循环码与BCH码
循环码BCH码卷积码
输标02入题
循环码是一种线性码，其编码和译码算法相对简单， 适用于短距离通信和存储。
01
03
卷积码是一种动态纠错码，其编码算法相对复杂，但 具有较好的纠错性能和较高的编码增益，适用于高速
数据传输和信道条件较差的情况。
04
BCH码是一种基于有限域的循环码，具有较好的纠错 能力和编码效率，适用于长距离通信和存储。
过程
在每次迭代中，根据校验矩阵和接收到的码 字计算错误位置和错误值，然后对错误位置 进行纠正，重复迭代直到所有错误都被纠正 或达到最大迭代次数。
02 BCH码
定义与特性
定义
BCH码（Bose-Chaudhuri-Hocquenghem）是一种纠错码，用于检测和纠正传输过 程中的错误。
特性
BCH码具有循环特性和有限域特性，可以在有限域上构造出各种码长和码率的线性分 组码。
参数选择
码长
码长是BCH码的一个重要参数，它决定了纠错能力和 编码复杂度。
码率
码率是BCH码的另一个重要参数，它表示在传输过程 中每比特信息所占用的编码位数。
纠错能力
纠错能力是指BCH码能够纠正的错误位数，与码长和 码率有关。
BCH码的编码
生成多项式
BCH码的编码过程涉及到生成多项式，它是一个用于生成编码向量的多项式。
特性
生成多项式决定了循环码的生成矩阵和校验矩阵，进而决定了码字的纠错能力。
循环码的编码
方法
循环码的编码通常采用模2除法，即将信 息位除以生成多项式，得到码字。
VS
过程
首先将信息位按位排列，然后从最低位开 始逐位进行模2除法运算，得到码字的各 位。
循环码的解码
方法
循环码的解码通常采用位迭代算法，即从码 字的最高位开始逐位进行纠错。
第5章 有限域及BCH码
2l
x f 0 f1 x f n x
f1 x f n x
2 0
也是f(x)的一个根。
n 2
f 02 f 0 f1 x f n x n f 0 f1 x f n x
n 2
n 2
26
f f1 x f n x
实数域为子域的复数域里。
• X2+6x+25没有实数域的根，但有两个复根 -3+4i和-3-4i
• 以GF(2)中的元素为系数的多项式，可能在GF(2)上没有 根，但在GF(2)的扩域中有根。。
23
第5章 有限域及BCH码
六、有限域GF(2m)的性质(2)
• x4+x3+1在GF(2)上不可约，因此没有GF(2)上的
5 1 2
p 1 4
8 1 3 2 4 2 1 1 2
9 1 2 3
7 2 3 3 4 1 3
a q1 1 a kn r a r
因此，a的级将小于n，与题设矛盾，故n必能整除q-1.
13
第5章 有限域及BCH码
一、 有限域的乘法结构
结论1：域的乘法群必为某一个元素生成的循环群，即q元域 中必能找到一个，其级为q-1。
结论2：所有有限域元素都能表示成生成元的幂次的形式，
此时的生成元称为本原元。
注： 1、幂次的含义与在群上所定义的运算有关。 若定义加法运算，幂运算为连加运算；若定义 乘法运算，则幂运算为连乘。 2、循环群的生成元不止一个。 2、凡是循环群必是可换群。
BCH码是循环码的一个重要子类,它具有纠多个错误的能力,BCH码
BCH码是循环码的一个重要子类，它具有纠多个错误的能力，BCH码有严密的代数理论，是目前研究最透彻的一类码。
它的生成多项式与最小码距之间有密切的关系，人们可以根据所要求的纠错能力t很容易构造出BCH码，它们的译码器也容易实现，是线性本原循环码是一类重要的码。
汉明码、BCH码和某些大数逻辑可译码都是本原码。
本原码的特点是:1、码长为2^m-1，m为整数。
2、它的生成多项式由若干m阶或以m的因子为最高阶的多项式相乘构成。
要判断(2^m-1,k)循环码是否存在，只需判断2^m-1-k阶生成多项式是否能由D^(2^m-1)+1的因式构成。
代数理论告诉我们，每个m阶既约多项式一定能除尽D^(2^m-1)+1.BCH译码：(返回)BCH码的译码方法可以有时域译码和频域译码两类。
频移译码是把每个码组看成一个数字信号，把接受到的信号进行离散傅氏变换(DFT)，然后利用数字信号处理技术在“频域”内译码，最后进行傅氏反变换得到译码后的码组。
时域译码则是在时域直接利用码的代数结构进行译码。
BCH的时域译码方法有很多，而且纠多个错误的BCH码译码算法十分复杂。
常见的时域BCH译码方法有彼得森译码、迭代译码等。
BCH的彼得森译码基本过程为：1、用的各因式作为除式，对接收到的码多项式求余，得到t个余式，称为“部分校验式”。
2、用t个部分校验式构造一个特定的译码多项式，它以错误位置数为根。
3、求译码多项式的根，得到错误位置。
4、纠正错误。
事实上，BCH码是一种特殊的循环码，因此它的编码器不但可以象其它循环码那样用除法器来实现，而且原则上所有适合循环码译码的方法也可以用于BCH码的译码。
.cn/wsxy/digi/d6z.htm第六章差错控制1 差错控制的基本概念1.1 差错的特点由于通信线路上总有噪声存在，噪声和有用信息中的结果，就会出现差错。
噪声可分为两类，一类是热噪声，另一类是冲击噪声，热噪声引起的差错是一种随机差错，亦即某个码元的出错具有独立性，与前后码元无关。
浅析BCH码的编码方法
浅析BCH 码的编码方法0 引言数字信号在传输系统中传输时，不免会受到各种因素的干扰，使到达接收端的数字信号中混有噪声，从而引发错误判决。
为了抗击传输过程中的干扰，必然要利用纠错码的差错控制技术。
BCH 码是纠错码中最重要的子类，其具有纠错能力强，构造方便，编码简单，译码也较易实现一系列优点，在实际应用中被工程人员广泛应用。
1 BCH 码BCH 码是1959年由霍昆格姆(Hocquenghem), 1960年由博斯(Bose)和查德胡里(Chandhari)各自提出的纠多个随机错误的循环码，这是迄今为止发现的最好的线性分组码之一，它有严格的代数结构，它的纠错能力很强，特别是在短和中等码长下，其性能接近理论值，并且构造方便编码简单，特别是它具有严格的代数结构，因此它在编码理论中起着重要的作用。
BCH 码是迄今为止研究的最为详尽，分析得最为透彻，取得成果也最多的码类之一。
该码的生成多项式与最小距离d 之间有密切关系，根据d 的要求可以很容易地构造出码，利用该码的代数结构产生了多种译码方法。
BCH 码可以采用查表编码方法，这是一种利用BCH 码作为线性分组码和循环码的性质和结构特点来编写编码表，然后通过查表来编码的一种方法，也可以采用编码器进行编码，还可以应用代数算法，在本文将分别介绍这些算法。
2 BCH 码的k n -级编码器()k n , BCH 码是一类循环码，它的编码方法和传统的循环码完全相同，根据循环码的生成多项式()x g 或校验多项式()x h ，可推出BCH 码的编码电路是一个k n -级或k 级移存器电路，在k>n-k 时，一般采用k n -级编码电路。
用于产生系统码k n -级编码器的原理这样的：将信息多项式()x m 乘以kn x-成为()x m x k n -，然后用()x g 除()x m x k n -得到余式()x r , ()x r 的系数就是校验位，因此这可以根据生成多项式()x g 反馈连接的移位寄存器构成的除法电路完成。
RS码简介与编译码算法综述
BM译码算法
——算法基础
BM译码算法
——算法原理
BM译码算法
——迭代的具体实现
j -1 0 1 2 3a 4 5 6 1 1 1+αx 1+α11x 1+α8x+α8x2 1+α6x+αx2 1+α6x+αx2 1+α6x+αx2 0 1 1 1+α6x 1+α10x 1+α11x+α5x2 1+α11x+α5x2 1+α11x+α5x2 0 0 1 1 2 2 2
E(x)
计算S2t
计算βi
PGZ译码算法
——算法总结
PGZ译码算法
——算法总结
BM译码算法
——引入
1965年E.R.Berlekamp提出了由伴随式求σ(x)的 迭代译码算法，极大地加快了求σ(x)的速度， 实现时比较简单，且易于用计算机完成译码， 因而从工程上解决了BCH码的译码问题。1969 年J.L.Massey指出，迭代译码算法与序列的最 短线性移位寄存器的综合之间的关系，并进 行了简化，自此以后把这种算法成为BM迭代 译码算法。
RS码简介
熊竹林
背景知识
RS码是一种BCH码 BCH码是一种循环码 循环码是一种线性分组码 线性分组码是一种信道编码
背景知识
——信道编码
信道的非理想性 传输差错 香农告诉我们要纠错必须增加冗余 信道编码就是一门增加冗余的学问 亡羊补牢：反馈重传 未雨绸缪：前向纠错 线性分组码就是前向纠错码的一种
RS编码
——编码器设计
最小距离为d的本原RS码的生成多项式为 g(x)=(x-α)(x-α2)(x-α3)…(x-αd-2) 信息元多项式为 m(x)=m0+m1x+m2x2+…+mk-1xk-1 编码器主要有三种类型： 1.基于乘法形式的编码器 2.基于除法形式的编码器 3.基于校验多项式形式的编码器
浅析BCH码的编码方法
浅析BCH 码的编码方法0 引言数字信号在传输系统中传输时，不免会受到各种因素的干扰，使到达接收端的数字信号中混有噪声，从而引发错误判决。
为了抗击传输过程中的干扰，必然要利用纠错码的差错控制技术。
BCH 码是纠错码中最重要的子类，其具有纠错能力强，构造方便，编码简单，译码也较易实现一系列优点，在实际应用中被工程人员广泛应用。
1 BCH 码BCH 码是1959年由霍昆格姆(Hocquenghem), 1960年由博斯(Bose)和查德胡里(Chandhari)各自提出的纠多个随机错误的循环码，这是迄今为止发现的最好的线性分组码之一，它有严格的代数结构，它的纠错能力很强，特别是在短和中等码长下，其性能接近理论值，并且构造方便编码简单，特别是它具有严格的代数结构，因此它在编码理论中起着重要的作用。
BCH 码是迄今为止研究的最为详尽，分析得最为透彻，取得成果也最多的码类之一。
该码的生成多项式与最小距离d 之间有密切关系，根据d 的要求可以很容易地构造出码，利用该码的代数结构产生了多种译码方法。
BCH 码可以采用查表编码方法，这是一种利用BCH 码作为线性分组码和循环码的性质和结构特点来编写编码表，然后通过查表来编码的一种方法，也可以采用编码器进行编码，还可以应用代数算法，在本文将分别介绍这些算法。
2 BCH 码的k n -级编码器()k n , BCH 码是一类循环码，它的编码方法和传统的循环码完全相同，根据循环码的生成多项式()x g 或校验多项式()x h ，可推出BCH 码的编码电路是一个k n -级或k 级移存器电路，在k>n-k 时，一般采用k n -级编码电路。
用于产生系统码k n -级编码器的原理这样的：将信息多项式()x m 乘以kn x-成为()x m x k n -，然后用()x g 除()x m x k n -得到余式()x r , ()x r 的系数就是校验位，因此这可以根据生成多项式()x g 反馈连接的移位寄存器构成的除法电路完成。
循环码
8.5 循环码循环码是线性分组码中最重要的一个子类码，它的基本特点是编码电路及伴随式解码电路简单易行；循环码代数结构具有很多有用的特性，便于找到有效解码方法。
因此在实际差错控制系统中所使用的线性分组码，几乎都是循环码。
下面将介绍循环码的多项式表示及其性质，同时简介几种重要的循环码，CRC、BCH和R-S 码等。
8.5.1 循环码的描述1. 码多项式及其运算通式表示为：（8-69）于是称与为“同余”式，即[模]（8-70）如：则[模] 即能被整除利用这一运算原理，我们可对一个码字进行移位表示：如：的多项式表示为：使码组向左移2位（循环）则有对应多项式然后以去除得：这一结果表明，以作除法运算（称模）后，即与为同余因此，（模）应注意，利用这种同余式表示，必须加注（模），否则就不明确在什么条件下得到的这一同余关系式。
2.循环码的构成循环码的构成突出特点是只要是该码中的一个许用码组——码字，通过循环位其结果则可包括全部个非全0码字，如上面介绍的（7，3）分组码，从信码位0 0 1构成的码字（0011101）开始逐一向左（或者向右）移一位，可得其余6个码字：（0111010）、（1110100）、（1101001）、（1010011）、（0100111）、（1001110）。
若把这些码字写成码多项式，都具有同一个移位运算模式，并设（0011101）对应的码多项式，于是，有：（模)（8-71）这样，就构成了（7，3）循环码，如表8-4。
从表8-4看出，循环得到的（7，3）码，仍为系统码，信息码组均在表中码字的高位（左方）。
表8-4 （7，3）循环码移位（7，3）码码多项式（模）0 0 0 1 1 1 0 11 0 1 1 1 0 1 02 1 1 1 0 1 0 03 1 1 0 1 0 0 14 1 0 1 0 0 1 15 0 1 0 0 1 1 16 1 0 0 1 1 1 08.5.2 循环码生成多项式与生成矩阵1. 生成多项式由表8-4构成个非全0码字多项式的过程与结果看，我们从开始进行逐一循环，并以模运算，该码字正是信码组中最低位为1，对应码字多项式，在全部非全0码字中，它的最高位阶次也最低，并等于，即最高次项为，随后一系列码字都源于它的移位而形成，因此称其为生成多项式，即（8-72）然后再从的因式分解来进一步分析（8-73）我们可以将三个既约多项式因式任意组合成两个因式，可有（8-74）如：（8-75）（8-76）其中可以组合为二因式中包含最高次为4次的情况有两种，即展开式的第4及第5两组，都可以作为阶次最高为4的即（8-77）（8-78）在展开式中选用了其中一个（组合）因式为后，余下一个因式，则称其为循环码的监督多项式，如式（8-74）生成多项式与相应监督多项式乘积等于多项式。
BCH码——精选推荐
BCH码BCH码的原理及BCH (15, 5)码MA TLAB编译码仿真过程——基于MATLAB7.0摘要：本⽂简要介绍了BCH码概念，编码原理，解码过程，并利⽤MATLAB仿真出了编译码过程。
关键词：BCH编译码BCH (15, 5)码MA TLAB仿真1、引⾔提⾼信息传输的可靠性和有效性，始终是通信⼯作所追求的⽬标。
纠错码是提⾼信息传输可靠性的⼀种重要⼿段。
1948年⾹农（Shannon）在他的开创性论⽂“通信的数学理论”中，⾸次阐明了在有扰信道中实现可靠通信的⽅法，提出了著名的有扰信道编码定理，奠定了纠错码的基⽯。
根据⾹农的思想，研究者先后给出了⼀系列设计好码和有效译码的⽅法。
以后，纠错码受到了越来越多的通信和数学⼯作者，特别是代数学家的重视，使纠错码⽆论在理论上还是在实际中都得到了飞速发展。
BCH、卷积码，Turbo码、LDPC码等现代数据传输通信中,常常因传输差错造成误码错码,尤其在⽆线通信中,空中的突发或随机⼲扰噪声会造成编码差错。
为了提⾼传输的正确率,往往采⽤⼀些校验⽅法,以检验纠正传输差错。
通信中校验的⽅法很多, 如BCH、卷积码，Turbo码、LDPC码等，其中的BCH编码有其独特的优点:它的纠错能⼒很强，特别在短和中等码长下，其性能很接近于理论值，构造⽅便，编码简单，不仅可以检纠突发性错误,还能检纠随机差错。
因此, 在通信系统中得到⼴泛应⽤，如在我国地⾯数字电视⼴播标准中就选⽤了BCH（762 .752）码。
2、BCH 编码基本原理BCH 码1959 年由Hocquenghem、1960 年由Bo se和Chandhari 分别独⽴提出。
BCH码是纠正多个随机错误的循环码，可以⽤⽣成多项式g(x)的根描述。
给定任⼀有限域GF(q)及其扩域GF(qm)，其中q是素数或素数的幂，m为某⼀正整数。
若码元取⾃GF(q)上的⼀循环码，它的⽣成多项式g(x)的根集合R中含有以下δ-1个连续根：时，则由g(x)⽣成的循环码称为q进制BCH码。
基于汇编语言的BCH解码校验算法
摘要：介绍数据传输中BCH解码校验用汇编语言实现的算法。
算法包含BCH码的差错检验、差错位查找和差错纠正，同时列出相关主要子程序清单并予说明。
关键词：BCH解码校验算法汇编语言数据传输通信中，常常因传输差错造成误码错码，尤其在无线通信中，空中的突发或随机干扰噪声会造成编码差错。
为了提高传输的正确率，往往采用一些校验方法，以检验纠正传输差错。
通信中校验的方法很多，其中的BCH编码有其独特的优点：不仅可以检纠突发差错，还能检纠随机差错，被广泛地采用在微机级的通信中。
但对更低层的单片机级的数据传输通信纠错，往往采用奇偶校验等简单的校验方法。
BCH校验因其算法复杂，尤其是动态实时的无线通信中，单片机的通信往往无法采用BCH解码检纠。
笔者近几年在工业测控和无线通信系统开发，摸索了BCH解码检纠在实时的、动态的、单片机级的通信中的算法，并取得十分突出的效果。
以下以BCH(31：21)码为例进行探讨。
1、BCH码结构BCH码是一种检纠能力较强的循环码。
它由信息多项式M(X)和校验多项式J(X)组成，如以T(X)表示整个BCH(31：21)码字的31位码组多项式，则：T(X)=M(X)+J(X)(1)在31位BCH码的后面再加上1位，以保证整个码字32位中“1”的个数为偶数。
该位称偶校验位。
这样就形成BCH(31：21)加1位偶校验位的标准码字，其结构为：其中校验多项式J(X)由公式(2)计算：X0X1……X20X21……X30X31T(X)J(X)偶校验位J(X)=M(X)/S(X)(2)式中S(X)是BCH(31：21)码的生成多项式，见式(3)：生成多项式S(X)的值在BCH(31:21)码的值是固定的。
BCH码是一种循环码，循环码是利用除法来纠错的。
由于任一码组多项式T(X)都能被生成多项式S(X)整除，所以在接收端可以将接收码组R(X)用S(X)去除。
若在传输中未发生错误，接收码与发送码相同，即R(X)=T(X)，故接收码组R(X)必定能被生成多项式S(X)整除;若码组在传输中发生错误，即R(X)≠T(X)，R(X)被S(X)除时，可能除不尽而有余项Y(X)，因此，可根据余项是否为零来判断码中有无错误(检错)，如有余项，通过一定的运算就可以确定错误位置，从而加以纠正(纠错)。
BCH码(百度百科)
/view/2207324.htm（百度百科）BCH码科技名词定义中文名称：BCH码英文名称：BCH code定义：一种用于纠错，特别适用于随机差错校正的循环检验码。
由R. C. Bose、D. K.Chaudhuri和A. Hocquenghem共同提出。
所属学科：通信科技（一级学科）；通信原理与基本技术（二级学科）本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布BCH码是一类重要的纠错码，它把信源待发的信息序列按固定的κ位一组划分成消息组,再将每一消息组独立变换成长为n(n＞κ)的二进制数字组,称为码字。
如果消息组的数目为M(显然M≤2),由此所获得的M个码字的全体便称为码长为n、信息数目为M的分组码,记为n，M。
把消息组变换成码字的过程称为编码，其逆过程称为译码。
目录编辑本段分组码就其构成方式可分为线性分组码与非线性分组码。
线性分组码是指[n,M]分组码中的M个码字之间具有一定的线性约束关系,即这些码字总体构成了n维线性空间的一个κ维子空间。
称此κ维子空间为(n，κ)线性分组码，n为码长，κ为信息位。
此处M＝2。
非线性分组码[n，M]是指M个码字之间不存在线性约束关系的分组码。
d为M 个码字之间的最小距离。
非线性分组码常记为[n，M，d]。
非线性分组码的优点是：对于给定的最小距离d,可以获得最大可能的码字数目。
非线性分组码的编码和译码因码类不同而异。
虽然预料非线性分组码会比线性分组码具有更好的特性，但在理论上和实用上尚缺乏深入研究（见非线性码）。
编辑本段线性分组码的编码和译码用V n表示GF(2)域的n维线性空间，Vκ是V n的κ维子空间，表示一个(n，κ)线性分组码。
E i=（vi1，vi2…,v in）是代表Vκ的一组基底(i=1，2，…，κ)。
以这组基底构成的矩阵称为该(n,κ)线性码的生成矩阵。
对于给定的消息组m＝(m1，m2，…，mκ)，按生成矩阵G，m被编为mG＝m1E1＋m2E2＋…＋mκEκ这就是线性分组码的编码规则。
第8讲 信道编码：循环码编码电路、CRC、BCH、卷积码
9; 0d 0 0 a 0 0 bc ' c d ' e 0 c ' 1d 1 1 +1
c ' bd ' c e a + u0 2 d × '' b ' c e
1 0 1 1 × '' b ' ce × d
例如：( 7, 4 )循环码的生成多项式为：g(x)=( x3 + x + 1 )，求其系统码的生成矩阵 )循环码的生成多项式为 循环码的生成多项式为： )， 例如： 1）n = 7，k = 4，因此生成矩阵阶数：4×7。其中单位阵Ik为4×4，Q矩阵4×3 7， 4，因此生成矩阵阶数： 其中单位阵I 矩阵4
2）求解[xn-i]mod g(x) ( i = 1, 2, …, k – 1 ) 求解[
x n −1 x 6 n−2 5 x = x I4 = M x4 n−k 3 x x
[x [x [x [x6]mod g(x)=x2 + 1, [x5]mod g(x)=x5 + x2 + x+ 1, [x4]mod g(x)=x4 + x2 + x, [x3]mod g(x)=x3 + x + 1 x6 + [ x6 ]
1 5 即： 5 x + [ x ]mod g ( x ) = 0 G = [ I 4Q ] = 4 x + [ x 4 ]mod g ( x ) 0 3 3 x + [ x ]mod g ( x ) 0
BCH码是循环码的一个重要子类,它具有纠多个错误的能力,BCH码
BCH码是循环码的一个重要子类，它具有纠多个错误的能力，BCH码有严密的代数理论，是目前研究最透彻的一类码。
它的生成多项式与最小码距之间有密切的关系，人们可以根据所要求的纠错能力t很容易构造出BCH码，它们的译码器也容易实现，是线性本原循环码是一类重要的码。
汉明码、BCH码和某些大数逻辑可译码都是本原码。
本原码的特点是:1、码长为2^m-1，m为整数。
2、它的生成多项式由若干m阶或以m的因子为最高阶的多项式相乘构成。
要判断(2^m-1,k)循环码是否存在，只需判断2^m-1-k阶生成多项式是否能由D^(2^m-1)+1的因式构成。
代数理论告诉我们，每个m阶既约多项式一定能除尽D^(2^m-1)+1.BCH译码：(返回)BCH码的译码方法可以有时域译码和频域译码两类。
频移译码是把每个码组看成一个数字信号，把接受到的信号进行离散傅氏变换(DFT)，然后利用数字信号处理技术在“频域”内译码，最后进行傅氏反变换得到译码后的码组。
时域译码则是在时域直接利用码的代数结构进行译码。
BCH的时域译码方法有很多，而且纠多个错误的BCH码译码算法十分复杂。
常见的时域BCH译码方法有彼得森译码、迭代译码等。
BCH的彼得森译码基本过程为：1、用的各因式作为除式，对接收到的码多项式求余，得到t个余式，称为“部分校验式”。
2、用t个部分校验式构造一个特定的译码多项式，它以错误位置数为根。
3、求译码多项式的根，得到错误位置。
4、纠正错误。
事实上，BCH码是一种特殊的循环码，因此它的编码器不但可以象其它循环码那样用除法器来实现，而且原则上所有适合循环码译码的方法也可以用于BCH码的译码。
.cn/wsxy/digi/d6z.htm第六章差错控制1 差错控制的基本概念1.1 差错的特点由于通信线路上总有噪声存在，噪声和有用信息中的结果，就会出现差错。
噪声可分为两类，一类是热噪声，另一类是冲击噪声，热噪声引起的差错是一种随机差错，亦即某个码元的出错具有独立性，与前后码元无关。
第四章 BCH码3
BCH码译码的一般原理
s1 n 1 s 2( n 1) 2 ... ... 2t ( n 1) s2 t
n2 2( n2)
...
... 2
... ... ...
2t ( n 2) ... 2t
10/13/2018 信道编码 15
4.5 BCH码的译码
系数矩阵M exe
BCH码译码的一般原理
s e-1 se s se e 1 s 2e-1 s 2e-2
... s1 ... s 2 e是未知的，可先假设e=t ①计算系数矩阵Mexe的行列式值|Mexe| ②如果|Mexe|=0，方程组降阶(e=e-1)并转第① 步；如果|Mexe|≠0，则解方程组求得错误位置 多项式的系数σ1,σ2,…,σe (e为实际错误个 数)
10/13/2018 信道编码 14
4.5 BCH码的译码
BCH码译码的一般原理
因此求解错误位置的问题转化成为解线性方程组的问题。 se 1 se1 2 ...... s1 e se1 s s ...... s s e1 1 e 2 2 e e2
3) C~(x)=R(x)+E(x)
10/13/2018 信道编码 7
4.5 BCH码的译码
BCH码译码的一般原理
1)、计算伴随式：ST=HET=HRT
s1 s 2( n 1) 2 ( n 2 ) 2 ... ... ... 2t ( n 1) 2 t ( n 2 ) s 2t
我们的目的是求解e个错误位置x1,x2,…,xe 但直接求解该高次方程组是极其困难的
BCH码
2.6.1. BCH 码BCH 码是循环码的一个重要子类，它具有纠多个错误的能力，BCH 码有严密的代数理论，是目前研究最透彻的一类码。
它的生成多项式与最小码距之间有密切的关系，人们可以根据所要求的纠错能力t 很容易构造出BCH 码，它们的译码器也容易实现，是线性分组码中应用最普遍的一类码。
一、 本原循环码（一） 、本原码特点1、码长为12-m，m 为整数。
2、它的生成多项式由若干m 阶或以m 的因子为最高阶的多项式相乘构成。
要判断),12(k m -循环码是否存在，只需判断k m --12阶生成多项式是否能由 112+-m D 的因式构成。
代数理论告诉我们，每个m 阶既约多项式一定能除尽112+-m D。
例如，m=5，共有6个5阶既约多项式： 125++D D 、12345++++D D D D 、1245++++D D D D 、135++D D 、 1235++++D D D D 、1345++++D D D D（二） 、BCH 码的生成多项式若循环码的生成多项式具有如下形式：[])(),...,(),()(1231D m D m D m LCM D g t -=，这里t 为纠错个数，)(D m i 为最小多项式，LCM 表示取最小公倍式，则由此生成的循环码称为BCH 码，其最小码距≥2t+1，能纠t 个错误。
BCH 的码长为12-m 或12-m的因子。
本原BCH 码：码长为12-m 的BCH 码。
非本原BCH 码：码长为12-m 因子的BCH 码。
对于纠t 个错误的本原BCH 码，其生成多项式为 )()...()()(1231D m D m D m D g t -=。
纠正单个错误的本原BCH 码就是循环汉明码。
（三）、BCH 码设计举例1、GOLAY CODE（23，12）码是一个特殊的非本原BCH 码，称为戈雷码，它的最小码距7，能纠正3个错误，其生成多项式为1)(567911++++++=D D D D D D D g 。
BCH code
0 modg(x)
对长为 k 位的任意消息组 M=(mk-1,…, m1,m0)，其对应 的消息多项式为 M(x)=mk-1x +…+ m1x+m0 可乘以 g(x)而构成 n-1 次的码多项式 C(x)=M(x)g(x)=(mk-1x +…+ m1x+ m0 )g(x) 或
……
Cn-1=[c0, cn-1,…, c2, c1]都是码字
例如，第五章中表5-2中所列的(7,3)码，就是具有这 种循环特性的循环码。（P176）
关于循环码强调两点：
1、本书讨论的循环码首先是一个线性分组码。 2、循环码具有循环移位特性。 例6-1：判断下面三组码字的特点。
C1= 000 110 011 101 C2=
例6-2 试证明对上述二元域上码多项式C(x), 有C2(x)＝ C(x2) 证：因 C2(x)＝ (cn-1xn-1+ cn-2xn-2+…+ c1x+ c0) 2 =(cn-1xn-1) 2+ 2cn-1xn-1( cn-2xn-2+…+ c1x+ c0) + (cn-2xn-2+…+ c1x+ c0) 2 考虑到cn-1 2 ＝ cn-1，上式包括2作系数的第二项 乘积为0，将第三项类似地逐步展开，就可以 得出 C2(x)＝ cn-1x2(n-1)+ cn-2x2(n-2) +…+ c1x 2 + c0=C(x2)
• 如果g(x)为(n,k)循环码的最低次多项式，即 生成多项式时，xg(x), x2g(x),…, xk-1g(x)都是 码字，这k个码字是独立的，故可作为码的一 组生成基底，使每个码多项式都是这一组基 底的线性组合。例如P176例5-1 由此看来，找到合适的g(x)是构造循环码的 关键。在这方面需要用到有限域的知识。
循环码BCH码卷积码
10.6 循环码 10.6.1 循环码的概念： 循环性是指任一码组循环一位后仍然是该编码中的一个码组。 例：一种(7, 3)循环码的全部码组如下 表中第2码组向右移一位即得到第5码组；第5码组向右移一位即得到第7码组。
码组编号
信息位
监督位
码组编号
信息位
*
6.7 RS码 RS码：是q进制BCH码的一个特殊子类，并且具有很强的纠错能力。 RS码的主要优点： 它是多进制纠错编码，所以特别适合用于多进制调制的场合； 它能够纠正t个q位二进制错码，即能够纠正不超过q个连续的二进制错码，所以适合在衰落信道中纠正突发性错码。
10.7 卷积码 卷积码的特点： 监督码元不仅和当前的k比特信息段有关，而且还同前面m = (N – 1)个信息段有关。 将N称为码组的约束度。 将卷积码记作(n, k, m)，其码率为k/n。
将 T(x) = h(x)g(x) 和 T (x) = g(x) 代入 化简后，得到 上式表明，生成多项式g(x)应该是(xn + 1)的一个因子。 例：(x7 + 1)可以分解为 为了求出(7, 3)循环码的生成多项式 g(x)，需要从上式中找到一个(n – k) = 4次的因子。这样的因子有两个，即 以上两式都可以作为生成多项式。 选用的生成多项式不同，产生出的循环码码组也不同。
码多项式的按模运算 若任意一个多项式F(x)被一个n次多项式N(x)除，得到商式Q(x)和一个次数小于n的余式R(x)，即 则在按模N(x)运算下，有 这时，码多项式系数仍按模2运算。 例1：x3被(x3 + 1)除，得到余项1，即 例2： 因为 x x3 + 1 x4 +x2 + 1 x4 + x x2 +x +1 在模2运算中加法和减法一样。
BCH码
10 1+x3+x10
2013/4/11
考虑一个本原多项式定义的有限域的例子
• 选择p(x)=1+x+x3，多项式的幂次为m=3,所以由p(x)所定义 的域中包含了2m=23=8个元素。求解p(x)的根就是指找到x 使 p(x)=0 。我们所熟悉的二进制数 0 和 1 不能满足，因为 p(1)=1,p(0)=1 ( 运用模 2 运算 ) 。由基本代数学理论我们知 道，对于幂次为m的多项式必然有m个根。对于这个例子， p(x)=0有 3个根，由于这 3 个根不可能位于与 p(x) 系数相同 的有限域中，而是位于扩展域GF(23)中。用扩展域的元素 a来定义多项式p(x)的根，可写成如下形式：p(a)=0
2013/4/11
6
• 部分不可约多项式表 2阶 3阶 4阶 5阶 1 1 1 1 7 13 23 45 3 3 37 75 5 5 07 67
2013/4/11
7
n≤ 31的本原BCH码
n 7 15 15 15 31 31 31 31 31
2013/4/11
k 4 11 7 5 26 21 16 11 6
m 1 2
2m − 2
}
11
扩展域GF(2m)中的加法
• 在GF(2m)中，将每个非0元素用多项式ai(x)表示，其系数至少 有一个不为0。对于i=0,1, 2,…,2m-2，有： ai = ai(x) = ai,0+ai,1x+ai,2x2+…+ai,m-1xm-1 • 考虑 m=3, 有限域表示为 GF(23), 下表为上式描述的基本元素 {x0,x1,x2}映射为7个元素{ai}和一个0元素。表中的各行是二进 制数字序列，代表上式中的系数ai,0、ai,1、ai,2的取值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
假如已知码多项式C(x)=x7+ x3+ x+1，则可求 出对应的码字C=10001011
首一多项式 首项系数为 1 的多项式。如 f(x)= x7+1。
我们把多项式 f(x)的最高次数记为 0 f(x)。此处0 f(x)
(cn-2xn-2+…+ c1x+ c0) 2 考虑到cn-1 2 ＝ cn-1，上式包括2作系数的第二项 乘积为0，将第三项类似地逐步展开，就可以 得出 C2(x)＝ cn-1x2(n-1)+ cn-2x2(n-2) +…+ c1x 2 + c0=C(x2)
的码多项式，即下面关系式成立：
x(cn-1xn-1+ cn-2xn-2+…+ c1x+ c0) = cn-1xn+ cn-2xn-1+…+ c1x2+ cnx ≡ cn-2xn-1+ cn-3xn-2+…+ c1x2+ cnx+ cn-1 mod(xn+1)
• (n,k)循环码的每个码字必处在以xn+1为模运算 的剩余类的某一类中。
并且减法就是加法。加法符号为“ “+”。
”或简记为
例6-2 试证明对上述二元域上码多项式C(x), 有C2(x)＝ C(x2)
证：因 C2(x)＝ (cn-1xn-1+ cn-2xn-2+…+ c1x+ c0) 2 =(cn-1xn-1) 2+ 2cn-1xn-1( cn-2xn-2+…+ c1x+ c0) +
加法
乘法
0+0＝0
0*0＝0
0+1＝1
0*1＝0
1+0＝1
1*0＝0
1+1＝0
1*1＝1
系数在GF(2)中的多项式叫做二元域上的多项式。
二元域上多项式的加减乘除等运算在原理上和普 通代数多项式的运算相同。例如：对码字多项式
C(x)=cn-1xn-1+ cn-2xn-2+…+ c1x+ c0有 xi+ xi＝0, ci+ ci＝0, ci2=ci . ci＝ci
• 生成多项式 在(n,k)循环码的2k个码字中，
取一个前k-1位皆为0的码字，此码字对应有 一个次数最低，且为n-k=r的多项式g(x)，其 它码字所对应的码多项式都是g(x)的倍式， 则称g(x)生成该码，并且称g(x)为该码的生成 多项式。
可见生成多项式具有以下特征：
g(x)= xr+ gr-1xr-1 +… + g2x2+ g1x+ g0 g0≠ 0 r=n-k
A4:对任意 a 有负元存在且 a+(-a)=(-a)＋a＝0
M0:对 a,b F,a+b=c 存在且 唯一，c F M1:(ab)c=a(bc) M2:ba=ab M3:域中有 1 元，且对任意 a 有 a1=1a＝a M4:对任意 a 0 有异元 a-1 且 a a-1= a-1a＝1
D：满足分配律a(b+c)=ab+ac,(a+b)c=ac+bc
• 当域中元素为有限数p时，称为有限域或p 元域，有限域理论是由数学家伽罗华 （Galols）所创立的，因此又称为伽罗华 域，并记为GF(p)。
• 普通代数中全体有理数的集合叫有理域， 全体实数的集合叫实数域。全体复数的集 合叫复数域。它们都是无限域。
• 经常用到的有限域是二元域GF(2)，它有两 个元素“0”和“1”，其加法和乘法分别为：
第六章 循环码与BCH码
第一节 基本定义
• 循环码是线性分组码中应用最广泛的一 类码。它有两个重要的特点：
1、码的结构可以用代数方法来表示、 分析和构造。
2、利用循环特性，可以用循环反馈 移位寄存器来构造较为简单方便的编 码器和译码器。
循环码：设C是码长为n，信息位为k,监督位
为r的(n,k)线性分组码的任意一个码字，如果 C的每一次循环移位也是码字，则把具有这种 循环移位特点的码称为循环码(Cyclic Codes)。 即如果 C=[cn-1, cn-2,…, c1, c0]是一个码字
x7+x6+x5＋x3 x6+x5＋x3＋1 mod(x7+1)
•实际上，将(n,k)循环码的一个码字C=[cn-1, cn-2,…, c1, c0] 所对应的码多项式循环左移一位，即相当于
对码多项式乘以x并除以xn+1后所得的余式，刚好是
将码字C循环移位一次后所得码字(cn-2, cn-3,…, c0,cn-1)
第二节 有限域中的运算规则
• 运算自封：一个集合中的元素经过某种运算（例 如加减乘除）后仍为集合中的元素时，称为运算 自封。
• 域：运算自封元素的集合叫做域F（Field）。域中 的元素相加a+b和相乘ab满足下列关系：
A0:对 a,b F,a+b=c 存在且 唯一，c F A1:(a+b)+c=a+(b+c) A2:b+a=a+b A3:域中有 0 元，且对任意 a 有 a+0=0＋a＝a
则 C1=[cn-2, cn-3,…, c0, cn-1]
C2=[cn-3, cn-4,…, cn-1, cn-2]
……
Cn-1=[c0, cn-1,…, c2, c1]都是码字
例如，第五章中表5-2中所列的(7,3)码，就是具有这 种循环特性的循环码。（P176）
关于循环码强调两点：
1、本书讨论的循环码首先是一个线性分组码。
2、循环码具有循环移位特性。 例6-1：判断下面三组码字的特点。
000
C1=
110 011
101
000
C2=
100 011
111
000
C3=
100 010
001
C1是线性循环码，C2是非循环的线性分组码， C3是非线性的循环码。
码多项式 与n重码相对应的n-1次多项式 C(x)=cn-1xn-1+ cn-2xn-2+…+ c1x+ c0 [6-1] 称为码多项式。
• 如果g(x)为(n,k)循环码的最低次多项式，即 生成多项式时，xg(x), x2g(x),…, xk-1g(x)都是 码字，这k个码字是独立的，故可作为码的一 组生成基底，使每个码多项式都是这一组基 底的线性组合。例如P176例5-1
由此看来，找到合适的g(x)是构造循环码的 关键。在这方面需要用到有限域的知识。
＝7。
多项式同余 它和数的同余类似。例如，用 x7+1 除
x7+x6+x5＋x3 所得余式，和用 x7+1 除 x6+x5＋x3＋
1
所得余数式相同，即： x7
x6 x5 x7 1
x3
1
x6
x5 x 和 x6+x5＋x3＋1 关于 x7+1
同余，并记为