二叉树定价模型

..

期权定价的二叉树模型

Cox、Ross和Rubinstein 提出了期权定价的另一种常用方法二叉树（binomialtree ）模型，它假设

标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产

和期权价格的演进历程。本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票

指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。

8.1 一步二叉树模型

我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。

例8.1假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18.股

票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。

在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能

出现的不同股价。由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图 8.1表示的二叉树称为一步

（one-step）二叉树。这是最简单的二叉树模型。

一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。经过一个时间步（至到期

日T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到

相应的期权价格为. 这种过程可通过一

步（

one-

step

）二叉树表示出来，

如图

8.2

所示。我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。

..

为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（noarbitrage）假设，即市场上无套利机会存

在。构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。

如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组

合在期权到期日的价值为。根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应

该相等，即有

由此可得

(8.1)

上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。在这种情况下，该组合是无风险的。以表示无风险利率，则该组合的现值（thepresent value）为,又注意到该组合

的当前价值是，故有

即

将(8.1) 代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为

(8.2)

(8.3)

需要指出的是，由于我们是在无套利（noarbitr

age

）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率

应该满足：

.

..

现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。

已知：且

在期权到期日，当时，该看涨权的价值为而当

时，该看涨权的价值为

根据(8.3) 和(8.2)，可得

.

上述期权定价公式(8.2) 和(8.3)似乎与股价上升或下降的概率无关，实际上，在我们推导期权价值时它已

经隐含在股票价格中了。不妨令股价上升的概率为，则股价下降的概率就是

，在时间的期

望股票价格为

如果我们假设市场是风险中性的（riskneutral ），则所有证券的价格都以无风险利率增加，故有

.. 于是，我们有

由此可得

与(8.3) 比较，我们发现：，这就是

参数

的含义，我们称之为风险中性状态下股价上升的

概率。

8.2 两步二叉树模型

在一步二叉树模型中，股票和期权的价格只经过一个时间步的演化，如果初始时间距期权到期日的时间间隔太长，有可能造成计算误差太大的缺陷。因此，在初始时间与期权到期日之间增加离散的时间点，缩短计算的时间步长，有助于提高计算精度。

现在我们将初始时间距期权到期日的时间T分成两个相等的时间步，则每个时间步长。假设一

只股票的初始价格是，基于该股票的欧式期权价格为，且每经过一个时间步，该股票价格或者增

加到当前价

格的过程可通过如图8.

3

倍，或者下降到当前价格的倍。股票和期权价格的演化所示的二叉树表示出来，这种含有两个时间步长的二叉树称为两步二叉树（Two-step

binomialtr

ees

）模型。我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。

类似于一步二叉树模型的期权定价方法，采用无套利（noarbitrage ）假设，由前向后（

backward）逐步

计算期权价值，我们得到

(8.4)

其中，

(8.5)

在

(8.4) 中，分别是风险中性状态下最后一个时间步股价到达上

节点，中间节点和下节点的概率。因此，期权的初始价值可认为是期权在到期日的期望价值贴现。

例8.2 假设一只股票的初始价格是$50，且每过1年该股票价格或者上升20%，或者下降20%，无风险利率

为5%，现有一个基于该股票，敲定价为$52且2年后到期的欧式看跌权，试用二叉树模型

确定该期权的价值。

分析将初始时间到期权到期日的2年时间分成相等的两个时间步，则股票和期权价格的

演化进程可通过图4直观表示出来。依题意，已知：

且

在期权到期日，当时，该看跌权的价值为

当时，该看跌权的价值为

当时，该看跌权的价值为

根据(8.5) ，可得

再由(8.4) ，即可求得该看跌权的初始价值为

.

8.3 多步二叉树模型