椭圆及其标准方程 第一课时.ppt

y
F2 M
O
x
F1
二、椭圆的标准方程:
y
F1
o
M
F2 x
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
y
F1
M
o
x
F2
y2 a2
x2 b2
1
a
b
0
椭圆的标准方程(1)
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)
它表示：
y M
F1 0
F2
x
(1)椭圆的焦点在x轴
(2)焦点是F1（-c，0）、 F2（c，0）
(3)c2= a2 - b2
(1) x 2 y 2 1 (4)9x2 25 y 2 225 0
16 16
x2 (2)
y2
1
(5) 3x2 2 y2 1
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 16
? x 2
(3) m2
y2 m2 1
1(6)
x2 24
k
y2
16 k
1
练习2：
1、 已知椭圆的方程为： x2 y2 1，请填空： 25 16
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一、椭圆的定义： 平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常
数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.
这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
|PF1|+|PF2=2a (2a>2c>0, |F1F2|=2c)
问题的提出：
1.什么是椭圆？ 2.取一条定长的细绳，把它的两端固定在平 面内的同一点F上，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖 在平面内慢慢移动，问笔尖画出的图形是什么？
3.若将细绳两端分开并且固定在平面内的 F1、 F2 两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把 绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢移动，问笔尖画出
M( x, y)为椭圆上
y
M
的任意一点，又设
M与 F1、F2 的距离
F1
O F2
x
的和等于2a (2a 2c)
椭圆上点 M 的集合为 P M MF1 MF2 2a
( x c)2 y2 ( x c)2 y2 2a
移项平方，得
( x c)2 y2 4a2 4a ( x c)2 y2 ( x c)2 y2
x2 y2 1 9 16
探究: 若方程 x2 y2 1 表示焦点在y轴上的椭圆， k 2 3k
求k的取值范围; 若方程表示椭圆呢?
练习3. 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
a2 b2
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
相 a、b、c 的关系 同
a2 b2 c2 (a c 0, a b 0)
点 焦点位置的判断 哪个分母大，焦点就在哪个轴上
练习1：
1.口答：下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 a2 ,b2 ，写出焦点坐标.
整理得 a2 cx a ( x c)2 y2
上式两边再平方，得
a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2
整理得 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 )
x2 a2
y2 a2 c2
1(a2
c2
0)
y
P
思考：观察椭圆，
的图形又是什么呢？
M
F1
F2
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导入新课： 绘图纸上的三个问题 1．视笔尖为动点，两个图钉为定
点，动点到两定点距离之和符合什么 条件？其轨迹如何？
2．改变两图钉之间的距离，使其与绳长 相等，画出的图形还是椭圆吗？
你能从中找出表示
F1
O F2
x a,c, a的2 线c2段吗？
令 b2 a2 c2，得
x2 y2 a2 b2
1
a b 0
思考：如果焦点F1，F2 在 y 轴上，
且 F1，F2 的坐标分别为(0, c),(0, c)
a ，b 的意义同上，那么椭圆的方
程是什么？
y2 x2 a2 b2 1 (a b 0)
3．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
课件\椭圆定义.exe 几何画板椭圆定义.exe 椭圆定义２.exe
思考
满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？ • (1)平面内----这是大前提 • (2)笔尖到两个定点的距离之和等于常数 • (3)绳长大于两定点间距离
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求曲线方程的一般步骤
建系设点 写出点集 列出方程
化简 证明
建立椭圆的方程
思考：观察椭圆的形状，如何建立适当的直角 坐标系，才能使椭圆的方程简单？
y
F1
O
F2
x
以两定点 F1、F2 所在直线为x 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 y轴，建立直角坐标系 .
设 F1F2 2c (c 0)，则F1( c ,0 )、F2(c,0)
M
下面来求椭圆的标准方程.
F1
怎样建立平面直角坐标系呢？ 新疆 王新敞 奎屯
F2
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椭圆的标准方程(2)
y
y2 x2
a2 b2 1 (a b 0)
F2
0
它表示:
(1)椭圆的焦点在y轴
F1
(2)焦点是F1（0，-c）、F2（0，c） (3)c2= a2 - b2
(1) a=_5_，b=_4_，c=_3_，焦点坐标为(_-_3_,0__)、__(_3_,_0_)，焦距等于_6_.
(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，
并且|CF1 | =2,则 |CF2 | =__8_.
变题： 若椭圆的方程为16 x2 9y2 144 ,试口答完成（1）.
M x
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椭圆的标准方程
定义
不
图形
同
点
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
y
y
P
F2 P
F1 O F2
x
O
x
F1
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0