，及轴所围成的图形的面积是( ) A． B． C． D．参考答案：A3.定积分等于( )A．2 B．1 C．0 D．-1参考答案：C4.( )A．2 B．1 C．0 D．-1参考答案：C5.( )A．2 B．0 C．1 D．-1参考答案：B6.设函数在上连续，，则( ) A． B． C． D．参考答案：C7.设，则等于( )A． B． C． D．参考答案：D8.( )A． B． C． D．参考答案：C9.A．0 B． C．1 D．参考答案：B10.A．1 B．0 C． D．-1参考答案：D11.A． B． C． D．1 参考答案：C12.( )A．4 B．9 C．6 D．5参考答案：A13.( )A．1 B．2 C． D．参考答案：B14.( )A．2 B．C． D．参考答案：D15.( )A． B． C．1 D．参考答案：A16. ( )A． B． C．1 D．参考答案：B17.( )A． B．1 C． D．参考答案：D18.( )A． B．0 C．1 D．参考答案：A19.( )A．0 B． C．1 D．参考答案：B20.( )A．1 B． C． D．参考答案：B21.( )A． B． C． D．1参考答案：A22.( )A． B．1 C． D．2 参考答案：C23.( )A． B． C． D．1 参考答案：A24.( )参考答案：A25.( )A． B．C． D．参考答案：C26.( ) A． B．1 C． D．参考答案：A27.( ) A． B．1 C． D．参考答案：B问题解析：28. ( )A．1 B． C．0 D．参考答案：A29.( )A． B．C． D．参考答案：B30. ( )A． B．C．1 D．参考答案：A31.( )A． B． C． D．1 参考答案：C32.广义积分( )A． B．不存在 C．0 D．1参考答案：A33.广义积分( )A．1 B．不存在 C．0 D．参考答案：A34.广义积分( )A．1 B．不存在 C．0 D．参考答案：B35.由抛物线，直线，及所围成的平面图形的面积等于( )A．2 B．1 C． D．参考答案：A36.由直线，，及曲线所围成的平面图形的面积等于( ) A． B．1 C． D．参考答案：A37.由抛物线与直线及所围成的封闭图形的面积等于( ) A． B． C．2 D．1参考答案：A38.由曲线与直线及所围成的平面图形的面积等于( )A． B．2 C．1 D．参考答案：A39.由曲线与所围图形的面积等于( )A．1 B． C．3 D．参考答案：B40.由，，所围成的封闭图形的面积等于( )A． B．1 C．3 D．2参考答案：A41.由及在点（1，0）处的切线和y轴所围成的图形的面积等于( ) A．1 B． C．2 D．3参考答案：B问题解析：42.由曲线与所围图形的面积等于( )A． B．1 C． D．参考答案：A问题解析：43.设由抛物线；，及所围成的平面图形为D，则D 绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于( )A． B． C． D．参考答案：D44.设由直线，，及曲线所围成的平面图形为D，则D绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于( )A． B． C． D．参考答案：A45.设由曲线与直线及所围成的平面图形为D，则D绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于( )A． B． C． D．参考答案：B46.设由抛物线与直线及所围成的封闭图形为D，则D绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于( )参考答案：D47.设由曲线与直线，及所围成的封闭图形为D，则D绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于( )A． B． C． D．参考答案：C48.设由曲线与直线及所围成的封闭图形为D，则D绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于( )A． B．C． D．参考答案：A。
广工环境B类高数上册总复习
0 , i 不是特征根 , k 1 , i 是特征方程的单根 .
Qm ( x ) 是与 Pm ( x )同次的多项式，系数待定.
（3）定积分的换元法和分部积分法
例1：设 f (x) 有一个原函数 sin x ，求
2
2
x
x f '( x) d x
解： f ( x ) ( sin x ) ' x cos x sin x 2
x
x
x f '( x ) d x
2
x d f ( x ) x f ( x )
2.定积分的几何应用：平面图形的面积和 旋转体的体积
四、微分方程：一阶线性微分方程，可降阶微分 方程，二阶常系数齐次线性微分方程，二阶常系 数非齐次线性微分方程的特解形式.
1. 求积分：原函数与不定积分的概念，换元法 和分部积分法，倒代换，对称性，广义积分.
重点： （1）对称区间上奇函数和偶函数积分性质
1
3 2
1 |xx |
2
dx
1
1 2
1 xx
2
dx
1
3 2
1 x2 x
dx
2
1
1 2
1 1 1 2 (x ) 4 2
1 d (x ) 2
1
3 2
1 1 d (x ) 2 1 2 1 (x ) 2 4
1
3 2
1 |xx |
2
1 1 2 (x ) 2 4 2 3 2 1 1 d (x ) 1 2 1 2 1 (x ) 2 4 3 1 1 1 1 2 1 2 arcsin 2 ( x ) ln ( x ( x ) ) 2 1 2 2 4 1 2 3 ) lim arcsin ( 2 x 1 ) ln ( 1 2 x1 1 1 2 1 1 1 2 3 ) 2x lim ln ( x ( x ) )ln | ln ( 2 d x x x a | c d x arcsin 2 x 2 2 2 x 1 2 a a 2 42
高等数学b学习资料-2-6微分中值定理ren
设函数 f ( x)在点 x0 的某邻域U ( x0 , )内
有定义并且在 x0 处可导，如果对任意 y 的 x U ( x0, )，有
f ( x) f ( x0 ) (或 f ( x) f ( x0 ))
则
f ( x0 ) 0 .
o x0 x
若f ( x0 ) 0 , 则称 x0 为函数 f ( x) 的驻点 .
则有 F ( x) C[a,b] , F( x) D[a,b] ,
F(a) b f (a) a f (b) F(b) , ba
即 F ( x) 在 [a,b] 上满足罗尔定理的条件,
在 (a,b)内至少存在一点 , 使得 F ( ) 0 .
即 f ( ) f (b) f (a) 0 ,
例6 设 f ( x) C[a,b] D(a,b) , f (a) f (b) 0,
证明: 至少存在一点 (a,b) 使 f ( ) f ( ) 0 .
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
Lagrange 中值定理： 设函数 f (x) 满足条件： 1) 在闭区间 [a,b]上连续. 2) 在开区间(a,b)内可导.
则在 (a,b) 内至少存在一点 ，使 f (b) f (a) = f '()(ba) ((a,b)) .
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b).
结论亦可写成 f (b) f (a) f ( ).
ba
证明：作辅助函数 F ( x) f ( x) f (b) f (a) x , ba
f (b) f (a) f ( )(b a), (a , b) g(b) g(a) g( )(b a), (a , b)
上面两式相比即得结论.
2019-2020人教版B版高一数学第一学期期末复习
2019-2020学年度高一第一学期期末复习一、考试范围与复习指导思想指导思想：通过复习，第一，帮助学生准确掌握基础知识，并能灵活运用；第二，促进学生在头脑中把学习的内容形成知识网络；第三，提升学生的思维能力，提高分析和解决问题的能力；第四，进一步培养学生刻苦钻研的精神与仔细计算、书写整洁和自我检查的良好习惯。
二、学生在学习过程中存在的问题及解决策略存在问题：（1）基本功不过关，“乱用”符号语言表达；（2）概念、公式理解存在偏差，分析问题不全面；（3）“抓不准”知识的思维特征，分析问题的方法选择不当.解决策略：（1）运用符号及图形语言梳理核心概念，让学生再次夯实基础概念和基础知识；（2）精选精炼课上的例题，以此促进学生深入理解所学知识的本质及其系统性；（3）整体把握复习内容，建立知识之间的联系，帮助学生不断地概括思维方法；（4）加强数学运算能力的培养：梳理此阶段的运算，从运算对象、运算法则、运算过程及运算结果等方面再次理解运算的作用；同时规范学生运算过程的完整性，形成良好的运算习惯；（5）练习、测试要有针对性，找准学生操作、思维层面上的“真”问题，通过针对性的练习或测试加以解决，达到优化复习的目的，提升复习效果.三、复习建议（至精至简）1.在梳理各部分核心知识、核心问题、核心方法的基础上，促进学生构建自己的认知体系.2.依托各部分的核心，引导学生把握数学本质，启发思考，关注学科核心素养的形成和发展. 《函数》核心知识：函数的概念与表示、函数的性质（定义域、单调性、奇偶性、对称性、零点、值域等）、基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）核心问题：如何研究函数的定义域、对应关系、值域？如何研究一个函数的性质？如何利用图象变换研究函数的性质？如何构造函数模型，借助函数的零点解决方程与不等式的问题？核心思想、方法：文字、符号、图形三种语言的相互转换；数形结合；特殊与一般；函数与方程；构造与转化等思想方法核心技能：作图技能、运算技能、推理技能例1：列表、图象、解析式（研究函数的三种方法）●已知函数(),()f x g x 分别由下表给出：（1） 求(f g （2） 求不等式(())(())f g x g f x >的解集●如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A . 若函数x y a =（0a >，且1a ≠）及 log b y x =（0b >，且1b ≠）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ， 且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则,a b 满足 A. 1a b << B. 1b a << C. 1b a >> D. 1a b >>●已知函数2()1f x x =-，求(1)f 的值；(1)f x -的表达式；已知函数2(1)f x x +=，求(1)f 的值；(1)f x -的表达式；已知函数1()2()f x f x x+=，求()f x 的表达式例2：逐步帮助学生树立研究函数性质的意识，能主动地去分析所研究的函数是否具有奇偶性、单调性、对称性等性质；关注函数图象的特征：性质的直观体现，定点、渐近线等（1） 如果已知条件中给出了函数的解析式，要会通过函数的解析式去分析函数的有关性质，并画出能够直观反应函数性质的示意图，进而解决问题；●函数1(),0()33,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩ 若[()]9f f m =，m 的值；若2(2)()f a f a ->，a 的范围（2）如果没有直接给出函数的解析式，要善于根据题目条件去构造函数的解析式； ●若关于x 的方程|1|2(0,1)xa a a a -=>≠有两个不等实根，求实数a 的取值范围（3）如果题目中提供了函数的图象，要通过分析函数图象中所体现出来的函数的性质作为解决问题的主要途径.●如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()2()1f x x +≥log 的解集是例3： ●变换作图1()1g x x x =+-（关注平移变换，左加右减，上加下减的理解） 1()11(1)11g x x f x x =-++=-+- (),(1)y f x y f x ==-两个函数图象的关系 ●求函数2()(2)f x x -=+的定义域，并指出其单调区间 ●函数()lg 21f x x =-的对称轴例4：已知函数22,2,()3,2,x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩ 若关于x 的方程()f x k =有三个不等的实根，则实数k 的取值范围是 ，不等式1()2f x ≥的解集为《平面向量》 核心知识：平面向量的基本概念（定义、表示方法、向量的模、常用向量）平面向量的线性运算（加法、减法、数乘运算）平面向量基本定理平面向量的坐标运算（平面向量的坐标表示、运算的坐标表示、向量平行的坐标表示）核心问题：如何运用向量的线性运算解决问题？（数形结合）如何运用向量的基本定理解决问题？（分解、坐标化）核心思想、方法：数形结合（灵活使用平行四边形和三角形法则）；向量是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的体现，解决向量问题的基本思维模式：数——坐标运算；形——非坐标运算（线性运算及几何意义）核心技能：利用三角形和平行四边形法则理解向量、线性运算、坐标运算例1：●已知向量b a ,是两个单位向量，则“b a =”是“2=+b a ”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 ●设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是<>a,b 为锐角的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 例2：分解式—基底，唯一确定；大小、方向两个维度的直观表达 ●在ABC ∆中，点D 满足2AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r ，则（ ）A ．点D 不在直线BC 上B ．点D 在BC 的延长线上D C ．点D 在线段BC 上 D ．点D 在CB 的延长线上●如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点， 且2BD DC =.若(,)AC mAB nAD m n =+∈R ，则____m n -=.●已知AB ，AC 是不共线的两个向量，12BE AC AB =-，则||||AE AC =____.四、参考练习《函数》1.函数y ____________.2.请写出一个既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的函数3.给定条件：①0x ∃∈R ,00()()f x f x -=-； ②x ∀∈R ,(1)(1)f x f x -=+请写出一个满足给定条件的函数4.()x f x a =和()x g x b =是指数函数，则“(2)(2)f g >”是“a b >”的 条件5. 1.30.33111(),(),log ,,,332a b c a b c ===则从小到大的关系是 6.已知函数,log a b y x y x ==的图象如图所示，则,a b 的大小关系7.函数()22x f x x =-的零点个数是 8.函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可以为( )A. 21()f x x x =- B. 31()f x x x =- C. 1()e x f x x =- D. 1()ln f x x x =- 9. 若函数()22()123f x k x x =-+- 在(),2-∞ 上单调递增，求k 的取值范围 10.已知函数1, 1(), 111, 1x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，函数21()4g x ax =+. 若函数()()y f x g x =-恰有2个 不同零点，则实数a 的取值范围是11.某商场全年中一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型： ①()x f x p q =⋅，(0,1)q q >≠；②()log (0,1)xp f x q p p =+>≠；③2()f x x px q =++. 能较准确反映商场月销售额()f x 与月份x 关系的函数模型为 _________（填写相应函数的y O x序号），若所选函数满足(1)10,(3)2f f ==，则()f x =_____________. 《平面向量》1.已知向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，若//a b ，实数m 是 ；若⊥a b ，=b2.已知向量(1,2),(1,0)==-a b ，则+2=a b3.5.6.AB ⊥，则实数7.是两个不共线的向量，1.B =2.若105,lg 2a b ==，则a b +=________；若2log 3,log 2,m n a b m n a+=== 3.已知0a b >>，下列不等式中正确的是（ ）2211. . . .11c c A B ab b C a ab D a b a b ><-<-<--4.求下列不等式的解集（1）220x x -++> （2）2210x x +-> （3）2112x x +≥- （4）2(1)0x a a -++≤ C。
高等数学（上）重要知识点归纳
高等数学（上）重要知识点归纳高等数学（上）重要知识点归纳第一章函数、极限与连续一、极限的定义与性质 1、定义（以数列为例）,,0lim N a x n n ?>??=∞→ε当N n >时，ε<-||a x n2、性质(1) )()()(lim 0x A x f A x f xx α+=?=→，其中)(x α为某一个无穷小。
(2)(保号性）若0)(lim 0>=→A x f xx ，则,0>?δ当),(0δx U x o∈时，0)(>x f 。
(3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。
二、求极限的主要方法与工具 1、*两个重要极限公式 (1)1sin lim=??→? (2)e =?+?∞→?)11(lim 2、两个准则 (1) *夹逼准则 (2)单调有界准则 3、*等价无穷小替换法常用替换：当0→?时（1)??~sin （2）??~tan （3）??~arcsin （4)??~arctan （5）??+~)1ln( （6）?-?~1e （7）221~cos 1??- （8）nn ?-?+~114、分子或分母有理化法5、分解因式法 6用定积分定义三、无穷小阶的比较* 高阶、同阶、等价四、连续与间断点的分类 1、连续的定义*)(x f 在a 点连续)()()()()(lim 0lim 0a f a f a f a f x f y ax x ==?=?=??-+→→?2、间断点的分类??其他震荡型（来回波动））无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）第一类 3、曲线的渐近线*ax x f Ay A x f ax x =∞===→∞→则存在渐近线：铅直渐近线：若则存在渐近线：水平渐近线：若,)(lim )2(,)(lim )1(五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理第二章导数与微分一、导数的概念 1、导数的定义*ax a f x f x a f x a f x y dx dy a f y ax x x a x a x --=?-?+=??=='='→→?→?==)()(lim)()(lim lim |)(|002、左右导数左导数ax a f x f x y a f a x x --=??='--→→?-)()(limlim)(0 右导数ax a f x f x y a f a x x --=??='++→→?+)()(limlim)(0 3、导数的几何意义*k a f a x f y a x 处的切线斜率在点（曲线))(,)(|='=4、导数的物理意义加速度）速度）则若运动方程：()()()(,)(()()(t a t v t s t v t s t s s ='=''='= 5、可导与连续的关系: 连续，反之不然。
高等数学(上)复习要点
高等数学（上）复习要点（2019-2020第一学期）二、主要知识点第一章函数、极限、连续考试内容：函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数的概念。
数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和两边夹定理），两个重要极限。
函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。
考试要求：1.理解函数的概念，掌握函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
2.掌握数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念。
3.掌握极限存在的两边夹定理，极限的四则运算法则，利用两个重要极限求极限的方法。
4.理解无穷小量的概念和基本性质，无穷小量的比较方法，无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
5.掌握函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
6.理解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、零点定理，介值定理)，并会应用这些性质。
第二章导数与微分考试内容：导数和微分的概念，导数的几何意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线与法线，导数和微分的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、隐函数和参数方程确定的函数的导数，高阶导数，一阶微分形式的不变性。
考试要求：1．掌握导数的概念，理解可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义会求平面曲线的切线方程和法线方程。
2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求参数方程确定的函数与隐函数的导数。
3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
4．了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
第三章微分中值定理与导数应用考试内容：微分中值定理，洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点，渐近线，函数图形的描绘，函数的最大值与最小值。
2020届高考数学总复习资料整理高中数学必备知识点大全
2020届高考数学总复习资料整理高中数学必备知识点大全三、算法、推理与证明五、函数、基本初等函数I的图像与性质指数函数2y a=01a〈〈(),-∞+∞单调递减，01,001x y x y〈〈〉〈〈时时函数图象过定点（0.1）1a〉(),-∞+∞单调递增，01,01x y x y〈〈〈〉〉时0时六、函数与方程、函数模型及其应用函数零点概念方程()0f x=的实数根。
方程()0f x=的实数根⇔函数()0y x=的图象与x轴有交点⇔函数()y f x=有零点。
存在定理对于在区间[],a b上连续不断，若()()0f a f b〈，则()y f x=在(),a b内存在零点。
二分法方法对于在区间[],a b上连续不断且()()0f a f b〈的函数()y f x=。
通过不断把函数()f x的零点所在的区间一分为二，使区间两个端点逐步逼近零点。
进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
步骤第一步确定区间[],a b，验证()()0f a f b〈g，确定精确度∈。
221cos 2sin 21cos 2cos 2aa aa -=+=注：表中,n k均为正整数。
十三、空间几何体（其中为半径、为高、为母线等)S h十四、空间点、直线平面位置关系（大写字母表点、小写字母表直线、希腊字母表平面）：【注：标准d根据上下文理解为圆心到直线的距离与两圆的圆心距】十八、圆锥曲线的定义、方程与性质注：1.表中两种形式的双曲线方程对应的渐进线方程分别为x a y ±=，x by ±=2.表中四种形式的抛物线方程对应的准线方程分别是2,2,2,2p y p y p x p x =-==-=。
十九、圆锥曲线的热点问题二十一、离散型随机变量及其分布（理科）二十二、统计与统计案例二十三、函数与方程思想，数学结合思想二十四、分类与整合思想，化归与转化思想二十五、几何证明选讲二十六、坐标系与参数方程。
高数B(上)试题及答案
高等数学B （上）试题1答案一、判断题（每题2分，共16分）（在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”） （ × ）1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量. （ × ）2. 闭区间上的间断函数必无界.（ √ ）3. 若)(x f 在某点处连续，则)(x f 在该点处必有极限. （ × ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.（ √ ）5. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量.（ × ）6. ()y f x =在点0x 连续，则()y f x =在点0x 必定可导. （ × ）7. 若0x 点为()y f x =的极值点，则必有0()0f x '=. （ × ）8. 若()()f x g x ''≡，则()()f x g x ≡.二、填空题（每题3分，共24分） 1. 设2)1(x x f =-，则(3)f =16. 2．1lim sinx x x→∞＝1。
3.112lim sin sin xx x x x x x x →∞⎡⎤+⎛⎫++=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦21e +.4. 曲线326y y x -=在(2,2)-点切线的斜率为23.5．设0()f x A '=，则000(2)(3)limh f x h f x h h→+--＝5A.6. 设1()sin cos,(0)f x x x x=≠，当(0)f =0时，)(x f 在0=x 点连续.7. 函数33y x x =-在x =1-处有极大值.8. 设)(x f 为可导函数,(1)1f '=，21()()F x f f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则=')1(F 1.三、计算题（每题6分，共42分）1．求极限 3(2)(3)(4)lim5n n n n n→+∞+++ . 解： 3(2)(3)(4)lim 5n n n n n →+∞+++234lim 111n n n n →+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3分）1= （3分）2. 求极限 0cos lim sin x x x xx x →--.解：0cos lim sin x x x xx x→--01cos sin lim1cos x x x xx →-+=- （2分） 02sin cos limsin x x x xx→+= （2分） 3= （2分）3. 求23(1)(2)(3)y x x x =+++在(0,)+∞内的导数.解：ln ln(1)2ln(2)3ln(3)y x x x =+++++， （2分）123123y y x x x '=+++++， （2分） 故23123(1)(2)(3)123y x x x x x x ⎛⎫'=+++++ ⎪+++⎝⎭（2分） 4. 求不定积分221d 1x x x ++⎰.解：221d 1x x x ++⎰22211d(1)d 11x x x x=++++⎰⎰ （3分） 2ln(1)arctan x x C =+++ （3分）5. 求不定积分2sin d x x x ⎰.解：2sin d x x x ⎰()221sin d 2x x =⎰ （3分） 21cos 2x C =-+ （3分）6．求不定积分sin 2d x x x ⎰. 解：sin 2d x x x ⎰11sin 2d(2)dcos222x x x x x ==-⎰⎰ （2分） ()1cos 2cos2d 2x x x x =--⎰ （2分）11cos 2sin 224x x x C =-++ （2分）7. 求函数()cos sin xy x =的导数.解：ln cos ln sin y x x = （3分）()()cos 12sin cotlnsin x y x x x +'=- （3分）四、解答题（共9分）某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.解：设垂直于墙壁的边为x ，所以平行于墙壁的边为202x -，所以，面积为2(202)220S x x x x =-=-+， （3分）由4200S x '=-+=，知 （3分） 当宽5x =时，长20210y x =-=， （3分） 面积最大51050S =⨯=（平方米）。
高等数学b上册教材
高等数学b上册教材高等数学是大学数学的一门重要课程，其中的上册内容主要涵盖了数列、函数、极限、连续等基础知识。
本教材将以清晰易懂、逻辑严谨为指导原则，为学生提供系统性的学习内容与方法。
第一章数列与极限1.1 数列的概念与性质数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的集合。
本章将着重介绍数列的概念、性质和表示方法，包括等差数列、等比数列等特殊类型的数列。
1.2 数列的极限数列的极限是数列收敛性的重要概念，对于理解极限与数列的关系至关重要。
本小节将深入探讨数列极限的定义、性质和判定方法，让学生能够准确理解数列极限的概念。
第二章函数与连续性2.1 函数的概念与性质函数是描述自变量和因变量之间关系的规则，是高等数学中最基本、最重要的概念之一。
本章将详细介绍函数的定义、性质和表示方法，使学生能够正确理解函数的本质。
2.2 基本初等函数基本初等函数是一类常用的数学函数，包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
本小节将着重介绍这些函数的定义、性质和常见变换形式，为学生打下坚实的基础。
2.3 极限与连续性极限与连续性是函数学习中的重要概念，对于理解函数的性质和应用具有关键作用。
本小节将深入研究极限的定义、连续性的判定、中值定理等内容，帮助学生掌握函数的极限性质。
第三章导数与微分3.1 导数的定义导数是函数变化率的精确描述和刻画，是微积分学的核心概念之一。
本章将系统介绍导数的定义、性质和计算方法，让学生能够正确理解导数概念的几何和物理意义。
3.2 常见函数的导数常见函数的导数计算是导数学习中的重要内容，也是解决实际问题的基础。
本小节将讲解常见初等函数的导数计算方法，并结合实例进行说明，培养学生的计算能力。
3.3 微分中值定理微分中值定理是微分学中的重要定理，用于研究函数在某一区间上的平均变化率和瞬时变化率之间的关系。
本小节将详细介绍拉格朗日中值定理和柯西中值定理等内容，帮助学生理解微分中值定理的应用。
通过本教材的学习，学生将全面掌握高等数学B上册的核心知识与方法。
高等数学B(一)
高等数学B(一)课程简介高等数学主要内容为微积分学，微积分学是现代数学的重要基础与起点，它不仅在物理、力学、化学、生物等自然科学领域中已有非常广泛的应用，近几十年来它已应用于社会、经济、人文等领域，成为这些领域的一个重要的研究工具。
微积分学起源于资本主义工业革命，工业的发展要求精确刻画各种运动—机械运动、天体运动、流体与气体运动等等的规律性，为此作为研究变量的高等数学-微积分学诞生了，十七世纪牛顿、莱不尼兹建立了微积分学，又经过一个半多世纪才形成现在应用的微积分学的体系。
经济学与现代数学关系密切，据统计自1969年起建立的诺贝尔经济学奖的得主有半数以上得益于有效的应用现代数学，因此作为现代数学基础的微积分学也是经济学专业一门重要基础课。
作为研究变量数学的微积分学不同于以研究常量为主的初等数学，在学习方法上要注意它的特点。
教学内容课程分（一）（二）两部分，共十五章，分别学习两个学期，每学期16周，平均二周左右学习一章。
第一部分绪论笫一章函数常量与变量函数概念函数表示的多样性反函数复合函数函数一些特性描述笫二章极限与连续极限概念的直观叙述极限性质函数连续性夹逼定理单调函数极限两个基本极限无穷小比较极限概念的严格叙述笫三章导数与微分导数概念导数四则运算复合函数求导高阶导数微分概念与运算笫四章微分学基本定理及其应用微分学基本定理（费尔马定理、罗尔拉格朗日哥西微分中值定理）罗必达法则泰勒公式函数单调性与凸凹性判别函数极值与最值函数渐近线函数作图笫五章不定积分不定积分的概念与性质换元积分法分部积分法有理函数不定积分三角有理式不定积分笫六章定积分定积分概念与性质微积分学基本定理定积分换元法与分部积分法定积分应用广义积分笫七章向量代数与空间解折几何7．1向量代数7．2空间的平面与直线7．3二次曲面7．4曲面方程与曲线方程笫八章多元函数微分学多元函数偏导数与全微分复合函数微分法8．4方向导数与梯度隐函数存在性与微分法二元泰勒公式极值与条件极值教材与参考书龚德恩主编《经济数学基础》第一分册微积分（第五版）四川人民出版社（2015）高等数学李忠周建莹编着北京大学出版社高等数学（物理类）文丽吴良大编着北京大学出版社数学分析简明教程邓东皋尹小霖编着，高等教育出版社教学安排大课-----每周2次4学时，共16周64学时作业----每周交1次，批改记成绩。
大一高数b知识点总结
大一高数b知识点总结高等数学B课程是大一学生必修的一门数学课程，它是继高等数学A之后的延伸和拓展。
本文将对大一高数B的主要知识点进行总结，包括限制与导数、微分学应用、不定积分与定积分、微分方程等内容。
1. 限制与导数1.1 限制的概念和性质在高数B中，我们首先需要了解限制的概念和性质。
限制表示自变量在某一点上的取值范围。
我们要熟练掌握如何求解限制，并了解限制的性质，如有界性、单调性等。
1.2 导数的定义和性质导数是描述函数变化率的重要工具。
在高数B中，我们需要掌握导数的定义和计算方法，研究导数的性质，如可导性、导函数的性质等。
同时，还需要了解高阶导数的概念和计算方法。
2. 微分学应用2.1 极值与最值在微分学应用中，极值与最值是一个重要的研究方向。
我们需要学习如何通过求导求解函数的极值与最值，并掌握极值定理和最值定理的应用方法。
2.2 函数的单调性与曲线的凹凸性在微分学中，函数的单调性和曲线的凹凸性也是我们需要重点研究的内容。
我们需要学会如何通过导函数的正负和二阶导数的符号来判断函数的单调性和曲线的凹凸性。
3. 不定积分与定积分3.1 不定积分的定义和性质不定积分是求解函数原函数（或原函数族）的过程，也是积分学的基础。
我们需要了解不定积分的定义和基本性质，并学会应用不定积分进行求解。
3.2 定积分的定义和性质定积分是计算函数在一定区间上的面积或曲线长度的重要工具。
在高数B中，我们需要掌握定积分的定义和性质，学会应用定积分计算面积、弧长等问题。
4. 微分方程微分方程是描述变量之间关系的方程，在科学和工程领域有广泛的应用。
在高数B中，我们需要学习常微分方程的基本概念、解法和应用，并熟练掌握一阶线性微分方程、可降阶的线性微分方程等类型方程的解法。
总结：大一高数B是大学数学的基础，通过对限制与导数、微分学应用、不定积分与定积分、微分方程等知识点的学习和掌握，可以为后续专业课程的学习打下良好的数学基础。
掌握这些知识点不仅需要理论的学习，更要注重实际应用和解题能力的培养。
高等数学b学习资料-3.1不定积分的概念及其线性法则
7. co cx o s2sxsix ndx.
1
8. co 2xssi2n xdx.
9. si2n2xdx.
1.0 ex1dx.
说明 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形 才能使用基本积分表.
1 . x (x 3x )d x.
解
x(
x3x)dx
(x2 3x4 3)dx2x52
ta x c n x o C ,s
y(0 )5, C6, 故所求曲线方程为 y ta x c n x o 6 .s
例3 已 f (x s ) 知 2 c i2 n x o 1 , 求 s f ( x ) . 解 由 f(sx )i n 2 c2 o x 1 s32si2nx,
两 个的 差是 一个 ______；
2、 f (x)的________称为 f (x) 的不 定积 分；
3、把 f (x)的一 个原 函数 F (x)的图形叫做函数 f (x)
的________，它的方 程是 y F (x) ， 这 样不 定积
f ( x )dx 在 几 何 上 就 表 示 _ _ _ __ _ _ _ ， 它 的 方 程 是
xC, x 0
假设有原函数 F(x) F(x) C,
x0
xC, x 0
但 F (x )在 x 0 处 不 可 微 ， 故假设错误
所以 f (x)在 ( ,)内不存在原函数.
结论 每一个含有第一类间断点的函数都 没有原函数.
一 、填 空题 ：
练习题
1、一 个 已 知 的 函 数 ， 有 ______个 原 函 数 ， 其 中 任 意
x2 1
三、一曲线通过点( e2 , 3)，且在任一点处的切线的斜 率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程 .
2020高一数学b版必修一知识点
2020高一数学b版必修一知识点数学是一门抽象而又有趣的学科，它在我们的日常生活中随处可见。
作为高中一年级学生，我们将学习数学B版必修一的知识点。
本文将依次介绍必修一的各个知识点。
1. 集合与命题集合是数学中最基础的概念之一，它是由一些确定的元素构成的整体。
我们可以通过列举元素的方式来表示一个集合，也可以使用描述性的方法来定义一个集合。
在集合运算中，我们探讨了交集、并集、补集等操作。
命题是一个陈述句，可以判断真假。
我们学习了命题的逻辑运算，包括与、或、非等。
2. 数与式在数与式这个知识点中，我们对自然数、整数、有理数以及实数进行了了解。
自然数是指0和正整数，而整数既包括自然数，又包括负整数。
有理数是可以表示为两个整数的比，而实数则包括有理数和无理数。
除了数的概念，我们还学习了代数式的知识，代数式是由数或字母等符号和运算符号组成的表达式。
3. 函数与方程函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了输入和输出之间的关系。
我们学习了函数的定义、性质以及函数的图像表示。
方程是一个等式，其中包含了未知数。
我们通过解方程的方法来求解未知数的取值。
4. 三角函数三角函数是数学中常见的一类函数，它们与三角形的角度相关。
我们学习了正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数的定义和性质。
在计算中，我们可以利用三角函数来解决与角度有关的问题，比如距离、高度、速度等。
5. 平面向量平面向量是由大小和方向所确定的量，它与几何图形的平移和旋转密切相关。
我们学习了向量的定义、向量的加法和减法，以及向量与数的乘法。
通过向量的运算，我们可以简洁地描述几何图形的变换和性质。
6. 解析几何解析几何是代数和几何的结合，它利用坐标系来研究几何图形。
我们学习了平面直角坐标系和空间直角坐标系的性质和使用方法。
通过坐标系，我们可以计算点的距离、中点、斜率等。
同时，解析几何也帮助我们更好地理解几何图形的性质和关系。
7. 数据统计数据统计是数学的一个应用领域，它通过数据的收集、整理和分析来获取有用的信息。
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华南理工大学网络教育学院 《高等数学（上）》辅导一、 判断两个函数的定义域是否相同1、2()ln f x x =与()2ln f x x =是否表示同一个函数？2、()||f x x =与()f x =二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理 常见的等价无穷小：0~sin ~tan ~arcsin ~arctan x x x x x x →时,~ln(1)~x x x e +-1211cos ~,2x x-11~2x -无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用相应的等价无穷小替换例题：1、320sin 3lim x xx →=？ 解：当0sin3~3x x x →，，原式=3200(3)lim lim270x x x x x→→==2、0sin3limx xx→=？解：原式=03lim 3x xx→=3、201-cos limx xx→=？ 解：当210cos ~2x x x →，1-原式=220112lim 2x xx →=4、0ln(13)limx x x→+=？解：当03)~3x x x →，ln(1+原式=.03lim 3x x x →=.5、201limx x e x→-=？解：当201~2x x e x →-，原式=.02lim 2x xx →=.三、 多项式之比的极限2lim 03x xx x →∞=+，2211lim 33x x x x →∞-=+，23lim x x x x→∞+=∞四、 可导与连续等的关系1、若()f x 在0x 点导数存在, 则()f x 在0x 点连续. 、2. 若0x 是()f x 的驻点，则它不一定是()f x 的极小值点.五、 导数的几何意义（填空题）0()f x '：表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线斜率曲线..()y f x =..在点00(,())M x f x 处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的法线方程为：0001()()()y f x x x f x -=--' 例题：1、曲线44xy x+=-在点(2,3)M 的切线的斜率． 解：222(4)'(4)(4)(4)(4)x x x x x x y x =='+--+-'=- 2282(4)x x ===-2、曲线cos x xy e=在点(0,1)M 处的切线方程． 解：20(cos )'cos ()()x x x x x x e x e y e =='-'= 2sin cos 1()x xx x xe xe e =--==-所以曲线cos x xy e=在点(0,1)M 处的切线方程为： 1(0)y x -=--，即10x y +-=3、曲线y =在点(1,1)M 处的切线方程． 解：53112233x x y x =='=-=-所以曲线y =在点(1,1)M 处的切线方程为：21(1)3y x -=--，即2350x y +-=六、 导数的四则运算、复合函数的导数、微分 复合函数求导的链式法则：d d d (),()[()]:d d d y y u y f u u g x y f g x x u x==⇒==⋅()()().y x f u g x '''=⋅或微分：()dy f x dx '= 例题：1、设y ='y =？解：()()1'2221112y x x -'=+⋅+=2、设2sin y x =，则'y =？ 解：()''222cos 2cos y x xx x =⋅=3、设sin 2x y =，则dy =？ 解：()''sin sin 2ln 2sin 2cos ln 2xx y x x =⋅=则dy =sin 2cos ln 2x x dx4、设sin x y e =，则dy =？解：()''cos cos xx xx y e eee =⋅=所以cos x x dy e e dx = 5、设2x y e -=，则dy =？（答案：22x xedx --）七、 运用导数判定单调性、求极值 例题：1、求ln y x x =的单调区间和极值． 解：定义域(0,)x ∈+∞令ln 10y x '=+=，求出驻点1x e -=函数的单调递减区间为1(0,]e -，单调递增区间为1(,)e -+∞极小值为11()y e e =-．2、求x y xe -=的单调区间和极值． 解：定义域(,)x ∈-∞+∞令(1)0x x x y e xe x e --'=-=-=，求出驻点1x =函数的单调递减区间为[1,)+∞，单调递增区间为(,1)-∞，极大值为1(1)y e -=．3、求函数.2()x f x e-=.的单调区间和极值．解：定义域(,)x ∈-∞+∞ 令2()2x f x xe -'=-，得0x =极大值为(0)1f =．4、求函数31()3f x x x =-的极值．答案：极小值为2(1)3y =-，极大值为2(1)3y -=八、 隐函数求导例题：1、求由方程2sin 0x e y xy +-=所确定的隐函数()y y x =的导数dydx． 解：方程两边关于x 求导，得：2cos (2)0x e y y y xy y ''+⋅-+=即 2cos 2xy e y y xy-'=-2、求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y y x =的导数dy dx． 解：方程两边同时关于x 求导，得：sin()(1)y x y y ''=-++即sin()1sin()x y y x y -+'=++3、求由方程sin()y x y =+所确定的隐函数()y y x =的导数dydx． 答案： cos()1cos()dy x y dx x y +=-+4、求由方程ln ln 0xy x y ++=所确定的隐函数()y y x =的导数dydx． 答案： dy y dx x =-九、 洛必达法则求极限，注意结合等价无穷小替换原理 例题：1、求极限011lim 1sin x x e x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 解：原式0sin (1)lim (1)sin x x x x e e x→--=-20sin (1)lim x x x e x →--=.()0sin ~,1~xx x x e x →- 当时，. 0cos lim 2xx x e x→-=0sin lim2xx x e →--= 12=-2、求极限30sin lim tan x x x x →-00⎛⎫⎪⎝⎭解：原式=3sin limx x xx→-()0tan ~x x x → 当时， 201cos lim 3x xx→-= =22012lim 3x xx → 2101cos ~2x x x ⎛⎫→- ⎪⎝⎭ 当时， 16=3、求201lim x x e x x →--00⎛⎫ ⎪⎝⎭（答案：12）十、 凑微分法求不定积分（或定积分）简单凑微分问题：2x e dx ⎰，sin 4xdx ⎰，cos5xdx ⎰,ln ln xd x ⎰ 一般的凑微分问题：，⎰，sin 1cos x dx x +⎰，ln x dx x ⎰例题： 1、⎰解：注意到2(1)2x x '-=-原式=()2112x --⎰C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭参考公式 ()1221x C =--+2、⎰解：注意到2(23)6x x '-=-原式21=(23)6x --3223x C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰参考公式=319C -+3、sin 1cos xdx x+⎰解：注意到(1cos )sin x x '+=-原式1=(1cos )1cos d x x -++⎰1ln ||dx x C x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰参考公式=ln |1cos x |C -++ 4、5x e dx +⎰解：原式=5(5)x e d x ++⎰()x x e dx e C =+⎰参考公式=5x e C ++5、cos5xdx ⎰ 解：原式1cos5(5)5xd x =⎰()cos sin xdx x C =+⎰参考公式 1sin55x C =+6、sin 3xdx ⎰解：原式1sin3(3)3xd x =⎰()sin cos xdx x C =-+⎰参考公式1cos33x C =-+十一、 不定积分的分部积分法（或定积分）诸如sin x xdx ⎰，cos x xdx ⎰，x xe dx ⎰，x xe dx -⎰，ln x xdx ⎰，可采用分部积分法分部积分公式：()()()()()()u x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰例题：1、求不定积分sin x xdx ⎰． 解 sin (cos )x xdx xd x =-⎰⎰cos (cos )x x x dx =---⎰cos cos x x xdx =-+⎰cos sin x x x C =-++2、求不定积分x xe dx -⎰ 解 x x xe dx xde --=-⎰⎰ x x xe e dx --=-+⎰x x xe e C --=--+3、求不定积分ln x xdx ⎰解 21ln ln ()2x xdx xd x =⎰⎰2211ln ln 22x x x d x =-⎰211ln 22x x xdx =-⎰ 2211ln 24x x x C =-+十二、 定积分的概念及其性质知识点：定积分的几何意义，奇偶对称性等 例题：1、定积分23ax ax e dx -⎰等于 ．解： 因为23x x e 是x 的奇函数，所以原式=0 2、定积分23sin aa x xdx -⎰等于 ．解： 因为23sin x x 是x 的奇函数，所以原式=03、定积分22sin 1x xdx x π-π+⎰等于 ．解： 因为22sin 1x xx+是x 的奇函数，所以原式=0十三、 变上限积分函数求导43'()(),()x aF x f t dt F x ==⎰则______解33''()()()F x f x x =233()x f x ＝()C 变上限积分函数的导数公式()[]'()'()()()x af t dt f x x Φ=ΦΦ⎰例题：1、 设函数()f x 在[,]a b 上连续，3()()x aF x f t dt =⎰，则()F x '=（ C ）．A ．()f xB ．3()f xC ．233()x f xD ．23()x f x2、设21()arctan x f x tdt =⎰，则()f x '=22arctan x x ．3、设30()sin xf x t dt =⎰，则()f x '=3sin x ．十四、 凑微分法求定积分（或不定积分） 思想与不定积分类似 例题：1、10x ⎰解：注意到32(1)3x x '+=原式301(1)3x =+⎰3223x C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰参考公式=1302921)9=- 十五、 定积分的分部积分法（或不定积分） 思想与不定积分类似例题：1、求定积分20sin x xdx π⎰． 解220sin (cos )x xdx xd x ππ=-⎰⎰220cos (cos )x x x dx ππ=---⎰20cos xdx π=⎰ 20sin 1x π==2、求定积分10x xe dx -⎰解11xx xe dx xde --=-⎰⎰11x x xee dx --=-+⎰11(0)x e e --=---121e -=-+十六、 求平面图形面积 知识点：X 型积分区域的面积求法 Y 型积分区域的面积求法通过作辅助线将已知区域化为若干个X 型或Y 型积分区域的面积求法 例题：1、求由ln y x =、0x =，ln 2y =及ln 7y =所围成的封闭图形的面积．解：由ln y x =得y x e =面积为ln 7ln 2(0)y S e dy =-⎰7ln 2lm y e ⎡⎤=⎣⎦5=2、计算由曲线y =1y =及0x =所围成的图形的面积．解：由1y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩A 为(1,1)面积为1(1S dx =-⎰132023x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦13=3、求由曲线1y x=与直线y x =及2x =所围成的平面图形的面积．解：由2y xx =⎧⎨=⎩得交点A 为(2,2)由1y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得交点B 为(1,1)面积为211()S x dx x =-⎰2211ln ||2x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ 3ln 22=-。