2018年全国高考新课标2卷理科数学试题(解析版)

注意事项：

2018 年普通高等学校招生全国统一考试新课标 2

卷

理科数学

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 12 小题，每小题 5 分，共 60分， 、选择题：本题共 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1+2i 1．1-2i =( )

4 A ．-

5 - 解析：选 2．已知集合 A ．9 解析：选 A 3 5i 43 B ．- 5 + 5i 3 C ． - 5 4 5i D

．

34 5 + 5i A={(x,y)|x 2+y 2≤3,x ∈Z,y ∈Z } ，则 A 中元素的

个数为 ( B ．8 C ． 5 问题为确定圆面内整点个数 x -x e -e 2 的图像大致为 ( ) x )

D ．4

3．函数 f(x)= 解析：选 B f(x) 为奇函数，排除 A,x>0,f(x)>0, 排除 D, 取 x=2,f(2)= 2 -2

e -e

4 >1, 故选 B 4．已知向量 A ．4 解析：选 B a ，b 满足 |a|=1 ， a· b=-1 ，则 B ． 2

a · (2a-b)=2a -a 22 5．双曲线 a x 2－y

b 2＝1(a >0， b> 0)的离心率为 3 b=2+1=3

a · (2a-b)= ( ) C ．2 3，则其渐近线方程为 ( D ．

A ． y=± 2x 解析：选 A e= 3

B ． y=± 3x c 2=3a 2

b= 2a C5 cos = ， BC=1， AC=5，则 25 B ． 30

2C 6．在Δ ABC 中， A ． 4

2 解析：选 A cosC=2cos 22 -1= -

C ． y=± AB= ( ) C ． 29

D ．

D ．

25

y=± 3

x y=± x

2 3 5 AB 2=AC 2+BC 2

-2AB · BC ·cosC=32 AB=4 2

1

11 + 99 - 100，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 ( )

解析：选 A f(x)= 2cos(x+ π4 ), 依据 f(x)=cosx 与 f(x)= 2cos(x+ π4 ) 的图象关系知 a 11．已知 f(x) 是定义域为 (- ∞,+ ∞ )的奇函数，满足 f(1-x)= f(1+x) ．若 f(1)=2 ⋯+f(50)= ( ) A ．-50 B ． 0 C ． 2 D ．50

解析：选 C 由 f(1-x)= f(1+x) 得 f(x+2)=-f(x), 所以 f(x) 是以 4 为周期的奇函数，

f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0; f(1)+f(2)+f(3)+ ⋯ +f(50)=f(1)+f(2)=2

22 xy 12．已知 F 1，F 2 是椭圆 C: 2＋ 2＝1(a>b>0)的左，右焦点， ab 线上，Δ P F 1F 2为等腰三角形，∠ F 1F 2P=1200，则 C 的离心率为

211 A ．3 B ． 2 C ．

3 解析：选 D AP 的方程为 y= 6 （x+a ）, ∵ΔP F 1F 2为等腰三角形 ∴|F 2P|=| F 1F 2|=2c, 过 P 作 PH ⊥x 轴，则∠

A ． i=i+1

B 解析：选 B 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果． 哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数 可以表示为两个素数的和”，如 30=7+23．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的 概率是 ( ) 1 1 1 1

A ．

B ．

C ．

D ． 12 14 15 18 解析：选 C 不超过 30的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共 10个，从中选 31 为 7+23， 11+19， 13+17，共 3 种情形，所求概率为 P= 2= C 10 15

9．在长方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中， AB=BC=1， AA 1= 3，则异面直线 AD 1与 DB 1所成角的余弦值为 A ．1

B ． 5

C ． 5 A ． 5 B ． 6 C ． 5 解析：选 C 建立空间坐标系，利用向量夹角公式可得。 10．若 f(x)=cosx-sinx 在[-a,a] 是减函数，则 a 的最大值是 3π C ．

4 ．i=i +2 ． i=i+3 D ． i=i+4 2 个其和为 30 的 D ．

π A ． 4 π B ．π2 D ． 7．为计算 S=1- 11

+

23

的最大值为

4 。 ，则 f(1)+f(2)+f(3)+ P 在过 A 且斜率为 63

的直 A 是 C 的左顶点，点 1

D ．

4

3

1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；

PF 2H=600

, ∴|F 2H|=c,|PH|= 3c, ∴ P （2c, 3c ）, 代入 AP 方程得 4c=a 二、填空题：本题共 4 小

题，每小题 5 分，共 20 分。

13．曲线 y=2ln （x+1） 在点 （0,0） 处的切线方程为 ． 解析： y=2x

x+2y-5 ≥ 0

14．若 x,y 满足约束条件 x-2y+3 ≥ 0 ,则z=x+y 的最大值为 ___ ．

x-5 ≤ 0 解析： 9 15．已知 sin α+cos β =1,cos α+sin β =0，则

sin （ α+β ）= _________________________________________ ．

1

解析： - 2 两式平方相加可得

16．已知圆锥的顶点为 S ，母线 SA ，SB 所成角的余弦值为 7， SA 与圆锥底面所成角为 45°，若Δ SAB 的面积

8 为 5 15，则该圆锥的侧面积为 ______ ．

解析：设圆锥底面圆半径为 r, 依题 SA= 2r, 又 SA ， SB 所成角的正弦值为 8 , 则 2× 2r × 815=5

15 ∴r 2=40, S= π× r × 2r=40 2

三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第 22、 23 为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共 60 分。 17．（ 12 分） 记 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和，已知 a 1=-7 ， S 3=-15 ．

（1）求 {a n } 的通项公式；

（2）求 S n ，并求 S n 的最小值．

解：（ 1）设{a n }的公差为 d ，由题意得 3 a 1+3d=-15, 由 a 1=-7 得 d=2. 所以{a n }的通项公式为

a n =2n-9. （2）由（ 1）得 S n =n 2-8n=（n-4） 2

-16. 所以当 n=4时, S n 取得最小值 ,最小值为 -16. 18．（ 12 分） 下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y （单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型．根据 2000 年 至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1,2, ⋯,17 ）建立模型①： ^y=-30.4+13.5t ；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1,2, ⋯,7 ）建立模型②：