2.1-3 差值与拟合2010(1)
测绘技术中坐标系选择与转换的原理与方法
测绘技术中坐标系选择与转换的原理与方法引言测绘技术在现代社会中起着重要的作用，它涵盖了许多方面，包括坐标系的选择与转换。
在进行测量和制图过程中，选择合适的坐标系统以及进行坐标系转换是不可或缺的。
本文将介绍测绘技术中坐标系选择与转换的原理与方法，并探讨其在实践中的应用。
1. 坐标系的选择在进行测绘时，选择合适的坐标系是非常重要的。
坐标系可以用来描述地理空间上的位置，并通过坐标值来表示。
在选择坐标系时，需要考虑以下几个因素：1.1 地理位置地理位置是选择坐标系时必须要考虑的因素。
不同的地理位置可能适用不同的坐标系。
例如，在全球范围内，可以选择采用大地坐标系，该坐标系适用于表示地球表面上的点的位置。
而在局部范围内，可以选择使用局部坐标系，该坐标系适用于描述具体区域内的位置。
1.2 坐标精度要求坐标精度要求是选择坐标系时需要考虑的另一个重要因素。
不同的坐标系有不同的精度要求。
例如，UTM坐标系适用于小范围区域内的测绘，其精度要求相对较高。
而对于较大范围的测绘，可以选择采用高斯-克吕格坐标系或国家大地坐标系，其精度要求相对较低。
1.3 数据共享与整合数据共享与整合也是选择坐标系时需要考虑的因素之一。
在现代社会中，不同机构、部门和个人可能会产生大量的地理数据。
为了实现数据的共享和整合，需要选择统一的坐标系来标准化数据。
例如，国际上通用的WGS84坐标系可以用于实现不同国家和地区之间的数据共享和整合。
2. 坐标系转换方法在测绘过程中，有时需要将数据从一个坐标系转换到另一个坐标系。
坐标系转换是一个复杂的任务，但可以通过一些方法来实现。
以下是常用的坐标系转换方法：2.1 参数转换法参数转换法是一种常用的坐标系转换方法。
它通过计算不同坐标系之间的转换参数来实现坐标系之间的转换。
这些转换参数通常包括平移参数、旋转参数和尺度参数。
通过计算这些转换参数，可以将数据从一个坐标系转换到另一个坐标系。
2.2 数学模型法数学模型法是另一种常用的坐标系转换方法。
数学建模插值及拟合详解
插值和拟合【1 】试验目标：懂得数值剖析建模的办法,控制用Matlab进行曲线拟合的办法,懂得用插值法建模的思惟,应用Matlab一些敕令及编程实现插值建模.试验请求：懂得曲线拟合和插值办法的思惟,熟习Matlab相干的敕令,完成响应的演习,并将操纵进程.程序及成果记载下来.试验内容：一.插值1．插值的根本思惟·已知有n +1个节点（xj,yj）,j = 0,1,…, n,个中xj互不雷同,节点(xj, yj)可算作由某个函数 y= f（x）产生;·结构一个相对简略的函数y=P(x);·使P经由过程全体节点,即 P (xk) = yk,k=0,1,…, n ;·用P (x)作为函数f ( x )的近似.2．用MA TLAB作一维插值盘算yi=interp1(x,y,xi,'method')注：yi—xi处的插值成果;x,y—插值节点;xi—被插值点;method—插值办法（‘nearest’：最临近插值;‘linear’：线性插值;‘spline’：三次样条插值;‘cubic’：立方插值;缺省时：线性插值）.留意：所有的插值办法都请求x是单调的,并且xi不克不及够超出x的规模.演习1：机床加工问题机翼断面下的轮廓线上的数据如下表：x 0 3 5 7 9 11 12 13 14 15y 0用程控铣床加工机翼断面的下轮廓线时每一刀只能沿x偏向和y偏向走异常小的一步.表3-1给出了下轮廓线上的部分数据但工艺请求铣床沿x偏向每次只能移动单位.这时需求出当x 坐标每转变单位时的y 坐标. 试完成加工所需的数据,画出曲线. 步调1：用x0,y0两向量暗示插值节点;步调2：被插值点x=0:0.1:15; y=y=interp1(x0,y0,x,'spline'); 步调3：plot(x0,y0,'k+',x,y,'r')grid on答：x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ]; y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ]; x=0:0.1:15;y=interp1(x0,y0,x,'spline'); plot(x0,y0,'k+',x,y,'r') grid on0510150.511.522.53．用MA TLAB 作网格节点数据的插值(二维)z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)注：z—被插点值的函数值;x0,y0,z0—插值节点;x,y—被插值点;method—插值办法（‘nearest’：最临近插值;‘linear’：双线性插值; ‘cubic’：双三次插值;缺省时：双线性插值）.留意：请求x0,y0单调;x,y可取为矩阵,或x取行向量,y取为列向量,x,y的值分离不克不及超出x0,y0的规模.4．用MA TLAB作散点数据的插值盘算cz =griddata（x,y,z,cx,cy,‘method’）注：cz—被插点值的函数值;x,y,z—插值节点;cx,cy—被插值点;method—插值办法（‘nearest’：最临近插值;‘linear’：双线性插值; ‘cubic’：双三次插值;'v4‘：Matlab供给的插值办法;缺省时：双线性插值）.演习2：航行区域的警示线某海域上频仍地有各类吨位的船只经由.为包管船只的航行安然,有关机构在低潮时对水深进行了测量,下表是他们供给的测量数据：水道水深的测量数据x 129.0140.0 103.5 88.0 185.5 195.0 105.5y 7.5 141.5 23.0 147.0 22.5 137.5 85.5z 4 8 6 8 6 8 8x157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5y -6.5 -81.0 3.0 56.5 -66.5 84.0 -33.5z 9 9 8 8 9 4 9个中（x, y）为测量点,z为（x, y）处的水深(英尺),水深z是区域坐标（x, y）的函数z= z (x, y）,船的吨位可以用其吃水深度来反应,分为4英尺.英尺.5英尺和英尺 4 档.航运部分要在矩形海域（75,200）×（－50,150）上为不合吨位的航船设置警示标识表记标帜.请依据测量的数据描写该海域的地貌,并绘制不合吨位的警示线,供航运部分应用. x=[129 140 103.5 88 185.5 195 105.5 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5];y=[7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5];z=[-4 -8 -6 -8 -6 -8 -8 -9 -9 -8 -8 -9 -4 -9];cx=75:0.5:200;cy=-70:0.5:150;cz=griddata(x,y,z,cx,cy','cubic');meshz(cx,cy,cz),rotate3dxlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')%pausefigure(2),contour(cx,cy,cz,[-5 -5]);grid on,hold onplot(x,y,'+')xlabel('X'),ylabel('Y')200XYZXY80100120140160180200-60-40-20020406080100120140演习3：估量水塔的水流量—93,请绘出三次样条插值曲线,并盘算一天的总的用水量. 解：t0=[0.46,1.38,2.4,3.41,4.43,5.44,6.45,7.47,8.45,11.49,12.49,13.42,14.43,15.44,16.37,17.38,18.49,19.50,20.40,24.43,25.32];v0=[11.2,9.7,8.6,8.1,9.3,7.2,7.9,7.4,8.4,15.6,16.4,15.5,13.4,13.8,12.9,12.2,12.2,12.9,12.6,11.2,3.5]; t=0:0.1:26; y=interp1(t0,v0,t,'spline'); plot(t0,v0,'k+',t,y,'r') grid on0510********-10-55101520二.曲线拟合已知一组（二维）数据,即平面上 n 个点（xi,yi) i=1,…n, 追求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所稀有据点最为接近,即曲线拟合得最好.最经常应用的办法是线性最小二乘拟合 1．多项式拟合⏹对给定的数据（xj,yj）,j = 0,1,…, n;⏹拔取恰当阶数的多项式,如二次多项式g(x)=ax^2+bx+c;⏹使g(x)尽可能逼近（拟合）这些数据,但是不请求经由给定的数据（xj,yj）; 2．多项式拟合指令1）多项式f(x)=a1xm+ …+amx+am+1拟合指令:a=polyfit(x,y,m)a：输出多项式拟合系数a[a1,a2,…,am];x,y：输出长度雷同的数组;m：多项式的次数. 2）多项式在x处的值y的盘算敕令：y=polyval（a,x）演习4：对下面一组数据作二次多项式拟合写出拟合敕令：plot(x,y,'k+',x,z,'r')作出数据点和拟合曲线：0.10.20.30.40.50.60.70.80.91写出拟合的二次多项式：0317.01293.208108.9)(2-+-=x x x f3．可化为多项式的非线性拟和曲线改直是工程中又一经常应用的断定曲线情势的办法,很多罕有的函数都可以经由过程恰当的变换转化为线性函数.（1）幂函数 by ax c =+ln ln ln y c a b x -=+（2）指数函数 xy ab c =+ln ln ln y c a x b -==（3）抛物函数 2,(0)y ax bx c x =++≠b ax xcy +=- 演习5：完成教材P93页的习题5的第一小题. x0=[0,300,600,1000,1500,2000];x=0:100:2000;y0=[0.9689,0.9322,0.8969,0.8519,0.7989,0.7491];y=interp1(x0,y0,x,'spline');plot(x0,y0,'k+',x,y,'r')grid on0200400600800100012001400160018002000。
matlab插值与拟合
matlab插值与拟合
在MATLAB中，插值和拟合都是通过函数来实现的。
插值是通过创建新的数据点来填充在已知数据点之间的空白。
MATLAB提供了几种不同的插值方法，例如分段线性插值、三次样条插值、立方插值等。
具体使用哪种插值方法取决于数据的特性和所需的精度。
插值函数的一般形式是`interp1(x, y, xi, 'method')`，其中`x`和`y`是已知的数据点，`xi`是待插值点的横坐标向量，`method`是插值方法，例如最近邻点插值、线性插值、三次样条插值、立方插值等。
拟合是通过调整一个数学模型来使得该模型尽可能地接近给定的数据点。
在MATLAB中，可以使用`polyfit`函数进行多项式拟合。
该函数的一般形式是`p = polyfit(x, y, n)`，其中`x`和`y`是已知的数据点，`n`是多项式的阶数。
该函数返回一个向量`p`，表示多项式的系数。
可以使用`polyval`函数来评估这个多项式模型在给定数据点上的值。
需要注意的是，插值和拟合都是数学上的近似方法，它们只能尽可能地逼近真实的情况，而不能完全准确地描述数据的变化。
因此，选择合适的插值和拟合方法是非常重要的。
插值与拟合
常用方法——最小二乘法拟合
令： f (x) a1r1(x) a2r2 (x) .... amrm (x)
其中：rk(x)为事先选定的一组关于x的函数，ak为系数，
即求解ak，使下式最小
m
2
J (a1, a2 ,...,am ) min [ f ( xi ) yi ]
i 1
即使：
J 0, k (0, k ) ak
拉格朗日插值法
已知x0、x1、x2、x3、、、xn和y0、y1、y2、y3、、、yn 则可以构造一个经过这n+1个点的次数不超过n的多 项式y=Ln(x),使其满足：
Ln(xk)=yk,k=0、1、2、、、n •这样的Ln(x)就是通过拉格朗日插值得到的函数关系 •这样的方法叫做拉格朗日插值
注： 通过上述方法可得到一个次数不超过n的多项
2
1 n1
m1 1 (1 1)m1
m2
2 (1 2 )m2
n2
2
..
mn
1
n1
(1
n 1 )mn 1
3.代入原式
用matlab解插值
基本格式：Interp1(x,y,cx,'methed')
其中：x,y为已知的坐标 cx为待插值的点的横坐标 methed为插值方法，有如下：
10
11
12
13
14
15
16
10.20 10.32 10.42 10.50 10.55 10.58 10.60
解 ：数据点描绘
11
10
9
8
7
6
5
4
0
2
4
6
8
10
12
14
数学建模之插值与拟合
matlab中拟合的函数
非线性曲线拟合 Matlab中对于多项式拟合，有现成的函数
c = lsqcurvefit ( ′fun′, x0, xdata, ydata)
matlab中拟合的函数
非线性曲线拟合例题
对下面的x、y进行数据拟合
x=[3.6,7.7,9.3,4.1,8.6,2.8,1.3,7.9,10,5.4]; y=[16.5,150.6,263.1,24.7,208.5,9.9,2.7,163.9,325,54.3];
最小二乘法
线性最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法，基本 思路是，令
f (x) a1r1(x) a2r2 (x) amrm (x) • 其中,rk(x)是事先选定的一组线性无关的函数,ak是待定系
数(k=1,2,...,m,m<n)。拟a合准则是使yi，i=1,2,3...,n，与f (xi )
• 求：利用最小二乘法求得上述拟合函数
求解方法
（1）做散点图，通过散点图判断函数为：y=ax+b
（2）根据最小二乘法原理可知，即使下式中M最小
10
M yi axi b2
i 1
（3）把M看作是自变量为a和b的函数，由多元函数取最值
的条件可知:
M M
a b
a, a,
b b
0 0
M
a
M
b
目录
1
插值法与拟合法
2 matlab中插值的函数
3 matlab中拟合的函数 4 插值与拟合的运用
插值法与拟合法的基本介绍
插值法：求过已知有限个数据点的近似函数。
拟合法：已知有限个数据点，求近似函数，不要求
过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上 的总偏差最小。
插值法和拟合实验报告
插值法和拟合实验报告一、实验目的1.通过实验了解插值法和拟合法在数值计算中的应用；2.掌握拉格朗日插值法、牛顿插值法和分段线性插值法的原理和使用方法；3.学会使用最小二乘法进行数据拟合。
二、实验仪器和材料1.一台计算机；2. Matlab或其他适合的计算软件。
三、实验原理1.插值法插值法是一种在给定的数据点之间“插值”的方法，即根据已知的数据点，求一些点的函数值。
常用的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和分段线性插值法。
-拉格朗日插值法：通过一个n次多项式，将给定的n+1个数据点连起来，构造出一个插值函数。
-牛顿插值法：通过递推公式，将给定的n+1个数据点连起来，构造出一个插值函数。
-分段线性插值法：通过将给定的n+1个数据点的连线延长，将整个区间分为多个小区间，在每个小区间上进行线性插值，构造出一个插值函数。
2.拟合法拟合法是一种通过一个函数，逼近已知的数据点的方法。
常用的拟合法有最小二乘法。
-最小二乘法：通过最小化实际观测值与拟合函数的差距，找到最优的参数，使得拟合函数与数据点尽可能接近。
四、实验步骤1.插值法的实验步骤：-根据实验提供的数据点，利用拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法，分别求出要插值的点的函数值；-比较三种插值法的插值结果，评价其精度和适用性。
2.拟合法的实验步骤：-根据实验提供的数据点，利用最小二乘法，拟合出一个合适的函数；-比较拟合函数与实际数据点的差距，评价拟合效果。
五、实验结果与分析1.插值法的结果分析：-比较三种插值法的插值结果，评价其精度和适用性。
根据实验数据和插值函数的图形，可以判断插值函数是否能较好地逼近实际的曲线。
-比较不同插值方法的计算时间和计算复杂度，评价其使用的效率和适用范围。
2.拟合法的结果分析：-比较拟合函数与实际数据点的差距，评价拟合效果。
可以使用均方根误差（RMSE）等指标来进行评价。
-根据实际数据点和拟合函数的图形，可以判断拟合函数是否能较好地描述实际的数据趋势。
MATLAB中的数据插值与拟合方法介绍
MATLAB中的数据插值与拟合方法介绍概述数据处理是科学研究和工程实践中的重要环节之一。
对于实验或观测数据，我们常常需要通过插值和拟合方法来获取更加精确和连续的函数或曲线。
在MATLAB中，有多种方法和函数可以用于实现数据插值和拟合，本文将介绍其中的一些常用方法。
一、数据插值数据插值是指利用有限个数据点，通过某种方法构建一个连续的函数，以实现在这些点之间任意位置的数值估计。
在MATLAB中，常用的数据插值方法有线性插值、多项式插值、三次样条插值等。
1. 线性插值线性插值是最简单的插值方法之一，假设我们有两个数据点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，要在这两个点之间插值一个新的点 (x, y)，线性插值即为连接 (x1, y1) 和 (x2, y2) 这两个点的直线上的点(x, y)。
在MATLAB中，可以通过interp1函数进行线性插值。
2. 多项式插值多项式插值是使用一个低次数的多项式函数来拟合数据的方法。
在MATLAB 中，可以通过polyfit函数进行多项式拟合，然后利用polyval函数来进行插值。
具体的插值效果与所选用的多项式阶数有关。
3. 三次样条插值三次样条插值算法利用相邻数据点之间的三次多项式来拟合数据，从而构成一条光滑的曲线。
在MATLAB中，可以通过spline函数进行三次样条插值。
二、数据拟合除了插值方法外，数据拟合也是处理实验或观测数据的常见方法之一。
数据拟合是指通过选择一个特定的数学模型，使该模型与给定的数据点集最好地拟合。
在MATLAB中，常用的数据拟合方法有多项式拟合、指数拟合、非线性最小二乘拟合等。
1. 多项式拟合在MATLAB中，可以使用polyfit函数进行多项式拟合。
该函数通过最小二乘法来拟合给定数据点集，并得到一个多项式函数。
根据所选用的多项式阶数，拟合效果也会有所不同。
2. 指数拟合指数拟合常用于具有指数关系的数据。
在MATLAB中，可以通过拟合幂函数的对数来实现指数拟合。
数值分析中的插值和拟合
数值分析中的插值和拟合数值分析是一门运用数学方法和计算机技术来解决实际问题的学科，其中的插值和拟合是其中的两个重要概念。
一、插值在数值分析中，插值是指在已知数据点的情况下，利用一定的数学方法来估计在此数据范围之外任意一点的函数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和分段线性插值等。
以拉格朗日插值为例，假设已知数据点(x0, y0), (x1, y1), …, (xn, yn) ，其中 xi 不相同，Lagrange 插值问题就是要找到一个函数p(x)，使得：p(xi) = yi (0 <= i <= n)并且 p(x) 在区间 [x0, xn] 上为连续函数。
然后，根据拉格朗日插值多项式的定义，拉格朗日插值多项式Lk(x) 可以定义为：$$ L_k(x) = \prod_{i=0, i \neq k}^n \frac{x - x_i}{x_k - x_i}$$然后，定义插值多项式 p(x) 为：$$ p(x) = \sum_{k=0}^n y_k L_k(x) $$这样，我们就可以通过计算插值多项式来估计任意一点 x 的函数值了。
二、拟合拟合是在给定一组离散数据点的情况下，通过一定的数学方法来找到一个函数 f(x)，使得该函数可以较好地描述这些数据点之间的关系。
拟合方法主要包括最小二乘法和非线性拟合等。
以最小二乘法为例，假设有 m 个数据点(x1, y1), (x2, y2), …, (xm, ym) ，要找到一个函数 f(x)，使得该函数与这些数据点的误差平方和最小，即：$$ S = \sum_{i=1}^m (y_i - f(x_i))^2 $$最小二乘法就是要找到一个函数 f(x)，使得 S 最小。
假设这个函数为：$$ f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n $$则 S 可以表示为：$$ S = \sum_{i=1}^m (y_i - a_0 - a_1 x_i - a_2 x_i^2 - ... - a_nx_i^n)^2 $$接下来，我们需要求解系数a0, a1, …, an，在满足式子 (2) 的情况下，使得 S 最小。
插值与拟合问题
插值与拟合问题插值与拟合是数学和计算机科学领域中常见的问题，涉及到通过已知数据点来估计未知点的值或者通过一组数据点来逼近一个函数的过程。
在现实生活中，这两个问题经常用于数据分析、图像处理、物理模拟等领域。
本文将介绍插值与拟合的基本概念、方法和应用。
一、插值问题插值是通过已知的数据点来推断出未知点的值。
在插值问题中，我们假设已知数据点是来自于一个未知函数的取值，在这个函数的定义域内，我们需要找到一个函数或者曲线，使得它经过已知的数据点，并且可以通过这个函数或者曲线来估计未知点的值。
常见的插值方法包括线性插值、拉格朗日插值和牛顿插值。
线性插值是通过已知的两个数据点之间的直线来估计未知点的值，它简单而直观。
拉格朗日插值则通过构造一个关于已知数据点的多项式来估计未知点的值，这个多项式经过每一个已知数据点。
牛顿插值和拉格朗日插值类似，也是通过构造一个多项式来估计未知点的值，但是它使用了差商的概念，能够更高效地处理数据点的添加和删除。
不仅仅局限于一维数据点的插值问题，对于二维或者更高维的数据点，我们也可以使用类似的插值方法。
例如，对于二维数据点，我们可以使用双线性插值来估计未知点的值，它利用了四个已知数据点之间的线性关系。
插值问题在实际应用中非常常见。
一个例子是天气预报中的气温插值问题，根据已知的气温观测站的数据点，我们可以估计出其他地点的气温。
另一个例子是图像处理中的像素插值问题，当我们对图像进行放大或者缩小操作时，需要通过已知像素点来估计未知像素点的值。
二、拟合问题拟合是通过一组数据点来逼近一个函数的过程。
在拟合问题中，我们假设已知的数据点是来自于一个未知函数的取值，我们需要找到一个函数或者曲线，使得它能够与已知的数据点尽可能地接近。
常见的拟合方法包括多项式拟合、最小二乘拟合和样条拟合。
多项式拟合是通过一个多项式函数来逼近已知的数据点，它的优点是简单易用，但是对于复杂的函数形态拟合效果可能不好。
最小二乘拟合则是寻找一个函数，使得它与已知数据点之间的误差最小，这个方法在实际应用中非常广泛。
2024年考研高等数学一数值分析与数值方法历年真题
2024年考研高等数学一数值分析与数值方法历年真题在数学学科中，数值分析与数值方法是一个重要的分支。
它的主要研究内容是利用数值计算的方法，对数学问题进行近似求解。
考研高等数学一中的数值分析与数值方法部分，通常会涉及到一些历年真题，以检验考生对该知识点的掌握程度。
本文将按照数值分析与数值方法题型的常见形式，对2024年考研高等数学一数值分析与数值方法历年真题进行分析和解答。
一、题型一：插值与拟合插值与拟合是数值分析与数值方法中的重要内容之一。
下面我们来看一道2020年的考研高数真题：【题目】已知函数f(x)在区间[0,2]上的连续函数，且有f(0)=1,f(1)=3, f(2)=-1，请利用Lagrange插值法求f(x)在x=0.5处的近似值。
【解答】Lagrange插值法的基本思想是：用已知数据点的函数值来构造一个多项式，使得该多项式经过这些数据点。
此多项式称为拉格朗日插值多项式。
在本题中，已知数据点为(0,1)，(1,3)，(2,-1)，我们需要根据这三个点来构造一个二次多项式。
设L1(x)，L2(x)，L3(x)分别为通过点(0,1)，(1,3)，(2,-1)的拉格朗日插值基函数。
具体公式如下：L1(x) = (x-1)(x-2)/((0-1)(0-2)) = 0.5x^2 - 1.5x + 1L2(x) = (x-0)(x-2)/((1-0)(1-2)) = -x^2 + 2xL3(x) = (x-0)(x-1)/((2-0)(2-1)) = 0.5x^2 - 0.5x那么，根据拉格朗日插值多项式的定义，f(x)在x=0.5处的近似值为：f(0.5) = f(0)L1(0.5) + f(1)L2(0.5) + f(2)L3(0.5)= 1 * (0.5 * 0.5 - 1.5 * 0.5 + 1) + 3 * (-0.5 * 0.5 + 2 * 0.5) + (-1) * (0.5 * 0.5 - 0.5 * 0.5)= 0.25 + 2.25 - 0.5= 2所以，根据Lagrange插值法，f(x)在x=0.5处的近似值为2。
插值与拟合（最小二乘法）
二者区别：插值必须精确的经过所给定的点 x,f(x); 但是拟合不需要，拟合允许f(x) , p(x) 之间有误差的存在，但是误差不能太大，要尽可能的 小， 到底怎么来最小化误差，可以： error = |f(x) - p(x)|, min(error), 或者 min(error^2)........ 因为最小化误差的平方和， 所以叫 least square method, 其实翻译的不好，应该叫 最小平方和法。。。。。。
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插值与拟合（最小二乘法）
插值与拟合都是给பைடு நூலகம்一组y = f(x)数据的前提下，用函数 p(x) 近似表示 f(x)的方法；
插值用很多种方法，比如多项式插值，三角函数插值等，意思就是选取哪种函数作为插值的函数； 拟合方法很多，其中包括最小二乘法等；
插值与拟合算法分析
插值与拟合算法分析在数学与计算机科学领域，插值与拟合算法是两种常用的数据处理技术。
插值算法通过已知数据点之间的内插来估算未知数据点的值，而拟合算法则通过求取最佳拟合曲线或函数来逼近已知数据点。
本文将对插值与拟合算法进行详细分析，并比较它们在不同应用中的优缺点。
一、插值算法插值算法主要用于通过已知数据点之间的内插来估算未知数据点的值。
常用的插值算法包括拉格朗日插值、牛顿插值、样条插值等。
这些算法根据插值函数的不同特点，适用于不同类型的数据处理。
1. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于代数多项式的插值方法。
它通过构造一个全局多项式函数来拟合已知数据点，并推导出未知数据点的估算值。
拉格朗日插值算法具有简单易懂、计算效率高等优点，但在处理大量数据点时可能会出现龙格现象，导致插值结果有一定误差。
2. 牛顿插值牛顿插值是一种基于差商的插值方法。
它通过计算差商的递推关系，构造一个分段多项式函数来拟合已知数据点。
相比于拉格朗日插值，牛顿插值算法具有更高的数值稳定性和精度，并且可以方便地进行动态插值。
3. 样条插值样条插值是一种基于分段函数的插值方法。
它将整个数据区间划分为若干小段，并使用不同的插值函数对每一段进行插值。
样条插值算法通过要求插值函数的高阶导数连续，能够更好地逼近原始数据的曲线特征，因此在光滑性较强的数据处理中常被使用。
二、拟合算法拟合算法主要用于通过最佳拟合曲线或函数来逼近已知数据点。
常用的拟合算法包括最小二乘拟合、多项式拟合、非线性拟合等。
这些算法可以使拟合曲线与已知数据点尽可能地接近，从而进行更精确的数据分析和预测。
1. 最小二乘拟合最小二乘拟合是一种通过最小化残差平方和来求取最佳拟合曲线的方法。
它利用数据点与拟合曲线的差异来评估拟合效果，并通过求取最小残差平方和的参数值来确定拟合曲线的形状。
最小二乘拟合算法广泛应用于线性回归和曲线拟合等领域。
2. 多项式拟合多项式拟合是一种通过多项式函数来逼近已知数据点的方法。
数学建模讲座 插值和拟合
Method的4种情况：
‘nearest’ 最临近点插值
‘linear’ 线性插值（默认）
‘spline’ 三次样条插值
‘cubic’ 三次插值
说明：这里x和y是两个独立的向量，它们必须是单调的。 z是矩阵，是由x和y确定的点上的值。z和x,y之间的关系是 z(i,:)=f(x,y(i)) z(:,j)=f(x(j),y) 即：当x变化时，z的第i行与y的 第i个元素相关，当y变化时z的第j列与x的第j个元素相关。如 果没有对x,y赋值，则默认x=1:n, y=1:m。n和m分别是矩阵z 的行数和列数。
n=9; x0=-1:1/(n-1):1;y0=1./(1+25*x0.^2);y1=lagr(x0,y0,x); subplot(2,2,4), plot(x,z,'r-',x,y,'m-'),hold on, %原曲线 plot(x,y1,'b'),gtext('L16(x)','FontSize',12) %Lagrange曲线
加工时需要x每改变0.05时的y值
模型 将图1逆时针方向转90度， 轮廓线上下对称，只需对上半部 计算一个函数在插值点的值。
v
5
4.5
4
3.5
matlab插值与拟合
目录【一维插值】interp1 (1)yi=interp1(x,y,xi,method) (1)例1 (1)例2 (2)【二维插值】interp2 (4)ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI,method) (4)插值方式比较示例 (4)例3 (8)例4 (9)【三角测量和分散数据插值】 (13)【数据拟合】 (16)例5 (16)例6 (17)【一维插值】i nterp1yi =interp1(x,y,xi,method)例1在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。
试估计每隔1/10小时的温度值。
建立M文件temp.mhours=1:12;temps=[5 89 1525 29 3130 2225 27 24];h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,'spline');plot(hours,temps,'kp',h,t,'b');35302520151050 2 468 1012例2已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。
X Y 035791112131415 0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6建立M文件plane.mx0=[0 357 911 1213 14 15 ];y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ]; x=0:0.1:15;y1=interp1(x0,y0,x,'nearest');y2=interp1(x0,y0,x);y3=interp1(x0,y0,x,'spline');plot(x0,y0,'kp',x,y1,'r')2.521.510.50 51015 plot(x0,y0,'kp',x,y2,'r')2.521.510.50 51015 plot(x0,y0,'kp',x,y3,'r')2.521.510.50 51015【二维插值】interp2ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,method)插值方式比较示例用较大间隔产生peaks函数数据点[x,y] = meshgrid(-3:1:3);z= peaks(x,y);surf(x,y,z)642-2-4-6424-2-202-4-4● 产生一个较好的网格[xi,yi] =meshgrid(-3:0.25:3);● 利用最近邻方式插值zi1 =interp2(x,y,z,xi,yi,'nearest');surf(xi,yi,zi1)● 双线性插值方式zi2 =interp2(x,y,z,xi,yi,'bilinear');surf(xi,yi,zi2)● 双立方插值方式zi3 =interp2(x,y,z,xi,yi,'bicubic');surf(xi,yi,zi3)● 不同插值方式构造的等高线图对比contour(xi,yi,zi1)321-1-2-3-3-2-101 2 3 contour(xi,yi,zi2)321-1-2-3-3-2-10 1 2 3 contour(xi,yi,zi3)321-1-2-3-3-2-1 01 2 3例3测得平板表面3*5网格点处的温度分别为：828180828479636165818484828586试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。
数学建模——拟合与插值
即要求 出二次多项式: f(x)a1x2a2xa3
11
中 的 A(a1,a2,a3) 使得:
[f (xi)yi]2 最小
i1
fun是一个事先建立的 定义函数F(x,xdata) 的 M-文件, 自变量为x和 xdata
选项见无 迭代初值 已知数据点 约束优化
18
25.03.2020
2. lsqnonlin
已知数据点： xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan） ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）
+
+
y=f(x) +
x i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
6
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线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ …+amrm(x)中 函数{r1(x), …rm(x)}的选取 1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)；
2. 将数据 (xi,yi) i=1, …n 作图，通过直观判断确定 f(x)：
2）计算结果：Ａ = [-9.8108, 20.1293, -0.0317]
f(x) 9.81x0 2 8 2.1 02x9 0 3 .0317
16
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用MATLAB作非线性最小二乘拟合
两个求非线性最小二乘拟合的函数：
lsqcurvefit、lsqnonlin。
相同点和不同点：两个命令都要先建立M-文件fun.m，定义函 数f(x)，但定义f(x)的方式不同。
《讲插值与拟合》课件
3
定义和概念
局部插值和拟合是一种在局部范围内 进行插值和拟合的方法，以提高数据 拟合的精度。
局部插值和拟合方法的优缺点
局部插值和拟合方法可以提高数据拟 合的精度，但在边界处可能存在一定 的误差。
五、总结与应用
插值与拟合的区别和联系插值和拟合都是通过构建近似函数来拟合数据，但 插值是通过通过已知数据点构造函数，并且在这些点上精确匹配，而拟合是 通过最小化误差来选择最佳的近似函数。 选择合适的方法进行插值和拟合在 实际应用中，根据数据特点和需求选择适当的插值和拟合方法，以达到最佳 的效果。 应用实例及其结果分析我们将会提供一些实际应用实例，探讨不同 方法在实际问题中的应用效果，并进行结果分析和讨论。
可以使用线性回归、多项式拟 合等方法进行最小二乘拟合。
三、样条插值和拟合
样条插值和拟合方法常用的样条插值和拟合方法包括自然样条、三次样条等，它们可以更好地逼近复杂 曲线和曲面。
四、局部插值和拟合
1
局部插值和拟合的基本思想
2
基本思想是通过选择局部区域的数据
点来构建插值或拟合函数，以适应局
部数据的特征。
《讲插值与拟合》PPT课 件
欢迎参加本次关于插值与拟合的课程！在这个课件中，我们将深入探讨插值 和拟合的概念、方法和应用，帮助您在实践中提升问题分析和解决能力。
一、插值方法概述
定义和概念
插值是根据已知数据点构造一个函数，该函数在已知数据点上具有与原函数相同的值。
插值方法的种类
常用插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
六、课程总结
从理论到实践，系统 学习插值与拟合知识
通过本课程，您将系统学 习插值与拟合的理论和实 践，获取全面的知识和技 能。
数值拟合与插值
数值拟合与插值在科学与工程领域，数值拟合与插值是一种常用的数值计算方法，用于处理实验数据或连续函数的逼近与近似。
数值拟合与插值的目的是通过一组已知数据点，找到一个函数或曲线，使得该函数或曲线能够最好地描述这些数据点，并且能够在数据点之间进行合理的预测或计算。
数值拟合是指通过一组离散的数据点，找到一个函数或曲线，使得该函数或曲线能够最好地拟合这些数据点。
拟合的目标是找到一个简单的表达形式，并且能够很好地描述数据的变化规律。
常见的数值拟合方法包括最小二乘法、最小二乘多项式拟合、最小二乘曲线拟合等。
最小二乘法是一种常用且有效的数值拟合方法，其原理是通过最小化实际观测值和拟合值之间的误差平方和来确定最佳拟合曲线或函数。
最小二乘法适用于线性和非线性拟合，可以有效处理多变量拟合和高阶拟合等复杂情况。
另一方面，数值插值是指通过已知数据点之间的数值，构造一个通过这些数据点的连续函数。
插值的目标是尽可能地保持数据点之间的变化规律，使得插值函数在数据点处能够完全符合已知数据。
常见的数值插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值等。
拉格朗日插值是一种常用的插值方法，其原理是通过构造一个满足通过所有数据点的多项式函数来进行插值。
拉格朗日插值具有简单易用的特点，适用于较小规模的数据点插值，但容易受到龙格现象的影响，需要注意插值多项式的阶数选择。
在实际应用中，数值拟合与插值方法经常用于数据处理、信号处理、图像处理等领域。
比如在实验数据处理中，通过数值拟合可以找到数据之间的潜在规律，从而推断未知数据的数值；在图像处理中，通过插值可以对像素点进行平滑处理，增强图像的清晰度和视觉效果。
总的来说，数值拟合与插值是一种基础且常用的数值计算方法，可以有效地处理实验数据的分析与处理。
通过合理选择拟合和插值方法，并结合实际问题的需求，可以得到准确、可靠的数值模型，为科学研究与工程实践提供有力的支持。
插值与拟合
当 x ∈ [ x i 1 , x i ] 时, S ( x ) 的表达式由(2.3.4)平移下标可得 的表达式由 平移下标可得, 平移下标可得 因此有
S ′( x i 0) = f [ x i 1 , x i ] + hi 1 ( M i 1 + 2 M i ). 6
利用条件 S ′( x i + 0) = S ′( x i 0) 得
第二章 插值与拟合
2.3.2 三弯矩算法
可以有多种表达式， 三次样条插值函数 S ( x ) 可以有多种表达式，有时用二阶导数
S′ 值′ ( x i ) = M
i
( i = 0 ,1 , , n )
M
i
表示时，使用更方便。 表示时，使用更方便。 在力学上解释 ( x) 处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关， 为细梁在 S处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故 Mi 的算法为三弯矩算法 三弯矩算法。 称用 表示 的算法为三弯矩算法。 由于 S ( x )在区间 [ x i , x i + 1]( i = 0 ,1, , n 1) 上是三次多项式， 上是三次多项式， 故 S ′′( ) [ , ]
0
先消去 M 3 和 M 3 得
3 .5 1 1 3 .5
M M
1
5 .1 = 10 . 5 2
由此解得 M 1 = 2.52, M 2 = 3.72 。 代回方程组得 M 0 = 0.36, M 3 = 0.36. 的值代入三次样条插值函数的表达式（ ），经化简有 用 M 0 , M 1 , M 2 , M 3的值代入三次样条插值函数的表达式（2.3.4），经化简有 ），
n
=λn0来自= 0,第二章 插值与拟合
实验三 插值法与拟合实验
实验三插值法与拟合实验
一、实验目的
感受插值效果的比较以及拟合多项式效果的比较。
二、实验题目
1.插值效果的比较
将区间[-5,5]5等分和10等分，对下列函数分别计算插值节点的值，进行不同类型的插值，做出插值函数的图形并与的图形进行比较：
做拉格朗日插值。
2.拟合多项式实验
给定数据点如下表所示：
分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数和拟合函数的图形。
三、实验原理
拉格朗日插值和多项拟合插值的通用程序
四、实验内容及结果
五、实验结果分析
(1)实验1中通过图象，可以很明显的辨别出拉格朗日插值并不是插值点越多图象就一定越精确，会有高阶插值的振荡现象。
(2)通过三个图象的对比，发现基本都是重合在一起的。
.三次多项式五次多项式拟合的平方误差分别为1.8571e-004和4.7727e-005，可知五次多项式拟合比三次多项式拟合更加准确。
但是后面去计算一下拟合所需要的时间，会发现拟合次数越大，时间越长，所以也不一定是次数越大越好，需要把时间也考虑进去。
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线性方程组的解法1、直接解法：高斯消去法、三角分解法2、迭代法：雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代逐次超松弛迭代3、范数：研究解的误差估计和收敛性条件数的概念非线性方程组的解法牛顿-拉夫逊法1第2章插值与拟合232.1 引言f (x i )可能来源于：(1)一些实验测量值(2)不能用简单函数形式表示的冗长的数值运算通常x i 是等间距的。
当i ≠j 时，x i ≠x j ，且f (x i ) =y i (i=0,1,…,n )值比较准确。
在科学计算和实际应用中常遇到两类问题：(1)有的函数虽有表达式，但较复杂，也可用简单的函数P (x )来逼近它。
(2)某些变量之间的函数关系y =f (x )存在，但没有f (x )的解析式，y =f (x )以函数表格或曲线形式给出y n…y 1y 0f (x )x n …x 1x 0x实际应用中：(1)常需要根据函数表推算该函数在某些点上的函数值。
(2)解决与该函数有关的一些问题，如分析函数的性态，研究y = f (x)的变化规律，求导数、积分等。
45插值基本思路当精确函数y = f (x ) 非常复杂或未知时，在一系列节点x 0 …x n 处测得函数值y 0= f (x 0), …y n = f (x n )，由此构造一个简单易算的近似函数P (x )≈f (x )，满足条件P (x i ) = f (x i ) (i = 0, …n )。
这里的P (x )称为f (x ) 的插值函数。
x 0x 1x 2x 3x 4xP (x )≈f (x )P (x )：称为f (x ) 的插值函数；f (x )：被插值函数；x i ：插值节点；P (x i ) = f (x i )：插值条件；而误差函数R (x ) =f (x )-P (x ) ：称为误差余项。
注意：插值节点x i ≠x j ——互异的点插值条件：P (x i ) = f (x i )；6通常满足同一个插值条件的插值函数有许多类型，如多项式、三角函数类型、指数函数类型等等。
最常用的插值函数是…当插值函数是多项式时称为代数插值（或多项式插值）。
即若存在一个次数不超过n 次的多项式P n (x )，满足()() (0,1,2,,)n i i P x f x i n == 则称P n (x )为f (x )的n 次插值多项式。
插值函数类型多项式——计算简单，分析容易研究主要内容¾n次插值多项式P(x)是否存在？n¾如何求解？¾插值误差或余项又如何估计？78线性插值§2.2 拉格朗日多项式/* Lagrange Polynomial */ni y x L i i n , 0)(==求n 次多项式使得01()nn n L x a a x a x =+++ 无重合节点，即ji x x ≠j i ≠n = 1已知x 0,x 1; y 0 ,y 1 ，求101()L x a a x =+使得111001)(,)(y x L y x L ==可见L 1(x ) 是过( x 0, y 0) 和( x 1, y 1 ) 两点的直线。
••L 1(x )f (x )x 0x 1y 0y 19L 1(x ) 是过( x 0 , y 0) 和( x 1, y 1) 两点的直线。
)()(0010101x x x x y y y x L −−+=101x x x x −−010x x x x −−= y 0+ y 1l 0x )l 1x )Σ==1)(i iiyx l 00011011()1;()0()0;()1l x l x l x l x ==⎧⎨==⎩在节点上满足101111(), ()k kk k k k k kx x x x l x l x x x x x ++++−−==−−---线性插值多项式在节点x k 和x k +1上满足条件1111()1, ()0()0, ()1k k k k k k k k l x l x l x l x ++++====称为拉氏基函数（线性插值基函数）/* Lagrange Basis */，满足条件l i (x j )=δij /* Kronecker Delta */当i=j 时δij =1；当i ≠j 时δij =011抛物线插值n = 2使得已知x 0, x 1, x 2; y 0,y 1，y 2，求22012()=++L x a a x a x 112002)(,)(y x L y x L ==222)(y x L =可见L 2(x ) 是过( x 0 , y 0) 、( x 1, y 1)、( x 2, y 2)的抛物线。
基函数都是二次的函数2()()==∑i iy L x l x y 采用基函数方法为了满足插值条件，在节点上有：000102101112202122()1;()0;()0()0;()1;()0()0;()0;()1l x l x l x l x l x l x l x l x l x ===⎧⎪===⎨⎪===⎩12因为l 0(x )有两个零点x 1和x 2，故可将其设为012()()()l x A x x x x =−−的形式，其中A 为待定系数，可由条件l 0(x 0)=1定出插值基函数000102101112202122()1;()0;()0()0;()1;()0()0;()0;()1l x l x l x l x l x l x l x l x l x ===⎧⎪===⎨⎪===⎩13012()()()l x A x x x x =−−l 0(x 0)=101021()()A x x x x =−−1200102()()()()()x x x x l x x x x x −−=−−14同理可得可得二次插值多项式2001122()()()()L x y l x y l x y l x =++满足插值条件2() (0,1,2)j j L x y j ==02110120122021()()()()()()()()()()−−⎧=⎪−−⎪⎨−−⎪=⎪−−⎩x x x x l x x x x x x x x x l x x x x x15如何构造通过n +1个节点x 0< x 1<…< x n 的n 次插值多项式L n (x )，满足() (0,1,2,,)n j j L x y j n == 1 () (,0,1,2,,)0 i j i jl x i j n i j=⎧==⎨≠⎩ n 次插值基函数定义若n 次多项式l i (x ) (i =0,1,2,…, n )在n +1个节点x 0< x 1<…< x n 上满足条件则称这n +1个n 次多项式l i (x ) (i =0,1,2,…, n )为节点x 0< x 1<…< x n 上的n 次插值基函数。
n ≥1希望找到l i (x )，i = 0, …, n 使得l i (x j )=δij ；然后令Σ==ni ii n yx l x L 0)()(，则显然有L n (x i ) =y i 。
16l i (x )每个l i 有n 个根x 0…x i-1, x i+1…x n01110()()()()()() () (0,1,2,,)i i i i n ni j j j i l x C x x x x x x x x x x C x x i n −+=≠⇒=−−−−−=−=∏ 01()1 (0,1,2,,) ()ni i i j i j j il x C i n x x =≠=⇒==−∏∏=≠−−=n j ij j i j i x x x x x l 0)()()(与有关，而与无关节点f ∑==ni ii n yx l x L 0)()(拉格朗日多项式17Quiz:给定x i = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5.下面哪个是l 2(x )的图像？y0---10.5-0.5123456xy0---10.5-0.5123456xy0---10.5-0.5123456xAB C918插值多项式的存在唯一性由插值条件p n (x j ) = f (x j ) ( j = 0,1,…,n ) 知，插值多项式p n (x )的系数a i (i = 0,1,…,n)满足线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn n n n n n n n y x a x a a y x a x a a y x a x a a 101111000010其系数行列式（记为V）是n+1阶范德蒙德（Vandermonde)行列式：∏∏=−=−==n i i j j i n nnnn n x x xxx xx x xxx 11212110200)(111V19∏∏=−=−==n i i j j i n nnnn n x x xxx xx x xxx 11212110200)(111V 因x 0、x 1、…、x n 是区间[a , b]上不同的点，上式右端乘积中的每一个因子x i -x j ≠0，于是V ≠0，方程组的解存在且唯一。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn n n n n n n n y x a x a a y x a x a a y x a x a a 10111100001020()()nn i i i L x y l x ==∑n 次拉格朗日(Lagrange)插值多项式证：存在性唯一性(反证法）设另有n 次多项式P n (x ) 满足：P n (x j )= f (x j ) ( j = 0,1,…,n )令h (x )=P n (x )-L n (x )，则h (x )是一个次数不超过n 的多项式，且h (x j )=P n (x j )-L n (x j )= f (x j ) -f (x j ) =0 ( j = 0,1,…,n )定理2.1：若x 0、x 1、…、x n 是互异的节点，且f (x j ) ( j = 0,1,…,n )已知，则存在唯一不超过n 的多项式P n (x )，使得P n (x j )= f (x j ) ( j = 0,1,…,n )21h (x j )=P n (x j )-L n (x j )= f (x j ) -f (x j ) =0 ( j = 0,1,…,n )即h (x )有n +1个互异的根。
由代数基本定理知n 次代数方程有且仅有n 个根，因此()0h x ≡故P n (x )=L n (x )。
注：若不将多项式次数限制为n ，则插值多项式不唯一。
例如也是一个插值多项式，其中可以是任意多项式。
∏=−+=ni i n x x x p x L x P 0)()()()()(x p22例1已知函数f (x )在节点-1，0，1处的值分别为0.3679，1.000，2.7182，求出二次插值多项式。