循环码与BCH码
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(cn-2xn-2+…+ c1x+ c0) 2 考虑到cn-1 2 ＝ cn-1，上式包括2作系数的第二项 乘积为0，将第三项类似地逐步展开，就可以 得出 C2(x)＝ cn-1x2(n-1)+ cn-2x2(n-2) +…+ c1x 2 + c0=C(x2)
• 生成多项式 在(n,k)循环码的2k个码字中，
取一个前k-1位皆为0的码字，此码字对应有 一个次数最低，且为n-k=r的多项式g(x)，其 它码字所对应的码多项式都是g(x)的倍式， 则称g(x)生成该码，并且称g(x)为该码的生成 多项式。
可见生成多项式具有以下特征：
g(x)= xr+ gr-1xr-1 +… + g2x2+ g1x+ g0 g0≠ 0 r=n-k
＝7。
多项式同余 它和数的同余类似。例如，用 x7+1 除
x7+x6+x5＋x3 所得余式，和用 x7+1 除 x6+x5＋x3＋
1
所得余数式相同，即： x7
x6 x5 x7 1
x3
1
x6
x5 x3 x7 1
1
我们就称 x7+x6+x5＋x3 和 x6+x5＋x3＋1 关于 x7+1
同余，并记为
的码多项式，即下面关系式成立：
x(cn-1xn-1+ cn-2xn-2+…+ c1x+ c0) = cn-1xn+ cn-2xn-1+…+ c1x2+ cnx ≡ cn-2xn-1+ cn-3xn-2+…+ c1x2+ cnx+ cn-1 mod(xn+1)
• (n,k)循环码的每个码字必处在以xn+1为模运算 的剩余类的某一类中。
并且减法就是加法。加法符号为“ “+”。
”或简记为
例6-2 试证明对上述二元域上码多项式C(x), 有C2(x)＝ C(x2)
证：因 C2wenku.baidu.comx)＝ (cn-1xn-1+ cn-2xn-2+…+ c1x+ c0) 2 =(cn-1xn-1) 2+ 2cn-1xn-1( cn-2xn-2+…+ c1x+ c0) +
则 C1=[cn-2, cn-3,…, c0, cn-1]
C2=[cn-3, cn-4,…, cn-1, cn-2]
……
Cn-1=[c0, cn-1,…, c2, c1]都是码字
例如，第五章中表5-2中所列的(7,3)码，就是具有这 种循环特性的循环码。（P176）
关于循环码强调两点：
1、本书讨论的循环码首先是一个线性分组码。
• 如果g(x)为(n,k)循环码的最低次多项式，即 生成多项式时，xg(x), x2g(x),…, xk-1g(x)都是 码字，这k个码字是独立的，故可作为码的一 组生成基底，使每个码多项式都是这一组基 底的线性组合。例如P176例5-1
由此看来，找到合适的g(x)是构造循环码的 关键。在这方面需要用到有限域的知识。
加法
乘法
0+0＝0
0*0＝0
0+1＝1
0*1＝0
1+0＝1
1*0＝0
1+1＝0
1*1＝1
系数在GF(2)中的多项式叫做二元域上的多项式。
二元域上多项式的加减乘除等运算在原理上和普 通代数多项式的运算相同。例如：对码字多项式
C(x)=cn-1xn-1+ cn-2xn-2+…+ c1x+ c0有 xi+ xi＝0, ci+ ci＝0, ci2=ci . ci＝ci
x7+x6+x5＋x3 x6+x5＋x3＋1 mod(x7+1)
•实际上，将(n,k)循环码的一个码字C=[cn-1, cn-2,…, c1, c0] 所对应的码多项式循环左移一位，即相当于
对码多项式乘以x并除以xn+1后所得的余式，刚好是
将码字C循环移位一次后所得码字(cn-2, cn-3,…, c0,cn-1)
第六章 循环码与BCH码
第一节 基本定义
• 循环码是线性分组码中应用最广泛的一 类码。它有两个重要的特点：
1、码的结构可以用代数方法来表示、 分析和构造。
2、利用循环特性，可以用循环反馈 移位寄存器来构造较为简单方便的编 码器和译码器。
循环码：设C是码长为n，信息位为k,监督位
为r的(n,k)线性分组码的任意一个码字，如果 C的每一次循环移位也是码字，则把具有这种 循环移位特点的码称为循环码(Cyclic Codes)。 即如果 C=[cn-1, cn-2,…, c1, c0]是一个码字
• 当域中元素为有限数p时，称为有限域或p 元域，有限域理论是由数学家伽罗华 （Galols）所创立的，因此又称为伽罗华 域，并记为GF(p)。
• 普通代数中全体有理数的集合叫有理域， 全体实数的集合叫实数域。全体复数的集 合叫复数域。它们都是无限域。
• 经常用到的有限域是二元域GF(2)，它有两 个元素“0”和“1”，其加法和乘法分别为：
例如：码字C=[0010111]所对应的码多项式为 C(x)=x4+ x2+ x+1
假如已知码多项式C(x)=x7+ x3+ x+1，则可求 出对应的码字C=10001011
首一多项式 首项系数为 1 的多项式。如 f(x)= x7+1。
我们把多项式 f(x)的最高次数记为 0 f(x)。此处0 f(x)
2、循环码具有循环移位特性。 例6-1：判断下面三组码字的特点。
000
C1=
110 011
101
000
C2=
100 011
111
000
C3=
100 010
001
C1是线性循环码，C2是非循环的线性分组码， C3是非线性的循环码。
码多项式 与n重码相对应的n-1次多项式 C(x)=cn-1xn-1+ cn-2xn-2+…+ c1x+ c0 [6-1] 称为码多项式。
第二节 有限域中的运算规则
• 运算自封：一个集合中的元素经过某种运算（例 如加减乘除）后仍为集合中的元素时，称为运算 自封。
• 域：运算自封元素的集合叫做域F（Field）。域中 的元素相加a+b和相乘ab满足下列关系：
A0:对 a,b F,a+b=c 存在且 唯一，c F A1:(a+b)+c=a+(b+c) A2:b+a=a+b A3:域中有 0 元，且对任意 a 有 a+0=0＋a＝a
A4:对任意 a 有负元存在且 a+(-a)=(-a)＋a＝0
M0:对 a,b F,a+b=c 存在且 唯一，c F M1:(ab)c=a(bc) M2:ba=ab M3:域中有 1 元，且对任意 a 有 a1=1a＝a M4:对任意 a 0 有异元 a-1 且 a a-1= a-1a＝1
D：满足分配律a(b+c)=ab+ac,(a+b)c=ac+bc
• 生成多项式 在(n,k)循环码的2k个码字中，
取一个前k-1位皆为0的码字，此码字对应有 一个次数最低，且为n-k=r的多项式g(x)，其 它码字所对应的码多项式都是g(x)的倍式， 则称g(x)生成该码，并且称g(x)为该码的生成 多项式。
可见生成多项式具有以下特征：
g(x)= xr+ gr-1xr-1 +… + g2x2+ g1x+ g0 g0≠ 0 r=n-k
＝7。
多项式同余 它和数的同余类似。例如，用 x7+1 除
x7+x6+x5＋x3 所得余式，和用 x7+1 除 x6+x5＋x3＋
1
所得余数式相同，即： x7
x6 x5 x7 1
x3
1
x6
x5 x3 x7 1
1
我们就称 x7+x6+x5＋x3 和 x6+x5＋x3＋1 关于 x7+1
同余，并记为
的码多项式，即下面关系式成立：
x(cn-1xn-1+ cn-2xn-2+…+ c1x+ c0) = cn-1xn+ cn-2xn-1+…+ c1x2+ cnx ≡ cn-2xn-1+ cn-3xn-2+…+ c1x2+ cnx+ cn-1 mod(xn+1)
• (n,k)循环码的每个码字必处在以xn+1为模运算 的剩余类的某一类中。
并且减法就是加法。加法符号为“ “+”。
”或简记为
例6-2 试证明对上述二元域上码多项式C(x), 有C2(x)＝ C(x2)
证：因 C2wenku.baidu.comx)＝ (cn-1xn-1+ cn-2xn-2+…+ c1x+ c0) 2 =(cn-1xn-1) 2+ 2cn-1xn-1( cn-2xn-2+…+ c1x+ c0) +
则 C1=[cn-2, cn-3,…, c0, cn-1]
C2=[cn-3, cn-4,…, cn-1, cn-2]
……
Cn-1=[c0, cn-1,…, c2, c1]都是码字
例如，第五章中表5-2中所列的(7,3)码，就是具有这 种循环特性的循环码。（P176）
关于循环码强调两点：
1、本书讨论的循环码首先是一个线性分组码。
• 如果g(x)为(n,k)循环码的最低次多项式，即 生成多项式时，xg(x), x2g(x),…, xk-1g(x)都是 码字，这k个码字是独立的，故可作为码的一 组生成基底，使每个码多项式都是这一组基 底的线性组合。例如P176例5-1
由此看来，找到合适的g(x)是构造循环码的 关键。在这方面需要用到有限域的知识。
加法
乘法
0+0＝0
0*0＝0
0+1＝1
0*1＝0
1+0＝1
1*0＝0
1+1＝0
1*1＝1
系数在GF(2)中的多项式叫做二元域上的多项式。
二元域上多项式的加减乘除等运算在原理上和普 通代数多项式的运算相同。例如：对码字多项式
C(x)=cn-1xn-1+ cn-2xn-2+…+ c1x+ c0有 xi+ xi＝0, ci+ ci＝0, ci2=ci . ci＝ci
x7+x6+x5＋x3 x6+x5＋x3＋1 mod(x7+1)
•实际上，将(n,k)循环码的一个码字C=[cn-1, cn-2,…, c1, c0] 所对应的码多项式循环左移一位，即相当于
对码多项式乘以x并除以xn+1后所得的余式，刚好是
将码字C循环移位一次后所得码字(cn-2, cn-3,…, c0,cn-1)
第六章 循环码与BCH码
第一节 基本定义
• 循环码是线性分组码中应用最广泛的一 类码。它有两个重要的特点：
1、码的结构可以用代数方法来表示、 分析和构造。
2、利用循环特性，可以用循环反馈 移位寄存器来构造较为简单方便的编 码器和译码器。
循环码：设C是码长为n，信息位为k,监督位
为r的(n,k)线性分组码的任意一个码字，如果 C的每一次循环移位也是码字，则把具有这种 循环移位特点的码称为循环码(Cyclic Codes)。 即如果 C=[cn-1, cn-2,…, c1, c0]是一个码字
• 当域中元素为有限数p时，称为有限域或p 元域，有限域理论是由数学家伽罗华 （Galols）所创立的，因此又称为伽罗华 域，并记为GF(p)。
• 普通代数中全体有理数的集合叫有理域， 全体实数的集合叫实数域。全体复数的集 合叫复数域。它们都是无限域。
• 经常用到的有限域是二元域GF(2)，它有两 个元素“0”和“1”，其加法和乘法分别为：
例如：码字C=[0010111]所对应的码多项式为 C(x)=x4+ x2+ x+1
假如已知码多项式C(x)=x7+ x3+ x+1，则可求 出对应的码字C=10001011
首一多项式 首项系数为 1 的多项式。如 f(x)= x7+1。
我们把多项式 f(x)的最高次数记为 0 f(x)。此处0 f(x)
2、循环码具有循环移位特性。 例6-1：判断下面三组码字的特点。
000
C1=
110 011
101
000
C2=
100 011
111
000
C3=
100 010
001
C1是线性循环码，C2是非循环的线性分组码， C3是非线性的循环码。
码多项式 与n重码相对应的n-1次多项式 C(x)=cn-1xn-1+ cn-2xn-2+…+ c1x+ c0 [6-1] 称为码多项式。
第二节 有限域中的运算规则
• 运算自封：一个集合中的元素经过某种运算（例 如加减乘除）后仍为集合中的元素时，称为运算 自封。
• 域：运算自封元素的集合叫做域F（Field）。域中 的元素相加a+b和相乘ab满足下列关系：
A0:对 a,b F,a+b=c 存在且 唯一，c F A1:(a+b)+c=a+(b+c) A2:b+a=a+b A3:域中有 0 元，且对任意 a 有 a+0=0＋a＝a
A4:对任意 a 有负元存在且 a+(-a)=(-a)＋a＝0
M0:对 a,b F,a+b=c 存在且 唯一，c F M1:(ab)c=a(bc) M2:ba=ab M3:域中有 1 元，且对任意 a 有 a1=1a＝a M4:对任意 a 0 有异元 a-1 且 a a-1= a-1a＝1
D：满足分配律a(b+c)=ab+ac,(a+b)c=ac+bc