初二数学上册知识点总结及练习、答案八年级上册
苏教版初二数学_上册知识点整理以及期末试卷及答案
1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理D CAB四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理n 边形的内角的和等于（n-2）×180° 51推论任意多边的外角和等于360° 52平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等 54推论夹在两条平行线间的平行线段相等 55平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分 56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 4一组对边平行相等的四边形是平行四边形 57矩形性质定理 矩形的四个角都是直角苏教版初二数学上册期末卷2014.1.28一、选择题(每小题有且只有一个答案正确，每小题4分，共40分) 1、如图，两直线a ∥b ，与∠1相等的角的个数为( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个2、不等式组x>3x<4⎧⎨⎩的解集是( )A 、3<x<4B 、x<4C 、x>3D 、无解 3、如果a>b ，那么下列各式中正确的是( ) A 、a 3<b 3-- B 、a b<33C 、a>b --D 、2a<2b -- 4、如图所示，由∠D=∠C,∠BAD=∠ABC 推得△ABD ≌△BAC ，所用的的判定定理的简称是( )A 、AASB 、ASAC 、SASD 、SSS1a bA 、B 、C 、D 、5、已知一组数据1，7，10，8，x ，6，0，3，若x =5，则x 应等于( ) A 、6 B 、5 C 、4 D 、26、下列说法错误的是( )A 、长方体、正方体都是棱柱；B 、三棱住的侧面是三角形；C 、六棱住有六个侧面、侧面为长方形；D 、球体的三种视图均为同样大小的图形； 7、△ABC 的三边为a 、b 、c ，且2(a+b)(a-b)=c ，则( ) A 、△ABC 是锐角三角形； B 、c 边的对角是直角； C 、△ABC 是钝角三角形； D 、a 边的对角是直角；8、为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班学生爱吃哪几种水果作了民意调查，那么最终买什么水果，下面的调查数据中最值得关注的是( )A 、中位数；B 、平均数；C 、众数；D 、加权平均数； 9、如右图，有三个大小一样的正方体，每个正方体的六个面上都按照相同的顺序，依次标有1，2，3，4，5，6这六个数字，并且把标有“6”的面都放在左边，那么它们底面所标的3个数字之和等于( )A 、8B 、9C 、10D 、1110、为鼓励居民节约用水，北京市出台了新的居民用水收费标准：(1)若每月每户居民用水不超过4立方米，则按每立方米2米计算；(2)若每月每户居民用水超过4立方米，则超过部分按每立方米4.5米计算(不超过部分仍按每立方米2元计算)。
人教版初中数学八年级上册全册知识梳理及练习(基础版)(家教补习复习专用)
新人教版八年级上册数学全册知识点及巩固练习题与三角形有关的线段（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.(3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．【与三角形有关的线段 2、三角形的分类 】2．三角形的分类(1)按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类：要点诠释：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;②等边三角形：三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠A DB ＝∠ADC＝∠90°.注意：AD是ΔABC的高 ∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；要点诠释：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝21BC.要点诠释：（1）三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部；(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.注意：AD 是ΔABC 的角平分线 ∠BAD＝∠DAC＝21∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 要点诠释：（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、三角形的定义及表示1．如图所示．(1)图中共有多少个三角形?并把它们写出来；(2)线段AE是哪些三角形的边?(3)∠B是哪些三角形的角?【思路点拨】在(1)问中数三角形的个数时，应按一定规律去找，这样才会不重、不漏地找出所有的三角形；在(2)问中，突破口在于由三角形定义知，除了A、E再找一个第三点，使这点不在AE上，便可得到以AE为边的三角形；(3)问的突破口是∠B一定是以B为一个顶点组成的三角形中．【答案与解析】解：(1)图中共有6个三角形，它们是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC．(2)线段AE分别为△ABE，△ADE，△ACE的边．(3)∠B分别为△ABD，△ABE，△ABC的角．【总结升华】在数三角形的个数时一定要按照一定的顺序进行，做到不重不漏．举一反三：【变式】如图，，以A为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形．【答案】3个,分别是△EAB, △BAC, △CAD.类型二、三角形的三边关系2. 三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( )【答案】D.【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A、B、C三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D 选项中，2cm+3cm ＞4cm ．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形．【与三角形有关的线段 例1】举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8.【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______.【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7, 即5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b. 举一反三：【变式】（2015春•盱眙县期中）四边形ABCD 是任意四边形，AC 与BD 交点O ．求证：AC+BD ＞（AB+BC+CD+DA ）．【答案】证明：∵在△OAB 中OA+OB ＞AB在△OAD 中有OA+OD ＞AD ，在△ODC 中有OD+OC ＞CD ，在△OBC 中有OB+OC ＞BC ，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB ＞AB+BC+CD+DA即2（AC+BD ）＞AB+BC+CD+DA ，即AC+BD ＞（AB+BC+CD+DA ）．类型三、三角形中重要线段4. （2016春•江阴市月考）如图，AD ⊥BC 于点D ，GC ⊥BC 于点C ，CF ⊥AB 于点F ，下列关于高的说法中错误的是（ ）A ．△ABC 中，AD 是BC 边上的高B ．△GBC 中，CF 是BG 边上的高C．△ABC中，GC是BC边上的高D．△GBC中，GC是BC边上的高【思路点拨】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解．【答案与解析】解：A、△ABC中，AD是BC边上的高正确，故本选项错误；B、△GBC中，CF是BG边上的高正确，故本选项错误；C、△ABC中，GC是BC边上的高错误，故本选项正确；D、△GBC中，GC是BC边上的高正确，故本选项错误．故选C．【总结升华】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键．举一反三：C D5.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC ＝8cm，求边AC的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD 的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵ CD为△ABC的AB边上的中线，∴ AD＝BD，即BC-AC＝3．又∵ BC＝8，∴ AC＝5．答：AC的长为5cm．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD＝BD是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC中，D、E分别为BC、AD的中点，且4ABCS△，则S阴影为________．【答案】1.类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．与三角形有关的线段（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．（2016•西宁）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用他们摆成三角形的是( ).A．3cm ，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cmC．5cm ，6cm，11cm D．13cm ，12cm，20cm2．如图所示的图形中，三角形的个数共有( ).A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2015春•常州期中）如果三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是整数，而且是奇数，则第三边的长可以是（）A． 6 B． 7 C． 8 D． 94．为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离不可能是( ).A．5m B．15m C．20m D．28m5．三角形的角平分线、中线和高都是( ).A．直线 B．线段 C．射线 D．以上答案都不对6．下列说法不正确的是( ).A．三角形的中线在三角形的内部 B．三角形的角平分线在三角形的内部C．三角形的高在三角形的内部 D．三角形必有一高线在三角形的内部7．如图，AM是△ABC的中线，那么若用S1表示△ABM的面积，用S2表示△ACM的面积，则S1和S2的大小关系是( ).A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．以上三种情况都有可能8．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( ).A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短二、填空题9．（2016•金平区一模）如图，自行车的三角形支架，这是利用三角形具有________性．10．如果三角形的两边长分别是3 cm和6 cm，第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为________．11. 已知等腰三角形的两边分别为4cm和7cm，则这个三角形的周长为________．12. 如图，AD是△ABC的角平分线，则∠______＝∠______＝12∠_______；BE是△ABC的中线，则_____＝_____＝12____ ；CF是△ABC的高，则∠________＝∠________＝90°，CF________AB．13. 如图，AD、AE分别是△ABC的高和中线，已知AD＝5cm，CE＝6cm，则△ABE和△ABC的面积分别为________________．14.（2015春•焦作校级期中）AD是△ABC的边BC上的中线，AB=3，AC=4，则中线AD的取值范围是_____________.三、解答题15．判断下列所给的三条线段是否能围成三角形?(1)5cm，5cm，a cm(0＜a＜10)；(2)a+1，a+2，a+3；(3)三条线段之比为2:3:5．16．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠CAD，AE＝CE，AG⊥BC，AD与BE相交于点F，试指出AD、AF分别是哪两个三角形的角平分线，BE、DE分别是哪两个三角形的中线？AG是哪些三角形的高?17.（2014春•苏州期末）如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长．18.利用三角形的中线，你能否将图中的三角形的面积分成相等的四部分(给出3种方法)?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D.2. 【答案】C；【解析】三个三角形：△ABC, △ACD, △ABD.3. 【答案】B；【解析】解：由题意，令第三边为x，则5﹣4＜x＜5+4，即1＜x＜9，∵第三边长为奇数，∴第三边长是3或5或7．∴三角形的第三边长可以为7．故选B．4. 【答案】D；【解析】因为第三边满足：|另两边之差|＜第三边＜另两边之和，故|6-12＜AB＜16+12 即4＜AB＜28故选D．5. 【答案】B.6. 【答案】C；【解析】三角形的三条高线不一定都在三角形内部.7. 【答案】C；【解析】中线把三角形分成面积相等的两个三角形.8. 【答案】A.二、填空题9. 【答案】稳定.10.【答案】5 cm或7 cm；【解析】三角形三边关系的应用.11.【答案】15cm或18cm；【解析】按腰为4 cm或7 cm分类讨论.12．【答案】BAD CAD BAC；AE CE AC；AFC BFC ⊥.13.【答案】15cm2，30cm2；【解析】S△ABE＝S△A CE＝15 cm2，S△AB C＝2 S△ABE＝30 cm2.14.【答案】解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，∴△ABD≌△ECD，∴CE=AB．在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即1＜2AD＜7，＜AD＜．故答案为：＜AD＜．三、解答题15.【解析】解：(1)5+5＝10＞a(0＜a＜10)，且5+a＞5，所以能围成三角形；(2)当-1＜a＜0时，因为a+1+a+2＝2a+3＜a+3，所以此时不能围成三角形，当a＝0时，因为a+1+a+2＝2a+3＝3，而a+3＝3，所以a+1+a+2＝a+3，所以此时不能围成三角形．当a ＞0时，因为a+1+a+2＝2a+3＞a+3．所以此时能围成三角形．(3)因为三条线段之比为2:3:5，则可设三条线段的长分别是2k，3k，5k，则2k+3k＝5k不满足三角形三边关系．所以不能围成三角形．16.【解析】解：AD、AF分别是△ABC，△ABE的角平分线．BE、DE分别是△ABC，△ADC的中线，AG是△ABC，△ABD，△ACD，△ABG，△ACG，△ADG的高．17.【解析】解：∵AB=6cm，AD=5cm，△ABD周长为15cm，∴BD=15﹣6﹣5=4cm，∵AD是BC边上的中线，∴BC=8cm，∵△ABC的周长为21cm，∴AC=21﹣6﹣8=7cm．故AC长为7cm．18.【解析】解：如图与三角形有关的角（基础）知识讲解【学习目标】1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.要点诠释：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC ，求证：∠A+∠B+∠C ＝180°.证法1：如图1所示，延长BC 到E ，作CD ∥AB ．因为AB ∥CD （已作），所以∠1=∠A （两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC 边上任取一点D ，作DE ∥AB ，交AC 于E ，DF ∥AC ，交AB 于点F ． 因为DF ∥AC （已作），所以∠1=∠C （两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC （两直线平行，内错角相等）．因为DE ∥AB （已作）．所以∠3=∠B ，∠DEC=∠A （两直线平行，同位角相等）．所以∠A=∠2（等量代换）．又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．证法3：如图3所示，过A 点任作直线1l ，过B 点作2l ∥1l ，过C 点作3l ∥1l ， 因为1l ∥3l （已作）．所以∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）．同理∠3=∠4．又1l ∥2l （已作），所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）．又∠2+∠3=∠ACB ，所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．证法4：如图4，将ΔABC 的三个内角剪下，拼成以C 为顶点的平角.证法5：如图5－1和图5－2，在图5－1中作∠1＝∠A ，得CD ∥AB ，有∠2＝∠B ；在图5－2中过A 作MN ∥BC 有∠1＝∠B ，∠2＝∠C ，进而将三个内角拼成平角.【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质.2.在△ABC 中，已知∠A+∠B ＝80°，∠C ＝2∠B ，试求∠A ，∠B 和∠C 的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B ＝80°，∠C ＝2∠B ，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，知∠C＝100°．又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝50°．∴∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C＝180°．本题可以设∠B＝x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．举一反三：【变式】（2015春•安岳县期末）如图，在△ABC中，∠A=50°，E是△ABC内一点，∠BEC=150°，∠ABE的平分线与∠ACE的平分线相交于点D，则∠BDC的度数为多少？【答案】100°.解：∵△ABC中∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∵△BCE中∠E=150°，∴∠EBC+∠ECB=180°﹣150°=30°，∴∠ABE+∠ACE=130°﹣30°=100°，∵∠ABE的平分线与∠ACE的平分线相交于点D，∴∠DBE+∠DCE=（∠ABE+∠ACE）=×100°=50°，∴∠DBE+∠DCE=（∠DBE+∠DCE）+（∠EBC+∠EC B）=50°+30°=80°，∴∠BDC=180°﹣80°=100°．类型二、三角形的外角【与三角形有关的角例2、】3.（1）如图，AB和CD交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ．（2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C．【答案与解析】解：（1）如图，在△AOC中，∠COB是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋∠C，同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如图，延长线段BD交线段于点E,在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B ①；在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C ②，将①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得证．【总结升华】重要结论：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；（2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B +∠C．举一反三：【变式1】（新疆建设兵团）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°，则∠C等于（）.A、40°B、65°C、75°D、115°【答案】B.【变式2】如图，在△ABC中，∠A＝70°，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC的度数为 .【答案】125°.类型三、三角形的内角外角综合4.（2015春•江阴市校级月考）已知如图∠xOy=90°，BE 是∠ABy 的平分线，BE 的反向延长线与∠OAB 的平分线相交于点C ，当点A ，B 分别在射线Ox ，Oy 上移动时，试问∠ACB 的大小是否发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A ，B 的移动而变化，请求出变化范围．【思路点拨】根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解．【答案与解析】解：∠C 的大小保持不变．理由：∵∠ABY=90°+∠OAB ，AC 平分∠OAB ，BE 平分∠ABY ，∴∠ABE=∠ABY=（90°+∠OAB ）=45°+∠OAB ，即∠ABE=45°+∠CAB ，又∵∠ABE=∠C+∠CAB ，∴∠C=45°，故∠ACB 的大小不发生变化，且始终保持45°．【总结升华】本题考查的是三角形内角与外角的关系，掌握“三角形的内角和是180°”是解决问题的关键．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC 中，P 为内角平分线AD 、BE 、CF 的交点，过点P 作PG ⊥BC 于G ，试说明∠BPD 与∠CPG 的大小关系并说明理由．【答案】解：∠BPD ＝∠CPG ．理由如下：∵ AD 、BE 、CF 分别是∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的角平分线，∴ ∠1＝12∠ABC ，∠2＝12∠BAC ，∠3＝12∠ACB ． ∴ ∠1+∠2+∠3＝12(∠ABC+∠BAC+∠ACB)＝90°． 又∵ ∠4＝∠1+∠2，∴∠4+∠3＝90°．又∵ PG⊥BC，∴∠3+∠5＝90°．∴∠4＝∠5，即∠BPD＝∠CPG．与三角形有关的角（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．已知在△ABC中有两个角的大小分别为40°和70°，则这个三角形是( ).A．直角三角形 B．等边三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形2．若△ABC的∠A＝60°，且∠B:∠C＝2:1，那么∠B的度数为( ).A．40° B．80° C．60° D．120°3．(云南昆明)如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A＝80°，∠ACB＝60°，那么∠BDC＝( ).A．80° B．90° C．100° D．110°4．（2015•绵阳）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（）A.118°B.119°C.120°D.121°5．(山东济宁)若一个三角形三个内角度数的比为2:3:4，那么这个三角形是( ).A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形6．(山东菏泽)一次数学活动课上，小聪将一幅三角板按图中方式叠放．则∠α等于( ).A．30° B．45° C．60° D．75°二、填空题7．如图，AD⊥BC，垂足是点D，若∠A＝32°，∠B＝40°，则∠C＝_______，∠BFD＝_______，∠AEF＝________．8．在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，则∠C＝_______．9．根据如图所示角的度数，求出其中∠α的度数．10．如图所示，飞机要从A地飞往B地，因受大风影响，一开始就偏离航线(AB)38°(即∠A ＝38°)，飞到了C地．已知∠ABC＝20°，现在飞机要到达B地，则飞机需以_______的角飞行(即∠BCD的度数)．11．如图，有_______个三角形，∠1是________的外角，∠ADB是________的外角．12.（2014春•通川区校级期末）如图中，∠B=36°，∠C=76°，AD、AF分别是△ABC的角平分线和高，则∠DAF=度．三、解答题13．如图，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数．14．已知：如图所示，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．15．（2015春•石家庄期末）已知△ABC中，AE平分∠BAC，（1）如图1，若AD⊥BC于点D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE的度数；（2）如图2，P为AE上一个动点（P不与A、E重合，PF⊥BC于点F，若∠B＞∠C，则∠EPF=是否成立，并说明理由．16．如图是李师傅设计的一块模板，设计要求BA与CD相交成20°角，DA与CB相交成40°角，现测得∠B＝75°，∠C＝85°，∠D＝55°．能否判定模板是否合格，为什么?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D.2. 【答案】B；【解析】设∠B＝2x°，则∠C＝x°，由三角形的内角和定理可得，2x°＋x°＋60°＝180°，解得x°＝40°，∠B＝2x°＝80°．3. 【答案】D.4. 【答案】C；【解析】解：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BE，CD是∠B、∠C的平分线，∴∠CBE=∠ABC，∠BCD=，∴∠CBE+∠BCD=（∠ABC+∠BCA）=60°，∴∠BFC=180°﹣60°=120°，故选：C．5. 【答案】B；【解析】先求出三角形的三个内角度数，再判断三角形的形状．6. 【答案】D；【解析】利用平行线的性质及三角形的外角性质进行解答．二、填空题7. 【答案】58°，50°，98°；【解析】在Rt△ADC中，∠A＝32°，∠C＝58°；在Rt△BDF中，∠B＝40°，∠BFD＝50°；在△BEC，∠AEF＝∠B＋∠C＝98°．8. 【答案】90°.9. 【答案】 (1)48°； (2)27°； (3)85°；【解析】充分利用：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；（2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B +∠C．10．【答案】58°.11.【答案】8，△DBC，△ADE；【解析】考查三角形外角的定义．12.【答案】20；【解析】解：∵∠B=36°，∠C=76°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣36°﹣76°=68°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=×68°=34°，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=36°+34°=70°，∵AF⊥BC，∴∠AFD=90°，∴∠DAF=180°﹣∠ADC﹣∠AFD=180°﹣70°﹣90°=20°．三、解答题13.【解析】解：连接AD，在△ADC中，∠1+∠CAD+∠CDA＝180°，在△ABD中，∠3+∠BAD+∠BDA＝180°．∴∠1+∠2+∠3+∠4＝∠1+∠CAD+∠BAD+∠3+∠CDA+∠BDA．＝(∠1+∠CAD+∠CDA)+(∠3+∠BAD+∠BDA)＝180°+180°＝360°．14.【解析】解：设∠A＝x°，则∠ABC＝∠C＝2x°．在△ABC中，由内角和定理有x+2x+2x＝180°，∴ x＝36°．∴∠C＝72°，在△BDC中，∵ BD是AC边上的高，∴∠BDC＝90°，∴∠DBC＝90°，∴∠DBC＝90°-∠C＝18°．15.【解析】证明：（1）如图1，∵∠B=72°，∠C=36°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=72°；又∵AE平分∠BAC，∴∠1==72°，∴∠3=∠1+∠C=72°，又∵AD⊥BC于D，∴∠2=90°，∴∠DAE=180°﹣∠2﹣∠3=18°．（2）成立．如图2，∵AE平分∠BAC，∴∠1===90°﹣，∴∠3=∠1+∠C=90°﹣+，又∵PF⊥BC于F，∴∠2=90°，∴∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3=．16.【解析】解：分别延长CB、DA交于点P．因为∠C＝85°，∠D＝55°，由三角形内角和可知∠P＝180°-∠C-∠D＝40°，即DA与CB相交成40°角．同理可得BA与CD相交成20°角．所以这个模板是合格的．多边形（基础）知识讲解【学习目标】1.理解多边形的概念；2.掌握多边形内角和与外角和公式；3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【要点梳理】知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；(2)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n -； (3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n-2)个三角形．知识点二、多边形内角和n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)．要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n-°； 知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．【典型例题】类型一、多边形的概念1．如图，在六边形ABCDEF 中，从顶点A 出发，可以画几条对角线？它们将六边形ABCDEF 分成哪几个三角形?凸多边形 凹多边形【答案与解析】解：如图，P从顶点A出发，可以画三条对角线，它们将六边形ABCDEF分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF.【总结升华】从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数(n-3)条，分成的三角形数是个数（n-2）个．举一反三：【变式】过正十二边形的一个顶点有条对角线，一个正十二边形共有条对角线【答案】9，54。
北师大版八年级数学上册知识点总结+提高含答案
第一章《勾股定理》提要：本节内容的重点是勾股定理及其应用．勾股定理是解几何中有关线段计算问题的重要依据，也是以后学习解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大，它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用． 本节内容的难点是勾股定理的证明．勾股定理的证明方法有多种，课本是通过构造图形，利用面积相等来证明的，证明思路的获得是我们感到困难的，这里涉及到了解决几何问题的方法之一：割补法值得我们去注意． 习题： 一、填空题1．填空：（1）一个直角三角形的三边从小到大依次为x ，16，20，则x=_______；（2）在△ABC 中∠C=90°，AB=10，AC=6，则另一边BC=_____，面积为_____，• AB 边上的高为_______； （3）若一个矩形的长为5和12，则它的对角线长为_______． 2．三角形三边长分别为6、8、10，那么它最短边上的高为______． 3．已知一直角三角形两边长分别为3和4，则第三边的长为______． 4．若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长为_______．5．测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm ，12cm ，•13cm ，•则这个花坛的面积是________．6．矩形纸片ABCD 中，AD=4cm ，AB=10cm ，按如图18-1方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则DE=_______cm ． 7．如图18-2，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形中，与众不同的是_________，不同之处：_________．8．一轮船以16海里/时的速度从A 港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A 港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．9．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当他把绳子的下端拉开5m•后，发现下端刚好接触地面，你能帮助他把旗杆的高度求出来是__________．10．如图18-3，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，若AD=2BD ，AC=6，BC=3，则BD 的长为（ ）A ．3 B ．12 C ．1 D ．4BCAD 图18-311．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则该等腰三角形面积为_______．12．△ABC中，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a=______，b=_______．13．等腰三角形的腰长为5，底边长为8，则它底边上的高为_____，面积为____．14．如果直角三角形的斜边与一直角边的长分别是13cm•和5cm，那么这个直角三角形的面积 ___cm2．15．在△ABC中，若三边长分别为9、12、15，•则以这样的三角形拼成的矩形面积为_________．16．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，•试写出两种勾股数_______．17．有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，•能放入的细木条的最大长度是_________cm．18．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14，c=10，则Rt△ABC的面积是_______．二、选择题19．在△ABC中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（）A．BC2=AB2+AC2; B．AB2=AC2+BC2; C．AB2=BC2-AC2; D．AC2=BC2-AB220．三角形三边之比分别为①1：2：3，②3：4：5；③1.5：2：2.5，④4：5：6，其中可以构成直角三角形的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个21．若线段a、b、c能构成直角三角形，则它们的比为（）A．2：3：4 B．3：4：6 C．5：12：13 D．4：6：722．一直角三角形的斜边长比一条直角边大2，另一条直角边长为6，则斜边长为（• ）A．4 B．8 C．10 D．1223．若直角三角形两角边的比为5：12，则斜边与较小直角边的比为（）A．13：12 B．169：25 C．13：5 D．12：524．下面四组数中是勾股数的有（） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组（1）1.5，2.5，2 （22 （3）12，16，20 （4）0.5，1.2，1.325．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，•小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（• ）A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米如图18-4，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）A．0 B．1 C．2 D．3B CA图18-4BCA D图18-627．一电线杆AB 的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC 约为（3≈1.732，结果保留三个有效数字）（ ）A ．5.00米 B ．8.66米 C ．17.3米 D ．5.77米28．如图18-5，一架25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，•这时梯的底部距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯的底部将平滑（ ）A ．9分米 B ．15分米 C ．5分米 D ．8分米29．如图18-6，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，若AD=2BD ，AC=6，BC=3，则BD 的长为（ ）A ．3 B ．12 C ．1 D ．430．如图18-7，长方形ABCD 中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN 折叠，使点C 与点A 重合，•则CN 的长为（） A ．72 B ．258C ．278D ．15431．若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为（ ） A ．13 B ．13或119 C ．13或15 D ．15 32．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）A ．2，3，4B ．3，4，6C ．5，12，13D ．4，6，733．如果一个直角三角形的两条直角边分别为n2-1、2n （n>1），那么它的斜边长是（ ）A ．2n B ．n+1 C ．n2-1 D ．n2+1 34．以下列各组数为边的三角形中，是直角三角形的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 （1）3，4，5；（2）3，4，5；（3）32，42，52；（4）0.03，0.04，0.05．35．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ） A ．12米B ．13米 C ．14米 D15米 36．放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，•若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为（ ） A ．600米 B ．800米 C ．1000米 D ．不能确定37．如图18-8所示，要在离地面5•米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2米，L2=6.2米，L3=7.8米，L4=10米四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用（ ） 38． A ．L1 B ．L2 C ．L3 D ．L45mB CAD BCAEDBCAED图18-738．在△ABC 中，∠C=90°，周长为60，斜边与一直角边比是13：5，•则这个三角形三边长分别是（ ） A ．5，4，3 B ．13，12，5 C ．10，8，6 D ．26，24，1039．如图18-9所示，AB=BC=CD=DE=1，AB ⊥BC ，AC ⊥CD ，AD ⊥DE ，则AE=（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 40．如图18-10所示，有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）A ．2cm B ．3cm C ．4cm D ．5cm 三、解答题41．如图18-11，△ABC 中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC 边上的高AD ．B C AD 42．如图18-12，在一次夏令营活动中，•小明从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了5003米到达B 点，然后再沿北偏西30•°方向走了500米到达目的地C 点，求A 、C 两点间的距离．43．如图18-13，求图中字母所代表的正方形面积．44．如图18-14，所示，四边形ABCD 中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，∠B=90°，•求该四边形的面积．BCAD15328BA45．如图18-15所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A 处登陆后，往东走8km ，又往北走2km ，遇到障碍后又往西走3km ，再折向北方走到5km 处往东一拐，仅1km•就找到了宝藏，问：登陆点（A 处）到宝藏埋藏点（B 处）的直线距离是多少？ 46．如图18-16，古埃及人用下面方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成如图所示的一个三角形，其中一个角便是直角，请说明这种做法的根据．图18-11图18-1247．已知，如图18-17所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F•处，•如果AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长． 48．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图18-18所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD 是一条小渠，且D 点在边AB 上，•已知水渠的造价为10元/米，问D 点在距A 点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？50．阅读材料并解答问题：我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、•阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”，以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：方法1：若m 为奇数（m ≥3），则a=m ，b=12（m2-1）和c=12（m2+1）是勾股数．方法2：若任取两个正整数m 和n （m>n ），则a=m2-n2，b=2mn ，c=m2+n2是勾股数． （1）在以上两种方法中任选一种，证明以a ，b ，c 为边长的△ABC 是直角三角形； （2）请根据方法1和方法2按规律填写下列表格：m 2 3 3 4 4 4 5 5 6 … n1 21 3 21435…a=m2-n2 3 58712 15 9 16 11 …b=2mn4 12 6 24 16 8 40 30 60 …c=m2+n2 5 13 10 25 20 17 41 34 61 …（3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如图18-19所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成，要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，且每个三角形的各边长之比为5：12：13，那么这四个直角三角形的边长共需植树______棵．勾m3 511 …股12（m2-1）4 12 60 …弦12（m2+1）5 13 61 …51．清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王．近日，•西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，•设其面积为S ，则第一步：6S＝m=k ；第三步：分别用3、4、5乘以k ，得三边长”．（1）当面积S 等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； （2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程．52．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220km 的B 处有一台风中心．其中心最大风力为12级，每离台风中心20km ，风力就会减弱一级，该台风中心现在正以15km/h 的速度沿北偏东30°方向往C 移动，且台风中心风力不变，•如图18-20，若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由；（2）若会受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？•该城市受到台风影响的最大风力为几级？图18-19第二章 实数综合练习题一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 整数、有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
初二数学知识点总结(包括八年级人教版上下两册知识内容-非常完整)
资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除八年级上册知识点总结第十一章全等三角形复习一、全等三角形1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。
2、全等三角形有哪些性质（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
（2）全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”)斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”)4、证明两个三角形全等的基本思路：个角的平分线。
1、性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2、判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意以下几个问题：（1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；（2表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”（5）截长补短法证三角形全等。
第十二章轴对称一、轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
人教版八年级上册数学各章知识点及测试题、总复习题
第十一章 全等三角形 1． 全等三角形的性质：2． 全等三角形的判定：3． 角平分线的性质： 4． 角平分线推论：例 1已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE2 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23 如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA 4．（7分）已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：OEDCBA第十二章 轴对称1．如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。
2．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
3．角平分线上的点到角两边距离相等。
4．线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
5．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
6．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
7．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。
8.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。
10．等腰三角形的判定：等角对等边。
11．等边三角形的三个内角相等，等于60°，12．等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等腰三角形。
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 有两个角是60°的三角形是等边三角形。
13．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
八年级上册数学第二单元：全等三角形知识点与练习
第二单元全等三角形本单元的学习目标①重点：全等三角形的性质；三角形全等的判定；角平分线的性质及应用②难点：三角形全等的判断方法及应用；角平分线的性质及应用在中考中的重要性：①中考热点，初中数学中的重点内容②考察内容多样化，有的独立考三角形全等，有的考全等三角形结合其他知识点综合，有的探究三角形全等条件或结论的开放性题目③题型以选择题、填空题、解答题为主【知识归纳】1.全等三角形的基本概念:（1）全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。
（2）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
重合的顶点叫做对应顶点。
重合的边叫做对应边。
重合的角叫做对应角。
（3）全等三角形的表示方法：△ABC≌△A’B’C’（如图1）A’B C ’图12.全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等（2）全等三角形的对应角相等3.全等三角形的判定方法（1）三边相等（SSS）；（2）两边和它们的夹角相等（SAS）；（3）两角和其中一角的对应边相等（AAS）；（4）两角和它们的夹边相等（ASA）；（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）．（该判定只适合直角三角形）注意：没有“AAA”和“SSA”的判定方法，这是因为“三角对应相等的两个三角形”和“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形”未必全等。
如图2，△ABC和△ADE中，∠A=∠A，∠1=∠3，∠2=∠4，即三个角对应相等，但它们只是形状相同而大小并不相等，故它们不全等；如图3，△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，即两边及其中一边的对角对应相等，但它们并不全等。
4.角平分线的性质：角平分线平分这个角，角平分线上的点到角两边的距离相等。
5.角平分线推论：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
判定三角形全等常用思路公理及定理练笔1、一般三角形全等的判定（如图）(1) 边角边（SSS） AAB=A′B′ BC=B′C ′ _______=_____∴△ABC≌△A′B′C′（2）边角边（SAS）AB=A′B′∠B=∠B′ _______=_____ B C∴△ABC≌△A′B′C′A′(3) 角边角（ASA）∠B=∠B′ ____=_____ ∠C=∠C′∴△ABC≌△A′B′C′B ′ C′(4) 角角边（AAS）∠A=∠A′∠C=∠C′ _______=_____∴△ABC≌△A′B′C′2、直角三角形全等的判定：斜边直角边定理（HL）AB=AB _____=_____∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′B C B′ C′二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应角＿＿＿＿＿2、全等三角形的对应边、对应中线、对应高、对应角平分线＿＿＿＿＿＿＿注意：1、斜边、直角边公理（HL）只能用于证明直角三角形的全等，对于其它三角形不适用。
苏教版八年级上数学期末复习知识点总结+例题(完美版)
八年级数学(上)期末复习+例题解析第一章三角形全等1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等．．；③三角形全等不因位置发生变化而改变。
2、全等三角形的性质：⑴全等三角形的对应边相等、对应角相等。
理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
⑵全等三角形的周长相等、面积相等。
⑶全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定：①边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
②角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
③推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
④边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等。
⑤斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、证明两个三角形全等的基本思路：⑴已知两边：①找第三边（SSS）；②找夹角（SAS）；③找是否有直角（HL）.⑵已知一边一角：①找一角（AAS或ASA）；②找夹边（SAS）.⑶已知两角：①找夹边（ASA）；②找其它边（AAS）.例题评析例1 已知：如图，点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，求证：AB=AC ．例2 已知：如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF ＝D C ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，求证：△ABC ≌△DEF ．例3已知：BE ⊥CD ，BE ＝DE ，BC ＝DA ， 求证：①△BEC ≌△DEA ； ②DF ⊥BC ．例4如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O.求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .例5 如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连接BE ，将△BCE 绕点C 顺时针方向旋转90°得到△DCF ，连接EF ，若∠BEC=60°，求∠EFD 的度数.例6如图，将长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B ′的位置，AB ′与CD 交于点E .（1）试找出一个三角形与△AED 全等，并加以证明.（2）若AB =8，D E =3，P 为线段AC 上的任意一点，PG ⊥AE 于G ，PH ⊥EC 于H ， PG +PH 的值会变化吗？若变化，请说明理由； 若不变化，请求出这个值。
初二数学上册知识点.复习及配套练习(新北师大版本)
.新北师大版八年级数学上册知识点复习第一章勾股定理1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即 2 2 2a b c 。
2．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）。
2 2 23．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a b c ，那么这个三角形是2 2 2直角三角形。
满足a b c 的三个正整数称为勾股数。
第二章实数1．平方根和算术平方根的概念及其性质：（1）概念：如果 2x a，那么x 是a 的平方根，记作： a ；其中 a 叫做a 的算术平方根。
（2）性质：①当a≥0 时， a ≥0；当a ＜０时， a 无意义；②2a ＝a ；③ 2a a 。
2．立方根的概念及其性质：（1）概念：若（2）性质：①33 a ；x a ，那么x 是a 的立方根，记作：33 a3 a ；② 3 a a；③ 3 a ＝ 3 a3．实数的概念及其分类：（1）概念：实数是有理数和无理数的统称；（2）分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。
无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。
4．与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。
因此，数轴正好可以被实数填满。
a a5．算术平方根的运算律：（a ≥0，b ≥0）；（a ≥0，b ＞0）。
a b a bb b第三章位置与坐标1．直角坐标系及坐标的相关知识。
2．点的坐标间的关系：如果点A、B横坐标相同，则AB ∥y 轴；如果点A、B 纵坐标相同，则AB∥x 轴。
3．将图形的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1倍，所得到的图形与原图形关于y 轴对称；将图形的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的1倍，所得到的图形与原图形关于x 轴对称；将图形的横、纵坐标都变为原来的1倍，所得到的图形与原图形关于原点成中心对称。
初二数学上册(人教版)第十三章轴对称13.3知识点总结含同步练习及答案
描述：初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第十三章 轴对称 13.3 等腰三角形一、学习任务1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念．2. 掌握等腰三角形和等边三角形的性质定理和判定定理，掌握 角的直角三角形的性质．二、知识清单等腰三角形 等边三角形三、知识讲解1.等腰三角形等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形（isosceles triangle ）．等腰三角形的性质① 等腰三角形的两个底角相等；② 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．三角形的边角对应关系在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边．构造等腰三角形的方法30∘都填上）∠ADE=∠AED=2∠BAD34DE△BDE接 ，试判断 的形状，并说明理由．∠DBC描述：例题：2.等边三角形等边三角形三边都相等的三角形叫做等边三角形（equilateral triangle ），也属于等腰三角形．等边三角形的性质三个内角都相等，并且每一个角都等于 ．等边三角形性质的推论在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．等边三角形的判定① 三个角都相等的三角形是等边三角形；② 有一个角是 的等腰三角形是等边三角形．构造等边三角形的方法，．即 是等腰三角形．2∴∠DBC =∠E ∴BD =DE △BDE 60∘30∘60∘如图所示，在等边三角形 中， 和 的平分线相交于点 ，， 的垂直平分线分别交 于点 ，，求证： 是等边三角形．分析：根据垂直平分线的性质可知，，，由于 ， 是角平分线，所以 ，再由于外角和定理，，所以 是等边三角形．证明： ， 分别是 ， 垂直平分线上的点，ABC ∠ABC ∠ACB O BO OC BC E F △OEF OE =BE OF =F C OB OC ∠OBC =∠OCB =30∘∠OEF =∠OF E =60∘△OEF ∵EF BO OC值为（ ）32A△ABC。
初二数学上册(人教版)第十一章三角形11.2知识点总结含同步练习及答案
描述：初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第十一章 三角形 11.2 与三角形有关的角一、学习任务1. 掌握三角形的内角和和外角和定理，并会熟练运用内外角和定理解决相关的角的问题．2. 会证明三角形内角和和外角和定理．3. 掌握直角三角形中角的性质和判定．二、知识清单三角形的内外角和三、知识讲解1.三角形的内外角和三角形内角与外角在三角形中，相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．三角形的一边与其邻边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形内角和定理三角形三个内角的和等于 ．三角形外角和定理三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理的推论直角三角形两个锐角互余．两锐角互余的三角形是直角三角形．飞镖模型及“8”字模型三角形角平分线与内角和180∘例题：在 ，，则 ______．解：．△ABC ∠A :∠B :∠C =2:1:3∠A =60∘一个三角形三个外角之比为 ，三个内角的度数分别是______．解：，，．三角形外角和是，再根据比例分别求出三个外角，即可求出对应的内角．2:3:4100∘60∘20∘360∘如图，三角板的直角顶点在直线 上，若 ，则 的度数是______．解：．l ∠1=40∘∠250∘如图所示，已知 ，，，求 的度数．解：方法一：延长 交 于 ，所以 ．∠A =70∘∠B =40∘∠C =20∘∠BOC BO AC D ∠BOC =∠1+∠C =∠A +∠B +∠C=130∘方法二：连接 ，因为 ，所以 ．因为 ，所以 ．方法三：连接 并延长到点 ，因为 ，，所以．BC ∠1+∠2+∠A +∠B +∠C =180∘∠1+∠2=50∘∠1+∠2+∠BOC =180∘∠BOC =130∘AO D ∠3+∠B =∠1∠4+∠C =∠2∠3+∠B +∠4+∠C =∠1+∠2=130∘已知如图1，线段 、 相交于点 ，连接 、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下， 和 的平分线 和 相交于点 ，并且与 、 分别相交于 、．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出 ，，， 之间的数量关系：__________________；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：_____个；（3）在图2中，若 ，，试求 的度数．分析：（1）根据三角形内角和定理即可得出 ；（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有 个；（3）现根据“8字形”中的角的规律，可得 ，，再根据角平分线的定义，得出 ，，可得 ，进而求出 的度数．解：（1）；（2）① 线段 ， 相交于点 ，形成“8字形”；② 线段 ， 相交于点 ，形成“8字形”；③ 线段 ， 相交于点 ，形成“8字形”；④ 线段 ， 相交于点 ，形成“8字形”；⑤ 线段 ， 相交于点 ，形成“8字形”；AB CD O AD CB ∠DAB ∠BCD AP CP P CD AB M N ∠A ∠B ∠C ∠D ∠D =40∘∠B =36∘∠P ∠A +∠D =∠C +∠B 6∠DAP +∠D =∠P +∠DCP ∠P CB +∠B =∠P AB +∠P ∠DAP =∠P AB ∠DCP =∠P CB 2∠P =∠D +∠B ∠P ∠A +∠D =∠C +∠B AB CD O AN CM O AB CP N AB CM O APCD M AN∠E=30高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
八年级上册数学各章知识点总结
《实数》知识点梳理及题型解析一、知识归纳（一）平方根与开平方1. 平方根的含义如果一个数的平方等于 , 那么这个数就叫做 的平方根。
即 , 叫做 的平方根。
2.平方根的性质与表示⑴表示: 正数 的平方根用 表示, 叫做正平方根, 也称为算术平方根, 叫做 的负平方根。
⑵一个正数有两个平方根: （根指数2省略） 0有一个平方根, 为0, 记作 , 负数没有平方根 ⑶平方与开平方互为逆运算⑷a 的双重非负性例: 得知⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位, 它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。
区分：4的平方根为 的平方根为 4开平方后, 得 3.计算a 的方法⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧精确到某位小数 ＝非完全平方类 ＝完全平方类 773294 *若 , 则（二）立方根和开立方1. 立方根的定义如果一个数的立方等于 , 呢么这个数叫做 的立方根, 记作 2.立方根的性质任何实数都有唯一确定的立方根。
正数的立方根是一个正数。
负数的立方根是一个负数。
０的立方根是０. 3.开立方与立方开立方: 求一个数的立方根的运算。
()a a =33a a =3333a a -=- （a 取任何数）这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
*０的平方根和立方根都是０本身。
（三）推广: 次方根１.如果一个数的 次方（ 是大于１的整数）等于 ，这个数就叫做 的 次方根。
当为奇数时, 这个数叫做的奇次方根。
当为偶数时, 这个数叫做的偶次方根。
２.正数的偶次方根有两个：；０的偶次方根为０：；负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。
０的奇次方根为０。
负数的奇次方根为负。
（四）实数1.实数: 有理数和无理数统称为实数实数的分类:①按属性分类: ②按符号分类2.实数和数轴上的点的对应关系:实数和数轴上的点一一对应, 即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数.的画法: 画边长为1的正方形的对角线在数轴上表示无理数通常有两种情况:①尺规可作的无理数, 如②尺规不可作的无理数 , 只能近似地表示, 如π, 1.010010001……思考：（1）－a2一定是负数吗？－a一定是正数吗？（2）大家都知道是一个无理数, 那么－1在哪两个整数之间？（3）的整数部分为a,小数部分为b, 则a= , b= 。
初二数学上册知识点总结及练习、答案八年级上册
初二数学上册知识点总结及练习、答案八年级上册规律方法指导1．内角和与边数成正比：边数增加, 内角和增加；边数减少, 内角和减少 . 每增加一条边 ,内角的和就增加180°（反过来也成立） , 且多边形的内角和必须是180°的整数倍 .2．多边形外角和恒等于360°, 与边数的多少无关 .3．多边形最多有三个内角为锐角, 最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有三个钝角, 最少没有钝角 .4．在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时, 常与方程思想相结合 , 运用方程思想是解决本节问题的常用方法.5．在解决多边形的内角和问题时, 通常转化为与三角形相关的角来解决. 三角形是一种基本图形 , 是研究复杂图形的基础, 同时注意转化思想在数学中的应用.经典例题透析类型一：多边形内角和及外角和定理应用1．一个多边形的内角和等于它的外角和的 5 倍 , 它是几边形？总结升华：本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用.只要设出边数, 根据条件列出关于的方程 , 求出的值即可 , 这是一种常用的解题思路.举一反三：【变式 1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800° , 求这个多边形的边数 .【变式 2】一个多边形除了一个内角外 , 其余各内角和为2750°, 求这个多边形的内角和是多少？【答案】设这个多边形的边数为, 这个内角为, .6 / 20【变式 3】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350° , 求这个多边形的边数。
类型二：多边形对角线公式的运用【变式 1】一个多边形共有 20 条对角线 , 则多边形的边数是（）.A． 6 B． 7 C ．8 D．9【变式 2】一个十二边形有几条对角线。
总结升华：对于一个 n 边形的对角线的条数 , 我们可以总结出规律条 , 牢记这个公, 以后只要用相应的 n 的值代入即可求出对角线的条数 , 要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢。
人教版八年级上数学全册知识点复习及练习
第十一章 三角形 1.三角形：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形．
三角形具有稳定性． 2.三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角． 3.三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所成的角叫三角形的外角． 4.三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和
【例8】 三角形的一个外角大于相邻的一个内角，则它是（ ）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
4 / 32
【例9】 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数 为．
【例10】 若一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，那么相对应的三个外角的度数之比为（ ）
C．6，8，9 D．3，3，6
【例4】 设三角形三边之长分别为 3，8，1－2a，则 a 的取值范围为（ ）
3 / 32
A．－6<a<－3 B．－5<a<－2 C．－2<a<5 D．a<－5 或 a>2
【例5】 如图，AD 是△ABC 的边 BC 上的中线，已知 AB=5cm，AC=3cm，求△ABD与△ACD 的周长之差．
高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对
初二数学上册(人教版)第十三章轴对称13.1知识点总结含同步练习及答案
描述：初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第十三章 轴对称 13.1 轴对称一、学习任务1. 了解轴对称图形和图形成轴对称的意义，并会识别．2. 掌握线段垂直平分线的判定和性质．3. 会用尺规作图做出线段的垂直平分线．二、知识清单轴对称 垂直平分线的性质与判定 尺规作图三、知识讲解1.轴对称轴对称相关概念如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形（axisymmentric figure ），这条直线就是它的对称轴（axis of symmetry ）．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点（symmetric points ）．轴对称的性质① 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；② 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．轴对称作图例题：下列图形成轴对称图形的有（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个解：A．一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形，所以成轴对称图形有 个．54325如图，某小区花坛的形状是左右对称的六边形 ，若 ，则 的度数为（ ）A. B. C. D. 解：B．根据四边形内角和 ，可得 ，再根据轴对称的性质，．ABCDEF ∠AF C +∠BCF =150∘∠E +∠D 200∘210∘230∘250∘360∘∠A +∠B =−=360∘150∘210∘∠E +∠D =∠A +∠B =210∘作图题：（写出做法，保留作图痕迹）、 为 为 、 上的两个顶点，请你在 边上找一点 ，使 周长最小？分析：由于 的周长 ，而 是定值，故只需在 上找一点，使 最小．如果设 关于 的对称点为 ，所以只要使 最小即可．作法：① 作 关于 的对称点 ；② 连接 交 于 点；③ 连接 ，则 周长最小， 为所求．M N △ABC AB AC BC P P MN △P MN =P M +P N +MN MN BC P P M +P N M BC M ′P +P N M ′M BC M ′N M ′BC P MP △PMN P描述：例题：描述：2.垂直平分线的性质与判定垂直平分线的定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（perpendicularbisector ）．垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．垂直平分线的判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．3.尺规作图线段的画法（1）线段的画法．画一条线段等于已知线段，用圆规在射线 上截取 ，也可以测量长度的方法，再画一条等于这个长度的线段．（2）线段的和、差的画法，已知线段 ，（设）．如图，在 中，，， 边上的垂直平分线 交 、 分别于点 、，则 的周长等于（ ）A. B. C. D. 解：A．根据垂直平分线的性质，可知 ，所以 的周长等于 的值．△ABC AB =a AC =b BC DE BC BA D E △AEC a +b a −b 2a +b a +2bEC =BE △AEC AB +AC 如图，有 、、 三个居民小区的位置呈三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A. 在 ， 两边高线的交点处B. 在 ， 两边中线的交点处C. 在 ， 两边垂直平分线的交点处D. 在 ， 两内角平分线的交点处解：C．A B C AC BC AC BC AC BC ∠A ∠B AC AB =a a b a<b和 的和，记作段 就是线段 与 ③ 连接 ，则此时角 等于 ．③ 过 ， 两点作射线 AB BC AC =a BD AB ON ∠MON ∠AOB O C② 作出 的平分线．② 过 、 两点作直线 ∠DCE M N 已知线段 ，，作一条线段，使其长为 即线段 为所要画的线段．a bAB四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）分析：要找一点 ，使 ，则点 一定在线段 的垂直平分线上，又点 到 两边的距离相等，则点 也在 的平分线上，所以作线段 的垂直平分线和 的平分线，两线的交点即为点 ．解：分别作线段 的垂直平分线 和 的平分线 ， 与 相交于点 ，则点 即为所求．P P C =P D P CD P ∠AOB P ∠AOB CD ∠AOB P CD EF ∠AOB OM EF OM P P 答案：1. 下列图形中，为轴对称图形的是 A．B ．C ．D ．D()2. 如图，在 中 ，边 的垂直平分线分别交 、 于点 、 ，边 的垂直平分线分别交 、 于点 、 ．若 ，则 的周长为 ．△ABC AB AB BC D E AC AC BC F G BC =4△AEG()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
八年级上册数学知识点总结(实用10篇)
八年级上册数学知识点总结(实用10篇）八年级上册数学知识点总结（1）第十一章三角形一、知识框架：知识概念：三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形. 平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：边形的内角和等于·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形.②边形共有条对角线.第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识概念：基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.全等三角形的判定定理：⑴边边边()：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边()：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角()：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边()：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边()：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.(包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系)⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.第十三章轴对称一、知识框架：二、知识概念：基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质八年级上册数学知识点总结（2）把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
初二数学上册知识点总结与练习、答案(八年级上册)
新人教版八年级上册数学知识点总结归纳第十一章三角形第1页至第18页为八年级上册知识点总结归纳1 第十二章全等三角形第十三章轴对称第19页至第24页为八年级上册知识点练习题第十四章整式乘法和因式分解第十五章分式第25页为练习题答案第十一章三角形1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形中的主要线段〔1〕三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
〔2〕在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
〔3〕从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线〔简称三角形的高〕。
3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：〔1〕三角形有三条线段〔2〕三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形〔3〕首尾顺次相接三角形用符号“〞表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC〞，读作“三角形ABC〞。
5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形〔有一个角为直角的三角形〕三角形锐角三角形〔三个角都是锐角的三角形〕斜三角形钝角三角形〔有一个角为钝角的三角形〕把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。
它是两条直角边相等的直角三角形。
6、三角形的三边关系定理及推论〔1〕三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
〔2〕三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条线段能否组成三角形②当两边时，可确定第三边的X围。
(完整版)八年级数学上知识点+习题+答案
（一）三角形部分一、知识点汇总1. 三角形的定义定义：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形ABC用符号表示为△ABC。
三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示，顶点B所对的边AC可用b 表示，顶点A所对的边BC可用a表示。
注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；(2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC是三角形ABC的符号标记,单独的没有意义．2、(1）三角形按边分类：(2)三角形按角分类:3、三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边.注意：(1）三边关系的依据是：两点之间线段最短；（2）围成三角形的条件是：任意两边之和大于第三边．4、和三角形有关的线段:（1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段表示法:1、AD是△ABC的BC上的中线. 2、BD=DC=0.5BC。
3、AD是ABC的中线；注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部；③三角形三条中线交于三角形内部一点；④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角与交点之间的线段。
表示法：1、AD是△ABC的∠BAC的平分线.2、∠1=∠2=0。
5∠BAC。
3、AD平分BAC，交BC于D注意:①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部;③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；（3）三角形的高三角形的高：从三角形的一顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，表示法：1、AD是△ABC的BC上的高。
2、AD⊥BC于D。
3、∠ADB=∠ADC=90°.4、AD是△ABC的高.注意：①三角形的高是线段：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线.②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在三角形外；三角形三条高所在直线交于一点．（而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点,钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
苏教版八年级上数学知识点总结+习题练习
八年级数学(上)期末复习第二章轴对称1、轴对称图形相对一个图形的对称而言；轴对称是关于直线对称的两个图形而言。
2、轴对称的性质：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线；3、线段的垂直平分线：①性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
②判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
拓展：三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点．．．．的距离相等4、角的角平分线：①性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
②判定定理：到角两个边距离相等的点在这个角的角平分线上。
拓展：三角形三个角的角平分线的交点到三．条边．．的距离相等。
5、等腰三角形：①性质定理：⑴等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角）⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。
（三线合一）②判断定理：一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。
（等角对等边）6、等边三角形：①性质定理：⑴等边三角形的三条边都相等；⑵等边三角形的三个内角都相等，都等于60°；拓展：等边三角形每条边都能运用三线合一．．．．这性质。
②判断定理：⑴三条边都相等的三角形是等边三角形；⑵三个角都相等的三角形是等边三角形；有两个角是60°的三角形是等边三角形；⑶有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
7、直角三角形推论：⑴直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
⑵直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
拓展：直角三角形常用面积法．．．求斜边上的高。
例题评析1、线段的对称轴有 条，是2、线段垂直平分线上的点到 的 距离相等 ∵ ∴3、到 距离相等的点在线段的垂例1：如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线．(1)若AC ＝6，△ABD 的周长是13，则△ABC 的周长是_______； (2)若△ABC 的周长是30，△ABD 的周长是25，则AC ＝_______．例2：如图，在△ABC 中，边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、点D. (1)若BC ＝8，则△ADE 的周长是_______； (2) 若∠BAC=110°，那么∠EAD ＝______ (3) 若∠EAD=100°，那么∠BAC ＝______4、角的对称轴有 条，是5、角平分线上的点到 的距离相等 ∵ 又∵ ∴6、角的内部到 距离相等的点在角的平分线上∵又∵ ∴ 例3：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC. (1)若CD=5，则点D 到AB 的距离为 .FEP B A C(2) 若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是 .例4：如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B．下列结论中，不一定成立的是( )A．PA=PB B．PO平分∠APBC．OA=OB D．AB垂直平分OP补充：①三角形的三条边的垂直平分线的交点到的距离相等②三角形的三条角平分线的交点到的距离相等1.请你先在图的BC上找一点P，使点P到AB、AC的距离相等，再在射线AP 上找一点Q，使QB=QC．2.如图，求作点P，使点P同时满足：①PA=PB；②到直线m，n的距离相等．7、等边对等角∵∴8、等角对等边∵∴9、等腰三角形、、重合（三线合一）（有条对称轴）∵∵∵又∵又∵又∵∴∴∴例5：（1）等腰三角形的一边长为5，另一边长为11，则该等腰三角形的周长为（2）等腰三角形的两边长分别为4、5.则该等腰三角形的周长为（3）已知等腰三角形的一个外角为100°，则这个等腰三角形的顶角为__________．（4）等腰△ABC中，若∠A=30°，则∠B= ．例6：(1)如图①，在Rt△ABC中，若AB=AC，AD=AE，∠BAD=40°,则∠EDC=_______．(2)如图②，∠ACB=90°,E、F为AB上的点，AE=AC，BC=BF，则∠ECF=___ __．(3)如图③，AB=AC=DC，且BD=AD，则∠B=___ __．例7：如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．试说明BD＋EC＝DE．③例8：如图，已知AB=AC ，AD=AE ．求证：BD=CE ．例9：在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上． （1）求证：BE=CE ；（2）如图2，若BE 的延长线交AC于点F ，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其等边三角形的三条边 ，三个角都是 ，每条边上都有三线合一，有 条对称轴 （2）等边三角形的3个判定方法：三条边都 的三角形是等边三角形 三个角都 的三角形是等边三角形有一个角是 的 三角形是等边三角形例10：(1)如图①，在等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE=____．(2)如图②，正方形ABCD ，△EAD 为等边三角形，则∠EBC ＝_______．(3)如图③，已知等边△ABC ，AC=AD,且AC ⊥AD ，垂足为A ，则∠BEC ＝_______．① ② ③例11：如图，C 为线段AE 上一动点(点C 不与点A 、E 重合)，在AE 的同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE ，AD 与BE 相交于点O ，AD 与BC 相交于点P ，BE 与CD 相交于点Q ，连接PQ ．下列五个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°，其中恒成立的有__________(填序号)．例12：如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连接AE ．求证：AE ∥BC ．11、直角三角形斜边上的中线等于 ∵又∵ ∴12S ΔABC ==13、直角三角形中，30°的角所对的直角边等于∵ 又∵∴例12：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB的中线，且CD=4 cm，则AB=_______．(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则AC=_______．(3)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，则AB边上的高CD= ．例13：如图，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分别是BC、DE的中点，连接GF，求证：GF⊥DE．例14：如图，已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．相关练习：1．如图，在△ABC中，BC=8 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，求△PDE的周长．2．如图，在边长为2等边△ABC中，AD是BC边上的中线，E、F是AD的三等分点，则图中阴影部分的面积是__________cm2．3．如图，在△ABC中，CD与C，分别是△ABC的内角、外角平分线，DF//BC交AC于点E．试说明(1) △DCF为直角三角形；(2)DE=EF．4．如图，△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，AD是底边BC上的高，DE∥AB交AC于点E．试找出图中除△ABC外的等腰三角形，并说明你的理由．5.如图，AD是△ABC的角平分线，点E在AB上，且AE=AC，EF∥BC交AC于点F．求证：EC 平分∠DEF．6．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC．BE与DF相等吗？请说明理由．7．如图，C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），在AB的同侧分别作△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD＝∠BCE，连接AE 交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．试说明：(1) △ACE≌△DCB．(2) PC平分∠APB．8．如图，等边△ABC中，D是AC的中点，延长BC到点E，使CE=CD，AB=10cm．( l ）求BE的长；( 2 ）试说明BD=ED9．画图、证明：如图，∠AOB=90°，点C、D分别在OA、OB上．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作∠AOB的平分线OP；作线段CD的垂直平分线EF，分别与CD、OP相交于E、F；连接OE、CF、DF．（2）在所画图中，①线段OE与CD之间有怎样的数量关系，并说明理由．②求证：△CDF为等腰直角三角形10.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证： ME=BD．11.如图，设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上.从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2=AA1 .(1)小棒能无限摆下去吗？答： .(填“能”或“不能”)(2)若已经摆放了3根小棒，则θ1 =___________，θ2 =__________，θ3=__________；（用含θ的式子表示）(3)若只能摆放4根小棒，求θ的范围.12．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CD，BD＝CF．(1)试说明DE＝DF．(2)若∠A＝40°，求∠EDF的度数．14．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 _______．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于16．如图，P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，连接MN交OP于点D．则①PM＝PN；②MO＝NO；③OP⊥MN；④MD＝ND．其中正确的有17．如图所示，等边三角形ABC的边长是6，点P在边AB上，点Q在BC的延长线上，且AP＝CQ，设PQ与AC相交于点D．(1)当∠DQC＝30°时，求AP的长．(2)作PE⊥AC于E，求证：DE＝AE＋CD．18．如图，在△ABC中，已知BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D．(1)求∠A的度数；(2)若AC＝6cm，求AD的长度．19.若直角三角形斜边上的高和中线分别为10 cm、12 cm，则它的面积为__________cm2．20.如图，某市把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，∠ACB=90o．AC=80 m．BC=60 m．(1)若入口E在边AB上，且与A、B距离相等，求从人口E到出口C的最短路线的长；(2)若线段CD是一条水渠，且点D在AB边上，已知水渠造价约为10元／m，则点D在距点A多远处，此水渠的造价最低?最低造价是多少?第三章勾股定理勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边1、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2。
初二数学上册知识点总结及练习、答案(八年级上册)
新人教版八年级上册数学知识点总结归纳1 第十一章三角形第1页至第18页为八年级上册知识点总结归纳第十二章全等三角形第十三章轴对称第19页至第24页为八年级上册知识点练习题第十四章整式乘法与因式分解第十五章分式第25页为练习题答案第十一章三角形1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角。
2、三角形中的主要线段(1)三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点与交点间的线段叫做三角形的角平分线。
(2)在三角形中,连接一个顶点与它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
(3)从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。
3、三角形的稳定性三角形的形状就是固定的,三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
三角形的这个性质在生产生活中应用很广,需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性:(1)三角形有三条线段(2)三条线段不在同一直线上三角形就是封闭图形(3)首尾顺次相接三角形用符号“”表示,顶点就是A、B、C的三角形记作“ABC”,读作“三角形ABC”。
5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下:不等边三角形三角形底与腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下:直角三角形(有一个角为直角的三角形)三角形锐角三角形(三个角都就是锐角的三角形)斜三角形钝角三角形(有一个角为钝角的三角形) 把边与角联系在一起,我们又有一种特殊的三角形:等腰直角三角形。
它就是两条直角边相等的直角三角形。
6、三角形的三边关系定理及推论(1)三角形三边关系定理:三角形的两边之与大于第三边。
推论:三角形的两边之差小于第三边。
(2)三角形三边关系定理及推论的作用:①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时,可确定第三边的范围。
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新人教版八年级上册数学知识点总结归纳1 第十一章三角形第1页至第18页为八年级上册知识点总结归纳第十二章全等三角形第十三章轴对称第19页至第24页为八年级上册知识点练习题第十四章整式乘法和因式分解第十五章分式第25页为练习题答案第十一章三角形1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的角，简称三角形的角。
2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形用符号“∆”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“∆ABC”，读作“三角形ABC”。
5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。
它是两条直角边相等的直角三角形。
6、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的围。
③证明线段不等关系。
7、三角形的角和定理及推论三角形的角和定理：三角形三个角和等于180°。
推论：①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的角。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。
8、三角形的面积=21×底×高 多边形知识要点梳理定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。
凸多边形多边形 分类1： 凹多边形正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
分类2：非正多边形：边形的角和等于180°（n-2）。
360°。
边形的对角线条数等于1/2·n （n-3）知识点一：多边形及有关概念1、多边形的定义：在平面，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的角，一个n边形有n个角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（2）在定义中应注意：①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；②首尾顺次相连，二者缺一不可;③理解时要特别注意“在同一平面”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形凹多边形图1(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、形、正五边形等。
正三角形形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是形，四个角都相等的四边形也不一定是形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。
要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。
(2)n边形共有条对角线。
证明：过一个顶点有n－3条对角线(n≥3的正整数)，又∵共有n个顶点，∴共有n(n-3)条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，∴凸n边形，共有条对角线。
知识点四：多边形的角和公式1.公式：边形的角和为.2.公式的证明：证法1：在边形任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成个三角形，这个三角形的角和为，再减去一个周角，即得到边形的角和为.证法2：从边形一个顶点作对角线，可以作条对角线，并且边形被分成个三角形，这个三角形角和恰好是边形的角和，等于.证法3：在边形的一边上取一点与各个顶点相连，得个三角形，边形角和等于这个三角形的角和减去所取的一点处的一个平角的度数，即.要点诠释：(1)注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想。
(2)角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其角和；②已知多边形角和，求其边数。
知识点五：多边形的外角和公式1.公式：多边形的外角和等于360°.2.多边形外角和公式的证明：多边形的每个角和与它相邻的外角都是邻补角，所以边形的角和加外角和为，外角和等于.注意：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关。
要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与角和、外角和的关系：①n边形的角和等于(n－2)·°(n≥3，n是正整数)，可见多边形角和与边数n有关，每增加1条边，角和增加180°。
②多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关。
知识点六：镶嵌的概念和特征1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。
这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。
2、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。
3、常见的一些正多边形的镶嵌问题：(1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的角之和为360°。
(2)只用一种正多边形镶嵌地面对于给定的某种正多边形，怎样判断它能否拼成一个平面图形，且不留一点空隙？解决问题的关键在于正多边形的角特点。
当围绕一点拼在一起的几个正多边形的角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形。
事实上，正n边形的每一个角为，要求k个正n边形各有一个角拼于一点，恰好覆盖地面，这样360°＝，由此导出k＝＝2＋，而k是正整数，所以n只能取3,4，6。
因而，用相同的正多边形地砖铺地面，只有正三角形、形、正六边形的地砖可以用。
注意：任意四边形的角和都等于360°。
所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。
(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。
例如，用正三角形与形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌，见下图：又如，用一个正三角形、两个形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，因为它们的交接处各角之和恰好为一个周角360°。
规律方法指导1．角和与边数成正比：边数增加，角和增加；边数减少，角和减少. 每增加一条边，角的和就增加180°（反过来也成立），且多边形的角和必须是180°的整数倍.2．多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关.3．多边形最多有三个角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有三个钝角，最少没有钝角.4．在运用多边形的角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合，运用方程思想是解决本节问题的常用方法.5．在解决多边形的角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决. 三角形是一种基本图形，是研究复杂图形的基础，同时注意转化思想在数学中的应用.经典例题透析类型一：多边形角和及外角和定理应用1．一个多边形的角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？总结升华：本题是多边形的角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数，根据条件列出关于的方程，求出的值即可，这是一种常用的解题思路.举一反三：【变式1】若一个多边形的角和与外角和的总度数为1800°，求这个多边形的边数.【变式2】一个多边形除了一个角外，其余各角和为2750°，求这个多边形的角和是多少？【答案】设这个多边形的边数为，这个角为，.【变式3】一个多边形的角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数。
类型二：多边形对角线公式的运用【变式1】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.A．6 B．7C．8 D．9【变式2】一个十二边形有几条对角线。
总结升华：对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢。
类型三：可转化为多边形角和问题【变式1】如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________.【变式2】如图所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数。
类型四：实际应用题4．如图，一辆小汽车从P市出发，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，这辆小汽车共转了多少度角？思路点拨：根据多边形的外角和定理解决.举一反三：【变式1】如图所示，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，当他第一次回到出发点时，一共走了__________m.【变式2】小华从点A出发向前走10米，向右转36°，然后继续向前走10米，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能，当他走回点A时共走了多少米？若不能，写出理由。
【变式3】如图所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边AB∥CF，CD∥AE. 按规定AB、CD的延长线相交成80°角，因交点不在模板上，不便测量. 这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道AB、CD的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需测哪一个角吗？说明理由.思路点拨：本题中将AB、CD延长后会得到一个五边形，根据五边形角和为540°，又由AB ∥CF，CD∥AE，可知∠BAE+∠AEF+∠EFC=360°，从540°中减去80°再减去360°，剩下∠C的度数为100°，所以只需测∠C的度数即可，同理还可直接测∠A的度数.总结升华：本题实际上是多边形角和的逆运算，关键在于正确添加辅助线.类型五：镶嵌问题5．分别画出用相同边长的下列正多边形组合铺满地面的设计图。