人大附中初三下数学摸底考试题
2021-2022学年北京市中国人民大学附属中学九年级下学期开学摸底考试数学试卷含详解
2021-2022学年度第二学期初三年级数学练习1第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1—8原均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.京张高铁，京礼高速两条北京冬奥会重要交通保障设施投入使用后，将张家口、崇礼、延庆与北京城区串成一线．京张高铁开通运营一年累计发送旅客6800000人，大幅提升了京张两地通行能力，将6800000用科学记数法表示为（）A .56.810⨯ B.66.810⨯ C.56810⨯ D.70.6810⨯2.北京2022年冬奥会的举办，再次点亮了北京这座千年古都．在下列北京建筑的简笔画图案中，是轴对称图形的是（）A.国家体育场B.国家游泳中心C.国家大剧院D.天安门3.实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，若|a|=|b|，则下列结论中错误．．的是（）A.0a b +=B.0a c +<C.0b c +>D.0ac <4.如图，在正方体的一角截去一个小正方体，所得立体图形的主视图是（）A. B. C. D.5.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点A ，点C 分别在直线a ，b 上，且a ∥b ．若∠1=60°，则∠2的度数为（）A.75°B.105°C.135°D.155°6.方程22622xx x x-=--的解为（）A.1x =- B.2x = C.1x = D.该方程无解7.二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关．当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长．如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中白昼时长超过13小时的节气是（）A.惊蛰B.小满C.秋分D.大寒8.如图，对于△ABC ，若存在点D ，E ，F 分别在BC ，AC ，AB 上，使得12∠=∠，34∠=∠，56∠=∠，则称△DEF 为△ABC 的“反射三角形”．下列关于“反射三角形”的说法中，正确的是（）A.若△DEF 为△ABC 的“反射三角形”，且A B ∠>∠，则13∠<∠B.若△DEF 为△ABC 的“反射三角形”，则A EDF ∠=∠C.直角三角形的“反射三角形”必为直角三角形D.若△ABC 的反射三角形存在，则△ABC 必为锐角三角形第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.2022年冬奥会的主题口号是“一起向未来”，从5张上面分别写着“一”“起”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小，形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“来”字的概率是______．10.若分式13x -有意义，则x 的取值范围是___．11.分解因式：22218a b -=___．12.点()11,A x y ，()22,B x y 在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，若120x x +=，则12y y +=______．13.如图，AB 是O 的直径，,C D 为O 上的点，若20CAB ∠=︒，则D ∠=____.14.为了丰富同学们的课余生活，某年级买了3个篮球和2个足球，共花费了474元，其中篮球的单价比足球的单价多8元，求篮球和足球的单价，如果设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意可列方程组为_____．15.某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某月（30天）接待游客人数（单位：万人）的数据，绘制了下面的统计图和统计表．每日接待游客人数（单位：万人）游玩环境评价05x <≤好510x ≤<一般1015x ≤<拥挤1520x ≤<严重拥挤根据以上信息．以下四个判断中，正确的是______（填写所有正确结论的序号）．①该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”的天数仅有4天；②该景区这个月每日接待游客人数的中位数0~5万人之间；③该景区这个月平均每日接待游客人数低于5万人．16.对正整数x 依次进行如下计算后得到y ，称为对x 进行了1次H 运算，若将得到的值y 作为x 代入后再次进行H 运算，称为对x 进行了2次H 运算，以此类推．例如，对14进行了1次H 运算后，得到的值为3，对14进行了2次H 运算后，得到的值为1．（1）若对正整数x 进行了1次H 运算后，得到1y =，则x 的值为______；（2）若对正整数x 进行了3次H 运算后，得到1y =，所有满足条件的x 的个数为______．三、解答题（共6得分，第17~18题，每题5分，第19题6分，第20~22题，每题5分，第23~24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27~28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步罩或证明过程.17.计算+|（13）-1．18.已知2340x x ﹣﹣＝，求代数式22(1)(1)(3)2x x x x +--++的值．19.已知实数a 满足不等式15126a a+<+．（1）求这个不等式的解集；（2）若关于x 的方程220x x a -+=有两个不相等的实数根，求所有满足条件的整数a 的值．20.如图，在△ABC 中，AC=BC ，点D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点，连接DE ，DF.(1)求证:四边形DFCE 是菱形；(2)若∠A=75°，AC=4，求菱形DFCE 的面积.21.△ABC 中，AB =45ABC ∠=︒．（1）如图1，若点C 在射线BM 上，且45BAC ∠=︒，请用圆规和无刻度的直尺．作△ABC （不写作法，保留作图痕迹）；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并求出边BC 的长度．①4AC =；②△ABC 的周长为12+；③4cos 5C =．22.某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标x ，y ，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如下：注“●”表示患者，“▲”表示非患者．根据以上信息，回答下列问题：（1）在这40名被调查者中，①指标y低于0．4的有人；②将20名患者的指标x的平均数记作1x，方差记作21s，20名非患者的指标x的平均数记作2x，方差记作22s，则1x 2x，21s22s(填“>”，“=”或“<”)；（2）来该院就诊的500名未患这种疾病的人中，估计指标x低于0．3的大约有人；（3）若将“指标x低于0．3，且指标y低于0．8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的概率多少．23.如图， AB是直径AB所对的半圆弧，C是 AB上一定点，D是 AB上一动点，连接DA，DB，DC．已知AB＝5cm，设D，A两点间的距离为xcm，D，B两点间的距离为y1cm，D，C两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验．分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm012345y1cm5 4.9430y2cm4 3.32 2.47 1.403（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数位所对应的点（x，y1），（x，y2）并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接BC ，当△BCD 是以CD 为腰的等腰三角形时，DA 的长度约为cm ．24.如图，在△ABC 中，AC BC =，以C 为直径作⊙O ，交AC 于点M ，作CD AC ⊥交AB 延长线于点D ，E 为CD 上一点，且BE DE =．（1）延明：BE 为⊙O 的切线；（2）若4AM =，tan 2A =，求DE 的长．25.在平面直角坐标系xOy 中，直线:l y kx =在与直钱y x k =-+交于点A ，直线y x k =-+与x 轴交于点B ．（1）求点B 的坐标（用含k 的代数式表示）；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．结合函数图象回答：i)当3k =时，直接写出△AOB 内部的整点个数；ii)若△AOB 内部没有整点，直接写出k 的取值范围．26.已知抛物线2y ax bx c =++过点()11,A y -，()21,B y ，()32,C y ．（1）若12y c y =>．①该抛物线的对称轴为直线______；②122y y +与c 的大小关系为122y y +______c （填“>”“=”或“<”）；（2）若132y y y <<，且这条抛物线还过点()43,D y ，判断命题“当14y y 与23y y 中有一个为负数时，另一个必为正数”的正误，并说明理由．27.在矩形ABCD 中，点P 是射线BC 上一动点，点B 关于直线AP 的对称点为E ，直线PE 与直线CD 交于点F ．（1）如图1，当A ，C ，E 共线时，若30ACB ∠=︒，判断△ACF 的形状，并证明；（2）若当点P 在线段BC 上的某个位置时（不与B ，C 重合），有45PAF ∠=︒，求证：当点P 在BC 延长线上任意位置时，都有45PAF ∠=︒．28.在平面直角坐标系xOy 中，对于线段a ，b ，c ，若222a b c +<，则称线段c 是线段a ，b 的“关联线段”．已知点()2,0A -，（1）点B 的坐标为()2,0，①下列点坐标中，能使线段AB 是线段PA ，PB 的“关联线段”的点P 的坐标为______（填序号）；A.()2,1；B.()0,2-；C.()1,1-②点C 的坐标为()0,2，点D ，E 在△ABC 的边AB 上（D 在E 的左侧），若线段DE 是线段AD ，BE 的“关联线段”，求线段DE 长的取值范围；（2）⊙A 的半径为2，⊙T 的圆心为(),0t ，点()1,0M 在⊙T 上，若存在过点M 的直线l ，使得l 与⊙A 交于G ，H 两点()G H x x <，与⊙T 的另一个交点为N ，且满足线段MH 是线段MN ，GH 的“关联线段”，直接写出t 的取值范围．2021-2022学年度第二学期初三年级数学练习1第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1—8原均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.京张高铁，京礼高速两条北京冬奥会重要交通保障设施投入使用后，将张家口、崇礼、延庆与北京城区串成一线．京张高铁开通运营一年累计发送旅客6800000人，大幅提升了京张两地通行能力，将6800000用科学记数法表示为（）A.56.810⨯B.66.810⨯ C.56810⨯ D.70.6810⨯【答案】B【分析】把数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数的形式．【详解】解：6800000＝6.8×106，故选：B ．【点睛】此题主要考查了科学记数法表示较大的数，关键是掌握把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，n ＝原来的整数位数−1．2.北京2022年冬奥会的举办，再次点亮了北京这座千年古都．在下列北京建筑的简笔画图案中，是轴对称图形的是（）A.国家体育场B.国家游泳中心C.国家大剧院D.天安门【答案】D【分析】利用轴对称图形的定义分析各选项即可．【详解】解：根据轴对称图形的定义可知： A.国家体育场，不是轴对称图形，故不符合题意；B.国家游泳中心，不是轴对称图形，故不符合题意；C.国家大剧院，不是轴对称图形，故不符合题意；D.天安门，是轴对称图形，故符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴，找出对称轴．3.实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，若|a|=|b|，则下列结论中错误．．的是（）A.0a b +=B.0a c +<C.0b c +>D.0ac <【答案】B【分析】根据|a|=|b|，确定原点的位置，根据实数与数轴，有理数的运算法则即可解答．【详解】解：∵|a|=|b|，∴原点在a ，b 的中间，如图，由图可得：|a|＜|c|，a+b=0，a+c ＞0，b+c ＞0，ac ＜0，故选项B 错误，故选B ．【点睛】本题考查数轴，绝对值，有理数的乘法、加法，解题的关键是确定原点的位置．4.如图，在正方体的一角截去一个小正方体，所得立体图形的主视图是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【详解】从正面看是一个大正方形内的左上角是一个小正方形，故选D ．5.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点A ，点C 分别在直线a ，b 上，且a ∥b ．若∠1=60°，则∠2的度数为（）A.75°B.105°C.135°D.155°【答案】B【详解】∵在Rt △ABC 中,∠BAC=90°，AB=AC ，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠3=180°−60°−45°=75°，∵a ∥b ，∴∠2=180°−∠3=105°，故选B.6.方程22622xx x x-=--的解为（）A.1x =-B.2x = C.1x = D.该方程无解【答案】D【分析】首先方程两边同乘以x （x −2），把分式方程变为整式方程，然后解此整式方程，即可求得答案．【详解】解：方程两边同乘以x （x −2）得：2x ＝6−x ，解得：x ＝2，检验：当x ＝2时，x （x −2）=0，则x ＝2不是原分式方程的解，分式方程无解.故选：D ．【点睛】此题考查了分式方程的求解方法．注意准确找到最简公分母x （x −2）是关键．7.二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关．当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长．如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中白昼时长超过13小时的节气是（）A.惊蛰B.小满C.秋分D.大寒【答案】B【分析】根据函数的图象确定每个节气白昼时长，然后即可确定正确的选项．【详解】A 、惊蛰白昼时长为11.5小时，不符合题意；B 、小满白昼时长为14.5小时，符合题意；C 、秋分白昼时长为12.2小时，不符合题意；D 、大寒白昼时长为9.8小时，不符合题意，故选B ．【点睛】本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是能够读懂函数的图象并从中整理出进一步解题的有关信息，难度不大．8.如图，对于△ABC ，若存在点D ，E ，F 分别在BC ，AC ，AB 上，使得12∠=∠，34∠=∠，56∠=∠，则称△DEF 为△ABC 的“反射三角形”．下列关于“反射三角形”的说法中，正确的是（）A.若△DEF 为△ABC 的“反射三角形”，且A B ∠>∠，则13∠<∠B.若△DEF 为△ABC 的“反射三角形”，则A EDF∠=∠C.直角三角形的“反射三角形”必为直角三角形D.若△ABC 的反射三角形存在，则△ABC 必为锐角三角形【答案】D【分析】根据反射三角形的定义及三角形内角和定理求出∠1=∠2=∠C ，∠3=∠4=∠B ，∠5=∠6=∠A 再逐个判断．【详解】解：如下图所示：设∠1=∠2=x ，则∠3=∠4=180°-∠A -x ，∠5=∠6=180°-∠B -x ，∵∠4+∠5+∠C =180°，∴(180°-∠A -x )+(180°-∠B-x )+∠C =180°，且∠A +∠B +∠C =180°，∴x =∠C ，即∠1=∠2=∠C ，∴∠3=∠4=180°-∠A -x=180°-∠A-∠C=∠B ，∠5=∠6=180°-∠B -x=180°-∠B-∠C=∠A ；∵∠1+∠2+∠EDF =180°，∴2∠C +∠EDF =180°；下面对选项逐个判断：选项A ：=5∠∠A ，4=3∠=∠∠B ，若A B ∠>∠，则53∠>∠，得不到13∠<∠，故选项A 错误；选项B ：若△DEF 为△ABC 的“反射三角形”，则=∠∠=∠≠∠A FEC BDE EDF ，故选项B 错误；选项C ：在直角三角形中，不存在反射三角形，理由如下：当∠C =90°时，∠EDF +2∠C =180°，得到∠EDF =0°，这显然与题意矛盾，故选项C 错误；选项D ：在钝角三角形中，也不存在反射三角形，理由如下：当∠C ＞90°时，∠EDF +2∠C =180°，得到∠EDF <0°，这显然与题意矛盾，故若△ABC 的反射三角形存在，则△ABC 必为锐角三角形，故选：D ．【点睛】本题借助三角形内角和定理考查了“反射三角形”，属于新定义题型，解题的关键是读懂题意，合理使用三角形内角和定理．第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.2022年冬奥会的主题口号是“一起向未来”，从5张上面分别写着“一”“起”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小，形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“来”字的概率是______．【答案】15【分析】根据概率公式计算即可．【详解】从5张上面分别写着“一”“起”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小，形状完全相同）中随机抽取一张的结果可能有5种，其中恰好写着“来”字的结果有1种，∴随机抽取的这张卡片恰好写着“来”字的概率15=．故答案为：15．【点睛】本题考查简单的概率计算．熟练掌握概率公式是解题关键．10.若分式13x -有意义，则x 的取值范围是___．【答案】3x ≠【分析】根据分式有意义的条件，分母不为0，即可求解【详解】 若分式13x -有意义，∴x 的取值范围是3x ≠，故答案为：3x ≠【点睛】本题考查了分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是解题的关键．11.分解因式：22218a b -=___．【答案】2(3)(3)a b a b +-．【分析】首先提取公因式2，再利用平方差公式分解即可求得答案．【详解】解：原式222(9)2(3)(3)a b a b a b =-=+-，故答案为：2(3)(3)a b a b +-．【点睛】此题考查了利用提公因式法与平方差公式法分解因式．题目比较简单，注意分解要彻底．12.点()11,A x y ，()22,B x y 在反比例函数()0k y k x=≠的图象上，若120x x +=，则12y y +=______．【答案】0【分析】将点1122(，)，(，)A x y B x y 代入k y x =，即用1x 和k 表示出1y ，2x 和k 表示出2y ．再将1y 和2y 相加整理可得121212()k x x y y x x ++=，再结合题意即可求出120y y +=．【详解】∵点1122(，)，(，)A x y B x y 在反比例函数(0)k y k x =≠的图象上，∴11k y x =，22k y x =，∴12121212()k x x k k y y x x x x ++=+=．∵120x x +=，∴1212()0k x x x x +=，即120y y +=．故答案为：0．【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键．13.如图，AB 是O 的直径，,C D 为O 上的点，若20CAB ∠=︒，则D ∠=____.【答案】110【分析】AB 为O 直径，90ACB ∠= ，求出B ∠的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出ADC ∠的度数．【详解】解：AB 为O 直径，90ACB ∴∠= ，20CAB ∠= ，902070B ∴∠=-= ，在圆内接四边形ABCD 中，18070110ADC ∠=-= ．故答案是：110．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．14.为了丰富同学们的课余生活，某年级买了3个篮球和2个足球，共花费了474元，其中篮球的单价比足球的单价多8元，求篮球和足球的单价，如果设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意可列方程组为_____．【答案】324748x y x y +=⎧⎨-=⎩【分析】根据“3个篮球的价钱+2个足球的价钱=474和篮球单价﹣足球的单价=8元”可列方程组．【详解】设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，根据题意可列方程组为324748x y x y +=⎧⎨-=⎩，故答案为：324748x y x y +=⎧⎨-=⎩．【点睛】考查了实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，再设未知数，列出方程组．15.某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某月（30天）接待游客人数（单位：万人）的数据，绘制了下面的统计图和统计表．每日接待游客人数（单位：万人）游玩环境评价05x <≤好510x≤<一般x≤<拥挤1015x≤<严重拥挤1520根据以上信息．以下四个判断中，正确的是______（填写所有正确结论的序号）．①该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”的天数仅有4天；②该景区这个月每日接待游客人数的中位数0~5万人之间；③该景区这个月平均每日接待游客人数低于5万人．【答案】①②【分析】根据统计图与统计表，结合相关统计或概率知识逐个选项分析即可．【详解】解：①根据题意每日接待游客人数10≤x＜15为拥挤，15≤x＜20为严重拥挤，由统计图可知，游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”，1-5日有1天，25-30日有3天，共4天，故①正确；②本题中位数是指将30天的游客人数从小到大排列，第15与第16位的和除以2，根据统计图可知0≤x＜5的有16天，从而中位数位于0≤x＜5范围内，故②正确；③从统计图可以看出，接近10的有6天，大于10而小于15的有2天，15以上的有2天，10上下的估算为10，则(10×8+15×2-5×10)÷16=3.25，可以考虑为给每个0至5的补上3.25，则大部分大于5，而0至5范围内有6天接近5，故平均数一定大于5，故③错误；故答案为：①②．【点睛】本题考查了中位数、平均数及可能性等概率与统计知识，掌握相关基础概念并结合统计图表进行分析是解题的关键．16.对正整数x依次进行如下计算后得到y，称为对x进行了1次H运算，若将得到的值y作为x代入后再次进行H 运算，称为对x进行了2次H运算，以此类推．例如，对14进行了1次H运算后，得到的值为3，对14进行了2次H运算后，得到的值为1．y=，则x的值为______；（1）若对正整数x进行了1次H运算后，得到1y=，所有满足条件的x的个数为______．（2）若对正整数x进行了3次H运算后，得到1【答案】①.1或2或3②.255【分析】(1)的最大整数为1即可求解；(2)根据题意规律找出1次H运算后输出是1的最大整数x=3，2次H运算后输出是1的最大整数为15，3次H运算后输出是1的最大整数即为15²-1=255．【详解】解：(1)由题意可知，正整数x的最大整数为1，∴x=1或2或3．(2)进行1次H 运算后输出是1的最大整数x =3，进行2次H 运算后输出是1可以看成是：第1次H 运算后输出最大值为3，第2次H 运算后输出的一定是1，∴进行2次H 运算后最后输出为1的最大整数x =15，同理：进行3次H 运算后输出是1可以看成是：第1次H 运算后输出最大值为15，第2次H 运算后输出的最大值是3，最后1次H 运算输出的值就一定是1，∴此时最大整数为16²-1=255，∴所有满足条件的x 的个数为255个，故答案为：255．【点睛】本题考查了实数的新定义及算术平方根的概念，读懂题意是解题的关键．三、解答题（共6得分，第17~18题，每题5分，第19题6分，第20~22题，每题5分，第23~24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27~28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步罩或证明过程.17.计算+|（13）-1．【答案】【详解】试题分析：原式第一项化为最简二次根式，第二项利用去绝对值符号方法去绝对值符号，第三项利用特殊角的三角函数值计算，第四项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；．试题解析：+|-2|-2tan60°+（13）-1＝223-⨯＝18.已知2340x x ﹣﹣＝，求代数式22(1)(1)(3)2x x x x +--++的值．【答案】当2340x x --=时，原式2=-．【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】解：原式2221692x x x x =----+，22610x x =--()22342x x =---当2340x x --=时，原式2=-．【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19.已知实数a 满足不等式15126a a +<+．（1）求这个不等式的解集；（2）若关于x 的方程220x x a -+=有两个不相等的实数根，求所有满足条件的整数a 的值．【答案】（1）32a >-（2）-1，0【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤：云分母、云括号、移项、合并同类项、系数化为1求解即可；（2）根据方程220x x a -+=有两个不相等的实数根求出a 的取值范围，结合（1）确定a 的取值范围，从而可得结论．【小问1详解】15126a a +<+去分母得，3(1)56a a +<+去括号得，3356a a +<+移项得，3563a a -<-合并得，23a -<系数化为1，得：32a >-【小问2详解】∵关于x 的方程220x x a -+=有两个不相等的实数根，∴2(2)40a ∆=-->∴1a <∴312a -<<∴整数a 的值为：-1，0．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，一元二次方程根的判别式以及一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据不等式的基本性质20.如图，在△ABC 中，AC=BC ，点D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点，连接DE ，DF.(1)求证:四边形DFCE 是菱形；(2)若∠A=75°，AC=4，求菱形DFCE 的面积.【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析.【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论；（2）过E 作EG ⊥BC 于G ，根据等腰三角形和直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：∵点D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点，∴DE ∥CF ，DE=12BC ，DF ∥CE ，DF=12AC ，∴四边形DECF 是平行四边形，∵AC=BC ，∴DE=DF ，∴四边形DFCE 是菱形；（2）过E 作EG ⊥BC 于G ，∵AC=BC ，∠A=75°，∴∠B=∠A=75°，∴∠C=30°，∴EG=12CE=12AC=1，∴菱形DFCE 的面积=2×1=2．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，菱形的面积，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．21.△ABC 中，32AB =45ABC ∠=︒．（1）如图1，若点C 在射线BM 上，且45BAC ∠=︒，请用圆规和无刻度的直尺．作△ABC （不写作法，保留作图痕迹）；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并求出边BC 的长度．①4AC =；②△ABC 的周长为1232+；③4cos 5C =．【答案】（1）作图见解析（2）选③，BC 的长度为7.【分析】（1）作线段AB 的垂直平分线交BM 于点C ，连接AC ，则45ABC BAC ∠=∠=︒，△ABC 为所求三角形；（2）添加条件4cos 5C =，作AD ⊥BC 于点D ，在△ABD 中利用余弦定理求得AD =BD =AB ·cos45º=3，在Rt △ACD 中，由4cos 5CD C AC ==，可设CD =4x ，AC =5x ，由勾股定理得AD =33x ==，从而解得x =1，从而CD =4x =4，即可求得BC =BD+CD =7．【小问1详解】解：如图所示：作线段AB 的垂直平分线交BM 于点C ，连接AC ，则45ABC BAC ∠=∠=︒，△ABC 为所求三角形；【小问2详解】解：选③4cos 5C =，此时△ABC 存在且唯一确定，如图：∵作AD ⊥BC 于点D ，则∠ABD =∠BAD =45º，∠ADB =∠ADC =90º∴AD =BD =AB ·cos45º=22=3，∵在Rt △ACD 中，4cos 5CD C AC ==∴设CD =4x ，AC =5x ，则AD 33x ==，∴x =1，∴CD =4x =4，BC =BD+CD =3+4=7．【点睛】此题考查了解直角三角形，根据题意作垂线构造直角三角形是解答此题的关键．22.某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标x ，y ，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如下：注“●”表示患者，“▲”表示非患者．根据以上信息，回答下列问题：（1）在这40名被调查者中，①指标y 低于0．4的有人；②将20名患者的指标x 的平均数记作1x ，方差记作21s ，20名非患者的指标x 的平均数记作2x ，方差记作22s ，则1x 2x ，21s 22s (填“>”，“=”或“<”)；（2）来该院就诊的500名未患这种疾病的人中，估计指标x 低于0．3的大约有人；（3）若将“指标x 低于0．3，且指标y 低于0．8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的概率多少．【答案】（1）①9；②<，>；（2）100；（3）0.25【分析】（1）①直接统计指标y 低于0．4的有人的个数即可；②通过观察图表估算出指标x 、y 的平均数，然后再进行比较即可确定平均数的大小；根据点的分散程度可以确定方差的大小关系．（2）先估算出样本中未患这种疾病的人中指标x 低于0．3的概率,然后500乘以该概率即可；（3）通过观察统计图确定不在“指标x 低于0．3，且指标y 低于0．8”范围内且患病的人数，最后用概率公式求解即可．【详解】解：（1）①经统计指标y 低于0．4的有9人,故答案为9；②观察统计图可以发现，1x 大约在0.3左右，2x 大约在0.6左右，故1x ＜2x ；观察图表可以发现，x 指标的离散程度大于y 指标，故21s ＞22s ；故答案为<、>；（2）由统计图可知：在20名未患病的样本中，指标x 低于0．3的大约有4人，则概率为420；所以的500名未患这种疾病的人中，估计指标x 低于0．3的大约有500×420=100人．故答案为100；（3）通过统计图可以发现有五名患病者没在“指标x 低于0．3，且指标y 低于0．8”，漏判；则被漏判的概率为520=0.25.答：被漏判的概率为0.25.【点睛】本题考查概率的求法，平均数、方差的估计等基础知识，从统计图中获取信息、估计平均数和方差是解答本题的关键．23.如图， AB 是直径AB 所对的半圆弧，C 是 AB 上一定点，D 是 AB 上一动点，连接DA ，DB ，DC ．已知AB ＝5cm ，设D ，A 两点间的距离为xcm ，D ，B 两点间的距离为y 1cm ，D ，C 两点间的距离为y 2cm ．小腾根据学习函数的经验．分别对函数y 1，y 2随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了y 1，y 2与x 的几组对应值；x /cm 012345y 1cm 5 4.9430y 2cm43.322.47 1.43（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数位所对应的点（x ，y 1），（x ，y 2）并画出函数y 1，y 2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接BC ，当△BCD 是以CD 为腰的等腰三角形时，DA 的长度约为cm ．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）4.6．【分析】(1)由圆周角定理得出∠ACB=90°，由勾股定理求出()4.58DB cm ==≈,填表即可；（2）描出补全后的表中各组数位所对应的点（x ，y 1），（x ，y 2），画出函数y 1，y 2的图象即可；（3）由表中y 1，y 2与x 的对应值，AD=0cm 时，DB=5cm ，即点D 与点A 重合，DC=AC=4cm ，由勾股定理求出()3BC cm ==,当△BCD 是以CD 为腰的等腰三角形时，分两种情况：①CD=BC 时，即CD=3cm 时，由函数图象得：y 2=3时，x=5cm ，点D 与点B 重合，△BCD 不存在；②CD=DB 时，即y 1与y 2相交时，由图象得出x≈4.6cm 即可．【详解】解：（1）∵ AB 是直径AB 所对的半圆弧，C 是 AB 上一定点，。
2024北京人大附中初三一模数学试题及答案
2024北京人大附中学初三模拟数学一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（2分）2022年5月18日是第46个国际博物馆日，今年国际博物馆日的宣传主题是“博物馆的力量”，在以下几幅古代纹样图案中，利用中心对称进行整体构图的是（）A．B．C．D．2．（2分）在第46个国际博物馆日来临之际．中国国家博物馆推出了丰富多彩的“云上观展”活动．观众有机会在屏幕上欣赏国博140万余件藏品的真容，将140万用科学记数法表示为（）A．1.4×105B．1.4×106C．14×105D．140×1043．（2分）下列各组角中，互为余角的是（）A．30°与150°B．35°与65°C．45°与45°D．25°与75°4．（2分）下列说法中错误的是（）A．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴B．关于某条直线对称的两个图形全等CD．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧5．（2分）有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的点数记为x，则x＞3的概率是（）A．B．C．D．6．（2分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（）A．a＞b B．|a|＜|b|C．a+b＞0D．＜07．（2分）李老师是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月（30天）每天所走的步数，并绘制成如图统计表，在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）A．1.6，1.5B．1.7，1.6C．1.7，1.7D．1.7，1.558．（2分）某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的y与x的数据如表：A．B．C．D．二、填空题9．（2分）若有意义，则x的取值范围是．10．（2分）把多项式a3﹣2a2b+ab2分解因式的结果是．11．（2分）若n为整数，且n＜＜n+1，则n的值为．12．（2分）分式方程的解x＝．13．（2分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠CAD＝30°，∠ABD＝50°，则∠ADC＝．14．（2分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线AP交BC 于点D．若AB：AC＝2：3，△ABD的面积为4，则△ACD的面积为．15．（2分）如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，∠A＝40°，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则∠ABE＝°．16．（2分）以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要分钟．17．（5分）计算：（）0﹣2sin30°++（）﹣1．18．（5分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．19．（5分）下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．已知：⊙O和圆外一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：①连接OP；②以OP为直径作OM，交⊙O于点A，B；③作直线P A，PB；所以直线P A，PB为⊙O的切线．根据小文设计的作图过程，完成下面的证明．证明：连接OA，OB．∵OP为OM的直径，∴∠OAP＝∠＝°（）（填推理的依据）．∴OA⊥AP，⊥BP．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线P A，PB为⊙O的切线（）（填推理的依据）．20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值．21．（6分）已知双曲线y＝和直线y＝kx+2相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），且+＝10，求k 的值．22．（6分）在△ABF中，C为AF AB＝AC．（1）尺规作图：作出以AB为直径的⊙O，⊙O分别交AC、BC于点D、E，在图上标出D、E，在图上标出D、E（保留作图痕迹，不写作法）．（2）若∠BAF＝2∠CBF，求证：直线BF是⊙O的切线；（3）在（2）中，若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，2）．（1）求m的值；（2）过点A作x轴的平行线l，直线y＝2x+b与直线l交于点B，与函数y＝（x＞0）的图象交于点C，与x轴交于点D．①当点C是线段BD的中点时，求b的值；②当BC＞BD时，直接写出b的取值范围．24．（6分）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．（1）在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．（2）请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为米（精确到0.1）；（3）公园增设了新的游玩项目，购置了宽度3米，顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．25．（6分）如图1，长度为6千米的国道AB两侧有M，N两个城镇，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，连接点为C和D，其中A、C之间的距离为2千米，C、D之间的距离为1千米，N、C之间的乡镇公路长度为2.3千米，M、D之间的乡镇公路长度为3.2千米．为了发展乡镇经济，方便两个城镇的物资输送，现需要在国道AB上修建一个物流基地T．设A、T之间的距离为x千米，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米．以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究，请补充完整．（1）通过取点、画图、测量，得到x与y的几组值，如表：（3）结合画出的函数图象，解决问题：①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？②如图3，有四个城镇M、N、P、Q分别位于国道A﹣C﹣D﹣E﹣B两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，若要在国道上修建一个物流基地S，使得S沿公路到M、N、P、Q的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）．（2）将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G．点M（x1，y1），N （x2，y2）为图形G上任意两点．①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；②若对于x1＝m﹣2，x2＝m+2，都有y1＞y2，求m的取值范围．27．（6分）如图，△ABC是等边三角形，D，E两点分别在边AB，AC上，满足BD＝AE，BE与CD交于点F．（1）求∠BFD的度数；（2）以C为中心，将线段CA顺时针旋转60°得到线段CM，连接MF，点N为MF的中点，连接CN．①依题意补全图形；②若BF+CF＝k•CN，求k的值．28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以BP为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点”．（1）点A的坐标为（2，﹣1），则在点P1（1，2），，P3（﹣2，1）中，O关于点A的“联络点”是（填字母）；（2）直线与x轴，y轴分别交于点C，D，若点C关于点D的“联络点”P满足，求点P的坐标；（3）⊙T的圆心在y轴上，半径为，点M为y轴上的动点，点N的坐标为（4，0），在⊙T上存在点M关于点N的“联络点”P，且△PMN为等腰三角形，直接写出点T的纵坐标t的取值范围．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成n时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：140万＝1400000＝1.4×106．故选：B．【点评】本题考查科学记数法表示绝对值较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．3．【分析】根据余角的定义判断即可．【解答】解：45°+45°＝90°，故选：C．【点评】本题主要考查了余角和补角的定义．余角：如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角．补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．4．【分析】根据轴对称图形的定义和性质及直角三角形的性质逐一判断即可得．【解答】解：A．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴，此选项正确；B．关于某条直线对称的两个图形全等，此选项正确；C．两个全等三角形的对应高相等，此选项正确；D．两个图形关于某直线对称，则这两个图形不一定分别位于这条直线的两侧，此选项错误；故选：D．【点评】本题主要考查轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的定义及其性质．5．【分析】由朝上的面的点数有6种等可能结果，其中x＞3的情况有4，5，6共3种情况，根据概率公式计算可得．【解答】解：任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数有6种等可能结果，其中x＞3的情况有4，5，6共3种情况，所以x＞3的概率是．故选：A．【点评】本题主要考查概率公式，掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数是解题的关键．6．【分析】先由数轴可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，且|a|＞|b|，再判定即可．【解答】解：由图可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∴a＜b，故A错误；|a|＞|b|，故B错误；a+b＜0，故C错误；＜0，故D正确；故选：D．【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题的关键是利用数轴确定a，b的取值范围．利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．7．【分析】在这组数据中出现次数最多的是1.7万步，得到这组数据的众数；把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个数的平均数是中位数．【解答】解：在这组数据中出现次数最多的是1.7，即众数是1.7；把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个两个数的平均数是（1.6+1.6）÷2＝1.6，所以中位数是1.6．故选：B．【点评】本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．8．【分析】直接利用表格中数据分别得出函数解析式，进而得出答案．【解答】解：由表格中数据可得：0≤x＜8，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为：y＝kx，则将（2，1.5）代入得：1.5＝2k，解得：k＝，故函数解析式为：y＝x（0≤x＜8），由表格中数据可得：8≤x，数据成反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为：y＝，则将（12，4）代入得：a＝48，故函数解析式为：y＝（x≥8）．故函数图象D正确．故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．二、填空题9．【分析】根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行判断即可．【解答】解：由题意得：x+1≠0，∴x≠﹣1；故答案为：x≠﹣1．【点评】本题考查分式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0时，分式有意义，是解题的关键．10．【分析】直接提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：a3﹣2a2b+ab2＝a（a2﹣2ab+b2）＝a（a﹣b）2，故答案为：a（a﹣b）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练利用乘法公式是解题关键．11．【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．【解答】解：∵＜＜，即4＜＜5，且n为整数，n＜＜n+1，∴n＝4，故答案为：4．【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是解决问题的前提．12．【分析】利用解分式方程的一般步骤解答即可．【解答】解：去分母得：2x＝3﹣2×2（x﹣1），去括号得：2x＝3﹣4x+4，移项，合并同类项得：6x＝7，∴x＝，经检验，x＝是原方程的解，∴x＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法的一般步骤是解题的关键．13．【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACD，进而得出答案．【解答】解：∵∠ABD＝50°，∴∠ACD＝50°，∵∠CAD＝30°，∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACD＝180°﹣30°﹣50°＝100°．故答案为：100°．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．14．【分析】利用基本作图得到AD平分∠BAC，再根据角平分线的性质得到点D到AB、AC的距离相等，然后根据三角形面积公式得到S△ABD：S△ACD＝AB：AC，从而可求出S△ACD．【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，∴点D到AB、AC的距离相等，∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝2：3，∴S△ACD＝S△ABD＝×4＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．15．【分析】利用等腰三角形的性质先求出∠C、∠BEC，再利用三角形的外角与内角的关系得结论．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠A）＝70°．∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BC＝BE，∴∠C＝∠BEC＝70°．∵∠BEC＝∠A+∠ABE，∴∠ABE＝∠BEC﹣∠A＝30°．故答案为：30．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，掌握“等边对等角”及“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”等知识点是解决本题的关键．16．【分析】由题意可知，煮饭准备时间需3分钟，煮饭需要30钟，妈妈可在等待饭熟的这30分钟内先完成煲汤和炒菜，所以妈妈做这顿饭至少需要3+30＝33分钟．【解答】解：3+30＝33（分钟），答：妈妈做晚饭最少要用33分钟，故答案为：33．【点评】本题考查了学生在生活中利用统筹方法解决实际问题的能力．三、解答题：本大题有12个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
人大附中中考模拟数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，有理数是（）。
A. √2B. -√3C. πD. 0.1010010001…（无限循环小数）2. 若a、b是方程x²-5x+6=0的两根，则a+b的值为（）。
A. 5B. 6C. 4D. 33. 在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，则∠C的度数是（）。
A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°4. 已知函数y=kx+b的图象经过点A(2,3)，则该函数的解析式为（）。
A. y=2x+1B. y=3x+2C. y=x+1D. y=1/2x+15. 下列各数中，无理数是（）。
A. √4B. √9C. √16D. √256. 若x²+2x+1=0，则x的值为（）。
A. -1B. 1C. 0D. ±17. 在直角坐标系中，点P(3,4)关于x轴的对称点坐标为（）。
A. (3, -4)B. (-3, 4)C. (3, -3)D. (-3, -4)8. 若一个数的平方根是±2，则这个数是（）。
A. 4B. 16C. 36D. 649. 下列图形中，属于轴对称图形的是（）。
A. 正方形B. 长方形C. 三角形D. 平行四边形10. 若a、b是方程x²-6x+9=0的两根，则a²+2ab+b²的值为（）。
A. 9B. 18C. 27D. 36二、填空题（每题3分，共30分）11. 若a=3，b=-2，则a²+b²的值为______。
12. 已知x+y=5，x-y=3，则x的值为______。
13. 在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数为______。
14. 若函数y=2x-1的图象与x轴的交点坐标为（x,0），则x的值为______。
15. 若√a=3，则a的值为______。
2020.07——九下三模——人大附中朝阳学校——初三数学三模试卷0710
人大 一、选择题（本题共16分，每小题下面1-8题均有四个选项，符合题意的1．在国家大数据战略的引领下，我国全球最前沿的人工智能赛事冠军，这智能深度学习的质量和速度，其中的用科学记数法表示应为A ．110.5810B ．5.82．下列四个图形分别是四届国际数学 A B 3．如图，BC ⊥AE 于点C ，CD ∥AB A.35° B ．45° 第3题图 4．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接A ． 45° B ．90° 5．小林给弟弟买了一些糖果，放到一同，袋子里各种口味糖果的数量统到橘子味糖果的概率是 ABC 6．已知x x 2240，代数式x 2A ．25B ．29EDCB A人大附中朝阳学校九年级中考模拟数学试卷 小题2分）题意的选项只有一个．，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储其中的一个大数据中心能存储58 000 000 000本书籍1110 C ．95810 际数学家大会的会标，其中不是．．中心对称图形的是C D，∠B =55°，则∠DCE 等于C.55°D.65°第4题图 第5的内接四边形，∠B =135°，则∠AOC 的度数为 C ．100° D ．135°放到一个不透明的袋子里，这些糖果除了口味和外包数量统计如图所示，他让弟弟从袋子里随机摸出一颗Dx x x x21111211的值为 C ．0 D ．18或5162020.7的人工智能“绝艺”获得据存储量，它们决定着人工本书籍，将58 000 000 000 D ． 105.810 的是题图和外包装的颜色外其余都相出一颗糖果．则弟弟恰好摸B7．一个寻宝游戏的寻宝通道如图1记录寻宝者的行进路线，在BC 与定位仪器之间的距离为y ，若寻则寻宝者的行进路线可能为 A ．A →O →BB ．B →A 图18．今年某班有36人订阅过《中学生数年有16名男生、15名女生订阅了①只在上半年订阅了该杂志的男生②只在上半年订阅了该杂志的男生③全年订阅了该杂志的男生一定比其中正确的是A ．①B ．② 二、填空题（本题共16分，每小题9．分解因式：2236+3m mn n = 10．如图，已知△ABC ，通过测量、计11．若一个凸n 边形的内角和为108012．如图是甲、乙两射击运动员的的方差2s 甲、2s 乙的大小关系是：第10题图 13．小烨想用两块积木搭出一个主视图另一块积木会是____________（写图（1）所示，通道由在同一平面内的AB ，BC ，CA ，的中点M 处放置了一台定位仪器．设寻宝者行进，若寻宝者匀速行进，且表示y 与x 的函数关系的图→CC ．B →O →CD ．C →B →图2中学生数理化》，其中，上半年有15名男生、5名女生订阅了该杂志，有以下几个说法：的男生比只在下半年订阅了该杂志的男生少； 的男生和只在下半年订阅了该杂志的女生可能一样多一定比全年订阅了该杂志的女生多；C ．①③D ．①②③ 小题2分） ．量、计算得到sin B 的值约是__________（结果保留一°，则边数n = ．的10次射击训练成绩的折线统计图．观察图形，甲、是：2s 甲____2s 乙（填“＞”“＜”“=”）第12题图 主视图如下图（1）的新图形．在下图（2）所示的积木（写出所有可能的挑选结果）． 图（2）OA ，OB ，OC 组成．为者行进的时间为x ，寻宝者系的图象大致如图2所示，O名女生订阅了该杂志，下半样多； 保留一位小数）． ，甲、乙这10次射击成绩的积木中，他先挑选了①，14．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在双曲线1k y x上．以O 为位似中心，相似比为2，把线段OA 放大．点A 的对应点B 在双曲线2k y x上，则12______k k ． 15．把图（1）中两个大小不等的正方形沿虚线分割，将所得图形拼成图（2）所示的正方形，则图（1）中两个正方形的面积是__________和___________．图（1） 图（2）16．我们知道任意三角形都存在外接圆．同样的，一些凸四边形也存在外接圆．我们规定： 经过凸四边形的三个顶点的圆叫做它的伪外接圆．下列结论正确的是： ．①凸四边形必存在伪外接圆；②当平行四边形只存在 1 个伪外接圆时，它的对角线一定相等； ③菱形伪外接圆个数可能为 1、2、4；④当且仅当四边形对角线互相垂直平分且相等时，该四边形的伪外接圆与外接圆重合．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：011tan 6021)(2.18．解分式方程：2212 x x x . 19．下面是小海设计的“作三角形一边中线”的尺规作图过程．已知：△ABC ．求作：BC 边上的中线AD ．作法：如图，①分别以点B ，C 为圆心，AC ，AB 长为半径作弧，两弧相交于P 点； ②作直线AP ，AP 与BC 交于D 点． 所以线段AD 就是所求作的中线．B CAB根据小海设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．证明：连接BP 、CP∵AB =_________，AC =___________， ∴四边形ABPC 是平行四边形．∴BD =CD （ ）（填推理依据）． ∴线段AD 是BC 边上的中线．20．关于x 的一元二次方程220ax ax c ．（1）若方程有两个相等的实数根，请比较a , c 的大小，并说明理由； （2）若方程有一个根是0，求此方程的另外一个根．21．如图，在ABCD 中，过点A 作AE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，过点D 作DF ∥EA 交BA 的延长线于点F ．（1）求证：四边形AEDF 是矩形；（2）连接BD ，若AB=AE=2，2tan =5FAD ∠，求BD 的长．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：1(0)y k k与反比例函数(0)ky x x 的图象交于点A ，直线l 2:y kx 分别交直线l 1、反比例函数(0)ky x x的图象于点B 、C ．记函数图象上A 、C 之间的部分与线段AB 、BC 围成的区域（不含边界）为W ．横纵坐标都是整数的点叫做整点．（1）当k =2时，结合函数图象，求区域W 内的整点个数． （2）若区域W 内恰有3个整点，直接写出k 的取值范围．23．某校九年级八个班共有280名学生，男女生人数大致相同，调查小组为调查学生的体质健康水平，开展了一次调查研究，请将下面的过程补全．收集数据调查小组计划选取40名学生的体质健康测试成绩作为样本，下面的取样方法中，合理的是___________（填字母）；B CAA ．抽取九年级1班、2班各20名学生的体质健康测试成绩组成样本B ．抽取各班体育成绩较好的学生共40名学生的体质健康测试成绩组成样本C ．从年级中按学号随机选取男女生各20名学生的体质健康测试成绩组成样本 整理、描述数据抽样方法确定后，调查小组获得了40名学生的体质健康测试成绩如下： 77 83 80 64 86 90 75 92 83 81 85 86 88 62 65 86 97 96 82 73 86 84 89 86 92 73 57 77 87 82 91 81 86 71 53 72 90 76 68 78 整理数据，如下表所示：2020年九年级部分学生的体质健康测试成绩统计表分析数据、得出结论调查小组将统计后的数据与去年同期九年级的学生的体质健康测试成绩（直方图）进行了对比，2019年九年级部分学生的体质健康成绩直方图你能从中得到的结论是_____________，你的理由是________________________________．现计划根据2020年的统计数据，安排年级排名在后70名的同学参加体质加强训练项目，请估计该年级参加训练项目学生的最高分．24．如图，P A 是⊙O 的切线，切点为A ，AC 是⊙O 的直径，过A 点作AB ⊥PO 于点D ，交⊙O 于B ，连接BC ，PB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线； （2）若cos ∠P AB ，BC ＝2，求PO 的长．分P25．如图，C 是 AmB 上的一定点，D 是弦AB 上的一定点，P 是弦CB 上的一动点，连接DP ，将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PD ，射线PD 与 AmB 交于点Q ．已知6cm BC ，设P ，C 两点间的距离为cm x ，P ，D 两点间的距离为cm y ，P ，Q 两点间的距离为2cm y ．小石根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值：（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数据所对应的点1(,)x y ，2(,)x y ，并画出函数1y ，2y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接DQ ，当△DPQ 为等腰三角形时，PC 的长度约为cm ．（结果保留一位小数）26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx 经过点(3，3)． （1）求抛物线的对称轴（用含a 的式子表示）； （2）已知点A (1，4)，(4,4)B a ，①当a =1时，画出图象，并根据图象写出该抛物线与线段AB 的公共点个数； ②若该抛物线与线段AB 有2个公共点，结合函数图象求a 的取值范围．27．如图，点P 是射线AB 上方一点，∠P AB <45°．点P 关于射线AB 的对称点是点Q ，连接PQ ，交射线AB 于点C ．点M 是PQ 延长线上一点，且CM =kAC ．过点M 作直线P A 的垂线，垂足为N ，且垂线MN 交射线QA 于E ． （1）当∠P AB =30°时，①若3k ，依题意补全图1，并证明EQ =QM ； ②对于任意k 值，是否总有EQ =QM 成立？（2）是否存在定值k ，使得对于任意∠P AB 总有EA =EM ？若存在，写出k 值并证明；若不存在，请说明理由．图1 备用图28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和C ，若以O 为圆心，OP 为半径画弧，且该弧顺次经过C上两点M 、N ，满足∠POM ≤∠MON ，则称这条点P 、N 之间过点M 的弧为C 关于点P 的满意弧，∠POM 为C 关于点P 的满意角．例如，图1中经过点P 、M 、N 的弧是C 关于点P 的满意弧，∠POM 是于点P 的满意角．（1）如图2，已知点A 的坐标为(1,0)，A 的半径为2，①在图2中画出A 关于点(1,2)S 的满意弧，并直接写出该弧的弧长；②点P 是直线y x 上的动点，在图3中画出A 关于点P 的满意角最大时的满意弧，并求此时点P 的坐标；（2）C 的圆心在y 轴上，半径为2，点T 在x 轴上．若对于C ，至少存在一个点T 能画出C 关于它的满意弧，直接写出圆心C 的纵坐标y 的取值范围．BPABPA图2 图3备用图1 备用图2。
人大附中初三数学模拟试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各数中，是负数的是（）A. -3B. 0C. 3D. -52. 下列等式中，正确的是（）A. a + b = b + aB. a - b = b - aC. a × b = b × aD. a ÷ b = b ÷ a3. 下列各式中，能化为最简二次根式的是（）A. √18B. √27C. √32D. √814. 下列各数中，是质数的是（）A. 14B. 17C. 20D. 235. 下列各图形中，面积最大的是（）A. 正方形B. 长方形C. 三角形D. 圆形二、填空题（每题5分，共25分）6. 计算：-2 × 3 + 5 ÷ (-1) = _______7. 已知 a + b = 7，a - b = 3，则 a = _______8. 已知x² - 5x + 6 = 0，则 x 的值为 _______9. 已知a² - b² = 9，则 (a + b)(a - b) 的值为 _______10. 若等腰三角形的底边长为 8，腰长为 10，则该三角形的周长为 _______三、解答题（每题10分，共40分）11. （10分）已知 a、b、c 是等差数列，且 a + b + c = 12，a² + b² + c² = 36，求 a、b、c 的值。
12. （10分）已知二次函数y = ax² + bx + c（a ≠ 0），若该函数的图象开口向上，且顶点坐标为（1，-2），求该函数的解析式。
13. （10分）已知三角形的三边长分别为 5、6、7，求该三角形的面积。
14. （10分）已知 a、b、c、d 是等比数列，且 a + b + c + d = 20，a × b ×c × d = 64，求该等比数列的公比。
初三数学下册摸底试卷答案
一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(-1)的值为（）A. -5B. -1C. 1D. 5答案：A2. 若a < b，则下列不等式中正确的是（）A. a^2 < b^2B. a + 1 < b + 1C. a - 1 < b - 1D. a^2 + 1 < b^2 + 1答案：B3. 在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-1,-2)，则线段AB的中点坐标为（）A. (1,1)B. (3,2)C. (1,-1)D. (-2,-3)答案：A4. 若sinα = 1/2，则α的值为（）A. π/6B. π/3C. 5π/6D. 2π/3答案：B5. 若a、b是方程x^2 - 4x + 3 = 0的两个根，则a + b的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B6. 在△ABC中，若∠A = 45°，∠B = 60°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 45°C. 90°D. 30°答案：C7. 若sinx = 1/√2，cosx = √2/2，则tanx的值为（）A. 1B. -1C. √3D. -√3答案：A8. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(2)的值为（）A. -1B. 1C. 3D. 5答案：B9. 若a、b是方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根，则ab的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 6答案：D10. 在直角坐标系中，点P(3,4)，点Q(-2,1)，则线段PQ的长度为（）A. 5B. 7C. 9D. 11答案：B二、填空题（每题3分，共30分）11. 若sinα = 1/2，cosα = √3/2，则tanα的值为______。
答案：√312. 在△ABC中，若∠A = 30°，∠B = 45°，则∠C的度数为______。
2021人大附中初三数学零模年练习及答案
a) 在第一象限内，图形 W 的“相合点”为以（0，0），（2，1）为对角顶点的各边与 坐标轴垂直的矩形及其内部区域；
b) 在第二象限内，图形 W 的“相合点”为以（0，0），（ 4 ，4）为对角顶点的各边 与坐标轴垂直的矩形及其内部区域；
c) 在第四象限内，图形 W 的“相合点”为以（0，0），（8，2 ）为对角顶点的各边 与坐标轴垂直的矩形及其内部区域；
结合图形，直线 y x 2 上图形 W 的“相合点”M 的横坐标取值范围是
2 m 0 或1 m 4 .
………… 5 分
（2） 6 3 3 r 9 3 3 或 r 9 3 3 .
11
2
2
………… 7 分
数学答案及评分标准 第 6 页（共 6 页）
2020-2021 学年度第二学期初三年级数学练习 2 参考答案及评分标准
一、选择题（每小题 2 分，共 16 分）
1
2
3
4
5
6
7
8
D
C
A
B
D
B
B
B
二、填空题（每小题 2 分，共 16 分）
9． x 0 ；
10．（0，0）； （答案不唯一，横纵坐标平方和小于 25 即可）
11．12； 14． 7 2 ；
5 ∴ tan GOE 3 ．
4 ∴ EG OE tan GOE 25 .
8
………… 5 分 ………… 6 分
数学答案及评分标准 第 4 页（共 6 页）
26．（1）① 二次函数为 y x m2 4 ，对称轴为 x m .
令 x 3 有： m 32 4 0 ，解得： m 1或 m 5 .
∴ AH AD2 DH 2 3 . ∴ OH OA AH r 3 . ∵ 在 Rt△ODH 中， OH 2 DH 2 OD2 ，
2022学年北京人大附中中考数学模拟试题(含答案解析)
2022学年北京人大附中中考数学模拟测试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是( )A．∠3=∠A B．∠D=∠DCE C．∠1=∠2 D．∠D+∠ACD=180°2．为喜迎党的十九大召开，乐陵某中学剪纸社团进行了剪纸大赛，下列作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．计算33xx x-+的结果是（）A．6xx+B．6xx-C．12D．14．如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则∠C与∠D的大小关系为（）A．∠C＞∠D B．∠C＜∠D C．∠C=∠D D．无法确定5．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的( )A．众数B．方差C．平均数D．中位数6．在1－7月份，某种水果的每斤进价与出售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是（ ）A ．3月份B ．4月份C ．5月份D ．6月份7．如图，在底边BC 为23，腰AB 为2的等腰三角形ABC 中，DE 垂直平分AB 于点D ，交BC 于点E ，则△ACE 的周长为( )A ．2+3B ．2+23C ．4D ．33 8．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，下列结论正确是( )A ．0abc >B ．20a b +<C ．30a c +<D ．230ax bx c ++-=有两个不相等的实数根9．若30m n +-=，则222426m mn n ++-的值为（ ）A ．12B ．2C ．3D ．010．下列各数中，相反数等于本身的数是（ ）A ．–1B ．0C ．1D ．2二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．用半径为6cm ，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为_______cm ．12．直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是____．13．某中学数学教研组有25名教师，将他们分成三组，在38~45（岁）组内有8名教师，那么这个小组的频率是_______。
2024年北京市人大附中中考数学模拟试卷及答案解析
2024年北京市人大附中中考数学模拟试卷一、选择题（共16分，每题2分）1．（2分）港珠澳大桥是世界上总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米，其中海底隧道部分全长6700米，是世界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，也是我国第一条外海沉管隧道，将数字55000用科学记数法表示为（）A．5.5×104B．55×103C．5.5×103D．0.55×105 2．（2分）下列图形中，既不是轴对称也不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A．三棱柱B．长方体C．三棱锥D．圆锥4．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a+2＞0B．|a|＞b C．a+b＞0D．ab＞05．（2分）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，如果|a|＝|b|，下列结论中错误的是（）A．a+c＞0B．a﹣b＞0C．b+c＞0D．ac＜06．（2分）不透明的袋子中装有红球1个、绿球1个、白球2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）A．B．C．D．7．（2分）下列命题中的假命题是（）A．对角线互相平分的四边形是中心对称图形B．有一个角是直角的平行四边形是轴对称图形C．对角线互相垂直的平行四边形是中心对称图形D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形8．（2分）甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（）A．3B．2C．1D．0二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）在△ABC中，D，E，F分别为三边中点，若△DEF面积为2，则△ABC的面积是．11．（2分）解分式方程：＝得．12．（2分）已知反比例函数与的图象如图所示，则k1、k2的大小关系是k1 k2.（填“＞”，“＜”或“＝”）13．（2分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，AB，若∠OAB ＝35°，则∠ABP＝°．14．（2分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝6x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则y1+y2的值是．15．（2分）魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形ABCD，AFIJ和BFGH都是正方形．如果图中△BCE与△FDE的面积比为，那么tan∠GFI的值为．16．（2分）有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母的位置，标注字母e的卡片写有数字．三、解答题（本题共68分，第17至22题，每小题5分，第23至26题，每小题5分，第27至28题，每小题5分）17．（5分）计算：+4sin60°．18．（5分）解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．19．（5分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝+1．20．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，在BD上取两点E，F，使DF＝BE，连接AE，CF．（1）若AE∥CF，试说明△ABE≌△CDF；（2）在（1）的条件下，连接AF，CE，试判断AF与CE有怎样的数量关系，并说明理由．21．（5分）如图，矩形ABCD，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AC，AE，过点C作CF∥AE交AD的延长线于点F，连接EF．（1）求证：四边形ACFE是菱形；（2）连接BE交AD于点G．当AB＝2，∠ACB＝30°时，求BG的长．22．（5分）疫情期间某校学生积极观看网络直播课程，为了了解全校500名学生观看网络直播课程的情况，随机抽取50名学生，对他们观看网络直播课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．观看直播课节数的频数分布表节数x频数频率0≤x＜1080.1610≤x＜20100.2020≤x＜3016b30≤x＜40a0.24x≥4040.08总数501其中，节数在20≤x＜30这一组的数据是：20202122232323232526262627282829请根据所给信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝；（2）请补全频数分布直方图；（3）随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是；（4）请估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有人．23．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接CD，过点A作AG∥DC，过点C作CG∥DA，AG与CG相交于点G．（1）求证：四边形ADCG是菱形；（2）若AB＝10，tan∠CAG＝，求BC的长．24．（6分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点A在直线l上，AD与直线l相交所得的锐角为60°．点F在直线l上，AF＝8，EF⊥直线l，垂足为点F且EF＝6，以EF为直径，在EF的左侧作半圆O，点M是半圆O上任一点．发现：AM的最小值为，AM的最大值为，OB与直线l的位置关系是．思考：矩形ABCD保持不动，半圆O沿直线l向左平移，当点E落在AD边上时，求半圆与矩形重合部分的周长和面积．25．（6分）“机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校共有3000人，数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）扇形统计图中C所对应的扇形圆心角度数为；估计全校非常了解交通法规的有人．（2）补全条形统计图；（3）学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求丙和丁两名同学同事被选中的概率．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m﹣2（m是常数）．（1）求该抛物线的顶点坐标（用含m代数式表示）；（2）如果该抛物线上有且只有两个点到直线y＝1的距离为1，直接写出m的取值范围；（3）如果点A（a，y1），B（a+2，y2）都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有y1＞y2，求a的取值范围．27．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在线段AB上，连接CD，AE⊥CD于点E，以点A为圆心，CD长为半径画弧，交AE于点F，连接DF．（1）依题意补全图形：①设∠BCD＝α，则∠DFA的度数为；（用含α的式子表示）②求证：DF∥BC；（2）探究DF、AF、BC之间的数量关系并证明．28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和线段MN，如果点A，O，M，N按逆时针方向排列构成菱形AOMN，且∠AOM＝α，则称线段MN是点A的“α﹣相关线段”．例如，图1中线段MN是点A的“30°﹣相关线段”．（1）已知点A的坐标是（2，0）．①在图2中画出点A的“30°﹣相关线段”MN，并直接写出点M和点N的坐标；②若点A的“α﹣相关线段”经过点，求α的值．（2）若存在α，β（α≠β）使得点P的“α﹣相关线段”和“β﹣相关线段”都经过点（0，4），记，求t的取值范围．2024年北京市人大附中中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）1．【分析】用科学记数法保留有效数字，要在标准形式a×10n中a的部分保留，从左边第一个不为0的数字数起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍．【解答】解：55000＝5.5×104．故选：A．【点评】本题主要考查了科学记数法以及有效数字，从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字；注意后面的单位不算入有效数字．2．【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．【解答】解：A、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键．3．【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．【解答】解：根据几何体的三视图可知，则该几何体是三棱柱．故选：A．【点评】本题考查了由三视图判断几何体，由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．4．【分析】由题图知：﹣3＜a＜﹣2，0＜b＜1，进而解决此题．【解答】解：由题知：﹣3＜a＜﹣2，0＜b＜1．∴a+2＜0，|a|＞b，a+b＜0，ab＜0．∴选项B符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查数轴上的点表示的实数以及绝对值，熟练掌握数轴上的点表示的实数以及绝对值是解决本题的关键．5．【分析】利用|a|＝|b|，可知a与b互为相反数，从而a＜0，b＞0，c＞0，|c|＞|b|＝|a|，进一步判断即可．【解答】解：∵|a|＝|b|，且根据a，b在数轴上位置，∴a与b互为相反数，∴a＜0，b＞0，c＞0，且|c|＞|b|＝|a|，A、a+c，异号两数和，取绝对值大的数的符号，故a+c＞0，是正确的；B、a﹣b，左边的数减去右边的数，是小于0的．故a﹣b＞0，是错误的；C、b+c，两个正数相加，得正数，故b+c＞0，是正确的；D、ac，异号两数积，同号得正，异号得负，故ac＜0，是正确的；故选：B．【点评】本题考查的是有理数的简单运算，解题的关键是两个数的绝对值相等，这两个数相等或互为相反数．本题得看位置知两数互为相反数．6．【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次都摸到白球的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是的白色的结果共有2种，所以两次都摸到白球的概率是＝，故选：D．【点评】此题主要考查了利用树状图法求概率，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝是解题关键．7．【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的概念以及平行四边形、矩形、菱形的判定定理判断即可．【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是中心对称图形，故本选项命题是真命题，不符合题意；B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是轴对称图形，故本选项命题是真命题，不符合题意；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是中心对称图形，故本选项命题是真命题，不符合题意；D、等边三角形既是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项命题是假命题，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8．【分析】四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；由此进行分析即可．【解答】解：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾，所以甲只能是胜两场，即：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，也就是胜0场．答：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，丁胜0场．故选：D．【点评】此题是推理论证题目，解答此题的关键是先根据题意，通过分析，进而得出两种可能性，继而分析即可．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解．【解答】解：由题意可得：1﹣x≥0，解得：x≤1，故答案为：x≤1．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键．10．【分析】由于D，E，F分别为三边中点，可得△DEF与△ABC的对应边的比为，即其面积比为，进而可得结论．【解答】解：如图，∵D，E，F分别为三边中点，即＝，＝2，∴＝＝，而S△DEF＝8．∴S△ABC故答案为8．【点评】本题主要考查了三角形中位线的性质以及三角形对应边与对应面积的关系，能够掌握并熟练求解．11．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3x＝x﹣2，解得：x＝﹣1，经检验x＝﹣1是分式方程的解，故答案为：x＝﹣1【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．12．【分析】，“图象离坐标轴越远，|k|越大”．【解答】解：如图，因为反比例函数的图象离坐标轴比反比例函数的图象离坐标轴远，所以k2、＞k1．故答案为：＜．【点评】本题考查了反比例函数图象和反比例系数k的关系，“图象离坐标轴越远，|k|越大”．13．【分析】根据切线的性质得PA＝PB，OA⊥PA，则∠OAP＝90°，可得∠BAP＝55°，从而得到∠ABP的度数．【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴PA＝PB，OA⊥PA，∵∠OAB＝35°，∴∠BAP＝90°﹣∠OAB＝55°，∵PA＝PB，∴∠ABP＝∠BAP＝55．故答案为：55．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理和等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．14．【分析】根据正比例函数的图象、反比例函数图象的性质得出交点A与交点B关于原点对称，进而得出其纵坐标互为相反数，得出答案．【解答】解：由正比例函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象和性质可知，其交点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于原点对称，∴y1+y2＝0，故答案为：0．【点评】本题考查一次函数、反比例函数图象的交点，理解正比例函数、反比例函数图象的对称性是正确判断的前提．15．【分析】证明△BCE∽△FDE，可得，而△BCE与△FDE的面积比为，即得，设BC＝4t＝AD＝AB，则DF＝3t，在Rt△AFB中，有tan∠BFA＝＝，又∠GFI＝90°﹣∠AFG＝∠FBA，从而推导出tan∠GFI＝tan∠BFA＝．【解答】解：∵ABCD都是正方形，∴∠FDC＝90°＝∠BCD，∵∠FED＝∠CEB，∴△BCE∽△FDE，∴，∵△BCE与△FDE的面积比为，∴，设BC＝4t＝AD＝AB，则DF＝3t，∴AF＝AD+DF＝7t，在Rt△AFB中，tan∠BFA＝＝＝，由“青朱出入图”可知：∠GFI＝90°﹣∠AFG＝∠FBA，∴tan∠GFI＝tan∠BFA＝．故答案为：．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形性质和相似三角形的判定定理．16．【分析】根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．【解答】解：第一行中B与第二行中c肯定有一张为白1，若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡片，∴白卡片数字1摆在了标注字母B的位置，∴黑卡片数字1摆在了标注字母A的位置，；第一行中C与第二行中c肯定有一张为白2，若第二行中c为白2，则a，b只能是黑1，黑2，而A为黑1，矛盾，∴第一行中C为白2；第一行中F与第二行中c肯定有一张为白3，若第一行中F为白3，则D，E只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾，∴第二行中c为白3，∴第二行中a为黑2，b为黑3；第一行中F与第二行中e肯定有一张为白4，若第一行中F为白4，则D，E只能是黑3，黑4，与b为黑3矛盾，∴第二行中e为白4．故答案为：B；4．【点评】本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置．三、解答题（本题共68分，第17至22题，每小题5分，第23至26题，每小题5分，第27至28题，每小题5分）17．【分析】先把60°的正弦值代入算式，再根据负整数指数幂的性质、零指数幂的性质和绝对值的性质计算乘方和去绝对值符号，然后进行计算即可．【解答】解：原式＝4﹣1+2﹣+4×＝＝．【点评】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质和特殊角的三角函数值．18．【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．【解答】解：解不等式①得：x≥﹣2，解不等式②得：x＜，所以不等式组的解集为：，所以不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．19．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝+1时，原式＝＝．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．【分析】（1）由“ASA”可证△ABE≌△CDF；（2）由全等三角形的性质可得AB＝CD，由“SAS”可证△ABE≌△CDF，可得结论．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDF，∵AE∥CF，∴∠AEB＝∠CFD，∵BF＝DE，∴BF+EF＝DE+EF，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）解：AF＝CE，理由如下：如图：∵△ABE≌△CDF，∴AB＝CD，AE＝CF，在△ABF和△CDE中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AF＝CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．21．【分析】（1）根据矩形的性质得到∠ADC＝90°，求得AE＝AC，EF＝CF，根据平行线的性质得到∠EAD＝∠AFC，求得AE＝EF＝AC＝CF，于是得到结论；（2）如图，根据矩形的性质得到∠ABC＝∠BCE＝90°，CD＝AB，根据直角三角形的性质得到BC＝2，CE＝4，由勾股定理得到BE＝＝2，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴AF⊥CE，∵CD＝DE，∴AE＝AC，EF＝CF，∴∠EAD＝∠CAD，∵AE∥CF，∴∠EAD＝∠AFC，∴∠CAD＝∠CFA，∴AC＝CF，∴AE＝EF＝AC＝CF，∴四边形ACFE是菱形；（2）解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCE＝90°，CD＝AB，∵AB＝2，CD＝DE，∴BC＝2，CE＝4，∴BE＝＝2，∵AB＝CD＝DE，∠BAE＝∠EDG＝90°，∠AGB＝∠DGE，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴BG＝EG，∴BG＝BE＝．【点评】本题考查了菱形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键．22．【分析】（1）根据频数分布表即可求出a，b；（2）结合（1）根据频数分布表即可补全频数分布直方图；（3）根据节数在20≤x＜30这一组的数据是：20202122232323232526 262627282829即可得观看直播课节数的中位数；（4）利用样本估计总体的方法即可估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的人数．【解答】解：（1）a＝50﹣8﹣10﹣16﹣4＝12，b＝1﹣0.16﹣0.20﹣0.24﹣0.08＝0.32；故答案为：12，0.32；（2）补全的频数分布直方图如下：（3）∵节数在20≤x＜30这一组的数据是：20202122232323232526262627282829∴随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是（23+25）÷2＝24，故答案为：24；（4）500×（0.24+0.08）＝160（人）．答：估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有160人．故答案为：160．【点评】本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、频数分布表、中位数，解决本题的关键是综合掌握以上知识．23．【分析】（1）根据直角三角形的性质和菱形的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠BAC＝∠ACG，设BC＝3x，AC＝4x，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AG∥DC，CG∥DA，∴四边形ADCG是平行四边形，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，∴AD＝CD＝AB，∴四边形ADCG是菱形；（2）解：∵CG∥DA，∴∠BAC＝∠ACG，∴tan∠CAG＝tan∠BAC＝＝，∴设BC＝3x，AC＝4x，∴AB＝5x＝10，∴x＝2，∴BC＝3x＝6．【点评】本题考查了菱形的判定，三角函数的定义，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．24．【分析】发现：先依据勾股定理求得AO的长，然后由圆的性质可得到OM＝3，当点M 在AO上时，AM有最小值，当点M与点E重合时，AM有最大值，然后过点B作BG⊥l，垂足为G，接下来求得BG的长，从而可证明四边形OBGF为平行四边形，于是可得到OB与直线l的位置关系．思考：连接OG，过点O作OH⊥EG，依据垂径定理可知GE＝2HE，然后在△EOH中，依据特殊锐角三角函数值可求得HE的长，从而得到EG的长，接下来求得∠EOG得度数，依据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：发现：由题意可知OM＝OF＝3，AF＝8，EF⊥l，∴OA＝＝＝．当点M在线段OA上时，AM有最小值，最小值为﹣3．当点M与点E重合时，AM有最大值，最大值＝＝10．如图1所示：过点B作BG⊥l，垂足为G．∵∠DAF＝60°，∠BAD＝90°，∴∠BAG＝30°．∴GB＝AB＝3．∴OF＝BG＝3，又∵GB∥OF，∴四边形OBGF为平行四边形，∴OB∥FG，即OB∥l．故答案为：﹣3；10；平行．思考：如图2所示：连接OG，过点O作OH⊥EG．∵∠DAF＝60°，EF⊥AF，∴∠AEF＝30°．∴∠GOE＝120°．∴GE＝2EH＝2××3＝3．∴半圆与矩形重合部分的周长＝+3＝2π+3；S重合部分＝S扇形GOE﹣S△GOE＝．【点评】本题主要考查的是切线的性质和判定、特殊锐角三角函数值的应用、切线长定理，依据题意画出符合题意的图形是解题的关键．25．【分析】（1）由A的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以C人数所占比例，由总人数可求全校非常了解交通法规的人数即可得；（2）总人数乘以D的百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得B的人数，据此补全图形即可得；（3）画树状图列出所有等可能结果，再利用概率公式计算可得．【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为24÷40%＝60（人），∴扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是360°×＝90°，全校非常了解交通法规的有：3000×40%＝1200（人），故答案为：90°，1200；（2）D类别人数为60×5%＝3，则B类别人数为60﹣（24+15+3）＝18，补全条形图如下：（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中丙和丁两名学生同时被选中的结果数为2，所以丙和丁两名学生同时被选中的概率为＝．【点评】本题主要考查条形统计图以及列表法与树状图法等知识；条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，熟知各项目数据个数之和等于总数．26．【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式求解．（2）由抛物线开口向下可得抛物线顶点在直线y＝2与直线y＝0之间，从而列不等式求解．（3）由顶点在第四象限可得m的取值范围，由抛物线开口向下，y1＞y2，可得a与m之间的关系，进而求解．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+m﹣2＝﹣（x﹣m）2+m﹣2，∴抛物线顶点坐标为（m，m﹣2）．（2）∵抛物线开口向下，∴当抛物线与直线y＝0有两个交点且与直线y＝2无交点时满足题意，∵抛物线顶点坐标为（m，m﹣2），∴0＜m﹣2＜2，解得2＜m＜4．（3）∵抛物线顶点（m，m﹣2）在第四象限，∴，解得0＜m＜2，∵抛物线开口向下，∴x≥m时，y随x增大而减小，∴点A，B在对称轴右侧时，满足题意，即a≥m，当点A在对称轴左侧时，设点A（a，y1）关于对称轴对称点A'坐标为（2m﹣a，y1），∴点B在A'右侧时，满足题意，即2m﹣a＜a+2，解得a＞m﹣1，∴a＞m﹣1，∵0＜m＜2，∴a≥1．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．27．【分析】（1）①根据题意画出图形，连接CF并延长交AB于点G，首先根据题意证明出△ABC是等腰直角三角形，然后证明出△CAF≌△BCD（SAS），进而得到△AGC是等腰直角三角形，然后证明出△AGF≌△CGD（HL），得到FG＝GD，∠AFG＝∠CDG＝∠BCD+∠B＝α+45°，然后利用∠DFA＝∠AFG+∠GFD求解即可；②由①得到∠FDG＝45°，∠B＝45°，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；（2）根据勾股定理和等腰直角三角形的性质得到，，然后利用勾股定理得到AG2+GF2＝AF2，然后代入求解即可．【解答】（1）①解：如图所示，连接CF并延长交AB于点G，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠B＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCD＝90°，∵AE⊥CD，∴∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠BCD＝α，∵AC＝BC，AF＝CD，∴△CAF≌△BCD（SAS），∴∠ACF＝∠B＝45°，∵∠CAB＝45°，∴∠AGC＝∠CGD＝90°，∴△AGC是等腰直角三角形，∴AG＝CG，又∵AF＝CD，∴△AGF≌△CGD（HL），∴FG＝GD，∠AFG＝∠CDG＝∠BCD+∠B＝α+45°，∵∠FGD＝90°，∴∠GFD＝∠GDF＝45°，∴∠DFA＝∠AFG+∠GFD＝α+45°+45°＝α+90°，故答案为：α+90°；②证明：由①可得，∠FDG＝45°，∵∠B＝45°，∴∠B＝∠FDG，∴DF∥BC；（2）解：BC2+DF2＝2AF2．理由如下：∵△AGC是等腰直角三角形，∴AG2+CG2＝AC2，AG＝CG，∴2AG2＝AC2，∴整理得，∵AB＝AC，∴，∵△FGD是等腰直角三角形，∴同理可得，∵∠AGF＝90°，∴AG2+GF2＝AF2，∴，整理得AC2+FD2＝2AF2，∴BC2+DF2＝2AF2．【点评】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．28．【分析】（1）①如图所示，以点O为旋转中心，将线段AO顺时针旋转30°，得到线段OM，过点M作x轴的垂线段，交x轴于点F，沿x正方向作线段MN，使得MN∥x 轴，MN＝OA，连接AN，线段MN即为所求．②因为点O到点的距离＝，OA＝2，所以点只能为点M或点N．（2）以点O圆心，以PO的长度为半径作⊙O，过点（0，4）作直线l，交⊙O于点M、点M′，将圆⊙O沿直线l移动，将圆心O移动至⊙O上的点P，点M、点M′的对应点分别为点N、点N′，当点M与点M′重合，且坐标为（0，4）时，PO＝4，当点N 与点N′重合，且坐标为（0，4）时，．【解答】解：（1）①如图2.1所示，以点O为旋转中心，将线段OA顺时针旋转30°，得到线段OM，过点M作x轴的垂线段，交x轴于点F，沿x正方向作线段MN，使得MN∥x轴，MN＝OA，连接AN，线段MN即为所求．MF＝OM sin∠AOM＝2×sin30°＝1，．点M的坐标为，点N的坐标为．②∵点O到点的距离＝，OA＝2，∴点只能为点M或点N．当点M为时，如图2.2所示，根据题意可知，∴∠AOM＝α＝60°．当点N为时，如图2.3所示，设MN与y轴交于点F．。
2024北京人朝分校初三一模数学试题及答案
人大附中朝阳学校初三年级数学学科一模模拟一．选择题（共16分，每小题2分）1.右图是某几何体的三视图，该几何体是（A ）长方体（B ）三棱柱（C ）圆锥（D ）圆柱2.2023年我国规模以上内容创作生产营业收入累计值前三个季度分别约为6500亿元，13000亿元，20000亿元，合计约39500亿元.将39500用科学记数法表示应为（A ）395×102（B ）3.95×104（C ）3.95×103（D ）0.395×1053.不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（A ）23（B ）34（C ）25（D ）354.如图，直线AB ，CD 相交于点O ，若∠AOC =60°，∠BOE =40°，则∠DOE 的度数为（A ）60°（B ）40°（C ）20°（D ）10°5.正六边形的外角和为（A ）180°（B ）360°（C ）540°（D ）720°6.已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，则实数a 的值是（A ）1-（B ）0（C ）1（D ）27.如下图1是变量y 与变量x 的函数关系的图象，图2是变量z 与变量y 的函数关系的图象，则z 与x 的函数关系的图象可能是图1图2（A）（B）（C）（D）8.如图，正方形边长为a，点E是正方形ABCD内一点，满足90AEB∠=°，连接CE.给出下面四个结论：①AE+CE≥a2；②CE≤a215-；③∠BCE的度数最大值为60°；④当CE=a时，tan∠ABE=21.上述结论中，所有正确结论的序号为（A）①②（B）①③（C）①④（D）①③④二．填空题（共16分，每小题2分）9.若1x-在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__________.10.分解因式：2312x-=_______________.11.方程322x x=+的解为____________．12.在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数6yx=的图象经过点()2A m，和点()2B n-，，则m+n =__________.13.如图，树AB在路灯O的照射下形成树影AC．已知灯杆PO高为5m，树影AC长为3m，树AB与灯杆PO的水平距离AP为4.5m，则树AB的高度为m.14.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，连接AC，AD．若∠BAC＝40°，则∠D＝°．15.用一组a，b，m的值说明“若a b<，则ma mb>”是错误的，这组数可以是a=______，b=______．m=_______.16.从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交路线，为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：（第14题图）（第13题图）线路公交车用时频率公交车时间30≤t ≤3535＜t ≤4040＜t ≤4545＜t ≤50合计A 59151166124500B 5050122278500C4526516723500早高峰期间，乘坐________（填“A ”，“B ”或“C ”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大.三．解答题（共68分）17.计算：06cos 45185(2)-+--π-°.18.解不等式组：22135.2x x x x +<-⎧⎪⎨-<⎪⎩，19.已知230x x --=，求代数式(2)(2)(2)x x x x +---的值．20.如图，在△ABC 中，AB =AC ．（1）使用直尺和圆规，作AD ⊥BC 交BC 于点D （保留作图痕迹）；（2）以D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交AC 于点E ，连接BE ，DE ．①∠BEC =°；②写出图中一个．．与∠CBE 相等的角．21.如图，在四边形ABCD 中，∠ACB =∠CAD =90°，点E 在BC 上，AE ∥DC ，EF ⊥AB ，垂足为点F .（1）求证：四边形AECD 是平行四边形；（2）若AE 平分∠BAC ，BE =5，54cos =B ，求BF 和AD 的长.22.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（0，1），（-2，2），与x轴交于点A.（1）求该一次函数的表达式及点A的坐标；（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y=2x+m的值大于一次函数y=kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围.23.列方程解应用题无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势.某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍.要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？24.如图，AB是⊙O的直径，点E是OB的中点，过点E作弦CD⊥AB，连接AC，AD.（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）若点F是的中点，过点C作CG⊥AF，垂足为点G.若⊙O的半径为2，求CG的长.25.学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况.在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B 中的剩余质量分别为y1，y2(单位:克).下面是某研究小组的探究过程，请补充完整:记录y1，y2与x的几组对应值如下:x（分钟）05101520…y1(克)2523.52014.57…y2(克)252015105…（1）在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点(x，y1)，(x，y2)，并画出函数y1，y2的图象;（2）进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足二次函数：y1=-0.04x2+bx+c.场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足一次函数y2=kx+c(k≠0).则b=_______，c=_______，k=_______；（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为x A，x B，则x A_______x B（填“＞”，“=”或“＜”）.26.在平面直角坐标系xOy中，点M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y=ax2-2ax+c（a＞0）上任意两点.（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若x1=a+1，x2=a+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，总有y1＜y2，求m的取值范围.27.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2α（45°＜α＜90°），点D是BC的中点，点E是BD的中点，连接AE，将射线AE绕点A逆时针旋转α得到射线AM，过点E作EF⊥AE交射线AM于点F.（1）①依题意补全图形；②求证：∠B=∠AFE；（2）连接CF，DF，用等式表示CF，DF之间的数量关系，并证明.28.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 外一点，给出如下定义：若在⊙O 上存在点T ，使得点P 关于某条过点T 的直线对称后的点Q 在⊙O 上，则称点Q 为点P 关于⊙O 的“关联对称点”.（1）若点P 在直线y =2x 上；1若点P 的坐标为（1，2），则Q 1（0，1），Q 2（1，0），Q 3（22-，22-）中，是点P 关于⊙O 的“关联对称点”的是____________；2若存在点P 关于⊙O 的“关联对称点”，求点P 的横坐标P x 的取值范围；（2）已知点A （2，23），动点M 满足AM ≤1，若点M 关于⊙O 的“关联对称点”N 存在，直接写出MN 的取值范围.参考答案一、选择题：1. A2.B3.D4.C5.B6.C7.D8.C二、填空题：9.x≥1 10. 3（x＋2）（x－2） 11.4 12.0 13.2 14.50° 15.2 3 4（答案不唯一）16.C三．解答题17．计算：6cos45°﹣+|﹣5|﹣（π﹣2）0．解：6cos45°﹣+|﹣5|﹣（π﹣2）0＝6×﹣3+5﹣1＝3﹣3+5﹣1＝4．18．解不等式组：．解：，解不等式①得：x＞3，解不等式②得：x＜5，则不等式组的解集为3＜x＜5．19．已知x2﹣x﹣3＝0，求代数式（x+2）（x﹣2）﹣x（2﹣x）的值．解：（x+2）（x﹣2）﹣x（2﹣x）＝x2﹣4﹣（2x﹣x2）＝x2﹣4﹣2x+x2＝2x2﹣2x﹣4，∵x2﹣x﹣3＝0，∴x2﹣x＝3，则原式＝2（x2﹣x）﹣4＝2×3﹣4＝2．20．如图，在△ABC中，AB＝AC．（1）使用直尺和圆规，作AD⊥BC交BC于点D（保留作图痕迹）；（2）以D为圆心，DC的长为半径作弧，交AC于点E，连接BE，DE．①∠BEC＝90°；②写出图中一个与∠CBE相等的角∠BCF（答案不唯一）．解：（1）如图，AD为所作；（2）①∵AB＝AC，AD⊥BC，∴DB＝DC，AD平分∠BAC，∴BC为⊙O的直径，∴∠BEC＝90°；故答案为：90；②∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴BC为⊙O的直径，∴∠CFB＝∠BEC＝90°，∴∠CBE＝∠BCF，∵∠CBE+∠BCE＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠CBE＝∠CAD，∴∠CBE＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCF．故答案为：∠BCF（答案不唯一）．21.如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE//DC,EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；，求BF和AD的长．（2）若AE平分∠BAC,BE=5,cosB=45（1）证明：∵∠ACB=∠CAD=90°，∴AD∥CE，∵AE//DC，∴四边形AECD是平行四边形；（2）解：由（1）可得四边形AECD是平行四边形，∴CE=AD，∵EF⊥AB，AE平分∠BAC，∠ACB=90°，∴EF=CE，∴EF=CE=AD，，∵BE=5,cosB=45=4，∴BF=BE⋅cosB=5×45∴EF=√BE2−BF2=3，∴AD=EF=3．22．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（0，1），（﹣2，2），与x轴交于点A．（1）求该一次函数的表达式及点A的坐标；（2）当x>2时，对于x的每一个值，函数y＝2x+m的值大于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（0，1），（﹣2，2），∴，解得，该一次函数的表达式为y＝﹣x+1，令y＝0，得0＝﹣x+1，∴x＝2，∴A（2，0）；（2）当x>2时，对于x的每一个值，函数y＝2x+m的值大于等于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，∴2x+m≥﹣x+1，∴m≥﹣4．23．列方程解应用题：无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？解：设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹5x件，根据题意得：﹣＝2，解得：x＝150，经检验，x＝150是所列方程的解，且符合题意．答：1名快递员平均每天可配送包裹150件．24.如图，AB是⊙O的直径，点E是OB的中点，过E作弦CD⊥AB，连接AC，AD．（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）若点F是的中点，连接AF，过点C作CG⊥AF，垂足为G，若⊙O的半径为2，求线段CG的长．（1）证明：连接OC，如图：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴AB是CD的垂直平分线，∴AC＝AD，∴∠DAE＝∠CAE，∵OC＝OB，点E为OB的中点，∴OE＝OB＝OC，在Rt△OCE中，cos∠COE＝＝，∴∠COE＝60°，∴∠CAE＝∠COE＝30°，∴∠DAE＝∠CAE＝30°，∴∠CAD＝∠DAE+∠CAE＝60°，∴△ABC为等边三角形．（2）解：由（1）可知：△ACD是等边三角形，∠CAE＝30°，∴∠D＝60°，∵点F为弧AC的中点，∴∠CAF＝30°，∵⊙O的半径为2，∴OA＝OB＝2，∵点E为OB的中点，∴OE＝1，∴AE＝OA+OE＝2+1＝3，在Rt△ACE中，cos∠CAE＝，∴AC＝＝＝，在Rt△ACG中，AC＝，∠CAF＝30°，∴CG＝AC＝．25.学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为y1，y2（单位：克）．下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：记录y1，y2与x的几组对应值如下：（1）在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（2）进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足二次函数：．场景B的图象是直线的一部分y2与x之间近似满足一次函数y2＝kx+c（k≠0）．则b＝﹣0.1，c＝25，k＝﹣1；（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为x A，x B，则x A＞x B（填“＞”，“＝”或“＜”）．解：（1）由题意，作图如下．（2）由题意，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足函数关系y1＝﹣0.04x2+bx+c．又点（0，25），（10，20）在函数图象上，∴．解得：．∴场景A函数关系式为y1＝﹣0.04x2﹣0.1x+25．对于场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足函数关系y2＝kx+c．又（0，25），（10，15）在函数图象上，∴，解得：，∴场景B函数关系式为y2＝﹣x+25．故答案为：﹣0.1，25，﹣1；（3）由题意，当y＝4时，场景A中，x A≈21.7，场景B中，4＝﹣x B+25，解得：x B＝21，∴x A＞x B．故答案为：＞．26.在平面直角坐标系xOy中，点M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）上任意两点．（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若x1＝a+1，x2＝a+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，总有y1＜y2，求m的取值范围．解：（1）抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的对称轴为：x＝﹣＝1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）∵a＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1；∴M（x1，y1），N（x2，y2）都在对称轴右侧，∵当x＞1时，y随x的增大而增大，且x1＜x2，∴y1＜y2；（3）∵m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，∴＜，∵y1＜y2，a＞0，∴M（x1，y1）距离对称轴更近，x1＜x2，则MN的中点在对称轴的右侧，∴解得：m．27.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=2α（45°＜α＜90°），D是BC的中点，E是BD的中点，连接AE ．将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF ⊥AE 交射线AM 于点F .（1）①依题意补全图形；②求证：∠B ＝∠AFE ；（2）连接CF ，DF ，用等式表示线段CF ，DF 之间的数量关系，并证明．答案.（1）①依题意补全图形.②∵AB AC =，2BAC α∠=, ∴1802902B C αα︒−∠=∠==︒−.∵EF AE ⊥, ∴90AEF ∠=︒. ∵EAF α∠=, ∴90AFE α∠=︒−.∴B AFE ∠=∠.（2） 线段CF 与DF 的数量关系为CF =DF .证明：延长FE 至点G ，使EG =EF ，连接AG ，BG . ∵AE ⊥EF ， ∴AE 垂直平分GF . ∴AG =AF .∴∠GAE =∠EAF =α.∴∠GAF =∠GAE ＋∠EAF =2α. ∵∠BAC =2α， ∴∠GAF =∠BAC . ∴∠GAB =∠F AC .BC∠°∠°M C∵AB=AC，AG=AF，∴△AGB≌△AFC（SAS）.∴GB=FC.∵E为BD中点，∴BE=DE.∵∠GEB=∠DEF，∴△GBE≌△FDE（SAS）.∴GB=DF.∴DF=CF.28．（2024•朝阳区校级一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，给出如下定义：若在⊙O上存在点T，使得点P关于某条过点T的直线对称后的点Q在⊙O上，则称点Q为点P关于⊙O的“关联对称点”．（1）若点P在直线y＝2x上；①若点P的坐标为（1，2），则Q1（0，1），Q2（1，0），中，是点P关于⊙O的“关联对称点”的是Q2，Q3．；②若存在点P关于⊙O的“关联对称点”，求点P的横坐标x P的取值范围；（2）已知点，动点M满足AM≤1，若点M关于⊙O的“关联对称点”N存在，直接写出MN的取值范围．解：（1）解：如图所示，PQ3连线的中点在⊙O的内部，PQ1的中点的纵坐标为1，则点P，Q1关于y＝1对称，点P关于⊙O的关联点是Q3，Q2，故答案为：Q2，Q3．②如图所示，点P在线段RS和UW上，设R（m，2m），在Rt△OHR中，m2+（2m）2＝32，解得m＝或m＝﹣（舍），∴x R＝；同理x S＝，x U＝﹣，x W＝﹣，∴﹣≤p＜﹣或＜p≤；（2）依题意，关于⊙O的关联点在半径为3的圆内，如图所示，∵AM≤1，则M在半径为1的⊙A上以及圆内，M关于⊙O的关联点N，∴MN的最大值为OM+ON＝3+1＝4，如图所示，当M在线段OA上时，MN取最小值，∴OA＝＝，设MN＝GH＝x，则GT＝HT＝x，∴MH2＝（）2﹣（1+x）2，∴NG2＝12﹣（1﹣x）2，∴（）2﹣（1+x）2＝12﹣（1﹣x）2，解得x＝，∴≤MN≤4．。
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综合练习一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1.的平方根是（）AB．3±C．D．-32. 长城总长约为6700000米，用科学记数法表示是( )A．6.7×105米B．6.7×106米C．6.7×107米D．3．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32那么∠2的度数是（）A.32oB.58oC.68oD.60o4.下列计算正确的是（）A=B．632x x x÷=C．33-=±D．422aaa=⋅5．小明要给刚结识的朋友小林打电话，他只记住了电话号码的前5位的顺序，后3位是3，6，8三个数字的某一种排列顺序，但具体顺序忘记了，那么小明第一次就拨通电话的概率是（）A．121B．61C．41D．316．把方程2630x x-+=化成()2x n m+=的形式，正确的结果为（）A．()236x+=B．()236x-=C．()2312x+=D．()2633x+=7．某校春季运动会上，小刚和其他16名同学参加了百米预赛，成绩各不相同，小刚已经知道了自己的成绩，如果只取前8名参加决赛，他想知道自己能否进入决赛，还需要知道所有参加预赛同学成绩的A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差8．已知：如图，正方形ABCD的边长为2，E、F分别为AB、AD的中点，G为线段CE上的一个动点，设xCECG=，ySGDF=∆，则y与x的函数关系图象大致是二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．在函数2yx=-中，自变量x的取值范围是．10．分解因式：32363a ab ab-+=.11．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，AB=32，A B C D∠B =30°，则△AOC 的面积为 .12．.如图所示，圆圈内分别标有1，2，…，12，这12个数字，电子跳蚤每跳一步，可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数字为n ，则电子跳蚤连续跳（2-3n ）步作为一次跳跃，例如：电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳12-13=⨯步到标有数字2的圆圈内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳42-23=⨯步到达标有数字6的圆圈，…依此规律，若电子跳蚤从①开始，那么第3次能跳到的圆圈内所标的数字为 ；第2012次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：计算：()()021π201060---+-°+-2.14．解分式方程：22125=---xx15．已知22690x xy y -+=，求代数式 2235(2)4x yx y x y+⋅+-的值.16．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连结BE 、EC ．试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．17.已知Rt△ABC 的斜边AB 在平面直角坐标系的x 轴上，点C （1，3）在反比例函数y = k x 的图象上，且sin∠BAC = 35．（1）求k 的值和边AC 的长；（2）点B 的坐标为________________.18.如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE AB ⊥于E ．设CD ＝CBAD ＝9，AB ＝15． 求B ∠的余弦值及AC 的长． ABCDE111210987654321第12题图四、解答题（本题共20分，每小题5分）19.解应用题：某商场用2500(1)(2)在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场计划销售这批台灯的总利润不少于1400元，问至少需购进B种台灯多少盏？20.如图1，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G（如图2所示），若AD=2，求线段BC和EG的长．21．初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一．为此，某区教委对该区部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了名学生；（2）将图①补充完整；（3）求出图②中C级所占的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计该区近20000名初中生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？22．问题背景（1）如图1，△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，过点D 作DF ∥AC 交BC 于点F ． 请按图示数据填空：四边形DFCE 的面积S = ， △DBF 的面积1S = ， △ADE 的面积2S = ．探究发现（2）在（1）中，若BF a =，FC b =，D Ｇ与BC 间的距离为h ．直接写出2S = （用含S 、1S 的代数式表示）． 拓展迁移（3）如图2，平行四边形DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若△ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为4、8、1，试利用．．（2．）中的结论．．．．求平行四边形DEFG 的面积，直接写出结果．23．已知关于x 的方程2(32)30mx m x m +-+-=，其中0m >.（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为12,x x ，其中12x x >. 若2113x y x -=，求y 关于m 的函数关系式； （3）在（2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式y m -≤成立的m 的取值范围.24. 在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F 。
2020-2021北京市人大附中九年级数学下期末模拟试卷(带答案)
2020-2021北京市人大附中九年级数学下期末模拟试卷(带答案) 一、选择题1．如图所示，已知A（12，y1），B(2,y2)为反比例函数1yx图像上的两点，动点P(x，0)在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（）A．(12，0)B．(1,0)C．(32,0)D．(52,0)2．二次函数y＝x2﹣6x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（）A．27B．9C．﹣7D．﹣163．某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元.若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下（）元A．8B．16C．24D．324．九年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：90分，95分，96分，96分，95分，89分，则该同学这6次成绩的中位数是（）A．94B．95分C．95.5分D．96分5．如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（）A．三棱柱B．四棱锥C．长方体D．正方体6．下列计算正确的是（）A．a2•a=a2B．a6÷a2=a3C．a2b﹣2ba2=﹣a2b D．（﹣32a）3=﹣398a7．如图，在矩形ABCD中，AD=3，M是CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM，若AN平分∠MAB，则折痕AM的长为（）A ．3B ．23C ．32D ．68．如图，正比例函数1y=k x 与反比例函数2k y=x的图象相交于点A 、B 两点，若点A 的坐标为（2，1），则点B 的坐标是（ ）A ．（1，2）B ．（－2，1）C ．（－1，－2）D ．（－2，－1）9．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( )A ．2cm ，3cm ，5cmB ．7cm ，4cm ，2cmC ．3cm ，4cm ，8cmD ．3cm ，3cm ，4cm 10．如图，已知⊙O 的半径是2，点A 、B 、C 在⊙O 上，若四边形OABC 为菱形，则图中阴影部分面积为（ ）A ．23π﹣23 B ．13π﹣3 C ．43π﹣23 D ．43π﹣3 11．某商店销售富硒农产品，今年1月开始盈利，2月份盈利240000元，4月份盈利290400元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同，则每月盈利的平均增长率是（ ） A ．8% B ．9% C ．10% D ．11% 12．若一元二次方程x 2﹣2kx +k 2＝0的一根为x ＝﹣1，则k 的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1或﹣1D ．2或0二、填空题13．如图，在菱形ABCD 中，AB=5，AC=8，则菱形的面积是 ．14．如果a 是不为1的有理数,我们把11a-称为a 的差倒数如：2的差倒数是1112=--,-1的差倒数是111(1)2=--，已知14a =，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依此类推,则2019a=___________．15．口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是．16．使分式的值为0，这时x=_____．17．如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果AB2BC3=，那么tan∠DCF的值是____．18．如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1= ______．19．在一个不透明的口袋中，装有A，B，C，D4个完全相同的小球，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次摸到同一个小球的概率是___．20．3x+x的取值范围是_____．三、解答题21．某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B两种型号的机器．已知一台A 型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B 型机器加工60个零件所用时间相等．（1）每台A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72件，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过76件，那么A，B两种型号的机器可以各安排多少台？22．某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线）（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？23．如图，在平面直角坐标系中，直线10y kx =-经过点(12,0)A 和(,5)B a -，双曲线(0)my x x=>经过点B ． （1）求直线10y kx =-和双曲线my x=的函数表达式； （2）点C 从点A 出发，沿过点A 与y 轴平行的直线向下运动，速度为每秒1个单位长度，点C 的运动时间为t （0＜t ＜12），连接BC ，作BD ⊥BC 交x 轴于点D ，连接CD ， ①当点C 在双曲线上时，求t 的值；②在0＜t ＜6范围内，∠BCD 的大小如果发生变化，求tan ∠BCD 的变化范围；如果不发生变化，求tan ∠BCD 的值； ③当1361DC =时，请直接写出t 的值．24．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：232212+=（），善于思考的小明进行了以下探索： 设(2a b 2m 2+=+（其中a b m n 、、、均为整数），则有22a b 2m 2n 2+=++∴22a m 2n b 2mn =+=，．这样小明就找到了一种把部分a b 2+法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 当a b m n 、、、均为正整数时，若(2a b 3m 3+=+，用含m 、n 的式子分别表示a b 、，得a ＝ ，b ＝ ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a b m n 、、、，填空： ＋ ＝( ＋3)2；（3）若()2433a m n +=＋，且a b m n 、、、均为正整数，求a 的值．25．已知抛物线y ＝ax 2﹣13x +c 经过A (﹣2，0)，B (0，2)两点，动点P ，Q 同时从原点出发均以1个单位/秒的速度运动，动点P 沿x 轴正方向运动，动点Q 沿y 轴正方向运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒 (1)求抛物线的解析式； (2)当BQ ＝13AP 时，求t 的值； (3)随着点P ，Q 的运动，抛物线上是否存在点M ，使△MPQ 为等边三角形？若存在，请求出t 的值及相应点M 的坐标；若不存在，请说明理由．26．某市某中学积极响应创建全国文明城市活动，举办了以“校园文明”为主题的手抄报比赛.所有参赛作品均获奖，奖项分为一等奖、二等奖、三等奖和优秀奖，将获奖结果绘制成如右两幅统计图.请你根据图中所给信息解答意）（1）等奖所占的百分比是________；三等奖的人数是________人；（2）据统计，在获得一等奖的学生中，男生与女生的人数比为11:，学校计划选派1名男生和1名女生参加市手抄报比赛，请求出所选2位同学恰是1名男生和1名女生的概率； （3）学校计划从获得二等奖的同学中选取一部分人进行集训使其提升为一等奖，要使获得一等奖的人数不少于二等奖人数的2倍，那么至少选取多少人进行集训？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】求出AB的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP-BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．【详解】∵把A（12，y1），B（2，y2）代入反比例函数y=1x得：y1=2，y2=12，∴A（12，2），B（2，12），∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP-BP|＜AB，∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入得：122122k bk b⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩＝＝，解得：k=-1，b=52，∴直线AB的解析式是y=-x+52，当y=0时，x=52，即P（52，0），故选D．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P点的位置，题目比较好，但有一定的难度．2．D解析：D【解析】【分析】先确定抛物线的对称轴为直线x＝3，根据抛物线的对称性得到x＝−2和x＝8时，函数值相等，然后根据题意判断抛物线与x轴的交点坐标为（−2，0），（8，0），最后把（−2，0）代入y＝x2−6x＋m可求得m的值．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴x＝−2和x＝8时，函数值相等，∵当−2＜x＜−1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，∴抛物线与x轴的交点坐标为（−2，0），（8，0），把（−2，0）代入y＝x2−6x＋m得4＋12＋m＝0，解得m＝−16．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．3．D解析：D【解析】【分析】设每块方形巧克力x元，每块圆形巧克力y元，根据小明身上的钱数不变得出方程3x+5y-8=5x+3y+8，化简整理得y-x=8．那么小明最后购买8块方形巧克力后他身上的钱会剩下（5x+3y+8）-8x，化简得3（y-x）+8，将y-x=8代入计算即可．【详解】解：设每块方形巧克力x元，每块圆形巧克力y元，则小明身上的钱有（3x+5y-8）元或（5x+3y+8）元．由题意，可得3x+5y-8=5x+3y+8，，化简整理，得y-x=8．若小明最后购买8块方形巧克力，则他身上的钱会剩下：（5x+3y+8）-8x=3（y-x）+8=3×8+8=32（元）．故选D．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，得出每块方形巧克力与每圆方形巧克力的钱数之间的关系是解决问题的关键．4．B解析：B【解析】【分析】根据中位数的定义直接求解即可．【详解】把这些数从小到大排列为：89分，90分，95分，95分，96分，96分，则该同学这6次成绩的中位数是：＝95分；故选：B．【点睛】此题考查了确定一组数据的中位数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．5．A解析：A【解析】【分析】本题可以根据三棱柱展开图的三类情况分析解答【详解】三棱柱的展开图大致可分为三类：1.一个三角在中间,每边上一个长方体,另一个在某长方形另一端.2.三个长方形并排,上下各一个三角形.3.中间一个三角形,其中两条边上有长方形,这两个长方形某一个的另一端有三角形,在这三角形的一条(只有一条,否则拼不上)边有剩下的那个长方形.此题目中图形符合第2种情况故本题答案应为：A【点睛】熟练掌握几何体的展开图是解决本题的关键，有时也可以采用排除法．6．C解析：C【解析】【分析】根据同底数幂的乘法运算可判断A；根据同底数幂的除法运算可判断B；根据合并同类项可判断选项C ；根据分式的乘方可判断选项D. 【详解】A 、原式=a 3，不符合题意；B 、原式=a 4，不符合题意；C 、原式=-a 2b ，符合题意；D 、原式=-278a，不符合题意， 故选C ． 【点睛】此题考查了分式的乘除法，合并同类项，以及同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．B解析：B 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得∠MAN=∠DAM ，再由AN 平分∠MAB ，得出∠DAM=∠MAN=∠NAB ，最后利用三角函数解答即可. 【详解】由折叠性质得：△ANM ≌△ADM ， ∴∠MAN=∠DAM ，∵AN 平分∠MAB ，∠MAN=∠NAB ， ∴∠DAM=∠MAN=∠NAB ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠DAB=90°， ∴∠DAM=30°，∴== 故选：B ． 【点睛】本题考查了矩形 的性质及折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质求得∠MAN=∠DAM,8．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】解：根据正比例函数与反比例函数关于原点对称的性质，正比例函数1y=k x 与反比例函数2k y=x的图象的两交点A 、B 关于原点对称； 由A 的坐标为（2，1），根据关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数的坐标特征，得点B的坐标是（－2，－1）．故选：D9．D解析：D【解析】【详解】A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误；B．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误；C．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；D．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．故选D．10．C解析：C【解析】分析：连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC 的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S菱形ABCO﹣S扇形AOC可得答案．详解：连接OB和AC交于点D，如图所示：∵圆的半径为2，∴OB=OA=OC=2，又四边形OABC是菱形，∴OB⊥AC，OD=12OB=1，在Rt△COD中利用勾股定理可知：22213-=，3∵sin∠COD=3 CDOC=∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，∴S菱形ABCO=12B×AC=12×2×33S扇形AOC=2120243603ππ⨯⨯=，则图中阴影部分面积为S菱形ABCO﹣S扇形AOC=423 3π-故选C．点睛：本题考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面积=12 a•b（a、b是两条对角线的长度）；扇形的面积=2360n r，有一定的难度．11．C解析：C【解析】【分析】设月平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额×（1+增长率）2=4月份的盈利额列出方程求解即可．【详解】设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得：240000（1+x）2=290400，解得：x1=0.1=10%，x2=-0.21（舍去），故选C.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）2=后来的量，其中增长用+，减少用-．12．A解析：A【解析】【分析】把x＝﹣1代入方程计算即可求出k的值．【详解】解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，解得：k＝﹣1，故选：A．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．二、填空题13．【解析】【分析】连接BD交AC于点O由勾股定理可得BO=3根据菱形的性质求出BD再计算面积【详解】连接BD交AC于点O根据菱形的性质可得AC⊥BDAO=CO=4由勾股定理可得BO=3所以BD=6即可解析：【解析】【分析】连接BD，交AC于点O，由勾股定理可得BO=3，根据菱形的性质求出BD，再计算面积.【详解】连接BD，交AC于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=CO=4，由勾股定理可得BO=3，所以BD=6，即可得菱形的面积是12×6×8=24．考点：菱形的性质；勾股定理.14．【解析】【分析】利用规定的运算方法分别算得a1a2a3a4…找出运算结果的循环规律利用规律解决问题【详解】∵a1=4a2=a3=a4=…数列以4−三个数依次不断循环∵2019÷3=673∴a2019解析：34.【解析】【分析】利用规定的运算方法，分别算得a1，a2，a3，a4…找出运算结果的循环规律，利用规律解决问题.【详解】∵a1=4a2=11111143a==---，a3=211311413a⎛⎫⎪⎝=⎭=---，a4=31143114a==--，…数列以4,−1334，三个数依次不断循环，∵2019÷3=673，∴a2019=a3=34，故答案为：34.【点睛】此题考查规律型：数字的变化类，倒数，解题关键在于掌握运算法则找到规律.15．3【解析】试题解析：根据概率公式摸出黑球的概率是1-02-05=03考点：概率公式解析：3.【解析】试题解析：根据概率公式摸出黑球的概率是1-0.2-0.5=0.3．考点：概率公式．16．1【解析】试题分析：根据题意可知这是分式方程x2-1x+1＝0然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0解之得x=1经检验可知x=1是分式方程的解答案为1考点：分式方程的解法解析：1【解析】试题分析：根据题意可知这是分式方程，＝0，然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0，解之得x=1，经检验可知x=1是分式方程的解.答案为1.考点：分式方程的解法17．【解析】【分析】【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD∠D＝90°∵将矩形ABCD沿CE折叠点B恰好落在边AD的F处∴CF＝BC∵∴∴设CD ＝2xCF＝3x∴∴tan∠DCF＝故答案为：【点解析：52．【解析】【分析】【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠D＝90°，∵将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，∴CF＝BC，∵AB2BC3=，∴CD2CF3=．∴设CD＝2x，CF＝3x，∴22DF=CF CD5x-．∴tan∠DCF＝DF5x5=CD2x2=．5【点睛】本题考查翻折变换(折叠问题)，翻折对称的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义．18．30°【解析】【分析】【详解】解：∵AB//CD∴∠BAC+∠ACD=180°即∠1+∠EAC+∠ACD=180°∵五边形是正五边形∴∠EAC=108°∵∠ACD=42°∴∠1=180°-42°-1解析：30°．【解析】【分析】【详解】解：∵AB//CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，即∠1+∠EAC+∠ACD=180°，∵五边形是正五边形，∴∠EAC=108°，∵∠ACD=42°，∴∠1=180°-42°-108°=30°故答案为：30°．19．【解析】【分析】【详解】试题分析：画树状图如下：∴P（两次摸到同一个小球）==故答案为考点：列表法与树状图法；概率公式解析：14．【解析】【分析】【详解】试题分析：画树状图如下：∴P（两次摸到同一个小球）=416=14.故答案为14．考点：列表法与树状图法；概率公式．20．x≥﹣3【解析】【分析】直接利用二次根式的定义求出x的取值范围【详解】解：若式子在实数范围内有意义则x+3≥0解得：x≥﹣3则x的取值范围是：x≥﹣3故答案为：x≥﹣3【点睛】此题主要考查了二次根式解析：x≥﹣3【解析】【分析】直接利用二次根式的定义求出x的取值范围．【详解】.在实数范围内有意义，则x+3≥0，解得：x≥﹣3，则x的取值范围是：x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．三、解答题21．（1）每台A型机器每小时加工8个零件，每台B型机器每小时加工6个零件；（2）共有三种安排方案，方案一：A型机器安排6台，B型机器安排4台；方案二：A型机器安排7台，B型机器安排3台；方案三：A型机器安排8台，B型机器安排2台．【解析】【分析】(1)设每台B型机器每小时加工x个零件，则每台A型机器每小时加工(x+2)个零件，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；(2)设A型机器安排m台，则B型机器安排(10m)-台，根据每小时加工零件的总量8A=⨯型机器的数量6B+⨯型机器的数量结合每小时加工的零件不少于72件且不能超过76件，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各安排方案．【详解】(1)设每台B型机器每小时加工x个零件，则每台A型机器每小时加工(x+2)个零件，依题意，得：8060x2x=+，解得：x=6，经检验，x=6是原方程的解，且符合题意，x28∴+=．答：每台A型机器每小时加工8个零件，每台B型机器每小时加工6个零件；(2)设A型机器安排m台，则B型机器安排(10m)-台，依题意，得：()() 861072 861076mm mπ⎧+-⎪⎨+-⎪⎩…„，解得：6m8剟，mQ为正整数，m 678∴=、、，答：共有三种安排方案，方案一：A 型机器安排6台，B 型机器安排4台；方案二：A 型机器安排7台，B 型机器安排3台；方案三：A 型机器安排8台，B 型机器安排2台．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．22．（1）6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．（2）5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大．（3）4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克．【解析】分析：（1）找出当x=6时，y 1、y 2的值，二者作差即可得出结论；（2）观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出y 1、y 2关于x 的函数关系式，二者作差后利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）求出当x=4时，y 1﹣y 2的值，设4月份的销售量为t 万千克，则5月份的销售量为（t+2）万千克，根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于t 的一元一次方程，解之即可得出结论．详解：（1）当x=6时，y 1=3，y 2=1，∵y 1﹣y 2=3﹣1=2，∴6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．（2）设y 1=mx+n ，y 2=a （x ﹣6）2+1．将（3，5）、（6，3）代入y 1=mx+n ，3563m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：237m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴y 1=﹣23x+7； 将（3，4）代入y 2=a （x ﹣6）2+1，4=a （3﹣6）2+1，解得：a=13， ∴y 2=13（x ﹣6）2+1=13x 2﹣4x+13． ∴y 1﹣y 2=﹣23x+7﹣（13x 2﹣4x+13）=﹣13x 2+103x ﹣6=﹣13（x ﹣5）2+73． ∵﹣13＜0， ∴当x=5时，y 1﹣y 2取最大值，最大值为73， 即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大．（3）当t=4时，y 1﹣y 2=﹣13x 2+103x ﹣6=2．设4月份的销售量为t 万千克，则5月份的销售量为（t+2）万千克，根据题意得：2t+73（t+2）=22， 解得：t=4，∴t+2=6．答：4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克．点睛：本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）观察函数图象，找出当x=6时y 1﹣y 2的值；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出y 1、y 2关于x 的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．23．（1）直线的表达式为5106y x =-，双曲线的表达式为30y x =-；（2）①52；②当06t <<时，BCD ∠的大小不发生变化，tan BCD ∠的值为56；③t 的值为52或152． 【解析】【分析】（1）由点(12,0)A 利用待定系数法可求出直线的表达式；再由直线的表达式求出点B 的坐标，然后利用待定系数法即可求出双曲线的表达式；（2）①先求出点C 的横坐标，再将其代入双曲线的表达式求出点C 的纵坐标，从而即可得出t 的值；②如图1（见解析），设直线AB 交y 轴于M ，则(0,10)M -，取CD 的中点K ，连接AK 、BK ．利用直角三角形的性质证明A 、D 、B 、C 四点共圆，再根据圆周角定理可得BCD DAB ∠=∠，从而得出tan tan OM BCD DAB OA∠=∠=，即可解决问题； ③如图2（见解析），过点B 作⊥BM OA 于M ，先求出点D 与点M 重合的临界位置时t 的值，据此分05t <<和512t ≤<两种情况讨论：根据,,A B C 三点坐标求出,,AM BM AC 的长，再利用三角形相似的判定定理与性质求出DM 的长，最后在Rt ACD ∆中，利用勾股定理即可得出答案．【详解】（1）∵直线10y kx =-经过点(12,0)A 和(,5)B a -∴将点(12,0)A 代入得12100k -= 解得56k = 故直线的表达式为5106y x =- 将点(,5)B a -代入直线的表达式得51056a -=- 解得6a =(6,5)B ∴- ∵双曲线(0)m y x x=>经过点(6,5)B - 56m ∴=-，解得30m =- 故双曲线的表达式为30y x=-； （2）①//AC y Q 轴，点A 的坐标为(12,0)A∴点C 的横坐标为12 将其代入双曲线的表达式得305122y =-=- ∴C 的纵坐标为52-，即52AC = 由题意得512t AC ⋅==，解得52t = 故当点C 在双曲线上时，t 的值为52； ②当06t <<时，BCD ∠的大小不发生变化，求解过程如下：若点D 与点A 重合由题意知，点C 坐标为(12,)t -由两点距离公式得：222(612)(50)61AB =-+--= 2222(126)(5)36(5)BC t t =-+-+=+-+22AC t =由勾股定理得222AB BC AC +=，即226136(5)t t ++-+=解得12.2t =因此，在06t <<范围内，点D 与点A 不重合，且在点A 左侧如图1，设直线AB 交y 轴于M ，取CD 的中点K ，连接AK 、BK由（1）知，直线AB 的表达式为5106y x =- 令0x =得10y =-，则(0,10)M -，即10OM =Q 点K 为CD 的中点，BD BC ⊥12BK DK CK CD ∴===（直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半） 同理可得：12AK DK CK CD === BK DK CK AK ∴===∴A 、D 、B 、C 四点共圆，点K 为圆心BCD DAB ∴∠=∠（圆周角定理）105tan tan 126OM BCD DAB OA ∴∠=∠===；③过点B 作⊥BM OA 于M由题意和②可知，点D 在点A 左侧，与点M 重合是一个临界位置此时，四边形ACBD 是矩形，则5AC BD ==，即5t =因此，分以下2种情况讨论：如图2，当05t <<时，过点C 作CN BM ⊥于N(6,5(1),2,0),(12,)B A t C --Q12,6,6,5,OA OM AM OA OM BM AC t ∴===-===90CBN DBM BDM DBM ∠+∠=∠+∠=︒QCBN BDM ∴∠=∠又90CNB BMD ∠=∠=︒QCNB BMD ∴∆~∆CN BN BM DM ∴= AM BM AC BM DM -∴=，即655t DM-= 5(5)6DM t ∴=- 56(5)6AD AM DM t ∴=+=+- 由勾股定理得222AD AC CD +=即222513616(5)(612t t ⎡⎤+-+=⎢⎥⎣⎦解得52t =或152t =（不符题设，舍去）当512t ≤<时，同理可得：222513616(5)()612t t ⎡⎤--+=⎢⎥⎣⎦解得152t =或52t =（不符题设，舍去） 综上所述，t 的值为52或152．【点睛】本题考查反比例函数综合题、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、四点共圆、勾股定理等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．24．（1）22m 3n +，2mn ；（2）4，2，1，1（答案不唯一）；（3）a ＝7或a ＝13．【解析】【分析】【详解】(1)∵23(3)a m +=+，∴223323a b m n mn +=++，∴a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ．故答案为m 2＋3n 2，2mn ．(2)设m ＝1，n ＝2，∴a ＝m 2＋3n 2＝13，b ＝2mn ＝4．故答案为13，4，1，2(答案不唯一)．(3)由题意，得a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ．∵4＝2mn ，且m 、n 为正整数，∴m ＝2，n ＝1或m ＝1，n ＝2，∴a ＝22＋3×12＝7，或a ＝12＋3×22＝13． 25．（1）y ＝－23x 2－13x ＋2；（2）当BQ ＝13AP 时，t ＝1或t ＝4；（3）存在．当t ＝13-+M （1，1），或当t ＝333+M （﹣3，﹣3），使得△MPQ 为等边三角形．【解析】【分析】（1）把A（﹣2，0），B（0，2）代入y＝ax2－13x＋c，求出解析式即可;（2）BQ=13AP，要考虑P在OC上及P在OC的延长线上两种情况，有此易得BQ，AP关于t的表示，代入BQ=13AP可求t值．（3）考虑等边三角形，我们通常只需明确一边的情况，进而即可描述出整个三角形．考虑△MPQ，发现PQ为一有规律的线段，易得OPQ为等腰直角三角形，但仅因此无法确定PQ运动至何种情形时△MPQ为等边三角形．若退一步考虑等腰，发现，MO应为PQ的垂直平分线，即使△MPQ为等边三角形的M点必属于PQ的垂直平分线与抛物线的交点，但要明确这些交点仅仅满足△MPQ为等腰三角形，不一定为等边三角形．确定是否为等边，我们可以直接由等边性质列出关于t的方程，考虑t的存在性．【详解】（1）∵抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2）两点，∴240,32.a cc⎧++=⎪⎨⎪=⎩，解得2,32.ac⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为y＝－23x2－13x＋2．（2）由题意可知，OQ＝OP＝t，AP＝2＋t．①当t≤2时，点Q在点B下方，此时BQ＝2－t．∵BQ＝13AP，∴2﹣t＝13（2＋t），∴t＝1．②当t＞2时，点Q在点B上方，此时BQ＝t﹣2．∵BQ＝13AP，∴t﹣2＝13（2+t），∴t＝4．∴当BQ＝13AP时，t＝1或t＝4．（3）存在．作MC⊥x轴于点C，连接OM．设点M的横坐标为m，则点M的纵坐标为－23m2－13m＋2．当△MPQ为等边三角形时，MQ＝MP，又∵OP ＝OQ ，∴点M 点必在PQ 的垂直平分线上，∴∠POM ＝12∠POQ ＝45°， ∴△MCO 为等腰直角三角形，CM ＝CO ，∴m ＝－23m 2－13m ＋2， 解得m 1＝1，m 2＝﹣3． ∴M 点可能为（1，1）或（﹣3，﹣3）．①如图，当M 的坐标为（1，1）时，则有PC ＝1﹣t ，MP 2＝1＋（1﹣t ）2＝t 2﹣2t ＋2，PQ 2＝2t 2，∵△MPQ 为等边三角形，∴MP ＝PQ ，∴t 2﹣2t ＋2＝2t 2，解得t 1＝1+3-，t 2＝13--（负值舍去）．②如图，当M 的坐标为（﹣3，﹣3）时，则有PC ＝3＋t ，MC ＝3，∴MP 2＝32＋（3＋t ）2＝t 2＋6t ＋18，PQ 2＝2t 2，∵△MPQ 为等边三角形，∴MP ＝PQ ，∴t 2＋6t ＋18＝2t 2，解得t 1＝333+t 2＝333-∴当t ＝1+3-时，抛物线上存在点M （1，1），或当t ＝333+时，抛物线上存在点M （﹣3，﹣3），使得△MPQ 为等边三角形．【点睛】本题是二次函数、一次函数及三角形相关知识的综合题目，其中涉及的知识点有待定系数法求抛物线，三角形全等，等腰、等边三角形性质及一次函数等基础知识，在讨论动点问题是一定要注意考虑全面分情形讨论分析．26．（1）8%，16;（2）P （1名男生和1名女生）23=;（3）至少需要选取6人进行集训. 【解析】【分析】（1）一等奖所占的百分比=1减去其它奖项的百分比即可求解；根据优秀奖比例和人数可计算总数，进而计算出三等奖人数.（2）求出一等奖男女各有多少人，然后列表或画树形图即可解；（3）设需要选取x 人进行集训，依据使获得一等奖的人数不少于二等奖人数的2倍，列不等式解答即可.【详解】（1）一等奖所占的百分比=1-40%-30%-32=8%；总人数=20÷40%=50（人）， 三等奖的人数是=50×32%=16（人）； （2）一等奖的人数=508%4⨯=，男女都有的人数14211⨯=+， 列表得：∴一等奖有两位男生两位女生，一共有12种等可能结果，其中恰是一男一女的结果数是8，∴P （1名男生和1名女生）82123==. （3）设需要选取x 人进行集训，根据题意得：()4210x x +≥-，解得 163x ≥， 因为x 是整数，所以x 取6.答：至少需要选取6人进行集训.【点睛】本题主要考查了条形统计图及扇形统计图以及求随机事件的概率，不等式的应用，解题的关键是能从条形统计图及扇形统计图得出相关数据．列表或画出树形图解答.。
2022届北京市人大附中中考一模数学试题(含答案解析)
2022届北京市人大附中中考一模数学测试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知函数y=(k-1)x2-4x+4的图象与x轴只有一个交点,则k的取值范围是( )A．k≤2且k≠1B．k<2且k≠1C．k=2 D．k=2或12．在一次体育测试中，10名女生完成仰卧起坐的个数如下：38，52，47，46，50，50，61，72，45，48，则这10名女生仰卧起坐个数不少于50个的频率为()A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.63．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF,连接BF与DE相交于点G，连接CG 与BD相交于点H,下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF,其中正确的结论A．只有①②. B．只有①③. C．只有②③. D．①②③.4．如图1所示，甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20 m/s和v(m/s)，起初甲车在乙车前a (m)处，两车同时出发，当乙车追上甲车时，两车都停止行驶．设x(s)后两车相距y (m)，y与x的函数关系如图2所示．有以下结论：①图1中a的值为500；②乙车的速度为35 m/s；；③图1中线段EF应表示为5005x④图2中函数图象与x轴交点的横坐标为1．其中所有的正确结论是（）A．①④B．②③C．①②④D．①③④5．如图，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分线，PM⊥OB，垂足为点M，PN∥OB，PN与OA相交于点N，那么PMPN的值等于（）A．12B．22C．32D．336．下列图形中，是正方体表面展开图的是（）A．B．C． D．7．如图，△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB于H，有如下五个结论①AE⊥AF；②EF：AF=2：1；③AF2=FH•FE；④∠AFE=∠DAE+∠CFE ⑤ FB：FC=HB：EC．则正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个8．我市某小区开展了“节约用水为环保作贡献”的活动，为了解居民用水情况，在小区随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表：月用水量（吨）8 9 10户数 2 6 2则关于这10户家庭的月用水量，下列说法错误的是（）A．方差是4 B．极差是2 C．平均数是9 D．众数是99．一辆慢车和一辆快车沿相同的路线从A地到B地，所行驶的路程与时间的函数图形如图所示，下列说法正确的有（）①快车追上慢车需6小时；②慢车比快车早出发2小时；③快车速度为46km/h；④慢车速度为46km/h；⑤A、B两地相距828km；⑥快车从A地出发到B地用了14小时A．2个B．3个C．4个D．5个10．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（）A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800xC．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x11．下列运算正确的是（）A．3a2﹣2a2=1 B．a2•a3=a6C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．（a+b）2=a2+2ab+b212．若x＞y，则下列式子错误的是（）A．x﹣3＞y﹣3 B．﹣3x＞﹣3y C．x+3＞y+3 D．x y > 33二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，小红作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积，然后分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积，用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积…，由此可得，第8个正△A8B8C8的面积是_____．14．将半径为5，圆心角为144°的扇形围成一个圈锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为．15．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是_________．16．计算：（﹣2a3）2=_____．17．若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是_____三角形．18．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2=_____°．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”,某市记者开展了一次抽样调查,根据调査结果绘制了如下尚不完整的统计图：根据以上信息解答下列问题:这次接受调查的市民总人数是_______人；扇形统计图中,“电视”所对应的圆心角的度数是_________；请补全条形统计图；若该市约有80万人,请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数.20．（6分）计算：2sin60°+|3﹣3|+（π﹣2）0﹣（12）﹣1 21．（6分）近几年“雾霾”成为全社会关注的话题某校环保志愿者小组对该市2018年空气质量进行调查，从全年365天中随机抽查了50天的空气质量指数（AQI ），得到以下数据：43、62、80、78、46、78、23、59、32、78、86、125、98、116、86、69、28、43、58、87、75、116、178、146、57、26、43、59、77、103、126、159、201、289、315、253、196、102、93、72、56、43、39、44、47、34、31、29、43、1．（1）请你完成如下的统计表；AQI0～50 51～100 101～150 151～200 201～250 300以上 质量等级A （优）B （良）C （轻度污染）D （中度污染）E （重度污染）F （严重污染） 天数（2）请你根据题中所给信息绘制该市2018年空气质量等级条形统计图；（3）请你估计该市全年空气质量等级为“重度污染”和“严重污染”的天数．22．（8分）如图，△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，与CA 的延长线相交于点E ，过点D 作DF ⊥AC 于点F ．（1）试说明DF 是⊙O 的切线；（2）若AC =3AE ，求tan C ．23．（8分）如图，将等边△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EFC ，∠ACE 的平分线CD 交EF 于点D ，连接AD 、AF ．求∠CFA 度数；求证：AD ∥BC ．24．（10分）如图，在平行四边形ABCD 中，24BC AB ==，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点．（1）求证：ABE ∆≌CDF ∆；（2）当AE CE =时，求四边形AECF 的面积．25．（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，点F ，C 是⊙O 上两点，且AF FC CB ==，连接AC ，AF ，过点C 作CD ⊥AF 交AF 延长线于点D ，垂足为D ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若CD=23，求⊙O 的半径．26．（12分）解方程组220y x x y =⎧⎨+-=⎩. 27．（12分）已知边长为2a 的正方形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点Q ，对于平面内的点P 与正方形ABCD ，给出如下定义：如果2a PQ a <<，则称点P 为正方形ABCD 的“关联点”.在平面直角坐标系xOy 中，若A （﹣1，1），B （﹣1，﹣1），C （1，﹣1），D （1，1）.（1）在11,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2132P ⎛ ⎝⎭，(32P 中，正方形ABCD 的“关联点”有_____； （2）已知点E 的横坐标是m ，若点E 在直线3y x =上，并且E 是正方形ABCD 的“关联点”，求m 的取值范围； （3）若将正方形ABCD 沿x 轴平移，设该正方形对角线交点Q 的横坐标是n ，直线31y x =+与x 轴、y 轴分别相交于M、N两点.如果线段MN上的每一个点都是正方形ABCD的“关联点”，求n的取值范围.2022学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、D【答案解析】当k+1=0时，函数为一次函数必与x轴有一个交点；当k+1≠0时，函数为二次函数，根据条件可知其判别式为0，可求得k的值．【题目详解】当k-1=0，即k=1时，函数为y=-4x+4，与x轴只有一个交点；当k-1≠0，即k≠1时，由函数与x轴只有一个交点可知，∴△=（-4）2-4（k-1）×4=0，解得k=2，综上可知k的值为1或2，故选D．【答案点睛】本题主要考查函数与x轴的交点，掌握二次函数与x轴只有一个交点的条件是解题的关键，解决本题时注意考虑一次函数和二次函数两种情况．2、C【答案解析】用仰卧起坐个数不少于10个的频数除以女生总人数10计算即可得解．【题目详解】仰卧起坐个数不少于10个的有12、10、10、61、72共1个，所以，频率=510=0.1．故选C．【答案点睛】本题考查了频数与频率，频率=频数数据总和．3、D【答案解析】解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD．∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形．∴∠A=∠BDF=60°．又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB；②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，即∠BGD+∠BCD=180°，∴点B、C、D、G四点共圆，∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．∴∠BGC=∠DGC=60°．过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．∴CM=CN，则△CBM≌△CDN，（HL）∴S四边形BCDG=S四边形CMGN．S四边形CMGN=1S△CMG，∵∠CGM=60°，∴GM=12CG，CM=32CG，∴S四边形CMGN=1S△CMG=1×12×12CG×32CG=CG1．③过点F作FP∥AE于P点．∵AF=1FD，∴FP：AE=DF：DA=1：3，∵AE=DF，AB=AD，∴BE=1AE，∴FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF．故选D．4、A【答案解析】分析：①根据图象2得出结论; ②根据(75,125)可知：75秒时，两车的距离为125m,列方程可得结论; ③根据图1，线段的和与差可表示EF的长；④利用待定系数法求直线的解析式，令y=0可得结论.详解：①y是两车的距离，所以根据图2可知：图1中a的值为500，此选项正确；②由题意得：75×20+500-75y=125,v=25,则乙车的速度为25m/s,故此选项不正确；③图1中：EF=a+20x-vx=500+20x-25x=500-5x.故此选项不正确；④设图2的解析式为：y=kx+b,把（0,500）和（75,125）代入得：50075125bk b=⎧⎨+=⎩，解得5500kb=-⎧⎨=⎩，∴y=-5x+500,当y=0时，-5x+500=0,x=1,即图2中函数图象与x轴交点的横坐标为1，此选项正确；其中所有的正确结论是①④；故选A.点睛：本题考查了一次函数的应用，根据函数图象，读懂题目信息，理解两车间的距离与时间的关系是解题的关键.5、B【答案解析】过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠POM=∠OPN，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PNE=∠AOB，再根据直角三角形解答．【题目详解】如图，过点P作PE⊥OA于点E，∵OP是∠AOB的平分线，∴PE＝PM，∵PN∥OB，∴∠POM＝∠OPN，∴∠PNE＝∠PON+∠OPN＝∠PON+∠POM＝∠AOB＝45°，∴PMPN2故选：B．【答案点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．6、C【答案解析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【题目详解】解：A、B、D经过折叠后，下边没有面，所以不可以围成正方体，C能折成正方体．故选C．【答案点睛】本题考查了正方体的展开图，解题时牢记正方体无盖展开图的各种情形．7、C【答案解析】由旋转性质得到△AFB≌△AED，再根据相似三角对应边的比等于相似比，即可分别求得各选项正确与否.【题目详解】解：由题意知，△AFB≌△AED∴AF=AE，∠FAB=∠EAD，∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°.∴AE⊥AF，故此选项①正确；∴∠AFE=∠AEF=∠DAE+∠CFE，故④正确；∵△AEF是等腰直角三角形，有2：1，故此选项②正确；∵△AEF与△AHF不相似，∴AF2=FH·FE不正确.故此选项③错误，∵HB//EC，∴△FBH∽△FCE，∴FB:FC=HB:EC，故此选项⑤正确.故选：C【答案点睛】本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练地应用旋转的性质以及相似三角形的性质是解决问题的关键.8、A【答案解析】分析：根据极差=最大值-最小值；平均数指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，以及方差公式S2=1n[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（x n-x）2]，分别进行计算可得答案．详解：极差：10-8=2，平均数：（8×2+9×6+10×2）÷10=9，众数为9，方差：S2=110[（8-9）2×2+（9-9）2×6+（10-9）2×2]=0.4，故选A．点睛：此题主要考查了极差、众数、平均数、方差，关键是掌握各知识点的计算方法．9、B【答案解析】根据图形给出的信息求出两车的出发时间，速度等即可解答．【题目详解】解：①两车在276km处相遇，此时快车行驶了4个小时，故错误．②慢车0时出发，快车2时出发，故正确．③快车4个小时走了276km，可求出速度为69km/h，错误．④慢车6个小时走了276km，可求出速度为46km/h，正确．⑤慢车走了18个小时，速度为46km/h，可得A,B距离为828km，正确．⑥快车2时出发，14时到达，用了12小时，错误．故答案选B．【答案点睛】本题考查了看图手机信息的能力，注意快车并非0时刻出发是解题关键．10、C【答案解析】测试卷分析：此题等量关系为：2×螺钉总数=螺母总数.据此设未知数列出方程即可【题目详解】.故选C.解：设安排x名工人生产螺钉，则（26-x）人生产螺母，由题意得1000（26-x）=2×800x，故C答案正确，考点：一元一次方程.11、D【答案解析】根据合并同类项法则，可知3a2﹣2a2= a2，故不正确；根据同底数幂相乘，可知a2•a3=a5，故不正确；根据完全平方公式，可知（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故不正确；根据完全平方公式，可知（a+b）2=a2+2ab+b2，正确.故选D.【题目详解】请在此输入详解！12、B【答案解析】根据不等式的性质在不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变即可得出答案：A、不等式两边都减3，不等号的方向不变，正确；B、乘以一个负数，不等号的方向改变，错误；C、不等式两边都加3，不等号的方向不变，正确；D、不等式两边都除以一个正数，不等号的方向不变，正确．故选B．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、84【答案解析】根据相似三角形的性质，先求出正△A 2B 2C 2，正△A 3B 3C 3的面积，依此类推△A n B n C n 的面积是，从而求出第8个正△A 8B 8C 8的面积．【题目详解】正△A 1B 1C 1的面积是4， 而△A 2B 2C 2与△A 1B 1C 1相似，并且相似比是1：2，则面积的比是，则正△A 2B 2C 2×14；因而正△A 3B 3C 3与正△A 2B 2C 2的面积的比也是14（14）2；依此类推△A n B n C n 与△A n-1B n-1C n-1的面积的比是14，第n 14）n-1．所以第8个正△A 8B 8C 8的面积是4×（14）7故答案为84．【答案点睛】本题考查了相似三角形的性质及应用，相似三角形面积的比等于相似比的平方，找出规律是关键．14、1【答案解析】考点：圆锥的计算．分析：求得扇形的弧长，除以1π即为圆锥的底面半径． 解：扇形的弧长为：1445180π⨯=4π； 这个圆锥的底面半径为：4π÷1π=1．点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．15、1【答案解析】画出图形，设菱形的边长为x ，根据勾股定理求出周长即可．【题目详解】当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm ，在Rt △ABC 中，由勾股定理：x 2=（8-x ）2+22，解得：x=174, ∴4x=1，即菱形的最大周长为1cm ．故答案是：1．【答案点睛】解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大，然后根据图形列方程．16、4a 1．【答案解析】根据积的乘方运算法则进行运算即可.【题目详解】原式64.a故答案为64.a【答案点睛】考查积的乘方，掌握运算法则是解题的关键.17、直角三角形．【答案解析】根据题意，画出图形，用垂直平分线的性质解答．【题目详解】点O 落在AB 边上，连接CO ，∵OD 是AC 的垂直平分线，∴OC=OA ，同理OC=OB，∴OA=OB=OC，∴A、B、C都落在以O为圆心，以AB为直径的圆周上，∴∠C是直角．∴这个三角形是直角三角形．【答案点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，解题关键是准确画出图形，进行推理证明.18、40【答案解析】如图，∵∠1=50°，∴∠3=∠1=50°，∴∠2=90°﹣50°=40°，故答案为：40.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、(1)1000；(2)54°；（3）见解析；（4）32万人【答案解析】根据“每项人数＝总人数×该项所占百分比”，“所占角度＝360度×该项所占百分比”来列出式子，即可解出答案. 【题目详解】解：(1)400÷40%＝1000(人)(2)360°×1501000＝54°，故答案为：1000人； 54°；(3)1－10%－9%－26%－40%＝15% 15%×1000＝150(人)(4)80×6601000＝52.8(万人)答：总人数为52.8万人.【答案点睛】本题考查获取图表信息的能力，能够根据图表找到必要条件是解题关键.20、1【答案解析】根据特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质进行化简，计算即可．【题目详解】原式=1×33﹣1=1．【答案点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．21、（1）补全统计表见解析；（2）该市2018年空气质量等级条形统计图见解析；（3）29天．【答案解析】（1）由已知数据即可得；（2）根据统计表作图即可得；（3）全年365天乘以样本中“重度污染”和“严重污染”的天数和所占比例．【题目详解】（1）补全统计表如下：质量等级A（优）B（良）C（轻度污染）D（中度污染）E（重度污染）F（严重污染）天数16 20 7 3 3 1（2）该市2018年空气质量等级条形统计图如下：（3）估计该市全年空气质量等级为“重度污染”和“严重污染”的天数为365×3150+≈29天．【答案点睛】本题考查了条形统计图的应用与用样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．22、（1）详见解析；（2）2 tan.2C=【答案解析】（1）连接OD，根据等边对等角得出∠B=∠ODB，∠B=∠C，得出∠ODB=∠C，证得OD∥AC，证得OD⊥DF，从而证得DF是⊙O的切线；（2）连接BE，AB是直径，∠AEB=90°，根据勾股定理得出BE=22AE，CE=4AE，然后在Rt△BEC中，即可求得tanC的值．【题目详解】（1）连接OD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∵AB=AC，∴∠B=∠C ，∴∠ODB=∠C ，∴OD ∥AC ，∵DF ⊥AC ，∴OD ⊥DF ，∴DF 是⊙O 的切线；（2）连接BE ，∵AB 是直径，∴∠AEB=90°，∵AB=AC ，AC=3AE ，∴AB=3AE ，CE=4AE ，∴=，在RT △BEC 中，tanC=42BE CE AE ==． 23、（1）75°（2）见解析【答案解析】（1）由等边三角形的性质可得∠ACB ＝60°，BC ＝AC ，由旋转的性质可得CF ＝BC ，∠BCF ＝90°，由等腰三角形的性质可求解；（2）由“SAS”可证△ECD ≌△ACD ，可得∠DAC ＝∠E ＝60°＝∠ACB ，即可证AD ∥BC ．【题目详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形∴∠ACB ＝60°，BC ＝AC∵等边△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EFC∴CF ＝BC ，∠BCF ＝90°，AC ＝CE∴CF ＝AC∵∠BCF ＝90°，∠ACB ＝60°∴∠ACF ＝∠BCF ﹣∠ACB ＝30°∴∠CFA ＝12（180°﹣∠ACF ）＝75° （2）∵△ABC 和△EFC 是等边三角形∴∠ACB ＝60°，∠E ＝60°∵CD 平分∠ACE∴∠ACD ＝∠ECD∵∠ACD ＝∠ECD ，CD ＝CD ，CA ＝CE ，∴△ECD ≌△ACD （SAS ）∴∠DAC ＝∠E ＝60°∴∠DAC ＝∠ACB∴AD ∥BC【答案点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练运用旋转的性质是本题关键．24、（1）见解析；（2）23 【答案解析】（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD ，BC=AD ，∠B=∠D ，求出BE=DF ，根据全等三角形的判定推出即可； （2）求出△ABE 是等边三角形，求出高AH 的长，再求出面积即可．【题目详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，BC AD =，B D ∠∠=，∵点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，∴1BE BC 2=，1DF AD 2=， ∴BE DF =，在ΔABE 和ΔCDF 中AB CD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ΔABE ≌ΔCDF （SAS ）；（2）作AH BC ⊥于H ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD//BC ，AD BC =，∵点E、F分别是BC、AD的中点，BC2AB4==，∴1BE CE BC22===，1DF AF AD22===，∴AF//CE，AF CE=，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE CE=，∴四边形AECF是菱形，∴AE AF2==，∵AB2=，∴AB AE BE2===，即ΔABE是等边三角形，BH HE1==，由勾股定理得：AH==∴四边形AECF的面积是2=【答案点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定，平行四边形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．25、(2)1【答案解析】测试卷分析：（1）连结OC，由FC=BC，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；（2）连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由AF=FC=BC,得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30°的直角三角形三边的关系得Rt△ACB中，利用含30°的直角三角形三边的关系得BC=3AC=1，AB=2BC=8，所以⊙O的半径为1．测试卷解析：（1）证明：连结OC，如图，∵FC=BC∴∠FAC=∠BAC∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∴∠FAC=∠OCA∴OC ∥AF∵CD ⊥AF∴OC ⊥CD∴CD 是⊙O 的切线（2）解：连结BC ，如图∵AB 为直径∴∠ACB=90°∵AF =FC =BC∴∠BOC=13×180°=60° ∴∠BAC=30°∴∠DAC=30°在Rt △ADC 中，CD=23∴AC=2CD=13在Rt △ACB 中，BC=33AC=33×13=1 ∴AB=2BC=8∴⊙O 的半径为1.考点：圆周角定理, 切线的判定定理，30°的直角三角形三边的关系26、22x y =-⎧⎨=-⎩或11x y =⎧⎨=⎩． 【答案解析】把y=x 代入220x y +-=,解得x 的值，然后即可求出y 的值；【题目详解】把(1)代入(2)得：x 2+x ﹣2＝0，(x +2)(x ﹣1)＝0，解得：x ＝﹣2或1，当x ＝﹣2时，y ＝﹣2，当x ＝1时，y ＝1，∴原方程组的解是22x y =-⎧⎨=-⎩或11x y =⎧⎨=⎩． 【答案点睛】本题考查了高次方程的解法，关键是用代入法先求出一个未知数，再代入求出另一个未知数．27、（1）正方形ABCD 的“关联点”为P 2，P 3；（2）1222m ≤≤或2122m -≤≤-；（3）33233n ≤≤-. 【答案解析】（1）正方形ABCD 的“关联点”中正方形的内切圆和外切圆之间（包括两个圆上的点），由此画出图形即可判断； （2）因为E 是正方形ABCD 的“关联点”，所以E 在正方形ABCD 的内切圆和外接圆之间（包括两个圆上的点），因为E 在直线3y x =上，推出点E 在线段FG 上，求出点F 、G 的横坐标，再根据对称性即可解决问题；（3）因为线段MN 上的每一个点都是正方形ABCD 的“关联点”，分两种情形：①如图3中，MN 与小⊙Q 相切于点F ，求出此时点Q 的横坐标；②M 如图4中，落在大⊙Q 上，求出点Q 的横坐标即可解决问题；【题目详解】（1）由题意正方形ABCD 的“关联点”中正方形的内切圆和外切圆之间（包括两个圆上的点），观察图象可知：正方形ABCD 的“关联点”为P 2，P 3；（2）作正方形ABCD 的内切圆和外接圆，∴OF ＝1，2OG =.∵E 是正方形ABCD 的“关联点”，∴E 在正方形ABCD 的内切圆和外接圆之间（包括两个圆上的点），∵点E 在直线3y x =上，∴点E 在线段FG 上.分别作FF ’⊥x 轴，GG ’⊥x 轴，∵OF ＝1，2OG =∴12OF '=，22OG '=. ∴1222m ≤≤. 根据对称性，可以得出2122m -≤≤-. ∴122m ≤≤212m ≤≤-. （3）∵33M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、N （0，1）， ∴33OM =，ON ＝1. ∴∠OMN ＝60°.∵线段MN 上的每一个点都是正方形ABCD的“关联点”，①MN 与小⊙Q 相切于点F ，如图3中，∵QF ＝1，∠OMN ＝60°， ∴233QM =. ∵33OM =， ∴33OQ =. ∴13,03Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. ②M 落在大⊙Q 上，如图4中，∵2QM =33OM =， ∴32OQ =∴232Q ⎫⎪⎪⎭. 332n ≤≤【答案点睛】本题考查一次函数综合题、正方形的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题.。
2020-2021中国人民大学附属中学初三数学下期中模拟试题带答案
2020-2021中国人民大学附属中学初三数学下期中模拟试题带答案一、选择题1．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ：DB ＝2：3，则下列结论中正确的（ ）A ．23DE BC =B ．25DE BC = C ．23AE AC =D ．25AE EC = 2．如图，线段CD 两个端点的坐标分别为C （1，2）、D （2，0），以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点B 坐标为（5，0），则点A 的坐标为（ ）A ．（2，5）B ．（2.5，5）C ．（3，5）D ．（3，6）3．在Rt ABC ∆中，90,2,1C AC BC ∠=︒==，则cos A 的值是( )A ．255B ．55C ．52D ．124．如图，用放大镜看△ABC ，若边BC 的长度变为原来的2倍，那么下列说法中，不正确的是（ ）．A ．边AB 的长度也变为原来的2倍；B ．∠BAC 的度数也变为原来的2倍； C ．△ABC 的周长变为原来的2倍；D ．△ABC 的面积变为原来的4倍；5．如图，在平行四边形ABCD 中，F 是边AD 上的一点，射线CF 和BA 的延长线交于点E ，如果12C EAF C CDF =V V ，那么S EAF S EBCV V 的值是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．196．已知两个相似三角形的面积比为 4：9，则周长的比为 ( )A ．2：3B ．4：9C ．3：2D ．2:37．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC =8，∠B =∠DAC ，则线段 AC 的长为（ ）A ．43B ．42C ．6D ．48．在小孔成像问题中，如图所示，若为O 到AB 的距离是18 cm ，O 到CD 的距离是6 cm ，则像CD 的长是物体AB 长的（ ）A ．13B ．12C ．2倍D ．3倍9．如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD ，则下列结论成立的是（ ）A ．△PAB ∽△PCA B ．△ABC ∽△DBA C ．△PAB ∽△PDAD ．△ABC ∽△DCA10．如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是»BC上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果70A ∠︒＝，那么DOE ∠的度数为（ ）A ．35︒B ．38︒C ．40︒D ．42︒11．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条边DF ＝50cm ，EF ＝30cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5m ，CD ＝20m ，则树高AB 为（ ）A．12m B．13.5m C．15m D．16.5m12．如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影子长DE＝1.8m，窗户下沿到地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为（）A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m二、填空题13．如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为51-的矩形称作黄金矩形.那么，现将长度为20cm的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是_____cm.14．已知反比例函数21kyx+=的图像经过点(2,1)-，那么k的值是__．15．一天，小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小青的影长为2米，旗杆的影长为20米，若小青的身高为1.60米，则旗杆的高度为__________米.16．利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，使标杆顶端的影子与建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一点E．若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝16米，则建筑物的高AB为_____米．17．如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC=_____．18．如图，直立在点B 处的标杆AB ＝2.5m ，站立在点F 处的观测者从点E 看到标杆顶A ，树顶C 在同一直线上(点F ，B ，D 也在同一直线上)．已知BD ＝10m,FB ＝3m,人的高度EF ＝1.7 m,则树高DC 是________．(精确到0.1 m)19．在ABC ∆中，若45B ∠=o ，102AB =，55AC =，则ABC ∆的面积是______．20．如图，已知两个反比例函数C 1：y ＝1x 和C 2：y ＝13x在第一象限内的图象，设点P 在C 1上，PC ⊥x 轴于点C ，交C 2于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交C 2于点B ，则四边形PAOB 的面积为_____．三、解答题21．如图，一次函数y ＝mx ＋5的图象与反比例函数y ＝k x(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B(4，1)两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为M.(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求△OAM 的面积S ；(3)在y 轴上求一点P ，使PA ＋PB 最小．22．如图，在OABC Y 中，22OA =45AOC ∠=︒，点C 在y 轴上，点D 是BC 的中点，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点A 、D（1）求k 的值；（2）求点D 的坐标．23．如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC=∠ACB=90°，E 为AB 的中点，（1）求证：AC 2=AB•AD ；（2）求证：CE ∥AD ；（3）若AD=4，AB=6，求的值．24．如图，已知反比例函数y ＝k x的图象经过点A (4，m )，AB ⊥x 轴，且△AOB 的面积为2. (1)求k 和m 的值； (2)若点C (x ，y )也在反比例函数y ＝k x 的图象上，当－3≤x ≤－1时，求函数值y 的取值范围．25．如图，已知O 是原点，,B C 两点的坐标分别为()3,1-，()2,1.（1）以点O 为位似中心，在y 轴的左侧将OBC V 扩大为原来的两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形，并写出点,B C 的对应点的坐标；（2）如果OBC V 内部一点M 的坐标为(),x y ，写出点M 的对应点M '的坐标.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】运用平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．【详解】∵AD ：DB =2：3，∴AD AB =25． ∵DE ∥BC ，∴DE BC =AD AB =25，A 错误，B 正确； AE AC =AD AB =25，C 错误； AE EC =AD DB =23，D 错误． 故选B ．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．2．B解析：B【解析】试题分析：∵以原点O 为位似中心，在第一象限内，将线段CD 放大得到线段AB ， ∴B 点与D 点是对应点，则位似比为5：2，∵C （1，2），∴点A的坐标为：（2.5，5）故选B．考点：位似变换；坐标与图形性质．3．A解析：A【解析】【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据余弦函数等于邻边比斜边，可得答案．【详解】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理，得22=5AC BC+∴cosA=255ACAB==，故选A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．4．B解析：B【解析】【分析】根据相似三角形的判定和性质，可得出这两个三角形相似，相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．【详解】解：∵用放大镜看△ABC，若边BC的长度变为原来的2倍，∴放大镜内的三角形与原三角形相似，且相似比为2∴边AB的长度也变为原来的2倍，故A正确；∴∠BAC的度数与原来的角相等，故B错误；∴△ABC的周长变为原来的2倍，故C正确；∴△ABC的面积变为原来的4倍，故D正确；故选B【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．5．D解析：D【解析】分析：根据相似三角形的性质进行解答即可．详解：∵在平行四边形ABCD中，∴AE∥CD，∴△EAF∽△CDF，∵12EAFCDFCCVV，=∴12 AFDF=，∴11123 AFBC==+，∵AF∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴21139EAFEBCSS⎛⎫==⎪⎝⎭VV，故选D.点睛：考查相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.6．A解析：A【解析】【分析】由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知了两个相似三角形的面积比，即可求出它们的相似比；再根据相似三角形的周长比等于相似比即可得解．【详解】∵两个相似三角形的面积之比为4：9，∴两个相似三角形的相似比为2：3，∴这两个相似三角形的周长之比为2：3．故选：A【点睛】本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．7．B解析：B【解析】【分析】由已知条件可得ABC DAC ~V V ,可得出AC BC DC AC =,可求出AC 的长． 【详解】 解：由题意得：∠B =∠DAC ，∠ACB =∠ACD,所以ABC DAC ~V V ，根据“相似三角形对应边成比例”，得AC BC DC AC=，又AD 是中线，BC =8，得DC=4,代入可得AC=42, 故选B.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质．灵活运用相似的性质可得出解答． 8．A解析：A【解析】【分析】作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，根据题意得到△AOB ∽△COD ，根据相似三角形的对应高的比等于相似比计算即可．【详解】作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，由题意得,AB ∥CD ，∴△AOB ∽△COD ，∴CD AB =OF OE =13， ∴像CD 的长是物体AB 长的13. 故答案选：A.【点睛】 本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用.9．B解析：B【解析】【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断．【详解】∵∠APD =90°，而∠P AB ≠∠PCA ，∠PBA ≠∠P AC ，∴无法判定△P AB 与△PCA 相似，故A 错误；同理，无法判定△P AB 与△PDA ，△ABC 与△DCA 相似，故C 、D 错误；∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，∴AB=P A，AC=P A，AD=P A，BD=2P A，∴=，∴，∴△ABC∽△DBA，故B正确．故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．10．C解析：C【解析】【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠BDC=90°，求出∠ACD=90°-∠A=20°，再由圆周角定理得出∠DOE=2∠ACD=40°即可，【详解】连接CD，如图所示：∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=90°-∠A=20°，∴∠DOE=2∠ACD=40°，故选C．【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．11．D解析：D【解析】【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．【详解】∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D，∴△DEF∽△DCB，∴BC DC EF DE=， ∵DF=50cm=0.5m ，EF=30cm=0.3m ，AC=1.5m ，CD=20m ，∴由勾股定理求得DE=40cm ， ∴200.30.4BC =， ∴BC=15米，∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5（米）．故答案为16.5m ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．12．A解析：A【解析】∵BE ∥AD ，∴△BCE ∽△ACD ， ∴CB CE AC CD =，即 CB CE AB BC DE EC=++， ∵BC=1，DE=1.8，EC=1.2 ∴1 1.21 1.8 1.2AB =++ ∴1.2AB=1.8，∴AB=1.5m ．故选A ． 二、填空题13．【解析】【分析】设这个黄金矩形较长的边长是xcm 根据题意得：解方程可得【详解】设这个黄金矩形较长的边长是xcm 根据题意得：解得：x=则这个黄金矩形较短的边长是cm 故答案为：【点睛】考核知识点：黄金分解析：(15-【解析】【分析】设这个黄金矩形较长的边长是xcm ，根据题意得：12202x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解方程可得. 【详解】设这个黄金矩形较长的边长是xcm ，根据题意得：220x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：x= 5，5)(15=-cm．故答案为：(15-【点睛】考核知识点：黄金分割点的应用.理解黄金分割的意义是关键.14．【解析】【分析】将点的坐标代入可以得到-1=然后解方程便可以得到k的值【详解】∵反比例函数y＝的图象经过点（2-1）∴-1=∴k＝−；故答案为k＝−【点睛】本题主要考查函数图像上的点满足其解析式可以解析：32 k=-【解析】【分析】将点的坐标代入，可以得到-1=212k+，然后解方程，便可以得到k的值．【详解】∵反比例函数y＝21kx+的图象经过点（2，-1），∴-1=21 2 k+∴k＝− 32；故答案为k＝−32．【点睛】本题主要考查函数图像上的点满足其解析式，可以结合代入法进行解答15．16【解析】【分析】易得△AOB∽△ECD利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度【详解】解：∵OA⊥DACE⊥DA∴∠CED=∠OAB=90°∵CD∥OE∴∠CDA=∠OBA∴△AOB∽△E解析：16【解析】【分析】易得△AOB∽△ECD，利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度．【详解】解：∵OA⊥DA，CE⊥DA，∴∠CED=∠OAB=90°，∵CD∥OE，∴∠CDA=∠OBA，∴△AOB∽△ECD，∴CE OA16OA,DE AB220==，解得OA=16．故答案为16．16．5【解析】【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD 的长即可【详解】解：∵AB∥CD∴△EBA∽△ECD∴即∴AB＝135（米）故答案为：135【点睛】此题主要考查相似三角形的性质解题解析：5【解析】【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．【详解】解：∵AB∥CD，∴△EBA∽△ECD，∴CD EDAB EB=，即1.52216AB=+，∴AB＝13.5（米）．故答案为：13.5【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质. 17．3:2【解析】因为DE∥BC所以因为EF∥AB所以所以故答案为:3:2 解析：3:2【解析】因为DE∥BC,所以32AD AEDB EC==,因为EF∥AB,所以23CE CFEA BF==,所以32BFFC=,故答案为: 3:2.18．2m【解析】【详解】解：过点E作EM⊥CD交AB与点N∴故答案为52m【点睛】本题是考查相似三角形的判定和性质关键是做出辅助线构造相似三角形利用相似三角形的性质得出结论即可这类题型可以作垂直也可以作解析：2m【解析】【详解】解：过点E 作EM ⊥CD,交AB 与点N.∴,EN AN EAN ECM EM CMV V ~∴= 30.82.5, 1.7,0.8,10,313AB m EF m AN m BD m FB m CM ==∴===∴=Q Q ,()3.47CM m ∴≈ ()1.7 3.47 5.2.CD m ∴=+≈故答案为5.2m ．【点睛】本题是考查相似三角形的判定和性质．关键是做出辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质得出结论即可.这类题型可以作垂直也可以作平行线，构造相似三角形．19．75或25【解析】【分析】过点作于点通过解直角三角形及勾股定理可求出的长进而可得出的长再利用三角形的面积公式即可求出的面积【详解】解：过点作垂足为如图所示在中；在中∴∴或∴或25故答案为：75或25解析：75或25【解析】【分析】过点A 作AD BC ⊥于点D ，通过解直角三角形及勾股定理可求出AD ，BD ，CD 的长，进而可得出BC 的长，再利用三角形的面积公式即可求出ABC ∆的面积．【详解】解：过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，如图所示．在Rt ABD ∆中，sin 10AD AB B =⋅=，cos 10BD AB B =⋅=；在Rt ACD ∆中，10AD =，55AC =∴225CD AC AD =-=，∴15BC BD CD =+=或5BC BD CD =-=， ∴1752ABC S BC AD ∆=⋅=或25． 故答案为：75或25．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，BC的长度是解题的关键．20．【解析】【分析】根据反比函数比例系数k的几何意义得到S△AOC=S△BOD=S矩形PCOD=1然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形PAOB的面积【详解】∵PC⊥x轴PD⊥y轴∴S△解析：2 3【解析】【分析】根据反比函数比例系数k的几何意义得到S△AOC=S△BOD=111236⨯=，S矩形PCOD=1，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形P AOB的面积．【详解】∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，∴S△AOC=S△BOD=11||23⋅=111236⨯=，S矩形PCOD=1，∴四边形P AOB的面积=1﹣2×16=23．故答案为：23．【点睛】本题考查了反比函数比例系数k的几何意义．掌握反比函数比例系数k的几何意义是解答本题的关键．反比函数比例系数k的几何意义：在反比例函数kyx=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．三、解答题21．（1）y=4x；y＝－x＋5（2）2（3）（0，175）【解析】分析：（1）根据待定系数法分别求出反比例函数与一次函数解析式即可；（2）根据反比例函数的性质，xy=k＜直接求出面积即可；（3）作点A关于y轴的对称点N，则N（-1，4），连接BN交y轴于点P，点P即为所求．详解：（1）将B（4，1）代入y＝kx得：1＝4k，∴k=4，∴y＝4x，将B（4，1）代入y=mx+5，得：1=4m+5，∴m=-1，∴y=-x+5，（2）在y＝4x中，令x=1，解得y=4，∴A（1，4），∴S=12×1×4=2，（6分）（3）作点A关于y轴的对称点N，则N（-1，4），连接BN交y轴于点P，点P即为所求．设直线BN的关系式为y=kx+b，由414k bk b＝＝+⎧⎨-+⎩，得35175kb⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，∴y＝−35x+175，∴P（0，175）点睛：此题主要考查了待定系数法求一次函数与反比例函数解析式以及作对称点问题，根据已知得出对称点是解决问题的关键．22．（1）4k=；（2）()1,4D.【解析】【分析】（1）根据已知条件求出A 点坐标即可；（2）四边形OABC 是平行四边形OABC ，则有AB x ⊥轴，可知B 的横纵标为2，D 点的横坐标为1，结合解析式即可求解；【详解】（1）Q OA =45AOC ∠=︒，∴()2,2A ，∴4k =， ∴4y x=； （2）四边形OABC 是平行四边形OABC ，∴AB x ⊥轴，∴B 的横纵标为2，Q 点D 是BC 的中点，∴D 点的横坐标为1，∴()1,4D ；【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质；利用平行四边形的性质确定点B 的横坐标是解题的关键．23．（1）见解析（2）见解析（3）AC 7AF 4=． 【解析】【分析】 （1）由AC 平分∠DAB ，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC ∽△ACB ，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC 2=AB•AD ．（2）由E 为AB 的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=12AB=AE ，从而可证得∠DAC=∠ECA ，得到CE ∥AD ． （3）易证得△AFD ∽△CFE ，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AF CF 的值，从而得到AC AF的值． 【详解】 解：（1）证明：∵AC 平分∠DAB∴∠DAC=∠CAB ．∵∠ADC=∠ACB=90°∴△ADC∽△ACB．∴AD AC AC AB=即AC2=AB•AD．（2）证明：∵E为AB的中点∴CE=12AB=AE∴∠EAC=∠ECA．∵∠DAC=∠CAB ∴∠DAC=∠ECA ∴CE∥AD．（3）∵CE∥AD∴△AFD∽△CFE∴AD AF CE CF=．∵CE=12AB∴CE=12×6=3．∵AD=4∴4AF 3CF =∴AC7 AF4=．24．(1) k＝4， m＝1；(2)当－3≤x≤－1时，y的取值范围为－4≤y≤－4 3 .【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）根据反比例函数系数k的几何意义先得到k的值，然后把点A的坐标代入反比例函数解析式，可求出k的值；（2）先分别求出x=﹣3和﹣1时y的值，再根据反比例函数的性质求解．试题解析：（1）∵△AOB的面积为2，∴k=4，∴反比例函数解析式为4yx=，∵A（4，m），∴m=44=1；（2）∵当x=﹣3时，y=﹣43；当x=﹣1时，y=﹣4，又∵反比例函数4y x =在x ＜0时，y 随x 的增大而减小，∴当﹣3≤x≤﹣1时，y 的取值范围为﹣4≤y≤﹣43． 考点：反比例函数系数k 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．25．（1）如图，OB C ''△即为所求，见解析；点B 的对应点的坐标为()6,2-，点C 的对应点的坐标为()4,2--；（2）点(),M x y 的对应点M '的坐标为()2,2x y --.【解析】【分析】（1）延长BO ，CO 到B′、C′，使OB′、OC′的长度是OB 、OC 的2倍．顺次连接三点即可；（2）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以-2的坐标，所以M 的坐标为（x ，y ），写出M 的对应点M′的坐标为（-2x ，-2y ）．【详解】（1）如图，OB C ''△即为所求，点B 的对应点的坐标为()6,2-，点C 的对应点的坐标为()4,2--.（2）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以-2的坐标，所以M 的坐标为（x ，y ），写出M 的对应点M′的坐标为（-2x ，-2y ）．【点睛】考查了直角坐标系和相似三角形的有关知识，注意做这类题时，性质是关键，看图也是关键．很多信息是需要从图上看出来的．。
北京市人大附中2022-2023学年九年级下学期开学摸底数学试卷(1)
(2)当2a >时，总有m n >，直接写出k 的取值范围．23．如图，在ABC V 中，AB AC =，D 是BC 的中点，点E ，F 在射线AD 上，且DE DF =．(1)求证：四边形BECF 是菱形；(2)点G 为线段BD 的中点，射线EG 交BF 于点H ，若12,8BC EF ==，求线段GH 的长．24．如图，AB 是O e 的直径，C 为O e 上一点，D 为O e 外一点，连接,,,AC BC BD CD ，满足,2BC BD CBD CBA =Ð=Ð．(1)证明：直线CD 为O e 的切线；(2)射线DC 与射线BA 交于点E ，若6AE AB ==，求BD 的长．25．如图1，小兵和小伙伴一起玩扔小石头游戏，我们把小石头的运动轨迹看成是抛物线的一部分．如图2所示，以点O 为原点建立平面直角坐标系．已知扔小石头的出手点A 在点O 正AE BD=，连接AD，CE交于点F；(1)求DFC∠的度数；(2)在线段FC上截取FG FA=，连接BG交AD于点H，根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段BH与GH之间的数量关系，并证明；(3)若等边ABCV是的边长是2，直接写出线段BH的最小值．28．在平面直角坐标系xOy中，对于图形P，图形P¢和直线l给出如下定义：图形P 关于直线l的对称图形为P¢．若图形P与图形P¢均存在点在图形Q内部(包括边界)，则称图形Q为图形P关于直线l的“弱相关图形”．(1)如图，点(1,0)B．A，点(3,0)【分析】（1）根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形BECF是菱形；，求出BG、CG，EG的长度，根据相似三角形（2）由菱形的性质可证得△∽△BGH CGE得性质列出比例式求解即可．【详解】（1）证明：∵AB AC=，D是BC的中点，∴AD BC^，BD CD=，∵DE DF=，∴四边形BECF是平行四边形，∵AD BC^，则EF BC^，∴四边形BECF是菱形；（2）解：∵四边形BECF是菱形，∴CE BF∥，BC，EF互相垂直平分，∴HBG ECGÐ=Ð，Ð=Ð，BGH CGE∴，BGH CGE△∽△∵12BC=，8EF=，∴6DE=，==，4BD DC又∵G为DB的中点，∴3==，BG DG根据题意得：m m n <+，当1,1m m n <-+<-时，12y y <，当1,11m m n <--£+<时，∵12y y >，∴()11m m n --<+--，∴12n m >--，（2）解：BH GH =，证明如下：如图所示，延长FD 到M ，使得FM FC =，连接BM CM ，，∵FM FC =，60MFC =°∠，∴FMC V 是等边三角形，180120AFC MFC =°-=°∠∠，∴60CM CF FCM FMC ===°，∠∠，∵ABC V 是等边三角形，∴60CA CB ACB =Ð=°，，∴ACF BCM =∠∠，∴()SAS ACF BCM △≌△，∴120AF BM BMC AFC ===°，∠∠，∴60BMH BMC CMH =-=°∠∠∠，∴BMH GFH =∠∠，∵AF GF =，∴BM GF =，又∵BHM GHF =∠∠，∴()AAS BHM GHF △≌△，∴BH GH =；。
2021年北京市中国人民大学附属中学九年级下学期零模数学试题
2020-2021学年度第二学期初三年级数学练习22021.4一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．2017年6月北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．近年来，数字技术推动数字贸易兴起，数字贸易在中国国内创造了高达人民币3200000000000元的经济效益．将3200000000000科学计数法表示应为（ ）A ．113.210⨯ B ．130.3210⨯ C ．123.210⨯ D ．123210⨯ 3．随机掷一枚质地均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ） A ．14 B ．13 C ．12D ．1 4．如图，数轴上A ，B 两点对应的数分别是a 和b ，对于以下四个式子： ①2a b -；②a b +；③||||b a -；④ba，其中值为负数的是（ ）A ．①②B ．②④C ．①③D ．③④5．从如图的正方体上截去一个三棱锥，得到一个几何体，如图．从正面看如图的几何体，得到的平面图形是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如果a b +=2b aa a a b⎛⎫-⋅ ⎪-⎝⎭的值为（ ）A ．BC ．3D ．7．将一个边长为4cm 的正方形与一个长，宽分别为8cm,2cm 的矩形重叠在一起，下列四个图形中，重叠部分面积最大的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．为了预防新型冠状病毒的感染，人员之间需要保持一米以上的安全距离，某公司会议室共有四行四列桌椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列不能有连续三人就座．例如右图中第一列所示情况就不满足条件（其中“√”表示就座人员）．根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（ ）A ．12B ．11C ．10D ．9二、填空题（本题共16分，每小题2分）9x 的取值范围是________． 10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，(3,4)A 为O 上一点，B 为O 内一点，请写出一个符合要求的点B 的坐标__________．11．若一个多边形的每个外角都是30︒，则该多边形的边数为__________．12．方程组2128x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是__________．13．如图，这是怀柔地图的一部分，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴正方向建立直角坐标系．规定：一个单位长度表示1km ，北京生存岛实践基地A 处的坐标是(2,0)，A 处到雁栖湖国际会展中心B 处相距4km ，且A 在B 南偏西45︒方向上，则雁梄湖国际会展中心B 处的坐标是________．14．如图，正方形ABCD 是由四个全等的直角三角形围成的，若5CF =，13AB =，则EF 的长为_________．15．在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中：甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%；乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%．对于此次测试，给出下列三个结论：①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率； ③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定． 其中所有正确结论的序号是____________．16．如图，扇形AOB 的圆心角为60︒，半径为2，C 为AB 上一动点，过点C 作CD OB ⊥于D ，连接OC ，则COD 面积的最大值为_________．三、填空题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-24题，每小题6分，第25题5分，第26-28题，每小题7分）17．计算：101(5)6tan604π-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭︒．18．解不等式组：523(2),52.3x x x x -<+⎧⎪+⎨≤⎪⎩19．如图，点F ，G 分别在ADE 的,AD DE 边上，C ，B 依次为GF 延长线上两点，AB AD =，BAF CAE ∠=∠，B D ∠=∠．（1）求证：BC DE =；（2）若35,78B AFB ∠=︒∠=︒，直接写出DGB ∠的度数． 20．已知2240x x +-=，求代数式22(2)(6)3x x x x ----的值． 21．已知关于x 的一元二次方程27110x x m ++-=有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）当m 为负整数时，求方程的两个根．22．如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条射线，,2,90AD BC AD BC ABD =∠=︒∥，E 为AD 的中点，连接BE ．（1）求证：四边形BCDE 为菱形；（2）连接AC ，若AC 平分,1BAD BC ∠=，求AC 的长． 23．在平面直角坐标系xOy 中，对于函数1(0)y x x=>，它的图象是双曲线在第一象限内的一部分，如图1，这条曲线将第一象限分成了三个部分，即曲线上方、曲线下方和曲线上．（1）对于函数1(0)y x x=>的图象而言， ①点(3,1)P 在_________（填“曲线上方”、“曲线下方”、“曲线上”）．②横、纵坐标满足不等式1y x<的点在__________（填“曲线上方”、“曲线下方”“曲线上”） （2）已知0m >，将在第一象限内满足不等式组m y xy x m⎧>⎪⎨⎪<+⎩的所有点组成的区域记为W ． ①当1m =时；请在图2中画出区域W （用阴影部分标示）；②若(1,2),(2,4)A B 两点恰有一个点在区域W 内，结合图象，直接写出m 的取值范围． 24．树叶有关的问题：如图，一片树叶的长是指沿叶脉方向量出的最长部分的长度（不含叶柄），树叶的宽是指沿与主叶脉垂直方向量出的最宽处的长度，树叶的长宽比是指树叶的长与树叶的宽的比值．小何在校园内随机收集了A 树、B 树、C 树三棵的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y （单位：mm ），宽x（单位：mm）的数据，计算长宽比，整理如下表1 A树、B树、C树树叶的长宽比统计表表2 A树、B树、C树树叶的长宽比的平均数、中位数、众数、方差统计表A树、B树、C树树叶的长随变化的情况解决下列问题：（1）写出表2中m，n的值；（2）①小军同学说：“根据以上信息，我能判断C树树叶的长、宽近似相等，”②小华同学说：“从树叶的长宽比的平均数来看，我认为，右图的树叶是B树的树叶．”请分别判断上面两位同学的说法是否合理，并给出你的理由；（3）现有一片长103mm ，宽52mm 的树叶，请在图1中用“★”标示出将该树叶对应的点，判断这片树叶更可能来自于A 、B 、C 中的哪棵树？并给出你的理由． 25．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为BC 上一点，过点E 作O 的切线，分别交,DC AB 的延长线于点F ，G ，连接AE ，交CD 于点P ．（1）求证：EF FP =；（2）连接AD ，若4,8,cos 5AD FG CD F ==∥，求EG 的长． 26．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2224y x mx m =-++-与图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）若点B 的坐标为(3,0)， ①求此时二次函数的解析式；②当2x n ≤≤时，函数值y 的取值范围是13n y --≤≤，求n 的值；（2）将该二次函数图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象，若当21x -≤≤-时，这个新函数的函数值y 随x 的增大而增大，结合函数图象，求m 的取值范围．27．在Rt ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，D ，E 分别是射线CA ，射线BC 上的动点，且满足AD CE =．连接DE ，过点C 作DE 的垂线，垂足为F ，CF 交射线AB 于点G ．（1）如图1，当点D ，E 分别为线段,AC BC 中点时，求证：DE CG =；（2）如图2，当点D ，E 分别在线段AC 与BC 上运动时，用等式表示线段AG 与BE 的数量关系，并证明； （3）如图3，已知2AC =，当点D ，E 分别在线段CA 与BC 的延长线．．．上运动时，若4DF EF =，直接写出此时线段CG 的长．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于已知的点C 和图形W ，给出如下定义：若存在过点C 的直线l ，使之与图形W 有两个公共点P ，Q ，且C ，P ，Q 三点中，某一点．．．恰为另两点所连线段的中点，则称点P 是图形W 的“相合点”．（1）已知点(0,2),(4,0)A B ，线段OA 与线段OB 组成的图形记为W ； ①点123(1,1),(3,1),(3,2)C C C -中，图形W 的“相合点”是__________；②点M 在直线2y x =-+上，且点M 为图形W 的“相合点”，求点M 的横坐标m 的取值范围；（2）O 的半径为r ，直线3y x r =+-与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ，若在线段EF 上存在T 外的一点P ，使得点P 为T 的相合点，直接写出r 的取值范围．2020-2021学年度第二学期初三年级数学练习2参考答案及评分标准一、选择题（每小题2分，共16分）二、填空题（每小题2分，共16分）9．0x ≥ 10．(0,0)（答案不唯一，横纵坐标平方和小于25即可） 11．12 12．23x y =⎧⎨=-⎩13．(2+ 14． 15．②③；（对一个得1分，有错不得分） 16．1三、解答题（共68分，过程与标准答案不同，但合理，即可给分，卷面书写过于混乱的，可在下发答题卡后，在总分里追加．．扣1-5分卷面分） 17．解：原式41=-++ 4分5=+ 5分18．解：原不等式组为523(2),52.3x x x x -<+⎧⎪⎨+≤⎪⎩①②由①得4x <， 2分 由②得1x ≥， 4分∴不等式组的解集为14x ≤<． 5分 19．（1）证明：∵BAF CAE ∠=∠， ∴BAF CAF CAE CAF ∠-∠=∠-∠ ∴BAC DAE ∠=∠． 1分 在ABC 和ADE 中BAC DAEAB ADB D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABC ADE ≌． 3分 ∴BC DE =． 4分 （2）67︒ 5分20．解：原式()2324463x x x x x =-+-+- 2分32324463x x x x x =-+-+- 2243x x =+- 3分∵2240x x +-=，∴224x x += 4分 原式()2223x x =+-2435=⨯-= 5分21．（1）∵一元二次方程有实根，∴494(11)540m m ∆=--=+≥ 1分解得54m ≥-； 2分 （2）∵54m ≥-且m 为负整数， ∴1m =-； 3分 此时方程为27120x x ++= 4分解得123,4x x =-=-． 5分22．（1）证明：∵2AD BC =，E 为AD 的中点，∴BC ED =．∵AD BC ∥∴四边形BCDE 为平行四边形． 1分∵90ABD ∠=︒，E 为AD 的中点， ∴12BE AD ED ==． 平行四边形BCDE 为菱形； 2分（2）解：如图，连接CE ，设AC 与BE 交于M ．与（1）同理可证四边形ABCE 为平行四边形．∴AC 平分BAD ∠，∴12∠=∠．∵//AD BC ，∴23∠=∠．∴13∠=∠．∴AB BC =． 3分∴平行四边形ABCE 为菱形；∴,2,AC BE AC MC BC EC ⊥==．在菱形BCDE 中，BC BE =．∴BC BE EC ==，∴BCE 为等边三角形． ∴13302BCE ∠=∠=︒． 4分 在Rt BMC 中，1BC =∴AC = 5分23．（1）①曲线上方 1分②曲线下方 2分（2）①如下图 3分②18m <<且2m ≠． 6分24．（1） 2.1m =， 2.0n =． 2分（2）①合理，理由合理即可． 3分②不合理，理由合理即可． 4分（3）5分来自B 树，理由合理即可． 6分25．（1）证明：连接OE ，∵EF 是O 的切线，∴OE EF ⊥． 1分∴90OEF ∠=︒．∴90OEA AEF ∠+∠=︒∵CD AB ⊥于H ，∴90AHC ∠=︒．∴90OAE APH ∠+∠=︒．∵OA OE =，∴OAE OEA ∠=∠．∴AEF APH ∠=∠． 2分∵APH EPF ∠=∠，∴EPF AEF ∠=∠∴EF PF =． 3分（2）解：连接OD ，设O 的半径为r ，∴直径AB CD ⊥于H ，8CD =，∴4CH DH ==．∵//AD FG ,∴D F ∠=∠． ∴4cos cos 5D F ==． ∴5cos CH AD D==． 4分∴3AH ==． ∴3OH OA AH r =-=-．∵在Rt ODH 中，222OH DH OD +=，∴()22234r r -+=． ∴256OE r ==． 5分 ∵90,90F G G GOE ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴GOE F ∠=∠． ∴4cos 5GOE ∠=． ∴3tan 4GOE ∠=．∴25tan 8EG OE GOE =⋅∠=． 6分26．（1）①二次函数为2()4y x m =--+，对称轴为x m =．令3x =有：2(3)40m --+=，解得：1m =或5m =． 1分∵(3,0)B 为该二次函数图象与x 轴靠右侧的交点，∴点B 在对称轴右侧，∴3m <，故1m =．∴二次函数解析式为223y x x =-++．（2(1)4y x =--+亦可）2分②由于二次函数开口向下，且对称轴为1x =．∴2x n ≤≤时，函数值y 随x 的增大而减小；∴当2x =时，函数取得最大值3；当x n =时，函数取得最小值2231n n n -++=--， 3分∴在2n >范围内解得4n =． 4分（2）令0y =，得2()40x m --+=，解得12x m =-，22x m =+，将函数图象在x 轴上方的部分向下翻折后，新的函数图象增减性情况为：当2x m ≤-时，y 随x 的增大而增大，当2m x m -≤≤时，y 随x 的增大而减小，当2m x m ≤≤+时，y 随ⅹ的增大而增大，当2x m ≥+时，y 随x 的增大而减小．因此，若当21x -≤≤-时，y 随x 的增大而增大，结合图象有：①12m -≤-，即1m ≥时符合题意；②2m ≤-且12m -≤+，即32m -≤≤-时符合题意．综上，m 的取值范围是32m -≤≤-或1m ≥． 7分27．（1）证明：∵点D ，E 分别为,AC BC 中点， ∴12DE AB =且//DE AB 1分∵CG DE ⊥，∴CG AB ⊥．∵,90AC BC ACB =∠=︒，∴由三线合一，G 为AB 中点， ∴12CG AB =． ∴CG DE =． 2分（2）AG =， 3分证明：过点D 作AC 的垂线，交AB 于点H ，连接CH ．∵,90AC BC ACB =∠=︒，∴45A B ∠=∠=︒．∵AD DH ⊥，∴90ADH ∠=︒．∴45AHD A ∠=︒=∠．∴DH AD =．∵AD CE =，∴DH CE =．∵,90CD CD ACB CDH =∠=∠=︒，∴DCE CDH ≌． 4分∴DCH CDE ∠=∠．∵CG DE ⊥，∴90CFE ∠=︒．∴90BCG CED ∠+∠=︒．∵90CDE CED ∠+∠=︒，∴BCG CDE ∠=∠．∴DCH BCG ∠=∠．∴ACH BCG ≌．∴AH BG =．∵,BG AH AB ====∴AG AB BG =-==． 6分（3） 7分28．（1）①13,C C ． 2分②解：研究图形W 的“相合点”的分布情况：a ）在第一象限内，图形W 的“相合点”为以(0,0),(2,1)为对角顶点的各边与坐标轴垂直的矩形及其内部区域；b ）在第二象限内，图形W 的“相合点”为以(0,0),(4,4)-为对角顶点的各边与坐标轴垂直的矩形及其内部区域；c ）在第四象限内，图形W 的“相合点”为以(0,0),(8,2)-为对角顶点的各边与坐标轴垂直的矩形及其内部区域；结合图形，直线2y x =-+上图形W 的“相合点”M 的橫坐标取值范围是20m -≤≤或14m ≤≤． 5分（2）39112r --≤<或92r +>． 7分。
2021-2021第二学期人大附中九年级开学模底考数学答案 (2)
ab 3 2021-2021 学年度第二学期初三年级数学练习 1参考答案及评分标准一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）1 2 3 4 5 6 7 8 CBBDACBD二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）9．x ≠ 2 ； 10． 1；11．b (a + 2)2； 312．5，10；（第一空 1 分，第二空 2 分） 13．450 = 450-15 ； 101.2x x14．60°，40°；（第一空 1 分，第二空 2 分）15．②③④ ；（每对一个得 1 分，有错不得分） 16．（1）直径所对的圆周角为 90°；（2） ；（3）垂线段最短. （每空 1 分）三、解答题（共 52 分，过程与标准答案不同，但合理，即可给分）17．解：原式 == 1+ -1-2 - 3⋅ 33-2………… 4 分………… 5 分⎧2( x -1) + 3 < 3x ①, 18．解：原不等式组为⎪⎨ x - 2+ 4 > x ②. ⎩⎪ 3由①得 x > 1 ， ………… 2 分 由②得x < 5 ， ………… 4 分 ∴ 不等式组的解集为1 < x < 5 .………… 5 分k⎩⎨ 19．（1）证明：∵ 平行四边形 ABCD ，∴ DC //AB 即 DF //EB . 又∵ DF =EB ，∴ 四边形 BFDE 是平行四边形. ………… 1 分∵ DE ⊥AB ， ∴ ∠DEB =90°，∴ 平行四边形 BFDE 是矩形.………… 2 分（2）证明：∵ 矩形 BFDE ， ∴ ∠BFC =90°.∵ CF =3，BF =4，∴ BC == 5 . ………… 3 分∵ 平行四边形 ABCD ， ∴ AD =BC =5. 又∵ DF =5， ∴ AD =DF ， ∴ ∠DAF =∠DFA . ………… 4 分∵ DC //AB ， ∴ ∠DFA =∠FAB . ∴ ∠DAF =∠FAB ∴ AF 平分∠DAB .………… 5 分20．（1）解：∵ 点 A （1，4），B （3，m ）在 y 1 = 上，x∴ 1⨯ 4 = 3m = k ， ………… 1 分 4 解得 m = ，………… 2 分3（2）① 若 m =2，则 B （3，2）.∵ 点 A （1，4），B （3，2）在 y 2 = ax + b 上，⎧4 = a + b ∴ ⎨2 = 3a + b ，………… 3 分解得⎧a = -1，故 y ⎩b = 521 = - x + 5 .………… 4 分② m ≥. ………… 6 分2CF 2 + BF 221．（1）10, 0.28；…………2 分（2）6.15；………… 3 分（3）甲、甲；………… 5 分（4）2.8 . ………… 6 分22．（1）解：连接OC，在⊙O 中，∵ OB=OC，∴ ∠B=∠OCB.∵ CF=EF，∴ ∠FCE=∠FEC.∵ ∠FEC=∠BED，∴ ∠FCE=∠BED.∵ DE⊥AB，∴ ∠BED+∠B=90°.∴ ∠FCE+∠OCB=90°，即∠OCF=90°. ∴ 半径OC⊥CF.∴ CF 是⊙O 的切线.O DBEC∴直线CF 与⊙O 的公共点个数为1 个. ………… 2 分（2）解：∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACB=90°.∴ tan A =BC=4. ①AC 3∵ AB=2AO=10，∴ AC2 +BC2 =AB2 =100 . ②∴由①，②得：AC=6，BC=8. ………… 3 分∵ ∠A+∠B=90°，∠BED+∠B=90°，∴ ∠A=∠BED.∵ OA=OC，∠FCE=∠FEC=∠BED，∴ ∠A=∠OCA=∠FCE=∠FEC.PABOx图③Q C∴ △FEC ∽ △OAC ． ∴OC =CF. ………… 4 分AC CE∵ E 为 BC 中点， ∴ BE =CE =4. ∵ OC =5，AC =6， ∴ CF =10 . ………… 5 分323．（1）（0，3a ） ………… 1 分 （2）正确.………… 2 分当a > 0 时，令 y = 0 ，得ax 2- 4ax + 3a = 0 ，解得 x = 1 ， x = 3 .12∴ 二次函数的图象与 x 轴的交点为 A （1，0），B （3，0）， ∴ AB =2，OC =3a ， S = 1AB ⋅OC = 3a .2∴ S 与 a 满足正比例函数关系. ………… 3 分（3）解：当a > 0 时，如图①， a = 1 ，点 P 和点 A 重合时，抛物线与线段 PQ 恰有 1 个公共点， 如图②， a = 3 ，点 P 和点 B 重合时，抛物线与线段 PQ 有 2 个公共点， 结合图象得：1 ≤ a < 3 . 当a < 0 时，如图③， a =- 3，当点 Q 与点 C 重合时，抛物线与线段 PQ 恰有 1 个公共点.2结合图象得： - 3≤ a < 0 .2综上，a 的取值范围是- 3≤ a < 0 或1 ≤ a < 3 .………… 6 分2yx数学答案及评分标准 第 4 页（共 6 页 yCO A PBxQ图① yQ OABP图②3 24．（1）解：∵ l ⊥AC ，∠BAC =90°， ∴ ∠ACE =∠BAC =90°. ∴ l ∥AB 即 DE ∥AB . ∵ DE =AB ，∴ 四边形 ABDE 是平行四边形. ………… 1 分∴ BD ∥AE . ∴ ∠DBF =∠FBA . ∵ BF 平分∠DBA ， ∴ ∠ABF =∠DBF =∠FBA . ∴ AF =AB =3.∵ AC =AB =3，∠CAE =30°∴ AE =AC = 2 .cos ∠CAE∴ EF = AE - AF = 2 3 - 3 .………… 2 分（2）① 如下图.………… 3 分② 线段 AG ，CD ，EF 的数量关系为：AG + CD = EF . ………… 4 分证明如下：在 DC 的延长线上取点 H ，使 CH =AG ，连接 AH 与 BF 交于点 M ，与 BD 交于 N . ∵ CH =AG ，AB =AC ，∠BAC =∠ACH =90°， ∴ △ACH ≌ △BAG .∴ ∠CAH =∠ABF . ∵ ∠CAH +∠BAH =90°， ∴ ∠ABF +∠BAH =90°. ∴ AH ⊥BF . ∵ BF 平分∠DBA ， ∴ ∠DBF =∠ABF ， ∴ ∠ANB =∠HAB . ∴ BN =BA .DABFGF N G………… 5 分M2 ∵ 由（1）得：AB =AF ， ∴ BN =AF .∵ ABDE 是平行四边形， ∴ BD =AE .∴ BD - BN = AE - AF . ∴ EF =DN . ………… 6 分∵ AB ∥l ， ∴ ∠DHN =∠NAB .∵ ∠NAB =∠ANB =∠DNH ， ∴ ∠DHN =∠DNH . ∴ DH =DN .∵ EF =DN ，D H = DC + CH = CD + AG ， ∴ AG + CD = EF .………… 7 分25．（1）① Q 1 ；………… 1 分 ② -2 ≤ m ≤ 2 - 2 或 2 ≤ m ≤ 2 + 2 2 ；………… 4 分（2）-2 ≤ t ≤ -2 或 2 - 2 ≤ t ≤ 6 . ………… 7 分3 2。
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一、选择题（本题共35分，第1-9题，每小题3分，第10-13题，每小题2分，请将你认为
正确的选项填在电脑答题页面的规定位置） 第1-13题均有四个选项，符合题意的选项只有．．
一个. 1．近期，新型冠状病毒感染肺炎的疫情在全国蔓延，全国人民团结一致，全力抗击新型冠状病毒感染肺炎。
多国政府官员及机构高度赞赏并支持中国政府抗击疫情的有力措施，表示对中国早日战胜疫情充满信心，社会各界人士积极捐款。
截止2月5日中午12点，武汉市慈善总会接收捐赠款约3230000000元。
14亿中国人民众志成城、行动起来、战斗起来，一定能打赢这场疫情防控阻击战！将3230000000用科学记数法表示应为（ ）． A ．323×107 B ．32.3×108 C ．3.23×109 D ．3.23×1010 2．下列图形中，不是轴对称图形的是
A ．
B ．
C ．
D ．
3．将抛物线y = x 2的图象向右平移3个单位后得到的图象的表达式是（ ）．
A ．=-y x 32
)( B ．=+y x 32
)
(
C ．=+y x 32
D ．=-y x 32
4．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与 ⊙O 交于点D ，连结OD ．若∠C ＝50°，则∠AOD 的度数为（ ）． A ．40° B ．50° C ．80° D ．100° 5．用配方法解一元二次方程--=x x 6202以下正确的是（ ）．
A ．-=x (3)22
B ．-=x (3)112
C ．+=x (3)112
D ．+=x (3)22
人大附中初三下数学摸底考试题
6．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1,2)，如果射线OA 与x 轴正半轴的夹角为
α，那么sin α的值是（ ）． A
B
C ．1
2
D ．2
7．袋子中有42个除颜色外完全相同的小球. 在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录颜色后放回，将球摇匀. 重复上述过程180次后，共摸到红球30次，由此可以估计口袋中的红球个数是（ ）．
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9 8．已知点A (2，3)在反比例函数(0)k
y k x
=≠的图象上，当x ＞－2时，则y 的取值范围是（ ）．
A ．3y >-
B ．3y <-或0y >
C ． 3y <-
D ．3y >-或0y > 9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，∠A =30°， CD
O 的直径的长为（ ）．
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
10．满足不等式组3(21)21,587
x x x x -≥+⎧⎪
+⎨≥⎪⎩的所有解的最大值和最小值的和是（ ）．
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
11．已知二次函数y ＝(a －1)x 2＋3ax ＋1图象上的四个点的坐标为A (x 1，m )，B (x 2，m ) ，
C (x 3，n ) ，
D (x 4，n ) ，其中m <n .下列结论可能正确的是( )． A ．若a >32，则x 1<x 2<x 3<x 4 B ．若a >3
2，则x 4<x 1<x 2<x 3
C ．若a <－32，则x 1<x 3<x 2<x 4
D ．若a <－3
2，则x 3<x 2<x 1<x 4
12．全国人民每天都很关心新型冠状病毒感染肺炎的全国疫情和湖北疫情，下面是2020年2
月7日小明在网上看到的2020年2月6日有关全国和武汉的疫情统计图表：
图1 全国疫情趋势图 图2 新增确诊病例趋势图
根据统计图表提供的信息，下列推断不合理．．．的是（ ）． A ．从图1可得出在2月6日的全国确诊病例达到 3万多，是“非典”确诊病例（共5327例）的若干倍，说明新型冠状病毒比“非典”病毒传染性强． B ．从图2可得出在2月6日新增病例出现下降，说明此时全国的累计确诊病例开始下降，肺炎疫情得到控制，政府和人民的防疫工作有了显著成效． C ．从图2在2月6日新增病例出现下降，可以估计2月6
的单日增长率会低于10%．
D ．从表1
造成的，缓和．
13．如图，抛物线2815y x x =-+与x 轴交于轴与x 轴交于点C ，点D （0，－2），点E 是平面内一动点，且满足∠DPE ＝90°， M 点，连结CM ．则线段CM 的最大值是（ A ．3 B ．2
C ．7
2
D ．5
二、填空题（本题共18分，每小题314．点（2，-4）关于原点对称的点的坐标为 ．
15．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，DE ∥BC ．
若6AE =，3EC =，10DE =，则BC = ． 161
12tan 602sin 302-⎛⎫
︒+-︒ ⎪⎝⎭
=____________． 17．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴上，
点A （5，0），sin ∠COA ＝
4
5．若反比例函数(0)k y k x
=≠经 过点C ，则k 的值等于________
E
D C
B
A
()
∙
表1：2月6日部分省市确诊病例表。