高考汇总(二项式定理)

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高三复习：二项式定理知识点、题型方法归纳

绵阳市开元中学高2014级高三复习《二项式定理》知识点、题型与方法归纳制卷：王小凤学生姓名：___________一．知识梳理1．二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式．其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫二项式系数．式中的C r n a n －r b r 叫二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即通项T r ＋1＝C r n an －r b r . 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n .3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即r n rn n C C -=(2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项2n nC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项1122n n nnCC-+=取得最大值．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n；C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 一个防范运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n an －r b r ，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；二．题型示例【题型一】求()n x y +展开特定项例1：(1＋3x )n (其中n ∈N *且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( )A.6B.7C.8D.9解：由条件得C 5n 35＝C 6n 36，∴n ！5！（n －5）！＝n ！6！（n －6）！×3，∴3(n －5)＝6，n ＝7.故选B.例2：(2014·大纲)⎝ ⎛⎭⎪⎫xy－y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________.(用数字作答)解：⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －y x 8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 8－r ⎝⎛⎭⎪⎫－y x r ＝()33842281r r r r C x y ---，令8－32r ＝2，解得r ＝4，此时32r －4＝2，所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4C 48＝70.故填70.【题型二】求()()m n a b x y +++展开特定项例1：在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．74B ．121C ．－74D ．－121解析展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121.【题型三】求()()m n a b x y +⋅+展开特定项例1：(2013·全国课标卷Ⅱ)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1解：(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2项为C 25x 2＋ax ·C 15x ＝10x 2＋5ax 2＝(10＋5a )x 2.∵x 2的系数为5， ∴10＋5a ＝5，a ＝－1.故选D.例2：(2014·浙江卷)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( ) A ．45B ．60C ．120D ．210解析在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60，f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0，3)＝C 34＝4，所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝120，故选C.例3：已知数列{}n a 是等差数列，且6710a a +=，则在1212()()()x a x a x a ---的展开式中，11x 的系数为_______.解：11x 的系数为121267()6()60a a a a a -+++=-+=-。

二项式定理-高考数学复习

＝59.
目录
解题技法
赋值法的应用
（1）对形如（ ax ＋ b ） n ，（ ax 2 ＋ bx ＋ c ） m （ a ， b ， c
∈R， m ， n ∈N * ）的式子求其展开式的各项系数之和，只
需令 x ＝1即可；
（2）对（ ax ＋ by ） n （ a ， b ∈R， n ∈N*）的式子求其展开式各项
n ）， g （ r ）≠0，则：
（1） h （ r ）＝0⇔ Tr ＋1是常数项；
（2） h （ r ）是非负整数⇔ Tr ＋1是整式项；
（3） h （ r ）是负整数⇔ Tr ＋1是分式项；
（4） h （ r ）是整数⇔ Tr ＋1是有理项.
目录
2. 两个常用公式
（1） C0 ＋ C1 ＋ C2 ＋…＋ C ＝2 n ；
PART
2
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二项式中的特定项及系数问题
【例1】
1
（1）（2 x －）5的展开式中 x 的系数是（

A. －40
B. 40
C. －80
D. 80
）
1
解析：（1）（2 x －）5展开式的通项公式为 Tr ＋1＝ 5 （2 x ）5

－ r （－ 1 ） r ＝（－1） r 25－ r x 5－2 r （ r ＝0，1，…，5），令5
理数的项的个数是
16 2
，系数为有
5 .
⁠
解析：由二项展开式的通项公式可知 Tr ＋1＝ C9 ·
（ 2 ）9－ r ·xr ， r
∈N，0≤ r ≤9，当项为常数项时， r ＝0， T 1＝ C90 ·
（ 2 ）9·x 0＝
（ 2 ）9＝16 2 .当项的系数为有理数时，9－ r 为偶数，可得 r ＝

高考数学二项式定理

二项式定理1．二项式定理二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n an －1b 1＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r，它表示第r ＋1项二项式系数二项展开式中各项的系数C rn (r ∈{0,1,2，…，n })2．二项式系数的性质(1)C 0n ＝1，C n n ＝1. C m n ＋1＝C m －1n ＋C mn . (2)C mn ＝C n －mn .(3)当n 是偶数时，12n T +项的二项式系数最大；当n 是奇数时，12n T +与112n T ++项的二项式系数相等且最大．(4)(a ＋b )n 展开式的二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.考向一通项公式的运用【例1】（1）(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案)（2）⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2－23展开式中的常数项为。

（3））(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为。

（4）展开式中x 2的系数为。

【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下【套路总结】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出【举一反三】1．展开式中项的系数是（）A．270 B．180 C．90 D．452．在的展开式中，的系数是224，则的系数是（）A．14 B．28 C．56 D．1123．在的展开式中，含项的系数为A． B． C． D．4．的展开式中的系数是（）A．27 B．-27 C．26 D．-26考向二二项式系数、系数【例2】已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.【举一反三】1.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．402．若x 4(x ＋4)8＝a 0＋a 1(x ＋3)＋a 2(x ＋3)2＋…＋a 12(x ＋3)12，则log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝（）. A ．4B ．8C ．12D ．113．已知二项式展开式中含项的系数为，则实数的值是（）A ．B ．C ．D ．4．已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于【套路总结】(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m(a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.A．B．C．D．考向三二项式定理单调性【例3】若(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )A．200 B．110 C．210 D．150【举一反三】1．已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则多项式展开式中的常数项为（）A．10 B．42 C．50 D．1822．若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是第（）项A．4 B．3 C．2 D．13．在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中所有有理项的系数之和.。

考点50 二项式定理(新高考地区专用)(原卷版)

考点19 二项式定理一．二项式定理（1）二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋ C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *) （2）通项公式：T k ＋1＝C k n an －k b k，它表示第k ＋1项（3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为C 0n ，C 1n ，…，C n n（4）项数为n ＋1，且各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n 二．二项式系数的性质三．指定项的系数或二项式系数 1.解题思路：通项公式2.常见指定项：若二项展开式的通项为T r ＋1＝g (r )·x h (r )(r ＝0,1,2，…，n )，g (r )≠0，则有以下常见结论： (1)h (r )＝0∈T r ＋1是常数项 (2)h (r )是非负整数∈T r ＋1是整式项 (3)h (r )是负整数∈T r ＋1是分式项 (4)h (r )是整数∈T r ＋1是有理项三．系数和---赋值法 1．赋值法的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可． (2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． 2．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭⎫第n2＋1项的二项式系数最大； (2)如果n 是奇数，则中间两项⎝⎛⎭⎫第n ＋12项与第n ＋12＋1项的二项式系数相等并最大．知识理解考向一二项展开式中特定项及系数【例1】（1）（2020·长春市第八中学高三）二项式821(1)x-的展开式中4x -的系数为（2）（2021·上海高三一模）在262()x x+的二项展开式中，常数项等于____.（3）（2020·全国高三）在24的展开式中，有理项共有项（4）（2020·云南省个旧市第一高级中学高三）25()ax x-展开式中x 的系数为80，则a 等于。

高考数学复习：二项式定理

思维升华
(1)赋值法的应用一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令 g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n 的展开式中各项的系数和为 g(1)，(a＋bx)n 的展开式中奇数项的系数和为12[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n 的展开式中偶数项的系数和为12[g(1) －g(－1)].
自主诊断
2.(选择性必修第三册P31T4改编) 1x－
x10
的展开式中x2的系数等于
√A.45
B.20
C.－30
D.－90
k
因为展开式的通项为Tk＋1＝(1)k C1k0x 2
·x－(10－k)＝(
1)k
C1k0
x
10
3 2
k
，
令－10＋32k＝2，得 k＝8，
所以展开式中 x2 的系数为(－1)8×C810＝45.
(x＋y)8 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck8x8－kyk，k＝0,1，…，7,8. 令 k＝6，得 T6＋1＝C68x2y6；令 k＝5，得 T5＋1＝C58x3y5，所以1－yx(x＋y)8 的展开式中 x2y6 的系数为 C68－C58＝－28.
(2)若(x2＋a)x＋1x8 的展开式中 x8 的系数为 9，则 a 的值为__1___.
因为(x－2y)8 的展开式中含 x6y2 的项为 C28x6(－2y)2＝112x6y2，所以(x－2y)8的展开式中x6y2的系数为112.
(2)已知x－
a
5
x
的展开式中
x5
的系数为
A，x2
的系数为
B，若
A＋B＝11，
则 a＝__±_1___.
x－

二项式定理-高考题(含答案)精选全文

3.（2012·天津高考理科·Ｔ5）在 2x2-⎪的二项展开式中，x的系数为（D）5.（2012·重庆高考理科·Ｔ4）⎛x+1⎫⎪的展开式中常数项为(B)(A)35精选全文完整版（可编辑修改）学习好资料欢迎下载二项式定理高考真题一、选择题1.（2012·四川高考理科·Ｔ1）相同(1+x)7的展开式中x2的系数是（D）（A）42（B）35（C）28（D）212.（2011·福建卷理科·Ｔ6）(1+2x)5的展开式中，x2的系数等于（B）（A）80（B）40（C）20（D）10⎛1⎫5⎝x⎭(A)10(B)-10(C)40(D)-404.（2011.天津高考理科.T5）在(x-2)6的二项展开式中，x2的系数为（C）2x（A）-15153（B）（C）-（D）448388⎝2x⎭3535(B)(C)(D)10516846.（2012·重庆高考文科·Ｔ4）(1-3x)5的展开式中x3的系数为(A)(A)-270(B)-90(C)90(D)2707.(2013·大纲版全国卷高考理科·T7)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是(D)8.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ8）⎛ x + a ⎫⎪⎛ 2x - 1 ⎫⎪的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常（ 12.（2011·湖北高考理科·T11） x - ⎪ 的展开式中含 x 15的项的系数为 17 .）16.（2011·安徽高考理科·Ｔ12）设（x - 1)21 = a + a x + a x 2 + + a x 21 ，则17.（2011·广东高考理科·Ｔ10） x( x - )7的展开式中， x 4 的系数是___84___ (用数字作答)A.56B.84C.112D.1685 ⎝x ⎭⎝ x ⎭数项为（ D ）（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）409. (2011·重庆高考理科·T4) (1 + 3x) n (其中 n ∈ N 且 n ≥ 6 )的展开式中 x 5 与 x 6 的系数相等,则 n =( B)(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 910． 2011·陕西高考理科·T4） (4 x - 2- x )6 （ x ∈ R ）展开式中的常数项是（C ）（A ） -20（B ） -15（C ）15 （D ）20二、填空题11. ⎛ 1 ⎫6（2013·天津高考理科·Ｔ10） x - ⎪ 的二项展开式中的常数项为 15 .⎝ x ⎭⎛ 1 ⎫18⎝ 3 x ⎭13.（2011·全国高考理科·Ｔ13）(1- x )20 的二项展开式中，x 的系数与 x 9 的系数之差为0 .14.（2011·四川高考文科·Ｔ13 （x + 1)9 的展开式中 x 3的系数是 84 （用数字作答）.15.(2011·重庆高考文科·T11) (1 + 2 x) 6的展开式中 x 4 的系数是240 .0 1 2 21a +a =0 .10112x18.（2011·山东高考理科·Ｔ14）若 x-x2⎪⎭19.（2012·大纲版全国卷高考理科·Ｔ15）若(x+)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，120.（2013·安徽高考理科·Ｔ11）若 x+3x⎭x4的系数为7，则实数a=_________。

高考专题二项式定理(全解析)

1 / 4二项式定理一、选择题1．（求项的系数）5(2x +的展开式中，4x 的系数是( )A ．40B ．60C ．80D ．100【答案】C【解析】5(2x二项展开式的通项为5552155(2)2k k kkk kk T C x C x---+=⋅⋅=⋅⋅．令542k-=，得2k =．因此，二项展开式中4x 的系数为235280C ⋅=，故选C ．2．（知常数项求某一项的系数）若在(a +3x )(1−√x 3)8关于x 的展开式中，常数项为4，则x 2的系数是（） A ．56 B ．-56 C ．112 D ．-112【答案】B【解析】由题意得(1−√x 3)8展开式的通项为T r+1=C 8r (−√x 3)r=(−1)r C 8r x r3，r =0,1,2,⋯,8， ∴(a +3x )(1−√x 3)8展开式的常数项为(−1)0C 8⋅a =a =4， ∴(4+3x )(1−√x 3)8展开式中x 2项为4⋅(−1)6C 86x 63+3x ⋅(−1)3C 83x 33=−56x 2∴展开式中x 2的系数是−56. 故选B3．（直常数项求参数）若6ax ⎛- ⎝展开式的常数项为60，则a 值为( )A ．4B ．4±C ．2D ．2±【答案】D【解析】因为6ax ⎛ ⎝展开式的通项为()()3666622166T 11k k k k k k k k k k C a x x C a x -----+=-=-，令3602k -=，则4k =，所以常数项为()44646160C a --=，即21560a =，所以2a =±. 故选D2 / 44．（奇数项系数的和）记6260126(1)(1)(1)...(1)x a a x a x a x -=+++++++，则0246a a a a +++=（）A ．81B ．365C ．481D ．728【答案】B【解析】令x=0得1=0126...a a a a ++++，令x=-2得601234563=a a a a a a a -+-+-+，所以0246a a a a +++=1+729=3652. 故选B5．（由系数二项式系数的和求参数）已知n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】C【解析】二项式n的各项系数的和为()1+34n n=，二项式n的各项二项式系数的和为()1+12n n=，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，所以4=2642n nn =，6n =，故选C ．二、填空题6．（集合关系判断）若)22nx -展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是____．【答案】180【解析】因为)22nx -展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以10n =，展开式的通项公式为5510221101022r rrr rrr r TC xC x---+=⋅⋅⋅=⋅⋅，令5502r-=，解得3 / 42r，所以展开式的常数项为22101280C ⋅=.7．（求系数最大项）61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，系数最大的项为第__________项．【答案】3或5【解析】61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中间项为第4项其系数为负，则第3，5项系数最大. 8．（二项展开式系数的性质应用）在()()25132x x +-的展开式中，所有的奇次幂的系数和为__________．【答案】478- 【解析】设()()25223456701234567132x x a a x a x a x a x a x a x a x +-=+++++++令1x =，得：0123456716a a a a a a a a =+++++++……① 令1x =-，得：01234567972a a a a a a a a =-+-+-+-……② ①-②得：()13579562a a a a -=+++ 解得：1357478a a a a +++=- 本题正确结果：478-9．（二项式与数列）已知数列{}n a 满足11a k=，k *∈N ，[]n a 表示不超过n a 的最大整数（如[]1,61=，记[]n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ）.①若数列{}n a 是公差为1的等差数列，则4T =__________； ②若数列{}n a 是公比为1k +的等比数列，则n T =__________．【答案】6 ()211nk kn k+--【解析】①若数列{}n a 是公差为1的等差数列，且11a k =，*2k k N ≥∈，，则11(1,)n a n n n k=+-∈-，所以[]1n n b a n ==-，则401236T =+++=；故填6.4 / 4②若数列{}n a 是公比为1k +的等比数列，且11a k=，*2k k N ≥∈，，则 1112131211(1)(1)n n n n n n n a k k C k C kk k------=⋅+=⋅+++⋅⋅⋅+，则213111n n k n n n b k C k C -----=++⋅⋅⋅+， 221311101(2)(33)()n n k n n n T k k k k C k C -----=+++++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+22223332341451[123(1)](1?)(1)n n n n C C C k C C C k---=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅+++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+3422(1))2n n n n n n n C k C k C k --=+++⋅⋅⋅+ 223321()n n n n n C k C k C k k =++⋅⋅⋅+ 21[(1)1]n k nk k =+--；故填21[(1)1]n k nk k+--. 10．（二项式与函数）已知二进制和十进制可以相互转化，例如65432108912021212020212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，则十进制数89转化为二进制数为2(1011001).将n 对应的二进制数中0的个数，记为n a （例如：24(100)=，251(110011)=，289(1011001)=，则42a =，512a =，893a =），记()2n a f n =，则2018201820182019(2)(21)(22)...(21)f f f f ++++++-=__________．【答案】20183【解析】由题意得20182018201820192212221++-，，，，共201920182018222-=个数中所有的数转换为二进制后，总位数都为2019，且最高位都为1而除最高位之外的剩余2018位中，每一位都是0或者1 设其中的数x ，转换为二进制后有k 个0（0k 2018≤≤） ∴()2kf x =在这20182个数中，转换为二进制后有k 个0的数共有2018kC 个 ∴()()()()201820182018201820192018022122 (2)12k kk f f f f C =++++++-=∑由二项式定理，()201820182018201802123k kk C ==+=∑。

高考数学一轮复习---二项式定理知识点与题型复习

二项式定理知识点与题型复习一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质注：(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.二、考点解析考点一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例1、(1)522⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80(2)若(2x－a)5的二项展开式中x3的系数为720，则a＝________.(3)已知5⎪⎭⎫⎝⎛+xax的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；第三步，把r代入通项公式中，即可求出T r＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出T r＋1或者其他量.考法(二)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例2、(1)(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是()A.－4B.－3C.3D.4(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.考法(三)求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例3、(1)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)将344⎪⎭⎫⎝⎛-+xx展开后，常数项是________.[解题技法]求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，把三项的和a＋b＋c看成是(a＋b)与c两项的和；第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n －r 的展开式中的哪些项和c r 相乘得到的；第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 跟踪训练1.在(1－x 3)(2＋x )6的展开式中，x 5的系数是________.(用数字作答)3.5212⎪⎭⎫⎝⎛++x x (x ＞0)的展开式中的常数项为________.考点二二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若531⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( ) A.63x B.4x C.4x 6x D.4x或4x 6x(2)若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.[解题技法] 1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立.因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如： (1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可. (2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中 (1)各项系数之和为f (1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练1.已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝()A.1B.243C.121D.1222.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.3.已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为____.考点三二项展开式的应用例、设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝()A.0B.1C.11D.12[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.跟踪训练]1.使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为()A.1B.2C.3D.4课后作业1.3422⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为( ) A.－32 B.32 C.6 D.－6 2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－901213.若二项式72⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( )A.560B.－560C.280D.－2804.已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29 B.210 C.211 D.2125.二项式9221⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )A.－671B.671C.672D.673 6.在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( )A.－5B.－15C.－25D.257.若(x 2－a )101⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12C.1D.2 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3 B.－3 C.1 D.1或－3 9.(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)10.9⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.11.511⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 展开式中的常数项为________.12.已知nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+41的展开式中，前三项的系数成等差数列. (1)求n ；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项.。

高考数学总复习考点知识专题讲解9 二项式定理

高考数学总复习考点知识专题讲解专题9 二项式定理知识点一二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，展开式中一共有n ＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C kn (k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数．知识点二二项展开式的通项(a ＋b )n 展开式的第k ＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1＝C k n an －k b k . 【例1】（2023•上海）设423401234(12)x a a x a x a x a x -=++++，则04a a +=．【例2】（2022•上海）二项式(3)n x +的展开式中，2x 项的系数是常数项的5倍，则n =．【例3】（2021•浙江）已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =；234a a a ++=．知识点三二项展开式的通项求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解．(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．【例4】（2022•新高考Ⅰ）8(1)()y x y x-+的展开式中26x y 的系数为（用数字作答）．【例5】（2022•天津）523)x 的展开式中的常数项为．【例6】（2023•驻马店期末）若7102910012910(2)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x +-=+-+-+⋯⋯+-+-，则5a =．【例7】（2023•海淀区模拟）已知5()x a +的展开式为5432543210p x p x p x p x p x p +++++，若3415p p -=，则a =．知识点四余数和整除的问题利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．【例8】（2022秋•杨浦区校级期末）504除以17的余数为．【例9】（2023•沈阳模拟）若20232023012023(1)x a a x a x +=++⋯+，则0242022a a a a +++⋯+被5除的余数是．【例10】（2022•多选•庆阳期末）下列命题为真命题的是() A ．61()x x -展开式的常数项为20B ．1008被7除余1 C ．61()x x-展开式的第二项为46x -D ．1008被63除余1知识点五二项式系数的性质1.对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －mn2.增减性与最大值增减性：当k <n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当k >n ＋12时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：（1）当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2C n n最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12C n n-，12C n n+相等，且同时取得最大值（2）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大； ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (3)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第k ＋1项最大，应用⎩⎨⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，解出k ，即得出系数的最大项． 3.各二项式系数的和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ；(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －14.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可，对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.【例11】（2022•北京）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024(a a a ++=) A ．40B ．41C ．40-D ．41-【例12】（2023•新乡开学）若二项式*(2()n x n N∈的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中2x 项的系数为() A ．1120-B ．1792-C ．1792D ．1120【例13】（2023•慈溪市期末）若二项式*(12)()n x n N +∈的展开式中第6项与第7项的系数相等，则此展开式中二项式系数最大的项是() A ．3448x B ．41120x C ．51792x D ．61792x【例14】（2022秋•葫芦岛期末）设n ∈N +，化简=+++-12321666n n n n n n C C C C （）A ．7nB ．C ．7n ﹣1D ．6n ﹣1【例15】已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值：(1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5；(2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|；(3)a 1＋a 3＋a 5.(4)a 0＋a 2＋a 4；(5)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； (6)5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4.【例16】（2023•泰州期末）若6652360136()x y a y a xy a x y a x +=++⋯++⋯+，则220246135()()a a a a a a a +++-++的值为()A ．0B ．32C ．64D ．128【例17】（2023•静安区期末）在23(3)nx x -+的二项展开式中，533r n r n rnC x--称为二项展开式的第1r +项，其中0r =，1，2，3，⋯，n ．下列关于23(3)nx x -+的命题中，不正确的一项是()A ．若8n =，则二项展开式中系数最大的项是1426383C xB ．已知0x >，若9n =，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数x 的取值范围是3540()3x <…C ．若10n =，则二项展开式中的常数项是44103C D ．若27n =，则二项展开式中x 的幂指数是负数的项一共有12项【例18】（2023秋•泰兴市月考）设*n N ∈，0101(1)(1)(2)(2)n n n n n x a a x a x b b x b x =+-++-=+-++-，则()A ．001132n n n n b a b a b a -+-++-=-B ．0101012()nn nb b b a a a a a a +++=+++ C ．0101111()211n n a a a a a a n n +++=+++++D ．21201(1)4()4n n n n b b n b a a a ++++=+++【例19】（2023•江宁区期末）二项式定理是产生组合恒等式的一个重要源泉，由二项式定理可得：0122*1111(1)(,),1n nn m mn n n n n n C C x C x C x x n N x R C C m n -+++++=+∈∈=+等，则012111231nn n n n C C C C n ++++=+．【例20】（2022•玄武区期末）在231(1)(1)(1)n x x x +++++⋯++的展开式中，含2x 的系数是n a ，8a =；若对任意的*n N ∈，*n N ∈，20n n a λ⋅-…恒成立，则实数λ的最小值是．【例21】（2019•江苏）设2012(1)n n n x a a x a x a x +=+++⋯+，4n …，*n N ∈．已知23242a a a =．（1）求n 的值；（2）设(1n a =+a ，*b N ∈，求223a b -的值．同步训练1.（2021•上海）已知二项式5()x a +展开式中，2x 的系数为80，则a =．2.（2021•上海）已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为．3．（2020•浙江）二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则4a =，135a a a ++=．4．（2020•新课标Ⅲ）262()x x+的展开式中常数项是（用数字作答）．5．（2020•天津）在522()x x+的展开式中，2x 的系数是．6.（2023•郫都区模拟）已知921001210(1)(1)x x a a x a x a x --=+++⋯+，则8a =45-．7.（2020•新课标Ⅰ）25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为()A ．5B ．10C ．15D ．208.（2023•湖北模拟）51(1)(12)x x+-的展开式中，常数项是() A ．9-B ．10-C ．9D ．109.（2023•曲靖模拟）已知4520222023(1)(12)(12023)(12022)x x x x -++++-展开式中x 的系数为q ，空间有q 个点，其中任何四点不共面，这q 个点可以确定的直线条数为m ，以这q 个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为n ，以这q 个点中的某些点为顶点可以确定的四面体个数为p ，则(m n p ++=) A ．2022B ．2023C ．40D ．5010.（2023•徐汇区期末）1002被9除所得的余数为() A ．1B ．3C ．5D ．711.已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．12（2023•河源期末）5(21)x y --的展开式中含22x y 的项的系数为() A ．120-B ．60C ．60-D ．3013.（2023•怀化期末）已知10111012n n C C =，设2012(23)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，下列说法：①2023n =，②20233n a =-，③0121n a a a a +++⋯+=，④展开式中所有项的二项式系数和为1．其中正确的个数有() A ．0B ．1C ．2D ．314（2023•青原区期末）若28(1)(1)ax x x -+-的展开式中含2x 的项的系数为21，则(a =) A ．3-B ．2-C ．1-D ．115.（2023•常熟市月考）今天是星期五，经过7天后还是星期五，那么经过1008天后是()A ．星期三B ．星期四C ．星期五D ．星期六16.（2023•南海区月考）已知012233222281n n n nn n n C C C C C +++++=，则123nn n n n C C C C ++++等于()A ．15B ．16C ．7D ．817.（2022•浙江）已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2a =，12345a a a a a ++++=．。

专题58二项式定理-高考数学复习资料(解析版)

A．5 B．－10 C．－32 D．－42
【答案】 D
1
1
1
－2
－2
【解析】由于 x 5 的通项为 Cr5· x 5－r·(－2)r＝Cr5(－2)r·x，故(x2＋1)· x 5 的展开式的常
数项是 C15·(－2)＋C55(－2)5＝－42.故选 D. 8.(2019·潍坊模拟)设 a∈Z，且 0≤a<13，若 512018＋a 能被 13 整除，则 a＝( )
方程或不等式的知识求解.
2.求几个多项式积的特定项：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情
形，求出相应的特定项，最后进行合并即可.
3.三项展开式特定项：(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系
数)问题的处理方法求解；(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项
A.5
B.－10
C.－32
D.－42
31
x－ 3 10
(2)
2 x 的展开式中所有的有理项为________.
【答案】 (1)D (2)45x2，－63， 45 x－2
4
8 256
1
5
1 5－r
1
5
－2
r－5
－2
【解析】 (1)由于 x
的通项为 Cr5· x ·(－2)r＝Cr5·(－2)r·x 2 ，故(x2＋1)· x
所以 a6＝C510，则 k 的最大值为 6. x3＋2 n
2.(2019·烟台模拟)已知 x 的展开式的各项系数和为 243，则展开式中 x7 的系数为( )
A.5
B.40
C.20
D.10

高中数学二项式定理知识点总结

高中数学二项式定理知识点总结一、二项式定理的概念和公式二项式定理是指两个数的整数次幂之和在展开时，任意一个数都可以拆开成两个数相乘的形式。

根据二项式定理，可以得到以下的公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³对于一般情况下的二项式展开，可以根据组合数的知识得出下列公式：(a+b)ⁿ = C(n,0) * aⁿ+ C(n,1) * aⁿ⁻¹b + C(n,2) * aⁿ⁻²b² + ... + C(n,n) * bⁿ其中，C(n,m)表示从n个元素中取m个元素的组合数。

二、二项式定理的应用1. 计算二项式的展开式利用二项式定理，可以将任意形式的二项式展开成为多项式，从而方便进行计算。

例如，对于 (x+2)³的展开式，根据二项式定理可以得到：(x+2)³ = x³ + 3x²*2 + 3x*2² + 2³= x³ + 6x² + 12x + 82. 求解组合数在概率论、统计学等领域中，经常需要计算组合数。

而组合数实际上就是二项式展开中的系数。

因此，通过二项式定理可以方便地求解组合数。

3. 计算二项式的特定项有时候并不需要将整个二项式展开，只需求解其中的某一项。

例如，对于(x+2)⁵ 的展开式，如果只需要求解其中x⁴ 的系数，可以直接利用二项式定理计算得出，而无需展开整个式子。

4. 解决数学问题在数学建模、求解等问题中，二项式定理也可以被广泛应用。

通过利用二项式定理，可以简化问题的表达和计算，从而更加方便地求解问题。

考向38 二项式定理全归纳(十五大经典题型)(原卷版)

考向38二项式定理全归纳经典题型一：求二项展开式中的参数经典题型二：求二项展开式中的常数项经典题型三：求二项展开式中的有理项经典题型四：求二项展开式中的特定项系数经典题型五：求三项展开式中的指定项经典题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数经典题型七：求二项式系数最值经典题型八：求项的系数最值经典题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和经典题型十：求奇数项或偶数项系数和经典题型十一：整数和余数问题经典题型十二：近似计算问题经典题型十三：证明组合恒等式经典题型十四：二项式定理与数列求和经典题型十五：杨辉三角（2022·全国·高考真题）81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为________________（用数字作答）．（2022·浙江·高考真题）已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2a =__________，12345a a a a a ++++=___________．知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题（1）二项式定理一般地，对于任意正整数，都有：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的r n r rnC a b -做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr n T C a b -+=，其中的系数r n C （r =0，1，2，…，n ）叫做二项式系数，（2）二项式()n a b +的展开式的特点： ①项数：共有1n +项，比二项式的次数大1；②二项式系数：第1r +项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ；④项的系数：二项式系数依次是012r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，，，项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）．（3）两个常用的二项展开式：①（）②（4）二项展开式的通项公式二项展开式的通项：1r n r rr nT C a b -+=()0,1,2,3,,r n =⋯ 公式特点：①它表示二项展开式的第1r +项，该项的二项式系数是；②字母b 的次数和组合数的上标相同； ③a 与b 的次数之和为n ．注意：①二项式()n a b +的二项展开式的第r +1项和()n b a +的二项展开式的第r +1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的．②通项是针对在()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b -的二项展开式的通项是（只需把b -看成b 代入二项式定理）． 2、二项式展开式中的最值问题（1）二项式系数的性质①每一行两端都是1，即0nn n C C =；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即nn b a )(+011()(1)(1)n n n r r n r rn n nn n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-⋅++-⋅*N n ∈122(1)1n r r n n n n x C x C x C x x +=++++++rn C r n r r n C a b -r n r r n C b a -1(1)r r n r rr n T C a b -+=-11m m m n nn C C C -+=+． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即m n mn n C C -=．③二项式系数和令1a b ==，则二项式系数的和为0122rn n n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221rnn n n n n C C C C +++++=-．④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令11a b ==-，，则0123(1)(11)0n nn nn n n n C C C C C -+-++-=-=，从而得到：0242132111222r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⋅=．⑤最大值：如果二项式的幂指数n 是偶数，则中间一项12n T +的二项式系数2n nC 最大；如果二项式的幂指数n 是奇数，则中间两项12n T +，112n T ++的二项式系数12n nC-，12n nC+相等且最大．（2）系数的最大项求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为121n A A A +⋅⋅⋅，，，，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来．知识点3、二项式展开式中系数和有关问题常用赋值举例：（1）设，二项式定理是一个恒等式，即对a ，b 的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取a ，b 的值．①令，可得：②令11a b ==，，可得：，即：（假设为偶数），再结合①可得：．（2）若121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a ----=+++++，则①常数项：令0x =，得0(0)a f =．②各项系数和：令1x =，得0121(1)n n f a a a a a -=+++++．③奇数项的系数和与偶数项的系数和()011222nn n n r n r rn nnn n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++1a b ==012n n n n n C C C =+++()012301nnn n n nn C C C C C =-+-+-02131n n n n n n n n C C C C C C -+++=+++n 0213112n n n n n n n n n C C C C C C --+++=+++=（i ）当n 为偶数时，奇数项的系数和为024(1)(1)2f f a a a +-+++=；偶数项的系数和为135(1)(1)2f f a a a --+++=．（可简记为：n 为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）（ii ）当n 为奇数时，奇数项的系数和为024(1)(1)2f f a a a --+++=；偶数项的系数和为135(1)(1)2f f a a a +-+++=．（可简记为：n 为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）若1210121()n n n n f x a a x a x a x a x --=+++++，同理可得．注意：常见的赋值为令0x =，1x =或1x =-，然后通过加减运算即可得到相应的结果．1、求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k ,再将k 的值代回通项求解,注意k 的取值范围（）.（1）第项：：此时k +1=m ,直接代入通项.（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程. （3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程. 2、解题技巧：（1）形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．（2）对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．（3）若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝(1)(1)2f f +-，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝(1)(1)2f f --.经典题型一：求二项展开式中的参数0,1,2,,k n =m1．（2022·湖南·模拟预测）已知6a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为160-，则实数=a （） A ．2 B ．-2C ．8D ．-82．（2022·全国·高三专题练习）62ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为－160，则a ＝（）A ．－1B ．1C ．±1D ．23．（2022·全国·高三专题练习）已知二项式52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 项的系数为40，则=a （）A ．2B ．-2C ．2或-2D ．4经典题型二：求二项展开式中的常数项4．（2022·广东广州·高三阶段练习）若2nx x ⎛⎝的展开式中第2项与第6项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为（） A ．160-B ．160C ．1120-D ．11205．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）已知53a x x ⎛⎝（a 为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（） A ．-90B ．-10C ．10D ．906．（2022·山东青岛·高三开学考试）在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（）A ．80B ．80-C ．160D ．160-7．（2022·全国·高三专题练习）已知二项式1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为（） A ．120-B ．20-C ．15D ．20经典题型三：求二项展开式中的有理项8．（2022·江苏南通·高三阶段练习）21031(2x x的二项展开式中有理项有（） A ．3项B ．4项C ．5项D ．6项9．（2022·全国·高三专题练习（理））若65(32)n x x 的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数n 的取值为（） A ．4B ．6或8C ．7或8D ．810．（2022·重庆市第十一中学校高三阶段练习）已知二项式()nx n N x *⎛∈ ⎝的展开式中，二项式系数之和为64，则展开式中有理项的系数之和为（） A ．119B ．168C ．365D ．52011．（2022·全国·高三专题练习）在243(2x x的展开式中，有理项共有（） A ．3项B ．4项C ．5项D ．6项12．（2022·全国·高三专题练习（理））若21nx x ⎫⎪⎭展开式中只有第四项的系数最大，则展开式中有理项的项数为（） A ．1B ．2C ．3D ．4经典题型四：求二项展开式中的特定项系数13．（2022·湖北·高三开学考试）已知二项式13nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中x 的系数为（） A ．405-B ．405C ．81-D ．8114．（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）在812x x ⎫⎪⎭的展开式中5x 的系数为（） A ．454B ．458-C ．358D ．715．（2022·全国·高三专题练习）在2()n x x -的展开式中，若二项式系数的和为32，则1x的系数为（） A ．80-B ．80C ．40-D ．4016．（2022·全国·高三专题练习（理））()()()239111x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中2x 的系数是（） A ．45B ．84C ．120D ．21017．（2022·全国·高三专题练习）若()1nx +的展开式中，某一项的系数为7，则展开式中第三项的系数是（） A ．7B ．21C ．35D ．21或35经典题型五：求三项展开式中的指定项18．（2022·全国·高三专题练习）511x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为（）A ．5B ．-5C ．15D ．-1519．（2022·江西南昌·高三阶段练习）5144x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含3x -的项的系数为（） A ．1-B ．180C ．11520-D ．1152020．（2022·全国·高三专题练习）()423x y z +-的展开式中，所有不含z 的项的系数之和为（） A ．16B ．32C ．27D ．8121．（2022·全国·高三专题练习）()421x y x ++的展开式中22y x的系数为（）A ．4B ．6C ．8D ．1222．（2022·全国·高三专题练习）在()5223x x --的展开式中含10x 和含2x 的项的系数之和为（） A ．674-B ．675-C ．1080-D ．148523．（2022·全国·高三专题练习）()635x y -的展开式中，22x y 的系数为（）A ．135-B ．75-C ．75D ．135经典题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 24．（2022·浙江邵外高三阶段练习）()()6x y x y +-的展开式中34x y 的系数是________．（用数字作答）25．（2022·全国·高三专题练习）()6213x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为__________．26．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）232345012345(1)(23)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则4a =_________.27．（2022·全国·高三专题练习）已知522a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中的各项系数和为3-，则该展开式中的常数项为______.28．（2022·河北邢台·高三开学考试）()631x x x ⎛+ ⎝展开式中的3x 项的系数是______.29．（2022·浙江·杭十四中高三阶段练习）25()y x x x y ⎛⎫⎪⎭+ ⎝+的展开式中24x y 的系数为___________.（用数字作答）30．（2022·四川·树德中学高三阶段练习（理）） 6211(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为______.31．（2022·全国·高三专题练习）已知()52345601234561(1)x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则03a a +的值为___________.32．（2022·浙江省淳安中学高三开学考试）已知51m x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为20，则m =___________.经典题型七：求二项式系数最值33．（2022·全国·高三专题练习）在()1nx +（*n ∈N ）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n 的值不可能是（） A ．7B ．8C ．9D ．1034．（2022·全国·高三专题练习）7(12)x +展开式中二项式系数最大的项是（） A ．3280xB ．4560xC ．3280x 和4560xD ．5672x 和4560x35．（2022·湖南·高三阶段练习）设m 为正整数，2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为b .若158a b =，则m 的值为（） A ．5B ．6C ．7D ．836．（2022·全国·高三专题练习）5a x x ⎫⎪⎭的展开式中x 的系数等于其二项式系数的最大值，则a 的值为（） A ．2B ．3C ．4D ．2-经典题型八：求项的系数最值37．（2022·全国·高三专题练习）已知(13)n x -的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为___________．38．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）()91-x 的展开式中系数最小项为第______项． 39．（2022·全国·高三专题练习）若4()x xn 展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．经典题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和40．（2022·全国·高三专题练习）若7270127(1)x a a x a x a x -=++++，则1237a a a a ++++=_________.（用数字作答）41．（2022·全国·高三专题练习）设()20202202001220201ax a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，若12320202320202020a a a a a +++⋅⋅⋅+=则非零实数a 的值为（）A ．2B ．0C ．1D ．-142．（2022·全国·高三专题练习）已知202123202101232021(1)x a a x a x a x a x +=+++++，则20202019201820171023420202021a a a a a a ++++++=（）A ．202120212⨯B ．202020212⨯C ．202120202⨯D ．202020202⨯43．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）若()()()220222022012022111x x x a a x a x ++++++=+++，则（）A ．02022a =B ．322023a C =C ．20221(1)1ii i a =-=-∑D ．202211(1)1i i i ia -=-=∑经典题型十：求奇数项或偶数项系数和44．（2022·浙江·模拟预测）已知多项式()4228012832-+=++++x x a a x a x a x ，则1357a a a a +++=_______，1a =________．45．（2022·全国·模拟预测）若()()9911x ax x +-+的展开式中，所有x 的偶数次幂项的系数和为64，则正实数a 的值为______．46．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知2220122(2)1+)1+)...1+)n n n x a a x a x a x +=++++（（（，若15246222...21n n a a a a a -+++++=-，则n =_____________.47．（2022·全国·高三专题练习）若9290129(2)(1)(1)(1)++=+++++⋅⋅⋅++x m a a x a x a x ，且()()22028139++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+a a a a a a 93=，则实数m 的值可以为（） A ．1或3-B ．1-C ．1-或3D ．3-经典题型十一：整数和余数问题48．（2022·全国·高三专题练习（理））设0122191919191919C C 7C 7C 7a =++++，则a 除以9所得的余数为______．49．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）20222除以7的余数为_______． 50．（2022·福建漳州·三模）711除以6的余数是___________．51．（2022·全国·高三专题练习）091827899995555C C C C ++++被7除的余数是____________．52．（2022·天津市第七中学模拟预测）已知n 为满足()12320222022202220222022C C C C 3T a a =+++++≥能被9整除的正整数a 的最小值，则()()221nxx x -+-的展开式中含10x 的项的系数为______．53．（2022·全国·高三专题练习）若1002100012100(21)x a a x a x a x +=++++，则()1359923a a a a ++++-被8整除的余数为___________.54．（2022·浙江·高三专题练习）设a ∈Z ，且0≤a ≤16，若42021+a 能被17整除，则a 的值为 _____.经典题型十二：近似计算问题55．（2022·河南南阳·高三期末（理））81.02≈__________（小数点后保留三位小数）． 56．（2022·山西·应县一中高三开学考试（理））6(1.05)的计算结果精确到0.01的近似值是_________．57．（2022·山东·高三阶段练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据100.98的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是________.经典题型十三：证明组合恒等式58．（2022·全国·高三专题练习）（1）设m 、*n N ∈，m n ≤，求证：1111m mn n n C C m +++=+；（2）请利用二项式定理证明：()2*3213,n n n n N >+≥∈.59．（2022·江苏省天一中学高三阶段练习）已知*0()()nk k n n k f x C x n N ==∈∑.（1）若456()()2()3()g x f x f x f x =++，求()g x 中含4x 项的系数；（2）求：012112323n m m m m n C C C nC -++++++++.60．（2022·江苏·泰州中学高三阶段练习）（1）设()(12),()n f x x f x =+展开式中2x 的系数是40，求n 的值；（2）求证：11(1)0(2,)nk k n k kC n n N +*=-=≥∈∑经典题型十四：二项式定理与数列求和61．（2022·全国·高三专题练习（理））令n a 为()11n x ++的展开式中含1n x -项的系数，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（）A ．()32n n + B ．()12n n + C ．1n n + D ．21nn + 62．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a 的第5项是61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项，则28a a +=（） A ．20B ．20-C ．40D ．40-63．（2022·河北保定·二模）若n 为等差数列4,2,0,--中的第7项，则二项式21(2)n x x-展开式的中间项系数为（）A ．1120B ．1120-C ．1792D ．1792-64．（2022·江西新余·二模（理））已知等差数列{}n a 的第5项是6122x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项，则该数列的前9项的和为（） A ．160B ．160-C ．1440D ．1440-经典题型十五：杨辉三角65．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的杨辉三角中，从第2行开始，每一行除两端的数字是1以外，其他每一个数字都是它肩上两个数字之和在此数阵中，若对于正整数n ，第2n 行中最大的数为x ，第21n 行中最大的数为y ，且137x y =，则n 的值为______．66．（2022·全国·高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，则第10条斜线上，各数之和为______.67．（2022·全国·高三专题练习（文））“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第35项是______．68．（2022·全国·高三专题练习）如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1,3,3,4,6,5,10, ，记此数列的前n项之和为n S，则23S 的值为__________.1．（2022·北京·高考真题）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（）A ．40B ．41C ．40-D ．41-2．（2020·山东·高考真题）在821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，第4项的二项式系数是（）A ．56B ．56-C ．70D ．70-3．（2020·北京·高考真题）在5(2)x 的展开式中，2x 的系数为（）． A ．5-B ．5C ．10-D ．104．（2020·全国·高考真题（理））25()()x x y x y ++的展开式中x 3y 3的系数为（）A ．5B ．10C ．15D ．205．（2022·天津·高考真题）523x x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为______.6．（2021·天津·高考真题）在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数是__________．7．（2020·天津·高考真题）在522x x ⎛ ⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________． 8．（2020·全国·高考真题（理））262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．9．（2021·浙江·高考真题）已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________.10．（2020·浙江·高考真题）设52345123456(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则5a =________；123a a a ++=________．。

完整版)二项式定理知识点及典型题型总结

完整版)二项式定理知识点及典型题型总结二项式定理一、基本知识点1、二项式定理：(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b +。

+ C(n,n)b^n (n∈N*)2、几个基本概念1）二项展开式：右边的多项式叫做(a+b)^n的二项展开式2）项数：二项展开式中共有n+1项3）二项式系数：C(n,r) = n!/r!(n-r)!4）通项：展开式的第r+1项，即T(r+1) = C(n,r) * a^(n-r) * b^r3、展开式的特点1）系数都是组合数,依次为C(n,1)。

C(n,2)。

…。

C(n,n)2)指数的特点①a的指数由n到0(降幂)。

②b的指数由0到n（升幂）。

XXX和b的指数和为n。

3)展开式是一个恒等式，a，b可取任意的复数，n为任意的自然数。

4、二项式系数的性质：1）对称性: 在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.2）增减性与最值: 二项式系数先增后减且在中间取得最大值当n是偶数时，中间一项取得最大值C(n,n/2)当n是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值C(n,(n-1)/2)C(n-1.m) = C(n。

m) + C(n。

m-1)C(n,0) + C(n,1) +。

+ C(n,n) = 2^n3）二项式系数的和：奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即 C(n,0) - C(n,2) + C(n,4) -。

= 2^(n-1)二项式定理的常见题型一、求二项展开式1．“(a+b)^n”型的展开式例1．求(3x+2y)^42．“(a-b)^n”型的展开式例2．求(3x-2y)^43．二项式展开式的“逆用”例3．计算1-3C(n,1) + 9C(n,2) - 27C(n,3) +。

+(-1)^n*3nC(n,n)二、通项公式的应用1．确定二项式中的有关元素例4．已知((-ax)/(9x^2+1))^9的展开式中x^3的系数为9，常数a的值为1/32．确定二项展开式的常数项例5．(x-3/x)^10展开式中的常数项是2433．求单一二项式指定幂的系数例6．(x^2-3y)^6中x^3y^3的系数为-540三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7．(x-1)^-1(x-1)^2(x-1)^3(x-1)^4(x-1)^5的展开式中，x^2的系数等于-101.展开式中，求(x-2)(x^2+1)^7展开式中x^3的系数。

二项式定理知识点归纳总结

二项式定理知识点归纳总结一、二项式定理公式。

1. 二项式定理。

- 对于(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，其中n∈ N^*。

- 这里C_n^k=(n!)/(k!(n - k)!)，叫做二项式系数。

例如(a + b)^2=a^2 +2ab+b^2，这里n = 2，当k = 0时，C_2^0a^2-0b^0=a^2；当k = 1时，C_2^1a^2 -1b^1=2ab；当k = 2时，C_2^2a^2-2b^2=b^2。

2. 二项展开式的通项公式。

- 二项式(a + b)^n展开式的第k + 1项T_k+1=C_n^ka^n - kb^k(k = 0,1,·s,n)。

例如在(x+2)^5中，其通项公式为T_k + 1=C_5^kx^5 - k2^k。

当k = 2时，T_3=C_5^2x^5-22^2=10× x^3×4 = 40x^3。

二、二项式系数的性质。

1. 对称性。

- 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C_n^k=C_n^n - k。

例如在(a + b)^6中，C_6^2=(6!)/(2!(6 - 2)!)=(6×5)/(2×1)=15，C_6^4=(6!)/(4!(6 -4)!)=(6×5)/(2×1)=15，所以C_6^2 = C_6^4。

2. 增减性与最大值。

- 当n是偶数时，中间一项（第(n)/(2)+1项）的二项式系数C_n^(n)/(2)取得最大值；当n是奇数时，中间两项（第(n + 1)/(2)项和第(n+3)/(2)项）的二项式系数C_n^(n - 1)/(2)=C_n^(n+1)/(2)相等且取得最大值。

- 二项式系数先增大后减小，其增减性由frac{C_n^k}{C_n^k - 1}=(n - k+1)/(k)来判断。

当(n - k + 1)/(k)>1，即k<(n + 1)/(2)时，二项式系数逐渐增大；当(n -k+1)/(k)<1，即k>(n + 1)/(2)时，二项式系数逐渐减小。

高考数学二项式定理总结

高考数学二项式定理总结佚名【考纲要求】1．能用计数原理证明二项式定理；2．把握二项展开式系数的性质及运算的问题；3．会用二项式定明白得决与二项展开式有关的简单问题.【知识网络】【考点梳理】要点一、二项式定理公式叫做二项式定理。

其中叫做二项式系数。

叫做二项展开式的通项，它表示第项。

其中：①公式右边的多项式叫做的二项展开式；②展开式中各项的系数叫做二项式系数；③式中的第r+1项叫做二项展开式的通项，用表示；二项展开式的通项公式为.要点诠释：二项展开式的通项公式集中表达了二项展开式中的指数、项数、系数的变化，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数以及数、式的整除等方面有着广泛的应用。

使用时要注意：（1）通项公式表示的是第“r+1”项，而不是第“r”项；（2）通项公式中a和b的位置不能颠倒；（3）展开式中第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数，在一样情形下是不相同的，在具体求各项的系数时，一样先处理符号，对根式和指数的运算要细心以防出差错；（4）在通项公式中共含有a,b,n,r,这5个元素，在有关二项式定理的问题中，常常会遇到：明白5个元素中的若干个（或它们之间的关系），求另外几个元素的问题。

这类问题一样是利用通项公式，把问题归结为解方程（组）或不等式（组），那个地点要注意n为正整数，r为非负数，且r≤n。

要点二、二项展开式的特性①项数：有n+1项；②次数：每一项的次数差不多上n次，即二项展开式为齐次式；③各项组成：从左到右，字母a降幂排列，从n到0；字母b升幂排列，从0到n；④系数：依次为.“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。

其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。

《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。

“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。

“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。

二项式定理 2025年高考数学基础专项复习

D选项， +
2 5
的展开式的通项公式为+1

3
2
=
3
2
C5 5−
⋅

2 −2
=
C5
⋅
3
2 5− 2 ，0
≤ ≤ 5，且为整数，当 = 0
3
2
时，5 − = 5，满足要求，当 = 2时，5 − = 2，满足要求，当 = 4时，5 − = −1，满足要求，综上，展
（2）若 = 0 + 1 + 2 2 + ⋯ + ,则展开式中各项系数之和为 1 ,偶次项系数之和为
0 + 2 + 4 + ⋯ =
1 + −1
2
,奇次项系数之和为1 + 3 + 5 + ⋯ =
1 − −1
2
，令 = 0，可得0 = 0 .
结论正确的是( ACD )
A.展开式中所有项的二项式系数的和为22 023
C.展开式中所有偶次项的系数的和为
【解析】对于A， 1 − 2
= 1 − 2
32 023 −1
2
2 023 ，则
0

+ 1 + 2 + 3 + ⋯ + 2 023 = 1 = −1，
1 − −1
1 = C30 + C41 = 1 + 4 = 5；2 = C31 −1
2 + 3 + 4 = 3 + 7 + 0 = 10.
1
+ C42 = 3；3 = C32 −1

二项式定理高考总复习

二项式定理1．二项式定理：011()()nnn r n rrn nn n n n ab C aC abC abC b nN ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b 的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数r nC(0,1,2,,)rn .③项数：共(1)r项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r项rnrrn C ab 叫做二项式展开式的通项。

用1r n rrrn T C ab 表示。

3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n 项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。

()na b 与()nb a 是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。

b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。

各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rnn n n n n C C C C C 项的系数是a与b 的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：令1,,a bx 0122(1)()nr rn nn n n n n x C C x C x C x C x n N 令1,,ab x 0122(1)(1)()n r rnn nnnnnnx CC xC xC xC x n N 5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C ，・・・1kk n nC C ②二项式系数和：令1ab,则二项式系数的和为0122rnnn n n nnC C C C C ，变形式1221rnnnnnnC C C C 。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1ab ，则0123(1)(11)0n nnn n nnnC C C C C ，从而得到：0242132111222rr nn nnnnnn nC C C C C C C ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：001122201201201122202121001230123()()1,(1)1,(1)nn n n n nnn n n n n n nn n nnnn n n n n nnnn a x C a x C axC axC a x a a xa x a x x a C a x C ax C a x C a x a xa xa xa x a a a a a ax a a a a a a令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2nnnnnnaaa a a a aa a a a a ②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2nn C 取得最大值。

考点33 二项式定理(精讲)(原卷版)(新高考专用)

第33讲二项式定理知识点1 二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n C0n a n C1n n－1C k n n－k k C n n b n*(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n(3)C0n，C1n，…，C n n.(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.注：二项式系数与项的系数辨析(1)二项式系数：二项展开式中各项的系数C r n(r∈{0，1，…，n})叫做第r＋1项的二项式系数．(2)项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．如(a＋bx)n的展开式中，第r＋1项的系数是C r n a n－r b r.(3)两个常用的二项展开式：①()②（4）若二项展开式的通项为T r ＋1＝g (r )·x h (r )(r ＝0,1,2，…，n )，g (r )≠0，则有以下常见结论：①h (r )＝0⇔T r ＋1是常数项．②h (r )是非负整数⇔T r ＋1是整式项．③h (r )是负整数⇔T r ＋1是分式项．④h (r )是整数⇔T r ＋1是有理项．【即学即练1】【多选】下列选项正确的有( )A ．C k n a n －k b k 是(a ＋b )n 的展开式的第k 项 B ．(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关C ．二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项D ．(a ＋b )n 展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同知识点2 二项式系数的性质【即学即练2】(2022·陕西高三模拟)若(2－x )10展开式中二项式系数和为A ，所有项系数和为B ，一次项系数为C ，则A ＋B ＋C ＝( )A ．4 095B ．4 097C ．－4 095D ．－4 097011()(1)(1)n n n r r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-⋅++-⋅*N n ∈122(1)1n r r n n n n x C x C x C x x +=++++++【即学即练3】化简：C 12n ＋C 32n ＋…＋C 2n －12n ＝________．考点一二项式的通项公式及其应用（一）求解形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量二项展开式问题的常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k ＋1项，再由特定项的特点求出k 值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k ＋1项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．注：11-=x x ,21x x =,221-=x x, r r r b a ab =)( 如： r r r x x--=-)1()1(1、求展开式中的指定项（常数项、有理项等）或其系数【例1-1】在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－1x 5的展开式中，含x 4的项的系数是( ) A ．10 B ．－10 C ．－5 D ．20变式1：（2x ﹣）4的展开式中x 的系数为（） A ．﹣32B ．32C ．﹣8D ．8变式2：在（﹣x ）4的展开式中，二次项的系数为（）A ．﹣6B ．﹣4C ．4D ．6变式3：（﹣x ）6的展开式中含x 4项的系数是（） A ．60 B ．﹣60 C ．12D ．﹣12变式4：二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 10的展开式中，x 项的系数是() A.152 B ．－152 C ．15 D ．－15【例1-2】262()x x -的展开式中常数项为( )A ．-240B ．-160C ．240D ．160变式1：⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35的展开式中的常数项为( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40变式2：二项式51x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 A ．10 B ．10- C ．5 D ．5-变式3：⎝⎛⎭⎫2x －18x 38的展开式中的常数项为________．【例1-3】的展开式中的系数是 A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20【例1-4】⎝ ⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项共有________项．变式1：在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．【例1-5】二项式（x +2）6的展开式的第二项是（）A ．60x 4B ．12x 5C ．12xD ．60x 2变式1：（x ﹣2）10展开式中第6项的二项式系数为（）A ．B ．C ．D ．变式2：⎝⎛⎭⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为________，是第________项．【例1-6】已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝________.2、求二项式中的参数【例1-7】已知⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中含23x 的项的系数为30，则a ＝( ) A. 3 B ．－ 3 C ．6D ．－6变式1：若（2x +）6展开式的常数项为160，则a ＝（）51(2)2x y -23x yA ．1B ．2C ．4D ．8变式2：⎝⎛⎭⎫ax ＋1x 6的展开式的常数项为160，则实数a ＝________.变式3：若6mx ⎛ ⎝的展开式中3x 项的系数是240，则实数m 的值是（） A ．2BC ．2± D．【例1-8】二项式⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为________．变式1：使得()3n x n N +⎛∈ ⎝的展开式中含常数项的最小的n 为 A ． B ． C ． D ．【例1-9】若(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝________.【例1-10】设二项式的展开式中的系数为A ，常数项为B ，若B =4A ，则a 的值是．（二）求解形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量求解形如(a ＋b )n (c ＋d )m 的展开式问题的思路(1)若n ，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a ＋b )2(c ＋d )m ＝(a 2＋2ab ＋b 2)(c ＋d )m ，然后展开分别求解．(2)观察(a ＋b )(c ＋d )是否可以合并，如(1＋x )5·(1－x )7＝[(1＋x )(1－x )]5(1－x )2＝(1－x 2)5(1－x )2；(3)分别得到(a ＋b )n ，(c ＋d )m 的通项公式，综合考虑．4567)0()(6>-a xa x 3x1、求展开式中的指定项（常数项、有理项等）或其系数【例1-11】（2017新课标Ⅰ）621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35变式1：(x ＋1)5(x －2)的展开式中x 2的系数为________．变式2：()()52121xx +-的展开式中x 的系数等于（） A ．3B ．4C ．5-D ．6-变式3：⎝⎛⎭⎫x 2－3x ＋4x ⎝⎛⎭⎫1－1x 5的展开式中常数项为( ) A ．－30 B ．30 C ．－25 D ．25【例1-12】(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数是( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4【例1-13】已知多项式32(1)(2)x x ++=543212345x a x a x a x a x a +++++，则4a =___，5a =___．变式1：设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( ) A.－6160 B.－122121 C.－34D.－90121【例1-14】若将函数5()f x x =表示为2012()(1)(1)f x a a x a x =++++55(1)a x +++，其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a = ．变式1：已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝( )A ．－5B ．5C ．90D ．180变式2：已知(x ＋2)15＋a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 15(1＋x )15，则a 13的值为( )A ．945B ．＋945C ．1 024D ．＋1 024变式3：()()()()525012521111x a a x a x a x -=+-+-++-则3a =（） A ．40-B ．40C ．80-D ．80【例1-15】5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．80【例1-16】在的展开式中，记项的系数为，则=A ．45B ．60C ．120D ． 210【例1-17】2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（） A ．3- B ．2- C ．2 D ．32、求二项式中的参数【例1-18】已知(1＋ɑx )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1变式1：已知(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，则正实数a ＝________.46)1()1(y x ++n m y x ),(n m f (3,0)f +(2,1)f +(1,2)f +(0,3)f（三）求解形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量求形如(a ＋b ＋c )n 展开式中特定项的步骤第一步，把三项的和a ＋b ＋c 看作(a ＋b )与c 两项的和；第二步，根据二项式定理求出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n －r 的展开式中的哪些项和c r 相乘得到的；第四步，把相乘后的项相加减即可得到特定项．【例1-19】(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( )A ．10B ．20C ．30D ．60【例1-20】将⎝⎛⎭⎫x ＋4x －43展开后，常数项是________．变式1：32244x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（） A ．160-B ．64-C ．160D ．64变式2：⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x ＞0)的展开式中的常数项为________.考点二二项展开式中系数和的问题解题方略：赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2. 1、二项系数之和【例2-1】化简：C 12n ＋C 32n ＋…＋C 2n －12n ＝________.【例2-2】若⎝⎛⎭⎫x 3＋1x n 的展开式的所有二项式系数之和为128，则n ＝________.【例2-3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为A ．122B ．112C ．102D ．922、各项系数之和【例2-4】在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________．变式1：若(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝__________.变式2：已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( )A ．－20B ．0C ．1D ．20变式3：若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为________．变式4：已知(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则(a 0＋a 2＋a 4)(a 1＋a 3＋a 5)的值等于__________．变式5：已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.变式6：设x (1－x )7＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6＋a 7x 7＋a 8x 8，则a 1＋3a 2＋7a 3＋15a 4＋31a 5＋63a 6＋127a 7＋255a 8＝________。