初中数学翻折变换专题(完美版)

2021年最新

12 翻折变换（折叠问题）

一．选择题（共12小题）

1．如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9m，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长为（）

A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm

【分析】由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可．

【解答】解：由折叠的性质得：BE＝DE，

设DE长为xcm，则AE＝（9﹣x）cm，BE＝xcm，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，

根据勾股定理得：AE2+AB2＝BE2，

即（9﹣x）2+32＝x2，

解得：x＝5，

即DE长为5cm，

故选：D．

【点评】本题考查了矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．

2．如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别是边AC、BC上两点．将△ABC沿DE翻折，点C正好落在线段AB上的点F处，使得AF：BF＝2：3．若BE＝16，则点F到BC边的距离是（）

A．8B．12C ．D ．

【分析】作EM⊥AB于M，由等边三角形的性质和直角三角形的性质求出BM ＝BE＝8，ME ＝BM＝8，由折叠的性质得出FE＝CE，设FE＝CE＝x，则AB＝BC＝16+x，得出BF ＝（16+x），求出FM＝BF﹣BM ＝（16+x）﹣8＝+x，在Rt△EFM中，由勾股定理得出方程，解方程求出BF＝21．作FN⊥BC于N，则∠BFN＝30°，由直角三角形的性质得出BN ＝BF ＝，得出FN ＝BN ＝即可．

【解答】解：作EM⊥AB于M，如图所示：

∵△ABC是等边三角形，

∴BC＝AB，∠B＝60°，

∵EM⊥AB，

∴∠BEM＝30°，

∴BM ＝BE＝8，ME ＝BM＝8，

由折叠的性质得：FE＝CE，设FE＝CE＝x，

则AB＝BC＝16+x，

∵AF：BF＝2：3，

∴BF ＝（16+x），

∴FM＝BF﹣BM ＝（16+x）﹣8＝+x，

在Rt△EFM中，由勾股定理得：（8）2+（+x）2＝x2，

解得：x＝19，或x＝﹣16（舍去），

∴BF ＝（16+19）＝21，

作FN⊥BC于N，

则∠BFN＝30°，

∴BN ＝BF ＝，

∴FN ＝BN ＝，

即点F到BC 边的距离是，

故选：D．

【点评】本题考查了翻折变换的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和等边三角形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．3．如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB 边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处设DE与BB交于点F，则EF＝（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AB ＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，得到AH＝B′H ＝AB′，求得AH＝B′H＝1，根据勾股定理得到BB′＝＝＝，由折叠的性质得到BF ＝BB ′＝，DE⊥BB′，根据相似三角形即可得到结论．

【解答】解：∵在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2，

∴AB ＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，

过B′作B′H⊥AB与H，

∴△AHB′是等腰直角三角形，

∴AH＝B′H ＝AB′，

∵AB ′＝AC ＝，

∴AH＝B′H＝1，

∴BH＝3，

∴BB ′＝＝＝，

∵将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，

∴BF ＝BB ′＝，DE⊥BB′，

∴∠BHB′＝∠BFE＝90°，

∵∠EBF＝∠B′BH，

∴△BFE∽△BHB′，

∴＝，

∴＝，

∴EF ＝，

故答案为：．

故选：C．

【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC沿AC翻折得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则△ABE的面积为（）

A ．

B ．C．3 D ．

【分析】由折叠的性质可知∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．由等腰三角形的性质得出∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．求出∠ECD＝30°．由三角形的外角性质得出∠E ＝75°﹣30°＝45°，过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，由直角三角形的性质得出CH ＝AC＝1，AH ＝CH ＝．得出HD＝AD﹣AH＝2﹣．求出EH＝CH＝1．得出DE＝EH﹣HD ＝﹣1，AE＝AD+DE＝1+，由直角三角形的性质得出AM ＝AB＝1，BM ＝AM ＝．由三角形面积公式即可得出答案．

【解答】解：由折叠的性质可知：∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．

∴∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．

∴∠ECD＝180°﹣2×75°＝30°．

∴∠E＝75°﹣30°＝45°．

过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，如图所示：

在Rt△ACH中，CH ＝AC＝1，AH ＝CH ＝．

∴HD＝AD﹣AH＝2﹣．

在Rt△CHE中，

∵∠E＝45°，

∴△CEH是等腰直角三角形，

∴EH＝CH＝1．

∴DE＝EH﹣HD＝1﹣（2﹣）＝﹣1，

∴AE＝AD+DE＝1+，

∵BM⊥AE，∠BAE＝∠BAC+∠CAD＝60°，

∴∠ABM＝30°，

∴AM ＝AB＝1，BM ＝AM ＝．