2020高等数学B(上)复习资料
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华南理工大学网络教育学院 《高等数学(上)》辅导
一、 判断两个函数的定义域是否相同
1、2()ln f x x =与()2ln f x x =是否表示同一个函数?
2、()||f x x =
与()f x =
二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理 常见的等价无穷小:
0~sin ~tan ~arcsin ~arctan x x x x x x →时,
~ln(1)~x x x e +-1
211cos ~,2x x
-1
1~2
x -
无穷小替换原理:在求极限过程中,无穷小的因子可以用
相应的等价无穷小替换
例题:
1、320sin 3lim x x
x →=? 解:当0sin3~3x x x →,
,
原式=3
200(3)lim lim270x x x x x
→→==
2、0sin3lim
x x
x
→=?
解:原式=03lim 3x x
x
→=
3、201-cos lim
x x
x
→=? 解:当2
10cos ~2x x x →,1-
原式=22011
2lim 2x x
x →=
4、0ln(13)
lim
x x x
→+=?
解:当03)~3x x x →,ln(1+
原式=.03lim 3x x x →=.
5、201
lim
x x e x
→-=?
解:当201~2x x e x →-,
原式=.02lim 2x x
x →=.
三、 多项式之比的极限
2lim 03x x
x x →∞=+,22
11lim 33x x x x →∞-=+,23lim x x x x
→∞+=∞
四、 可导与连续等的关系
1、若()f x 在0x 点导数存在, 则()f x 在0x 点连续. 、2. 若0x 是()f x 的驻点,则它不一定是()f x 的极小值点.
五、 导数的几何意义(填空题)
0()f x ':表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线斜率
曲线..()y f x =..在点00(,())M x f x 处的切线方程为:
000()()()y f x f x x x '-=-
曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的法线方程为:
0001
()()()
y f x x x f x -=-
-' 例题:
1、曲线44x
y x
+=-在点(2,3)M 的切线的斜率. 解:2
2
2
(4)'(4)(4)(4)(4)x x x x x x y x =='
+--+-'=- 2
2
82(4)x x ==
=-
2、曲线cos x x
y e
=在点(0,1)M 处的切线方程. 解:2
0(cos )'cos ()()x x x x x x e x e y e =='
-'= 2
sin cos 1()x x
x x xe xe e =--=
=-
所以曲线cos x x
y e
=
在点(0,1)M 处的切线方程为: 1(0)y x -=--,即10x y +-=
3
、曲线y =
在点(1,1)M 处的切线方程. 解:5
3
11
223
3x x y x =='=-=-
所以曲线y =
在点(1,1)M 处的切线方程为:
2
1(1)3
y x -=--,即2350x y +-=
六、 导数的四则运算、复合函数的导数、微分 复合函数求导的链式法则:
d d d (),()[()]:
d d d y y u y f u u g x y f g x x u x
==⇒==⋅
()()().y x f u g x '''=⋅或
微分:()dy f x dx '= 例题:
1
、设y ='y =?
解:()(
)1'
2
221112
y x x -'=+⋅+=
2、设2sin y x =,则'y =? 解:()'
'
2
22
cos 2cos y x x
x x =⋅=
3、设sin 2x y =,则dy =? 解:()'
'
sin sin 2
ln 2sin 2cos ln 2x
x y x x =⋅=
则dy =sin 2cos ln 2x x dx
4、设sin x y e =,则dy =?
解:()'
'
cos cos x
x x
x y e e
e
e =⋅=
所以cos x x dy e e dx = 5、设2
x y e -=,则dy =?(答案:2
2x xe
dx --)
七、 运用导数判定单调性、求极值 例题:
1、求ln y x x =的单调区间和极值. 解:定义域(0,)x ∈+∞
令ln 10y x '=+=,求出驻点1x e -=
函数的单调递减区间为1(0,]e -,单调递增区间为1(,)e -+∞
极小值为11
()y e e =-.
2、求x y xe -=的单调区间和极值. 解:定义域(,)x ∈-∞+∞
令(1)0x x x y e xe x e --'=-=-=,求出驻点1x =