椭圆及其标准方程 第一课时.ppt
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【课件】椭圆及其标准方程(第一课时)+课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
,, 2 − 2 的线段吗？
由图3.1-3可知， 1 = 2 = , 1 = 2 = ，
令 = = 2 − 2
那么方程⑤就是
2
2
(
>
>0)
⑥
+
=1
2
2
2 = 2 − 2
思考3：为什么2 − 2 要用 2 表示？
简洁，美观，对称，和谐
（3）就一般情况而言，求曲线的方程有哪些步骤？
伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
变式.如图,垂直轴，垂足为 ，点在的延长线上，且
3
= .当
2
点在圆 2 + 2 =4上运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
相关点法
解：设 , ， (0 ，0 )，
因为 (0 ，0 )在圆 2 + 2 =4上，所以02 +02 =4①
将方程④两边同除以2 (2
2
2
+ 2 2=1
−
>c>0,所以2 − 2
− 2 )，得 2
由椭圆的定义可知,2>2c>0,即
④
⑤
> 0.
思考1：为什么要用2，2c而不是 ， c表示椭圆的定长与焦距？
为了使焦点和长轴端点的坐标都不出现分数形式
图3.1-3
思考2：观察图3.1-3，你能从中找出表示
因吗？如果本章我们用坐标法来研究圆锥曲线，大家能在回顾用坐
标法研究直线与圆的基础上，猜想本章研究的大致思路与构架吗？
明确：采用坐标法研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化地、精确
地计算.
由图3.1-3可知， 1 = 2 = , 1 = 2 = ，
令 = = 2 − 2
那么方程⑤就是
2
2
(
>
>0)
⑥
+
=1
2
2
2 = 2 − 2
思考3：为什么2 − 2 要用 2 表示？
简洁，美观，对称，和谐
（3）就一般情况而言，求曲线的方程有哪些步骤？
伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
变式.如图,垂直轴，垂足为 ，点在的延长线上，且
3
= .当
2
点在圆 2 + 2 =4上运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
相关点法
解：设 , ， (0 ，0 )，
因为 (0 ，0 )在圆 2 + 2 =4上，所以02 +02 =4①
将方程④两边同除以2 (2
2
2
+ 2 2=1
−
>c>0,所以2 − 2
− 2 )，得 2
由椭圆的定义可知,2>2c>0,即
④
⑤
> 0.
思考1：为什么要用2，2c而不是 ， c表示椭圆的定长与焦距？
为了使焦点和长轴端点的坐标都不出现分数形式
图3.1-3
思考2：观察图3.1-3，你能从中找出表示
因吗？如果本章我们用坐标法来研究圆锥曲线，大家能在回顾用坐
标法研究直线与圆的基础上，猜想本章研究的大致思路与构架吗？
明确：采用坐标法研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化地、精确
地计算.
221椭圆及其标准方程精品PPT课件
内到两定点F1、F2距离之
F1
O
F2 X 和为定值2a（2a>2c)的动
(-c,0)
(c,0) 点M的轨迹方程。
解：以F1F2所在直线为X轴， F1F2 的中 点为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2 的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。
设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，
则:|MF1|+ |MF2|=2a
即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
因为2a>2c，即a>c，所以 a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中 b>0，代入上式可得：
b2x2+a2y2=a2b2
F1
(-c,0)
Y M(x,y)
O
F2 X
(c,0)
两边同时除以a2b2得：
x2 a2
y2 b2
1 (a>b>0)
这个方程叫做椭圆的标准方程， 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。
即: (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
所以 (x c)2 y2 2a (x c)2 y2
两边平方得 : (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
即: a2 cx a (x c)2 y2
两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2
1
10 6
课堂练习2：
1.口答：下列方程哪些表示椭圆？若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 a2,b2 ，写出焦点坐标.
(1) x 2 y 2 1 25 16
(2) 3x2 2 y 2 1
x2 (3)
y2
1
椭圆标准方程1-PPT课件
F2（0，c）
[3]c2= a2 - b2
学贵有疑，小疑则小进，大疑则大 进 8
比较：
x y 2 1( a b 0 ) 2 a b
y x 1 ( a b 0 ) 2 2 a b
焦点在分母大 学贵有疑，小疑则小进，大疑则大 的那个轴上 进
2 2
y
M
2
2
F1
0 y F2
F2
2 10
a 10
2 2
Hale Waihona Puke 12又∵c=2∴b2=a2-c2=10-4=6
y x 1 学贵有疑，小疑则小进，大疑则大 故所求椭圆的标准方程为： 10 6 进
求椭圆标准方程的解题步骤：
（1）确定焦点的位置； （2）设出椭圆的标准方程；
（3）用待定系数法确定a、b 的值，写出椭圆的标准方程.
x y 1 故所求椭圆的标准方程为： 学贵有疑，小疑则小进，大疑则大 25 9 进
2
2
11
练习[二]
[五]定义应用
写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2）， 并且椭圆经过点（-1.5，2.5）. y2 x2 （2）解：依题意，可设椭圆方程为： 2 2 1 (ab0 ) a b 3 3 2 5 2 2 5 2 2 a ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) 2 2 2 2
2
2
2
2
⑵
⑶
练习[二]
[五]定义应用
写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0）， 椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10；
（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2）， 并且椭圆经过点（-1.5，2.5）. 2 x y2 （1）解：依题意，可设椭圆方程为： 2 2 1 (ab0 ) a b ∵2a=10,∴a=5,又∵c=4 ∴b2=a2-c2=52-42=9
椭圆及其标准方程ppt课件
依题意有
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
高中数学选择性必修一课件：椭圆及其标准方程(第1课时)
4．椭圆方程中的 a，b 以及参数 c 有什么意义，它们满足什么关系？ 答：椭圆方程中，a 表示椭圆上的点 M 到两焦点间距离的和的 一半，可借助图形(如图)帮助记忆，a，b，c(都是正数)恰构成一个 直角三角形的三条边，a 是斜边，c 是焦距的一半，叫半焦距，a， b，c 始终满足关系式 a2＝b2＋c2.
2．求椭圆的标准方程时，应先判断焦点位置再设出标准方程，若不能确定 焦点的位置，可分两类设出椭圆方程或设两种椭圆方程的统一形式．
3．两种椭圆方程的统一形式为：mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)或xm2＋yn2＝ 1(m>0，n>0，m≠n)．
课后巩固
1．设定点 F1(0，－3)，F2(0，3)，动点 P 满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋9a(a>0)，
(2)因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以可设它的标准方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0)． 方 法 一 ： 由 椭 圆 的 定 义 知 2a ＝ （4－0）2＋（3 2＋2）2 ＋ （4－0）2＋（3 2－2）2＝6＋ 2＋6－ 2＝12，解得 a＝6. 又 c＝2，所以 b＝ a2－c2＝4 2. 所以椭圆的标准方程为3y62 ＋3x22 ＝1.
如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，那么设所求的椭圆方程为ay22＋ bx22＝1(a>b>0)．
(2)如果椭圆的中心在原点，但焦点的位置不能明确是在 x 轴上还是在 y 轴上， 那么椭圆方程可以设为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，进而求解．
3．怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上？ 答：看 x2，y2 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的 分母是 a2，较小的分母是 b2.如果 x2 的分母大，那么焦点就在 x 轴上；如果 y2 的 分母大，那么焦点就在 y 轴上．
椭圆及其标准方程(1)PPT课件
由椭圆定义知，动点 M 的轨迹是以 F1、F2 为焦点，焦距 为 8 的椭圆．其标准方程为2x52 ＋y92＝1 或2y52 ＋x92＝1.
(2)因为|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，所以动点 M 的轨迹是线 段 F1F2.
•椭圆的标准方程思维导航
• 1．如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简 单．
轨迹是______________________． • (2)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则点M的轨
迹是____________________． • [答案] 以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆
线段F1F2
[解析] (1)因为|F1F2|＝8 且动点 M 满足|MF1|＋|MF2|＝ 10>8＝|F1F2|，
• 2．在推导椭圆方程时，为何要设|F1F2|＝2c， 常数为2a？为何令a2－c2＝b2，
• 在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c>0)，椭圆 上任意一点到两个焦点的距离的和为2a(a>0)， 这是为了使焦点及长轴两个端点的坐标不出 现分数形式，以便使推导出的椭圆的方程形 式简单．令a2－c2＝b2是为了使方程的形式 整齐而便于记忆．
• 3．通过椭圆概念的引入和椭圆方程的推导， 培养观察、分析、探索能力和数形结合、等 价转化的思想方法，提高用坐标法解决几何 问题的能力．
• 重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形 式．
• 难点：椭圆标准方程的建立和推导．
•椭圆的定义思维导航
• 在生活中，我们对椭圆并不陌生．油罐汽车 的贮油罐横截面的外轮廓线、天体中一些行 星和卫星运行的轨道都是椭圆；灯光斜照在 圆形桌面上，地面上形成的影子也是椭圆形 的．那么椭圆是怎样定义的？怎样才能画出 椭圆呢？
• 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸 板，你能画出椭圆吗？
(2)因为|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，所以动点 M 的轨迹是线 段 F1F2.
•椭圆的标准方程思维导航
• 1．如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简 单．
轨迹是______________________． • (2)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则点M的轨
迹是____________________． • [答案] 以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆
线段F1F2
[解析] (1)因为|F1F2|＝8 且动点 M 满足|MF1|＋|MF2|＝ 10>8＝|F1F2|，
• 2．在推导椭圆方程时，为何要设|F1F2|＝2c， 常数为2a？为何令a2－c2＝b2，
• 在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c>0)，椭圆 上任意一点到两个焦点的距离的和为2a(a>0)， 这是为了使焦点及长轴两个端点的坐标不出 现分数形式，以便使推导出的椭圆的方程形 式简单．令a2－c2＝b2是为了使方程的形式 整齐而便于记忆．
• 3．通过椭圆概念的引入和椭圆方程的推导， 培养观察、分析、探索能力和数形结合、等 价转化的思想方法，提高用坐标法解决几何 问题的能力．
• 重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形 式．
• 难点：椭圆标准方程的建立和推导．
•椭圆的定义思维导航
• 在生活中，我们对椭圆并不陌生．油罐汽车 的贮油罐横截面的外轮廓线、天体中一些行 星和卫星运行的轨道都是椭圆；灯光斜照在 圆形桌面上，地面上形成的影子也是椭圆形 的．那么椭圆是怎样定义的？怎样才能画出 椭圆呢？
• 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸 板，你能画出椭圆吗？
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt
焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)
椭圆及其标准方程说课(精)PPT课件
y
a
b
F1
c O
F2
x
❖ 2.椭圆的标准方程
例:已知点 F、1 为F2 椭圆两个焦点,P为椭圆上任意一点,
且 | F1F2，| 2c | PF1 | | PF2,|其 2中a
a ,求c 椭0 圆方程
一般步骤: (1) 建系设点
点拨:怎样建系可以
(2) 写出点的集合
使方程尽可能简 单?
(3) 写出代数方程
两焦点的距离之和等于8
活动形式:思考—解答—点评 设计意图:强化学生对所学知识的理解、消
化和灵活运用
五、教学小结
➢活动形式:提问--小结
本节课学习的主要内容是什么?
➢设计意图:培养学生的概括能力
板书设计：
椭圆的定义和标准方程
1 、椭圆的定义
例1
2 、椭圆的标准方程 例2
练习
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
<2>如果调整细绳两端点的相对位置,细绳的长度 不变,猜想你的椭圆会发生怎样的变化?
<3>同样方式的操作为什么得到不同的结果?
教学过程
二、新知探究
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数 （大于 | F1F2 ）| 的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点 叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 注：若 | PF1 | | PF2 || F1F2 | ,则P点的轨迹为椭圆.
讨论平方的 等价性
a2 c2 x2 a2y2 a2 a2 c2
b2x2 a2y2 a2b2
椭圆及其标准方程课件.ppt
(1)两个焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0） 椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；
（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2） 并且椭圆经过点（-3/2，5/2）。
(1)两个焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0）椭 圆上一点P到两焦点距离的和等于10；
解：因为焦点在x轴上，所以设其标准
（3）若 | MF1 | | MF2 || F1F2 |， M点的轨迹不存在。
跟踪训练
用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。
(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。 (2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。 (3)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹。
为M（x,y）,
M
则F1(-c,0)，F2(c,0)。
（2）写等式： | MF1 | | MF2 | 2a F1 0
F2
x
（3）等式坐标化： (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
（4）化简： （问题：下面如何化简?）
（二）椭圆方程的推导
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
学生活动
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
M
y
F2 M
F1 O O OF2 x x x
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”
（二）椭圆方程的推导
(1) 建系设点：以线段F1F2中点为坐标原点，F1F2所在 直线为x轴，建立平面直角坐标系，设椭圆上y任意一点
解(1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故点M的轨迹为 椭圆。 (2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不 是椭圆(是线段F1F2)。 (3)因|MF1|+|MF2|=3<|F1F2|=4，故点M的轨迹不存在
（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2） 并且椭圆经过点（-3/2，5/2）。
(1)两个焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0）椭 圆上一点P到两焦点距离的和等于10；
解：因为焦点在x轴上，所以设其标准
（3）若 | MF1 | | MF2 || F1F2 |， M点的轨迹不存在。
跟踪训练
用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。
(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。 (2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。 (3)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹。
为M（x,y）,
M
则F1(-c,0)，F2(c,0)。
（2）写等式： | MF1 | | MF2 | 2a F1 0
F2
x
（3）等式坐标化： (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
（4）化简： （问题：下面如何化简?）
（二）椭圆方程的推导
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
学生活动
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
M
y
F2 M
F1 O O OF2 x x x
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”
（二）椭圆方程的推导
(1) 建系设点：以线段F1F2中点为坐标原点，F1F2所在 直线为x轴，建立平面直角坐标系，设椭圆上y任意一点
解(1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故点M的轨迹为 椭圆。 (2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不 是椭圆(是线段F1F2)。 (3)因|MF1|+|MF2|=3<|F1F2|=4，故点M的轨迹不存在
【高中数学选修2-1】2.2.1椭圆及其标准方程PPT课件
14
式
定义
图形
方程 焦点 a,b,c之间的关系
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2 M
F1 o F2 x
x2 a2
by22
1ab0
ox
F1
y2 a2
bx22
1ab0
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2
注:
共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上， 中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
x2 y2 1
a2
b2
(a＞b ＞0)由椭圆定
义知 2 a (5 2 )2 ( 3 )2(5 2 )2 ( 3 )2 210
2
22
2
所以 a 10 ,又因为 c2 ,所以 b 2 a 2 c 2 1 4 0 6
因此,椭圆的标准方程为
x2
y2
1
10 6
待定系数法
2021
21
练习、求满足下列条件的椭圆的标准方程：
定点F1、F2叫做椭圆 的焦点。
两焦点之间的距离叫
做焦距(2c)。
2021
M1FM2F2a
(2a>2c)
M
F2
F1
7
数学实验
• [1]在平面内，任取两个 定点F1、F2 ；
• [2]取一细绳并将细绳 （大于两定点的距离） 的两端分别固定在F1、 F2两点 ；
• [3]用笔尖（点M）把细 绳拉紧，慢慢移动笔尖 看看能画出什么图形？
演示1
演示2 2021
若改为小于或等于将 是什么情况？
M
F1
F2
课件椭圆及其标准方程_人教版高中数学选修PPT课件_优秀版
思 考 为什么要求 2a2c?
当绳长等于两定点间
距离即2a=2c 时,
M
轨迹为线段；
F1
F2
当绳长小于两定点
间距离即2a<2c时，
轨迹不存在。
F1
F2
例1：命题甲：动点P到两定点A，B的距离之 和|PA|＋|PB|恒等于一个常数；命题乙：点P 的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
y (x5); AM x5
k 同理，直线BM的斜率
y (x5); BM x5
由已知有 y y 4(x5)
x5 x5 9
化简，得点M的轨迹方程为
x2
y2 1( x 5).
25 100
9 椭圆
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1,1)
D．(－1,0)∪(0,1)
D
例3已：知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P 5 ， 3 ，求它的标准方程.
2 2
y
解：因为椭圆的焦点在 x轴上，设
x2 a2
by22
1(ab0)
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
MFMFa， 为什么要求
已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P
那么，如何求椭圆1的方程呢？ 2
y M ，求它的标准方程.
又设M与F1， F2的距离的和等于2a
a b c， 2 2 又因为 ， 所以
那么，如何求椭圆的方程呢？
2
（1）距离的和2a 大于焦距2c ，即2a>2c>0.
椭圆及其标准方程ppt课件
PF1 PF2 2a , F1 F2 2c，求动点 P 的轨迹方程.
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
《椭圆及其标准方程》ppt课件
变式题组二
1.如 果 方 程 x2+ky2=1表 示 焦 点 在 y轴 上 的 椭 圆 ， 那 么 实 数 k的 取 值 范 围 是 （ ） (A)（ 0， + ） (B)（ 0， 2）
(C)（ 1， + ） (D)（ 0， 1）
2.椭
圆
x2 m
+
y2 4
=1的
焦
距
是
2，
则
实
数
m的
值
是
（
）
(A)5 (B)8 (C)3或 5 (D)3
3.已
知
F1、
F2是
椭
圆
x2 25
y2 49
1的 两 个 焦 点 ， 过
F1的 直 线 与 椭 圆 交 于 A、 B 两 点 ， 则 A B F2的
周长为（ ）
(A)8 6 (B)20 (C)24 (D)28
反思总结 提高素质
不
标准方程
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
y
y2 x2 1(a b 0)
a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半；c—半焦距.
点 有关系式a2b2c2成立。
典例精析
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），
椭圆上一点到两焦点距离的和等于10；
（2）两个焦点的王新奎新疆屯敞 坐标分别是（0， -2）、（0，2），
并且椭圆经过点（-王新奎新疆屯敞 3， 5）. 22
解：(1)所求椭圆的标准方程为 （２）所求椭圆的标准方程是
.
x2 y2 1 4 y2 x2
1 100 36
求椭圆标准方程的解题步骤：
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整理得 a2 cx a ( x c)2 y2
上式两边再平方，得
a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2
整理得 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 )
x2 a2
y2 a2 c2
1(a2
c2
0)
y
P
思考：观察椭圆，
(1) x 2 y 2 1 (4)9x2 25 y 2 225 0
16 16
x2 (2)
y2
1
(5) 3x2 2 y2 1
25 16
? x 2
(3) m2
y2 m2 1
1(6)
x2 24
k
y2
16 k
1
练习2：
1、 已知椭圆的方程为： x2 y2 1，请填空： 25 16
的图形又是什么呢？
M
F1
F2
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·2007·
新疆 王新敞
奎屯
导入新课： 绘图纸上的三个问题 1．视笔尖为动点，两个图钉为定
点，动点到两定点距离之和符合什么 条件？其轨迹如何？
2．改变两图钉之间的距离，使其与绳长 相等，画出的图形还是椭圆吗？
y
F2 M
O
x
F1
二、椭圆的标准方程:
y
F1oΒιβλιοθήκη MF2 xx2 a2
y2 b2
1
a
b
0
y
F1
M
o
x
F2
y2 a2
x2 b2
1
a
b
0
椭圆的标准方程(1)
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)
它表示：
y M
F1 0
F2
x
(1)椭圆的焦点在x轴
(2)焦点是F1（-c，0）、 F2（c，0）
(3)c2= a2 - b2
M
下面来求椭圆的标准方程.
F1
怎样建立平面直角坐标系呢？ 新疆 王新敞 奎屯
F2
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x2 y2 1 9 16
探究: 若方程 x2 y2 1 表示焦点在y轴上的椭圆， k 2 3k
求k的取值范围; 若方程表示椭圆呢?
练习3. 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
M( x, y)为椭圆上
y
M
的任意一点，又设
M与 F1、F2 的距离
F1
O F2
x
的和等于2a (2a 2c)
椭圆上点 M 的集合为 P M MF1 MF2 2a
( x c)2 y2 ( x c)2 y2 2a
移项平方，得
( x c)2 y2 4a2 4a ( x c)2 y2 ( x c)2 y2
问题的提出：
1.什么是椭圆？ 2.取一条定长的细绳，把它的两端固定在平 面内的同一点F上，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖 在平面内慢慢移动，问笔尖画出的图形是什么？
3.若将细绳两端分开并且固定在平面内的 F1、 F2 两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把 绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢移动，问笔尖画出
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一、椭圆的定义： 平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常
数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.
这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
|PF1|+|PF2=2a (2a>2c>0, |F1F2|=2c)
M x
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椭圆的标准方程
定义
不
图形
同
点
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
y
y
P
F2 P
F1 O F2
x
O
x
F1
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
相 a、b、c 的关系 同
a2 b2 c2 (a c 0, a b 0)
点 焦点位置的判断 哪个分母大，焦点就在哪个轴上
练习1：
1.口答：下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 a2 ,b2 ，写出焦点坐标.
你能从中找出表示
F1
O F2
x a,c, a的2 线c2段吗？
令 b2 a2 c2，得
x2 y2 a2 b2
1
a b 0
思考：如果焦点F1，F2 在 y 轴上，
且 F1，F2 的坐标分别为(0, c),(0, c)
a ，b 的意义同上，那么椭圆的方
程是什么？
y2 x2 a2 b2 1 (a b 0)
求曲线方程的一般步骤
建系设点 写出点集 列出方程
化简 证明
建立椭圆的方程
思考：观察椭圆的形状，如何建立适当的直角 坐标系，才能使椭圆的方程简单？
y
F1
O
F2
x
以两定点 F1、F2 所在直线为x 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 y轴，建立直角坐标系 .
设 F1F2 2c (c 0)，则F1( c ,0 )、F2(c,0)
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椭圆的标准方程(2)
y
y2 x2
a2 b2 1 (a b 0)
F2
0
它表示:
(1)椭圆的焦点在y轴
F1
(2)焦点是F1（0，-c）、F2（0，c） (3)c2= a2 - b2
(1) a=_5_，b=_4_，c=_3_，焦点坐标为(_-_3_,0__)、__(_3_,_0_)，焦距等于_6_.
(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，
并且|CF1 | =2,则 |CF2 | =__8_.
变题： 若椭圆的方程为16 x2 9y2 144 ,试口答完成（1）.
3．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
课件\椭圆定义.exe 几何画板椭圆定义.exe 椭圆定义２.exe
思考
满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？ • (1)平面内----这是大前提 • (2)笔尖到两个定点的距离之和等于常数 • (3)绳长大于两定点间距离
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上式两边再平方，得
a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2
整理得 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 )
x2 a2
y2 a2 c2
1(a2
c2
0)
y
P
思考：观察椭圆，
(1) x 2 y 2 1 (4)9x2 25 y 2 225 0
16 16
x2 (2)
y2
1
(5) 3x2 2 y2 1
25 16
? x 2
(3) m2
y2 m2 1
1(6)
x2 24
k
y2
16 k
1
练习2：
1、 已知椭圆的方程为： x2 y2 1，请填空： 25 16
的图形又是什么呢？
M
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导入新课： 绘图纸上的三个问题 1．视笔尖为动点，两个图钉为定
点，动点到两定点距离之和符合什么 条件？其轨迹如何？
2．改变两图钉之间的距离，使其与绳长 相等，画出的图形还是椭圆吗？
y
F2 M
O
x
F1
二、椭圆的标准方程:
y
F1oΒιβλιοθήκη MF2 xx2 a2
y2 b2
1
a
b
0
y
F1
M
o
x
F2
y2 a2
x2 b2
1
a
b
0
椭圆的标准方程(1)
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)
它表示：
y M
F1 0
F2
x
(1)椭圆的焦点在x轴
(2)焦点是F1（-c，0）、 F2（c，0）
(3)c2= a2 - b2
M
下面来求椭圆的标准方程.
F1
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x2 y2 1 9 16
探究: 若方程 x2 y2 1 表示焦点在y轴上的椭圆， k 2 3k
求k的取值范围; 若方程表示椭圆呢?
练习3. 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
M( x, y)为椭圆上
y
M
的任意一点，又设
M与 F1、F2 的距离
F1
O F2
x
的和等于2a (2a 2c)
椭圆上点 M 的集合为 P M MF1 MF2 2a
( x c)2 y2 ( x c)2 y2 2a
移项平方，得
( x c)2 y2 4a2 4a ( x c)2 y2 ( x c)2 y2
问题的提出：
1.什么是椭圆？ 2.取一条定长的细绳，把它的两端固定在平 面内的同一点F上，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖 在平面内慢慢移动，问笔尖画出的图形是什么？
3.若将细绳两端分开并且固定在平面内的 F1、 F2 两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把 绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢移动，问笔尖画出
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一、椭圆的定义： 平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常
数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.
这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
|PF1|+|PF2=2a (2a>2c>0, |F1F2|=2c)
M x
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椭圆的标准方程
定义
不
图形
同
点
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
y
y
P
F2 P
F1 O F2
x
O
x
F1
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
相 a、b、c 的关系 同
a2 b2 c2 (a c 0, a b 0)
点 焦点位置的判断 哪个分母大，焦点就在哪个轴上
练习1：
1.口答：下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 a2 ,b2 ，写出焦点坐标.
你能从中找出表示
F1
O F2
x a,c, a的2 线c2段吗？
令 b2 a2 c2，得
x2 y2 a2 b2
1
a b 0
思考：如果焦点F1，F2 在 y 轴上，
且 F1，F2 的坐标分别为(0, c),(0, c)
a ，b 的意义同上，那么椭圆的方
程是什么？
y2 x2 a2 b2 1 (a b 0)
求曲线方程的一般步骤
建系设点 写出点集 列出方程
化简 证明
建立椭圆的方程
思考：观察椭圆的形状，如何建立适当的直角 坐标系，才能使椭圆的方程简单？
y
F1
O
F2
x
以两定点 F1、F2 所在直线为x 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 y轴，建立直角坐标系 .
设 F1F2 2c (c 0)，则F1( c ,0 )、F2(c,0)
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椭圆的标准方程(2)
y
y2 x2
a2 b2 1 (a b 0)
F2
0
它表示:
(1)椭圆的焦点在y轴
F1
(2)焦点是F1（0，-c）、F2（0，c） (3)c2= a2 - b2
(1) a=_5_，b=_4_，c=_3_，焦点坐标为(_-_3_,0__)、__(_3_,_0_)，焦距等于_6_.
(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，
并且|CF1 | =2,则 |CF2 | =__8_.
变题： 若椭圆的方程为16 x2 9y2 144 ,试口答完成（1）.
3．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
课件\椭圆定义.exe 几何画板椭圆定义.exe 椭圆定义２.exe
思考
满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？ • (1)平面内----这是大前提 • (2)笔尖到两个定点的距离之和等于常数 • (3)绳长大于两定点间距离
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