2018年北京市合格性考试数学模拟试题1

2018北京市合格性考练习题（一）
数 学
第一部分 选择题（每小题3分，共75分）
在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的 1. 设全集I {0,1,2,3}=，集合{0,1,2}M =，{0,2,3}N =，则I
M N = （ ）
.A {1} .B {2,3} .C {0,1,2} .D ∅
2. 函数5cos(2)6
y x π
=-
的最小正周期是 （ ） .A 2
π .B π .C 2π .D 4π
3. 下列四个函数中，在区间(0,)+∞上是减函数的是 （ ）
.A 3log y x = .B 3x
y = .C 12
y x =
.D 1y x
=
4. 若54
sin =
α，且α为锐角，则sin2α的值等于 （ ） .A 1225 .B 1225- .C 24
25
.D 2425- 5. 不等式2
x x >的解集是 （ ）
.A (0)-∞，
.B (01)， .C (1)+∞， .D (,0)(1,)-∞+∞
6. 在ABC ∆中，2a =,b ,4
A π
∠=
,则B ∠= （ ） .A 3π .B 6π .C 6π或56π .D 3π或23π
7. 如果函数2x y c =+的图象经过点(2,5)，则c = （ ） .A 1 .B 0 .C 1- .D 2-
8. 已知过点(2,)A m -，(,4)B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为 （ ）
.A 0 .B 2 .C 8- .D 10
9. 已知二次函数2()(2)1f x x =-+，那么 （ ）
.A (2)(3)(0)f f f << .B (0)(2)(3)f f f <<
.C (0)(3)(2)f f f <<
.D (2)(0)(3)f f f <<
10.实数5lg 24lg )2
1(0++-的值为 （ ）
.A 1 .B 2 .C 3 .D 4
11.已知向量(3,1)=a ,(2,5)=-b ，则32-=a b （ ）
.A (2,7) .B (13,13) .C (2,7)- .D (13,7)-
12.若函数()35
1
9
1
x x f x x x +⎧=⎨
-+>⎩，则()f x 的最大值为 （ ） .A 6 .B 7 .C 8 .D 9
13.直线a ,b 是不同的直线，平面α,β是不同的平面，下列命题正确的是 （ ）
.A 直线a ∥平面α，直线b ⊂平面α，则直线a ∥直线b
.B 直线a ∥平面α，直线b ∥平面α，则直线a ∥直线b
.C 直线a ∥直线b ,直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面β,则平面αβ∥ .D 直线a ∥直线b ,直线a ⊄平面α，直线b ⊂平面α,则直线a ∥平面α
14．过点(0,1)并且与直线23y x =-+垂直的直线方程是 （ ）
.A 210x y --= .B 220x y -+= .C 210x y -+= .D 220x y --=
15. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，
为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青 年职工为7人，则样本容量为 （ ）
.A 35 .B 25 .C 15 .D 7
16. 从1,2,3,4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率是 （ ）
.
A 12 .
B 1
3
.C 14 .D 16 17. 已知(1,0)A ，(3,4)B ，M 是线段AB 的中点，那么向量AM 的坐标是 （ ）
.A (1,2) .B (1,2)-- .C (2,1) .D (2,1)--
18. 在ABC ∆中，222a b c bc =++，则角A 为 （ ）
.A 30 .B 45 .C 120 .D 150
19. 如图,一个空间几何体的正视图(或称主视图)与侧视图 （或称左视图）为全等的等边三角形，俯视图为一个半 径为1的圆，那么这个几何体的全面积为 ( )
.A π .B 3π
.C 2π .
D π+20．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是 （ ）
.A
.B 4 .C 8 .D 16
俯视图侧（左）视图
正（主）视图
21. 如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥,3BC BD =,1AD =, 则AC AD ⋅= ( )
.A 1 .B
.C 2 .D 0
22．一天，某人要去公安局办理护照，已知公安局的工作时间为9：00至17：00，设此
人在当天13：00至18：00之间任何时间去公安局的可能性相同，那么此人去公安 局恰好能办理护照的概率是 （ ）
.A 13
.B 34
.C 58
.D 45
23. 已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，当*n ∈N 时，*()f n ∈N ．若
[()]3f f n n =，其中*n ∈N ，则(1)f = （ ）
.A 4 .B 3 .C 2 .D 1
24. 某同学为研究函数22()
11(1)f x x x
（01x ）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的 正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点， 设CP
x ，则()AP
PF f x . 则参考上述信息，得
到函数()4()
9g x f x 的零点的个数是 （ ）
.A 0 .B 1 .C 2 .D 3
25. 某航空公司经营A 、B 、C 、D 这四个城市之间的客运业务. 它的部分机票价格如下： A —B 为2000元；A —C 为1600元；A —D 为2500元；B —C 为1200元；C —D 为900
元. 若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B —D 的机票价
格为 ( ) （注：计算时视A 、B 、C 、D 四城市位于同一平面内）
.A 1000元 .B 1200元 .C 1400元 .D 1500元
第二部分 解答题 （共25分）
26. （本小题满分6分）
如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 为底面ABCD 的对角线，E 为D D 1的中点.
（Ⅰ）求证：1D B AC ⊥； （Ⅱ）求证：1D B AEC 平面∥.
1
A
27．（本小题满分6分）
已知函数()sin f x x =，x ∈R ，点(P -是角α终边上一点，[0,2]α∈π （Ⅰ）求()f α的值；
（Ⅱ）设()()()g x f x f x α=++，求)(x g 在[0,]2
π
上的最大值和最小值. 28. （本小题满分6分）
已知点(2,0)P 及圆C ：226440x y x y +-++=. （Ⅰ）求圆心C 的坐标及半径r 的大小；
（Ⅱ）设过点P 的直线1l 与圆C 交于M ．N 两点，当4MN =时，求以线段MN 为直径的圆Q 的方程；
（Ⅲ）设直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点(2,0)P 的直线2l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．
29. （本小题满分7分）
某地今年上半年空气污染较为严重，该地环保监测机构对近期每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数()f x 与时刻x （时）的函数关系为：
25()log (1)21f x x a a =+-++，[0,24]x ∈.
其中a 为空气治理调节参数，且(0,1)a ∈.
（Ⅰ）若1
2
a =
，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低； （Ⅱ）规定每天中()f x 的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a 应控制在什么范围内？
数学试题答案
26.证明：（Ⅰ）连接BD 交AC 于O ,
在正四棱柱1111ABCD A B C D -中底面ABCD 是正方形. 所以 AC BD ⊥.
又因为1111ABCD A B C D -为正四棱柱， 所以1DD ⊥底面ABCD . 又AC ⊂底面ABCD ， 所以1DD AC ⊥. 因为AC BD ⊥，1BD
DD D =，1,BD DD ⊂平面1BDD ，
所以AC ⊥平面1BDD . 又因为1BD ⊂平面1BDD ，
所以1AC BD ⊥. …………………3分 （Ⅱ）因为底面ABCD 是正方形，所以O 为BD 中点. 又因为E 为1DD 中点， 所以EO 为1BDD ∆的中位线. 所以1EO BD ∥.
又EO ⊂平面EAC ，1BD ⊄平面EAC ，
所以1//D B 平面AEC . …………………6分 27. 解：
（Ⅰ）因为点(P -是角α终边上一点，
所以2r =，
所以sin y r α=
=
()sin f αα=. …………………2分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知sin 2α=
,1cos 2α=-,[0,2]α∈π. 所以23
απ
=.
1
A
所以()()()g x f x f x α=++2sin()sin 3
x x π
=+
+
1sin sin 2x x x =-+
+1sin 2x x =sin()3
x π=+ 因为[0,]2
x π
∈, 所以336x ππ5π+
. 所以，当32x ππ+=，即6x π
=时，()g x 的最大值为1；
当36x π5π+=，即2x π=时，()g x 的最小值为1
2
. …………………6分
28.解：（Ⅰ）因为226440x y x y +-++=，
所以22
(3)(2)9x y -++=，
所以圆C 的圆心坐标为(3,2)-,半径为3. …………………2分 （Ⅱ）设圆心C 到直线1l 的距离为d .
由圆C 圆心是(3,2)-，半径为3，及垂径定理得4，
解得d =.
注意到圆心(3,2)-到点(2,0)P ，所以P 为MN 中点. 所以，以MN 为直径的圆Q ，即为以(2,0)P 为圆心半径为2的圆.
所以圆Q 的方程为22(2)4x y -+=. …………………4分 （Ⅲ）若过点(2,0)P 的直线2l 垂直平分弦AB ，
则直线2l 必过圆心(3,2)-，
所以220
232
l k --==--，
所以直线10ax y -+=的斜率为12，所以1
2a =.
所以直线10ax y -+=方程为1
102
x y -+=,即220x y -+=.
计算圆心(3,2)-到直线220x y -+=的距离13d =
>，
所以，不存在实数a 使得过点(2,0)P 的直线2l 垂直平分弦AB . ……………6分
29.解：（Ⅰ）当1
2
a =
时，则251()log (1)222f x x =+-+，
当该地的空气污染指数最低时，即()2f x =时，251
log (1)02
x +-
=.
所以12
1255x +==，解得4x =.
所以一天中，4点时该地区的空气污染指数最低. …………………2分 （Ⅱ）设25log (1)t x =+,()21g t t a a =-++，[0,1]t ∈，
则当024x 时，01t ，
即310,()11,t a t a g t t a a t -++⎧=⎨
++<⎩
显然()g t 在[0,]a 上是减函数，在(,1]a 上是增函数， 则max ()max{(0),(1)}f x g g =. 因为(0)31g a =+，(1)2g a =+，
若(0)(1)21g g a -=-，解得1
2a >
， 若(1)(0)210g g a -=-+，解得1
2
a .
所以max 120,2()1311,
2a a f x a a ⎧
+<⎪⎪=⎨⎪+<<⎪⎩
又因为要使该地区每天的空气污染指数不超过3，即()3f x .
② 当102a
<时，5222
a <+，符合要求； ② 当112a <<时，由313a +≤,得23a ，故1223
a <.
综上所述，调节参数a 应控制在2
(0,]3
内. …………………7分。